›
›

Bài giảng Đại cương về xác suất

pdf 35 trang huongle 6840
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại cương về xác suất", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_cuong_ve_xac_suat.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại cương về xác suất

  1. CHƯƠNG I. ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT §1:Biến cố và quan hệ giữa các biến cố 1. Phép thử và biến cố. 2. Phân loại biến cố : gồm 3 loại - Biến cố chắc chắn:  - Biến cố khơng thể cĩ hay khơng thể xảy ra:  - Biến cố ngẫu nhiên: A, B, C 3. So sánh các biến cố. Định nghĩa 1.1: AB  (A nằm trong B hay A kéo theo B) nếu A xảy ra thì B xảy ra.Vậy AB AB BA Định nghĩa 1.2: A được gọi là biến cố sơ cấp BABA ,. 1
  2. 4. Các phép tốn trên biến cố (hình 1.1 và 1.2 ): ABAB.  xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B xảy ra. ABAB  xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra. AB xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B khơng xảy ra. AA  xảy ra khi và chỉ khi A khơng xảy ra. 2
  3. • Hình 1.1 Hình 1.2 3
  4. • Các phép tốn của biến cố cĩ tính chất giống các phép tốn của tập hợp, trong đĩ cĩ các tính chất đối ngẫu: AAAAi  i,  i  i ii i i Ngơn ngữ biểu diễn: tổng = cĩ ít nhất một ;tích = tất cả đều. (A = cĩ ít nhất 1 phần tử cĩ tính chất x) suy ra (khơng A = tất cả đều khơng cĩ tính chất x). Ví dụ 1.1: (A = cĩ ít nhất 1 người khơng bị lùn) suy ra( khơng A = tất cả đều lùn). Định nghĩa 1.3: biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu AB.  4
  5. §2: Các định nghĩa xác suất. • 1. Định nghĩa cổ điển về xác suất • Định nghĩa 2.1: giả sử trong mỗi phép thử các kết cục là đồng khả năng và cĩ tất cả n kết cục như vậy. Kí hiệu m là số các kết cục thuận lợi cho biến cố A. Khi ấy xác suất của biến cố A là: m ()A n • Ví dụ 2.1: Trong 1 hộp cĩ 6 bi trắng, 4 bi đen.Lấy ngẫu nhiên ra 5 bi. Tính xác suất để lấy được đúng 3 bi trắng. 3 2 • Giải CC 6 . 4 ( phân phối siêu bội)  5 C 10 Chú ý: lấy 1 lúc 5 bi giống lấy lần lượt 5 bi khơng hồn lại 5
  6. • Ví dụ 2.2: Cĩ 10 người lên ngẫu nhiên 5 toa tàu. Tính xác suất để toa thứ nhất khơng cĩ người lên: 4 1 0  5 1 0 2. Định nghĩa hình học về xác suất: Định nghĩa 2.2: Giả sử trong mỗi phép thử các kết cục là đồng khả năng và được biểu diễn bằng các điểm hình học trên miền . Kí hiệu D là miền biểu diễn các kết cục thuận lợi cho biến cố A. Khi ấy xác suất của biến cố A là: độ đo D PA() (độ đo là độ dài,diện tích độ đo  hoặc thể tích) 6
  7. • Ví dụ 2.3: Chia đoạn AB cố định ngẫu nhiên thành 3 đoạn. Tính xác suất để 3 đoạn đĩ lập thành 3 cạnh của 1 tam giác. • Giải: Gọi độ dài đoạn thứ 1,2 là x,y.Khi ấy đoạn thứ 3 là l-x-y x 0 , y 0  x y l l x y 2 x y l x y l 1 D x l x y y y () A 2 4 y l x y x l x 2 7
  8. HÌNH 2.1 8
  9. • Ví dụ 2.4: Ném lên mặt phẳng cĩ kẻ những đường thẳng song song cách nhau 1 khoảng là 2a một cây kim cĩ độ dài 2t<2a.Tính xác suất để cây kim cắt 1 trong các đường thẳng song song Giải: Gọi I là điểm giữa cây kim ,IH là khoảng cách từ I tới đường thẳng gần nhất; là gĩc nghiêng.Khi ấy ta cĩ: 0   d t   . a 0 h I H a 0    D 0 h I K t s i n 2t diện tích D = tsin d 2 t  ( A ) 0  a 9
