›
›

Bài giảng Chuỗi số và chuỗi lũy thừa - Huỳnh Văn Kha

pdf 76 trang huongle 9120
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Chuỗi số và chuỗi lũy thừa - Huỳnh Văn Kha", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_chuoi_so_va_chuoi_luy_thua_huynh_van_kha.pdf

Nội dung text: Bài giảng Chuỗi số và chuỗi lũy thừa - Huỳnh Văn Kha

  1. Chương 5 CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA ThS. Huỳnh Văn Kha
  2. TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Dãy số và sự hội tụ. 2. Chuỗi số. 3. Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số. 4. Chuỗi lũy thừa. 24/08/2015 C01121 – Chu ỗi s ố và chu ỗi l ũy th ừa 2
  3. 1. DÃY SỐ VÀ SỰ HỘI TỤ • Dãy số (sequence) là danh sách các con số được sắp theo một thứ tự nào đó , , , , , • Ví dụ, dãy 2,4,6,8, , 2, có phần tử thứ nhất là , phần tử thứ hai là = 2 , phần tử thứ là , = 4 = 2 • Có thể coi dãy số như một hàm số , biến thành , 1 biến thành , biến thành , 2 • Dãy số được mô tả bằng công thức . = 24/08/2015 C01121 – Chu ỗi s ố và chu ỗi l ũy th ừa 3
  4. Ví dụ dãy số • Dãy số có các phần tử là = = 1, 2, 3, 4, , , 24/08/2015 C01121 – Chu ỗi s ố và chu ỗi l ũy th ừa 4
  5. • Dãy số có các phần tử là = 1 1 1 1 = 1, , , , , , 2 3 4 24/08/2015 C01121 – Chu ỗi s ố và chu ỗi l ũy th ừa 5
  6. • Dãy số có các phần tử là = 1 1 1 −1 = 1, − , , − , , , 2 3 4 24/08/2015 C01121 – Chu ỗi s ố và chu ỗi l ũy th ừa 6
  7. Dãy số hội tụ • Nếu các phần tử trong dãy số tiến về một giá trị thực nào đó khi lớn , thì ta nói dãy số là hội tụ (converge). • Các phần tử của dãy tiến về khi lớn. = 0 • Các phần tử của dãy tiến về khi lớn. = 1 • Nếu các phần tử trong dãy số không tiến về giá trị thực nào cả , hoặc chúng tiến ra vô cùng , thì ta nói dãy số là phân kỳ (diverge). • Các phần tử của dãy số có thể lớn tùy ý khi = đủ lớn, nên dãy số này phân kỳ. 24/08/2015 C01121 – Chu ỗi s ố và chu ỗi l ũy th ừa 7
  8. • Các phần tử của dãy số nhận giá trị = −1 xen kẽ giữa −1 và 1 nên nó không hội tụ về con số thực nào cả. Dãy này phân kỳ. Định nghĩa 1. Dãy số hội tụ Dãy số được nói là hội tụ (converge) về nếu ∀ >0,∃∈ℕ,∀>, − < Nếu không số nào như vậy, ta nói dãy phân kỳ (diverge). Nếu hội tụ về ta viết hay . Và lim = → → khi đó ta nói là giới hạn (limit) của dãy số . 24/08/2015 C01121 – Chu ỗi s ố và chu ỗi l ũy th ừa 8
  9. 24/08/2015 C01121 – Chu ỗi s ố và chu ỗi l ũy th ừa 9
  10. Một số tính chất 24/08/2015 C01121 – Chu ỗi s ố và chu ỗi l ũy th ừa 10
  11. 24/08/2015 C01121 – Chu ỗi s ố và chu ỗi l ũy th ừa 11
  12. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 12
  13. Một số giới hạn cơ bản 24/08/2015 C01121 – Chu ỗi s ố và chu ỗi l ũy th ừa 13
  14. Ví dụ 1. Tính các giới hạn dãy số sau đây. ln 1. lim 2. lim → → 1 3. lim 3 4. lim − → → 2 − 2 100 5. lim 6. lim → → ! 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 14
  15. 2. CHUỖI SỐ • Chuỗi số (series) là tổng tất cả con số trong một dãy số, tổng đó có dạng + + + ⋯ + + ⋯ • Tổng vô hạn các con số là gì? Cách tính nó? • Để tính tổng vô hạn các con số, ta tính tổng riêng phần (partial sum) thứ = + + + ⋯ + và sau đó cho → ∞. • Ví dụ, tính tổng của chuỗi số 1 1 1 1 1 + + + + ⋯ + + ⋯ 2 4 16 2 24/08/2015 C01121 – Chu ỗi s ố và chu ỗi l ũy th ừa 15
  16. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 16
