Bài giảng Đại số sơ cấp - Hoàng Huy Sơn

115 trang huongle 3770

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số sơ cấp - Hoàng Huy Sơn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_dai_so_so_cap_hoang_huy_son.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số sơ cấp - Hoàng Huy Sơn

HỘI NHỮNG NGƯỜI YÊU THÍCH TOÁN HỌC VIETMATHS.NET ĐẠI SỐ SƠ C ẤP Giáo trình đào tạo giáo viên trung học hệ Đại học, Cao đẳng sư phạm ( Tái bản lần thứ 10) HOÀNG HUY SƠN Bấm nút Like hoặc G+1 để ủng hộ chúng tôi. Chân thành cám ơn. Website: Facebook: GooglePlus:
LỜI NÓI ĐẦ U Tài li ệu “Đại s ố s ơ c ấp” được vi ết nh ằm ph ục v ụ sinh viên chuyên ngành S ư ph ạm Toán. Nội dung c ủa tài li ệu đề c ập đế n các v ấn đề : Hàm s ố và đồ th ị; Ph ươ ng trình và h ệ ph ươ ng trình; B ất đẳ ng th ức và b ất ph ươ ng trình. Một s ố nội dung đề c ập trong tài li ệu, sinh viên đã được h ọc sơ l ược trong ch ươ ng trình Toán ph ổ thông. Tuy nhiên, để tr ở thành th ầy giáo d ạy t ốt môn Toán khi ra tr ường, đòi h ỏi sinh viên ph ải n ắm v ững lý thuy ết và hoàn thi ện các ph ươ ng pháp gi ải toán s ơ c ấp. Xu ất phát t ừ yêu c ầu trên, chúng tôi c ố g ắng trình bày t ươ ng đối có h ệ th ống v ề c ơ s ở lý thuy ết c ủa các khái ni ệm: Hàm s ố; Ph ươ ng trình; B ất đẳ ng th ức; B ất ph ươ ng trình; H ệ ph ươ ng trình. Các n ội dung chi ếm m ột ph ần quan tr ọng trong ch ươ ng trình Toán ph ổ thông nh ư: Phươ ng trình, b ất ph ươ ng trình vô t ỉ; Phươ ng trình, b ất ph ươ ng trình m ũ và logarit; Phươ ng trình l ượng giác, chúng tôi trình bày thành các ch ươ ng riêng để sinh viên d ễ nghiên c ứu. Tài li ệu được trình bày thành 6 ch ươ ng: 1. Ch ươ ng 1: Hàm s ố; 2. Ch ươ ng 2: Ph ươ ng trình – H ệ ph ươ ng trình; 3. Ch ươ ng 3: B ất đẳ ng th ức – B ất ph ươ ng trình; 4. Ch ươ ng 4: Ph ươ ng trình, b ất ph ươ ng trình vô t ỉ; 5. Ch ươ ng 5: Ph ươ ng trình, b ất ph ươ ng trình m ũ và logarit; 6. Ch ươ ng 6: Ph ươ ng trình l ượng giác. Một yêu c ầu h ết s ức quan tr ọng trong gi ải toán là: Vi ệc trình bày bài giải ph ải ch ặt ch ẽ và logic. Để rèn cho sinh viên nh ững k ỹ n ăng đó, chúng tôi c ố g ắng đưa vào tài li ệu nhi ều ví d ụ về th ực hành gi ải toán. Các ví d ụ chi ếm m ột kh ối l ượng đáng k ể trong tài li ệu, giúp sinh viên có th ể t ự nghiên c ứu tài li ệu tr ước khi đế n l ớp. Điều này phù h ợp v ới ph ươ ng th ức đào t ạo theo h ệ th ống tín ch ỉ ở tr ường Đạ i h ọc An Giang t ừ n ăm h ọc 2009 – 2010. Cu ối m ỗi ch ươ ng có h ệ th ống bài t ập đã được lựa ch ọn, nhi ều v ề s ố l ượng, đủ các m ức độ t ừ d ễ đế n khó ( đối v ới m ột s ố bài khó, chúng tôi có h ướng d ẫn cách gi ải), yêu c ầu sinh viên tự gi ải để rèn k ỹ n ăng tìm l ời gi ải m ột bài toán. V ới kh ối l ượng quy đị nh là 5 đơ n v ị h ọc trình, tài li ệu không th ể đề c ập h ết t ất c ả các d ạng toán hay g ặp c ủa các n ội dung v ề ph ươ ng trình, bất ph ươ ng trình và h ệ ph ươ ng trình nh ư m ột s ố tài li ệu khác. Chúng tôi mong mu ốn ở sinh viên là t ự t ổng k ết và đúc rút cho mình nh ững k ỹ n ăng gi ải toán thông qua t ự gi ải các bài t ập trong tài li ệu. Cu ối cùng, chúng tôi r ất mong nh ận được các ý ki ến đóng góp quí báu cho n ội dung c ũng nh ư hình th ức trình bày trong tài li ệu của các b ạn đồ ng nghi ệp trong B ộ môn Toán và H ội đồng Khoa h ọc Khoa S ư ph ạm c ũng nh ư các b ạn sinh viên để tài li ệu này có th ể được hoàn ch ỉnh tốt hơn. An Giang, tháng 02 n ăm 2009 Tác gi ả VIETMATHS.NET 2
MỤC L ỤC Trang LỜI NÓI ĐẦ U 1 BẢNG M ỘT S Ố KÍ HI ỆU VÀ CH Ữ VI ẾT T ẮT S Ử D ỤNG TRONG TÀI LI ỆU 4 CH ƯƠ NG I. HÀM S Ố 5 §1. KHÁI NI ỆM HÀM S Ố 5 1. Định ngh ĩa hàm s ố 5 2. Đồ th ị c ủa hàm s ố 6 3. Hàm s ố đơn điệu 6 4. Hàm s ố ch ẵn, hàm s ố l ẻ 8 5. Hàm s ố tu ần hoàn 9 6. Hàm s ố h ợp 10 7. Hàm s ố ng ược 11 8. Hàm s ố s ơ c ấp c ơ b ản 13 §2. M ỘT S Ố PHÉP BI ẾN ĐỔ I ĐỒ TH Ị 18 1. Tr ục đố i x ứng, tâm đố i x ứng c ủa đồ th ị 18 2. Phép đối x ứng qua tr ục t ọa độ 21 3. Phép t ịnh ti ến song song tr ục tung 21 4. Phép t ịnh ti ến song song tr ục hoành 21 5. M ột s ố ví d ụ 22 6. Đồ th ị c ủa m ột s ố hàm s ố ch ứa d ấu giá tr ị tuy ệt đố i 23 §3. GIÁ TR Ị L ỚN NH ẤT VÀ GIÁ TR Ị NH Ỏ NH ẤT C ỦA HÀM S Ố 28 1. Định ngh ĩa 28 2. M ột s ố ph ươ ng pháp tìm giá tr ị l ớn nh ất, giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố 28 3. M ột s ố ví d ụ 29 BÀI T ẬP CH ƯƠ NG I 37 CH ƯƠ NG II. PH ƯƠ NG TRÌNH – H Ệ PH ƯƠ NG TRÌNH 42 §1. CÁC KHÁI NI ỆM C Ơ B ẢN 42 1. Ph ươ ng trình 42 2. H ệ ph ươ ng trình – Tuy ển ph ươ ng trình 45 §2. PH ƯƠ NG TRÌNH B ẬC NH ẤT, B ẬC HAI M ỘT ẨN 46 1. Ph ươ ng trình b ậc nh ất m ột ẩn 46 2. Ph ươ ng trình b ậc hai m ột ẩn 50 3. M ột s ố ph ươ ng trình b ậc bốn có th ể đưa v ề ph ươ ng trình b ậc hai m ột ẩn 55 §3. H Ệ PH ƯƠ NG TRÌNH 59 1. H ệ ph ươ ng trình g ồm m ột ph ươ ng trình b ậc nh ất và m ột ph ươ ng trình b ậc hai 59 2. H ệ ph ươ ng trình đẳng c ấp b ậc hai 61 3. H ệ ph ươ ng trình đối x ứng 63 4. Gi ải m ột s ố h ệ khác 71 BÀI T ẬP CH ƯƠ NG II 78 CH ƯƠ NG III. B ẤT ĐẲ NG TH ỨC – B ẤT PH ƯƠ NG TRÌNH 85 §1. ĐẠI C ƯƠ NG V Ề B ẤT ĐẲ NG TH ỨC 85 1. Định ngh ĩa 85 2. Tính ch ất c ơ b ản c ủa b ất đẳ ng th ức 85 3. M ột s ố b ất đẳ ng th ức quan tr ọng 86 4. Các ph ươ ng pháp ch ứng minh b ất đẳ ng th ức 86 §2. B ẤT PH ƯƠ NG TRÌNH 96 1. Định ngh ĩa 96 2. S ự t ươ ng đươ ng c ủa các b ất ph ươ ng trình 97 3. Ứng d ụng c ủa giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nhỏ nh ất vào vi ệc gi ải ph ươ ng trình và b ất 3
ph ươ ng trình 97 §3. B ẤT PH ƯƠ NG TRÌNH B ẬC NH ẤT, B ẬC HAI M ỘT ẨN 98 1. B ất ph ươ ng trình b ậc nh ất m ột ẩn 98 2. B ất ph ươ ng trình b ậc hai m ột ẩn 101 BÀI T ẬP CH ƯƠ NG III 111 CH ƯƠ NG IV. PH ƯƠ NG TRÌNH, B ẤT PH ƯƠ NG TRÌNH VÔ T Ỉ 116 §1. PH ƯƠ NG TRÌNH VÔ T Ỉ 116 1. Định ngh ĩa và các định lý 116 2. Các ph ươ ng pháp gi ải ph ương trình vô t ỉ 117 §2. B ẤT PH ƯƠ NG TRÌNH VÔ T Ỉ 132 1. Định ngh ĩa và các định lý 132 2. Các ph ươ ng pháp gi ải b ất ph ươ ng trình vô t ỉ 133 BÀI T ẬP CH ƯƠ NG IV 140 CH ƯƠ NG V. PH ƯƠNG TRÌNH, B ẤT PH ƯƠ NG TRÌNH M Ũ VÀ LOGARIT 146 §1. NH ẮC L ẠI KHÁI NI ỆM LOGARIT 146 1. Định ngh ĩa 146 2. Các tính ch ất c ủa logarit 146 §2. PH ƯƠ NG TRÌNH, B ẤT PH ƯƠ NG TRÌNH M Ũ 147 1. Định ngh ĩa 147 2. M ột s ố ph ươ ng pháp gi ải ph ươ ng trình m ũ 147 3. M ột s ố ph ươ ng pháp gi ải b ất ph ươ ng trình m ũ 158 §3. PH ƯƠ NG TRÌNH, B ẤT PH ƯƠ NG TRÌNH LOGARIT 166 1. Định ngh ĩa 166 2. M ột s ố ph ươ ng pháp gi ải ph ươ ng trình logarit 166 3. M ột s ố ph ươ ng pháp giải b ất ph ươ ng trình logarit 177 BÀI T ẬP CH ƯƠ NG V 184 CH ƯƠ NG VI. PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC 192 §1. CÁC CÔNG TH ỨC BI ẾN ĐỔ I L ƯỢNG GIÁC 192 1. Công th ức c ộng 192 2. Công th ức nhân 192 3. Công thức bi ến đổ i tích thành t ổng 193 4. Công thức bi ến đổ i t ổng thành tích 193 §2. PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC C Ơ B ẢN 194 1. Ph ươ ng trình sin x= a 194 2. Ph ươ ng trình cos x= a 195 3. Ph ươ ng trình tan x= a 195 4. Ph ươ ng trình cot x= a 195 §3. M ỘT S Ố PH ƯƠNG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC TH ƯỜNG G ẶP 196 1. Ph ươ ng trình b ậc nh ất, b ậc hai, b ậc cao đối v ới m ột hàm s ố l ượng giác 196 2. Ph ươ ng trình b ậc nh ất đố i v ới sin x và cos x 197 3. Ph ươ ng trình thu ần nh ất b ậc hai đố i v ới sin x và cos x 198 4. Ph ươ ng trình đối x ứng đố i v ới sin x và cos x 200 §4. CÁC PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC KHÁC 202 1. S ử d ụng công th ức h ạ b ậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 202 2. D ạng phân th ức VIETMATHS.NET 208 3. D ạng ch ứa tan x và cot x 209 4. M ột s ố ph ươ ng trình gi ải b ằng ph ươ ng pháp đặc bi ệt 213 5. M ột s ố ph ương trình ch ứa tham s ố 214 BÀI T ẬP CH ƯƠ NG VI 217 TÀI LI ỆU THAM KH ẢO 220 4
BẢNG M ỘT S Ố KÍ HI ỆU VÀ CH Ữ VI ẾT T ẮT S Ử D ỤNG TRONG TÀI LI ỆU ℕ : Tập h ợp các s ố t ự nhiên: {0;1;2; } . ℤ : T ập h ợp các s ố nguyên: { ;− 2; − 1;0;1;2; } . a  ℚ : T ập h ợp các s ố h ữu t ỉ: /,a b∈ℤ , b ≠ 0.  b  ℝ : T ập h ợp các s ố th ực. ℝ* : T ập h ợp các s ố th ực khác không. ℝ+ : T ập h ợp các s ố th ực d ươ ng. n ∑:Phép l ấy t ổng t ừ 1 đế n n. 1 { / } : Tập h ợp. Tf : Tập (mi ền) giá tr ị c ủa hàm s ố f . Max f( x ) : Giá tr ị l ớn nh ất c ủa hàm s ố f trên tập D. x∈ D Min f( x ) : Giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố f trên tập D. x∈ D ∈: Thu ộc. ⊆, ⊂ : Tập con. ∅ : T ập h ợp r ỗng. ∀ : M ọi. ≠: Khác. \: Hi ệu c ủa hai t ập h ợp. ∪ : H ợp c ủa hai t ập h ợp. ∩ :Giao c ủa hai t ập h ợp. n ∪ :Phép l ấy h ợp t ừ 1 đế n n. 1 n ∩ :Phép l ấy giao t ừ 1 đế n n. 1 ∨ : Ho ặc (tuy ển c ủa hai m ệnh đề ). ⇒: Phép kéo theo, ph ươ ng trình h ệ qu ả. ⇔: Phép t ươ ng đươ ng (khi và ch ỉ khi), ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng. Đpcm: K ết thúc ch ứng minh, điều ph ải ch ứng minh. 5
CH ƯƠ NG I. HÀM S Ố §1. KHÁI NI ỆM HÀM S Ố 1. Định ngh ĩa Gi ả s ử X và Y là hai t ập h ợp tùy ý. N ếu có m ột quy tắc f cho t ươ ng ứng m ỗi x∈ X với m ột và ch ỉ m ột y∈ Y thì ta nói r ằng f là m ột hàm t ừ X vào Y, kí hi ệu f: X→ Y x֏ y= fx( ) Nếu X, Y là các t ập h ợp s ố thì f được g ọi là m ột hàm s ố. Trong ch ươ ng này chúng ta ch ỉ xét các hàm s ố th ực c ủa các bi ến s ố th ực, ngh ĩa là X⊆ℝ; Y ⊆ ℝ . X được g ọi là tập xác đị nh (hay là mi ền xác đị nh ) c ủa hàm s ố f . (Ng ười ta hay dùng kí hi ệu tập xác đị nh c ủa hàm s ố là D). S ố th ực x∈ X được g ọi là bi ến s ố độ c l ập (g ọi t ắt là bi ến s ố hay đố i s ố). S ố th ực y= fx( ) ∈ Y được g ọi là giá tr ị c ủa hàm s ố f t ại điểm x. T ập h ợp t ất c ả các giá tr ị f( x ) khi x l ấy m ọi s ố th ực thu ộc t ập h ợp X g ọi là tập giá tr ị (mi ền giá tr ị) c ủa hàm s ố f và được kí hi ệu là Tf , (nh ư v ậy Tf ={ fxxX( ) | ∈} = fX ( )). Hi ển nhiên Tf ⊆ Y . Chú ý r ằng Tf có th ể là m ột t ập h ợp con th ực s ự c ủa Y ho ặc b ằng tập Y. Trong nhi ều tr ường h ợp, ng ười ta cho hàm s ố f d ưới d ạng x֏ f( x ) ho ặc y= f( x ) mà không nêu rõ t ập xác đị nh X và t ập h ợp Y ch ứa t ập các giá tr ị c ủa f . Khi đó, ta hi ểu r ằng Y = ℝ và X là t ập h ợp các s ố th ực x ∈ ℝ sao cho quy t ắc đã cho thì f( x ) t ồn t ại. Ví d ụ 1. Cho hàm s ố y= fx( ) = x 2 + 1. Theo cách hi ểu trên thì Y = ℝ; t ập xác đị nh c ủa f là 2 D = ℝ, t ập các giá tr ị c ủa f là Tf ={ x +1| x ∈ℝ} =[ 1; +∞ ) . 1 Ví d ụ 2. Cho hàm s ố f() x = . Khi đó, t ập xác đị nh D = ℝ \{ 0} , tập giá tr ị là T = ℝ \{ 0} . x f Ví d ụ 3 . Cho hàm s ố f() x=1 − x 2 . Tập xác đị nh D=[ −1;1] , T f = [ 0;1] . Ví d ụ 4. Tìm t ập giá tr ị c ủa các hàm s ố x2 − x + 1 ay.= f() x = 2 ; x+ x + 1 sinx+ 2cos x + 1 by.= f() x = . sinx+ cos x VIETMATHS.NET + 2 Gi ải. x2 − x + 1 a. y = . Hàm s ố có t ập xác đị nh D = ℝ. x2 + x + 1 6
x2 − x + 1 Gi ả s ử y∈ T . Khi đó y = (1) có nghi ệm đố i v ới x . 0 f 0 x2 + x + 1 2 2 2 (1) ⇔yxx0 ( ++=−+⇔ 1) xx 1( y0 − 1) xy +( 0 + 1) xy +−= 0 102.( ) Xét y0−=⇔=10 y 0 1;2( ) ⇔ 20 xx =⇔= 0. Vậy 1∈Tf . Xét y0−≠1 0 ⇔ y 0 ≠ 1. Khi đó, (2) có nghi ệm khi và ch ỉ khi 2 2 1 ()()yy+14 − − 10 ≥⇔− 31030 yy2 + −≥⇔≤≤ y 3. 00 003 0 1 Vậy T = [ ;3]. f 3 b. Tập xác đị nh c ủa hàm s ố đã cho là D = ℝ. C ũng t ươ ng t ự nh ư câu a. y0 thu ộc t ập giá tr ị sinx+ 2cos x + 1 của hàm s ố đã cho khi và ch ỉ khi y = ()1 có nghi ệm đố i v ới x 0 sinx+ cos x + 2 (1) ⇔yxx0 ( sin ++=+ cos 2) sin xx 2cos +⇔− 1( y0 1sin) xy +−( 0 2cos) xy =− 12. 0 (1) có nghi ệm khi và ch ỉ khi 2 2 2 2 ()()()yy00−1 + − 212 ≥− yyy 000 ⇔+−≤⇔−≤≤ 202 y 0 1. Vậy Tf =[ − 2;1] . 2x Ví d ụ 5. Tìm t ập giá tr ị c ủa hàm s ố y= f( x ) = cos . 1+ x2 Tập xác đị nh c ủa hàm s ố là D = ℝ. 2x Đặt t = , xem t là hàm s ố c ủa bi ến x, áp d ụng ph ươ ng pháp đã trình bày ở ví d ụ 4.a. ta 1+ x2 2x được v ới x ∈ℝ thì t ∈[ − 1;1]. Mi ền giá tr ị c ủa hàm s ố y= f( x ) = cos trên t ập xác đị nh 1+ x2 D = ℝ c ũng chính là mi ền giá tr ị c ủa hàm s ố y= cos t v ới t ∈[ − 1;1]. T ừ đó hàm s ố 2x y= f() x = cos có t ập giá tr ị là đoạn [cos1;1 ] . 1+ x2 2. Đồ th ị c ủa hàm s ố Cho hàm s ố y= f( x ) có t ập xác đị nh D, ta g ọi t ập h ợp các điểm ( x; f( x )) v ới ∀x ∈ D là đồ th ị c ủa hàm số y= f( x ). Vi ệc bi ểu di ễn các điểm ( x; f( x )) thu ộc đồ th ị c ủa hàm s ố y= f( x ) lên m ặt ph ẳng t ọa độ Oxy g ọi là v ẽ đồ th ị c ủa hàm s ố. Chú ý r ằng m ột đường (ζ) ( đường cong ho ặc đường th ẳng) trong m ặt ph ẳng t ọa độ ch ỉ có th ể là đồ th ị c ủa m ột hàm s ố nào đó, n ếu nó c ắt m ột đường th ẳng cùng ph ươ ng v ới tr ục Oy tại không quá tại một điểm. 7
