Bài giảng Dao động và Sóng (Bản đầy đủ)

Nội dung text: Bài giảng Dao động và Sóng (Bản đầy đủ)

1. Benjamin Crowell thuvienvatly.com hiepkhachquay dịch (trannghiem@ymail.com) Bài giảng Dao động và Sóng Kiên Giang, tháng 8/2008
2. Benjamin Crowell Tặng bác Vương Quang Trường THPT Long Thạnh, Kiên Giang
3. Benjamin Crowell Mục lục Trang Chương 1 Dao động 1 1.1 Chu kì, tần số, và biên độ 2 1.2 Chuyển động điều hòa đơn giản 4 1.3 Chứng minh 6 Bài tập 9 Chương 2 Cộng hưởng 12 2.1 Năng lượng trong dao động 13 2.2 Năng lượng tiêu hao trong dao động 14 2.3 Đưa năng lượng vào dao động 16 2.4 Chứng minh 23 Bài tập 26 Chương 3 Sóng tự do 29 3.1 Chuyển động sóng 30 3.2 Sóng trên một sợi dây 34 3.3 Sóng âm và sóng ánh sáng 38 3.4 Sóng tuần hoàn 39
4. Benjamin Crowell 3.5 Hiệu ứng Doppler 43 Bài tập 49 Chương 4 Sóng phản xạ 51 4.1 Sự phản xạ, truyền và hấp thụ sóng 52 4.2 Khảo sát định lượng sự phản xạ 57 4.3 Các hiệu ứng giao thoa 60 4.4 Sóng phản xạ ở hai đầu 62 Bài tập 69 Hãy cho đi tất cả những gì bạn có Bạn sẽ còn lại hai bàn tay không !
5. Dao động của dây đàn ghi ta điện được chuyển thành dao động điện, rồi thành dao động âm, và cuối cùng là dao động của màng nhĩ của chúng ta. Chương 1 Dao động Bồ công anh. Cello. Đọc hai từ đó, và não của bạn tức thời gợi lên các liên tưởng, nổi bật nhất trong số đó là phải thực hiện với các dao động. Sự phân loại tinh thần của chúng ta về “loại bồ công anh” liên hệ mạnh mẽ với màu sắc của sóng ánh sáng dao động khoảng nửa triệu tỉ lần mỗi giây: màu vàng. Sự rộn ràng êm dịu của đàn cello có đặc điểm nổi bật nhất của nó là một cung nhạc tương đối thấp – lưu ý là bạn tự động tưởng tượng ngay có thể là ai đó có những dao động âm thanh lặp lại ở tốc độ hàng trăm lần mỗi giây. Sự tiến hóa đã sắp đặt cho hai giác quan quan trọng nhất của chúng ta quanh giả định rằng không những môi trường của chúng ta thấm đẫm các dao động mang thông tin, mà ngoài ra những dao động đó thường có tính lặp đi lặp lại, cho nên chúng ta có thể xét đoán màu sắc và mức âm bằng tốc độ lặp đi lặp lại đó. Đồng ý là thỉnh thoảng chúng ta gặp phải các sóng không lặp lại như phụ âm “sh”, nó không có mức âm có thể nhận ra được, tuy thế tại sao giả thuyết của Tạo hóa về sự lặp đi lặp lại nói chung là đúng ? Hiện tượng lặp lại xảy ra trong tự nhiên, từ quỹ đạo của các electron trong nguyên tử cho đến sự xuất hiện trở lại của sao chổi Halley mỗi 75 năm một lần. Các nền văn hóa cổ đại có xu hướng quy cho những hiện tượng lặp đi lặp lại giống như các mùa là bản chất có tính chu kì của bản thân thời gian, nhưng ngày nay chúng ta có cách giải thích ít mang tính thần bí hơn. Giả sử thay cho quỹ đạo elip lặp lại, đúng thực sự của sao chổi Halley, chúng ta thử lấy bút và vẽ một đường đi khác bất thường không bao giờ lặp lại. Chúng ta sẽ không thể nào vẽ thật dài mà không có đường đi cắt qua chính nó. Nhưng tại giao điểm đó, sao chổi quay lại nơi nó đã viếng thăm một lần trước đó, và vì thế năng của nó là bằng như lần viếng thăm trước, nên sự bảo toàn năng lượng cho thấy nó phải một lần nữa có cùng động năng và do đó vận tốc là như cũ. Không những thế, mà hướng chuyển động của sao chổi không thể chọn một cách ngẫu nhiên, vì xung lượng Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 1
6. góc cũng phải bảo toàn. Mặc dù điều này không đưa tới bằng chứng chắc chắn rằng quỹ đạo của sao chổi phải lặp lại, nhưng nó không còn có vẻ gì bất ngờ nữa. Các định luật bảo toàn, khi đó, cho chúng ta một cách lí giải tốt tại sao chuyển động lặp lại quá phổ biến trong vũ trụ. Kể cho tới chỗ này trong chương trình vật lí của bạn, tôi đã làm cho bạn thấm nhuần một cái nhìn cơ giới về vũ trụ như một cỗ máy khổng lồ. Phân chia cỗ máy đó xuống thành những phần càng lúc càng nhỏ, chúng ta đi tới mức độ nguyên tử, trong đó các electron quay tròn xung quanh cơ cấu hạt nhân – chà, lại một cỗ máy nhỏ nữa! Từ quan điểm này, các hạt vật chất là những viên gạch cấu trúc cơ bản của mọi thứ, và dao động và sóng chỉ là một cặp trò bịp mà các nhóm hạt có thể thực hiện. Nhưng vào đầu thế kỉ 20, tình thế đã xoay chuyển. Hàng loạt khám phá kích hoạt bởi Albert Einstein đã dẫn đến việc nhận ra cái gọi là các “hạt” hạ nguyên tử thật ra là sóng. Theo thế giới quan mới này, dao động và sóng mới là cơ bản, và sự hình thành a/ Nếu chúng ta thử vẽ một quỹ đạo nên vật chất chỉ là một trong những thủ thuật mà các sóng không lặp lại của sao chổi Halley, nó sẽ có thể làm. chắc chắn cuối cùng đi đến cắt qua chính nó. 1.1 Chu kì, tần số, và biên độ Hình b trình bày một thí dụ cơ bản nhất của chúng ta về một dao động. Với không có lực nào tác dụng lên nó, lò xo giả sử có chiều dài cân bằng của nó, b/1. Nó có thể bị kéo căng, 2, hay bị nén, 3. Chúng ta gắn lò xo vào tường ở đầu bên trái và với một vật nặng ở bên phải. Nếu chúng ta gõ quả nặng bằng một cái búa, 4, nó dao động như trình bày trong loạt ảnh 4-13. Nếu chúng ta giả sử vật nặng trượt tới lui không có ma sát và chuyển động là một chiều, thì sự bảo toàn năng lượng chứng tỏ chuyển động đó phải có tính lặp lại. Khi vật trở lại vị trí ban đầu của nó lần nữa, 7, thế năng của nó là như cũ, nên nó phải có động năng như cũ. Tuy nhiên, chuyển động ở hướng ngược lại. Cuối cùng, tại 10, nó quay lại vị trí ban đầu của nó với động năng bằng như cũ và hướng chuyển động cũ. Chuyển động đã đi qua một chu trình hoàn chỉnh, và lúc này sẽ lặp lại mãi mãi trong sự vắng mặt của ma sát. b/ Một lò xo có chiều dài cân bằng, 1, và Thuật ngữ vật lí thông dụng chỉ loại chuyển động tự có thể bị kéo căng, 2, hay bị nén, 3. Một lặp lại mãi mãi là chuyển động tuần hoàn, và thời gian cần vật nặng gắn vào lò xo có thể được đưa vào chuyển động ban đầu, 4, và sau đó sẽ thiết cho một lần lặp lại được gọi là chu kì, T. (Không sử dao động, 4-13. dụng kí hiệu P vì nó có thể gây nhầm lẫn với động lượng) Vì thế, thật tiện lợi hơn là nói về sự nhanh chóng của một dao động theo số dao động mỗi giây, một đại lượng gọi tên là tần số, f. Vì chu kì là số giây mỗi chu trình và tần số là Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 2
7. số chu trình mỗi giây, nên chúng là nghịch đảo của nhau, f = 1/T Ví dụ 1. Trò chơi ngày hội Trong trò chơi lễ hội thể hiện trên hình c, anh chàng nhà quê cho là đẩy quả bowling trên đường vừa đủ mạnh sao cho nó đi qua chỗ mô dốc và đi vào chỗ trũng, nhưng không quay trở lại ra ngoài lần nữa. Nếu chỉ có các loại năng lượng là động năng c/ Ví dụ 1 và thế năng có liên quan, thì điều này là không thể. Giả sử bạn muốn quả bóng quay trở lại một điểm ví dụ như điểm biểu diễn với đường viền đứt nét, sau đó dừng lại và quay trở lại. Nó đã đi qua điểm này một lần trước đó, đi sang bên trái theo đường của nó đi vào chỗ trũng. Khi đó nó đang chuyển động, nên sự bảo toàn năng lượng cho chúng ta biết rằng nó không thể nào đứng yên khi nó trở lại cũng điểm đó. Chuyển động mà anh chàng kia hi vọng về mặt vật lí là không thể. Có một chuyển động tuần hoàn có thể xảy ra về mặt vật lí trong đó quả bóng lăn tới lui, vẫn giới hạn bên trong chỗ trũng, nhưng không có cách nào đưa quả bóng vào chuyển động bắt đầu từ nơi chúng ta bắt đầu. Dù vậy, có một cách thắng được trò chơi đó. Nếu bạn làm cho quả bóng xoay tròn đủ mức, thì bạn có thể tạo ra đủ ma sát động sao cho một lượng đáng kể nhiệt phát sinh. Sự bảo toàn năng lượng khi đó cho phép quả bóng nằm yên khi nó trở lại một điểm giống như điểm viền đứt nét, vì động năng đã chuyển hóa thành nhiệt. Ví dụ 2. Chu kì và tần số đập cánh của con ruồi Một trò bịp trong phòng khách thời Victoria là lắng nghe âm hưởng của tiếng vo vo của con ruồi, tái tạo nốt nhạc trên cây đàn piano, và cho biết cánh của con ruồi đã đập bao nhiêu lần trong một giây. Nếu cánh của con ruồi đập, ví dụ, 200 lần trong một giây, thì tần số của chuyển động của chúng là f = 200/1s = 200s-1. Chu kì là 1 phần 200 của một giây, T = 1/f = (1/200)s = 0,005 s. Đơn vị nghịch đảo của giây, s-1, thật khó đọc, nên người ta tạo ra kí hiệu tắt cho nó. Một Hertz, tên của một nhà tiên phong của công nghệ vô tuyến, là một chu trình trên giây. Ở dạng viết tắt, 1 Hz = 1 s-1. Đây là đơn vị quen thuộc dùng cho tần số kênh radio. Ví dụ 3. Tần số của đài phát thanh Tần số của đài KKJZ là 88,1 MHz. Con số đó nghĩa là gì, và con số này ứng với chu kì bằng bao nhiêu ?  Tiếp đầu ngữ hệ mét M- là mega, tức là hàng triệu. Sóng vô tuyến phát ra bởi ănten phát của KKJZ dao động 88,1 triệu lần mỗi giây. Con số này ứng với chu kì T = 1/f = 1,14 x 10-8 s Ví dụ này cho thấy một lí do thứ hai giải thích tại sao chúng ta thường phát biểu theo tần số chứ không theo chu kì: thật là khổ sở khi phải nhắc tới những khoảng thời gian thường nhỏ như thế. Tôi có thể làm ngắn lại bằng cách nói với mọi người rằng chu kì của đài KKJZ là 11,4 nano giây, nhưng đa số mọi người thường quen thuộc với các tiếp đầu ngữ lớn hệ mét hơn là những tiếp đầu ngữ nhỏ. Đơn vị của tần số còn thường được dùng để chỉ tốc độ của máy tính. Ý tưởng là toàn bộ các mạch điện nhỏ trên một chip máy tính được đồng bộ hóa bởi những xung nhịp rất nhanh của đồng hồ điện tử, nên tất cả các mạch điện có thể cùng tham gia vào một nhiệm vụ mà không có cái nào trước cái nào sau. Cộng hai con số có thể cần, nói ví dụ, 30 chu trình đồng hồ. Các máy vi tính ngày nay hoạt động ở tần số đồng hồ khoảng một gigahertz. Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 3
