›
›

Bài giảng Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên

pdf 50 trang huongle 3950
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_luong_ngau_nhien_vecto_ngau_nhien.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên

  1. Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên §1: Đại lượng ngẫu nhiên • Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng cĩ thể ngẫu nhiên nhận một số giá trị với các xác suất tương ứng xác định. • Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nĩ là hữu hạn hoặc vơ hạn đếm được • Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá trị cĩ thể cĩ của nĩ lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số. 1
  2. §2: Các phương pháp mơ tả đại lượng ngẫu nhiên 1. Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc) Định nghĩa 2.1:   x i p i , i 1,2,3, k ( ) vơ hạn X x1 x 2 x 3 ( ) x k Chú ý:  p i 1 i P p1 p 2 p 3 ( ) p k Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì dừng. a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X là số đạn đã bắn ra cho đến khi dừng lại. b)Tính xác suất để X > n-1. c)Tính xác suất để X= m nếu X> n-1, m > n . X1 2 3 k a ) P p q p q2 p qk 1 p 2
  3. b) P ( X n 1) P ( X n ) qn 1 P(). X m qm 1 p c)(/). P X m X n qm n p P() X n qn 1 Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì dừng hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X là số đạn đã bắn ra cho đến khi dừng lại.Tính xác suất để X= m nếu X> n-1, 20>m > n . X 1 2 3 1 9 2 0 P p q p q2 p q 1 8 p q 1 9 P(). X m qm 1 p P(/). X m X n qm n p P() X n qn 1 3
  4. 2. Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục): • Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X là: FX () x F x  X x Tính chất: 1.F(x) là hàm khơng giảm các t/c đặc trưng 2. F 0, F 1 3.  a X b FX b FX a Hệ quả 1: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì F X x liên tục trên tồn trục số • Hệ quả 2: Nếu X liên tục thì  X x0 0,x0 Chú ý: Trong trường hợp liên tục sự thay đổi tại 1 điểm khơng cĩ ý nghĩa 4
  5. • Hệ quả 3: Giả sử X rời rạc và cĩ bảng phân phối xác suất như trên.Khi ấy FX x  p i xi x • Ví dụ 2.3: 0 khi x 2 X2 x 5 7 0,1 khi 2 <x 5 FX x P 0,1 | 0,5 0,4 0,6 khi 5<x 7 1 khi 7 < x Chú ý: Hàm phân phối FX x 0 bên trái miền giá trị của X và bên phải miền giá trị của X. FX x 1 5
  6. 3.Hàm mật độ xác suất ( chỉ dùng cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục) • Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X liên tục là: / f x f x F x XX x x • Định lý 2.1: F x f t dt XX • Tính chất: 1 f ( x ) 0   -tính chất đặc trưng 2 f ( x ) dx 1  b (3)P ( a X b ) f ( x ). dx X a 6