3. Hàm s ố đơn điệu 3.1. Định ngh ĩa. Cho hàm s ố y= f( x ) có t ập xác đị nh là t ập D, kho ảng (a; b ) là t ập con c ủa D. Khi đó ta có Hàm s ố y= f( x ) g ọi là đồng bi ến (hay tăng ) trên kho ảng (a; b ) , n ếu với ∀xx12,;, ∈( abxx) 12 fx( 2 ) . Một hàm s ố đồ ng bi ến ho ặc ngh ịch bi ến trên kho ảng (a; b ) thì ta nói hàm s ố đơ n điệu trên kho ảng đó. 3.2. M ột s ố ví d ụ Ví d ụ 1. Hàm s ố y= x 3 đồng bi ến trên toàn b ộ t ập xác đị nh ℝ. 3x + 1 Ví d ụ 2. Hàm s ố y = ngh ịch bi ến trên t ừng kho ảng xác đị nh (−∞;2) ;( 2; +∞ ) . x − 2 Dựa vào định ngh ĩa 3.1, d ễ dàng ch ứng minh được các tính ch ất sau 3.3. Tính ch ất 3.3.1. N ếu hàm s ố y= f( x ) đồng bi ến (ngh ịch bi ến) trên kho ảng (a; b ) , thì hàm s ố y= fx( ) + c ( c là h ằng s ố) c ũng đồ ng bi ến (ngh ịch bi ến) trên kho ảng (a; b ) . 3.3.2. N ếu hàm s ố y= f( x ) đồng bi ến (ngh ịch bi ến) trên kho ảng (a; b ) , thì hàm s ố y= kf( x ) đồng bi ến (ngh ịch bi ến) trên kho ảng (a; b ) n ếu k > 0 ; hàm s ố y= kf( x ) ngh ịch bi ến ( đồ ng bi ến) trên kho ảng (a; b ) n ếu k < 0. 3.3.3. N ếu hàm s ố y= f( x ) và y= g( x ) đồng bi ến (ngh ịch bi ến) trên kho ảng (a; b ) thì hàm s ố y= fx( ) + gx( ) đồng bi ến (ngh ịch bi ến) trên kho ảng (a; b ) . 3.3.4. N ếu hàm s ố y= f( x ) và y= g( x ) không âm trên kho ảng (a; b ) và cùng đồng bi ến (ngh ịch bi ến) trên kho ảng (a; b ) , thì hàm s ố y= fxgx( ). ( ) đồng bi ến (ngh ịch bi ến) trên kho ảng (a; b ) . Chú ý. Đồ th ị c ủa hàm s ố đồ ng bi ến ho ặc ngh ịch bi ến trên kho ảng (a; b ) c ắt đường th ẳng cùng ph ươ ng v ới tr ục Ox nhi ều nh ất t ại m ột điểm. Gi ả s ử hàm s ố y= f( x ) đồng bi ến trên kho ảng (a; b ) ; hàm s ố y= g( x ) ngh ịch bi ến trên kho ảng (a; b ) . Khi đóVIETMATHS.NET trên kho ảng (a ; b ), đồ th ị c ủa các hàm s ố y= f( x ) và y= g( x ) cắt nhau không quá tại một điểm. Áp d ụng. Tìm x th ỏa mãn 5x−2 = 3 − x . Để ý r ằng hàm s ố y= f( x ) = 5x−2 là hàm s ố đồ ng bi ến trên ℝ , còn hàm s ố ygx=( ) =3 − x ngh ịch bi ến trên ℝ . 8
Dễ th ấy x = 2 th ỏa mãn ph ươ ng trình đã cho. V ậy, x = 2 là nghi ệm duy nh ất c ủa ph ươ ng trình. 4. Hàm s ố ch ẵn, hàm s ố l ẻ 4.1. Định ngh ĩa. Cho hàm s ố y= f( x ) có t ập xác đị nh trên D. Hàm s ố f g ọi là hàm s ố ch ẵn n ếu v ới m ọi x∈ D , ta có −x ∈ D và f(− x) = fx( ). Hàm s ố f g ọi là hàm s ố l ẻ n ếu v ới m ọi x∈ D , ta có −x ∈ D và f(− x) = − fx( ). 4.2. M ột s ố ví d ụ Ví d ụ 1. Xét tính ch ẵn, l ẻ c ủa hàm s ố yfx=( ) = x +−−1 1 x . Tập xác đị nh c ủa hàm s ố là [−1;1 ] nên d ễ th ấy ∀x, x ∈ [ − 1;1]⇒ − x ∈ [ − 1;1] và fx()−=11 −− x +=− x( 11 +− x − xfx) =− () . Vậy f là hàm s ố l ẻ. x2 +1 Ví d ụ 2. Xét tính ch ẵn, l ẻ c ủa hàm s ố y= f() x = . x +1 Tập xác đị nh D =ℝ \{ − 1} . Ta có 1∈ D nh ưng −1 ∉ D , nên hàm s ố đã cho không ph ải là hàm s ố ch ẵn c ũng nh ư hàm s ố lẻ. Ví d ụ 3. Xét tính ch ẵn, l ẻ c ủa hàm s ố yfx=() = xx2 +++1 xx 2 −+ 1. Tập xác đị nh D = ℝ, nên ∀xD ∈ ⇒ − xD ∈ . Ta có 2 2 ∀∈xDfx,()()() −=− x +−++− x 1()() x −−+= x 111. xx2 −++ xx 2 ++= fx() Vậy hàm s ố đã cho là hàm s ố ch ẵn. Ví d ụ 4. Xét tính ch ẵn, l ẻ c ủa hàm s ố yfx=( ) = x2 − 4 x . Tập xác đị nh D = ℝ, do đó x∈ D thì −x ∈ D . Nh ưng f(1) =− 3 ; f ( −= 1) 5, nên f(1) ≠ ± f ( − 1) . Vậy, f không ph ải hàm s ố ch ẵn c ũng nh ư hàm s ố l ẻ. 4.3. Đồ th ị c ủa hàm s ố ch ẵn và hàm s ố l ẻ Gi ả s ử hàm s ố y= f( x ) có t ập xác đị nh D là hàm s ố ch ẵn và có đồ th ị là (G). V ới m ỗi điểm M( x0; y 0 ) thu ộc đồ th ị (G), ta xét điểm đố i x ứng v ới nó qua tr ục tung là M'(− x0 ; y 0 ) . Từ đị nh ngh ĩa hàm s ố ch ẵn, ta có −x0 ∈ D và f(− x0) = fx( 0 ). Do đó MGyfx∈⇔=0( 0) ⇔=−⇔∈ yfx 0( 0 ) M'( G ) . Điều đó ch ứng t ỏ (G) có tr ục đố i x ứng là tr ục tung. 9
Nếu f là hàm s ố l ẻ thì lí lu ận t ươ ng t ự, ta c ũng được (G) có tâm đối x ứng là g ốc t ọa độ O. 5. Hàm s ố tu ần hoàn 5.1. Định ngh ĩa. Hàm s ố y= f( x ) có t ập xác đị nh D được gọi là hàm s ố tu ần hoàn n ếu tồn t ại m ột s ố d ươ ng T sao cho v ới m ọi x∈ D ta có ix) + T ∈ D và x− T ∈ D ; iifx)( ± T) = fx( ) . Số nh ỏ nh ất (n ếu có) trong các s ố T có các tính ch ất trên g ọi là chu k ỳ c ủa hàm s ố tu ần hoàn f( x ). 5.2. M ột s ố ví d ụ Ví d ụ 1. Các hàm s ố l ượng giác y=cos xy ; = sin x là các hàm s ố tu ần hoàn có chu k ỳ T =2 π . Các hàm s ố l ượng giác y=tan xy ; = cot x là các hàm s ố tu ần hoàn có chu k ỳ T = π . Ví d ụ 2. Ch ứng minh các hàm s ố sau đây không ph ải là hàm s ố tu ần hoàn yfx=( ) = x4 + 2 x 3 ; ygx=() =2 x − 3 ; x3 y= h() x = . x2 − 4 Gi ải. x = 0 + Xét fx() =0 ⇔ x4 + 2 x 3 = 0 ⇔  x = − 2 Nếu hàm s ố y= fx( ) = x4 + 2 x 3 là hàm s ố tu ần hoàn thì t ồn t ại s ố T > 0 sao cho f(0+ T) = f ( 0) = 0, suy ra T > 0 là nghi ệm c ủa f( x ), vô lý. V ậy, hàm s ố f( x ) không ph ải là hàm s ố tu ần hoàn. + Hàm s ố ygx=() = 2 x − 3 cũng không ph ải là hàm s ố tu ần hoàn, l ập lu ận gi ống nh ư đối với hàm s ố f( x ). x3 + Hàm s ố y= h( x ) = có t ập xác đị nh D =ℝ \{ − 2;2} . Gi ả s ử hàm s ố h( x ) là hàm s ố x2 − 4 tu ần hoàn thì tồn t ại s ố th ực d ươ ng T sao cho v ới ∀x ∈ D⇒ xT± ∈ D . Do D =ℝ \{ − 2;2} , nên 2 +T thu ộc D suy ra 2(2= +T ) −∈ T D , vô lý. V ậy hàm s ố h( x ) không ph ải là hàm s ố tu ần hoàn. Chú ý. Chúng ta có m ột s ốVIETMATHS.NET d ấu hi ệu để nh ận bi ết một hàm s ố đã cho không ph ải là một hàm s ố tu ần hoàn, ch ẳng h ạn ta có hai d ấu hi ệu sau. + Nếu một hàm s ố có t ập xác đị nh d ạng D= ℝ \ A , v ới A là một tập hợp hữu h ạn thì hàm s ố đó không ph ải là một hàm s ố tu ần hoàn. + N ếu ph ươ ng trình f( x) = k có nghi ệm, nh ưng s ố nghi ệm là m ột s ố h ữu h ạn, thì hàm s ố 10
y= f( x ) không ph ải là một hàm số tu ần hoàn. Ví d ụ 3. Cho hàm s ố  π 0 ,x= +π k ; k ∈ ℤ  2 y= f() x =  1 π  ,x≠ +π k ; k ∈ ℤ 2+ tan2 x 2 Ch ứng minh r ằng hàm s ố y= gx( ) = fx( ) + fax( ) là hàm s ố tu ần hoàn, khi và ch ỉ khi a là một s ố h ữu t ỉ. Gi ải. Dễ dàng ch ứng minh được f( x ) là hàm s ố tu ần hoàn. p Điều ki ện đủ . N ếu a là s ố h ữu t ỉ thì a = v ới p, q∈ℤ , q > 0. Khi đó có s ố d ươ ng T= q π q th ỏa gxq( +π=) fxq( +π+) faxaq( +π=) fx( ) + faxp( +π=) fx( ) + fax( ) = gx( ). Ch ứng minh t ươ ng t ự ta c ũng được gxq( − π) = gx( ). Ch ứng t ỏ hàm s ố g( x ) là hàm s ố tu ần hoàn. 1 1 Điều ki ện c ần. Gi ả s ử a là s ố vô t ỉ. Ta th ấy g()()()0= f 0 + f 0 =+= 1. N ếu t ồn t ại 2 2 1 x ≠ 0 sao cho g( x ) =1 thì fx( ) + fax( ) = 1, nh ưng 0 ≤f() x ≤ v ới m ọi x, nên suy ra 0 0 0 0 2 1 fx()()= fax = . Do đó tanx = 0 và tan(ax ) = 0. 0 0 2 0 0 Vì v ậy x0 = m π và ax0 = n π v ới m, n ∈ℤ . ax 0 nπ n Do x0 ≠ 0 nên a = = = là s ố h ữu t ỉ. x0 mπ m Điều này mâu thu ẫn v ới a là s ố vô t ỉ. Suy ra ph ươ ng trình g( x ) =1 ch ỉ có m ột nghi ệm duy nh ất x = 0, nên g( x ) không ph ải là hàm số tu ần hoàn. Vậy, n ếu g( x ) là hàm s ố tu ần hoàn thì a ph ải là s ố vô t ỉ. 6. Hàm s ố h ợp 6.1. Định ngh ĩa. Cho hàm s ố y= f( x ) xác định trên t ập D1 và y= g( x ) xác định trên D2 . Khi đó ta g ọi hàm s ố h ợp c ủa hai hàm s ố f và g kí hi ệu g f được xác đị nh   y=( gf )( x) = gfx( )  xác định trên t ập D={ xDfx ∈1|( ) ∈ D 2 } . 6.2. Ví d ụ x +1 Cho các hàm s ố yfx=( ) = lg x ; y= g( x ) = . x −1 Xác định các hàm số hợp f g và g f . 11
lgx + 1 Gi ải. Ta có ()()()gfx = gfx  = g[]lg x = . lgx − 1 Hàm số này xác định trên t ập (0;+∞ ) \{10}. x+1   x + 1  ()()()fgx = fgx  = f   = lg  . x−1   x − 1  Hàm số này xác định trên t ập (−∞; − 1) ∪( 1; +∞ ) . Ví d ụ này cho th ấy gf≠ f g . 7. Hàm s ố ng ược 7.1. Định ngh ĩa. Cho hàm s ố f: X→ Y x֏ y= fx() nếu v ới m ỗi giá tr ị y∈ Tf = fX( ), có m ột và ch ỉ m ột x∈ X sao cho f( x) = y , t ức là ph ươ ng trình f( x) = y v ới ẩn x có nghi ệm duy nh ất, thì b ằng cách cho t ươ ng ứng v ới m ỗi y∈ f( X ) ph ần t ử duy nh ất x∈ X , ta xác định được hàm s ố g: fX( ) → X y֏ xgy= () ( x th ỏa mãn f( x) = y ). Hàm s ố g xác định nh ư v ậy được g ọi là hàm s ố ng ược c ủa hàm s ố f . Theo thông l ệ, ng ười ta th ường kí hi ệu đố i s ố là x và hàm s ố là y. Khi đó hàm s ố ng ược c ủa hàm s ố y= f( x ) s ẽ được vi ết l ại là y= g( x ). Gi ả s ử hàm s ố y= f( x ) có hàm s ố ng ược, để tìm hàm s ố ng ược c ủa hàm s ố y= f( x ) ta gi ải ph ươ ng trình f( x) = y ẩn x, ph ươ ng trình này có nghi ệm duy nh ất x= g( y ), đổi kí hi ệu theo cách vi ết thông th ường ta được hàm s ố ng ược y= g( x ). Chú ý. Ng ười ta th ường kí hi ệu hàm s ố ng ược c ủa hàm s ố y= f( x ) là y= f−1 ( x ). 7.2. Ví d ụ Cho hàm s ố y= x2 − 2 x trên t ập xác đị nh [1;+∞ ) . Tìm hàm s ố ng ược. Gi ải. 2 Trên t ập xác đị nh [1;+∞VIETMATHS.NET ) ph ươ ng trình x−2 x = y có nghi ệm duy nh ất x=1 + 1 + y . Vậy hàm s ố ng ược c ần tìm là y=1 + 1 + x . Chú ý. Từ đị nh ngh ĩa c ủa hàm s ố ng ược, suy ra r ằng: T ập xác đị nh c ủa hàm s ố ng ược y= f−1 ( x ) là t ập giá tr ị c ủa hàm s ố y= f( x ), t ập giá tr ị c ủa hàm s ố ng ược là t ập xác đị nh c ủa hàm s ố 12
y= f( x ). Dĩ nhiên hàm s ố y= f( x ) l ại là hàm s ố ng ược c ủa hàm s ố y= f−1 ( x ). Vì v ậy ta nói hai hàm s ố y= f( x ) và y= f−1 ( x ) là hai hàm s ố ng ược nhau. 7.3. Điều ki ện đủ để hàm s ố có hàm s ố ng ược 7.3.1. Định lý. M ọi hàm s ố đồ ng bi ến (hay ngh ịch bi ến) trên t ập xác đị nh c ủa nó đề u có hàm s ố ng ược. Ch ứng minh. Gi ả s ử hàm s ố y= f( x ) đồng bi ến trên t ập xác định D, v ới m ỗi y∈ f( D ) có ít nh ất x∈ D sao cho f( x) = y . Ta ch ứng minh r ằng x là duy nh ất. Th ật v ậy, gi ả s ử còn có x ' ( x'≠ xx , < x ' ch ẳng h ạn) sao cho y= f( x ') , th ế thì x< x ' s ẽ kéo theo fx( ) < fx( ') vì hàm s ố đồ ng bi ến, do đó fx( ) ≠ fx( ') ; điều này mâu thu ẫn v ới fx( ) = y = fx( ') . V ậy theo định ngh ĩa, hàm s ố y= f( x ) có hàm s ố ng ược. Ch ứng minh t ươ ng t ự trong tr ường h ợp hàm s ố ngh ịch bi ến. 7.4. Đồ th ị c ủa hàm s ố ng ược 7.4.1. Định lý. Trong h ệ tr ục t ọa độ Đề Các vuông góc Oxy , đồ th ị c ủa hai hàm s ố ng ược nhau y= f( x ) và y= f−1 ( x ) đối x ứng nhau qua đường phân giác th ứ nh ất y= x . Ch ứng minh. Gi ả s ử hàm s ố y= f( x ) có t ập xác đị nh là D và t ập giá tr ị là Tf = f( D ), khi đó hàm s ố ng ược có t ập xác đị nh là f( D ) và t ập giá tr ị là D . Gọi M( a; b ) là m ột điểm trên đồ th ị hàm s ố y= f( x ) ta có a∈ Db, = fa( ) ∈ fD( ) . Theo định ngh ĩa c ủa hàm s ố ng ược, n ếu x= b thì f−1 ( b) = a , nên N( b; a ) thu ộc đồ th ị c ủa hàm s ố ng ược y= f−1 ( x ) . Hai điểm M và N là đối x ứng v ới nhau qua đường phân giác th ứ nh ất y= x . Nh ư v ậy m ỗi điểm thu ộc đồ th ị c ủa hàm s ố y= f( x ) đều đố i x ứng v ới m ột điểm thu ộc đồ th ị hàm s ố y= f−1 ( x ) qua đường phân giác th ứ nh ất. Ng ược l ại, ta c ũng th ấy r ằng v ới m ỗi điểm thu ộc đồ th ị c ủa hàm s ố ng ược y= f−1 ( x ) đều đối x ứng v ới m ột điểm thu ộc đồ th ị c ủa hàm s ố y= f( x ) qua đường phân giác th ứ nh ất. Vậy, đồ th ị c ủa hai hàm s ố ng ược nhau đối x ứng v ới nhau qua đường phân giác th ứ nh ất. Chú ý. T ừ tính ch ất c ủa đồ th ị hàm s ố ng ược ta suy ra r ằng đồ th ị c ủa hai hàm s ố ng ược nhau, nếu c ắt nhau thì c ắt nhau trên đường th ẳng y= x . T ừ đó ta có th ể áp d ụng để gi ải các ph ươ ng trình d ạng fx( ) = f−1 ( x ) b ằng cách đưa v ề ph ươ ng trình f( x) = x ho ặc f−1 ( x) = x . Ch ẳng hạn ta xét ví d ụ sau. Ví d ụ. Gi ải ph ươ ng trình x3+−(3 aa 2) = 3.33 xa +−( 2 3 ) a v ới a ∈( − 2;2) . x3+(3 − a 2 ) a Gi ải. Hàm s ố y = luôn đồng bi ến trên ℝ nên có hàm s ố ng ược là 3 13
x3+(3 − a 2 ) a y=3 3 xa +( 2 − 3) a . Hoành độ giao điểm c ủa hai đồ th ị y = và 3 x3+(3 − a 2 ) a y=3 3 xa +( 2 − 3 ) a chính là hoành độ giao điểm c ủa hai đồ th ị y= x và y = . 3 Do đó ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới x3+(3 − a 2 ) a =⇔−+−xx33 x() 3 aa 2 = 0 3 ⇔−−xa3 3 30()() xa −=⇔− xaxaxa()2 ++−= 2 30 x= a  2 ⇔  −a ±12 − 3 a 2 (do a ∈( − 2;2 ) nên 12− 3a > 0 ). x =  2 x3+(3 − a 2 ) a (D ĩ nhiên hai hàm s ố y = và y=3 3 xa +( 2 − 3 ) a không trùng nhau) 3 Bằng ph ươ ng pháp nh ư trên chúng ta có th ể gi ải được ph ươ ng trình x3 +1 = 23 2 x − 1. (1) x3 +1 Th ật v ậy ph ươ ng trình (1) có th ể vi ết được d ưới d ạng =3 2x − 1 2 x3 +1 Hàm s ố y = có hàm s ố ng ược là y=3 2 x − 1 (hai hàm s ố này không trùng nhau), nên 2 x3 +1 −1 ± 5 ph ươ ng trình (1) t ươ ng đươ ng v ới = x , t ừ đó ta được nghi ệm x=1; x = . 2 2 Chú ý. Gi ải ph ươ ng trình (1) có th ể đặ t y=3 2 x − 1 suy ra y3 +1 = 2 x . Khi đó, ph ươ ng trình x3 +1 = 2 y (1) được vi ết thành h ệ ph ươ ng trình  y3 +1 = 2 x Đây là h ệ ph ươ ng trình đối x ứng ta s ẽ nghiên c ứu ở ph ần sau. 8. Các hàm s ố s ơ c ấp c ơ b ản Ta g ọi các hàm s ố sau đây là hàm s ố s ơ c ấp c ơ b ản 8.1. Hàm h ằng: y= a , a ∈ ℝ Hàm h ằng y= a có t ập xác đị nh D = ℝ, tập giá tr ị Ty = { a }. 8.2. Hàm s ố l ũy th ừa: yVIETMATHS.NET= fx () = x α , α∈ ℝ Tập xác đị nh c ủa hàm s ố l ũy th ừa y= x α tùy thu ộc vào α, c ụ th ể ta có: + N ếu α nguyên d ươ ng thì D = ℝ. + N ếu α nguyên âm ho ặc α = 0 thì D = ℝ*. 14