8. Chúng ta đã bàn việc làm thế nào đo một vật nào đó dao động bao nhanh, nhưng chưa nói tới dao động lớn bao nhiêu. Thuật ngữ chung cho đại lượng này là biên độ, A. Định nghĩa của biên độ tùy thuộc vào hệ đang nói tới, và hai người nói về cùng một hệ còn có thể không sử dụng cùng một định nghĩa. Trong ví dụ vật nặng gắn vào một đầu lò xo, d/1, biên độ sẽ được đo theo đơn vị khoảng cách, ví dụ như cm. Người ta có thể làm việc theo khoảng cách mà vật đi được từ tận cùng bên trái sang tận cùng bên phải, nhưng cách có phần tiện lợi hơn trong vật lí học là sử dụng khoảng cách từ chính giữa đến một đầu tận cùng. Cách thứ nhất thường gợi tới biên độ đỉnh-đỉnh, vì hai đầu của chuyển động trông giống như các đỉnh núi hay đỉnh núi lộn ngược trên đồ thị vị d/ 1. Biên độ của dao động của vật nặng trí theo thời gian. gắn vào lò xo có thể định nghĩa theo hai cách. Nó sẽ có đơn vị khoảng cách. 2. Trong những tình huống khác, chúng ta thậm chí Biên độ của con lắc đu đưa sẽ tự nhiên không sử dụng cùng đơn vị đó cho biên độ. Biên độ của một hơn là định nghĩa theo góc. đứa trẻ trên ghế xích đu, hay một con lắc, d/2, sẽ tiện lợi nhất là đo theo góc, chứ không theo khoảng cách, vì chân của đứa trẻ sẽ đi được khoảng cách lớn hơn đầu của nó. Các dao động điện trong máy thu thanh được đo theo các đơn vị điện là volt hoặc ampe. 1.2 Chuyển động điều hòa đơn giản Tại sao các dao động dạng sin lại quá phổ biến ? Nếu chúng ta thật sự xây dựng hệ lò xo – vật nặng đã nói trong phần trước và đo chuyển động của nó một cách chính xác, chúng ta sẽ thấy đồ thị x – t của nó gần như là một dạng sóng sin hoàn hảo, như thể hiện trên hình e/1. (Chúng ta gọi nó là sóng sin hay “hàm sin” ngay cả khi nó là cosin, vì sin hay cosin lệch nhau một lượng có phần độc đoán theo phương ngang) Có thể không có gì ngạc nhiên trước sự uốn lượn của hàm tổng quát kiểu này, nhưng tại sao nó lại hoàn hảo đặc biệt về mặt toán học như vậy ? Tại sao nó không có hình răng cưa như 2 hay một số hình dạng khác như 3 ? Bí ẩn sâu sắc thêm khi chúng ta thấy một lượng lớn các hệ dao động rõ ràng không có liên quan biểu hiện cùng đặc điểm toán học đó. Một cái âm thoa, một cái cây kéo ở một đầu và e/ Các dao động dạng sin và phi sin buông ra, một chiếc xe hơi nảy trên bộ chống sốc của nó, tất cả những hệ này sẽ biểu hiện chuyển động dạng sóng sin dưới một điều kiện: biên độ của chuyển động phải nhỏ. Thật chẳng khó khăn gì việc thấy qua trực giác tại sao hai đầu của biên độ tác dụng khác nhau. Ví dụ, một chiếc xe nảy nhẹ trên bộ chống sốc của nó có thể chạy nhẹ nhàng, nhưng nếu chúng ta gấp đôi biên độ của các dao động, thì đáy xe có thể bắt đầu chạm đất, e/4. (Mặc dù chúng ta đang giả sử cho đơn giản trong chương này rằng năng lượng không bao giờ bị tiêu hao, nhưng đây rõ ràng không phải là một giả định thực tế cho lắm trong ví dụ này. Mỗi lần chiếc xe Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 4
9. đụng đất, nó sẽ chuyển một chút động năng và thế năng của nó thành nhiệt và âm thanh, nên các dao động thật ra sẽ tắt đi khá nhanh, chứ không lặp lại nhiều chu trình như biểu diễn trên hình) Chìa khóa để hiểu được một vật dao động như thế nào là biết lực tác dụng lên vật phụ thuộc như thế nào vào vị trí của vật. Nếu một vật đang dao động sang trái và phải, thì nó có một lực hướng sang trái khi nó ở phía bên phải, và một lực hướng sang phải khi nó ở phía bên trái. Trong không gian một chiều, chúng ta có thể biểu diễn hướng của lực bằng một dấu dương hoặc âm, và vì lực thay đổi từ dương sang âm cho nên phải có một điểm ở chính giữa tại đó lực bằng không. Đây là điểm cân bằng, nơi vật sẽ vẫn ở yên nếu nó được buông ra lúc nghỉ. Cho tiện kí hiệu suốt chương này, chúng ta sẽ định nghĩa gốc của hệ tọa độ của chúng ta sao cho x bằng không tại vị trí cân bằng. Ví dụ đơn giản nhất là vật nặng gắn với lò xo, trong đó lực tác dụng lên vật nặng cho bởi định luật Hooke F = - kx Chúng ta có thể hình dung hành trạng của lực này bằng đồ thị F theo t, như biểu diễn trên hinh f. Đồ thị là một đường thẳng, và hằng số lò xo k bằng với trừ độ dốc của nó. Lò xo cứng hơn có giá trị k lớn hơn và độ dốc nghiêng hơn. Định luật Hooke chỉ là một sự gần đúng, nhưng nó hoạt động rất tốt đối với đa số lò xo trong cuộc sống thực tế, đồng thời lò xo không bị nén hay bị kéo căng quá nhiều đến mức nó bị bẻ cong hay hỏng vĩnh viễn Định lí quan trọng sau đây, có bằng chứng cho trong mục tự chọn 1.3, liên hệ đồ thị chuyển động với đồ thị lực: Định lí: Một đồ thị lực là đường thẳng gây ra một đồ thị f/ Lực tác dụng bởi một lò xo lí chuyển động dạng sin. tưởng, nó xử sự chính xác theo định luật Hooke Nếu hợp lực tác dụng lên một vật đang dao động chỉ phụ thuộc vào vị trí của vật, và liên hệ với độ dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng bởi một phương trình có dạng F = - kx, thì chuyển động của vật biểu hiện một đồ thị dạng sin với chu kì T 2/ m k . Cho dù bạn không đọc phần chứng minh, thật chẳng quá khó việc hiểu tại sao phương trình cho chu kì là có ý nghĩa. Một khối lượng lớn hơn gây ra chu kì lớn hơn, vì lực đó sẽ không thể nào quật cho vật nặng tới lui rất nhanh. Một giá trị lớn hơn của k gây ra chu kì ngắn hơn, vì lực mạnh hơn có thể quật cho vật tới lui nhanh hơn. Điều này có vẻ trông như chỉ là một định lí mơ hồ về hệ lò xo – vật nặng, nhưng hình g cho thấy nó còn tổng quát hơn như thế. Hình g/1 mô tả một đường cong lực không phải là đường thẳng. Một hệ với đường cong lực F-x kiểu này sẽ có các dao động biên độ lớn thật phức tạp và không có dạng sin. Nhưng cũng hệ đó sẽ biểu hiện các dao động biên độ nhỏ dạng sin. Đây là vì mọi đường cong đều trông như đường thẳng khi nhìn thật cận cảnh. Nếu chúng ta phóng to đồ thị F-x như thể hiện trong Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 5
10. hình g/2, thật trở nên khó mà nói rằng đồ thị đó không phải là đường thẳng. Nếu các dao động bị giới hạn trong vùng trình bày trong hình g/2, thì chúng sẽ rất gần dạng sin. Đây là lí do vì sao các dao động dạng sin là một đặc điểm phổ biến của mọi hệ dao động, nếu chúng ta tự hạn chế mình với những biên độ nhỏ. Vì thế, định lí đó có tầm quan trọng khái quát to lớn. Nó áp dụng cho toàn vũ trụ, cho các vật đa dạng từ các sao đang dao động tới các hạt nhân đang dao động. Một dao động dạng sin được gọi là một chuyển động điều hòa đơn giản. g/ Nhìn thật gần, mọi đường cong F-x trông như đường thẳng. Chu kì gần đúng độc lập với biên độ, nếu biên độ nhỏ Cho tới lúc này, chúng ta chưa hề đề cập đến khía cạnh phản trực giác nhất của phương trình T 2/ m k : rốt cuộc nó không phụ thuộc vào biên độ. Theo trực giác, đa số mọi người sẽ trông đợi hệ lò xo – vật nặng mất nhiều thời gian hơn để hoàn thành một chu trình nếu như biên độ lớn hơn. (Chúng ta đang so sánh các biên độ khác nhau, nhưng cả hai vẫn đủ nhỏ để áp dụng định lí trên) Thật ra, các dao động biên độ lớn hơn mất cùng lượng thời gian như các dao động biên độ nhỏ. Đây là vì ở những biên độ lớn, lực lớn hơn, và do đó làm gia tốc vật đến tốc độ cao hơn. Tương truyền thực tế này lần đầu tiên được chú ý tới bởi Galileo trong cái rõ ràng là một việc làm tín ngưỡng kém mang tính mê hoặc hơn. Một con gió mạnh sẽ bây giờ và sau đó khởi động một trong những ngọn đèn treo trong thánh đường đung đưa tới lui, và ông lưu ý thấy bất kể biên độ của dao động, chu kì của dao động dường như là bằng nhau.Tính đến thời điểm đó, ông đã tiến hành các thí nghiệm vật lí của mình với những kĩ thuật đo thời gian thô sơ như cảm giác xung nhịp của riêng ông hay hát một giai điệu để giữ phách nhạc. Nhưng sau khi về nhà và kiểm tra một con lắc, ông tự thuyết phục mình rằng ông đã tìm ra một phương pháp đo thời gian ưu việt hơn. Ngay cả không có hệ ròng rọc khác thường để giữ cho dao động của con lắc khỏi tắt dần, ông vẫn có thể thu được những phép đo thời gian rất chính xác, vì sự giảm đều đặn biên độ do ma sát không có ảnh hưởng lên chu kì của con lắc. (Galileo chưa bao giờ chế tạo được một đồng hồ quả lắc kiểu hiện đại với các ròng rọc, một kim phút và một kim giây, nhưng trong một thế hệ dụng cụ đó đã nhận lấy hình thể tồn tại hàng trăm năm sau này) Ví dụ 4. Con lắc So sánh chu kì của những con lắc có quả lắc khối lượng khác nhau.  Từ phương trình T 2/ m k , chúng ta có thể trông đợi khối lượng lớn sẽ mang lại chu kì lớn. Tuy nhiên, sự tăng khối lượng cũng làm tăng lực tác dụng lên quả lắc: trọng lực và lực căng dây. Việc này làm tăng k cũng như m, nên chu kì của con lắc độc lập với m. 1.3 * Chứng minh Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 6
11. Trong phần này, chúng ta chứng minh (1) đồ thị F-x thẳng cho chuyển động dạng sin, (2) chu kì của chuyển động là T 2/ m k , và (3) chu kì độc lập với biên độ. Bạn có thể bỏ qua chương này mà không mất tính liên tục của chương. Ý tưởng cơ bản của việc kiểm chứng có thể hiểu bằng việc tưởng tượng rằng bạn đang quan sát một đứa trẻ trên vòng quay ngựa gỗ từ xa. Vì bạn ở trong cùng mặt phẳng ngang với chuyển động của cô bé, nên cô bé dường như đang chuyển động từ bên này sang bên kia theo một đường thẳng. Chuyển động tròn nhìn ngang không những giống hệt như mọi loại chuyển động tới lui, mà còn giống chuyển động với đồ thị x – t dạng sin, vì hàm sin và cosin có thể định nghĩa là các tọa độ x và y của một điểm tại góc  trên vòng tròn đơn vị. Ý tưởng của việc chứng minh khi đó là chỉ ra rằng một vật chịu một lực tác dụng biến thiên dạng F = - kx có chuyển động giống hệt như chuyển động tròn chiếu xuống một chiều không gian. Phương trình đó cuối cùng hóa ra cũng thật đẹp. Đối với một vật đang thực hiện chuyển động tròn đều, ta có v2 a h/ Vật chuyển động theo vòng tròn ở r tốc độ không đổi, nhưng cho dù tốc độ chung của nó là không đổi, nhưng các Thành phần x của gia tốc, do đó, là thành phân x và y của vận tốc của nó liên tục thay đổi, như thể hiện bởi v2 a cos những khoảng không bằng nhau của các x r điểm khi chiếu lên đường thẳng bên dưới. Chiếu lên đường thẳng đó, trong đó  là góc đo ngược chiều kim đồng hồ tính từ trục x. chuyển động của nó giống như chuyển Áp dụng định luật II Newton, động của một vật chịu một lực F = - kx. F v2 x cos , nên mr v2 Fm cos x r Vì mục tiêu của chúng ta là một phương trình liên quan đến chu kì, nên thật tự nhiên là hãy loại trừ v = chu vi/T = 2 r/T, cho ta 4 2mr F cos x T 2 Đại lượng r cos là tương tự như x, nên ta có 4 2m Fx x T 2 Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 7
12. Vì mọi thứ là không đổi trong phương trình này ngoại trừ x, nên chúng ta chứng minh được rằng chuyển động với lực tỉ lệ với x là giống như chuyển động tròn chiếu lên một đường thẳng, và do đó một lực tỉ lệ với x cho chuyển động dạng sin. Cuối cùng, chúng ta nhận ra hệ số 4 2m/T2 với k, và giải với T cho ta phương trình mong muốn cho chu kì m T 2 k Vì phương trình này độc lập với r, nên T độc lập với biên độ, lệ thuộc vào giả định ban đầu về F = - kx hoàn hảo, trong thực tế nó chỉ gần đúng đối với x nhỏ. Ví dụ 5. Các vệ tinh của Mộc tinh Ý tưởng đằng sau phép chứng minh này được minh họa thích hợp bởi các vệ tinh của Mộc tinh. Việc Galileo khám phá ra chúng là một sự kiện huyền thoại trong thiên văn học, vì nó chứng minh rằng không phải mọi thứ trong vũ trụ phải quay xung quanh Trái đất như người ta đã tin. Kính thiên văn của Galileo có chất lượng thật tồi so với các tiêu chuẩn hiện đại, nhưng hình i thể hiện một sự mô phỏng cách thức Mộc tinh và các vệ tinh của nó có thể xuất hiện tại những khoảng thời gian ba giờ qua một thiết bị lớn ngày nay. Vì chúng ta nhìn quỹ đạo tròn của các vệ tinh từ phía ngang, nên chúng dường như thực hiện những dao động hình sin. Trong khoảng thời gian này, vệ tinh trong cùng nhất, Io, đã hoàn thành nửa chu kì. i/ Ví dụ 5 Tóm tắt chương 1 Từ khóa chọn lọc chuyển động điều hòa . chuyển động lặp lại chính nó mãi mãi chu kì thời gian cần thiết cho một chu trình của chuyển động tuần hoàn Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 8
