Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Không gian Euclid - Đặng Văn Vinh

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Không gian Euclid - Đặng Văn Vinh

1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng Đại số tuyến tính Chương 5: Khơng gian Euclid • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) www.tanbachkhoa.edu.vn
2. Nội dung 5.1 – Tích vơ hướng của hai véctơ. Các khái niệm liên quan. 5.2 – Bù vuơng gĩc của khơng gian con. 5.3 – Quá trình trực giao hĩa Gram – Schmidt. 5.4 – Hình chiếu vuơng gĩc, khoảng cách đến khơng gian con.
3. 5.1 Tích vơ hướng Định nghĩa tích vơ hướng Tích vơ hướng trong R-kgvt V là một hàm thực sao cho mỗi cặp véctơ u và v thuộc V, tương ứng với một số thực ký hiệu (u,v) thỏa 4 tiên đề sau: a. (u , v V ) ( u , v ) ( v , u ) b. (u , v ,w V) ( u v , w ) ( u , w ) ( v , w ) c. ( R ,  u , v V ) ( u , v ) ( u , v ) d. (u V ) ( u , u ) 0;( u , u ) 0 u 0 Khơng gian thực hữu hạn chiều cùng với một tích vơ hướng trên đĩ được gọi là khơng gian Euclid.
4. 5.1. Tích vơ hướng Ví dụ Trong khơng gian R 2 cho qui tắc x ( x1 , x 2 ) R 2 ;  y ( y 1 , y 2 ) R 2 (xy , ) (( xx12 , ),( yy 12 , )) xy 11 2 xy 12 2 xy 21 10 xy 22 1. Chứng tỏ (x,y) là tích vơ hướng. 2. Tính tích vơ hướng của hai véctơ u (2,1), v (1, 1) Giải. 2. Tính tích vơ hướng của hai véctơ u (2,1), v (1, 1) là (u , v ) ((2,1),(1, 1)) 2.1 2.2.( 1) 2.1.1 10.1.( 1) 10
5. 5.1. Tích vơ hướng Ví dụ Trong khơng gian P 2 [x] cho qui tắc 2 2 px( ) ax1 bxcqx 1 1 ; ( ) ax 2 bxc 2 2 P 2 [x]. 1 (,)()()p q p x q x dx 0 1. Chứng tỏ (p,q) là tích vơ hướng. 2 2. Tính tích vơ hướng của p( x ) 2 x 3 x 1, q ( x ) x 1 2. Tích vơ hướng của hai véctơ (p,q) là 1 1 2 1 (p , q ) p ( x ). q ( x ) dx (2x 3 x 1)( x 1) dx 0 0 6
6. 5.1. Tích vơ hướng Định nghĩa độ dài véctơ Độ dài véctơ u là số thực dương ký hiệu bởi ||u|| và được định nghĩa như sau ||u || ( u , u ) Véctơ cĩ độ dài bằng 1 gọi là véctơ đơn vị. Chia một véctơ cho độ dài của nĩ ta được véctơ đơn vị. Quá trình tạo ra véctơ đơn vị được gọi là chuẩn hĩa.