+ N ếu α không nguyên thì D = ℝ+ . Mi ền giá tr ị c ủa hàm s ố l ũy th ừa c ũng tùy thu ộc vào α, chẳng h ạn: 2 · α = 2, ta có y= fx( ) = xT ;f = [0; +∞ ). 3 · α = 3, ta có y= fx() = xT ;f = ℝ . 1 1 · α = , ta có y= fx() = xT2 ; = [0; +∞ ). 2 f 1 1 − · α = − , ta có y= fx() = x3 ; T = ℝ+ . 3 f Chú ý. V ới m ọi α∈ ℝ, đồ th ị c ủa hàm s ố l ũy th ừa y= x α đi qua điểm (1;1). 8.3. Hàm s ố m ũ: y= fx( ) = aax , >≠ 0, a 1 x Hàm s ố m ũ y= a có t ập xác đị nh D = ℝ. Mi ền giá tr ị c ủa hàm s ố m ũ là Tf =(0; +∞ ). + N ếu a >1, thì hàm s ố m ũ đồ ng bi ến trên t ập xác đị nh. + N ếu 0 1 y a> 1 a 1 O 1 x + Đồ th ị c ủa hàm s ố y= ax ,0 < a < 1 0 < a < 1 y 1 a O 1 x 15
8.4. Hàm s ố logarit: yfx=( ) = loga xa , >≠ 0, a 1 Hàm s ố logarit y= log a x có t ập xác đị nh D =(0; +∞ ). Mi ền giá tr ị c ủa hàm s ố logarit là Tf = ℝ. + N ếu a >1, thì hàm s ố logarit đồ ng bi ến trên t ập xác đị nh. + N ếu 0 1 y a > 1 1 O 1 a x + y=loga x ,0 < a < 1 y 1 O a 1 x 0 < a < 1 8.5. Hàm s ố l ượng giác 8.5.1. Hàm s ố y= sin x VIETMATHS.NET và hàm s ố y= cos x Các hàm s ố y= sin x và y= cos x đều có t ập xác đị nh D = ℝ, và mi ền giá tr ị là đoạn [− 1;1]. Các hàm s ố y= sin x và y= cos x đều là hàm s ố tu ần hoàn v ới chu k ỳ T =2 π . 16
π π Hàm s ố y= sin x là hàm s ố l ẻ, đồ ng bi ến trên m ỗi kho ảng (−+k 2; π + k 2), π k ∈ ℤ ; ngh ịch 2 2 π3 π bi ến trên m ỗi kho ảng (+k 2; π + k 2), π k ∈ ℤ . 2 2 Hàm s ố y= cos x là hàm s ố ch ẵn, đồ ng bi ến trên m ỗi kho ảng (−π+k 2;2), π k π k ∈ ℤ ; ngh ịch bi ến trên m ỗi kho ảng (2;kππ+ k 2), π k ∈ ℤ . Đồ th ị c ủa các hàm s ố y= sin x và y= cos x nh ư sau. y 1 y = cos x -2 π 3π -π π π π 3π 2π x - - O 2 2 2 2 -1 y = sin x 8.5.2. Hàm s ố y=tan xy ; = cot x · Hàm s ố y= tan x π  Hàm s ố y= tan x có t ập xác đị nh D=ℝ\ +π∈ k / k ℤ  . 2  Mi ền giá tr ị là ℝ. π π Hàm s ố y= tan x luôn luôn đồng bi ến trên m ỗi kho ảng (− +πk ; +π k ), k ∈ ℤ . 2 2 Hàm s ố y= tan x là hàm s ố l ẻ, và là hàm s ố tu ần hoàn v ới chu k ỳ T = π . Đồ th ị c ủa hàm s ố y= tan x nh ư sau. y x 3π -π π O π π 3π - - 2 2 2 2 · Hàm s ố y= cot x Hàm s ố y= cot x có t ập xác đị nh D=ℝ\{ k π / k ∈ ℤ } . Mi ền giá tr ị là ℝ. Hàm s ố y= cot x luôn luôn ngh ịch bi ến trên m ỗi kho ảng (kππ+ ; k π ), k ∈ ℤ . Hàm s ố y= cot x là hàm s ố l ẻ, và là hàm s ố tu ần hoàn v ới chu k ỳ T = π . Đồ th ị c ủa hàm s ố y= cot x nh ư sau. 17
y x - π O π π 3 π - π 2π 2 2 2 8.6. Hàm s ố l ượng giác ng ược 8.6.1. Hàm s ố y= arcsin x π π Hàm s ố y= arcsin x là hàm s ố ng ược c ủa hàm s ố y= sin x trên đoạn [− ; ]. 2 2 π π Hàm s ố y= arcsin x có t ập xác đị nh là D =[ − 1;1]. Mi ền giá tr ị là [− ; ]. 2 2 Hàm s ố y= arcsin x t ăng trên t ập xác đị nh. Hàm s ố y= arcsin x là hàm s ố l ẻ. Đồ th ị c ủa hàm s ố y= arcsin x nh ư sau. y π 2 -1 O 1 x π - 2 8.6.2. Hàm s ố y= arccos x Hàm s ố y= arccos x là hàm s ố ng ược c ủa hàm s ố y= cos x trên đoạn [0;π ]. Hàm s ố y= arccos x có t ập xác đị nh là D =[ − 1;1]. Mi ền giá tr ị là [0;π ]. Hàm s ố y= arccos x gi ảm trên t ập xác đị nh. Đồ th ị c ủa hàm s ố y= arccos x nh ư sau. y π π VIETMATHS.NET2 -1O 1 x 8.6.3. Hàm s ố y= arctan x 18
π π Hàm s ố y= arctan x là hàm s ố ng ược c ủa hàm s ố y= tan x trên kho ảng (− ; ). 2 2 π π Hàm s ố y= arctan x có t ập xác đị nh là D = ℝ. Mi ền giá tr ị là (− ; ). 2 2 Hàm s ố y= arctan x luôn luôn tăng trên t ập xác đị nh. Hàm s ố y= arctan x là hàm s ố l ẻ. Đồ th ị c ủa hàm s ố y= arctan x nh ư sau. π y π 2 O x π - 2 8.6.4. Hàm s ố y= arccot x Hàm s ố y= arccot x là hàm s ố ng ược c ủa hàm s ố y= cot x trên kho ảng (0;π ). Hàm s ố y= arccot x có t ập xác đị nh là D = ℝ. Mi ền giá tr ị là (0;π ). Hàm s ố y= arccot x luôn luôn gi ảm trên t ập xác đị nh. Hàm s ố y= arccot x là hàm s ố l ẻ. Đồ th ị c ủa hàm s ố y= arccot x nh ư sau. y π π 2 O x Ta g ọi hàm s ố s ơ c ấp là hàm s ố cho b ởi m ột công th ức duy nh ất y= f( x ) v ới f( x ) là tổng, hi ệu, tích, th ươ ng ho ặc là hàm h ợp c ủa m ột s ố h ữu h ạn các hàm s ố s ơ c ấp c ơ b ản. §2. M ỘT S Ố PHÉP BI ẾN ĐỔ I ĐỒ TH Ị 1. Tr ục đố i x ứng, tâm đố i x ứng c ủa đồ th ị Chúng ta đã bi ết đồ th ị hàm s ố ch ẵn nh ận tr ục Oy làm tr ục đố i x ứng, đồ th ị hàm s ố l ẻ nh ận g ốc t ọa độ O làm tâm đối x ứng. Sau đây chúng ta đư a ra d ấu hi ệu cho bi ết đồ th ị c ủa một hàm s ố có tr ục đố i x ứng, tâm đố i x ứng. (Trong ph ần này chúng ta ch ỉ xét tr ục đố i x ứng của đồ th ị hàm s ố, cùng ph ươ ng v ới tr ục tung). 1.1. Định lý. Đồ th ị c ủa hàm s ố y= f( x ) nh ận đường th ẳng ∆ có ph ươ ng trình x = α làm tr ục đố i x ứng khi và ch ỉ khi f(2α − x) = fx( ) v ới m ọi x∈ D . Th ật v ậy, mu ốn cho đường th ẳng ∆ có ph ươ ng trình x = α là tr ục đố i x ứng c ủa đồ th ị y= f( x ) thì ắt có và đủ là n ếu điểm M( x; y ) thu ộc đồ th ị thì điểm M ' đối x ứng v ới điểm M qua ∆ c ũng thu ộc đồ th ị. Ở đây điểm M ' có t ọa độ (2α − x ; y ) , nh ư v ậy v ới m ọi x∈ D 19
ta có f(2α − x) = fx( ) . b Ví d ụ. Đồ th ị hàm s ố y= ax2 ++ bx ca( ≠ 0) nh ận đường th ẳng x = − làm tr ục đố i x ứng 2a b 2 b  vì ta có fxaxbxcax() =2 ++=−−  +−− bx  + c , v ới m ọi x ∈ℝ. a  a  1.2. Định lý. Đồ th ị hàm s ố y= f( x ) nh ận điểm I (α; β ) làm tâm đối x ứng khi và ch ỉ khi f(2α− x) =β− 2 fxxD( ) , ∀∈ . Th ật v ậy, mu ốn cho điểm I (α; β ) là tâm đối x ứng c ủa đồ th ị, ắt có và đủ là n ếu điểm M( x; y ) thu ộc đồ th ị thì điểm M ' đối x ứng v ới nó qua I , t ức là điểm có t ọa độ M'2( α− x ;2 β− y ) c ũng thu ộc đồ th ị, t ức là v ới m ọi x∈ D , ta ph ải có 2β−fx( ) = f( 2 α− x ) . Chú ý. Trong định lý 1.1 cho α = 0 và trong định lý 1.2 cho α = β = 0, ta được k ết qu ả + Đồ th ị c ủa hàm s ố ch ẵn nh ận tr ục tung làm tr ục đố i x ứng. + Đồ th ị hàm s ố l ẻ nh ận g ốc t ọa độ làm tâm đối x ứng. Trong th ực t ế mu ốn ch ứng minh đồ th ị hàm s ố y= f( x ) nh ận đường th ẳng x= x 0 làm tr ục đối x ứng thì ta có th ể làm nh ư sau: x= X + x 0 · D ời h ệ tr ục t ọa độ Oxy v ề h ệ tr ục IXY , v ới I( x 0;0 ) theo công th ức  y= Y · L ập hàm s ố m ới b ằng cách thay x= X + x0 ; yY = vào hàm s ố y= f( x ); · Ch ứng minh hàm s ố m ới Y= g( X ) là hàm s ố ch ẵn để k ết lu ận x= x 0 là tr ục đố i x ứng. Tươ ng t ự nh ư trên, mu ốn ch ứng minh I( x0, y 0 ) là tâm đối x ứng c ủa đồ th ị (C ) c ủa hàm s ố x= X + x y= f( x ) , ta d ời h ệ tr ục t ọa độ Oxy sang h ệ tr ục IXY , b ằng phép đặ t  0 ; y= Y + y 0 Sau đó ch ứng minh hàm s ố m ới Y= g( X ) là hàm s ố l ẻ để k ết lu ận điểm I( x0; y 0 ) là tâm đối xứng c ủa đồ th ị. Ví d ụ 1 . Ch ứng minh đồ th ị c ủa hàm s ố yx=−44 x 3 − 2 x 2 + 12 x − 1 nh ận đường th ẳng x = 1 làm tr ục đố i x ứng. T ừ đó tìm giao điểm c ủa đồ th ị hàm s ố v ới tr ục hoành. x= X + 1 Gi ải. Đặt  y= Y Hàm s ố đã cho tr ở thành VIETMATHS.NET YX=+−144 X +− 12 3 X ++ 112 2 X +− 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔=Y X4 −8 X 2 + 6. Hàm s ố Y= X4 −8 X 2 + 6 là hàm s ố ch ẵn. V ậy đường th ẳng x = 1 là tr ục đố i x ứng c ủa đồ th ị hàm s ố đã cho. 20
Đặt tX=2 ≥ 0⇒ tt 2 − 860 += ⇔=± t 410 ⇒ X1,2=±−4 10, X 3,4 =±+ 4 10⇒ x 1,2=±− 1 410, x 3,4 =±+ 1 4 10. Vậy, có b ốn giao điểm c ủa đồ th ị hàm s ố đã cho v ới tr ục hoành là (1+− 4 10 ;0), (1 −− 4 10 ;0), (1 ++ 4 10 ;0), (1 −+ 4 10;0). Ví d ụ 2 . Ch ứng minh đồ th ị hàm s ố b ậc ba y= fx( ) =+++ ax3 bx 2 cx d( a ≠ 0) nh ận điểm b b   uốn I−; f  −   làm tâm đối x ứng. 3a 3 a   Gi ải. x= X + x 0 b b  Dời h ệ tr ục t ọa độ b ằng phép đặ t  v ới x0=−; y 0 = f  −  . Thay vào y= Y + y 0 3a 3 a  hàm s ố y= f( x ) ta được 3 2 Yy+= aXx()()() ++ bXx + + cXx ++ d 0 0 0 0 3 2 ⇔=Y aX +()3 ax0 + 2 bx 0 + c X . Hàm này là hàm s ố l ẻ nên đồ th ị nh ận I làm tâm đối x ứng. Nh ư v ậy, đồ th ị hàm s ố b ậc ba y= fx( ) =+++ ax3 bx 2 cx d( a ≠ 0) nh ận điểm u ốn làm tâm đối x ứng. Ta c ũng có k ết qu ả: Đồ th ị c ủa các hàm s ố ax+ b y=, c ≠ 0; adbc −≠ 0 ; cx+ d ax2 + bx + c y=( a . d ≠ 0, mẫu và t ử không có nghi ệm chung) dx+ e nh ận giao điểm c ủa hai đường ti ệm c ận làm tâm đối x ứng. Ví d ụ 3 . Cho hàm s ố yx=++4( m 3) x 3 + 2( mx + 1) 2 . Tìm m để đồ th ị c ủa hàm s ố có tr ục đố i x ứng cùng ph ươ ng v ới tr ục tung. Gi ải. Gi ả s ử x = α là tr ục đố i x ứng c ủa đồ th ị hàm s ố đã cho. Đặt x= X + α . Khi đó yX=4 +α++(4 mX 3) 3 +α+α++ [6 2 3 ( m 3) 2( mX + 1)] 2 +α+α[43 3( 2 m ++α 3)4( mX + 1)] +α+4 ( m +α+ 3) 3 2( m +α 1) 2 ph ải là hàm s ố ch ẵn. Điều này t ươ ng đươ ng v ới 4α+m + 3 = 0 (1)  4α+α3 3 2 (m + 3) +α 4( m += 1) 0(2) 21
α = 0⇒ m = − 3 Thay (1) vào (2) ta được −8 α ( α + 1)2 = 0 ⇔  α = − 1⇒ m = 1. 2. Phép đối x ứng qua tr ục t ọa độ 2.1. Định lý. Đồ th ị c ủa các hàm s ố y= f( x ) và y= − f( x ) đối x ứng nhau qua tr ục hoành. Ch ứng minh. V ới m ỗi giá tr ị c ủa x∈ D thì các hàm s ố y= f( x ) và y= − f( x ) cho ta hai giá tr ị đố i nhau c ủa y, do đó đồ th ị c ủa chúng đố i x ứng nhau qua tr ục hoành. 2.2. Định lý. Đồ th ị c ủa các hàm s ố y= f( x ) và y= f( − x ) đối x ứng nhau qua tr ục tung. Ch ứng minh t ươ ng t ự nh ư định lý 2.1. 3. Phép t ịnh ti ến song song v ới tr ục tung 3.1. Định lý. Đồ th ị c ủa hàm s ố y= fx( ) + by( = fx( ) − b), b > 0 suy ra t ừ đồ thị y= f( x ) b ằng m ột phép t ịnh ti ến theo vect ơ Oy(− Oy ) m ột đoạn b ằng b. Ch ứng minh. Th ật v ậy, g ọi O′ XY là h ệ tr ục m ới suy ra t ừ h ệ tr ục Oxy b ằng một phép t ịnh ti ến song song v ới tr ục tung v ề phía trên m ột đoạn OO′ = b . Công th ức đổ i h ệ tr ục t ọa độ là x= X  y= Y + b . Bằng phép t ịnh ti ến đồ th ị y= f( x ) v ới b đơ n v ị theo vect ơ Oy , ta thu được đồ th ị c ủa hàm số y= f( x ) xét theo h ệ tr ục m ới, t ức c ũng là đồ th ị c ủa hàm s ố y= fx( ) + b . Tr ường h ợp đố i v ới hàm s ố y= fx( ) − b , ch ứng minh t ươ ng t ự. Ví d ụ 1. Từ đồ th ị hàm s ố y= x suy ra đồ th ị hàm s ố y= x + 2 b ằng phép t ịnh ti ến theo vect ơ Oy 2 đơ n v ị. Ví d ụ 2. Đồ th ị c ủa hàm s ố y= x 2 + 3 thu được t ừ parabol y= x 2 b ằng cách t ịnh ti ến 3 đơn vị theo vect ơ Oy . 4. Phép t ịnh ti ến song song v ới tr ục hoành 4.1. Định lý. Đồ th ị hàm s ố y=+ fxa( ) ( y =− fxa( )), a > 0 suy được t ừ đồ th ị hàm s ố y= f( x ) b ằng phép t ịnh ti ến theo vect ơ −Ox( Ox ) m ột đoạn b ằng a. Ch ứng minh t ươ ng t ự nh ư định lý 3.1. 2 Ch ẳng h ạn đồ th ị c ủa hàm s ố y=() x − 2 thu được t ừ phép t ịnh ti ến parabol y= x 2 theo vect ơ Ox (sang bên ph ải) m ột đoạn b ằng 2. VIETMATHS.NET Nếu t ịnh ti ến parabol y= x 2 theo vect ơ −Ox (sang bên trái) 2 đơ n v ị ta thu được đồ th ị hàm 2 số y=() x + 2 . Chú ý. Ngoài phép t ịnh ti ến theo các tr ục t ọa độ ng ười ta còn đư a ra phép t ịnh ti ến theo vect ơ v ≠ 0. 22
Từ đồ th ị hàm s ố y= f( x ), t ịnh ti ến theo vect ơ v= ( a; b ) thì được đồ th ị hàm s ố y= fxa( −) + b . Ví d ụ 1. Từ đồ th ị hàm s ố y= fx( ) = x 2 suy ra đồ th ị hàm s ố y= x2 −2 x − 3 bằng phép t ịnh ti ến theo véc t ơ v =(1; − 4). 2 Th ật v ậy, ta có yxx=−−=22 3( xx 2 −+−=− 2 1)4() x 1 −= 4 fx ( −− 1)4. Đồ th ị c ủa các hàm s ố y= fx( ) = x 2 và y= x2 −2 x − 3 v ẽ trên cùng m ột h ệ tr ục t ọa độ nh ư sau. y -1 O 1 3 x -3 -4 x2 +2 x + 2 Ví d ụ 2. Tịnh ti ến đồ th ị hàm s ố y= f( x ) = theo véc t ơ v =( − 2;3) ta thu được đồ x +1 x2 +9 x + 19 th ị c ủa hàm s ố y = . x + 3 x2 +2 x + 2 Th ật v ậy, theo chú ý trên, thì t ịnh ti ến đồ th ị c ủa hàm s ố y= f( x ) = , theo véc t ơ x +1 v =( − 2;3) ta thu được đồ th ị c ủa hàm s ố (x+ 2)2 + 2( x ++ 2) 2 y=++= f( x 2) 3 + 3 (x + 2) + 1 xx2 +++++44242 x xx2 ++ 610 = +=3 + 3 x+3 x + 3 x2 +6 x + 10 + 3( x + 3) = x + 3 x2 +6 x + 10 + 3 x + 9 = x + 3 x2 +9 x + 19 = . x + 3 5. M ột s ố ví d ụ Ví d ụ 1. Cho hàm s ố yfx=( ) = x3 − 3 x a) Hãy d ựng đồ th ị c ủa hàm s ố đã cho; b) T ừ đồ th ị hàm s ố yfx=( ) = x3 − 3 x , hãy suy ra các đồ th ị sau đây, ch ỉ ra các phép bi ến đổi. 23