13. tần số số chu trình mỗi giây, nghịch đảo của chu kì biên độ lượng dao động, thường đo từ chính giữa tới một bên; có thể có đơn vị khác nhau tùy vào bản chất của dao động chuyển động điều hòa đơn giản chuyển động có đồ thị x – t là một sóng sin Kí hiệu T . chu kì f tần số A . biên độ k . độ dốc của đồ thị F theo x, trong đó F là hợp lực tác dụng lên vật và x là vị trí của vật; đối với lò xo, đây là hằng số lò xo Thuật ngữ và kí hiệu khác  . kí tự Hi Lạp v, nu, được sử dụng trong nhiều sách chỉ tần số  Kí tự Hi Lạp , omega, thường dùng viết tắt cho 2 f Tóm tắt Chuyển động tuần hoàn phổ biến trong thế giới xung quanh chúng ta do các định luật bảo toàn. Một ví dụ quan trọng là chuyển động một chiều trong đó chỉ hai dạng năng lượng có liên quan là thế năng và động năng; trong một tình huống như thế, sự bảo toàn năng lượng yêu cầu vật lặp lại chuyển động của nó, vì nếu không thì khi nó trở lại đúng điểm cũ, nó sẽ có một động năng khác và do đó năng lượng toàn phần khác đi. Không những các dao động tuần hoàn rất phổ biến, mà các dao động biên độ nhỏ còn luôn luôn có dạng sin. Nghĩa là, đồ thị x – t là một sóng sin. Đây là vì đồ thị của lực theo vị trí sẽ luôn luôn trông giống như một đường thẳng ở quy mô đủ nhỏ. Loại dao động này được gọi là chuyển động điều hòa đơn giản. Trong chuyển động điều hòa đơn giản, chu kì độc lập với biên độ, và được cho bởi T 2/ m k Bài tập 1. Tìm phương trình tần số của chuyển động điều hòa đơn giản theo k và m. 2. Nhiều sinh vật đơn bào tự đẩy chúng đi trong nước với những cái đuôi dài, chúng ngọ nguậy tới lui. (Ví dụ đơn giản nhất là tế bào tinh trùng) Tần số dao động của cái đuôi thường vào khoảng 10-15 Hz. Hỏi ngưỡng tần số này tương ứng với ngưỡng chu kì nào ? 3. (a) Con lắc 2 có dây dài gấp đôi con lắc 1. Nếu chúng ta định nghĩa x là khoảng cách đi được bởi quả lắc theo vòng tròn tính từ đáy, thì k của con lắc 2 so sánh như thế nào với k của con Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 9
14. lắc 1 ? Tính tỉ số bằng số. [Gợi ý: Hợp lực tác dụng lên quả lắc là bằng nhau nếu góc lệch khỏi đáy bằng nhau, nhưng các góc bằng nhau không tương ứng với giá trị bằng nhau của x] (b) Dựa trên đáp án câu a, hỏi chu kì của con lắc 2 so sánh như thế nào với chu kì của con lắc 1 ? Tính tỉ số bằng số. 4. Một lò xo đệm khí gồm một piston trượt trên không khí trong một xilanh. Lực hướng lên của không khí tác dụng lên piston -1,4 được cho bởi Fkk = ax , trong đó a là hằng số với đơn vị buồn cười Nm1,4. Để cho đơn giản, giả sử không khí chỉ nâng đỡ trọng lượng, FW, của chính piston, mặc dù trong thực tế dụng cụ này thường nâng đỡ một số vật khác. Vị trí cân bằng, x0, là nơi FW bằng – Fkk. (Lưu ý là trong phần bài giảng, tôi đã giả sử vị trí cân bằng là tại x = 0, nhưng đó không phải là sự lựa chọn tự nhiên ở đây) Giả sử ma sát là không đáng kể, và xét trường hợp trong đó biên độ của 1,4 dao động rất nhỏ. Đặt a = 1 N.m , x0 = 1,00 m, và FW = -1,00 N. Piston được thả ra từ x = 1,01 m. Hãy vẽ một đồ thị ngắn gọn, chính xác của hợp lực F là hàm theo x, trên giấy vẽ đồ thị, trên ngưỡng từ x = 0,98 m đến 1,02 m. Trên phạm vi nhỏ này, bạn sẽ thấy lực rất gần tỉ lệ với x – x0. Coi gần đúng đường cong là đường thẳng, hãy tìm độ dốc của nó, và suy ra chu kì gần đúng của dao động. 5. Xét cũng piston đệm khí như mô tả ở bài 4, nhưng bây giờ tưởng tượng các dao động không phải nhỏ. Hãy phác họa đồ thị của hợp lực tác dụng lên piston khi nó xuất hiện trong phạm vi chuyển động rộng hơn. Đối với chuyển động phạm vi rộng hơn, giải thích tại sao dao động của piston xung quanh vị trí cân bằng không phải là chuyển động điều hòa đơn giản, và phác họa đồ thị x theo t, thể hiện đại khái đường cong khác như thế nào với một sóng sin [Gợi ý: Gia tốc ứng với độ cong của đồ thị x – t, cho nên nếu lực lớn hơn thì đồ thị sẽ cong nhanh hơn] 6. Nguyên lí Archimede phát biểu rằng chìm một phần hay chìm hoàn toàn trong chất lưu chịu một lực nổi bằng với trọng lượng của phần chất lưu mà nó chiếm chỗ. Chẳng hạn, nếu con tàu nổi trên nước, thì áp suất hướng lên của nước (tổng vector của tất cả các lực của nước ép vào trong và lên mỗi inch vuông của thân nó) phải bằng với trọng lượng của nước bị chiếm chỗ, vì nếu con tàu ngay tức thì bị lấy khỏi và lỗ trống trong nước được lấp đầy trở lại, thì lực của nước xung quanh đúng bằng lượng giữ cho “khối” nước này lên. (a) Hãy chứng tỏ rằng một hình lập phương khối lượng m với các cạnh chiều dài b nổi thẳng đứng (không nghiêng) trong một chất lỏng có khối lượng riêng sẽ có phần chìm (độ sâu mà nó chìm bên dưới vạch nước) h được 2 cho tại vị trí cân bằng bởi h0 = m/b . (b) Tìm hợp lực tác dụng lên khối lập phương khi phần chìm của nó là h, và xác nhận rằng việc đưa vào h – h0 cho hợp lực bằng không. (c) Tìm chu kì dao động của hình lập phương khi nó trồi lên xuống trong nước, và chứng tỏ rằng nó có thể biểu diễn chỉ theo g. 7. Hình bên thể hiện một cái bập bênh với hai lò xo tại công viên Codornices ở Berkeley, California. Mỗi lò xo có độ cứng k, và một đứa trẻ khối lượng m ngồi trên mỗi ghế. (a) Tìm chu kì dao động theo các biến k, m, a và b. (b) Thảo luận trường hợp đặc biệt, trong đó a = b, chứ không phải a > b như trong cái bập bênh thực tế. (c) Chứng tỏ rằng câu trả lời của bạn cho phần a cũng có ý nghĩa trong trường hợp b = 0. Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 10
15. 8. Chứng tỏ rằng phương trình T 2/ m k có đơn vị phù hợp. 9. Một nghi vấn khoa học nóng bỏng của thế kỉ là hình dạng của Trái đất: bán kính của nó ở xích đạo có lớn hơn bán kính tại các cực, hay các bán kính khác, hay không. Một phương pháp được sử dụng gắn nghi vấn này với việc đo lực hấp dẫn chính xác ở những nơi khác nhau trên Trái đất bằng con lắc. Nếu như những vĩ độ cao nhất và thấp nhất có thể đi tới được đối với các nhà thám hiểm là 0 và 70 độ, thì cường độ lực hấp dẫn trong thực tế được quan sát khác nhau trong phạm vi từ 9,780 đến 9,826 m/s2. Sự thay đổi này, khoảng 0,046 m/s2, lớn hơn kết quả 0,022 m/s2 được trông đợi nếu Trái đất có hình cầu. Kết quả lớn hơn xuất hiện vì xích đạo chịu một sức nén không những do Trái đất đang quay tròn ra bên dưới nó, mà còn do bán kính của Trái đất lớn hơn tại xích đạo. Hỏi độ chính xác mà chu kì của con lắc một giây sẽ phải đo để chứng minh rằng Trái đất không phải hình cầu, và nó phình to tại xích đạo, bằng bao nhiêu ? Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 11
16. Hình trên: Loạt ảnh trích từ phim ghi lại cây cầu Tacoma Narrows Bridge đang dao động vào ngày nó đổ sập. Hình giữa: Cây cầu ngay trước khi sập, với các cạnh dao động 8,5 m lên xuống. Lưu ý là cây cầu dài hơn 1 dặm. Hình dưới: Trong và sau cú sập đổ cuối cùng. Hình phía bên phải cho thấy quy mô to lớn của công trình xây dựng. Chương 2 Cộng hưởng Không bao lâu sau khi cây cầu Tacoma Narrows Bridge khánh thành vào tháng 7 năm 1940, những người lái xe bắt đầu chú ý tới xu hướng của nó dao động khủng khiếp cả trong một cơn gió vừa. Mệnh danh là “Gertie tẩu mã”, cây cầu đã sụp đổ trong một cơn gió đều đều 42 dặm trên giờ vào hôm 7 tháng 11 cùng năm đó. Sau đây là bài báo cáo tận mắt từ một biên tập viên báo chí có mặt trên cầu khi các dao động đạt tới điểm sụp đổ. “Đúng lúc tôi vừa lái qua tòa tháp, cây cầu bắt đầu đung đưa dữ dội từ bên này sang bên kia. Trước khi tôi nhận ra nó, độ nghiêng trở nên khủng khiếp tới mức tôi mất cả sự điều khiển xe Tôi đạp phanh và nhảy ra ngoài, đập mặt lên lề vỉa hè. “Xung quanh tôi, tôi nghe bê tông kêu răng rắc. Tôi bắt đầu lôi con chó Tubby của mình, nhưng bị ném đi lần nữa trước khi tôi chạm tới chiếc xe. Chiếc xe tự nó bắt đầu trượt từ bên này sang bên kia của đường xa lộ. “Chống trên tay và đầu gối gần như suốt thời gian, tôi bò đi 500 yard hoặc nhiều hơn thế để đến tòa tháp. Hơi thở của tôi bắt đầu hổn hển, hai đầu gối của tôi đã trầy da và đang chảy máu, hai tay tôi thâm tím và sưng phồng vì ép mạnh vào lề đường bê tông Cuối cùng, tôi liều mạng dứng dậy và chạy một mạch đi vài yard. Quay lại tòa tháp một cách an toàn, tôi thấy cây cầu trong pha sụp đổ của nó và thấy chiếc xe của mình lao xuống dòng Narrows”. Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 12
