Bài giảng Cực trị Hàm nhiều biến - Huỳnh Văn Kha

Nội dung text: Bài giảng Cực trị Hàm nhiều biến - Huỳnh Văn Kha

1. Chương 7 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán T1 - MS: C01016 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 1 / 16
2. Nội dung 1 Cực trị địa phương Định nghĩa Điều kiện cần Điều kiện đủ 2 Cực trị có điều kiện - pp nhân tử Lagrange 3 GTLN - GTNN Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 1 / 16
3. Định nghĩa cực trị Một lân cận của điểm (a, b) là một đĩa tròn tâm (a, b) Định nghĩa Cho f xác định trên một lân cận của (a, b) Điểm (a, b) được gọi là điểm cực đại (địa phương) của f nếu f (x, y) ≤ f (a, b) với mọi (x, y) trong một lân cận nào đó của (a, b). Khi đó số f (a, b) được gọi là một giá trị cực đại (địa phương) của f . Tương tự, điểm (a, b) được gọi là điểm cực tiểu (địa phương) của f nếu f (x, y) ≥ f (a, b) với mọi (x, y) trong một lân cận nào đó của (a, b). Khi đó số f (a, b) được gọi là một giá trị cực tiểu (địa phương) của f . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 2 / 16
4. Nếu (a, b) là điểm cực đại hoặc cực tiểu của f , thì ta nói (a, b) là một cực trị của f Nếu f (x, y) ≤ f (a, b) (hay f (x, y) ≥ f (a, b)), ∀(x, y) ∈ D (D là tập xác định của f ), thì ta nói f đạt giá trị lớn nhất (hay giá trị nhỏ nhất) tại (a, b) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 3 / 16
5. Điều kiện cần Định lý Nếu f đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương tại (a, b) và các đạo hàm riêng cấp một đều tồn tại, khi đó fx (a, b) = 0 và fy (a, b) = 0 Điểm (a, b) được gọi là điểm dừng của f nếu fx (a, b) = 0 và fy (a, b) = 0, hoặc nếu một trong hai đạo hàm riêng nói trên không tồn tại. Định lý này nói rằng nếu f có cực đại hoặc cực tiểu tại (a, b) thì (a, b) là điểm dừng của f . Tuy nhiên, không phải mọi điểm dừng đều là điểm cực đại hay cực tiểu. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 4 / 16
6. Ví dụ 1 Cho f (x, y) = x 2 + y 2 − 2x − 6y + 14 f chỉ có một điểm dừng là (1, 3) Do f (x, y) = 4 + (x − 1)2 + (y − 3)2 ≥ 4 = f (1, 3) với mọi x, y, nên f đạt cực tiểu tại (1, 3) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 5 / 16
7. Ví dụ 2 Xét hàm f (x, y) = y 2 − x 2 f chỉ có một điểm dừng là (0, 0). Trên trục Ox thì f (x, 0) = −x 2 0, nếu y 6= 0 Do đó trên một đĩa tròn tâm (0, 0), luôn có các điểm mà ở đó f nhận giá trị dương, cũng như luôn có các điểm mà ở đó f nhận giá trị âm. Vậy f (0, 0) = 0 không thể là giá trị cực đại hoặc cực tiểu của f . Nói cách khác f không có cực trị. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 6 / 16
8. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 7 / 16
9. Điều kiện đủ Định lý Giả sử các đạo hàm riêng cấp hai của f đều tồn tại và liên tục trên một đĩa tròn tâm (a, b) và giả sử rằng fx (a, b) = 0, fy (a, b) = 0 (tức là (a, b) là điểm dừng của f ). Đặt: 2 D = D(a, b) = fxx (a, b)fyy (a, b) − [fxy (a, b)] a. Nếu D > 0 và fxx (a, b) > 0 thì (a, b) là điểm cực tiểu b. Nếu D > 0 và fxx (a, b) < 0 thì (a, b) là điểm cực đại c. Nếu D < 0 thì (a, b) không là cực trị. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 8 / 16