  17. Sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số Định nghĩa 2. Chuỗi số hội tụ, phân kỳ. Cho chuỗi số + + + ⋯ + + ⋯ Dãy được định nghĩa bởi = = + = + + ⋯ + = được gọi là dãy tổng riêng phần (sequence of partial sums) của chuỗi số. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 17
  18. Định nghĩa 2 (tt). Chuỗi số hội tụ, phân kỳ. Nếu dãy tổng riêng phần nói trên hội tụ về thì ta nói chuỗi số là hội tụ và có tổng bằng , ta viết + + ⋯ + + ⋯ = = Nếu dãy tổng riêng phần không hội tụ thì ta nói chuỗi số là phân kỳ . 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 18
  19. Chuỗi hình học • Chuỗi hình học (geometric series) là chuỗi có dạng + + + ⋯ + + ⋯ = ≡ trong đó và là các số thực cho trước ( ≠ 0). • Các chuỗi sau là chuỗi hình học 1 1 1 1 1 + + + ⋯ + + ⋯ = 2 4 2 2 2 2 1 1 2 − + − ⋯ + 2 − + ⋯ = 2 − 3 9 3 3 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 19
  20. Định lý 1. Sự hội tụ của chuỗi hình học. Xét chuỗi hình học + + + ⋯ + + ⋯ = ≡ Nếu < 1 thì chuỗi hình học hội tụ và = , < 1 1 − Nếu ≥ 1 thì chuỗi hình học phân kỳ . 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 20
  21. Ví dụ 2. 1. Các chuỗi hình học sau có hội tụ không? Nếu có hãy tính tổng của chúng. 1 5 −1 ) ) 3 4 2. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số ) 5.232323 ) 0.999999 . 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 21
  22. Một số tính chất • Các chuỗi số sau có hội tụ không? + 1 1 • Nếu chuỗi hội tụ thì . ∑ → 0 • Nhưng ngược lại không đúng, có những chuỗi phân kỳ nhưng dãy số tương ứng hội tụ về 0. Kiểm tra chuỗi số phân kỳ dựa vào dãy Nếu dãy không có giới hạn hoặc thì lim ≠ 0 → chuỗi phân kỳ . ∑ 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 22
  23. Ví dụ 3. Các chuỗi số sau hội tụ hay phân kỳ? 1. − 2. 2 + 5 3. −1 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 23
  24. Ví dụ 4. Tính tổng các chuỗi số sau đây 3 − 1 4 1. 2. 6 2 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 24
  25. Chú ý = + + ⋯ + + Nên nếu hội tụ thì cũng hội tụ với mọi ∑ ∑ ≥ 1 và ngược lại. Ví dụ 5. Tính tổng chuỗi số 1 2 + 3 1. 2. 5 7 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 25
  26. 3. CÁC TIÊU CHUẨN HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ Tiêu chuẩn tích phân (integral test). Cho là dãy số dương (nghĩa là ). Giả sử > 0, ∀ với là hàm số liên tục, dương, giảm với = mọi ( là số nguyên dương). Thì chuỗi ≥ ∑ và tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ . 24/08/2015 C01121 – Chu ỗi s ố và chu ỗi l ũy th ừa 26
  27. Chuỗi ∑ ( – series) Ví dụ 6. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số 1 1 1 1. 2. 3. 1 + ln Ví dụ 7. Với giá trị nào của thì chuỗi sau hội tụ? 1 – series Chuỗi hội tụ khi và phân kỳ khi . ∑ > 1 ≤ 1 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 27
  28. Tiêu chuẩn so sánh 1 Tiêu chuẩn so sánh 1 (comparison test) Cho các chuỗi số không âm , , . Giả sử có ∑ ∑ ∑ số nguyên dương sao cho ≤ ≤ , ∀ > Nếu hội tụ thì hội tụ . ∑ ∑ Nếu phân kỳ thì phân kỳ . ∑ ∑ 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 28
  29. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 29
  30. Ví dụ 8. Xét sự hội tụ của các chuỗi số. 5 1 1. 2. 5 − 1 + 1 1 ln 3. 4. 2 + 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 30