7. 5.1. Tích vơ hướng Bất đẳng thức Cauchy-Schwatz Trong khơng gian Euclid V, ta cĩ bất đẳng thức sau | (u , v ) | || u ||.|| v || dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u và v phụ thuộc tuyến tính. Bất đẳng thức tam giác. Cho hai véctơ u và v của khơng gian Euclid V. ||u v || || u || || v ||
8. 5.1. Tích vơ hướng Định nghĩa khoảng cách giữa hai véctơ Cho hai véctơ u và v của khơng gian Euclid V, khoảng cách giữa hai véctơ u và v, ký hiệu bởi d(u,v), là độ dài của véctơ u – v. Vậy d(u,v) = ||u – v|| Định nghĩa gĩc giữa hai véctơ Cho hai véctơ u và v của khơng gian Euclid V. Gĩc giữa hai véctơ u và v là đại lượng thỏa (,)u v cos ||u ||.|| v ||
9. 5.1. Tích vơ hướng Ví dụ Trong khơng gian R 3 cho qui tắc x ( x1 , x 2 , x 3 ) R 3 ;  y ( y 1 , y 2 , y 3 ) R 3 (,)x y ((, x1 x 2 , x 3 ),( y 1 , y 2 , y 3 )) 5x1 y 1 2 x 1 y 2 2 x 2 y 1 3 x 2 y 2 x 3 y 3 1. Chứng tỏ (x,y) là tích vơ hướng. 2. Tính tích vơ hướng của hai véctơ u (2,1,0), v (3, 2,4) 2. (u , v ) ((2,1,0),(3, 2,4)) 5.2.3 2.2.( 2) 2.1.3 3.1.( 2) 0.4 (u , v ) 22.
10. 5.1. Tích vơ hướng Ví dụ Trong khơng gian R 3 cho qui tắc x ( x1 , x 2 , x 3 ) R 3 ;  y ( y 1 , y 2 , y 3 ) R 3 (,)x y ((, x1 x 2 , x 3 ),( y 1 , y 2 , y 3 )) 5x1 y 1 2 x 1 y 2 2 x 2 y 1 3 x 2 y 2 x 3 y 3 3. Tìm độ dài của véctơ u (3,2,1) ||u || ( u , u ) ((3,2,1),(3,2,1)) ||u || 5.3.3 2.3.2 2.2.3 3.2.2 1.1 ||u || 82 Chú ý: So sánh với độ dài véctơ ở phổ thơng! Cùng một véctơ nhưng “dài” hơn!!!
11. 5.1. Tích vơ hướng Ví dụ Trong khơng gian R 3 cho qui tắc x ( x1 , x 2 , x 3 ) R 3 ;  y ( y 1 , y 2 , y 3 ) R 3 (,)x y ((, x1 x 2 , x 3 ),( y 1 , y 2 , y 3 )) 5x1 y 1 2 x 1 y 2 2 x 2 y 1 3 x 2 y 2 x 3 y 3 4. Tìm khoảng cách giữa hai véctơ u (1,2,1) và v (3,0,2) d( u , v ) || u v || (,)u v u v (( 2,2, 1),( 2,2, 1)) d( u , v ) 5.( 2).( 2) 2.( 2).2 2.2.( 2) 3.2.2 1.1 d( u , v ) 17 Chú ý: So sánh với khoảng cách giữa hai véctơ ở phổ thơng. Khoảng cách giữa hai điểm “lớn” hơn!!!
12. 5.1. Tích vơ hướng Ví dụ Trong khơng gian R 3 cho qui tắc x ( x1 , x 2 , x 3 ) R 3 ;  y ( y 1 , y 2 , y 3 ) R 3 (,)x y ((, x1 x 2 , x 3 ),( y 1 , y 2 , y 3 )) 5x1 y 1 2 x 1 y 2 2 x 2 y 1 3 x 2 y 2 x 3 y 3 5. Tìm gĩc giữa hai véctơ u (1,0,1) và v (2,1,0) (,)u v 12 12 cos ||u ||.|| v || 6. 31 186 12 a arccos 186
13. 5.1. Tích vơ hướng Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt 1 (,)()()p q p x q x dx 1 1. Chứng tỏ (p,q) là tích vơ hướng. 2. Tính (p,q) với p( x ) 2 x2 3 x 1; q ( x ) x 3 1 1 2 (p , q ) p ( x ). q ( x ) dx (2x 3 x 1)( x 3) dx 1 1 12
14. 5.1. Tích vơ hướng Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt 1 (,)()()p q p x q x dx 1 3. Tìm độ dài của véctơ p( x ) 2 x 3 1 ||p || ( p , p ) p( x ). p ( x ) dx 1 1 2 62 (2x 3) dx 1 3