17. Tàn tích của cây cầu tạo ra một vỉa đá ngầm nhân tạo, một trong những vỉa lớn nhất thế giới. Nó không được thay thế trong mười năm. Nguyên nhân sụp đổ của nó không phải do chất liệu hay việc xây dựng không đạt yêu cầu, không phải do kiến trúc không đảm bảo: trụ cẩu là những khối bê tông một trăm foot, dầm cầu chắc nặng và chế tạo bằng thép carbon. Cây cầu bị phá hủy do hiện tượng vật lí gọi là cộng hưởng, chính hiệu ứng cho phép ca sĩ hát opera làm vỡ ly rượu với giọng hát của cô ta và chính hiệu ứng để cho bạn dò đài phát thanh mà bạn muốn. Cây cầu thay thế, tồn tại nửa thế kỉ cho đến nay, không chắc nặng hơn. Các kĩ sư đã rút kinh nghiệm và đơn giản là đưa thêm một số cải tiến nhỏ nhằm tránh hiện tượng cộng hưởng đã khai tử cho cây cầu cũ xấu số. 2.1 Năng lượng trong dao động Một cách mô tả sự sụp đổ của cây cầu là cây cầu nhận lấy năng lượng từ ngọn gió thổi đều đều và tạo ra các dao động càng lúc càng nhiều năng lượng hơn. Trong mục này, chúng ta nói về năng lượng có trong một dao động, và trong phần tiếp theo chúng ta sẽ chuyển sang vấn đề mất năng lượng và cấp thêm năng lượng cho một hệ dao động, tất cả nhằm mục tiêu tìm hiểu hiện tượng cộng hưởng quan trọng kia. Trở lại thí dụ chuẩn của chúng ta về vật nặng gắn với lò xo, chúng ta thấy có hai dạng năng lượng có liên quan: thế năng dự trữ trong lò xo và động năng của vật đang chuyển động. Chúng ta có thể đưa hệ vào chuyển động hoặc bằng cách đẩy vật nặng cấp động năng cho nó, hoặc kéo nó sang một bên để đưa vào thế năng. Cho dù là theo cách nào, hành trạng sau đó của hệ là giống nhau. Nó trao đổi năng lượng tới lui giữa động năng và thế năng (Chúng ta vẫn giả sử không có ma sát, nên không có năng lượng nào chuyển thành nhiệt, và hệ không bao giờ dừng lại). Điều quan trọng nhất để hiểu về lượng năng lượng của các dao động là năng lượng toàn phần tỉ lệ với bình phương của biên độ. Mặc dù năng lượng toàn phần không đổi, nhưng để có thêm thông tin, ta xét hai thời điểm đặc biệt trong chuyển động của vật nặng gắn trên lò xo làm 1 thí dụ. Chúng ta đã thấy là thế năng dự trữ trong một lò xo bằng kx2 , cho nên năng lượng tỉ lệ 2 với bình phương của biên độ. Bây giờ hãy xét thời điểm khi vật nặng đi qua điểm cân bằng x = 0. Tại điểm này, nó không có thế năng, nhưng nó thật sự có động năng. Vận tốc thì tỉ lệ với biên độ 1 của chuyển động, và động năng, mv2 , thì tỉ lệ với bình phương của vận tốc, nên một lần nữa 2 chúng ta thấy năng lượng tỉ lệ với bình phương của biên độ. Lí do chọn hai điểm này đơn thuần là để cung cấp thông tin; chứng minh năng lượng tỉ lệ với A2 tại điểm bất kì đủ để chứng minh năng lượng tỉ lệ với A2 nói chung, vì năng lượng là không đổi. Những kết luận này có hạn chế với thí dụ vật nặng gắn trên lò xo hay không ? Không. Chúng ta đã thấy F = - kx có giá trị gần đúng cho bất kì vật dao động nào, chừng nào biên độ là nhỏ. Do đó, chúng ta đi đến một kết luận rất tổng quát: năng lượng của mọi dao động xấp xỉ tỉ lệ với bình phương của biên độ, biết rằng biên độ là nhỏ. Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 13
18. Ví dụ 1. Nước trong ống hình chữ U Nếu nước được rót vào một ống hình chữ U như biểu diễn trong hình, nó có thể chịu những dao động xung quanh vị trí cân bằng. Năng lượng của một dao động như thế tính dễ nhất bằng cách xét “điểm đổi chiều” khi nước dừng lại và đảo chiều chuyển động. Tại điểm này, nó chỉ có thế năng và không có động năng, nên bằng cách tính thế năng của nó, chúng ta có thể tìm năng lượng của dao động. Thế năng này bằng công phải thực hiện để đưa nước ở phía bên phải xuống độ sâu A dưới mức cân bằng, nâng nó lên độ cao A, và đưa nó vào phía bên trái. Trọng lượng của phần nước này tỉ lệ với A, và do đó tỉ lệ với độ cao qua đó nó phải dâng lên, nên năng lượng tỉ lệ với A2. Ví dụ 2. Ngưỡng năng lượng của sóng âm Biên độ dao động của màng nhĩ của bạn ở ngưỡng đau a/ Ví dụ 1 gấp khoảng 106 lần biên độ mà nó dao động phản ứng với âm thanh êm dịu bạn có thể nghe. Hỏi năng lượng mà tai của bạn phải đối phó với âm thanh to gây đau lớn gấp bao nhiêu lần so với âm thanh êm dịu ?  Biên độ gấp 106 lần, và năng lượng thì tỉ lệ với bình phương của biên độ, nên năng lượng lớn gấp 1012 lần. Đây là một hệ số lớn khác thường! Chúng ta chỉ đang nghiên cứu về dao động, không phải sóng, nên chúng ta không bàn xem sóng âm hoạt động như thế nào, hay nó mang bao nhiêu năng lượng đến chúng ta qua không khí. Chú ý do ngưỡng năng lượng lớn mà tai chúng ta có thể cảm nhận, nên sẽ không hợp lí khi có cảm giác sự ầm ĩ cộng gộp. Ví dụ, xét ba mức âm sau đây: tiếng gió vừa đủ nghe trò chuyện thầm gấp 105 lần năng lượng gió hòa nhạc nặng gấp 1012 lần năng lượng gió Theo khái niệm cộng và trừ, sự khác biệt giữa tiếng gió và tiếng trò chuyện thầm chẳng là cái gì so với sự khác biệt giữa tiếng trò chuyện thầm và tiếng hòa nhạc nặng. Sự tiến hóa muốn cảm giác nghe của chúng ta có thể dung chứa mọi âm thanh này mà không phải thu lại tới dưới cùng thang bậc sao cho bất cứ thứ gì êm dịu hơn tiếng vỡ của sự diệt vong sẽ nghe tương tự. Thay vì gây ra cho chúng ta cảm giác cộng mức âm, mẹ tự nhiên lại làm cho nó nhân lên gấp bội. Chúng ta cảm nhận sự khác biệt giữa tiếng gió và tiếng trò chuyện thầm trải ra ngưỡng cỡ 5/12 toàn ngưỡng tiếng gió so với tiếng hòa nhạc nặng. Mặc dù thảo luận chi tiết về thang decibel không được nhắc tới ở đây, nhưng điểm cơ bản cần lưu ý về thang decibel gần với giới hạn dưới của cảm giác nghe của con người, và cộng 1 đơn vị vào số đo decibel tương ứng với việc nhân mức năng lượng (hay thật ra là công suất trên diện tích) lên một hệ số nhất định. 2.2 Năng lượng tiêu hao trong dao động Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 14
19. Cho đến nay, chúng ta đã và đang đưa ra giả định tương đối không thực tế là một dao động sẽ không bao giờ tắt. Đối với một vật nặng thực tế gắn trên lò xo, thì sẽ có ma sát, và động năng và thế năng của dao động do đó sẽ chuyển hóa dần thành nhiệt. Tương tự, một dây đàn ghita sẽ chuyển hóa dần động năng và thế năng của nó thành âm thanh. Trong tất cả những trường hợp này, kết quả là “nén” đồ thị x – t dạng sin càng lúc càng chặt theo thời gian trôi qua. Ma sát không hẳn có b/ Ma sát có tác dụng làm nén đồ thị x – t của vật dao động. hại trong ngữ cảnh này – một nhạc cụ không hề giải phóng bất kì năng lượng nào của nó sẽ hoàn toàn im lặng! Sự tiêu hao năng lượng trong một dao động gọi là sự tắt dần.  Đa số mọi người thử vẽ đồ thị giống như ở bên phải sẽ có xu hướng rút ngắn dạng đồ thị theo chiều ngang lẫn chiều rộng. Tại sao điều này là sai ? Trong đồ thị ở hình b, tôi không biểu diễn điểm nào mà ở đó dao động tắt dần cuối cùng dừng lại hoàn toàn. Điều này có thực tế không ? Có và không. Nếu năng lượng bị mất do ma sát giữa hai bề mặt rắn, thì chúng ta muốn lực ma sát gần như độc lập với vận tốc. Lực ma sát không đổi này đặt ra một giới hạn trên lên khoảng cách toàn phần mà vật dao động có thể đi được mà không phải bổ sung thêm năng lượng của nó, vì công bằng với lực nhân với khoảng cách, và vật phải ngừng thực hiện công khi năng lượng của nó chuyển hóa hết thành nhiệt. (Lực ma sát thực sự đổi chiều khi vật quay lại, nhưng việc đảo hướng chuyển động đồng thời khi chúng ta đảo hướng của lực khiến nhất định rằng vật luôn luôn thực hiện công dương, không phải công âm). Tuy nhiên, sự tắt dần do một lực ma sát không đổi không phải là khả năng duy nhất, hay thậm chí không phải là khả năng phổ biến nhất. Một con lắc có thể bị tắt dần do ma sát của không khí, nó xấp xỉ tỉ lệ với v2, còn những hệ khác có thể biểu hiện lực ma sát tỉ lệ với v. Hóa ra lực ma sát tỉ lệ với v là trường hợp đơn giản nhất để phân tích về mặt toán học, và dù sao chăng nữa thì mọi sự hiểu biết vật lí quan trọng có thể thu được bằng cách nghiên cứu trường hợp này. Nếu lực ma sát tỉ lệ với v, thì khi dao động tắt dần, lực ma sát trở nên yếu hơn do tốc độ chậm đi. Hệ còn lại ít năng lượng hơn, cho nên hệ tiêu hao năng lượng ít hơn. Dưới những điều kiện này, dao động về mặt lí thuyết không bao giờ tắt hoàn toàn, và về mặt số học, sự tiêu tán năng lượng từ hệ là theo hàm mũ: hệ tiêu hao một tỉ lệ phần trăm nhất định năng lượng của nó trên mỗi chu kì. Hiện tượng này được gọi là sự suy giảm theo hàm mũ. Sau đây là một phép chứng minh chặt chẽ. Lực ma sát tỉ lệ với v, và v tỉ lệ với đoạn đường mà vật đi được trong mỗi chu kì, nên lực ma sát tỉ lệ với biên độ. Lượng công do lực ma sát thực hiện tỉ lệ với lực và quãng đường đi được, nên công thực hiện trong một chu kì tỉ lệ với biên độ. Vi công và năng lượng đều tỉ lệ với A2, nên lượng năng lượng do ma sát tiêu tán trong một chu kì là một lượng phần trăm ổn định của năng lượng mà hệ có. Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 15
20.  Hình c biểu diễn một đồ thị x – t cho một dao động tắt dần nhanh, tiêu hao một nửa biên độ của nó theo mỗi chu kì. Hỏi bao nhiêu năng lượng bị tiêu hao trong mỗi chu kì ? Người ta thường mô tả lượng tắt dần với một đại lượng gọi là hệ số chất lượng, Q, được định nghĩa là số chu kì cần thiết cho năng lượng tiêu hao mất 535 lần. (Nguồn gốc của thừa số mơ hồ này là e2 , trong đó e = 2,71828 là cơ số của logarith tự nhiên. Việc chọn con số đặc biệt này làm cho một số phương trình sau này của c/ Biên độ giảm một nửa với mỗi chu kì chúng ta có dạng đẹp và đơn giản) Thuật ngữ đó phát sinh từ thực tế là ma sát thường bị xem là thứ có hại, nên một dụng cụ cơ có thể dao động trong nhiều dao động trước khi nó tiêu hao một lượng đáng kể năng lượng của nó sẽ được xem là một dụng cụ chất lượng cao. Ví dụ 3. Suy giảm theo hàm mũ ở kèn trumpet Dao động của cột không khí trong kèn trumpet có Q vào khoảng 10. Điều này có nghĩa là cả sau khi người chơi trumpet ngừng thổi, nốt sẽ giữ âm trong một thời gian ngắn. Nếu người chơi đột ngột ngừng thổi, hỏi cường độ âm 20 chu kì sau so sánh như thế nào với cường độ âm trong khi cô ta vẫn đang thổi ?  Q của kèn trumpet là 10, nên sau 10 chu kì năng lượng sẽ giảm đi 535 lần. Sau 10 chu kì nữa, chúng ta mất thêm 535 lần năng lượng, nên cường độ âm giảm đi hệ số 535 x 535 = 2,9 x 105 lần. Sự suy giảm của tiếng nhạc là một phần của cái mang lại đặc trưng của nó, và một nhạc cụ tốt sẽ có Q phù hợp, nhưng Q thường được muốn xem là khác nhau đối với những dụng cụ khác nhau. Cây đàn ghita giữ âm thanh một thời gian dài sau khi dây đàn bị gảy, và có thể có Q là 1000 hoặc 10000. Một trong những lí do tại sao các nhạc cụ điện tử đa năng rẻ tiền quá tệ là vì âm thanh đột ngột tiêu tán mất sau khi một phím được thả ra. Ví dụ 4. Q của loa stereo Các loa stereo không được cho là vang hay “rung” sau khi tín hiệu điện ngừng đột ngột. Sau hết thảy, tiếng nhạc được ghi bởi các họa sĩ, những người biết cách định hình sự suy giảm của các nốt của họ một cách chính xác. Thêm một “đuôi” dài hơn vào mỗi note sẽ làm cho nó nghe không đúng. Vì thế, chúng ta muốn loa stereo có Q rất thấp, và thật vậy, đa số các loa stereo được sản suất với Q khoảng chừng 1. (Các loa chất lượng thấp với giá trị Q lớn hơn bị xem là “rền”). Chúng ta sẽ thấy ở phần sau trong chương này rằng còn có những lí do khác khiến Q của một cái loa phải cao. 2.3 Đưa năng lượng vào dao động Khi đẩy một đứa trẻ trên ghế xích đu, bạn không thể nào chỉ tác dụng một lực không đổi. Một lực không đổi sẽ làm cho ghế xích đu lệch đi một góc nhất định, nhưng sẽ không làm cho ghế xích đu bắt đầu đung đưa. Bạn cũng không thể nào cấp những cái đẩy nhanh tại những thời điểm chọn trước ngẫu nhiên. Loại đẩy ngẫu nhiên này sẽ làm tăng động năng của đứa trẻ mỗi khi bạn xuất hiện đẩy theo cùng hướng chuyển động của nó, nhưng sẽ làm giảm năng lượng của nó nếu như bạn đẩy ngược lại hướng chuyển động của nó. Để làm cho đứa trẻ nhận thêm năng lượng, bạn phải thực hiện những cái đẩy đó một cách nhịp nhàng, đẩy tại cùng một điểm trong từng chu kì. Nói cách khác, lực của bạn phải hình thành theo kiểu lặp lại với tần số bằng với tần số bình thường của dao động của ghế xích đu. Hình d/1 cho thấy đồ thị x – t của đứa trẻ trông như thế nào khi bạn dần dần đưa thêm năng lượng vào dao động của nó. Đồ thị của lực tác dụng Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 16