iy)= x3 − 32; x + iiy)= x3 − 3 x 2 ; iiiy)= − x3 + 3 x . Gi ải. a) Kh ảo sát hàm s ố yfx=( ) = x3 − 3 x , ta được đồ th ị c ủa hàm s ố yfx=( ) = x3 − 3 x nh ư sau y 2 1 -1 O x -2 b) i) T ừ đồ th ị hàm s ố yfx=( ) = x3 − 3 x , suy ra đồ th ị y= x3 −3 x + 2 b ằng phép t ịnh ti ến theo Oy 2 đơ n v ị. Đồ th ị y= x3 −3 x + 2 nh ư sau y 4 1 -1 O x ii) Ta có yxxx=−33 2 =−−()() 13123 x −− =f() x −1 − 2. Do đó để có đồ th ị y= x3 − 3 x 2 ta th ực hi ện hai b ước: + B ước 1: T ịnh ti ến đồ th ị hàm s ố y= f( x ) theo Ox 1 đơ n v ị ta được đồ th ị(C1 ) 3 2 + B ước 2: T ịnh ti ến (C1 ) theo −Oy 2 đơ n v ị ta được đồ th ị hàm s ố y= x − 3 x . Hay nói cách khác, để có đồVIETMATHS.NET th ị hàm s ố y= x3 − 3 x 2 ta t ịnh ti ến đồ th ị y= f( x ) theo vect ơ v =(1; − 2) . Đồ th ị hàm s ố y= x3 − 3 x 2 nh ư sau 24
y 1 2 O x -2 -4 iii) Đối x ứng qua Ox đồ th ị y= f( x ) ta được đồ th ị y= − x3 + 3 x , ho ặc là đối x ứng qua tr ục tung đồ th ị y= f( x ) ta c ũng được đồ th ị y= − x3 + 3 x . Đồ th ị hàm s ố y= − x3 + 3 x nh ư sau y 2 -1 O 1 x -2 Ví d ụ 2. Xác định phép t ịnh ti ến đồ th ị y= x3 − 3 x 2 theo vect ơ v= ( a; b ) để được đồ th ị y= x3 + 3 x 2 . Gi ải. T ừ đồ th ị y= x3 − 3 x 2 t ịnh ti ến theo vect ơ v= ( a; b ) được đồ th ị y= x3 + 3 x 2 khi và ch ỉ khi 3 2 x3+3 x 2 =−()() xa − 3 xa − +∀ bx , ⇔+=−+x3233 xx 3132() a x 22 +() a + axa −−+∀ 32 3, abx 3= − 3(a + 1 )  a = − 2 ⇔0 = 3()a2 + 2 a ⇔   b = 4 3 2 0=−a − 3 a + b Vậy, t ịnh ti ến đồ th ị y= x3 − 3 x 2 theo vect ơ v =( − 2;4 ) được đồ th ị y= x3 + 3 x 2 . 6. Đồ th ị c ủa m ột s ố hàm s ố ch ứa d ấu giá tr ị tuy ệt đố i 6.1. Đồ th ị hàm s ố y= f( x )  fx( ); fx( ) ≥ 0 Ta có y= f() x =  −fx()(); fx < 0 25
Do đó đồ th ị c ủa hàm s ố y= f( x ) g ồm + Ph ần t ừ tr ục hoành tr ở lên c ủa đồ th ị hàm s ố y= f( x ) ; + Đối x ứng ph ần đồ th ị hàm s ố y= f( x ) phía d ưới tr ục hoành qua tr ục hoành. 6.2. Đồ th ị hàm s ố y= f( x ) Th ấy ngay y= f( x ) là hàm s ố ch ẵn nên đồ th ị có tr ục đố i x ứng là Oy . V ới x ≥ 0 thì y= fx( ) = fx( ). V ậy đồ th ị g ồm hai ph ần + Ph ần bên ph ải Oy c ủa đồ th ị y= f( x ) ; + Đối x ứng ph ần trên qua Oy . 6.3. Đồ th ị hàm s ố y= ux( ) . vx( ) uxvx( ).( ) ; ux( ) ≥ 0 Ta có y= ux() . vx() =  −uxvx()()(). ; ux <0 Do đó ta v ẽ đồ th ị y= fx( ) = uxvx( ). ( ) và t ừ đó đồ th ị y= ux( ) . vx( ) g ồm + Ph ần đồ th ị y= f( x ) trên mi ền u( x ) ≥ 0. + Đối x ứng ph ần đồ th ị y= f( x ) trên mi ền u( x ) < 0 qua tr ục hoành. 6.4. T ừ đồ th ị hàm s ố y= f( x ) suy ra đường bi ểu di ễn y= f( x ), ( ζ ) Ta có nh ận xét: Giả s ử điểm ( x0; y 0 ) thu ộc (ζ) thì ( x0;− y 0 ) c ũng thu ộc (ζ). Vậy, (ζ) có tr ục đố i x ứng là Ox . V ới y ≥ 0 thì y= fx( ) ⇔ yfx = ( ). Do đó (ζ) g ồm hai ph ần + Ph ần đồ th ị t ừ tr ục hoành tr ở lên c ủa đồ th ị y= f( x ) + Đối x ứng ph ần trên qua tr ục hoành để được ph ần còn l ại. x2 − x − 1 Ví d ụ. Cho hàm s ố y= f( x ) = x − 2 a) D ựng đồ th ị c ủa hàm s ố đã cho; x2 − x − 1 b) T ừ đồ th ị hàm s ố y= f( x ) = , hãy v ẽ các đường sau x − 2 x2 − x − 1 x2 − x VIETMATHS.NET − 1 x2 − x − 1 x2 − x − 1 y = ; y = ; y = ; y = . x − 2 x − 2 x − 2 x − 2 Gi ải. a) Đồ th ị c ủa hàm s ố đã cho nh ư sau. 26
y 5 1 O 1 3 x  x2 − x − 1 2  ;x > 2 x− x − 1  x − 2 b) · Ta có y = =  x − 2  x2 − x − 1 −;x 2; + Đối x ứng ph ần đồ th ị y= f( x ) trên mi ền x < 2 qua tr ục hoành. x2 − x − 1 Đồ th ị hàm s ố y = nh ư sau. x − 2 y 5 O 1 3 x -1  x2 − x − 1 2  ;f ()0 x ≥ x− x − 1  x − 2 · Ta có y = =  x − 2  x2 − x − 1 −;f () x < 0  x − 2 x2 − x − 1 Đồ th ị hàm s ố y = g ồm hai ph ần. x − 2 + Ph ần t ừ tr ục hoành tr ở lên c ủa đồ th ị hàm s ố y= f( x ) ; + Đối x ứng ph ần đồ th ị hàm s ố y= f( x ) phía d ưới tr ục hoành qua tr ục hoành. 27
x2 − x − 1 Đồ th ị hàm s ố y = nh ư sau. x − 2 y 5 1 O 1 3 x · Ta có y= f( x ) là hàm s ố ch ẵn nên đồ th ị có tr ục đố i x ứng là Oy . Với x ≥ 0 thì y= fx( ) = fx( ). V ậy đồ th ị g ồm hai ph ần. + Ph ần bên ph ải Oy c ủa đồ th ị y= f( x ) ; + Đối x ứng ph ần trên qua Oy . x2 − x − 1 Đồ th ị hàm s ố y = nh ư sau x − 2 y 5 1 -3 -1 O1 3 x · Gi ả sử đường bi ểu di ễn y= f( x ) là (ζ). Ta có nh ận xét sau đây: Nếu điểm ( x0; y 0 ) thu ộc (ζ) thì ( x0;− y 0 ) c ũng thu ộc (ζ). V ậy (ζ) có tr ục đố i x ứng là Ox . Với y ≥ 0 thì y= fx( ) ⇔ yfx = ( ). Do đó (ζ) g ồm hai ph ần. + Ph ần đồ th ị t ừ tr ục hoành tr ở lên c ủa đồ th ị y= f( x ) ; + Đối x ứng ph ần trênVIETMATHS.NET qua tr ục hoành để được ph ần còn l ại. Chúng ta chú ý r ằng, (ζ) không ph ải là đồ th ị c ủa m ột hàm s ố, vì y= f( x ) không ph ải là một hàm s ố. Đường bi ểu di ễn y= f( x ) nh ư sau. 28
y 5 1 O 1 3 x -1 -5 §3. GIÁ TR Ị L ỚN NH ẤT VÀ GIÁ TR Ị NH Ỏ NH ẤT C ỦA HÀM S Ố 1. Định ngh ĩa Cho hàm s ố y= f( x ) xác định trên t ập D. a) S ố M được g ọi là giá tr ị l ớn nh ất c ủa hàm s ố y= f( x ) trên t ập D n ếu i)∀ xDfx ∈ :( ) ≤ M ; ii)∃ x0 ∈ Dfx :() 0 = M . Kí hi ệu M= Max f( x ). x∈ D b) S ố m được g ọi là giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố y= f( x ) trên t ập D n ếu i)∀ x ∈ Dfx :( ) ≥ m ; ii)∃ x0 ∈ Dfx :() 0 = m . Kí hi ệu m= Min f( x ). x∈ D 2. M ột s ố ph ươ ng pháp tìm giá tr ị l ớn nh ất, giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố 2.1. Ph ươ ng pháp mi ền giá tr ị Nội dung c ủa ph ươ ng pháp này nh ư sau. + Xem y= f( x ) là ph ươ ng trình đối v ới ẩn x và y là tham s ố; + Tìm điều ki ện c ủa y để ph ươ ng trình y= f( x ) có nghi ệm; + T ừ điều ki ện trên, bi ến đổ i đưa đến d ạng m≤ y ≤ M . Xét d ấu “=” x ảy ra và k ết lu ận Minf() x= m ; Maxf () x = M . 2.2. Ph ươ ng pháp đạo hàm + Kh ảo sát s ự bi ến thiên c ủa hàm s ố y= f( x ) ; + D ựa vào b ảng bi ến thiên để k ết lu ận Maxf(); x Minf (). x Chú ý. Trong tr ường h ợp tìm giá tr ị l ớn nh ất, giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố y= f( x ) trên đoạn [a ; b ], ta có th ể trình bày đơ n gi ản nh ư sau. Bước 1. Tìm f′( x ) và tìm các điểm t ới h ạn x1, x 2 , , x n c ủa f( x ) trên đoạn [a ; b ]; 29
Bước 2. Tính fx( 1), fx( 2 ) , , fx( n ) , fafb( ) , ( ) ; Bước 3. Tìm s ố l ớn nh ất M và s ố nh ỏ nh ất m trong các s ố trên, khi đó M= Maxf( x) ; m = Minf( x ) . xab∈[]; xab ∈ [] ; (N ếu hàm s ố y= f( x ) liên t ục trên đoạn [a ; b ], thì giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm số trên đoạn [a ; b ] bao gi ờ c ũng t ồn t ại). 2.3. Ph ươ ng pháp dùng b ất đẳ ng th ức Dùng b ất đẳ ng th ức quen thu ộc để ch ứng minh f( x) ≤ M ho ặc f( x) ≥ m . Ph ải ch ỉ ra t ồn t ại x0; x 1 ∈ D sao cho f( x0 ) = M , f( x1 ) = m . Khi đó M= Maxf( x) ; m = Minf( x ) . xab∈[]; xab ∈ [] ; Chúng ta s ẽ nghiên c ứu k ỹ v ề b ất đẳ ng th ức trong Chươ ng III, tuy nhiên các b ất đẳ ng th ức quen thu ộc sau đây s ẽ được dùng để tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố. + B ất đẳng th ức Côsi. (Augustin Louis Cauchy,1789 – 1857. Nhà Toán h ọc Pháp). Cho n s ố th ực a1, a 2 , , a n không âm. Th ế thì a+ a + + a 1 2 n ≥ n a. a a n 1 2 n Dấu “ = ” x ảy ra khi và ch ỉ khi a1= a 2 = = a n . + Bất đẳ ng th ức Bunhiacôpski. (Victor Yakovlevich Bunyakovsky, 1804 – 1889. Nhà Toán học Nga). Cho n c ặp s ố th ực (ai ; b i ), i = 1, 2, , n. Th ế thì n2 n n  2  2  ∑abii ≤ ∑ a i  ∑ b i  i=1  i = 1  i = 1  Dấu “ = ” x ảy ra khi và ch ỉ khi t ồn t ại k ∈ℝ sao cho bi= ka i , i = 1, 2, , n. + Bất đẳ ng th ức v ề d ấu giá tr ị tuy ệt đố i. Cho abai, ,i ,= 1,2, , n là các s ố th ực. Th ế thì abab+≤+(*); abab −≤− ( ); aa12 +++≤+++ aaan 12 a n ( ) D ấu “ = ” trong (*) và ( ) xảy ra, khi và ch ỉ khi ab ≥ 0. Dấu “ = ” trong ( ) x ảy ra, khi và ch ỉ khi ai ≥ 0 ho ặc ai ≤0, ∀ i = 1,2, , n . 3. M ột s ố ví d ụ Ví d ụ 1. Tìm giá tr ị l ớn nhVIETMATHS.NETất, giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố x + 1 y = f( x ) = . x2 + x + 1 Gi ải. 30
Tập xác định: D = ℝ . Ta có (xx2 ++− 1) (2 xx + 1)( + 1) −− xx2 2 y' = = (xx22++ 1) ( xx 22 ++ 1) 2 x = 0 y' = 0⇔ − x − 2 x = 0 ⇔  x =− 2 Bảng bi ến thiên x −∞ −2 0 +∞ y' − 0 + 0 − 0 1 y − 1 3 0 Dựa vào b ảng bi ến thiên, ta được 1 Maxf()1; x= Minf () x = − . 3 Ví d ụ 2. Tìm giá tr ị l ớn nh ất, giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố cosx+ 2sin x + 3 y = . 2cosx− sin x + 4 Gi ải. cosx+ 2sin x + 3 Tập xác đị nh c ủa hàm s ố y= f() x = là D = ℝ. 2cosx− sin x + 4 cosx+ 2sin x + 3 Gi ả s ử y thu ộc t ập giá tr ị c ủa hàm s ố đã cho, khi đó y = (1) có nghi ệm 0 0 2cosx− sin x + 4 đối v ới x . (1)⇔( 2y0 − 1) cos xy −+( 0 2) sin x =− 3 4 y 0 . (1) có nghi ệm khi và ch ỉ khi 2 2 2 2 ()()()21yy−++≥− 2 34 yyy ⇔ 1124402 − +≤⇔≤≤ y 2. 00 00011 0 2 Chú ý r ằng luôn t ồn t ại x ∈ℝ sao cho y = 2 và t ồn t ại x ∈ℝ sao cho y = . 0 0 1 0 11 2 Vậy, Maxf()2; x= Minf () x = . 11 Ví d ụ 3. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm yfxx=() =+2 − x 2 .   Gi ải. T ập xác đị nh D = − 2; 2  . Ta có 31
x2 − x2 − x y '= 1 − = 2−x2 2 − x 2 y'0= ⇔ x = 1. Hàm s ố có các điểm t ới h ạn là x=1; x = ± 2. f()12;= f( 2) = 2; f ( −=− 2) 2. Vậy, Maxf()2; x= Minf () x = − 2. x∈−[ 2;2] x ∈− [ 2;2] Ví d ụ 4. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố y=cos x + sin x . 0≤ cosx ≤ 1 Gi ải. Điều ki ện:  0≤ sinx ≤ 1 Khi đó 1= cos2x + sin 2 x ≤ cos x + sin x . Nh ư v ậy Miny = 1 đạt t ại ch ẳng h ạn x = 0. Mặt khác theo b ất đẳ ng th ức Bunhiacôpski ta có 2 2  yxx=+≤+cos sin 12 1 2 cos xx + sin () () ()  π  =22sinx +  ≤ 22. 4  π π Dấu "= " x ảy ra ch ẳng h ạn t ại x = . V ậy, Maxy = 2 2 đạt t ại x = . 4 4 Ví d ụ 5. Cho ph ươ ng trình 12 33x2− mx + m 2 −+ 4 = 0 (1) m2 3 3 Hãy tìm m để bi ểu th ức A= x1 + x 2 đạt giá tr ị l ớn nh ất, giá tr ị nh ỏ nh ất. V ới x1, x 2 là hai nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (1). Gi ải. Ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm x1, x 2 khi và ch ỉ khi 12  ∆=' 9m2 − 12 m 2 −+ 4  ≥⇔≤ 0 4 m 2 ≤ 12 m2  −2 3 ≤m ≤− 2 ⇔2 ≤m ≤ 2 3 ⇔  2≤mVIETMATHS.NET ≤ 2 3 3 m 3 Ta có Axx=+=+3 3 ()() xx −3 xxxx +=− . 1 2 12 1212 2 2 m m 3 Xét hàm s ố y= f() m = − trên mi ền D =−23;2 −  ∪ 2;23.  2 2 m    32
1 3 y'=+ > 0, ∀∈ m D , suy ra hàm s ố f( m ) t ăng trong −2 3; − 2  và 2;2 3  . 2 2 m2     1 1 Ta có f()−2 =− < = f () 2 . 4 4 Vậy, khi m = − 2 3 thì A đạt giá tr ị nh ỏ nh ất ; m = 2 3 thì A đạt giá tr ị l ớn nh ất. Ví d ụ 6. Cho hai s ố x, y th ỏa mãn 1 8x2+ y 2 + = 4 . 4x2 Xác định x, y để tích xy đạt giá tr ị nh ỏ nh ất. Gi ải. 221 2 1  22 Ta có 8x++ y2 =⇔ 44 x + 2 −+ 24  () x ++ y 4420 xy −−= xy 4x 4 x  2 1  2 1 ⇔42xy = x −  +() 2 x + y −≥−⇔≥− 22 xy 2x  2 1 1  1 2x=  x=  x = − Dấu “ = ” x ảy ra khi và ch ỉ khi 2x ⇔ 2 ∨  2 −2x = y y= −1  y = 1 1 Vậy, giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa xy là − , đạt được khi và ch ỉ khi 2 1  1  ()x; y = ; − 1  ho ặc ()x; y = − ;1  . 2  2  Ví d ụ 7. Cho ba s ố th ực a, b , c th ỏa mãn a+ b + c ≤ 3 . Tìm giá tr ị l ớn nh ất c ủa a++1 aa2 + 11 b ++ bb 2 + 11 c ++ cc 2 + 1 P = + + . a2+1 b 2 + 1 c 2 + 1 Gi ải. a++1 aa2 + 11 b ++ bb 2 + 11 c ++ cc 2 + 1 Ta có P = + + a2+1 b 2 + 1 c 2 + 1 a+1 b + 1 c + 1 = + + +++a b c . a2+1 b 2 + 1 c 2 + 1 a+1 b + 1 c + 1 Đặt T = + + . a2+1 b 2 + 1 c 2 + 1 x +1 Xét hàm s ố f( x ) = có t ập xác đị nh là D = ℝ . x2 +1 33
x x2 +1 − ( x + 1) x2 +1 1− x f'( x ) =2 = . x +1 (x2+ 1) x 2 + 1 f'()0 x= ⇔ x = 1 . Nh ư v ậy, hàm s ố ch ỉ có m ột điểm t ới h ạn duy nh ất và l ập b ảng bi ến thiên c ủa hàm s ố x +1 f( x ) = ta được hàm s ố đạ t giá tr ị l ớn nh ất t ại x = 1, giá tr ị l ớn nh ất là 2. V ậy, ta có x2 +1 f( x )≤ 2 v ới m ọi x ∈ℝ . a +1 Suy ra ≤ 2 . (1) a2 +1 b +1 ≤ 2 . (2) b2 +1 c +1 ≤ 2 . (3) c2 + 1 Cộng (1), (2) và (3) theo v ế, ta được T ≤ 3 2 (4) Theo gi ả thi ết a+ b + c ≤ 3 (5) Cộng (4) và (5) theo v ế, ta được P ≤3 2 + 3 . Đẳng th ức x ảy ra khi a= b = c = 1. Vậy, MaxP =3 2 + 3 . Ví d ụ 8. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố yfxx=() =+−34 x −++− 1 x 158 x − 1 . Gi ải. Điều ki ện: x ≥1. Ta có fxx() = +−34 x −+ 1 x +− 158 x − 1 =x −−14 x −++ 14 x −− 18 x −+ 116 2 2 =()x −−12 +() x −− 14 =x −−+12 x −− 14 VIETMATHS.NET =x −−+−124 xx −≥ 1 −−+− 124 x −= 12.  x−−12.4 − x −≥ 1 0 2≤x − 1 ≤ 4 f() x =⇔2 ( ) ( ) ⇔  ⇔≤≤5x 17 . x ≥ 1 x ≥1 34