15. 5.1. Tích vơ hướng Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt 1 (,)()()p q p x q x dx 1 4. Tính khoảng cách giữa hai véctơ p(x) và q(x) với p( x ) x2 x 2; q ( x ) x 2 2 x 3 d( p , q ) || p q || (,)p q p q 1 2 (3x 1,3 x 1) (3x 1) dx 1 2 2
16. 5.1. Tích vơ hướng Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt 1 (,)()()p q p x q x dx 1 5. Tính gĩc giữa hai véctơ p( x ) x2 x ; q ( x ) 2 x 3 (,)p q cos ||p ||.|| q || 1 p(x)q(x)dx 1 1 1 2 2 [p(x)] dx [q(x)] dx 1 1
17. 5.2. Tích vơ hướng Định nghĩa sự vuơng gĩc Hai vectơ u và v được gọi là vuơng gĩc nhau, nếu (u,v) = 0, ký hiệu u v Định nghĩa Véctơ x vuơng gĩc với tập hợp M, nếu (y M ) x  y
18. 5.1. Tích vơ hướng Định nghĩa họ trực giao Tập hợp con M của khơng gian Euclid V được gọi là họ trực giao, nếu (,)().x y M x y thì x  y Định nghĩa họ trực chuẩn Tập hợp con M của khơng gian Euclid V được gọi là họ trực chuẩn, nếu 1. M trực giao. 2. (x M ) || x || 1.
19. 5.1. Tích vơ hướng Mệnh đề Véctơ x vuơng gĩc với khơng gian con F khi và chỉ khi x vuơng gĩc với tập sinh của F. Chứng minh. Hiển nhiên. Giả sử x vuơng gĩc với tập sinh f1, f 2 , , fm . f F f 1 f 1 2 f 2 m f m Xét tích vơ hướng (,)x f (x , 1 f 1 2 f 2 m f m ) (x , f ) 1 ( x , f 1 ) 2 ( x , f 2 ) m ( x , f m ) (x , f ) 0 hay x vuơng gĩc f. Vậy x vuơng gĩc với F.
20. 5.1. Tích vơ hướng Ví dụ Trong khơng gian R3 với tích vơ hướng chính tắc cho khơng gian con x1 x 2 x 3 0  F ( x1 , x 2 , x 3 ) 2x1 3 x 2 x 3 0 cho véctơ x = ( 2, 3, m). Tìm tất cả m để x vuơng gĩc với F. Bước 1. Tìm tập sinh của F {(4,-3,1)} Bước 2. x F x vuông góc với tập sinh của F . x (4, 3,1) ((2,3,m ),(4, 3,1)) 0 4.2 ( 3).3 1.m 0 chú ý tích vơ hướng!! m 1.
21. 5.2. Bù vuơng gĩc của khơng gian con Định nghĩa bù vuơng gĩc của khơng gian con Cho khơng con F của khơng gian Euclid V. Tập hợp F {} x V| x  F được gọi là bù vuơng gĩc của khơng gian con F. Định lý Cho khơng con F của khơng gian Euclid V. Khi đĩ 1. F  là không gian con của V. 2. dim(FFV ) dim( ) dim
22. 5.2. Bù vuơng gĩc của khơng gian con Các bước tìm cơ sở và chiều của khơng gian F  Bước 1. Tìm một tập sinh của F. Giả sử đĩ là {}f1, f 2 , , fm Bước 2. Tìm khơng gian con bù vuơng gĩc. y F  y  F y vuông góc với tập sinh của F (y , f ) 0 y f1 1 y f (y , f2 ) 0 2 hệ thuần nhất AX 0. (y , f ) 0 y fm m F  là không gian nghiệm của hệ.
23. 5.2. Bù vuơng gĩc của khơng gian con Ví dụ. Cho F (1,1,1),(2,1,0),(1,0, 1) là khơng gian con của R3. Tìm cơ sở và chiều của F  .  Giải. x (,,) x1 x 2 x 3 F x  F x  (1,1,1) x1 x 2 x 3 0 x  (2,1,0) 2x x 0 1 2 x (1,0, 1) x1 x 3 0 x1 x2 2 x ( , 2 , ) (1, 2,1) x3   F (1, 2,1) cơ sở: {(1,-2,1)}; DimF =1.