21. của bạn theo thời gian có khả năng sẽ là cái trông giống như đồ thị 2. Tuy vậy, hóa ra thật đơn giản hơn nhiều về mặt toán học khi xét một dao động với năng lượng bơm vào nó bởi một lực chi phối bản thân nó là một sóng sin, 3. Một thí dụ hay thuộc loại này là màng nhĩ của bạn bị chi phối bởi lực của sóng âm. Bây giờ chúng ta biết thực tế thì đứa trẻ ở trên ghế xích đu sẽ không giữ cho năng lượng của nó tăng lên mãi mãi, cũng như màng nhĩ của bạn sẽ không đi đến nổ tung vì một sóng âm liên tục bơm càng lúc càng nhiều năng lượng vào nó. Trong mọi hệ thực tế, có năng lượng đi ra cũng như đi vào. Khi các dao động tăng biên độ, thì có sự tăng lượng năng lượng bị tiêu hao do tắt dần với từng chu kì. Điều này xảy ra vì hai nguyên nhân. Công bằng với lực nhân thời gian (hay, chính xác hơn, bằng diện tích nằm dưới đường cong lực-thời gian). Khi biên độ của dao động tăng, thì lực hãm giữ tác dụng ở quãng đường dài hơn. Hơn d/ 1. Việc đẩy một đứa trẻ trên ghế xích nữa, lực hãm thường tăng theo vận tốc (chúng ta thường đu là đưa thêm năng lượng vào dao động của nó. 2. Đồ thị khá thực tế của ngoại lực giả sử cho đơn giản rằng nó tỉ lệ với vận tốc), và điều này tác dụng lên đứa trẻ. 3. Một ngoại lực cũng có tác dụng làm tăng tốc độ mà lực hãm làm tiêu tán kém thực tế hơn, nhưng đơn giản hơn về năng lượng khi biên độ tăng. Cuối cùng (đứa trẻ nhỏ và mặt toán học. màng nhĩ của chúng ta phải cảm ơn điều này!), biên độ đạt tới một giá trị cực đại, e, ở đó năng lượng bị tiêu hao bởi lực hãm đúng bằng năng lượng đưa vào bởi lực chi phối. Quá trình đạt tới biên độ cực đại này xảy ra cực kì nhanh trong nhiều trường hợp, ví dụ như tai hay máy thu radio, và chúng ta thậm chí không để ý là mất 1 mili giây e/ Biên độ đạt tới một giá trị cực đại hay 1 micro giây cho các dao động “đi vào ổn định”. Vì thế, chúng ta chủ yếu tập trung vào tiên đoán hành vi của hệ một khi nó đã đủ thời gian để về cơ bản là đạt tới biên độ cực đại của nó. Đây được gọi là hành vi trạng thái ổn định của hệ dao động. Bây giờ bàn tới phần hấp dẫn: điều gì xảy ra nếu như tần số của ngoại lực không tương xứng với tần số mà hệ sẽ dao động tự nhiên theo kiểu riêng của nó ? Chúng ta đều biết rằng một đài phát thanh không phải điều chỉnh chính xác, mặc dù một đài cho trước chỉ có thể nhận một vùng tần số nhỏ thôi. Các nhà thiết kế radio phải làm cho ngưỡng tần số khá nhỏ để nó có thể loại trừ những đài không mong muốn xuất hiện ở tần số lân cận, nhưng nó không thể nào quá nhỏ hoặc bạn sẽ không thể điều chỉnh núm xoay đủ chính xác (Cho dù radio kĩ thuật số có thể chỉnh tới 88,0 MHz, nó vẫn mang lại một đài 88,1 MHz). Tai chúng ta cũng có một số tần số dao động tự nhiên, nhưng trong trường hợp này, ngưỡng tần số mà nó có thể phản ứng khá rộng. Sự tiến hóa đã làm cho tần số của tai phản ứng rộng nhất có thể vì nó là tiện lợi của tổ tiên chúng ta có thể nghe mọi thứ từ một tiếng gầm nhỏ cho tới tiếng thét cao. Phần còn lại của mục nay trình bày bốn thực tế quan trọng về phản ứng của một hệ với ngoại lực có tần số không nhất thiết bằng với tần số dao động tự nhiên của hệ. Cách trình bày là gần đúng và trực giác, nhưng chứng minh cho trong phần tự chọn sau đó. Trước hết, mặc dù chúng ta biết tai có một tần số - khoảng 4000 Hz - mà nó sẽ dao động tự nhiên, nhưng nó không dao động ở 4000 Hz trong phản ứng với một tiếng khẽ 200 Hz. Nó Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 17
22. luôn luôn đáp lại ở tần số mà nó bị kích thích. Nếu không thì mọi tiếng động sẽ nghe như là 4000 Hz đối với chúng ta. Đây là thực tế chung về dao động cưỡng bức: (1) Trạng thái ổn định phản ứng với ngoại lực dạng sin xảy ra ở tần số của ngoại lực, chứ không ở tần số dao động tự nhiên riêng của hệ. Bây giờ hãy nghĩ về biên độ của phản ứng trạng thái ổn định. Hãy tưởng tượng một đứa trẻ trên ghế xích đu có tần số dao động tự nhiên 1 Hz, nhưng chúng ta sẽ thử làm cho ghế xích đu của nó dao động tới lui ở 3 Hz. Bằng trực giác, chúng ta nhận thấy rằng một lực khá lớn là cần thiết để thu được một biên độ thậm chí 30 cm, tức là biên độ thì kém trong tỉ lệ với lực. Khi chúng ta đẩy ở tần số tự nhiên 1 Hz, về cơ bản chúng ta chỉ đưa năng lượng trở vào trong hệ để bù lại sự tiêu hao năng lượng do lực hãm (ma sát). Tuy nhiên, ở 3 Hz, chúng ta không chỉ làm trung hòa ma sát. Chúng ta còn cung cấp một ngoại lực làm cho xung lượng của đứa trẻ tự đảo chiều nhanh hơn so với nó tự đảo nếu như lực hấp dẫn và lực căng dây xích là những lực duy nhất tác dụng. Như thể là chúng ta đã tăng nhân tạo k của ghế xích đu, nhưng đây là nỗ lực buồn tẻ vì chúng ta mất thời gian làm giảm tốc đứa trẻ (lấy năng lượng ra khỏi hệ) đúng bằng thời gian làm tăng tốc nó (đưa năng lượng vào). Bây giờ hãy tưởng tượng trường hợp trong đó chúng ta đẩy đứa trẻ ở tần số rất thấp, ví dụ như 0,02 Hz hoặc khoảng 1 dao động mỗi phút. Về cơ bản chúng ta chỉ giữ đứa trẻ ở vào vị trí trong khi đang đi tới lui rất chậm. Một lần nữa, bằng trực giác, chúng ta nhận ra rằng biên độ sẽ rất nhỏ trong tỉ lệ với lực điều khiển của chúng ta. Hãy tưởng tượng mức độ khó để giữ đứa trẻ ở mức ngang đầu chúng ta khi nó ở cuối ghế xích đu của nó! Như trong trường hợp quá nhanh 3 Hz, chúng ta mất đa phần cố gắng của mình ở việc làm thay đổi nhân tạo k của ghế xích đu, nhưng bây giờ thay vì tăng cường thêm cho lực hấp dẫn và lực căng, chúng ta lại đang thực hiện công trên chúng, làm giảm đáng kể k. Chỉ một phần rất nhỏ của lực của chúng ta đi vào làm trung hòa ma sát, và phần còn lại dùng ở việc lặp đi lặp lại việc đưa thế năng vào khi xích đu đi lên và lấy nó ra trở lại khi xích đu đi xuống, không có mặt lợi nào lâu dài. Bây giờ chúng ta có thể khái quát hóa để đưa ra phát biểu sau đây, nó đúng cho mọi dao động cưỡng bức: (2) Một hệ dao động cộng hưởng ở tần số tự nhiên riêng của nó. Nghĩa là, biên độ của phản ứng trạng thái ổn định là lớn nhất trong tương quan so với ngoại lực khi ngoại lực phù hợp với tần số dao động tự nhiên đó. Ví dụ 5. Ca sĩ opera làm vỡ ly rượu Để làm vỡ ly rượu bằng giọng hát, ca sĩ opera ban đầu phải gõ nhẹ vào ly để tìm tần số dao động tự nhiên của nó, và sau đó hát với đúng nốt đó. Ví dụ 6. Sập đường cao tốc Nimitz trong một trận động đất Tôi đã mở đầu chương với sự sụp đổ ngoạn mục của cây cầu Tacoma Narrows, chủ yếu vì nó đã được minh chứng tốt bởi một vị giáo sư vật lí địa phương và một người không quen biết đã quay phim sự sụp đổ. Sự sụp đổ một đoạn của đường cao tốc Nimitz ở Oakland, CA, trong trận động đất năm 1989, tuy vậy, là một thí dụ đơn giản hơn để phân tích. Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 18
23. f/ Đoạn bị sập của đường cao tốc Nimitz Một trận động đất gồm nhiều dao động tần số thấp xảy ra đồng thời, đó là lí do nó nghe như một tiếng ầm ầm vô định, thay vì một tiếng rền thấp. Những tần số mà chúng ta nghe thậm chí không phải là những tần số mạnh nhất; đa phần năng lượng là ở dạng dao động trong ngưỡng tần số từ 1 Hz đến 10 Hz. Lúc này mọi cấu trúc do chúng ta xây dựng đang đứng yên trên lớp địa chất gồm bụi, bùn đất, cát hoặc đá. Khi sóng động đất chạy dọc, lớp trên cùng tác dụng giống như một hệ với một tần số dao động tự nhiên nhất định, dạng giống như một khối jello ở trên đĩa lắc từ bên này sang bên kia. Tần số cộng hưởng của lớp đó phụ thuộc vào nó cứng như thế nào và nó sâu bao nhiêu. Đoạn xấu số của đường cao tốc Nimitz xây dựng trên một lớp bùn, và phân tích bởi nhà địa chất học Susan E. Hough của Ban điều tra địa chất Mĩ cho thấy tần số cộng hưởng của lớp bùn tập trung vào khoảng 2,5 Hz, và có bề rộng nằm trong ngưỡng từ 1 Hz đến 4 Hz. Khi sóng động đất xuất hiện với hỗn hợp tần số của nó, lớp bùn phản ứng mạnh với những tần số nào gần với tần số 2,5 Hz tự nhiên riêng của nó. Thật không may, phân tích kĩ thuật sau cơn địa chấn cho thấy chính cây cầu dẫn cũng có tần số cộng hưởng 2,5 Hz! Lớp bùn phản ứng mạnh với sóng động đất với tần số gần 2,5 Hz, và cây cầu phản ứng mạnh với các dao động 2,5 Hz của bùn, làm cho các đoạn của nó đổ sập. Ví dụ 7. Sự sụp đổ của cây cầu Tomaco Narrows Bây giờ chúng ta hãy khảo sát trường hợp khó quan niệm hơn của cây cầu Tomaco Narrows. Điều ngạc nhiên ở đây là gió thổi đều. Nếu như gió thổi ở vận tốc không đổi, thế thì tại sao nó lắc cây cầu tới lui ? Câu trả lời có hơi phức tạp. Dựa trên cảnh phim quay và các thí nghiệm hầm gió sau sự cố, dường như có hai cơ chế khác nhau có liên quan. Cơ chế thứ nhất là cái giải thích cho những dao động ban đầu, tương đối yếu, và nó bao hàm sự cộng hưởng. Khi gió thổi qua cầu, nó bắt đầu tác dụng giống như một cánh diều hay một cánh máy bay. Như chỉ rõ trong hình, nó tạo ra mẫu xoáy tít của không khí thổi xung quanh nó, thuộc loại bạn có thể thấy trong đám khói đang bốc lên. Khi một trong những xoáy này rời khỏi cây cầu, có một sự thay đổi đột ngột áp suất không khí, mang lại một lực hướng lên hoặc hướng xuống tác dụng lên cây cầu. Chúng ta thấy điều tương tự như lá cờ tung bay trong gió, trừ ở chỗ bề mặt của lá cờ thường là thẳng đứng. Chuỗi lực tới lui này đúng là loại ngoại lực tuần hoàn sẽ kích thích sự cộng hưởng. Gió thổi càng nhanh, các xoáy cuộn băng qua cầu càng nhanh, và tần số của ngoại lực sẽ càng cao. Ở vận tốc thích hợp, tần số sẽ đúng bằng tần số kích thích cộng hưởng. Tuy nhiên, các mô hình hầm gió cho thấy kiểu dao động của cây cầu kích thích bởi cơ chế này sẽ là kiểu khác với kiểu cuối cùng đã phá hỏng cây cầu. Cây cầu có khả năng bị phá hủy bởi một cơ chế khác, trong đó các dao động của nó ở tần số tự nhiên riêng 0,2 Hz thiết lập một kiểu gió khác thổi giật trong không khí trực tiếp xung quanh nó, khi đó làm tăng biên độ dao động của cây cầu. Chu trình dữ dội này tự nó duy trì, làm tăng biên độ của dao động cho đến khi cuối cùng thì nó đổ sập. Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 19