Vậy, Min f( x ) = 2. x∈[5;7] 3y2 − 4 xy Ví d ụ 9. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố u = . x2+ y 2 Gi ải. Điều ki ện: x2+ y 2 ≠ 0 . Ta gi ả s ử x ≠0, khi đó, chia t ử và m ẫu c ủa u cho x2 ta được y  2 y 3  − 4 x  x u = . y  2 1+   x  y 3t2 − 4 t Đặt t = , khi đó u = . x 1+ t 2 3t2 − 4 t Gi ả s ử u là m ột giá tr ị b ất kì c ủa hàm s ố u = . Khi đó, t ồn t ại t ∈ℝ sao cho ph ươ ng 0 1+ t 2 2 trình (u0−3) t ++ 4 tu 0 = 0 (*) có nghi ệm t. 3 · u = 3, (*) tr ở thành 4t + 3 = 0 ⇔t = − . Do đó nh ận u = 3. 0 4 0 · u0 ≠ 3, (*) có nghi ệm khi và ch ỉ khi 4−u0( u 0 − 3) ≥ 0 ⇔−u2 +3 u +≥ 4 0 0 0 ⇔−≤1u0 ≤ 4. Do đó, v ới −1 ≤u0 ≤ 4 thì (*) có nghi ệm. T ừ đó suy ra −1 ≤u ≤ 4 với m ọi (x ; y ) th ỏa x2+ y 2 ≠ 0 . Vậy, Minu = − 1 và Maxu = 4. Ví d ụ 10. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức px=21 ++ 31 y ++ 41 z + Trong đó x, y , z là ba s ố th ực không âm th ỏa x+ y + z = 4. Gi ải. Áp d ụng b ất đẳ ng th ức Bunhiacôpski cho hai b ộ s ố 1 1 1  (2,3,4);x+ , y + , z +  2 3 4  1 1 1  13 183 Ta có p2 ≤++(234) xyz +++++  = 94 + = 2 3 4  12 4 183 ⇒ p ≤ . 2 Đẳng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi 35
xyz++=4;( xyz , , ≥ 0)   11 1 13  xy + z xyz + + +++ 61  2===3 4 12 =  2 3 4 9 108  17 x =  27  49 ⇔y =  36  217 z =  108 183 Vậy, Maxp = . 2 Mặt khác, ta đặ t a=+=+=+2 xb 1, 3 y 1, z 4 z 1,,, abc ≥ 1. p2=++( abc ) 2222 =+++ a b c 2( abbcca ++ ) (1) Mà abc2++=+ 2 2 32( xyz ++++ )( yz 2) ≥+ 32.411 = (2) Do abc, ,≥ 1⇒ ( ab− 1)( −+− 1) ( bc 1)( −+− 1) ( ca 1)( −≥ 1) 0 ⇔ab ++≥ bc ca2( a ++−= b c ) 3 2 p − 3 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra p2≥+11 2(2 p −⇔ 3) pp 2 − 4 −≥ 5 0⇒ p ≥ 5. Đẳng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi x = 4  y= z = 0. Vậy, Minp = 5. Ví d ụ 11. Tìm giá tr ị l ớn nh ất c ủa bi ểu th ức 1 T=( yz x −+ 1 zx y −+ 2 xy z − 3) xyz Gi ải. Điều ki ện: x≥1, y ≥ 2, z ≥ 3. x−1y − 2 z − 3 Bi ểu th ức được vi ết l ại T = + + x y z Áp d ụng b ất đẳ ng th ức Côsi đối v ới hai s ố không âm (x − 1);1 ta được x−1 + 1 x x−=1 ( x −≤ 1).1 VIETMATHS.NET = 2 2 x −1 1 ⇔ ≤ . x 2 Lập lu ận t ươ ng t ự nh ư trên, ta c ũng có 36
y − 2 1 ≤ y 2 2 z − 3 1 ≤ z 2 3 1 1 1 Nh ư v ậy, ta được T ≤ + + . 2 22 23 Đẳng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi x −1 = 1  x = 2 y −2 = 2  ⇔  y = 4 z −3 = 3  z = 6. x≥1, y ≥ 2, z ≥ 3 1 1 1 Vậy, MaxT = + + . 2 22 23 2.4. Ph ươ ng pháp t ọa độ véc t ơ Ta có các b ất đẳ ng th ức v ề véc t ơ như sau · ab+ ≤ a + b . D ấu đẳ ng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi a, b cùng h ướng. · a− b ≤ ab − . D ấu đẳ ng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi a, b cùng h ướng. · ab.≤ a . b . D ấu đẳng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi a, b cùng ph ươ ng. Ví d ụ 1. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố yfx=() = x2 +++ 22 x x 2 −+ 22 x Gi ải. Ta có xxx2+2 += 2 ( + 1) 2 +>∀∈ 1 0, x ℝ xxx2−2 += 2 ( − 1) 2 +>∀∈ 1 0, x ℝ . Ta vi ết l ại hàm s ố nh ư sau 2 2 yfx=() =() x +++ 112() x −+ 11 2 Trong m ặt ph ẳng t ọa độ Oxy , xét hai véc t ơ ux=+( 1;1), v =− (1 x ;1) Khi đó 2 2 uv+=(2;2), ux =++() 1 1, vx =−+() 1 1 u+ v = 2 2. Áp d ụng b ất đẳ ng th ức uv+ ≤ u + v , ta có 37
yfx=() = x2 +++ 22 x x 2 −+≥ 2222. x Dấu đẳ ng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi hai véc t ơ u, v cùng h ướng. Vì hai véc t ơ u, v có tung độ bằng nhau nên hoành độ cũng ph ải b ằng nhau, nh ư v ậy ta có x+=−11 x ⇔ x = 0. Vậy, Minf() x = 2 2, đạt t ại x = 0. Ví d ụ 2. Tìm giá tr ị lớn nh ất c ủa hàm s ố yfxx=() =++ 17 33 − x Gi ải. Điều ki ện: −17 ≤x ≤ 33. Trong m ặt ph ẳng t ọa độ Oxy , xét hai véc t ơ ux=+( 17; 33 − xv ), = (1;1). Khi đó uvx.=+ 17.1 + 33 −= xfx .1 () u= x +17 + 33 −= x 5 2 v = 2. Áp d ụng b ất đẳ ng th ức: uv.≤ u . v Ta được yfxx=() =++ 17 33 −≤ x 10. Dấu đẳ ng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi hai véc t ơ u, v cùng ph ươ ng. Vì véc t ơ v có hoành độ và tung độ b ằng nhau nên ta ph ải có x+17 = 33 − x ⇔x =8 ∈− [ 17;33]. Vậy, Maxf( x )= 10. x∈[ − 17;33] BÀI T ẬP CH ƯƠ NG I Bài 1. Tìm t ập giá tr ị c ủa hàm s ố 2x − 1 y = . x2 + x + 4 x +1 Bài 2. Cho hàm s ố y = . Tìm các giá tr ị a > 0 để t ập giá tr ị c ủa hàm s ố đã cho ch ứa x2 + a đoạn [0;1]. VIETMATHS.NET Bài 3. Tìm các giá tr ị c ủa m để hàm s ố 1 y = x2 −( m + 1) xm + là hàm s ố ch ẵn. 38
Bài 4. Cho hàm s ố y= f( x ) xác định trên ℝ th ỏa fab(+= ) fa () + fb (),, ∀∈ ab ℝ . Ch ứng minh r ằng 1) f (0)= 0; 2) y= f( x ) là m ột hàm s ố l ẻ. Bài 5. Cho hàm s ố y= f( x ) xác định trên ℝ và là hàm s ố l ẻ, th ỏa f (0)≠ 0. Chứng minh rằng số nghi ệm c ủa ph ươ ng trình f( x )= 0 là m ột s ố ch ẵn. Bài 6. Cho hàm s ố y= f( x ) xác định trên ℝ th ỏa f ( x )≠ 0, ∀ x ∈ ℝ và fxx(12++−= ) fxx ( 12 )2()(),, fxfx 1212 ∀∈ xx ℝ . Ch ứng minh r ằng 1) f (0)= 1; 2) y= f( x ) là m ột hàm s ố ch ẵn. Bài 7. Ch ứng minh các hàm s ố cho sau đây là hàm s ố tu ần hoàn, tìm chu kì (n ếu có) 1) y=cos(2 x + 3); 2) y= sin2 x . Bài 8. Ch ứng minh các hàm s ố cho sau đây không ph ải là m ột hàm s ố tu ần hoàn 1) y= x3 + 2 x 2 ; 2) y= x − 1 ; x 3) y = . x2 −1 Bài 9. Ch ứng minh hàm s ố Đirichlê 1, x ∈ℚ f( x ) =  0,x ∈ℝ \ ℚ là m ột hàm s ố tu ần hoàn nh ưng không có chu k ỳ. x +1 Bài 10. Cho các hàm s ố y= f( x ) = và y= gx() = 2 x − 1 x −1 1) Xác định hàm s ố y= f( fx ( )); 2) Xác định hàm s ố y= fgx( ( )). 1 Bài 11. Cho hàm s ố y= f( x ) = . Kí hi ệu fx( )= ff ( ( x )) , v ới n∈ℕ và n ≥ 2. Xác 1 1− x n n −1 định hàm s ố y= f100 ( x ).  1 1− 2x , x <  2 x−1, x ≥ 1 Bài 12. Cho các hàm s ố y= f( x ) =  và y= g( x ) =  1 1−x , x < 1. 2x− 1, x ≥  2 Xác định các hàm s ố h ợp y= fgx( ( )), y = gfx ( ( )). 39
Bài 13. Cho hàm s ố yfx=() =− 2 1 − x . Tìm hàm s ố ng ược y= f−1( x ) . Bài 14. 1) Hãy xác định véc t ơ v= ( a ; b ), sao cho khi t ịnh ti ến đồ th ị c ủa hàm s ố x2 + x − 3 y = x + 2 theo véc t ơ v ta được đồ th ị c ủa hàm s ố cho trong các tr ường h ợp sau đây x2 − x − 7 a) y = ; x + 2 x2 +7 x + 9 b) y = ; x + 5 x2 +2 x − 4 c) y = . x + 3 x2 + x − 3 2) T ừ đồ th ị c ủa hàm s ố y = , suy ra đồ th ị c ủa các hàm s ố sau b ằng các phép bi ến x + 2 đổi nào ? −x2 − x + 3 a) y = ; x + 2 −x2 + 5 b) y = ; x + 2 1 Bài 15. T ừ đồ th ị c ủa hàm s ố y = , b ằng các phép bi ến đổ i đồ th ị nào để nh ận được đồ th ị x 3x − 7 của hàm s ố y = ? x − 2 Bài 16. Cho hàm s ố x2 −3 x + 1 y = . x − 3 1) D ựng đồ th ị (C) c ủa hàm s ố đã cho; 2) T ừ đồ th ị (C) hãy suy ra đồ th ị c ủa các hàm s ố sau x2 −3 x + 1 a) y = ; x − 3 x2 −3 x + 1 b) y = ; x − 3VIETMATHS.NET x2 −3 x + 1 c) y = ; x − 3 40
x2 −3 x + 1 d) y = . x − 3 Bài 17. Ch ứng minh đồ th ị c ủa hàm s ố 5 y = x2 −4 x + 3 nh ận đường th ẳng x = 2 làm tr ục đố i x ứng. Bài 18. Ch ứng minh đồ th ị c ủa hàm s ố yx=+44 x 3 + 3 x 2 − 2 x có đúng m ột tr ục đố i x ứng cùng ph ươ ng v ới tr ục tung. Bài 19. Ch ứng minh đồ th ị c ủa hàm s ố x2 +4 x − 2 y = x2 +1 không có tâm đối x ứng. Bài 20. Cho hàm s ố y=+ x44 ax 3 − 2 x 2 − 12 ax . Tìm các giá tr ị c ủa a để đồ th ị c ủa hàm s ố đã cho có tr ục đố i x ứng cùng ph ươ ng v ới tr ục Oy . x2+2 mx 2 + m 2 Bài 21. Cho hàm s ố y = có đồ th ị là (C ). x +1 m Tìm m để trên (Cm ) t ồn t ại hai điểm đố i x ứng nhau qua g ốc to ạ độ . Bài 22. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa các hàm s ố cho sau đây 1) y =2.33x − 4.3 2 x + 2.3 x trên đoạn [ −1; 1]; π 3π 2) y=cos3 x − 15cos x + 8 trên đoạn [ ; ]; 3 2 3) y= x3 −3 x 2 + 5 trên đoạn [0; 3]. Bài 23. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa các hàm s ố cho sau đây x2 3 1) y = 3 trên đoạn [ ; 2]; 2x − 1 4 2) y=(cos x + 1)sin xx , ∈π [0,2 ]. x+ y =2 − a Bài 24. Gi ả s ử (x , y ) là m ột nghi ệm của h ệ ph ươ ng trình  x2+ y 2 + xy = 3. Tìm các giá tr ị c ủa a để bi ểu th ức M= x2 + y 2 − xy đạt giá tr ị l ớn nh ất, giá tr ị nh ỏ nh ất. Bài 25. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố yx=+( 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4). 5 4 1 Bài 26. Cho x>0, y > 0 th ỏa mãn x+ y = . Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức A = + . 4 x4 y Bài 27. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố yx= ++−+1 x 225 x − . 41
Bài 28. Cho hai s ố d ươ ng x, y thay đổi th ỏa mãn điều ki ện x+ y ≥ 4 . Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức 3x2+ 4 y 3 + 2 A = + . 4x y 2 Bài 29. Tìm giá tr ị l ớn nh ất c ủa bi ểu th ức 1 T=( yzx −+ 3 zxy −+ 4 xyz − 5). xyz Bài 30. Xét các s ố d ươ ng x, y , z th ỏa mãn điều ki ện x+ y + z = 1. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức xyz2(+ ) yzx 2 ()( + zxy 2 + ) P = + + . yz zx xy Bài 31. Cho các s ố a, b , c d ươ ng thay đổi th ỏa mãn điều ki ện abc = 1. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức a3 b 3 c 3 A = + + . ()()11++bc()() 11 ++ ca()() 11 ++ ab Bài 32. Cho các s ố a, b , c d ươ ng thay đổi th ỏa mãn điều ki ện a+ b + c ≥ 3. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức a b c A = + + . b c a Bài 33. Cho các s ố x, y , z d ươ ng thay đổi th ỏa mãn điều ki ện x2+ y 2 + z 2 = 1. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức xy yz zx S = + + . z x y Bài 34. Cho các s ố a, b , c d ươ ng thay đổi th ỏa mãn điều ki ện a+ b + c = 1. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức (1+a)( 1 + b)( 1 + c ) A = . ()()()1−a 1 − b 1 − c Bài 35. Cho các s ố a, b , c d ươ ng thay đổi th ỏa mãn điều ki ện a2+ b 2 + c 2 = 3. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức ab2+ bc 2 + ca 2 M = . ()ab+ bc + ca 2 Bài 36. Cho các s ố x, y , z VIETMATHS.NETthay đổi th ỏa mãn điều ki ện ()()()x−12 +− y 2 2 +− z 1 2 = 1. Tìm giá tr ị l ớn nh ất c ủa bi ểu th ức Ax= +2 y + 3 z − 8. Bài 37. Cho các s ố a, b , c d ươ ng thay đổi th ỏa mãn điều ki ện a+ b + c = 1. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức 42
A= ab22 ++ bc 22 ++ ca 22 + . Bài 38. Cho các s ố x, y thay đổi th ỏa mãn điều ki ện x2+ y 2 = 1. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức xy+ y 2 A = . 1+ 2x2 + 2 xy Bài 39. Cho x, y , z là các s ố th ực d ương thay đổi. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức x1 y 1   z 1 Px= ++ y ++  z  + . 2yz 2 zx   2 xy Bài 40. Cho x, y , z là các s ố th ực d ươ ng thay đổi th ỏa mãn điều ki ện xyz =1. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức xyz2( +) yzx 2( +) zxy 2 ( + ) P = + + . yy+2 zzzz + 2 xxxx + 2 yy Bài 41. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố π  sin x −  4  π  y=, x ∈  ;π  . sinx+ 1 + 2cos 2 x 2  CH ƯƠ NG II. PH ƯƠ NG TRÌNH − H Ệ PH ƯƠ NG TRÌNH §1. CÁC KHÁI NI ỆM C Ơ B ẢN 1. Ph ươ ng trình 1.1. Định ngh ĩa Cho hai hàm s ố c ủa n bi ến th ực x1, x 2 , , x n là fxx(12 ; ; ; xn ), gxx ( 12 ; ; ; x n ). Ta g ọi b ộ n s ố n n th ực (x1 ; x 2 ; ; x n ) ∈ ℝ là m ột điểm trong ℝ . Khi đó các hàm s ố fxx(12 ; ; ; xn ), gxx ( 12 ; ; ; x n ) được xem là các hàm m ột bi ến x trong ℝn. Ta g ọi Ph ươ ng trình ẩn x là m ệnh đề ch ứa bi ến d ạng fx()= gx () (1) trong đó, f( x ) và g( x ) là nh ững bi ểu th ức ch ứa x. Ta g ọi f( x ) là v ế trái, g( x ) là v ế ph ải c ủa ph ươ ng trình (1). N ếu coi f và g là hàm c ủa n bi ến trong không gian ℝ thì (1) là ph ươ ng trình c ủa n ẩn x1, x 2 , , x n . Gi ả s ử f(x) có t ập xác đị nh là D1, g(x) có t ập xác đị nh là D2 thì D= D1 ∩ D 2 g ọi là tập (mi ền) xác đị nh c ủa ph ươ ng trình (1). N ếu xo ∈ D sao cho fx(o ) = gx( o ) là m ột m ệnh đề đúng thì xo được g ọi là m ột nghi ệm của ph ươ ng trình (1). Gi ải ph ươ ng trình (1) là tìm t ất c ả các nghi ệm c ủa nó, t ập h ợp các nghi ệm c ủa ph ươ ng trình kí hi ệu là S. N ếu S = ∅ thì ta nói ph ươ ng trình vô nghi ệm. 43