24. 5.2. Bù vuơng gĩc của khơng gian con Ví dụ. Cho F ( xxxRxxx1 , 2 , 3 ) 3 | 1 2 3 0 & 2 xxx 1 2 3 0  là khơng gian con của R3. Tìm cơ sở và chiều của F . Giải. Bước 1. Tìm tập sinh của F. x1 x 2 x 3 0 x (,,) x1 x 2 x 3 F 2x1 x 2 x 3 0 x1 2 x2 3 x (2 , 3 , ) (2, 3,1) x3 Vậy tập sinh của F là {(2,-3,1)} Bước 2. Tương tự như ở ví dụ trước.
25. 5.2. Bù vuơng gĩc của khơng gian con Định lý Cho S= {u1, u2, , um} là tập hợp con, trực giao, khơng chứa véctơ khơng của khơng gian Euclid V. Khi đĩ S độc lập tt. Chứng minh (bằng định nghĩa của độc lập tuyến tính) Giả sử 1u 1 2 u 2 m u m 0 Khi đĩ (u1 , 1 u 1 2 u 2 m u m ) (u1 ,0) 0 1(u 1 , u 1 ) 2 ( u 1 , u 2 ) m ( u 1 , u m ) 0 1(u 1 , u 1 ) 0 vì S khơng chứa véctơ 0 nên (u1 , u 1 ) 0 1 0 Tương tự ta chứng minh được 2 3 m 0 Vậy S độc lập tuyến tính.
26. 5.2. Bù vuơng gĩc của khơng gian con Định lý Giả sử E = {e1, e2, , en} là cơ sở trực chuẩn của khơng gian Euclid V. Khi đĩ với mọi x V , x cĩ thể biễu diễn duy nhất ở dạng x = x1e1 + x2e2 + + xnen với x i (,) x e i Chứng minh. x V x x1 e 1 x 2 e 2 xn e n khi đĩ (x , ei ) ( x1 e 1 x 2 e 2 x n e n , e i ) (xe ,i ) xee1 ( 1 , i ) xee 2 ( 2 , i ) xee n ( n , i ) 0, nếu i j vì E là cơ sở trực chuẩn nên (,)ei e j 1, nếu i j vậy ta cĩ xi (,) x e i
27. 5.2. Bù vuơng gĩc của khơng gian con Ví dụ Cho cơ sở trực chuẩn của khơng gian Euclid V 1 1 2 1 1 1 1 1  E , , ; , ,0 ; , ,  6 6 6 2 2 3 3 3  Tìm tọa độ của véctơ v (3, 2,1) trong cơ sở E. v1 []v v E 2 v v1 e 1 v 2 e 2 v 3 e 3 v3 3 v (,) v e 1 6 1 1 ; v2 (,) v e 2 ; v3 (,) v e 3 6 2 3
28. 5.2. Bù vuơng gĩc của khơng gian con Cho cơ sở trực chuẩn của khơng gian Euclid V E { e1 , e 2 , , en } Cho hai véctơ của V: x x1 e 1 x 2 e 2 xn e n y y1 e 1 y 2 e 2 yn e n Xét tích vơ hướng của x và y: (x,y)=(xe1 1 xe 2 2 xeyen n , 1 1 ye 2 2 ye n n ) (x,y)=xyee1 1( 1 , 1 ) xyee 2 2 ( 2 , 2 ) xyeen n ( n , n ) (x,y)=x1 y 1 x 2 y 2 xn y n Khi làm việc với cơ sở trực chuẩn thì cơng việc tính tích vơ hướng của hai véctơ rất nhanh gọn!!