24. Khi nào chúng ta nói về những cây cầu sập, thật đáng giá là nêu tường thuật về những cây cầu bị sập khi những người lính hành quân bước đều nhịp với tần số dao động tự nhiên của cây cầu. Hiện tượng này được cho là đã xảy ra vào năm 1831 ở Manchester, Anh, và một lần nữa vào năm 1849 ở Anjou, Pháp. Tuy nhiên, nhiều kĩ sư và nhà khoa học hiện đại tỏ ra nghi ngờ bản phân tích của những báo cáo này. Có khả năng sự đổ sập là do xây dựng tồi và quá tải chứ không phải cộng hưởng. Đường cao tốc Nimitz và cây cầu Tomaco Narrows được dẫn chứng bằng tài liệu tốt hơn nhiều, và xảy ra trong thời kì khi năng lực của các kĩ sư về việc phân tích các dao động của một hệ phức tạp đã tiến bộ hơn nhiều. Ví dụ 8. Sự phát xạ và hấp thụ sóng ánh sáng bởi nguyên tử Trong một chất khí rất loãng, các nguyên tử đủ xa nhau nên chúng có thể tác dụng như những hệ dao động riêng rẽ. Mặc dù những dao động đó thuộc loại lạ và khó hiểu được mô tả bởi lí thuyết cơ học lượng tử, nhưng chúng tuân theo cùng những quy luật như các dao động cơ bình thường. Khi một chất khí loãng cấu thành từ một nguyên tố nhất định bị nung nóng, nó phát ra sóng ánh sáng với tần số đặc biệt nhất định, giống như dấu vân tay của nguyên tố đó. Như với mọi dao động khác, các dao động nguyên tử này phản ứng mạnh nhất với ngoại lực phù hợp với tần số tự nhiên riêng của chúng. Như vậy, nếu chúng ta có một chất khí tương đối lạnh với sóng ánh sáng có tần số khác nhau đi qua nó, thì chất khí đó sẽ hấp thụ ánh sáng ở đúng những tần số mà nó phát ra ánh sáng nếu bị nung nóng. (3) Khi một hệ bị đưa vào cộng hưởng, thì các dao động trạng thái ổn định có biên độ tỉ lệ với Q. Điều này khá trực quan. Hành vi trạng thái ổn định là sự cân bằng giữa năng lượng cấp vào từ ngoại lực và năng lượng thất thoát do lực hãm. Một dao động tử Q thấp, tức là một dao động với lực hãm mạnh, mất năng lượng của nó nhanh hơn, mang lại chuyển động trạng thái ổn định biên độ nhỏ hơn.  Nếu ca sĩ opera đi mua một ly đựng rượu mà cô ta có thể gây ấn tượng với bạn bè của mình bằng cách làm cho nó vỡ, thì cô ta nên tìm loại ly nào ? Ví dụ 9. Dây đàn piano rung đồng cảm với nốt nhạc Một nốt nhạc đủ cao hát gần cây đàn piano với nắp nổi có thể làm cho các dây tương ứng trong cây đàn piano dao động. (Đàn piano có một bộ ba dây cho mỗi nốt, cả ba được đánh bằng cùng một đầu cần) Tại sao thủ thuật này không hoạt động với đàn violin ?  Nếu bạn nghe âm thanh của đàn violin đang kéo (hiệu ứng ngón bật), bạn biết nốt nhạc tắt đi rất nhanh. Nói cách khác, Q của đàn violin thấp hơn nhiều Q của đàn piano. Điều này nghĩa là sự cộng hưởng của nó yếu hơn nhiều về biên độ. Thực tế thứ tư và cuối cùng của chúng ta về sự cộng hưởng có lẽ là đáng ngạc nhiên nhất. Nó cho chúng ta một cách xác định bằng số mức độ rộng của ngưỡng tần số ngoại lực sẽ tạo ra một phản ứng mạnh. Thường thì mô tả bề rộng của sự cộng hưởng bằng chiều rộng trọn vẹn của nó tại một nửa cực đại (FWHM) như minh họa trong hình g. (4) FWHM của một cộng hưởng liên hệ với Q của g/ Định nghĩa chiều rộng trọn vẹn tại phân nửa cực đại nó và tần số cộng hưởng fres bởi phương trình f FWHM res Q Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 20
25. (Phương trình này chỉ gần đúng khi Q lớn) Tại sao như vậy ? Thật chẳng hiển nhiên ngay là phải có mối quan hệ lôgic nào đó giữa Q và FWHM. Sau đây là ý tưởng. Như chúng ta đã thấy, nguyên nhân phản ứng của một dao động tử nhỏ hơn nhiều so với cộng hưởng là phần nhiều lực cưỡng bức được dùng để làm cho hệ tác dụng như thể nó có một k khác. Nói đại khái, các điểm phân nửa cực đại trên đồ thị tương ứng với nơi lượng lực cưỡng bức bị hao phí theo kiểu này bằng với lượng lực cưỡng bức sử dụng có ích để thay thế năng lượng bị tiêu hao bởi lực hãm. Nếu lực hãm mạnh, thì một lượng lớn lực là cần thiết để trung hòa nó, và chúng ta có thể hao phí một chút lực cưỡng bức làm thay đổi k trước khi nó có thể trở nên so sánh được với lực hãm. Mặt khác, nếu lực hãm yếu, thì cả một lượng nhỏ lực hao phí ở việc thay đổi k sẽ trở nên đáng kể trong tương quan tỉ lệ, và chúng ta không thể tiến rất xa khỏi tần số cộng hưởng trước khi hai thứ có thể so sánh được. Ví dụ 10. Thay đổi độ cao thấp của thiết bị hơi gió Người chơi kèn saxophone thường chọn nốt để chơi bằng cách chọn một ngón bấm nhất định, cho kèn saxophone một tần số cộng hưởng nhất định. Tuy nhiên, người nhạc sĩ cũng có thể thay đổi cao độ đáng kể bằng cách thay đổi sức căng của môi cô ta. Điều này ứng với đưa sừng hơi lệch khỏi cộng hưởng. Nếu cao độ có thể thay đổi khoảng 5% tăng hoặc giảm (khoảng nửa nhịp âm nhạc) mà không có quá nhiều nỗ lực, thì đại thể Q của saxophone bằng bao nhiêu ?  5% là bề rộng về một phía của cộng hưởng, nên chiều rộng đầy đủ là khoảng 10%. FWHM/fres = 0,1. Giá trị này ngụ ý Q vào khoảng 10, tức là một khi người nhạc sĩ ngừng thổi, thì cái sừng sẽ tiếp tục phát ra âm thanh khoảng chừng 10 chu kì trước khi năng lượng của nó giảm đi 535 lần. (Những người chơi kèn saxophone nhạc blue và jazz sẽ thường chọn một miệng kèn có Q thấp, sao cho họ có thể thổi những âm hưởng mang phong cách của họ. “Người chơi đúng luật”, tức là những người chơi thiên về cổ điển, sử dụng một cấu hình Q cao hơn vì phong cách của họ chỉ yêu cầu sự biến thiên đủ mức âm để tạo ra tiếng réo rắt). Ví dụ 11. Sự tắt dần của tiếng kèn saxophone Nếu một cấu hình saxophone tiêu biểu có Q vào khoảng 10, hỏi mất bao lâu thời gian cho một tiếng kèn 100 Hz chơi trên một cây kèn saxophone giọng nam trung tắt đi 535 lần về năng lượng, sau khi người chơi đột ngột ngừng thổi ?  Q bằng 10 có nghĩa là mất 10 chu kì cho các dao động tắt đi về năng lượng 535 lần. 10 chu kì ở tần số 100 Hz ứng với thời gian 0,1 s, thời gian đó không lâu lắm. Đây là lí do tại sao một nốt saxophone không “rung” giống như một nốt chơi trên đàn piano hay ghita điện. Ví dụ 12. Q của máy thu thanh Một máy thu thanh dùng trong kênh FM cần phải điều chỉnh trong phạm vi khoảng 0,1 MHz đối với các tín hiệu khoảng 100 MHz. Hỏi Q của nó bằng bao nhiêu ?  Q = fres/FWHM = 1000. Đây là giá trị Q cực kì cao so với đa số các hệ cơ. Ví dụ 13. Q của loa stereo Chúng ta đã biết một lí do vì sao một loa stereo phải có Q thấp: nếu không thì nó sẽ tiếp tục rung sau cuối nốt nhạc trên bản thu âm. Lí do thứ hai là chúng ta muốn nó có thể phản ứng với một ngưỡng rộng tần số. Ví dụ 14. Cộng hưởng từ hạt nhân Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 21
26. Nếu bạn từng chơi với một la bàn từ, chắc hẳn bạn đã chú ý thấy nếu bạn lắc nó, nó mất chút ít thời gian để ổn định trở lại, h/1. Khi nó ổn định, nó tác dụng giống như một dao động tử bị hãm thuộc loại chúng ta đã nói. Kim la bàn đơn giản là một nam châm nhỏ, và Trái đất là một nam châm to. Lực từ giữa chúng có xu hướng mang kim la bàn vào vị trí cân bằng trong đó nó sắp thẳng hàng với nam châm Trái đất. Về cơ bản, cơ sở vật lí tương tự ẩn sau kĩ thuật gọi là cộng hưởng tử hạt nhân (NMR). NMR là một kĩ thuật dùng để luận ra cấu trúc phân tử của những hóa chất chưa biết, và nó cũng dùng cho việc chụp ảnh y khoa của phần bên trong cơ thể người. Nếu bạn từng đi chụp quét NMR, thật ra người ta sẽ cho bạn biết bạn đang chịu sự “chụp ảnh cộng hưởng từ” hay h/ Ví dụ 14. 1. Kim la bàn dao động “MRI”, vì người ta hoảng sợ với từ “hạt nhân”. Thật ra, hạt xung quanh vị trí cân bằng dưới tác dụng nhân được nhắc tới đơn giản là hạt nhân không phóng xạ của của lực từ của Trái đất. 2. Hướng của các nguyên tử tìm thấy tự nhiên trong cơ thể bạn. spin của một proton dao động xung quanh hướng cân bằng của nó dưới tác Sau đây là cách thức NMR hoạt động. Cơ thể bạn chứa số dụng của lực từ phát sinh từ các electron lượng lớn nguyên tử hydrogen, mỗi nguyên tử chứa một và hạt nhân xung quanh. electron nhỏ, nhẹ quay tròn xung quanh một proton lớn, nặng. Proton luôn luôn quay tròn trên trục riêng của nó, và kết hợp của chuyển động quay của nó và điện tích của nó làm cho nó hành xử giống như một nam châm nhỏ. Nguyên tắc giống hệt như nguyên tắc của nam châm điện, gồm một cuộn dây có dòng điện chạy qua; chuyển động quay tròn của các điện tích trong cuộn dây làm cho cuộn dây có từ tính, và theo kiểu tương tự, chuyển động quay tròn của điện tích của proton làm cho proton có từ tính. Giờ thì một proton trong một trong các nguyên tử hydrogen của cơ thể bạn tự tìm thấy nó bị vây quanh bởi nhiều hạt tích điện đang quay tròn khác: electron riêng của nó, cộng với các electron và hạt nhân của các nguyên tử lân cận khác. Những lân cận này tác dụng giống như nam châm, và tác dụng lực từ lên proton, h/2. k của proton đang dao động đơn giản là số đo của độ lớn tổng hợp của những lực từ này. Tùy thuộc vào cấu trúc i/ Một thành viên của gia đình tác giả, của phân tử trong đó nguyên tử hydrogen tìm thấy nó, sẽ có người hóa ra thật khỏe mạnh. một tập hợp đặc biệt lực từ tác dụng lên proton và một giá trị đặc biệt của k. Thiết bị NMR bắn phá mẫu vật với sóng vô tuyến, và nếu tần số của sóng vô tuyến phù hợp với tần số cộng hưởng của proton, thì proton sẽ hấp thụ mạnh năng lượng sóng vô tuyến và dao động dữ dội. Các dao động của nó bị hãm không phải bởi ma sát, vì không có ma sát bên trong một nguyên tử, mà bởi sự tái phát xạ sóng vô tuyến. Bằng cách truy ngược lại qua chuỗi lí giải này, người ta có thể xác định sắp xếp hình học của các nguyên tử lân cận của nguyên tử hydrogen. Người ta cũng có thể định vị các nguyên tử trong không gian, cho phép ảnh chụp y khoa được tạo ra. Cuối cùng, cần phải lưu ý rằng hành trạng của proton không j/ Tái dựng ba chiều bằng máy tính hình thể mô tả hoàn toàn chính xác bằng vật lí học Newton. Các dao dạng của não người, dựa trên dữ liệu động của nó thuộc loại lạ lùng và quỷ quái được mô tả bằng cộng hưởng từ các định luật của cơ học lượng tử. Tuy nhiên, thật ấn tượng là một vài khái niệm đơn giản mà chúng ta đã học được về sự cộng hưởng có thể vẫn áp dụng thành công để mô tả nhiều khía cạnh của hệ kì lạ này. Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 22