Chú ý. Trong m ột ph ươ ng trình (m ột ho ặc nhi ều ẩn), ngoài các ch ữ đóng vai trò là các ẩn s ố, còn có th ể có các ch ữ khác được xem nh ư nh ững h ằng s ố và được g ọi là tham s ố. Gi ải và bi ện lu ận ph ươ ng trình ch ứa tham s ố, ngh ĩa là xét xem v ới giá tr ị nào c ủa tham s ố thì ph ươ ng trình vô nghiệm, có nghi ệm và tìm các nghi ệm đó. Ch ẳng h ạn, (m2 +1) x + 5 = 0 và x2 +( m +1) x += 2 0 có th ể được coi là các ph ươ ng trình ẩn x, ch ứa tham s ố m. 1.2. Ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng, ph ươ ng trình h ệ qu ả 1.2.1. Ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng. Hai ph ươ ng trình được g ọi là tươ ng đươ ng với nhau khi chúng có cùng t ập h ợp nghi ệm. Khi hai ph ươ ng trình fx()= gx () ; fx1()= gx 1 () t ươ ng đươ ng với nhau ta dùng kí hi ệu fx()= gx () ⇔ fx1 () = gx 1 (). 6 Ví d ụ. Hai ph ươ ng trình 5 x – 3 = 0 và 2x − = 0 t ươ ng đươ ng v ới nhau vì cùng có nghi ệm 5 3 duy nh ất là x = . 5 Chú ý. N ếu theo đị nh ngh ĩa trên thì hai ph ươ ng trình vô nghi ệm c ũng được coi là t ươ ng đươ ng với nhau vì có cùng t ập h ợp nghi ệm đó là t ập h ợp ∅ . Vì v ậy, cách vi ết sau c ũng coi nh ư là đúng, tuy nhiên trong th ực t ế ít khi g ặp. Ch ẳng h ạn, x2 +=⇔3 0 cos x = 3. Sự t ươ ng đươ ng c ủa hai ph ươ ng trình có tính ch ất ph ản x ạ, đối x ứng, b ắc c ầu. 1.2.2. Ph ươ ng trình h ệ qu ả N ếu m ọi nghi ệm c ủa c ủa ph ươ ng trình fx()= gx () đều là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình fx1()= gx 1 () thì ph ươ ng trình fx1()= gx 1 () được g ọi là ph ươ ng trình h ệ qu ả của ph ươ ng trình fx()= gx () . Ta dùng kí hi ệu fx()= gx ()⇒ fx1 ()= gx 1 (). Ví d ụ. Ph ươ ng trình ( x2 −1)( x + 3) = 0 là ph ươ ng trình h ệ qu ả c ủa ph ươ ng trình x2 −1 = 0. 1.2.3. Các phép bi ến đổ i t ươ ng đươ ng ph ươ ng trình Quá trình gi ải m ột ph ươ ng trình là quá trình bi ến đổ i ph ươ ng trình đó để đi đế n m ột ph ươ ng trình đơ n gi ản h ơn mà ta đã bi ết cách gi ải. N ếu phép bi ến đổ i không làm thay đổi t ập xác định c ủa ph ươ ng trình thì ph ươ ng trình đã cho được bi ến đổ i t ươ ng đương, còn n ếu làm thay đổi t ập xác đị nh c ủa ph ươ ng trình thì có th ể t ập h ợp nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đã cho cũng đã b ị thay đổ i. Sau đây ta xét m ột s ố phép bi ến đổ i t ươ ng đươ ng. 1.2.3.1. Định lí. Cho ph ươ ng trình fx()= gx () . N ếu h( x ) có ngh ĩa trong t ập xác đị nh c ủa ph ươ ng trình đã cho thì fx()= gx () ⇔ fx () + hx () = gx () + hx (). (1) Ch ứng minh VIETMATHS.NET Trong (1) ta cho x m ột giá tr ị a nào đó thu ộc t ập xác đị nh c ủa ph ươ ng trình f(x) = g(x) thì ta có fa()= ga () ⇔ fa () + ha () = ga () + ha () là một m ệnh đề đúng. H ệ qu ả 1. Có th ể chuy ển các h ạng t ử t ừ v ế này sang v ế kia c ủa ph ươ ng trình, nh ưng ph ải đổi d ấu c ủa nó. 44
H ệ qu ả 2. M ọi ph ươ ng trình đều có th ể đưa v ề d ạng mà v ế ph ải b ằng không. Do v ậy, ta luôn có th ể kí hi ệu ph ươ ng trình là F(x) = 0. Chú ý. Điều ki ện h(x) có ngh ĩa trong t ập xác đị nh c ủa ph ươ ng trình f(x) = g(x) là điều ki ện đủ nh ưng không c ần. Nói khác đi, n ếu có điều ki ện ấy thì fx()= gx () ⇔ fx () + hx () = gx () + hx () là phép bi ến đổ i t ươ ng đươ ng, còn n ếu không có điều ki ện ấy thì phép biến đổ i trên có th ể tươ ng đươ ng ho ặc có th ể không. Ch ẳng h ạn, ph ươ ng trình x2 =1 và ph ươ ng trình 1 1 x2 + =1 + là t ươ ng đươ ng, nh ưng ph ươ ng trình x2 =1 không t ươ ng đươ ng v ới x−2 x − 2 1 1 ph ươ ng trình x2 + =1 + . x+1 x + 1 1.2.3.2. Định lí. Cho ph ươ ng trình f(x) = g(x). N ếu h(x) có ngh ĩa và khác không trong t ập xác định c ủa ph ươ ng trình đã cho thì fx()= gx () ⇔ fxhx ()() = gxhx ()(). Ch ứng minh t ươ ng t ự nh ư định lí 1.2.3.1. H ệ qu ả. Có th ể nhân hai v ế c ủa m ột ph ươ ng trình v ới m ột s ố khác không tùy ý. Ta c ũng có nh ận xét v ề h(x) t ươ ng t ự nh ư định lí 1.2.3.1. 1.2.3.3. Định lí. N ếu nâng hai v ế c ủa m ột ph ươ ng trình lên m ột l ũy th ừa b ậc l ẻ thì ta được một ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng v ới ph ươ ng trình đã cho. Ch ứng minh. Th ật v ậy, n ếu a là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình f(x) = g(x) t ức là f(a) = g(a) là đúng thì ta có 21k+ 21 k + [ fa()] =[ ga (),] k ∈ ℕ . 21k+ 21 k + Ngh ĩa là a là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình [ fx()] = [ gx ()] . 21k+ 21 k + 21k+ 21 k + Đảo l ại, n ếu a là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình [ fx()] = [ gx () ] thì [ fa()] = [ ga () ] là đẳng th ức đúng. Do đó, f(a) = g(a) c ũng là đẳng th ức đúng hay a là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình f(x) = g(x). Chú ý. Phép bi ến đổ i nâng hai v ế c ủa ph ươ ng trình lên m ột l ũy th ừa b ậc ch ẵn là phép bi ến đổ i hệ qu ả, nó ch ỉ là phép bi ến đổ i t ươ ng đươ ng n ếu hai v ế c ủa ph ươ ng trình đều không âm trên tập xác đị nh. 2k 2 k fxgx()=⇔ ()[ fx ()] =[ gx ()] ,(()0,()0). fx ≥≥ gx N ếu sau m ột phép bi ến đổ i nào đó, t ập xác đị nh c ủa ph ươ ng trình đã cho mở r ộng ra thì tập h ợp nghi ệm c ủa nó c ũng có th ể m ở r ộng ra, khi đó có th ể xu ất hi ện nh ững nghi ệm, ta g ọi là nghi ệm ngo ại lai ( đố i v ới ph ươ ng trình đã cho). Nh ững nghi ệm ngo ại lai đó (n ếu có) là nh ững nghi ệm c ủa ph ươ ng trình sau khi bi ến đổ i và thu ộc vào phần m ở r ộng c ủa t ập xác đị nh. Nếu tập xác đị nh m ở r ộng ra nh ưng không có nghi ệm ngo ại lai thì ph ươ ng trình đã cho và ph ươ ng trình bi ến đổ i v ẫn t ươ ng đươ ng. N ếu sau m ột phép bi ến đổ i nào đó, t ập xác đị nh c ủa ph ươ ng trình đã cho b ị thu h ẹp l ại thì t ập nghi ệm c ủa nó c ũng có th ể b ị thu h ẹp l ại, m ột s ố nghi ệm nào đó có th ể m ất đi. Nh ững nghi ệm m ất đi đó (n ếu có) là nh ững nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đã cho nh ưng thu ộc vào ph ần b ị thu h ẹp c ủa t ập xác đị nh. N ếu t ất c ả các giá tr ị c ủa ẩn s ố b ị m ất đi khi t ập xác định b ị thu h ẹp 45
không th ỏa mãn ph ươ ng trình đã cho, thì ph ươ ng trình đã cho và ph ươ ng trình bi ến đổ i v ẫn tươ ng đươ ng. 2. H ệ ph ươ ng trình – Tuy ển ph ươ ng trình 2.1. Định ngh ĩa. Cho m ph ươ ng trình fx1()= gx 1 () fx()= gx () 2 2 fm() x= g m () x (có th ể coi x= ( xx1; 2 ; ; x n ) , khi đó các fxgxii( ), i ( ),= 1,2, , m là nh ững hàm n bi ến). Gi ả s ử m ph ươ ng trình đã cho có t ập xác đị nh l ần l ượt là D1, D 2 , , D m . Ta g ọi hệ m ph ươ ng trình kí hi ệu là  fx1()= gx 1 ()   fx2()= gx 2 () (1)     fm() x= g m () x m D= ∩ D i là t ập xác đị nh c ủa h ệ (1). i=1 M ột giá tr ị a∈ D c ủa bi ến x làm cho t ừng ph ươ ng trình c ủa h ệ (1) đề u tr ở thành đẳng th ức đúng được g ọi là m ột nghi ệm c ủa h ệ (1). Kí hi ệu Si là t ập h ợp nghi ệm c ủa ph ươ ng trình th ứ i m của h ệ (1) thì t ập h ợp nghi ệm c ủa h ệ (1) là S= ∩ S i . Khi S = ∅ ta nói h ệ vô nghi ệm. i=1 2.2. Định ngh ĩa. Ta c ũng g ọi tuy ển c ủa m ph ươ ng trình kí hi ệu là  fx1()= gx 1 ()  fx()= gx ()  2 2 (2)    fm() x= g m () x m T ập xác đị nh c ủa tuy ển ph ươ ng trình (2) c ũng là D= ∩ D i , v ới Di là t ập xác đị nh c ủa i=1 ph ươ ng trình th ứ i. N ếu có m ột giá tr ị a∈ D của x làm cho m ột ph ươ ng trình nào đó c ủa tuy ển ph ươ ng trình (2) tr ở thành đẳng th ức đúng thì a được g ọi là m ột nghi ệm c ủa tuy ển ph ươ ng trình (2). T ập m hợp nghi ệm c ủa tuy ển ph ươ ng trình (2) là S= S , S là t ập hợp nghi ệm c ủa ph ươ ng trình VIETMATHS.NET∪ i i i=1 th ứ i c ủa tuy ển ph ươ ng trình (2). Khái ni ệm t ươ ng đươ ng c ủa h ệ ph ươ ng trình, tuy ển ph ươ ng trình c ũng t ươ ng t ự nh ư ph ươ ng trình. 2.3. Các định lí v ề h ệ ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng 46
2.3.1. Định lí. N ếu Fxx(;12 ; ; xn )= 0 ⇔ xfx 112 = ( ; ; x n ) thì Fxx( ; ; ; x) = 0  xfx = ( ; ; x ) 112n  112 n Fxx(); ; ; x= 0  Ffx (() ; ; xx ; ; ; x ) = 0 212n ⇔  212n 2 n     Fxxm()12; ; ; x n= 0  Ffx m ( 12() ; ; xx nn ; 2 ; ; x ) = 0 2.3.2. Định lí F1=0  F 1 = 0   F=0 nFnF + = 0 2  121 222 F3=⇔0  nFnFnF 131 + 232 + 333 = 0     Fm=0  nFnF11 m +++ 2 m 2 nF mm m = 0 2.4. Định lí v ề tuy ển ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng F1 = 0  F = 0 F. F F = 0 ⇔  2 1 2 m   Fm = 0 §2. PH ƯƠ NG TRÌNH B ẬC NH ẤT, B ẬC HAI M ỘT ẨN 1. Ph ươ ng trình b ậc nh ất m ột ẩn 1.1. Định ngh ĩa. Ph ươ ng trình b ậc nh ất m ột ẩn là ph ươ ng trình ax+= b0, a , b ∈ℝ , a ≠ 0. b Ph ươ ng trình b ậc nh ất có m ột nghi ệm duy nh ất x = − . a 1.2. Gi ải và bi ện lu ận ph ươ ng trình d ạng ax+ b = 0 (1) b · a ≠ 0 , ph ươ ng trình (1) có m ột nghi ệm duy nh ất x = − . a · a=0, b ≠ 0 , ph ươ ng trình (1) vô nghi ệm. · a=0, b = 0 , ph ươ ng trình (1) có nghi ệm tùy ý. Ví d ụ. Gi ải và bi ện lu ận ph ươ ng trình (m2 − mx) = m − 1 (*) Ta xét các tr ường h ợp 1 (i) m2 − m ≠0 ⇔ m ≠ 0 và m ≠ 1 thì ph ươ ng trình (*) có m ột nghi ệm duy nh ất là x = m 2 m =1 (ii) m− m =0 ⇔  m = 0 · m = 0 thì (*) ⇔0x = − 1 , ph ươ ng trình vô nghi ệm. · m = 1 thì (*) ⇔0x = 0 , ph ươ ng trình có nghi ệm tùy ý. 47
Kết lu ận. 1 · N ếu m ≠ 0 và m ≠ 1 thì (*) có nghi ệm là x = . m · N ếu m = 0 thì (*) vô nghi ệm. · N ếu m = 1 thì (*) có nghi ệm tùy ý. 1.3. M ột số ph ươ ng trình qui v ề ph ươ ng trình b ậc nh ất m ột ẩn ax+ b Đó là các ph ươ ng trình d ạng: =0;ax +=+ b cx d ; ax +=+ b cx d . cx+ d ax+ b Khi gi ải ph ươ ng trình d ạng = 0 ta ph ải đặ t điều ki ện cho m ẫu khác không. Để gi ải các cx+ d ph ươ ng trình ax+=+ b cx d; ax +=+ b cx d , ta ph ải kh ử d ấu giá tr ị tuy ệt đố i b ằng đị nh ngh ĩa và tính ch ất c ủa d ấu giá tr ị tuy ệt đố i. A; A ≥ 0 · A =  −A; A < 0  A= B · A= B ⇔   A= − B B ≥ 0  · A= B ⇔ A= B  A= − B Ví d ụ 1. Gi ải và bi ện lu ận ph ươ ng trình x− m x − 2 = (*) x+1 x − 1 Điều ki ện: x ≠ ± 1 Khi đó, (*)⇔− (xmx )( −=− 1) ( x 2)( x + 1) ⇔mx = m + 2 (2) Ta xét các tr ường h ợp m + 2 (i) m ≠ 0 thì (2) có m ột nghi ệm x = . m So sánh v ới điều ki ện: m + 2 · x≠⇔1 ≠⇔+≠⇔≠ 1 m 2 m 20 , luôn th ỏa. m m + 2 · x≠−⇔1 ≠−⇔VIETMATHS.NET 12 mmm +≠− ⇔ ≠− 1. m (ii) m = 0 thì (2)⇔ 0x = 2 , ph ươ ng trình vô nghi ệm. Kết lu ận. 48
m + 2 + Nếu m ≠ 0 và m ≠ − 1 thì (*) có nghi ệm là x = . m + Nếu m = 0 ho ặc m = − 1 thì (*) vô nghi ệm. Ví d ụ 2. Gi ải và bi ện lu ận ph ươ ng trình mx+ m −2 = x + m + 1 (1) Gi ải. mx+ m −=2 x + m + 1 (m−1) x = 3 (1 a ) (1) ⇔  ⇔  mx+ m −2 =−− x m − 1 (mx+ 1) = 1 − 2 m (1 b ) * (m− 1) x = 3 (1 a) 3 · m ≠ 1 thì (1a ) ⇔ x = m −1 · m = 1 thì (1a )⇔ 0 x = 3 , ph ươ ng trình (1 a) vô nghi ệm. * (m+ 1) x = 1 − 2 m (1 b) 1− 2 m · m ≠ − 1 thì (1b ) ⇔ x = m +1 · m = − 1 thì (1b )⇔ 0 x = 3 , ph ươ ng trình (1 b) vô nghi ệm. Kết lu ận. 1 + Nếu m = 1 thì ph ươ ng trình (1) có m ột nghi ệm là x = − . 2 3 + Nếu m = − 1 thì ph ươ ng trình (1) có m ột nghi ệm là x = − . 2 3 1− 2 m + Nếu m ≠ 1 và m ≠ − 1 thì ph ươ ng trình (1) có hai nghi ệm là x = và x = (hai m −1 m +1 nghi ệm không b ằng nhau v ới ∀∈mℝ, m ≠± 1 ). Ví d ụ 3. Tìm m để ph ươ ng trình 3xm− 221 xm + − +x −2 = (1) x−2 x − 2 vô nghi ệm. Gi ải. Điều ki ện: x > 2 Khi đó, (1)⇔ 3xmx −+−= 2 2 x + 2 m − 1 ⇔2x = 3 m + 1 3m + 1 ⇔x = 2 49
3m + 1 Ph ươ ng trình (1) vô nghi ệm khi và ch ỉ khi ≤⇔2314m +≤⇔ m ≤ 1 . 2 Ví d ụ 4. Tìm điều ki ện c ủa tham s ố a, b để ph ươ ng trình ax−1 b ax2 + a + = (1) x−1 x + 1 x 2 − 1 có nghi ệm. Gi ải. Điều ki ện: x ≠ ± 1 Khi đó, (1)⇔ (ax − 1)( x ++ 1) b ( x −= 1) ax2 + a ⇔(ab +− 1) xab =++ 1 (2) · Xét a+ b −1 = 0, khi đó (2) vô nghi ệm, do đó (1) vô nghi ệm. a+ b + 1 · Xét a+ b −1 ≠ 0 , khi đó (2) ⇔x = a+ b − 1 Từ điều ki ện ta ph ải có a+ b + 1  ≠ 1 a+ b − 1 ab++≠+−1 ab 1  11 ≠− ⇔  ⇔  ⇔+≠a b 0 ab++1 ab ++≠−−+ 1 ab 12()0  ab +≠  ≠ − 1 a+ b − 1 Vậy, ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm khi và ch ỉ khi a+ b ≠ 0 và a+ b ≠ 1. Ví d ụ 5. Gi ải ph ươ ng trình 3− 2 x − x = 5 (1) 3x+ 2 + x − 2 Gi ải. Khi g ặp bài toán có nhi ều d ấu giá tr ị tuy ệt đố i ta s ẽ gi ải b ằng cách chia kho ảng để xét d ấu. Ta có b ảng xét d ấu sau 2 3 x −∞ − 3 0 2 +∞ x − − + + 2+ 3 x − + + + 3− 2 x + + + −  23+x +−≠ x 20 (1a ) (1) ⇔  VIETMATHS.NET  32−xx −= 523() + xx +− 2 (1b ) Ta gi ải (1b). 2 + Xét x<−,(1) b ⇔− 32 xx +=−− 5(23 xx +− 2) 3 50
23 ⇔9x =− 23 ⇔ x =− (nh ận). 9 2 + Xét −≤ 0 thì ph ươ ng trình (1) có hai nghi ệm phân bi ệt x = . 1,2 2a b Ngoài ra, n ếu đặ t b' = thì ∆' =b ' 2 − ac g ọi là bi ệt th ức thu g ọn c ủa ph ươ ng trình (1). Ta 2 cũng có ba tr ường h ợp sau: i) Nếu ∆' 0 thì ph ươ ng trình (1) có hai nghi ệm phân bi ệt là x = . 1,2 a 2.2. Định lí Viet 51
2 N ếu ph ươ ng trình b ậc hai ax+ bx + c = 0 có nghi ệm x1, x 2 thì b c x+ x = − và x. x = . 1 2 a 1 2 a Đảo l ại n ếu hai s ố x, y th ỏa mãn x + y = S và x.y = P thì x, y là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình bậc hai X2 − SX + P = 0 (*) ( Điều ki ện để (*) có nghi ệm là S2 −4 P ≥ 0). Từ đó, ta có h ệ qu ả sau: c 2.2.1. N ếu a + b + c = 0 thì ph ươ ng trình (1) có m ột nghi ệm b ằng 1 và nghi ệm kia b ằng . a 2.2.2. Nếu a – b + c = 0 thì ph ươ ng trình (1) có m ột nghi ệm b ằng −1 và nghi ệm kia b ằng c − . a 2.3. M ột s ố ví d ụ Ví d ụ 1. Cho ph ươ ng trình x2 −2(1 + 2 mx ) ++ 3 4 m = 0 (1) a) Tìm điều ki ện để ph ươ ng trình có nghi ệm; 3 3 b) Tính bi ểu th ức x1+ x 2 theo m; c) Tìm m để ph ươ ng trình có m ột nghi ệm b ằng ba l ần nghi ệm kia; 2 2 d) Vi ết ph ươ ng trình b ậc hai có nghi ệm là x1 và x2 , trong đó x1, x 2 là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (1). Gi ải.  2 m ≥ 2 2 a) Ph ươ ng trình (1) có nghi ệm khi và ch ỉ khi ∆ =4m − 2 ≥ 0 ⇔   2 m ≤ −  2 b) Ta có Axx=+=+3 3 xx xx +2 − 3 xx  12()() 12 12 12  Theo định lí Viet ta có: xx12+=+2(1 2 mxx ); 12 . =+ 3 4 m Thay vào ta có: A=+2(1 2 mmm )(162 +− 4 5) x+ x =2(1 + 2 m ) (a)  1 2 c) Ta có x1 x 2 =3 + 4 m (b)  x1= 3 x 2 (c) VIETMATHS.NET1+ 2 m 3+ 6 m Thay (c) vào (a) ta có x = , do đó x = 2 2 1 2 12+m  36 + m  Thay x, x vào (b) ta được  .  = 4m + 3 1 2 2  2  ⇔12m2 + 12 m += 3 16 m + 12 52