  7. Chú ý: Hàm mật độ f X x 0 bên ngồi miền giá trị của X. • Ví dụ 2.4: 2 acos x , x  0, / 2 X~ f ( x ) 0,x  0, / 2 • 1.Xác định a • /2 a /2 1 f ( x ) dx a cos2 xdx 1 cos2 x dx 0 2 0 a sin2 x /2 a 4 x . a 2 2 0 2 2 7
  8. 2. Hãy tìm hàm phân phối FX x 0 , nếu x 0 x x 4 2 sin2x Fxftdt cos2 tdt x , nếu 0 x X 0 2 2 1 , nếu x / 2 3. Hãy tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng: / 4, / 4  / 4 XFF / 4 / 4 / 4 /4 /4  /4 X /4 f x dx (4/)cos 2 xdx /4 0 8
  9. Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bĩng rổ lần lượt ném bĩng vào rổ cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thơi. a)Lập dãy phân phối của số lần ném của mỗi người và tổng số bĩng của cả 2 người nếu xác suất lọt rổ của người thứ nhất, thứ hai là p1, p 2. b)Tính xác suất để người thứ 2 ném lọt rổ trước. Giải: q1 1 p 1 , q 2 1 p 2 • X là số bĩng của người thứ 1 • Y là số bĩng của người thứ 2 • Z là tổng số bĩng của cả 2 người. • A là biến cố người thứ 2 ném lọt rổ trước. 9
  10. X1 2 k k 1 k 1 Ppqp112 1 qqqqpqp 1212112 ( ) qq 12 pqp 112 Y0 1 2 k Ppqpqp q1 qq qq qqk 1 k 1 11221 1 21 12 12 Z2 k 1 2 k k 1 k 1 k k 1 , k=1,2, ,n, P q1 q 2 p 1 q 1 q 2 p 2 k k 1 k 1 1 PA( )  PZ ( 2 k )  qqpqp1 2 2 1 2  ( qq 1 2 ) qp 1 2 k 1 k 1 k 1 1 q1 q 2 10
  11. §3: Véc tơ ngẫu nhiên I. Vectơ ngẫu nhiên Giả sử XXX 1 , 2 , , n là các đại lượng ngẫu nhiên được xác định bởi kết quả của cùng 1 phép thử. Khi ấy XXXX (1 , 2 , ,n ) được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều II. Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y). 1. Bảng phân phối xác suất đồng thời:   xi, Y y j p ij , i 1, k ; j 1, h 11
  12. Y X y1 y 2 y h x1 p 1 1 p 1 2 p 1 h x2 p 2 1 p 2 2 p 2 h xk p k1 p k 2 p kh 12
  13. 2. Bảng phân phối xác suất lề của X và Y h pi   x i  pij , i 1, k j 1 k qj  Y y j  pij , j 1, h i 1 3. Điều kiện độc lập của X và Y X và Y độc lập i,:. j pij p i q j 4. Các bảng phân phối xác suất cĩ điều kiện. p i j (X xi / Y y j ) , i 1 , k q j p i j (Y yj / X x i ) , j 1 , h p i 13
  14. y Y y1 y2 yh Px X x1 P11 P12 P1h P1 x2 P21 P22 P2h P2 x xk Pk1 Pk2 Pkh Pk PY q1 q2 qh 1 14
  15. 5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục) Định nghĩa 3.1: F x,, y  X x Y y Tính chất: (1) F x , y là một hàm khơng giảm theo từng biến (2) FF( , ) 0, ( , ) 1 (3)(,)(,)(,)(,)(,)a X bcY d Fac Fbd Fad Fbc Hệ quả:(1)Nếu X,Y liên tục thì F(x,y) liên tục trên tồn bộ mặt phẳng và xác suất trên một đường cong bất kỳ đều bằng 0. (2)Giả sử X,Y rời rạc và cĩ bảng phân phối xác suất như trên, khi ấy ta cĩ: F(,) x y  p i j xi x yj y 15
  16. y d c a b x 16
  17. Ví dụ 3.1: Giả sử X,Y cĩ bảng phân phối xác suất sau: Y 3 5 X 0 0,1 0,2 2 0,3 0,4 17