  31. Tiêu chuẩn so sánh 2 Tiêu chuẩn so sánh 2 (limit comparison test) Giả sử (với là số nguyên ≥ 0, > 0, ∀ ≥ dương). 1. Nếu thì chuỗi và chuỗi lim = ∈ 0, ∞ ∑ → cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ . ∑ 2. Nếu và hội tụ thì hội tụ . lim = 0 ∑ ∑ → 3. Nếu và phân kỳ thì phân kỳ . lim = ∞ ∑ ∑ → 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 31
  32. Ví dụ 9. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây. 2 + 1 2 − 1 1. 2. + 1 3 + 1 + 1 3 + 2 3. 4. + 1 2 + 3 ln ln 5. 6. + 5 / 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 32
  33. Chuỗi đan dấu (Alternating series) • Chuỗi đan dấu là chuỗi mà các hạng tử mang dấu dương và âm xen kẽ, ví dụ 1 1 1 −1 1 − + − + ⋯ + + ⋯ 2 3 4 1 1 1 −1 4 −2 + 1 − + − + ⋯ + + ⋯ 2 4 8 2 1−2+3−4+5−⋯+ −1 + ⋯ • Tổng quát, chuỗi đan dấu là chuỗi , trong đó ∑ = −1 hoặc = −1 với . ≥ 0, ∀ 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 33
  34. Tiêu chuẩn Leibniz Tiêu chuẩn Leibniz (Leibniz’s test) Chuỗi đan dấu −1 = − + − + − ⋯ hội tụ nếu có ∈ ℕ để các điều kiện sau đây là đúng 1. > 0, ∀ > 2. là dãy giảm, nghĩa là ≥ , ∀ ≥ 3. . → 0 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 34
  35. Ví dụ 12. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số. −1 −1 −1 1. 2. 3. + 1 2 + 1 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 35
  36. Hội tụ tuyệt đối • Chuỗi được nói là hội tụ tuyệt đối (absolutely ∑ convergent) nếu chuỗi hội tụ . ∑ • Chuỗi hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối được gọi là hội tụ có điều kiện (conditionally convergent). Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối (The absolute convergence test) Nếu chuỗi hội tụ thì chuỗi hội tụ . ∑ ∑ 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 36
  37. Ví dụ 13. Các chuỗi số sau có hội tụ, có hội tụ tuyệt đối không? −1 −1 1 1. 2. 3. • Nếu ta sắp xếp lại thứ tự lấy tổng cho một chuỗi hội tụ có điều kiện thì tổng thu được có thể khác nhau . • Với chuỗi hội tụ tuyệt đối , mọi cách sắp xếp lại thứ tự lấy tổng đều cho kết quả như nhau . 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 37
  38. Tiêu chuẩn tỉ số (của d’Alembert) Tiêu chuẩn tỉ số (ratio test) Xét chuỗi số , giả sử rằng ∑ lim = → Nếu 1 hoặc = ∞ thì chuỗi phân kỳ . (Nếu = 1 thì không có kết luận tổng quát.) 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 38
  39. Ví dụ 10. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây. 2 + 5 ! 1. 2. 3 2 ! 3. 4. ! 2 ! 4 ! 5. 2 ! 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 39
  40. Tiêu chuẩn căn số (của Cauchy) Tiêu chuẩn căn số (root test) Xét chuỗi số , giả sử rằng ∑ lim = → Nếu 1 hoặc = ∞ thì chuỗi phân kỳ . (Nếu = 1 thì không có kết luận tổng quát.) 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 40
  41. Ví dụ 11. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây. 1 1. 2. 2 1 + 2 + 3 3. 4. 3 + 2 + 1 2 15 5. 10 1 − 6. + 3 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 41
  42. Tóm tắt các tiêu chuẩn hội tụ 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 42
  43. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 43
  44. Bài tập Ví dụ 12. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây. − 1 + 1 1. 2. 2 + 1 3 + 4 + 2 3. 4. −1 + 1 2 1 5. 6. ! 2 + 3 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 44
  45. 4. CHUỖI LŨY THỪA Định nghĩa 3. Chuỗi lũy thừa (power series) Chuỗi lũy thừa tâm tại là chuỗi có dạng − = + − + − + ⋯ trong đó tâm và các hệ số là các hằng số , , , cho trước. Có thể coi chuỗi lũy thừa là đa thức có bậc vô cùng . 24/08/2015 C01121 – Chu ỗi s ố và chu ỗi l ũy th ừa 45