  10. HÌNH 2.2 10
  11. HÌNH 2.3 11
  12. Các tính chất của xác suất : xem sách giáo khoa 3. Định nghĩa xác suất theo tiên đề • Định nghĩa 2.3: Ký hiệu  là tập hợp các biến cố trong 1 phép thử. Ta gọi xác suất là 1 quy tắc đặt mỗi biến cố A với 1 số P(A) thỏa mãn các tiên đề: (I) 0 PA 1 (II) PP( ) 1,  0 (III) Với mọi dãy biến cố đơi một xung khắc,ta cĩ:  AAi   i i 1 i 1 Hệ quả : PAPA( ) 1 ( ) 4.Định nghĩa xác suất theo thống kê:xem sách giáo khoa 12
  13. §3: Các định lý xác suất 1: Định lý cộng xác suất Định lý 3.1(hình 3.1): P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) • Ví dụ 3.1: Cĩ 10 người lên ngẫu nhiên 5 toa tàu. Tính xác suất để toa thứ nhất hoặc toa thứ hai khơng cĩ người lên. A là biến cố toa thứ 1 khơng cĩ người lên, B là biến cố toa thứ 2 khơng cĩ người lên. Ta cĩ : ()()()()ABPAPBPAB 41 0 4 1 0 3 1 0 51 0 5 1 0 5 1 0 13
  14. HÌNH 3.1 Định lý 3.1 n n n 1  Ai   A i   AA i j   AAA i j k ( 1) PAAA (1 2 n ) i 1 i 1 i j i j k 14
  15. 1 Chú ý: Ở vế phải trong tổng thứ 1 cĩ C n số hạng, trong 2 k tổng thứ 2 cĩ C n số hạng, , trong tổng thứ k cĩ C n số n hạng, , trong tổng thứ n cĩ C n số hạng. Ví dụ 3.2: Cĩ k người lên ngẫu nhiên n toa tàu (k>n). Tính xác suất để tất cả các toa đều cĩ người lên Bài giải • A - tất cả các toa đều cĩ người lên •  - cĩ ít nhất 1 toa khơng cĩ người lên. • A - toa thứ i khơng cĩ người lên, i =1, 2, n i n   A i i 1 Vì các toa tàu cĩ vai trị như nhau nên áp dụng cơng thức cộng xác suất ta cĩ : 15
  16. n n n 1  Ai   A i   AA i j   AAA i j k ( 1) P ( AA1 2 A n ) i 1 i 1 i j i j k 1 2 3   CACAACAAAn  1 n  1 2 n  1 2 3 n 1 ( 1)PAAA (1 2 n ) k k k k n 1 n 2 n 3 n 1 CCCC1 2 3 1 n 1 . 0 nnk n n k n n k n n k   1   Ví dụ 3.3: Cĩ n bức thư bỏ ngẫu nhiên vào n phong bì cĩ đề sẵn địa chỉ. a)Tính xác suất để cĩ ít nhất 1 bức thư đúng địa chỉ. b) Tính xác suất để chỉ cĩ đúng 1 bức thư đúng địa chỉ c) Tính xác suất để chỉ cĩ đúng m bức thư đúng địa chỉ 16
  17. Bài giải A - Cĩ ít nhất 1 bức đúng. n AA  i i - Bức thứ i đúng i 1 Vì các bức thư cĩ vai trị như nhau nên áp dụng cơng thức cộng xác suất ta cĩ : n n n 1  Ai   A i   AA i j   AAA i j k ( 1) P ( AA1 2 A n ) i 1 i 1 i j i j k 1 2 3   CACAACAAAn  1 n  1 2 n  1 2 3 n 1 (1) PAAA (1 2 n ) n 1 ! n 2 ! n 3 ! n 1! CCCC1 2 3 1 n 1 . nn!!!! n n n n n n n 11 1 1 1 n 1 1 1 . 1 1 . n! 2 ! 3 ! 4 ! n ! 17
  18. Bn -Khơng cĩ bức nào đúng địa chỉ trong n bức thư Cn -Chỉ cĩ đúng 1 bức đúng địa chỉ trong n bức thư 1 1 1n 1 BA PBPA( ) 1 ( ) 1 . n n 2! 3! 4!n ! P( Cn ) n . P ( A1 ). P ( B n 1 ) 1 1 1n 1 1 1 . 2! 3! 4! (n 1)! Cn, m -Chỉ cĩ đúng m bức đúng địa chỉ trong n bức thư 1 m PAAAPCCPAAAPB(1 2 m ) m ( n , m ) n . ( 1 2 m ). ( n m ) An n m k 1 1 1 1n m 1 1 ( 1) 1 .  m! 2! 3! 4! ( n m )! m !k 0 k ! 18