  18. y Y 3 5  X X x 0 0,1 0,2 0,3 2 0,3 0,4 0,7 Y 0,4 0,6 1 18
  19. X 0 2 (1)Tìm bảng phân phối xác suất lề của X: P 0 , 3 0 , 7 (2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y 0,1 0,3.0,4 XY , là phụ thuộc (3)Tìm bảng phân phối của X khi Y=5: X 0 2 0 , 2 0 , 4 P XY| 5 0 , 6 0 , 6 (4)Tìm hàm phân phối: 0, x 0  y 3 0.1, 0 x 2,3 y 5 F x, y 0.1 0.2, 0 x 2,5 y 0.1 0.3, 2 x ,3 y 5 1, 2 x ,5 y 19
  20. III. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y) 1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y) 2.Hàm mật độ xác suất đồng thời: Định nghĩa 3.2:  2 F x, y f x, y x  y Định lý 3.2: x y F x, y f u , v dud v  Dxy 20
  21. HÌNH 3.1 21
  22. Tính chất: (1)f x , y 0  ( 2 ) f ( x , y ) d x d y 1  TCDT 2 R  (3)  X,, Y D f x y dxdy D 3. Các hàm mật độ xác suất lề. f x f x, y d y X f y f x, y d x Y 22
  23. .Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề: FX x F x , FY y F , y 4.Điều kiện độc lập của X và Y X,Y độc lập f x,. y fXY x f y F x,. y FXY x F y 5.Các hàm mật độ xác suất cĩ điều kiện: f x, y f() x 0 X/ Y y 0 fY y 0 f x, y f() y 0 Y/ X x 0 fX x 0 23
  24. Ví dụ 3.2: Cho     x y f x, y a. e , nếu 0 x y <+ 0 , nếu trái lại. 1.Xác định tham số a. 1 fxydxdy , a dx e x y dy 0 x R 2 a a e 2 x d x a 2 0 2 24
  25. (2).Tìm các hàm mật độ xác suất lề. f x f x, y dy X 0 , nếu x 0 ; (hình 3.2) 2e x y dy 2 e 2 x , nếu x 0 x f y f x, y dx Y 25
  26. HÌNH 3.2 x 26
  27. HÌNH 3.3 y 0 27
  28. f y f x, y dx Y 0 , nếu y < 0 y (hình 3.3) 2e x y dx 2 e y e 2 y ,nếu y 0 0 3.Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y Vậy ta cĩ: f x ,. y f XY x f y X,Y phụ thuộc 4.Hãy tìm hàm mật độ xác suất của X khi Y=2 (HÌNH 3.4) 0,x 0  2 x f x, 2 f() x 2e x 2 XY/ 2 , 0 x 2 fY 2 2 4 2 e e 28
  29. HÌNH 3.4 29
  30. Tương tự tìm hàm mật độ xác suất của Y khi X=3 (HÌNH 3.5) 0 ,khi y < 3 f3, y 3 y fYX/ 3 () y 2e f 3 X 6 ,khi 3 y . 2e 30
  31. HÌNH 3.5 31
  32. 5.Hãy tìm hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)(HÌNH 3.6-3.8) x y F x, y f u , v d u d v 2e u v d u d v D x y   0 ,nếu x<0 hoặc y<0 y y u v ,nếu 0 y x d u2 e d v 0 u x y d u2 e u v d v ,nếu 0 x y 0 u 32
  33. HÌNH 3.6 33
  34. HÌNH 3.7 34
  35. HÌNH 3.8 35
  36. 6.Tính các xác suất:    2 Y  2 f x , y dxdy D 1 D 1 2e x y dxdy D1 B  2 X 1, 2 Y 2 f x , y dxdy        D 2 D 2  AB P(-2<X<1 / -2<Y<2) = P(B/A) =  A 1 .P(-2<X<1 / Y=2)= f x dx 2 XY/ 2 36
  37. $4.Hàm của một đại lượng ngẩu nhiên YX 1.Trường hợp rời rạc. Giả sử:  X xi p i  Y y j  p i xi y j Ví dụ 4.1 : Tìm bảng phân phối xác suất của YX 2 ,nếu X 2 1 0 1 2 P 0,1 0,2 0,1 0,2 0,4 Giải: Ta suy ra : X 2 0 1 4 P 0,1 0,2 0,2 0,1 0,4 37