10. Chú ý Nếu trường hợp (c) xảy ra thì điểm (a, b) gọi là điểm yên ngựa Định lý không đề cập đến trường hợp D = 0. Nếu D = 0 thì (a, b) có thể là cực đại, có thể là cực tiểu, cũng có thể là điểm yên ngựa Công thức D có thể viết dưới dạng định thức: fxx fxy 2 D = = fxx fyy − (fxy ) fyx fyy Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 9 / 16
11. Ví dụ: Tìm các điểm cực trị của hàm số f (x, y) 1. f (x, y) = 9 − 2x + 4y − x 2 − 4y 2 2. f (x, y) = x 3y + 12x 2 − 8y 3. f (x, y) = −9y 4 + 6xy 2 − x 2 − 4y 2 + 4y + 1 4. f (x, y) = (1 + xy)(x + y) 1 1 5. f (x, y) = xy + + x y 6. f (x, y) = x 4 + y 4 − 4xy + 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 10 / 16
12. Bài toán cực trị có điều kiện Xét bài toán tìm cực đại, cực tiểu của hàm hai biến f (x, y) trên đường cong g(x, y) = 0. Ta gọi g(x, y) = 0 là ràng buộc Nếu ∇g(x0, y0) 6= 0 và (x0, y0) là điểm cực trị của f với ràng buộc g(x, y) = 0 thì có λ sao cho: ∇f (x0, y0) = λ∇g(x0, y0) Số λ nói trên gọi là nhân tử Lagrange L(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y) gọi là hàm Lagrange Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 11 / 16
13. Phương pháp nhân tử Lagrange Lập hàm L(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y)   fx (x, y) + λgx (x, y) = 0 1. Giải hệ: ∇L = 0 ⇔ fy (x, y) + λgy (x, y) = 0  g(x, y) = 0 2. Với mỗi nghiệm (x, y, λ) = (x0, y0, λ0), tính: 2 2 2 A = d L = Lxx dx + 2Lxy dxdy + Lyy dy dg = gx dx + gy dy = 0 (∗) 3. Dựa vào kết quả sau để kết luận: - Nếu A > 0, ∀(dx, dy) 6= (0, 0) thỏa ràng buộc (∗) thì hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại (x0, y0) - Nếu A < 0, ∀(dx, dy) 6= (0, 0) thỏa ràng buộc (∗) thì hàm số đạt cực đại có điều kiện tại (x0, y0) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 12 / 16
14. Ví dụ 1. Tìm cực trị của f (x, y) = x 2 + y 2 với điều kiện x + y = 4 2. Tìm cực trị của f (x, y) = 6 − 5x − 4y với điều kiện x 2 − y 2 = 9 3. Tìm cực trị của f (x, y) = xy với điều kiện x 2 + 4y 2 = 8 4. Tìm cực trị của f (x, y) = x 2 + 2y 2 với điều kiện x 2 + y 2 = 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 13 / 16
15. Tập đóng và tập bị chận Cho D là tập con của R2, điểm (a, b) gọi là điểm biên của D nếu mọi đĩa tròn tâm (a, b) đều vừa có các điểm thuộc D, vừa có các điểm không thuộc D Tập D gọi là tập đóng nếu D chứa mọi điểm biên của nó Tập D gọi là bị chận nếu nó bị chứa trong một đĩa tròn nào đó. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 14 / 16
16. Tìm GTLN, GTNN Định lý Nếu hàm f liên tục trên tập đóng và bị chậnD ⊂ R2, thì f đạt giá trị lớn nhấtf (x1, y1) và giá trị nhỏ nhất f (x2, y2) tại các điểm (x1, y1) và (x2, y2) nào đó trong D Nếu f đạt GTLN, GTNN tại (a, b), thì (a, b) hoặc là điểm dừng hoặc là điểm biên. Để tìm GTLN, GTNN, ta làm các bước sau: 1. Tìm giá trị của f tại các điểm dừng bên trong D 2. Tìm GTLN, GTNN của f trên biên của D 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên chính là GTLN và GTNN của f trên D Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 15 / 16
17. Ví dụ 1. Tìm GTLN, GTNN của f (x, y) = x 2 − 2xy + 2y trên miền D = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2} 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm f (x, y) = x 2 + y 2 − xy + x + y trên miền x ≤ 0, y ≤ 0, x + y ≥ −3 3. Tìm GTLN, GTNN của f (x, y) = x 2 + 2y 2 trên miền x 2 + y 2 ≤ 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 16 / 16