  19. 2. Định lý nhân xác suất • Định nghĩa 3.2: Xác suất của biến cố B khi biết rằng biến cố A đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A và kí hiệu là P(B/A). • Chú ý: biến cố A cĩ thể xảy ra trước, đồng thời hoặc sau B • Ngơn ngữ biểu diễn: P(B/A) = xác suất B biết (nếu)A hoặc Cho A tính xác suất B. • Định lý 3.2: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)  12. n  121312 . /  . /   n /  121  n     ./    • Hệ quả:  /      19
  20. • Định nghĩa 3.3: Hai biến cố A,B được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất của biến cố này khơng phụ thuộc vào việc biến cố kia đã xảy ra hay chưa trong 1 phép thử. • Định nghĩa 3.4: Một hệ các biến cố được gọi là độc lập tồn phần nếu mỗi biến cố của hệ độc lập với 1 tổ hợp bất kỳ của các biến cố cịn lại. • Định lý 3.3: A, B độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B) • Định lý 3.4: Giả sử  i , i 1, n là độc lập tồn phần. Khi ấy ta cĩ: n n 1 . ( A i )    i i 1 i 1 n n 2 . ( A i ) 1    i i 1 i 1 Chú ý: Trong trường hợp độc lập khơng nên dùng cơng thức cộng xác suất mà nên dùng cơng thức nhân xác suất. 20
  21. • Ví dụ 3.3: 1 mạng gồm n chi tiết mắc nối tiếp.Xác suất hỏng của chi tiết thứ i là P i . Tính xác suất để mạng hỏng. • Giải:  i - biến cố chi tiết thứ i hỏng n A - biến cố mạng hỏng   i i 1 • Vậy xác suất để mạng hỏng là: n n    i 1   i 1 1 1 1  2 1  n  i 1 i 1 • Chú ý : PA( ) 1 1 1  2 1 n 21
  22. Ví dụ 3.4: Tung 3 con xúc xắc cân đối,đồng chất. Tính xác suất để: 1. Tổng số chấm bằng 9 biết cĩ ít nhất 1 mặt 1 chấm 2. Cĩ ít nhất một mặt 1 chấm biết số chấm khác nhau từng đơi một. • Giải: 1. Gọi A là cĩ ít nhất 1 mặt 1 chấm. B là tổng số chấm bằng 9 C là các số chấm khác nhau từng đơi một 63 5 3 3   3   6 15 6 15  /.  3 3 3 1 5   6 6 5 91    6 3 22
  23. • Số cách để cĩ ít nhất một mặt 1 chấm và tổng bằng 9: • 1+2+6 suy ra cĩ 3! cách • 1+3+5 suy ra cĩ 3! cách • 1+4+4 suy ra cĩ 3 cách Suy ra cĩ 15 cách để cĩ ít nhất một mặt 1 chấm và tổng bằng 9 2. 6.5.4 C 3 P( AC ) 1 6  / C 3.5.4 PC( ) 2  C 6 3 23
  24. Ví dụ 3.5: Từ 1 hộp cĩ 10 bi trắng , 6 bi đen ,người ta lấy lần lượt khơng hồn lại từng bi cho đến khi được 5 bi đen thì dừng lại.Tính xác suất để lần thứ 3 lấy được bi trắng nếu biết rằng đã dừng lại ở lần thứ 9. Giải: Gọi A là dừng lại ở lần thứ 9, B là lần thứ 3 lấy được bi trắng m: 4 T 4Đ Đ A mAB :3 T 4Đ  4 mAB C7 PBA(/) 4 mA C8 24
  25. 3. Cơng thức xác suất đầy đủ và cơng thức Bayes: • Định nghĩa 3.5: Hệ H i , i 1, n được gọi là hệ đầy đủ, nếu trong mỗi phép thử nhất định 1 và chỉ 1 trong các biến cố Hi xảy ra. • Định lý 3.4: Giả sử H i , i 1, n là hệ đầy đủ. Ta cĩ: n n (cơng thức đầy đủ).  A  P( AHi )  P ( H i ). P ( A / H i ) i 1 i 1  HHH  ./    H /  i i i , i 1, n (cơng thức Bayess) i     25
  26. Chú ý: n 1.  ///    HHi    i  i 1   2.  /    Với: n     HHi   / i i 1 26
  27. Ví dụ 3.5: Cĩ 2 hộp bi cùng cỡ, hộp 1 chứa 4 bi trắng và 6 bi xanh, hộp 2 chứa 5 bi trắng và 7 bi xanh.Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ hộp đĩ lấy ngẫu nhiên1 bi thì được bi trắng. Tìm xác suất để viên bi tiếp theo, cũng lấy từ hộp trên ra là bi trắng. Giải:. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp: H1 lấy được hộp 1 H2 lấy được hộp 2  HH1  2 1/2 Hộp 1: 4t + 6x , Hộp 2: 5t + 7x A- biến cố lấy được bi trắng ở lần 1  /  B- biến cố lấy được bi trắng ở lần 2 27