  38. Ví dụ 4.2: Cho X1 2 3 k P p q p q2 p qk 1 p • Hãy lập bảng phân phối xác suất của hàm Y cos X YX cos 1 1 P p01 p 0 cos X 1 X k 2 n 1, n 0,1,2, 2 n 1 1 p0  p. q p 2 n 0 1 q 1 q 38
  39. 2. Trường hợp liên tục: Gỉa sử cho X liên tục X~ fXXYY x , F x F y , f y ? Bước 1. Tìm miền giá trị của YX Bước 2. FY y  Y y  X y f x dx X x y Bước 3. dF y f() y Y Y dy 39
  40. Định nghĩa 4.1: đại lượng ngẫu nhiên X gọi là cĩ phân phối đều trên đoạn  a , b  ,kí hiệu X~U a , b  ,nếu 1 ,,x  a b  fX x b a 0 ,x  a , b  0 , x a x a FX x , a x b b a 1, b x Chú ý : Nếu X cĩ phân phối đều thì YX  cũng cĩ phân phối đều, với ,  là các hằng số. 40
  41. Ví dụ 4.3 : Cho X cĩ phân phối đều trên đoạn [0,1] . (1) Tìm hàm mật độ của Y= - lnX (2)Tìm hàm mật độ của Z= - 3X+2 Bài giải: (1) B1: Y= - lnX > 0 B2: y FY (y) P(Y y) P( ln X y) P(X e ) y y 1 P X e 1 FX x , x e Vì X cĩ phân phối đều trên đoạn [0,1] nên 0 ,x 0 FX x x, 0 x 1 1,x 1 y x FXY()() x F y 41
  42. y y 0 x e 1 FX x 1 y y y 0 0 x e 1 FX x x e 0,y 0 F() y Y y 1 e , y 0 0,y 0 f y • B3: Y y e, y 0 • (2) Miền giá trị của Z là đoạn [-1,2] .Theo chú ý ở trên thì Z cĩ phân phối đều trên đoạn [-1,2] nên 0,z 1  2 z fZ () z 1/ 3, 1 z 2 42
  43. $4. Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên ZXY (,) 1. Trường hợp rời rạc. Giả sử: (,)X xi Y y j pij  Z z k  p ij Ví dụ 4.1: Cho X,Y cĩ bảng xi, y j z k Y 3 5 X 0 0,1 0,2 2 0,3 0,4 Tìm bảng phân phối xác suất của X+Y và X.Y Giải: XY 3 5 7 P 0,1 0,2 0,3 0,4 43
  44. XY. 0 6 10 P 0,1 0,2 0.3 0,4 Ví dụ 4.2: Cho X,Y cĩ các bảng lề sau. Tính X+Y. X 0 2 Y 3 5 P 0 , 3 0 , 7 P 0 , 4 0 , 6 Giải: Phép tính này khơng thể thực hiện được ! Tuy nhiên nếu thêm điều kiện X,Y độc lập thì ta sẽ cĩ : XY 3 5 7 P 0,12 0,46 0,42 2.Trường hợp liên tục: Bước 1: Tìm miền giá trị của ZXY , 44
  45. Bước 2 FZ z  Z z  X, Y z f x, y dxdy Dz :, x y z d F() z Bước 3. f() z Z Z d z Ví dụ 4.2: Cho       1 ,nếu 0 x 1, 0 y 1 f(,) x y 0 ,nếu trái lại. Tìm hàm phân phối của Z=X+Y 45
  46. Giải: Bước 1: 0 ZXY 2 Bước 2: FZ z  Z z  X Y z f xydxdy, 1 dxdy Dz: x y z D z   0,z 0 z2 / 2,0 z 1( hình 4.1) = diện tích D   2 z 2 z 1 ,1 z 2( hình 4.2) 2 1,2 z 46
  47. • HÌNH 4.1 47
  48. • HÌNH 4.2 48
  49. Ví dụ 4.3: Cho X,Y độc lập và cĩ cùng hàm phân phối 0,khi x 0 F() x x 1 e , khi x 0 1) Tìm hàm phân phối của Z= max (X,Y) Giải: 1)FZ ( z ) P ( Z z ) P (max( X , Y ) z ) PX( zY . z ) PX ( zPY ). ( z ) 0,khi z 0 FXY( z ). F ( z ) z 2 (1 e ) , khi z 0 49
  50. Ví dụ 4.3: Cho X,Y độc lập và cĩ cùng hàm phân phối 0,khi x 0 F() x x 1 e , khi x 0 2) Tìm hàm phân phối của Z= min (X,Y) Giải: 2)FZ ( z ) P ( Z z ) P (min( X , Y ) z ) PXzYz( ) 1 [1 PXz ( )].[1 PYz ( )] 0,khi z 0 [1 FXY ( z )].[1 F ( z )] z 2 1 (e ) , khi z 0 50