⇔12m2 − 4 m −= 9 0 −1 ± 2 7 ⇔m = 6 Kết h ợp v ới điều ki ện ban đầ u (câu a) ta th ấy hai giá tr ị này c ủa m đều th ỏa mãn. 2 2 2   2 d) Sxxxx=+=+−1 2()()() 122 xx 12 = 212 + m  −+ 234 m =28( m2 + 4 m − 1 ) 2 2 2 Pxx=1 2 =()3 + 4 m . 2 Vậy, ph ươ ng trình c ần tìm là: X2−28( mmX 2 +− 41) ++() 34 m = 0. Ví d ụ 2. Gi ải và bi ện lu ận ph ươ ng trình a b + = 2 (1) x− b x − a Gi ải. x≠ a Điều ki ện:  (*) x≠ b (1)⇔axa ( −+ ) bxb ( −− ) 2( xaxb − )( −= ) 0  a+ b x = ⇔x − ab + 2 x − ab +  = 0 ⇔  ()()    2 x= a + b Th ử điều ki ện (*)  a+ b x= ≠ a  2 x= a + b ≠ a  ⇔a ≠ b và  ⇔ab ≠ 0 a+ b x= a + b ≠ b x= ≠ b  2 Bi ện lu ận. a≠ b a+ b · N ếu  thì ph ươ ng trình (1) có nghi ệm là x=; xab = + . Hai nghi ệm này b ằng ab ≠ 0 2 nhau khi a= − b ≠ 0. a≠ b b · N ếu  thì ph ươ ng trình (1) có nghi ệm là x = . a = 0 2 a≠ b a · N ếu  thì ph ươ ng trình (1) có nghi ệm là x = . b = 0 2 · N ếu a≠ b ≠ 0 thì ph ươ ng trình (1) có nghi ệm là x= 2 a . · N ếu a = b = 0 thì ph ươ ng trình (1) vô nghi ệm. Ví d ụ 3. Gi ải và bi ện lu ận ph ươ ng trình 53
1 a− b a + b x + = + (1) x ab+ ab − Gi ải. a≠ ± b Điều ki ện:  . x ≠ 0 ab−+  ab  ab +− ab Ta có ()1⇔−xx  −  =⇔= 0 xx ∨= . ab+−  ab  ab −+ ab Bi ện lu ận. · N ếu a= ± b thì ph ươ ng trình vô nghi ệm. ab− ab + · N ếu a≠ ± b thì ph ươ ng trình có 2 nghi ệm x=, x = . ab+ ab − Ví d ụ 4. Cho hai ph ươ ng trình xxm2−+=0 (1); x 2 −+= 3 xm 0 (2) . Tìm m để ph ươ ng trình (2) có m ột nghi ệm khác không g ấp hai l ần m ột nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (1). Gi ải. Gi ả s ử x0 là m ột nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (1) và 2x0 là m ột nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (2). Khi đó x = 0 x2 − x + m = 0 0  0 0 ⇒ 3x2 − 5 x = 0 ⇒  2 0 0  5 4x− 6 x + m = 0 x0 = 0 0  3 10 ⇒ m=0 ∨ m =− . 9 Với m = 0, thay vào hai ph ươ ng trình đã cho thì không th ỏa, do đó m = 0 b ị lo ại. 10 10 Với m = − , th ấy th ỏa mãn yêu c ầu bài toán. V ậy, giá tr ị c ần tìm là m = − . 9 9 2 2 Ví d ụ 5. Ch ứng minh r ằng n ếu hai ph ươ ng trình x+ pxq11 +=0, x + pxq 22 += 0 có nghi ệm chung thì (qq−+− )(2 p pqpqp )( − )0 = . VIETMATHS.NET1 2 1 22112 Gi ải. Hai ph ươ ng trình có nghi ệm chung khi và ch ỉ khi h ệ ph ươ ng trình x2 + px + q = 0 1 1 có nghi ệm  2 x+ px2 + q 2 = 0 54
 px+ y = − q hay h ệ ph ươ ng trình  1 1 có nghi ệm ( ở đây y= x 2 ) .  px2+ y = − q 2 Ta có D= p1 − p 2 . + N ếu D≠0 ⇔ p1 = p 2 D qq−D pqpq − Khi đó x==x 21; y ==y 2112 Dpp12− D pp 12 − 2 2 Mà yx= ⇒ ( qq1−+− 2 )( ppqpqp 1 22112 )( − )0 =  px1+ y = − q 1 + N ếu D=0 ⇔ p1 = p 2 h ệ  có nghi ệm ⇔q1 = q 2 ,khi đó ta c ũng có  px2+ y = − q 2 2 (qq1−+− 2 )( p 1 pqpqp 22112 )( − )0. = Từ đó, ta có đpcm. Ví d ụ 6. Ch ứng minh r ằng n ếu aa12≥2( b 1 + b 2 ) thì ít nh ất m ột trong hai ph ươ ng trình sau có nghi ệm 2 2 x++= axb110; x + axb 22 += 0. Gi ải. 2 2 ∆+∆=−12112112a4 ba +− 42 b ≥ aa − 4( bb 12 + )0 ≥ ⇒ max (∆ 12 , ∆) ≥ 0 . Ta có đpcm. 2 2 Ví d ụ 7. Gi ả s ử ph ươ ng trình x+ ax + b = 0 có nghi ệm x1, x 2 ; ph ươ ng trình x+ cx + d = 0 có nghi ệm x3, x 4 . Ch ứng minh r ằng 222 2 2(xxxxxxxx1+ 31 )( + 42 )( + 32 )( +=−−− 4 )2( bd )( acbd )( −++ )( acbd )( + ) Gi ải. 2 (xxxx1314134134+ )( +=++ ) x ( xxxxx ) + =−−+ ()() db acx 1 2 (xxxx2324234234+ )( +=++ ) x ( xxxxx ) + =−−+ ()() db acx 2 2 2 ⇒ S=+( xxxxxxxx1 31 )( + 42 )( + 32 )( +=−−− 4 )( bd )( bdacaacb )( +++ )( ) Tươ ng t ự S=−( db )(2 −− dbacc )( + )( ++ acd ) 2 ⇒ 2S=−−− 2( bd )(222 acbd )( −++ )( ac 222 )( bd + ). Ví d ụ 8. Cho ph ươ ng trình x2−(2sin α− 1) x + 6sin 2 α− sin α−= 1 0 (1) a) Tìm α để ph ươ ng trình (1) có nghi ệm; b) G ọi x1, x 2 là hai nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (1), tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa 2 2 bi ểu th ức A= x1 + x 2 . 55
Gi ải. a) Ta có 1 1 ycbt ⇔0 ≤∆=− 20sin2 α+⇔− 5 ≤ sin α≤ 2 2 π π5 π 7 π ⇔− +2k π≤α≤ + 2 k π∨ + 2 k π≤α≤ + 2. k π 6 6 6 6 b) Ta có 2 2 A=( xx1 + 2 ) − 2 xx 12 =− 8sin α− 2sin α+= 3 25 1 25 = −2(2sin α+ ) 2 ≤ 8 4 8 25 1 25 A= ⇔sin α=− ⇒ max A = . 8 8 8 Mặt khác 1 1 1 A =−38sin2 α− 2sin α≥− 38. − 2. = 0⇒ minA = 0 đạt được khi sinα = . 4 2 2 2 Ví d ụ 9. Tìm a để các nghi ệm x1, x 2 c ủa ph ươ ng trình x+ ax +1 = 0 th ỏa mãn 2 2 x1 x 2 2+ 2 > 7. x2 x 1 Gi ải. 2 Theo định lý Viet, vì x1, x 2 là hai nghi ệm c ủa ph ươ ng trình x+ ax +1 = 0 nên x1+ x 2 =− axx, 12 = 1. Theo bài ra ta có 2 2 x1 x 2 2+ 2 > 7 x2 x 1 2  2 2 2 (xx12+ )2 − xx 12  − 2 xx 12 ⇔2 2 > 7 x1 x 2 ⇔(a22 − 2) −>⇔ 27 ( a 22 − 2) > 9. Do đó ∆=−≥a240  a 2 ≥ 4  a 2 ≥ 4 ycbt ⇔ ⇔  ⇔  ⇔>|a | 5. (a22−> 2)9VIETMATHS.NET  | a 2 −> 2|3  a 2 −> 23 3. M ột s ố ph ươ ng trình b ậc b ốn có th ể đưa v ề ph ươ ng trình bậc hai m ột ẩn (qua phép đặt ẩn ph ụ) 3.1. Ph ươ ng trình trùng ph ươ ng: ax4+ bx 2 + c = 0, đặt t= x 2 ≥ 0, khi đó ph ươ ng trình đã cho được đưa v ề ph ươ ng trình b ậc hai đố i v ới bi ến t. 56
3.2. Ph ươ ng trình d ạng: (xaxbxcxd+ )( + )( + )( += ) k , v ới a+ b = c + d . Đặt t=( xaxb + )( + ), khi đó ph ươ ng trình đã cho được đưa v ề ph ươ ng trình b ậc hai đố i v ới bi ến t. 4 4 a+ b 3.3. Ph ươ ng trình d ạng: ()()xa+ ++ xb = c . Đặt t= x + , ph ươ ng trình được đưa v ề 2 ph ươ ng trình trùng ph ươ ng ab− ab − 2t4+ 12( ) 22 t + 2( ) 4 = c . 2 2 3.4. Ph ươ ng trình d ạng: ax4+ bx 3 + cx 2 ++= bx a0,( a ≠ 0) (Ph ươ ng trình b ậc b ốn h ồi quy). Chia hai v ế c ủa ph ươ ng trình cho x2 (vì x = 0 không ph ải là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình), 1  1  ph ươ ng trình tr ở thành ax2 +  + bx +  += c 0. x2  x  1 Đặt t= x + , t ≥ 2, ta được ph ươ ng trình b ậc hai theo bi ến t x at2 + bt +− c2 a = 0. Đối v ới ph ươ ng trình d ạng ax4+ bx 3 + cx 2 −+= bx a0,( a ≠ 0) (Ph ươ ng trình b ậc b ốn ph ản h ồi quy), ta c ũng có cách bi ến đổ i nh ư trên v ới phép đặ t 1 t= x − , t ∈ℝ, khi đó ph ươ ng trình đã cho được đư a v ề ph ươ ng trình b ậc hai theo bi ến t x at2 + bt ++ c2 a = 0. Ví d ụ 1. Tìm m để ph ươ ng trình x4−2( m + 1) x 2 + 2 m += 1 0 (1) a) Có b ốn nghi ệm phân bi ệt; b) Có ba nghi ệm phân bi ệt; c) Có hai nghi ệm phân bi ệt. Gi ải. Đặt t= x 2 ≥ 0, ph ươ ng trình (1) tr ở thành t2 −2( m + 1) t + 2 m += 1 0 (2) a) (1) có bốn nghi ệm phân bi ệt khi và ch ỉ khi (2) có hai nghi ệm d ươ ng phân bi ệt   2 2 ∆='()m + 1 − 210 m −> m > 0 m ≠ 0    ⇔S =2( m + 1) > 0 ⇔  m > − 1 ⇔  1    m > − P=210 m + > 1  2  m > −  2 b) (1) có ba nghi ệm phân bi ệt khi và ch ỉ khi (2) có t1=0, t 2 > 0 57
 1 P=2 m + 1 = 0 m = − 1 ⇔ ⇔  2 ⇔=−m S=2( m + 1) > 0 2 m > − 1 c) (1) có hai nghi ệm phân bi ệt khi và ch ỉ khi ho ặc là (2) có nghi ệm kép d ươ ng ho ặc (2) có hai nghi ệm trái d ấu ∆' =m2 = 0 m = 0  ⇔ ⇔  S=2( m + 1) > 0  1  m < − . P=2 m + 1 < 0  2 Ví d ụ 2. Cho ph ươ ng trình (xxxx+ 2)( + 3)( − 4)( ++ 9) 190 = m (1) Tìm m để ph ươ ng trình có nghi ệm x ∈[ − 1;0]. Gi ải. (1) ⇔++(xxxx2 5 6)( 2 +−+ 5 36) 190 = m Đặt txxx=2 +5 ; ∈− [ 1;0]⇒ t ∈ [ − 4;0]. Ta có ph ươ ng trình (tt+ 6)( − 36) + 190 =⇔− mtt2 30 −= 26 m (2) (1) có nghi ệm x ∈[ − 1;0] khi và ch ỉ khi (2) có nghi ệm t ∈[ − 4;0], khi và ch ỉ khi m thu ộc mi ền giá tr ị c ủa hàm s ố ft( )= t2 − 30 t − 26 trên đoạn [− 4;0]. ftt′( )= 2 − 30 =⇔= 0 t 15 ∉− [ 4;0], f′( t )< 0, ∀∈− t [ 4;0] nên hàm s ố ft( )= t2 − 30 t − 26 ngh ịch bi ến do đó có mi ền giá tr ị trên đoạn [− 4;0] là [ff (0); (− 4)]; f ( −= 4) 110, f (0) =− 26. Vậy, giá tr ị m c ần tìm là −26 ≤m ≤ 110. Ví d ụ 3. Cho ph ươ ng trình x4+ mx 3 +2 mx 2 ++= mx 1 0 (1) 1 a) Gi ải ph ươ ng trình khi m = − ; 2 b) Tìm m để ph ươ ng trình có nghi ệm. Gi ải. Do x = 0 không ph ải là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (1) nên chia hai v ế c ủa ph ươ ng trình (1) cho x2 ≠ 0, ta được 11 1 1 xmxmm2 +++2 . +=⇔+ 0( x2 )()20 + mx ++= m xx2 x 2 x 1 1 Đặt txt= +;2 ≥ ⇒ x2+VIETMATHS.NET = t 2 − 2. x x 2 Khi đó, ph ươ ng trình tr ở thành f( t )=+ t2 mt + 2 m −= 2 0. (2) 1 a) V ới m = − 2 58
t = 2 2 1  (2) ⇔t − t −3 = 0 ⇔  3 2 t = − .  2 1 Ta nh ận t= 2⇒ x+ = 2 ⇔ x = 1. x 1 Vậy, v ới m = − ph ươ ng trình có m ột nghi ệm x = 1. 2 b) Ph ươ ng trình (1) có nghi ệm khi và ch ỉ khi ph ươ ng trình (2) có nghi ệm t ≥ 2. Xét bài toán ng ược “Tìm điều ki ện để ph ươ ng trình đã cho vô nghi ệm”. Ph ươ ng trình (1) vô nghi ệm khi và ch ỉ khi ph ươ ng trình (2) ho ặc vô nghi ệm ho ặc có hai nghi ệm ∈( − 2;2) ∆ 0, af (2) > 0 2> 0, 4m + 2 > 0    S  m −2 < < 2 −2 <− < 2  2  2 1 Vậy, v ới m≤− ∨ m ≥4 + 2 2 thì ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm. 2 Ví d ụ 4. Gi ải ph ương trình (x+ 4)( x + 5)( x + 7)( x += 8) 4 Gi ải. Vi ết l ại ph ươ ng trình d ưới d ạng (x2++ 12 x 32)( x 2 ++= 12 x 35) 4 Đặt t= x2 +12 x + 32 ≥− 4, ph ươ ng trình đã cho tr ở thành t = 1 tt(3)4+ = ⇔ tt2 + 340 − = ⇔  t = − 4 x = −6 + 5 Với t = 1, ta có xx2+12 + 32 = 1 ⇔ xx 2 + 12 + 31 = 0 ⇔   x = −6 − 5. Với t = − 4, ta có xx2+12 + 32 =−⇔ 4 xx 2 + 12 + 36 =⇔=− 0 x 6. Vậy, ph ươ ng trình đã cho có ba nghi ệm x=−6; x =− 6 ± 5. Ví d ụ 5. Gi ải ph ươ ng trình (x+ 4)4 ++ ( x 6) 4 = 82 59
Gi ải. Đặt t= x + 5, ph ươ ng trình đã cho tr ở thành t = 4 (tt−++=⇔+ 1)44 ( 1) 82 2 tt 42 12 +=⇔+−=⇔ 2 82 tt 42 6 40 0  t = − 10 Với t = 4, ta có x = − 1. Với t = − 10, ta có x = − 15. Vậy, ph ươ ng trình đã cho có hai nghi ệm x=−1; x =− 15. §3. HỆ PH ƯƠ NG TRÌNH Trong m ục này ta xét m ột s ố h ệ ph ươ ng trình hai ẩn. 1. H ệ g ồm m ột ph ươ ng trình b ậc nh ất và m ột ph ươ ng trình b ậc hai hai ẩn Hệ ph ươ ng trình có d ạng Ax+ By + C = 0  ax2+ bxy + cy 2 +++= dx ey f 0 Ph ươ ng pháp gi ải. Sử d ụng ph ươ ng pháp th ế: Rút x ho ặc y t ừ ph ươ ng trình b ậc nh ất r ồi thay vào ph ươ ng trình bậc hai trong h ệ, ta được m ột ph ươ ng trình m ột ẩn. Gi ải ph ươ ng trình m ột ẩn này, sau đó tìm ẩn còn l ại. Ví d ụ 1. Gi ải h ệ ph ươ ng trình x− y +1 = 0 (1)  6x2− 3 y 2 + 4 x += 30(2) Gi ải. Từ ph ươ ng trình (1) suy ra y= x + 1, thay vào ph ươ ng trình (2) ta được 6x2− 3( x + 1) 2 + 4 x += 3 0 x= 0⇒ y = 1 2  ⇔3x − 2 x = 0 ⇔  2 5 x= ⇒ y = .  3 3 2 5 Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có hai nghi ệm là (0;1),( ; ). 3 3 Chú ý. Có th ể dùng ph ươ ng pháp th ế để gi ải nh ững h ệ ph ươ ng trình ph ức t ạp h ơn, mi ễn là có th ể bi ểu th ị được m ột ẩn quaVIETMATHS.NET ẩn kia d ưới d ạng đơ n gi ản. Ta xét một s ố ví d ụ sau. Ví d ụ 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình 2 2 x−4 xy + y = 1(1)  y2 −3 xy = 4 (2) Gi ải. 60
Nh ận xét r ằng n ếu (x ; y ) là nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình thì y ≠ 0. Từ ph ươ ng trình (2), rút x theo y, ta được  y2 = 16 2 y − 4 4 2  x = (3), thay (3) vào (1), ta được 2y− 31 y − 16 = 0 ⇔  1 3y  y2 = − .  2  y= − 4⇒ x = − 1 Ta ch ọn y 2 =16 ⇔   y= 4⇒ x = 1. Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có hai nghi ệm là (1;4),(− 1; − 4). Ví d ụ 3. Gi ải h ệ ph ươ ng trình xy2 2 +7 x − 21 y = 18 (1)  xy2− xy +3 y 2 = 0 (2) Gi ải. 18 + Xét y = 0, thay vào h ệ ph ươ ng trình ta được x = . Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho nh ận 7 18 ( ;0) làm nghi ệm. 7 + Xét y ≠ 0, khi đó (2) t ươ ng đươ ng v ới yxyx(−+ 3)0 y =⇔ xyx −+ 30 y =⇔ xyx =− 3. y Thay xy= x − 3 y vào ph ươ ng trình (1) ta được ()()xy−32 +− 7 xy 21 =⇔− 18 xy 32 +−−= 7( xy 3)180 x−3 y = − 9 ⇔  x−3 y = 2. + V ới x−3 y = − 9, ta có h ệ ph ươ ng trình x−3 y = − 9 x=3 y − 9 x−3 y = − 9 ⇔  ⇔  (vn ) xy = − 9 ()3y− 9 y + 90 = 3y2 − 9 y + 90 = + V ới x−3 y = 2, ta có h ệ ph ươ ng trình x=3 y + 2   −1 + 7 x−3 y = 2 x=3 y + 2 x=3 y + 2   y = ⇔ ⇔  ⇔  2  3 xy = 2 ()3y+ 2 y = 2 3y+ 2 y − 20 =   −1 − 7  y =  3 x=+17  x =− 17   ⇔−+17 ∨  −− 17 y=  y = . 3  3 61
18  −+ 1 7  −− 1 7  Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có ba nghi ệm là ;0,1  + 7;  ,1 − 7;  . 7   3  3  2. H ệ ph ươ ng trình đẳng c ấp b ậc hai Hệ ph ươ ng trình đẳng c ấp b ậc hai đố i v ới hai ẩn x, y là h ệ ph ươ ng trình có d ạng ax2+ bxy + cy 2 = d  ax'2+ bxy ' + cy ' 2 = d ' Ph ươ ng pháp gi ải. · Xét xem x = 0 có th ỏa h ệ ph ươ ng trình hay không; · Khi x ≠ 0 , đặt y= kx + Th ế y= kx vào h ệ ph ươ ng trình, kh ử x ta được ph ươ ng trình b ậc hai theo k; + Gi ải tìm k, sau đó tìm (x ; y ). Ví d ụ 1. Gi ải h ệ ph ươ ng trình 3x2+ 2 xy + y 2 = 11 (1)  x2+2 xy + 3 y 2 = 17 (2) Gi ải. y2 =11 · Xét x = 0, h ệ ph ươ ng trình tr ở thành  (vô nghi ệm) 3y2 = 17 · Xét x ≠ 0 , đặt y= kx . Khi đó, h ệ ph ươ ng trình tr ở thành 2 2 2  2 2 3x+ 2 kx + kx = 11  x(3+ 2 k + k ) = 11 (1') ⇔  2 2 2 2 2 x+2 kx + 3 kx = 17 x()1+ 2 k + 3 k = 17 (2') Từ (1’) và (2’) suy ra 17(3++ 2kk2 ) = 11(1 ++ 2 kk 3 2 ) ⇔16k2 − 12 k −= 40 0 ⇔4k2 − 3 k − 10 = 0 k = 2  ⇔ 5 k = − .  4 x = 1  11x2 = 11 x=1 ∨ x =− 1 y = 2 ⇒  + V ới k = 2 ⇔  ⇔  y= 2 x y= 2 x x = − 1 VIETMATHS.NET y = − 2 62