27.  A. Nikola Tesla, một trong những nhà phát minh radio và là một nhà khoa học đam mê cuồng nhiệt, từng kể cho một phóng viên báo chí cả tin câu chuyện sau đây về ứng dụng của sự cộng hưởng. Ông chế tạo một máy dao động điện bỏ vừa trong túi của ông và gắn nó vào một trong những chùm thép của một tòa nhà đang xây dựng ở New York. Mặc dù trong bài báo mà ông được trích dẫn không nói thế, nhưng có lẽ ông khẳng định là đã điều chỉnh nó đến tần số cộng hưởng của tòa nhà. “Trong vài phút, tôi có thể cảm nhận là chùm thép đang rung lên. Sự rung tăng dần cường độ và trải rộng ra toàn bộ khối thép lớn. Cuối cùng, cấu trúc bắt đầu rạn vỡ và lắc lư, và những người công nhân chạy xuống đất trong trạng thái hoảng loạn, tin rằng đã có một trận động đất [Nếu] tôi giữ thêm 10 phút nữa, tôi có thể làm cho tòa nhà nằm bẹp dí trên đường”. Hỏi câu chuyện này có hợp lí về mặt vật lí hay không ? 2.4 * Chứng minh Mục tiêu ban đầu của chúng ta là dự đoán biên độ của các dao động trạng thái ổn định là hàm theo tần số của lực cưỡng bức và biên độ của lực cưỡng bức. Với phương trình đó trong tay, khi đó chúng ta sẽ chứng minh các phát biểu 2, 3 và 4 từ mục trước. Chúng ta giả sử mà không chứng minh phát biểu 1, rằng chuyển động trạng thái ổn định xảy ra ở tần số bằng với tần số của k/ Điều khiển ở tần số cao hơn tần số cộng ngoại lực cưỡng bức. hưởng Như với chứng minh trong chương 1, chúng ta sử dụng thực tế là một dao động sin là giống như hình chiếu của chuyển động tròn lên một đường thẳng. Chúng ta hình dung hệ biểu diễn trong hình k-m, trong đó vật nặng đu đưa theo một vòng tròn nằm ở đầu của một lò xo. Lò xo thực tế không thay đổi chiều dài của nó, nhưng nó hình như dẹt ra khi một người nhìn nó từ mặt bên. Bán kính của vòng tròn là biên độ, A, của các dao động nhìn từ mặt bên. Lực hãm có thể hình dung là một l/ Điều khiển ở tần số cộng hưởng lực kéo ngược lại gây ra bởi một phần chất lưu mà vật nặng đang chuyển động trong đó. Như thường lệ, chúng ta giả sử lực hãm tỉ lệ với vận tốc, và chúng ta sử dụng kí hiệu b cho hằng số tỉ lệ, |Fh| = bv. Ngoại lực, biểu diễn bằng bàn tay kéo vật nặng qua sợi dây, có thành phần tiếp tuyến |Ft| trung hòa lực hãm, |Ft| = |Fh|, và thành phần xuyên tâm Fr tác dụng cùng với hoặc chống lại lực lò xo, tùy thuộc vào chúng ta đang điều khiển hệ ở trên hay dưới tần số cộng hưởng của nó. m/ Điều khiển ở tần số thấp hơn tần số cộng Tốc độ vật nặng quay là chu vi vòng tròn chia hưởng cho chu kì, v 2/ A T , gia tốc của nó (hướng thẳng vào trong) là a v2 / r , và định luật II Newton cho ta a F// m kA Fr m . Chúng ta viết fres cho 1 km/ . Biến đổi đại số đơn giản mang lại 2 Fr 2 m 2 2 [1] ffres Ft bf Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 23
28. Đây là tỉ số của lực tiêu hao với lực có ích, và chúng ta thấy nó trở nên bằng không khi hệ bị điều khiển ở sự cộng hưởng. Biên độ của các dao động có thể tìm bằng cách đưa vào phương trình Ft bv2 bAf , cho ta F [2] A= t (2) 2 bf Tuy nhiên, chúng ta muốn biết biên độ theo |F|, không phải |Ft|. Từ phần này, hãy vứt đi kí hiệu độ lớn cồng kềnh. Với định lí Pythagore, dễ dàng chứng minh được F [3] F (3) t 2 F 1 r Ft Và các phương trình 1-3 khi đó có thể kết hợp cho ta kết quả cuối cùng F [4] A 2 2 22 2 2 24 m f fres b f Phát biểu 2: biên độ cực đại khi cộng hưởng Phương trình 4 cho thấy ngay rằng biên độ là cực đại khi hệ bị tác dụng ở tần số cộng hưởng của nó. Khi cộng hưởng, số hạng thứ nhất trong căn bậc hai bị triệt tiêu, và điều này làm cho mẫu số càng nhỏ, làm cho biên độ càng lớn. (Thật ra, đây chỉ là sự gần đúng, vì có khả năng làm cho A lớn hơn một chút bằng cách làm cho f giảm đi một chút dưới fres, làm cho số hạng thứ hai nhỏ hơn. Vấn đề kĩ thuật này được nêu ra trong bài tập 3). Phát biểu 3: biên độ khi cộng hưởng tỉ lệ với Q Phương trình 4 cho thấy biên độ khi cộng hưởng tỉ lệ với 1/b, và Q của hệ tỉ lệ nghịch với b, nên biên độ khi cộng hưởng tỉ lệ với Q. Phát biểu 4: FWHM liên hệ với Q Chúng ta sẽ tự hài lòng chỉ bằng việc chứng tỏ tỉ lệ FWHM fres / Q , không phải 2 phương trình thực sự FWHM fres / Q . Năng lượng tỉ lệ với A , tức là tỉ lệ nghịch với đại lượng bên trong căn bậc hai trong phương trình 4. Khi cộng hưởng, số hạng thứ nhất bên trong căn bậc hai bị triệt tiêu, và các điểm nửa cực đại xuất hiện ở những tần số trong đó toàn bộ đại lượng bên trong căn bậc hai gấp đôi giá trị của nó khi cộng hưởng, tức là khi hai số hạng bằng nhau. Tại các điểm nửa cực đại, chúng ta có 2 2 2 FWHM 21 2 f f fres f f res . FWHM FWHM res 24 res Nếu chúng ta giả sử bề rộng cộng hưởng là nhỏ so với tần số cộng hưởng, thì số hạng FWHM2 là có thể bỏ qua so với số hạng fres. FWHM, và đặt các số hạng trong phương trình 4 bằng nhau, cho ta 2 22 2 2 4. m fres FWHM b f Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 24
29. Chúng ta đang giả sử bề rộng cộng hưởng là nhỏ so với tần số cộng hưởng, nên f và fres có thể xem là đồng nhất. Do đó b FWHM 2 m Chúng ta muốn liên hệ kết quả này với Q, có thể xem là năng lượng của các dao động tự do (không bị cưỡng bức) chia cho công thực hiện bởi lực hãm trong một chu kì. Đại lượng trước 2 bằng kA /2, và đại lượng sau tỉ lệ với lực, bv bAfres , nhân với quãng đường đã đi, A. (Đây chỉ là một tỉ lệ thức, không phải phương trình, vì lực không phải là không đổi) Do đó, chúng ta tìm thấy Q tỉ lệ với k/bfres. Phương trình cho FWHM khi đó có thể phát biểu lại là tỉ lệ thức FWHM k// Qfres m f res Q . Tóm tắt chương 2 Từ khóa chọn lọc tắt dần . sự tiêu tán năng lượng dao động thành năng lượng nhiệt, hoặc lực ma sát gây ra sự mất năng lượng hệ số chất lượng số dao động cần thiết cho năng lượng của một hệ giảm đi 535 lần do tắt dần ngoại lực cưỡng bức . ngoại lực bơm năng lượng vào một hệ đang dao động cộng hưởng . xu hướng của một hệ dao động phản ứng mạnh nhất với lực cưỡng bức có tần số gần với tần số dao động tự nhiên riêng của nó trạng thái ổn định hành trạng của một hệ dao động sau khi nó có nhiều thời gian để thiết lập một phản ứng ổn định với ngoại lực cưỡng bức Kí hiệu Q hệ số chất lượng fres tần số (cộng hưởng) tự nhiên của một hệ dao động, tức là tần số mà nó sẽ dao động nếu nó bị kích thích và thả ra độc lập f . tần số mà hệ thật sự dao động, trong trường hợp một hệ cưỡng bức thì bằng tần số của lực cưỡng bức, không phải tần số tự nhiên Tóm tắt Năng lượng của một dao động luôn tỉ lệ với bình phương của biên độ, giả sử biên độ là nhỏ. Năng lượng bị mất từ một hệ dao động vì những lí do khác nhau như sự chuyển hóa thành nhiệt qua ma sát hay sự phát ra âm thanh. Hiệu ứng này, gọi là sự tắt dần, sẽ làm cho các dao Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 25
30. động giảm đi theo hàm mũ trừ khi năng lượng được đưa vào hệ để bù cho sự thất thoát. Ngoại lực cưỡng bức bơm năng lượng vào hệ có thể điều khiển hệ ở tần số tự nhiên riêng của nó hay ở một số tần số khác. Khi một hệ dao động bị cưỡng bức bởi một ngoại lực, chúng ta thường quan tâm đến hành vi trạng thái ổn định của nó, tức là hành trạng của nó sau khi nó đã có thời gian thiết đặt vào một phản ứng ổn định với lực cưỡng bức. Trong trạng thái ổn định, năng lượng bơm vào hệ trong mỗi chu kì bằng với năng lượng bị tiêu hao do tắt dần trong cùng khoảng thời gian đó. Sau đây là bốn thực tế quan trọng về một hệ dao động bị chi phối bởi một ngoại lực: (1) Phản ứng trạng thái ổn định với ngoại lực cưỡng bức dạng sin xảy ra ở tần số của ngoại lực, không ở tần số dao động tự nhiên riêng của hệ. (2) Một hệ dao động cộng hưởng ở tần số tự nhiên riêng của nó. Nghĩa là, biên độ của phản ứng trạng thái ổn định là lớn nhất tỉ lệ với lượng ngoại lực cưỡng bức khi ngoại lực bắt gặp tần số tự nhiên riêng của hệ. (3) Khi một hệ bị cộng hưởng, các dao động trạng thái ổn định tỉ lệ với Q. (4) FWHM của một cộng hưởng tỉ lệ với Q của nó và tần số cộng hưởng fres của nó bởi phương trình f FWHM res Q (Phương trình này chỉ là sự gần đúng tốt khi Q lớn). Bài tập 1. Nếu một hệ stereo có khả năng tạo ra 20 watt công suất âm thanh và một hệ khác có thể phát ra 50 watt, thì biên độ của sóng âm có thể tạo ra bởi hệ mạnh hơn lớn hơn bao nhiêu lần ? (Giả sử chúng đang chơi cùng một nốt nhạc) 2. Nhiều loài cá có một cơ quan gọi là bong bóng bơi, một hộp chứa đầy không khí có mục đích chính là điều khiển sự nổi của con cá, cho phép nó có thể trồi lên hay thụt xuống mà không phải sử dụng cơ của nó. Tuy nhiên, ở một số loài cá, bong bóng bơi (hay một phần mở rộng nhỏ của nó) nối liền với tai và đảm nhận vai trò nữa là khuếch đại sóng âm thanh. Đối với một loài cá tiêu biểu có cấu trúc giải phẫu như thế, bong bóng có tần số cộng hưởng 300 Hz, Q của bong bóng là 3, và sự khuếch đại tối đa là khoảng gấp 100 lần về năng lượng. Hỏi trên ngưỡng tần số nào thì sự khuếch đại ít nhất là đạt 50 lần ? 3. Như đã lưu ý trong mục 2.4, nó chỉ là một sự gần đúng rằng biên độ có cực đại của nó tại f 1/ 2 k / m . Cẩn thận hơn, thật ra chúng ta phải định nghĩa hai kí hiệu khác nhau, f0 1/ 2 k / m và fres cho tần số hơi khác tại đó biên độ là cực đại, tức là tần số cộng hưởng thật sự. Theo kí hiệu này, biên độ là hàm của tần số F A 2 2 2 22 2 2 24 m f f0 b f Hãy chứng minh rằng cực đại xảy ra không phải tại f0 mà tại tần số Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 26
31. b2 1 f f2 f 2 FWHM 2 res 0082 22m Gợi ý: Tìm tần số làm tối thiểu đại lượng nằm bên trong căn bậc hai là tương đương với, nhưng dễ hơn nhiều, tìm tần số làm tối đa biên độ. 4. (a) Đặt Q là công do ma sát thực hiện trong chu kì thứ nhất của dao động, tức là năng lượng bị mất thành nhiệt. Hãy tìm phần năng lượng còn lại so với năng lượng ban đầu E trong dao động sau n chu kì chuyển động. (b) Từ đây hãy chứng minh phương trình (Nhắc lại con số 535 trong định nghĩa của Q là e2 ). (c) Sử dụng kết quả này chứng minh phép gần đúng 1/Q 1/ 2 W/E (Gợi ý: Sử dụng phép gần đúng ln 1+x x , có giá trị đối với x nhỏ) 5. Mục tiêu của bài toán này là trau chuốt tỉ lệ thức FWHM fres / Q thành phương trình FWHM fres / Q , tức là chứng minh hệ số của tỉ lệ thức bằng 1. (a) Chứng minh rằng công thực hiện bởi lực hãm F = - bv trên mỗi chu kì của chuyển 22 động trạng thái ổn định bằng Wh 2 bfA . Gợi ý: Cách dễ hơn là hãy tính công thực hiện trên nửa chu kì, từ x = - A đến x = + A, và sau đó nhân đôi nó lên. (b) Chứng minh rằng phần năng lượng của dao động tử không bị cưỡng bức thất thoát do 2 tắt dần trong mỗi chu kì là Wh / E 4 bf / k . (c) Sử dụng kết quả trên, kết hợp với đáp án của bài toán 4, hãy chứng minh rằng Q bằng k/2 bf . (d) Kết hợp kết quả có trước cho Q với phương trình FWHM b/2 m từ mục 2.4 để chứng minh phương trình FWHM fres / Q . 6. Hình trên trích từ bài báo Bộ nhớ hình dạng trong tơ nhện, Emile, Le Floch, và Vollrath, Nature 440:621 (2006). Khung bên trái là ảnh chụp qua kính hiển vi điện tử của một sợi tơ nhện. Trong khung 2, con nhện đang treo mình trên một sợi tơ như thế. Từ quan điểm tiến hóa luận, có khả năng là điều tồi tệ đối với con nhện nếu như nó xoắn tới lui trong khi treo mình như thế này. (Chúng ta đang nói tới chuyển động quay tới lui xung quanh trục của sợi tơ, không phải chuyển động đung đưa giống như con lắc) Các tác giả cho rằng một dao động như vậy có thể làm cho con nhện dễ bị nhìn thấy hơn đối với các loài ăn thịt, và tôi cũng thấy nó sẽ là điều tồi tệ chỉ vì con nhện không có khả năng điều khiển hướng của nó và làm cái mà nó muốn làm. Khung hình 3 biểu diễn đồ thị của một dao động như thế, do các tác giả đo bằng camera video và máy vi tính, với một khối lượng 0,1 g treo dưới sợi tơ tại ví trị của con nhện. So với tơ sợi nhân tạo như dây kevlar và dây đồng, tơ nhện có một tập hợp tính Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 27