29. 5.3 Quá trình trực giao hĩa Gram-Schmidt Khi làm việc với khơng gian Euclid V, ta làm việc với cơ sở của khơng gian véctơ. Theo định lý trên và ví dụ ở slide trước ta thấy nếu cơ sở là trực chuẩn thì cơng việc tính tốn rất nhanh (tính tọa độ, tính tích vơ hướng của hai véctơ, tính độ dài, khoảng cách, ) Yêu cầu đặt ra: tìm một cơ sở trực chuẩn của khơng gian Euclid V. Bước 1. Trước hết, ta chọn một cơ sở tùy ý E của V. Bước 2. Dùng quá trình Gram – Schdmidt sau đây đưa E về cơ sở trực giao. Bước 3. Chia mỗi véctơ cho độ dài của nĩ ta được cơ sở trực chuẩn.
30. 5.3 Quá trình trực giao hĩa Gram-Schmidt Quá trình Gram – Schmidt là quá trình đơn giản dùng để tìm một cơ sở trực giao, sau đĩ là cơ sở trực chuẩn cho một khơng gian con của khơng gian Euclid. Định lý (quá trình Gram – Schmidt) Cho E {} e 1 , e 2 , , e m là họ độc lập tuyến tính của khơng gian Euclid V. Khi đĩ cĩ thể xây dựng từ E một họ trực giao F {} f1, f 2 , , fm sao cho f1, f 2 , , fm e 1 , e 2 , , e m
31. 5.3 Quá trình trực giao hĩa Gram-Schmidt Quá trình trực giao hĩa Gram – Schmidt Chọn f1 e 1 Tìm f2 e 2 1 f 1 (,)(,)(,)f2 f 1 e 2 f 1 1 f 1 f 1 0 (e2 , f 1 ) 1 ( f 1 , f 1 ) (,)e2 f 1 (,)e2 f 1 1 f2 e 2 f 1 (,)f1 f 1 (,)f1 f 1 Tìm f3 ở dạng f 3 e 3 1 f 1 2 f 2 (,)(,)e3 f 1 e 3 f 2 f3 e 3 f 1 f 2 (,)(,)f1 f 1 f 2 f 2 (,)(,)(,)ek f1 e k f 2 e k f k 1 fk e k f1 f 2  f k 1 (,)(,)(,)f1 f 1 f 2 f 2 fk 1 f k 1 Khi đĩ {f1, f2, , fm} là cơ sở trực giao của W.
32. 5.3 Quá trình trực giao hĩa Gram-Schmidt Ví dụ Trong R 4 cho họ đltt E= {(1,0,1,1), ), (0,1,1,1), (1,1,1,1)} Dùng quá trình Gram –Schmidt tìm họ trực giao, họ trực chuẩn. F {,,} f1 f 2 f 3 Chọn f1 e 1 (1,0,1,1) (,)e2 f 1 2 2 1 1 Tìm f2 e 2 f 1 (0,1,1,1) (1,0,1,1) ( ,1, , ) (,)f1 f 1 3 3 3 3 Chọn f2 ( 2,3,1,1) (,)(,)e3 f 1 e 3 f 2 2 2 1 1 Tìm f3 e 3 f 1 f 2 (,,,) (,)(,)f1 f 1 f 2 f 2 5 5 5 5 Chọn f3 (2,2, 1, 1) Họ trực giao cần tìm F {} f1,, f 2 f 3 Chia mỗi vectơ cho độ dài của nĩ ta được họ trực chuẩn 111 2311 2211  ,0,,, ,,, , ,,,  3 3 3 15 15 15 15 10 10 10 10 