  28. Cách 1:    HHHH1  // 1  2   2 1 4 1 5 2 10 2 12 1 4  HH   / .  H /  1 1 2 10 1   PA() 1 5  HH   / .  H /  2 2 2 12 2   PA()  //.//./HHHH      1  1 2  2 3/9 4/11 28
  29.   Cách 2:  /       HHHH1  // 1  2   2 1 4 1 5 2 10 2 12   HHHH1 ././  1  2  2  H1 ./.(/)./.(/)   HPBAH 1 1  H 2   HPBAH 2 2 1 4 3 1 5 4 2 10 9 2 12 11 29
  30. Chú ý • Nếu sau lần 1 đã lấy được bi trắng ta trả bi vào hộp rồi mới lấy tiếp lần 2 thì lời giải thay đổi như sau: 3 4 ; 9 1 0 4 5 1 1 1 2 • P(B)=P(A), trong cả 2 bài tốn. • Nếu câu hỏi là :Giả sử lần 1 đã lấy được bi trắng tính xác suất để bi đĩ lấy được ở hộp 1, thì đáp số là: PHA(/)1 30
  31. Ví dụ 3.6: Cĩ 1 tin tức điện báo tạo thành từ các tín hiệu(.)và (-). Qua thống kê cho biết là do tạp âm, bình quân 2/5 tín hiệu(.) và 1/3 tín hiệu(-) bị méo. Biết rằng tỉ số các tín hiệu chấm và vạch trong tin truyền đi là 5:3. Tính xác suất sao cho nhận đúng tín hiệu truyền đi nếu đã nhận được chấm. 31
  32. • Giải : H1 là biến cố truyền đi chấm, 5 3 PHPH(),() H2 là biến cố truyền đi vạch. 18 2 8 • Gọi A là biến cố nhận được chấm .    HHHH1 .//   1  2   2 5 3 3 1 1 8 5 8 3 2 5 3 .  HH   / 3  H /  1 1 8 5 1   1 4 2 32
  33. 4. Cơng thức Bernoulli: • Định lý 3.5: Giả sử trong mỗi phép thử 1 biến cố A cĩ thể xuất hiện với xác suất p (khi A xuất hiện ta quy ước là thành cơng). Thực hiện n phép thử giống nhau như vậy. Khi ấy xác suất để cĩ đúng k lần thành cơng là : k k n k  n, k , p Cn . p . q , k 0,1, , n (Phân phối nhị thức) Chú ý 1 : từ nay trở đi ta ký hiệu q=1-p Chú ý 2: Thực ra cơng thức cĩ dạng k k n k n k  n, k , p Cn . p . C n k . q , k 0,1, , n Định nghĩa 3.6: Kí hiệu k0 là số sao cho:  n, k0 , p Max  n , k , p , 0 k n Khi ấy k0 được gọi là số lần thành cơng cĩ nhiều khả năng xuất hiện nhất(tức là ứng với xác suất lớn nhất) Định lý 3.6: hoặc k0 n 1 p k0 n 1 p 1 33
  34. k n Chú ý:  n, k ,1/ 2 Cn . 0,5 Ví dụ 3.7: Tung cùng lúc 20 con xúc xắc. 1. Tính xác suất để cĩ đúng 4 mặt lục xuất hiện. 2. Tính số mặt lục cĩ nhiều khả năng xuất hiện nhất. 3. Tính xác suất để cĩ ít nhất 1 mặt lục. 4. Tính số con súc sắc ít nhất cần tung để xác suất được ít nhất 1 mặt lục khơng nhỏ hơn 0,99. 4 4 16 Giải: 1)  20,4,1/ 6 C20 1/ 6 . 5 / 6 2) k0 20 1 / 6 3  k 0 2 3)P 1 (5 / 6)20 0,9739 4)1 (5 / 6)n 0,99 (5 / 6) n 0,01 n 26 34
  35. Ví dụ 3.8:Trong 1 hộp cĩ N bi trong đĩ cĩ M bi trắng cịn lại là đen. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng bi cĩ hồn lại ra n bi. Khi ấy xác suất để lấy được đúng k bi trắng được tính bằng cơng thức Bernoulli nĩi trên với p = M/N (phân phối nhị thức) : k n k MMM k n k  n, k , Cn . C n k . 1 , k 0,1, , n NNN Ví dụ 3.9:Trong 1 hộp cĩ N bi trong đĩ cĩ M bi trắng cịn lại là đen. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng bi khơng hồn lại ra n bi. Khi ấy xác suất để lấy được đúng k bi trắng là CCk n k MNM. (Phân phối siêu bội)  n ,k 0, n C N Chú ý: Ở đây N-M là số bi khơng trắng. • Chú ý: Lấy bi : + Khơng hồn lại là siêu bội + Cĩ hồn lại là nhị thức. 35