Bài giảng Các phép biến đổi 2D (Bản đẹp)

Nội dung text: Bài giảng Các phép biến đổi 2D (Bản đẹp)

1. 2D Transformations Các phép biến đổi 2D 1
2. Giới thiệu • Bản chất của phép biến đổi hình học là thay đổi vị trí của đối tượng, làm thay đổi đối tượng về hướng, kích thước, hình dạng. • Hai phương pháp để biến đổi hình học: – Biến đổi đối tượng: thay đổi tọa độ của đối tượng. – Biến đổi hệ tọa độ: tạo hệ tọa độ mới và tất cả đối tượng sẽ được chuyển về hệ tọa độ mới. • Các phép biến đổi hình học cơ bản: tịnh tiến, quay, biến đổi tỉ lệ, biến dạng. 2
3. Phép biến đổi hình học • Một phép biến đổi là một ánh xạ T: T : R 2 → R 2 x '= f (x ,y ) P (x ,y ) Q (x ',y ') y '= g(x ,y ) P(x,y) Q(x’,y’) 3
4. Phép biến đổi hình học (cont.) • Phép biến đổi Affine là phép biến đổi với f(x,y) và g(x,y) là 2 hàm tuyến tính: x '= ax + by + c y '= dx + ey + f • Biểu diễn phép biến đổi Affine dưới dạng ma trận: x ' a b c x y ' = d e f y Q = T .P 1 0 0 1 1 • Thông thường, chúng ta chỉ khảo sát phép biến Affine nên ta thường dùng thuật ngữ phép biến đổi để ngụ ý là phép biến đổi Affine. 4
5. Phép tịnh tiến - Translation • Phép tịnh tiến dùng để dịch chuyển đối tượng từ vị trí này sang vị trí khác. Q try P trx 5
6. Phép tịnh tiến (cont.) • Gọi tr = (trx , try) là vector tịnh tiến từ điểm P đến điểm Q thì: x '= x + trx y '= y + try • Ma trận biến đổi của phép tịnh tiến: 1 0 tr x T (trx ,try ) = 0 1 try 0 0 1 6
7. Phép quay - Rotation Q • Đổi hướng đối tượng. • Phép quay gồm có tâm quay C, góc quay α. • Biến đổi điểm P thành Q sao cho: P – P và Q nằm trên đường tròn tâm C, α – Góc PCQ bằng α C • Do vị trí của tâm quay nên ta có 2 loại phép quay: – Phép quay quanh gốc tọa độ – Phép quay quanh một tâm bất kì • Góc quay theo qui ước chiều dương là ngược chiều kim đồng hồ. + 7
8. Phép quay một góc α quanh gốc tọa độ Q P O O cos − sin 0 x '= cos x − sin y T ( ) = sin cos 0 y '= sin x + cos y 0 0 1 8
9. Phép quay một góc α quanh gốc tọa độ Phép đối xứng tâm (gốc tọa độ) • P và Q đối xứng qua gốc tọa độ. Do đó, phép đối xứng tâm là phép quay quanh gốc tọa độ một góc 1800. =1800 P O O Q − 1 0 0 x '= −x 0 T (180 ) = 0 − 1 0 y '= −y 0 0 1 9
10. Phép quay một góc α quanh tâm bất kì Q Q’ P’ P C(xc,yc) O T(-x ,-y ) T(α) T(x ,y ) P c c P’ Q’ c c Q 10
11. Phép quay một góc α quanh tâm bất kì (cont.) • Ta có thể chứng minh phép quay tâm C(xc, yc) một góc α là kết hợp của các phép biến đổi sau đây: – Tịnh tiến theo vector (-xc,-yc) để dịch chuyển tâm quay về gốc tọa độ: P’ = T(-xc, -yc) . P – Quay quanh gốc tọa độ một góc : Q’ = T( ) . P’ – Tịnh tiến theo vector (xc,yc) để đưa tâm quay về vị trí ban đầu: Q = T(xc,yc) . Q’ • Kết hợp 3 phép biến đổi trên ta được: Q = T(xc,yc) . T( ) . T(-xc,- yc) . P • Như vậy, ma trận biến đổi của phép quay tâm bất kì là: cos − sin (1 − cos )x + sin y c c T (x c ,y c , ) = T (x c ,y c )T ( )T (− x c ,−y c ) = sin cos − sin x c + (1 − cos )y c 0 0 1 11