  46. Ví dụ 13. Với giá trị nào của thì các chuỗi lũy thừa sau hội tụ? Tính tổng của chúng. 1. = 1 + + + + ⋯ −1 2. − 2 2 1 1 1 = 1 − − 2 + − 2 − − 2 + ⋯ 2 4 8 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 46
  47. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 47
  48. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 48
  49. Ví dụ 14. Với giá trị nào của thì các chuỗi lũy thừa sau đây hội tụ? − 3 1. ! 2. −1 3. 2 ! 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 49
  50. Định lý về sự hội tụ Định lý 2. Về sự hội tụ của chuỗi lũy thừa. Xét chuỗi lũy thừa ∑ = + + + + ⋯ 1. Nếu nó hội tụ tại = ≠ 0 thì nó hội tụ tại mọi thỏa . 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 50
  51. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa The Radius of Convergence of a Power Series Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Chuỗi lũy thừa chỉ có thể xảy ra một ∑ − trong ba trường hợp sau. 1. Có số > 0 sao cho chuỗi phân kỳ với − > và hội tụ (tuyệt đối) với − < . Còn tại các đầu mút = − , = + chuỗi có thể hội tụ, có thể phân kỳ . 2. Chuỗi hội tụ tuyệt đối với mọi ( = ∞). 3. Chuỗi chỉ hội tụ tại = và phân kỳ tại mọi ≠ ( = 0). 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 51
  52. • Giá trị nói trên gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. • Khoảng hội tụ (hay miền hội tụ) là khoảng chứa tất cả các giá trị của để chuỗi lũy thừa hội tụ. • Tìm bán kính hội tụ và khoảng hội tụ cho các chuỗi lũy thừa trong Ví dụ 14. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 52
  53. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 53
  54. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 54
  55. Bài tập Ví dụ 15. Tìm bán kính hội tụ và khoảng hội tụ. −3 + 2 1. 2. 3 + 1 3 + 2 3. 2 − 1 4. + 1 1 − 2 −1 5. 6. 5 ! −1 7. + 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 55
  56. Vi phân chuỗi lũy thừa 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 56
  57. Tích phân chuỗi lũy thừa 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 57
  58. Chuỗi Taylor 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 58
  59. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 59
  60. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 60
  61. Đa thức Taylor 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 61
  62. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 62
  63. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 63
  64. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 64
  65. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 65
  66. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 66
  67. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 67
  68. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 68
  69. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 69
  70. Sự hội tụ của chuỗi Taylor 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 70
  71. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 71
  72. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 72
  73. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 73
  74. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 74
  75. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 75
  76. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 76