33. 5.3 Quá trình trực giao hĩa Gram-Schmidt Ví dụ Trong khơng gian R4 với tích vơ hướng chính tắc cho khơng gian con x1 x 2 x 3 x 4 0  F ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 2x1 3 x 2 x 3 3 x 4 0 Tìm chiều và một cơ sở trực chuẩn của F. Bước 1. Chọn một cơ sở tùy ý của F: E {}(2, 1,1,0);(0, 1,0,1) Bước 2. Dùng quá trình Gram Schmidt đưa E về cơ sở trực giao F {} f1, f 2 Chọn f1 e 1 (2, 1,1,0) (,)e2 f 1 Tìm f 2 ở dạng f2 e 2 f 1 (2,5,1, 6) (,)f1 f 1 Bước 3. Cơ sở trực chuẩn là: 2 1 1 2 5 1 6  , , ,0 , , , ,  6 6 6 66 66 66 66 
34. 5.4. Hình chiếu vuơng gĩc, khoảng cách. Trong khơng gian Euclid V cho khơng gian con F và một véctơ v tùy ý. Véctơ v cĩ thể biễu diễn duy nhất dưới dạng: v f g| f F & g F  véctơ f được gọi là hình chiếu vuơng gĩc của v xuống F: f prF v Nếu coi véctơ v là một điểm, thì độ dài của véctơ g là khoảng cách từ v đến khơng gian con F. d(v , F ) || g || || v prF v ||
35. 5.4. Hình chiếu vuơng gĩc, khoảng cách. Bài tốn. Cho khơng gian con F và một vectơ v. 1) Tìm hình chiếu vuơng gĩc của v xuống F. 2) Tìm khoảng cách từ v đến F. Giải câu 1). Tìm một cơ sở của F. Giả sử đĩ là: {}f1, f 2 , , fm v f g x1 f 1 x 2 f 2 xm f m g xffxff1( 1 , 1 ) 2 ( 1 , 2 ) xffm ( 1 , m ) ( gf , 1 ) ( vf , 1 ) xffxff1( 2 , 1 ) 2 ( 2 , 2 ) xffm ( 2 , m ) ( gf , 2 ) ( vf , 2 ) xffxff1(m , 1 ) 2 ( m , 2 ) xff m ( m , m ) ( gf , m ) ( vf , m ) Giải hệ tìm x, x , , x 1 2 m prFv f x1 f 1 x 2 f 2 x m f m câu 2). d( v , F ) || g || || v prF v ||
36. 5.4. Hình chiếu vuơng gĩc, khoảng cách. Ví dụ Trong khơng gian R4 với tích vơ hướng chính tắc cho khơng gian con x1 x 2 x 3 x 4 0  F ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 2x1 x 2 3 x 3 3 x 4 0 1) Tìm hình chiếu vuơng gĩc của véctơ x (1,1,0,1) xuống F. 2) Tìm khoảng cách từ véctơ x (1,1,0,1) đến F. 1). Tìm một cơ sở của F: E {} f1 (2, 1,1,0), f 2 ( 2,1,0,1) x1(,)(,)(,) f 1 f 1 x 2 f 1 f 2 x f 1 6x1 5 x 2 1 x1(,)(,)(,) f 2 f 1 x 2 f 2 f 2 x f 2 5x1 6 x 2 1 1 1 4 2 1 1 x , x pr x x f x f (,,,) 111 2 11 F 1 1 2 2 11 11 11 11 7 13 1 12 2). d(x , F ) || g || || x prF x || ,,, 3 11 11 11 11
37. 5.4. Hình chiếu vuơng gĩc, khoảng cách. Ví dụ Trong khơng gian véctơ P2[x] với tích vơ hướng 1 (,)()()p q p x q x dx 0 Cho khơng gian con F {} p( x ) | p (1) 0 1) Tìm hình chiếu của f ( x ) 2 x 2 x 1 xuống F. 2) Tìm khoảng cách từ f ( x ) 2 x 2 x 1 đến F. 2 1). Tìm một cơ sở của F: E {} f1 x x, f 2 x 1 1(,)(,)(,)f 1 f 1 2 f 1 f 2 f f 1 1(,)(,)(,)f 2 f 1 2 f 2 f 2 f f 2 Sử dụng tích vơ hướng đã cho, tìm hệ ptrình, giải, tìm 1, 2 Suy ra hình chiếu vuơng gĩc và khoảng cách.