12. Phép biến đổi tỉ lệ - Scaling • Co giản đối tượng s x 0 0 x '= s x x T (s ,s ) = 0 s 0 y ' s y x y y = y 0 0 1 • sx và sy được gọi là hệ số co giản theo trục x và trục y 12
13. Phép biến đổi tỉ lệ (cont.) • Khi sy = 1 thì đối tượng co giản theo trục x • Khi sx = 1 thì đối tượng co giản theo trục y 13
14. Phép biến đổi tỉ lệ (cont.) • Khi sy = sy thì ta gọi đây là phép biến đổi đồng dạng – uniform scaling, bảo toàn tính cân xứng của đối tượng. • Nếu sx = sy < 1 thì đây là phép thu nhỏ, ngược lại thì đây là phép phóng to Thu nhỏ Phóng to 14
15. Phép biến đổi tỉ lệ (cont.) Phép đối xứng trục • Đối xứng qua trục hoành: • Đối xứng qua trục tung: x '= x s x = 1 x '= −x s x = −1 s = −1 y '= y s = 1 y '= −y y y 1 0 0 0 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 0 0 0 1 15
16. Phép biến dạng - Shearing • Thay đổi hình dạng của đối tượng • Phép biến dạng theo trục x làm thay đổi hoành độ còn tung độ giữ nguyên. 1 sh x 0 x '= x + sh x y T (sh x ,0) = 0 1 0 y '= y 0 0 1 • Phép biến dạng theo trục y làm thay đổi tung độ còn hoành độ giữ nguyên. 1 0 0 x '= x T (0,sh y ) = sh y 1 0 16 y '= sh y x + y 0 0 1
17. Phép biến dạng - Shearing • Phép biến dạng tổng quát 1 sh x 0 x '= x + sh x y T (sh x ,sh y ) = sh y 1 0 y '= sh y x + y 0 0 1 17
18. Bài tập Biến đổi đối tượng 2D • Mô tả tính chất hình học của đối tượng points color center Hệ tọa độ đối tượng Hệ tọa độ thực – Tâm, có tọa độ so với hệ tọa độ thực : center – Dạng hình học, có dạng đa giác đối xứng qua tâm : points – Màu sắc : color 18
19. Bài tập Biến đổi đối tượng 2D (cont.) • Áp dụng các phép biến đổi trên đối tượng tr Hệ tọa độ thực – Tịnh tiến đối tượng bằng vectơ tr, thực chất là tịnh tiến tâm của đối tượng – Quay đối tượng theo góc angle, thực chất là quay các đỉnh của đa giác – 19
20. Bài tập Biến đổi đối tượng 2D (cont.) • Cấu trúc dữ liệu #define MAXNUMPOINTS 10 struct Point2D { double x, y; }; struct Object { Point2D center; Point2D points[MAXNUMPOINTS]; int numOfPoints; int color; Point2D tr; double angle; // }; 20
21. Bài tập Biến đổi đối tượng 2D (cont.) • Vẽ đối tượng đối tượng: void drawObject(Object &o); – Vẽ đa giác xác định bởi points, lưu ý các điểm points[i] có tọa độ thực là: points[i] + center – Đối tượng được vẽ bằng màu color • Tịnh tiến đối tượng: void translateObject(Object &o); – Tịnh tiến tâm của đối tượng theo vectơ tịnh tiến : center = center + tr – Lưu ý trường hợp đối tượng vượt khỏi khung nhìn: • Tính lại tâm của đối tượng • Tính lại vectơ tịnh tiến tr 21
22. Bài tập Biến đổi đối tượng 2D (cont.) • Quay đối tượng: void roatateObject(Object &o); – Quay các đỉnh của đa giác của đối tượng theo theo góc angle : rotatePoints(o.points[i], o.angle); • Chương trình chính: Object o; initObject(o); while (!kbhit()) { o.color = CYAN; drawObject(o); delay(50); o.color = BLACK; drawObject(o); translateObject(o); ratateObject(o); // } 22