 4 x =  3  2   5 33 x 4 4 y = −  = 11 x= ∨ x =−  5 16 3 3  3 + V ới k = − ⇒ ⇔  ⇔  4 5  5  4 y= − x y= − x x = − 4  4  3   5 y =  3 4 5  45  Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có b ốn nghi ệm là ()()1;2;1;2;−− ; −  ; − ;  . 3 3  33  Ví d ụ 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình x3−8 xy = 3 + 2 y  x2−3 = 3( y 2 + 1) Gi ải. Cách 1. Tuy h ệ ph ươ ng trình đã cho không ph ải là h ệ ph ươ ng trình đẳng c ấp b ậc hai nh ưng ta v ẫn có th ể gi ải b ằng ph ươ ng pháp nh ư đã trình bày. x3 −8 x = 0 · Xét y = 0, hệ ph ươ ng trình tr ở thành  (vô nghi ệm) x2 = 6 · Xét y ≠ 0 ta đặt x= ky Thay vào h ệ ph ươ ng trình ta được ky33−=+8 kyy 3 2 y  ky 32 −=+ 82 ky 2 (k3− 1) y 2 = 8 k + 2 (1) ⇔  ⇔  ky22−=+333 y 2  kyy 222 −= 36 (k2− 3) y 2 = 6 (2) k = 0 3 2  Lấy (1) chia cho (2) v ế theo v ế ta được: kk+ −12 k =⇔ 0 k = 3 k = − 4 + V ới k = 0, thay vào (2), ta được −3y2 = 6, hệ ph ươ ng trình vô nghi ệm. x = 3  y2 =1 y=1 ∨ y =− 1 y =1 + V ới k = 3, ta được ⇔  ⇔  x= 3 y x= 3 y x = − 3  y = − 1 63
 6 x = − 4  13   6  6  y = y2 =   13 Với k = − 4, ta được  13 ⇔    6 x= − 4 y x = 4  13   6 y = −  13 66  6 6  Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có b ốn nghi ệm là ()()3;1;3;1;4−−− ;  ;4 ; −  . 13 13  13 13  Cách 2. Ta gi ải b ằng ph ươ ng pháp th ế nh ư sau xxyy23−=+8 2  xy 33 −=+ 2(4 xy )  3( xy 33 −=+ ) 6(4 xy ) (1) Ta có ⇔  ⇔  x2−=+3 3( y 2 1)  xy 22 −= 3 6  xy 22 −= 3 6 (2) Th ế (2) vào (1) ta được x = 0 3322 2 2  3(xy−=− )(3)(4 xyxy +⇔ ) xxxy() +− 12 y =⇔= 0 xy 3 x= − 4 y + V ới x = 0, khi đó (2)⇔y2 = − 2, vô nghi ệm. x = 3  y = 1 + V ới x= 3 y , khi đó (2)⇔y2 = 1 ⇒ x = − 3  y = − 1 6  6 x= −4  x = 4 6 13  13 + V ới x= − 4 y , khi đó (2) ⇔y2 = ⇒ ∨  13 6  6 y= y = − 13  13 Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có b ốn nghi ệm là 66  6 6  ()()3;1;3;1;4−−− ;  ;4 ; −  . 13 13  13 13  3. H ệ ph ươ ng trình đối x ứng 3.1. H ệ ph ươ ng trình đốVIETMATHS.NETi x ứng lo ại I Ta qui ước g ọi m ột h ệ hai ph ươ ng trình ch ứa hai ẩn x, y là hệ ph ươ ng trình đối x ứng lo ại I, nếu ta thay th ế x b ởi y và y b ởi x thì mỗi ph ươ ng trình c ủa h ệ không thay đổ i. Ph ươ ng pháp gi ải. · Đặt S= x + y , P = xy đư a h ệ ph ươ ng trình v ề h ệ ph ươ ng trình ẩn S và P. 64
· Tìm S, P, khi đó x , y là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình: X2 − SX + P = 0, chú ý ph ải có điều ki ện S2 −4 P ≥ 0 . 3.2. H ệ ph ươ ng trình đối x ứng lo ại II Ta qui ước g ọi m ột h ệ hai ph ươ ng trình ch ứa hai ẩn x , y là hệ ph ươ ng trình đối xứng lo ại II , n ếu tráo đổ i vai trò c ủa x, y cho nhau thì ph ươ ng trình này chuy ển thành ph ươ ng trình kia. Ph ươ ng pháp gi ải. · Tr ừ t ừng v ế các ph ươ ng trình đã cho ta được ph ươ ng trình m ới, đưa ph ươ ng trình này v ề ph ươ ng trình tích. · Ứng v ới t ừng tr ường h ợp x ảy ra, k ết h ợp v ới m ột trong hai ph ươ ng trình c ủa h ệ để có một h ệ ph ươ ng trình con, gi ải h ệ ph ươ ng trình con này. · T ổng h ợp nghi ệm. Ví d ụ 1. Gi ải h ệ ph ươ ng trình x2− xy + y 2 =3( x − y )  x2+ xy + y 2 =7( x − y ) 2 Gi ải. Cách 1. X2+ XYY + 2 =3( XY + ) Đặt x= Xy, = − Y , hệ ph ươ ng trình đã cho tr ở thành  X2− XY += Y 27( X + Y ) 2 Đây là h ệ ph ươ ng trình đối x ứng lo ại I đố i v ới hai ẩn X, Y . Đặt S= X + YP, = XY , điều ki ện S2 −4 P ≥ 0. Ta có h ệ ph ươ ng trình SPS2−=3  SSS 22 +−= 230  SS 2 −= 0 S = 0 S = 1 ⇔  ⇔  ⇔ ho ặc  SPSPS22−=37  =− 2 2  PS =− 2 2 P = 0 P = − 2 S=0  X + Y = 0 · ⇒  ⇔X = Y = 0 , do đó x= y = 0. P=0  XY = 0 S=1  XY += 1  X = 2 X = − 1 · ⇒ ⇔  ho ặc  P=−2  XY =− 2  Y =− 1 Y = 2 x = 2 x = − 1 Do đó,  ho ặc  y =1 y = − 2 Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có ba nghi ệm (0;0);(2;1);(− 1; − 2). Cách 2. x2− xy + y 2 =3( x − y ) (1)  x2+ xy + y 2 =7( x − y ) 2 (2) 65
x= 2 y 2 2  Ta có (2)⇔ 2x − 5 xy + 2 y = 0 ⇔ y x =  2 ⇒ 2  y= 0 x = 0 · V ới x= 2 y khi đó (1)⇔y − y = 0 ⇔   y= 1⇒ x = 2 ⇒ y 2 x= 0 y = 0 · V ới x = khi đó (1)⇔x + x = 0 ⇔  2 x= − 1⇒ y = − 2 Vậy, h ệ ph ươ ng trình có ba nghi ệm (0;0);(2;1);(− 1; − 2). Chú ý. B ạn đọ c c ũng có th ể gi ải theo ph ươ ng pháp đối v ới h ệ ph ươ ng trình đẳng c ấp. Ví d ụ 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình x2+ y 2 = 5  x4− xy 22 + y 4 = 13 Gi ải. 2 2 x2+ y 2 = 5 x+ y = 5 x2+ y 2 = 5 Ta có  ⇔2 ⇔  4 22 4 2 2 22 2 2 x− xy + y = 13 ()x+ y −3 xy = 13 x y = 4 Khi đó x2; y 2 là các nghi ệm c ủa ph ươ ng trình X2 −5 X + 4 = 0 ; ph ươ ng trình này có nghi ệm là X1=1; X 2 = 4 . x2+ y 2 = 5 Do đó, h ệ ph ươ ng trình  t ươ ng đươ ng v ới x2 y 2 = 4 x2 =1 x=1 ∨ x =− 1   2  y=4  y =∨=− 2 y 2  ⇔  x2 = 4  x=2 ∨ x =− 2    2 y = 1 y=1 ∨ y =− 1 Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có tám nghi ệm là (1;2 ) ; (1;− 2 ); (−1;2 ) ; (−1; − 2 ) ; (2;1 ) ; (2;− 1) ;( − 2;1) ;( −− 2; 1 ) . Ví d ụ 3. Gi ải h ệ ph ươ ng trình  y2 + 2 3y =  x2  x2 + 2 VIETMATHS.NET3x =  y2 Gi ải. 66
 y2 + 2 3y =  x2  (1) x2 + 2 3x =  y2 x > 0 Điều ki ện:  (do v ế ph ải không âm nên v ế trái c ũng không âm) y > 0 xy>>0, 0 xy >> 0, 0   Ta có ()13⇔yx22 =+⇔ y 2  3 xy 22 =+ x 2 2 2  2 2 323xy=+ x xy() x −+−= y x y 0 x>0, y > 0  ⇔3xy2 = x 2 + 2  ()()x− y3 xy ++= x y 0 do x>0, y > 0 suy ra 3xy+ x + y > 0, nên ta được h ệ ph ươ ng trình x>0, y > 0  3xy2= x 2 + 2  x= y x>0, y > 0 x>0, y > 0   ⇔3x3 − x 2 −= 2 0 ⇔()x −13() x2 ++= 2 x 2 0   x= y x= y xy>>0, 0  xy >> 0, 0   x = 1 ⇔x −=1 0 ⇔  x = 1 ⇔    y = 1 x= y  y = 1 Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có m ột nghi ệm duy nh ất (1;1) . Ví d ụ 4. Cho h ệ ph ươ ng trình xy+ x2 = m( y − 1)  xy+ y2 = m( x − 1) a) Tìm các giá tr ị c ủa m để h ệ ph ươ ng trình có nghi ệm duy nh ất; b) Gi ải h ệ ph ươ ng trình khi m = − 1. Gi ải. a) Hệ ph ươ ng trình đã cho tươ ng đươ ng v ới 67
x= y  (I) xy+ x2 = my( − 1) xy+ x2 = my( − 1)  2x2 − m ( x − 1) = 0 (*) ⇔  ⇔  x2− y 2 = myx( − ) (x− yx )( ++ y m ) = 0 y= − x − m  (II)  2 m+ m = 0 Ta có h ệ (II) ho ặc vô nghi ệm ho ặc vô s ố nghi ệm. Do đó, mu ốn h ệ ph ươ ng trình đã cho có m ột nghi ệm duy nh ất thì điều ki ện là h ệ (I) có m ột nghiệm duy nh ất đồ ng th ời h ệ (II) vô nghi ệm. Hệ (I) có m ột nghi ệm duy nh ất khi và ch ỉ khi ph ươ ng trình (*) c ủa h ệ (I) có 2 m = 0 ∆ =0 ⇔m − 8 m = 0 ⇔  m = 8 Ta nh ận m = 8 vì khi m = 8 thì h ệ (II) vô nghi ệm. Vậy, m = 8 thì h ệ ph ươ ng trình đã cho có một nghi ệm duy nh ất. b) Khi m = − 1 thì h ệ ph ươ ng trình tr ở thành x = − 1  y = − 1 x= y    1 2 x = 2x+ x − 1 = 0  2  ⇔  y= − x + 1  1  y =   0= 0  2 x= t  ,t ∈ℝ y= − t + 1 Trong m ột s ố tr ường h ợp, ph ươ ng pháp gi ải đã trình bày ở trên không ph ải lúc nào c ũng thu ận l ợi. Ta xét ví d ụ sau. Ví d ụ 5. Gi ải h ệ ph ươ ng trình  2xy 2 x+ = x + y  3x 2 −2 x + 9  2xy y+ = y2 + x  3 2  y−2 y + 9 Gi ải. Nếu tr ừ t ừng v ế c ủa hai ph ươ ng trình c ủa h ệ thì s ẽ khó đi đế n k ết qu ả, ta bi ến đổ i h ệ nh ư sau  2xy 2 x+ = x + y (1)  3 (x − 1)2 + 8 Hệ ph ươ ng trình đã cho tươVIETMATHS.NETng đươ ng v ới  2xy y+ = y2 + x (2)  2  3 (y − 1) + 8 Cộng (1) và (2) theo v ế ta được 68
2xy 2 xy x2+ y 2 = + 3(x−+ 1)2 8 3 ( y −+ 1) 2 8  3 (x − 1)2 + 8 ≥ 2   Ta có nh ận xét  3 (y − 1)2 + 8 ≥ 2  x2+ y 2 ≥ 0  Từ đó suy ra xy ≥ 0. Nh ư v ậy, ta có 2xy 2 xy 22 xy xy x2+= y 2 + ≤+= 2xy 3(x−+ 1)2 8 3 ( y −+ 1) 2 8 2 2 ⇔+≤x2 y 22 xy ⇔− ( xy )0 2 ≤ Nh ư v ậy, x= y . 2 x = 0 2x 2 23 2  Khi đó, (1)⇔ =x ⇔ x ( x − 1) + 8 − 2 = 0 ⇔  3 (x − 1)2 + 8   x = 1 Vậy, xy= =∨0 xy = = 1. Th ử l ại, ta th ấy xy==0, xy == 1 th ỏa h ệ ph ươ ng trình. Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có hai nghi ệm (0;0); (1;1). Ví d ụ 6. Gi ải h ệ ph ươ ng trình yx2= 3 −4 x 2 + 7 x (1)  xy2= 3 −4 y 2 + 7 y (2) Gi ải. Tr ừ (1) cho (2) v ế theo v ế ta được yxx2232−=−47 x +−+ xy 3 47 y 2 − y ⇔−y3237 y + yx =− 32 37 x + x ⇔fy( ) = fx ( ) (*) Với ft()= t3 − 3 t 2 + 7. t Ta có fttt'( )= 32 − 6 +> 7 0, ∀∈ t ℝ . Do đó, hàm s ố f( t ) luôn luôn t ăng trên toàn b ộ ℝ. Vì v ậy, (*)⇔x = y . Với x= y , (1) tr ở thành xxx3−5 2 + 7 =⇔= 0 x 0. Th ử l ại ta được x= y = 0 th ỏa h ệ ph ươ ng trình đã cho. Vậy, h ệ ph ươ ng trình có m ột nghi ệm duy nh ất là (0;0). 69
Ví d ụ 7. Ch ứng minh r ằng h ệ ph ươ ng trình sau có đúng hai nghi ệm th ỏa mãn điều ki ện x>0, y > 0.  x y e =100 − (1)  y2 −1  x e y =100 − (2)  2  x −1 Gi ải. x > 0  y > 0 x > 1 Điều ki ện: 2 ⇔  y−1 > 0 y > 1  2 x −1 > 0 Lấy (1) tr ừ cho (2) v ế theo v ế ta được xy x y eex−= y − ⇔− ex =− e y ⇔= fxfy() () xy22−−11 x 2 − 1 y 2 − 1 t Xét hàm đặc tr ưng fte()=t − ,1 t > t 2 −1 1 Khi đó, fte'( )=+t >∀> 0, t 1 (t2− 1) t 2 − 1 Suy ra, hàm s ố f là hàm đồng bi ến v ới m ọi t > 1 Do đó, fx()= fy () ⇔=> xy 1 x x Với x= y , ta được ex=−100 ⇔+ e x −= 100 0 (*) , x > 1 x2−1 x 2 − 1 x Xét hàm s ố g( x )= e x + − 100 , x > 1 x2 −1 1 3x Ta có g'( x ) = e x − và gxe''( )=+x >∀> 0, x 1 3 5 ()x2 −1 ()x2 −1 Suy ra đồ th ị hàm s ố g luôn luôn lõm v ới m ọi x > 1. Mặt khác, lim()gx=+∞ ;lim gx () =+∞ . x→1+ x→+∞ Ngoài ra, g(2) 1; x > 1. VIETMATHS.NET1 2 Vậy, h ệ ph ươ ng trình có đúng hai nghi ệm ( xy11;) ;( xy 22 ; ) th ỏa điều ki ện đã cho. Ví d ụ 8. Cho h ệ ph ươ ng trình 70
2 2 x+ y =2( 1 + a )  2 ()x+ y = 4 Tìm các giá tr ị c ủa a để h ệ ph ươ ng trình có đúng hai nghi ệm. Gi ải. Đặt S=+ x yP, = xyS ;2 −≥ 4 P 0. Khi đó h ệ ph ươ ng trình đã cho tr ở thành S2 −2 P = 2( 1 + a )  S 2 = 4  P=1 − a ⇔  S = ± 2 (x ; y ) là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình  XXa2 −2 +−= 1 0 ( i )  2  X+2 X +−= 1 a 0 () ii (i) có hai nghi ệm là: 1+ a , 1− a (ii ) có hai nghi ệm là: −1 + a , −1 − a Nếu a > 0 thì b ốn giá tr ị này khác nhau và do đó h ệ ph ươ ng trình đã cho có b ốn nghi ệm khác nhau. Nếu a = 0 thì hai nghi ệm c ủa (i) trùng nhau t ại 1 và hai nghi ệm c ủa (ii ) trùng nhau t ại −1, do đó h ệ ph ươ ng trình đã cho có đúng hai nghi ệm (1;1) và (− 1; − 1). Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có đúng hai nghi ệm khi và ch ỉ khi a = 0. Ví d ụ 9. Cho h ệ ph ươ ng trình y2= x 3 −4 x 2 + ax  x2= y 3 −4 y 2 + ay Tìm a để h ệ ph ươ ng trình có nghi ệm duy nh ất. Gi ải. Ta th ấy n ếu (x ; y ) là nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình thì (y ; x ) cũng là nghi ệm c ủa h ệ. Vì v ậy, để h ệ ph ươ ng trình có nghi ệm duy nh ất thì x= y . Thay y= x vào h ệ ph ươ ng trình đã cho, ta được x2= x 3 −4 x 2 + ax ⇔xx()2 −+=5 xa 0 x = 0 ⇔  x2 −5 x + a = 0 Do đó, h ệ ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm duy nh ất khi ph ươ ng trình x2 −5 x + a = 0 ho ặc có nghi ệm kép b ằng 0 ho ặc vô nghi ệm, tuy nhiên không x ảy ra tr ường h ợp th ứ nh ất. Ph ươ ng trình x2 −5 x + a = 0 vô nghi ệm khi và ch ỉ khi 71
∆=25 − 4a . 4 Tr ừ hai ph ươ ng trình theo t ừng v ế ta được yx22−=−−( xy 33) 4( xy 22 −+) axy( − ) ⇔−x323 x +=− ax y 32 3 y + ay 25 Xét hàm s ố f() t= t3 − 3 t 2 + at , ta có ft′()3= t2 − 6 ta +> 0 khi a > , suy ra hàm s ố 4 25 f( t )= t3 − 3 t 2 + at đồng bi ến khi a > , nh ư v ậy h ệ không có nghi ệm (xy ; ), x≠ y v ới 4 25 25 a > . V ậy, giá tr ị c ần tìm c ủa a là a > . 4 4 4. Gi ải m ột s ố h ệ khác Ví d ụ 1. Gi ải h ệ ph ươ ng trình y2 + xy +− x6 y += 1 0  (1) yx3−8 y 2 + xy 2 += x 0 Gi ải. 2  2 ()xy++1( y + x) = 6 y ()xy++1( y + x) = 6 y (1) ⇔  ⇔  2 2 2 2 y()() xy++1 x xy += 1 9 y ()xy+1() y + x = 9 y Nh ư v ậy, ( xy +1) và ( y2 + x ) có t ổng và tích là 6y và 9y 2 , do đó ta được y2 + x = 3 y (1)  . T ừ (1) ⇒ x=3 y − y 2 thay vào (2) ta được (3yyy−2 ) + 1 = 3 y xy+1 = 3 y (2) 3 ⇔ ()y −1 = 0 ⇔ y = 1 ⇒ x = 2. Vậy, nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình là (2;1). Ví d ụ 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình x2 ++1 yyx ( + )4 = y  (x2 + 1)( yx +− 2) = y Gi ải. Nh ận xét: Khi y = 0, hệ ph ươ ng trình vô nghi ệm. VIETMATHS.NETx2 +1  x 2 + 1 ++=yx4  ++−=() yx 2 2 y  y Với y ≠ 0, h ệ ph ươ ng trình tươ ng đươ ng v ới ⇔  x2 +1  x 2 + 1 (yx+−= 2)1 ( yx +−= 2)1 y  y 72