32. chất khác thường sau đây: (a) Nó có Q thấp, cho nên dao động tắt nhanh. (b) Nó không trở nên giòn khi sự xoắn lặp lại như dây đồng. (c) Khi bị xoắn, nó có xu hướng đi vào một góc cân bằng mới, thay vì cố gắng quay lại góc ban đầu của nó. Bạn có thể thấy điều này trong khung hình 2, vì mặc dù các nhà thí nghiệm ban đầu xoắn sợi dây đi 33 độ, nhưng sợi tơ chỉ thực hiện các dao động với biên độ nhỏ hơn nhiều so với 35o, đi vào trạng thái cân bằng mới ở góc 27 độ. (d) Trên những bậc thời gian dài hơn nhiều (hàng giờ), sợi tơ cuối cùng tự thiết đặt lại nó tại góc cân bằng ban đầu của nó (biểu diễn là 0 độ trên đồ thị). (Đồ thị dựng lại ở đây chỉ biểu diễn chuyển động trong khoảng thời gian ngắn hơn nhiều) Một số chất liệu nhân tạo cũng có tính chất “ghi nhớ” này, nhưng thường yêu cầu nung nóng để làm cho chúng quay trở lại hình dạng ban đầu của chúng. Tập trung vào tính chất a, hãy ước tính Q của sợi tơ nhện từ đồ thị. Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 28
33. “Sóng thần Kanagawa”, tranh vẽ của Katsushika Hokusai (1760 – 1849) Chương 3 Sóng tự do Dây thanh quản của bạn hoặc lưỡi gà kèn saxophone có thể dao động, nhưng có khả năng dao động đó sẽ chẳng có công dụng gì nhiều nếu như các dao động không thể truyền tới tai người nghe bởi sóng âm. Vậy sóng là gì và tại sao chúng tồn tại ? Hãy đặt đầu ngón tay của bạn vào giữa cốc nước và đột ngột lấy nó ra. Bạn sẽ để ý thấy hai kết quả thật ngạc nhiên đối với đa số mọi người. Thứ nhất, bề mặt phẳng lặng của nước không dễ gì tràn đều xuống lấp đầy thể tích bỏ trống bởi ngón tay của bạn. Thay vì vậy, các gợn sóng trải ra, và quá trình san phẳng ra xảy ra trong một khoảng thời gian dài, trong lúc nước tại chính giữa dao động lên xuống so với mực nước bình thường. Loại chuyển động sóng này là chủ đề của chương này. Thứ hai, bạn nhận thấy các gợn sóng nảy khỏi thành cốc, theo kiểu giống hệt như quả bóng nảy khỏi bức tường. Trong chương tiếp theo, chúng ta sẽ nói về cái xảy ra với sóng có ranh giới xung quanh chúng. Cho đến nay, chúng ta hạn chế mình với hiện tượng sóng có thể phân tích như thể môi trường (ví dụ, nước) là vô hạn và giống nhau ở mọi nơi. Thật chẳng khó khăn gì để hiểu được tại sao việc lấy đầu ngón tay của bạn ra lại tạo ra các gợn sóng chứ không đơn giản cho phép nước tràn xuống trở lại một cách đều đặn. Chỗ lõm ban đầu, (a), để lại phía sau ngón tay của bạn có các mặt dốc, và nước ở lân cận chỗ lõm chảy tràn xuống để lấp đầu lỗ trống. Mặt khác, nước ở phía xa bên ngoài thoạt đầu không có cách nào biết được a/ Dìm một ngón tay vào nước, 1, gây ra một chuyện gì vừa xảy ra, vì không có mặt dốc nào cho nó nhiễu động phân tán ra bên ngoài, 2. chảy xuống. Khi lỗ trống lấp đầy, nước dâng lên tại chính giữa mang lại một động lượng hướng lên, và vượt quá, tạo ra một chỗ hơi nhô nơi có lỗ trũng ban đầu. Khu vực ngay bên ngoài vùng này bị lấy mất một số nước của nó để hình thành chỗ nhô, cho nên một cái “hào” Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 29
34. lõm xuống được hình thành, (b). Hiệu ứng này lan ra bên ngoài, tạo ra các gợn sóng. b/ Hai mẫu gợn sóng tròn truyền qua lẫn nhau. Không giống như các đối tượng vật chất, các mẫu sóng có thể chồng chất nhau trong không gian, và khi điều này xảy ra chúng kết hợp nhau bằng cách cộng lại. 3.1 Chuyển động sóng Có ba con đường chủ yếu theo đó chuyển động sóng khác với chuyển động của các đối tượng cấu thành từ vật chất. 1. Sự chồng chất Sự khác biệt dễ thấy nhất là sóng không biểu hiện có bất cứ thứ gì tương tự với các lực thông thường xuất hiện giữa các vật tiếp xúc nhau. Hai mẫu sóng do đó có thể chồng chất trong cùng một vùng không gian, như thể hiện trong hình b. Nơi hai sóng chạm nhau, chúng cộng vào nhau. Ví dụ, giả sử tại một nơi nhất định tại một thời điểm nhất định trong thời gian, mỗi sóng có chóp cao 3 cm phía trên mực nước bình thường. Các sóng kết hợp tại điểm này tạo ra chóp cao 6 cm. Chúng ta sử dụng số âm để biểu diễn chỗ lõm trong nước. Nếu cả hai sóng có lõm đo được -3 cm, thì chúng kết hợp tạo ra một chỗ lõm sâu hơn là – 6 cm. Một chóp +3 cm và một lõm – 3 cm mang lại độ cao bằng không, tức là các sóng ngay tức khắc triệt tiêu nhau tại điểm đó. Quy luật cộng này được gọi là nguyên lí chồng chất, “chồng chất” đơn thuần là một từ hoa mĩ cho “cộng gộp”. Sự chồng chất có thể xảy ra không chỉ với các sóng dạng sin như sóng trong hình ở trên mà với sóng có hình dạng bất kì. Các hình ở trang sau biểu diễn sự chồng chất của các xung sóng. Một xung đơn giản là một sóng có thời gian tồn tại rất ngắn. Những xung này chỉ gồm một chỗ nhô hay chỗ lõm. Nếu bạn chạm đột ngột vào một sợi dây phơi quần áo, bạn sẽ thấy các xung chạy về cả hai phía. Điều này tương tự như cách thức các gợn sóng trải ra theo mọi hướng khi bạn tạo ra một nhiễu động tại một điểm trong nước. Hiện tượng tương tự xảy ra khi đầu cần trên cây đàn piano cất lên và chạm trúng dây. Các thí nghiệm cho đến ngày nay không bộc lộ bất kì sự sai lệch nào khỏi nguyên lí chồng chất trong trường hợp sóng ánh sáng. Đối với các loại sóng khác, nó thường là một sự gần đúng rất tốt cho các sóng năng lượng thấp. Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 30
35.  Trong hình c, khung hình thứ 5 cho thấy lò xo ngay đúng lúc hoàn toàn thẳng. Nếu hai xung về cơ bản triệt tiêu nhau hoàn toàn, thì tại sao chuyển động đó hồi phục trở lại ? Tại sao lò xo không thẳng hoài ? 1 2 3 c/ Những hình này cho thấy chuyển động của sóng xung dọc theo một lò xo. Để tạo ra xung, một đầu của lò xo được lắc bằng tay. Phim được quay lại, và một loạt khung hình được chọn để biểu diễn chuyển động. 1 Một xung truyền sang bên trái. 2 Sự chồng chất của hai xung dương va chạm nhau. 3 Sự chồng chất của hai xung va chạm, một dương và một âm. d/ Khi mẫu sóng truyền qua một con vịt cao su, con vịt vẫn ở chỗ cũ. Nước không chuyển động về phía trước cùng với sóng. 2. Môi trường không truyền đi cùng với sóng Hình d cho thấy một loạt sóng nước trước khi nó chạm tới một con vịt cao su (hình bên trái), vừa ngay sau khi đi qua con vịt (hình giữa) và đã đi khỏi con vịt khoảng 1 mét (hình bên phải). Con vịt đong đưa xung quanh vị trí ban đầu của nó, nhưng nó không bị mang đi cùng với sóng. Điều này cho thấy bản thân nước không chảy ra bên ngoài cùng với sóng. Nếu nó làm thế, Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 31
36. chúng ta có thể làm trống một góc hồ bơi đơn giản bằng cách tạo ra sóng! Chúng ta phải phân biệt giữa chuyển động của môi trường (nước trong trường hợp này) và chuyển động của mẫu sóng đi qua môi trường đó. Môi trường dao động; sóng truyền đi trong không gian.  Trong hình e, bạn có thể phát hiện chuyển động bên này sang bên kia của lò xo vì lò xo có vẻ mờ đi. Tại một thời điểm nhất định, biểu diễn bởi một hình riêng lẻ, bạn sẽ mô tả như thế nào chuyển động của các đoạn khác nhau của lò xo ? Ngoài các đoạn thẳng, có đoạn nào của lò xo có vận tốc bằng không hay không ? Ví dụ 1. Con sâu Con sâu rớm trong hình đang di chuyển sang phải. Mẫu sóng, một xung gồm một khu vực bị ép của cơ thể nó, di chuyển sang bên trái. Nói cách khác, chuyển động của mẫu sóng là hướng ngược lại so với chuyển động của môi trường. Ví dụ 2. Lướt sóng Niềm tin không đúng rằng môi trường chuyển động cùng với sóng thường được củng cố bởi kiến thức lan truyền tam sao thất bản về môn lướt sóng. Bất kì ai từng thật sự lướt sóng đều biết rằng phía trước của tấm ván đẩy nước sang hai e/ Khi xung sóng đi qua, dải ruy băng buộc bên, tạo ra lằn rẽ - người lướt sóng còn có thể kéo tay của vào lò xo không bị mang theo. Chuyển anh ta qua nước, như trong hình f. Nếu như nước chuyển động của mẫu sóng hướng sang phải, còn động cùng với sóng và người lướt sóng, điều này sẽ không môi trường (lò xo) chuyển động lên xuống, xảy ra. Người lướt sóng được mang tới phía trước vì phía không hướng sang phải. trước là xuống dốc, không phải do bất kì dòng nước nào chảy ra phía trước. Nếu như nước đang chảy ra phía trước, thì một người bị ngập trong nước lên tới cổ có thể được mang đi nhanh như một người trượt trên ván. Trên thực tế, người ta còn có thể trượt xuống mạn phía sau của sóng, mặc dù cuộc chơi sẽ không tồn tại lâu, do người lướt sóng và sóng nhanh sẽ nhanh chóng rời xa nhau. 3. Vận tốc của sóng phụ thuộc vào môi trường Một đối tượng vật chất có thể chuyển động với vận tốc bất kì, và có thể tăng tốc hoặc giảm tốc bằng một lực làm tăng hoặc giảm động năng của nó. Nó không f/ Ví dụ 2: Người lướt sóng kéo tay của anh ta trong nước. chuyển động cùng với sóng. Độ lớn vận tốc của một sóng phụ thuộc vào các tính chất của môi trường (và có lẽ còn vào hình dạng của sóng, đối với những loại sóng nhất định). Sóng âm truyền đi ở vận tốc khoảng 340 m/s trong không khí, 1000 m/s trong helium. Nếu như bạn kích hoạt sóng nước trong hồ, bạn sẽ thấy việc kích mạnh hơn tạo ra sóng cao hơn (và do đó mang nhiều năng lượng hơn), Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 32
37. chứ không nhanh hơn. Sóng âm phát ra từ một khối thuốc nổ phát nổ mang rất nhiều năng lượng, nhưng không nhanh hơn bất kì sóng nào khác. Ở phần sau, chúng ta sẽ cho một ví dụ về mối quan hệ vật lí giữa tốc độ sóng và các tính chất của môi trường. Ví dụ 3. Sóng bị tan vỡ Vận tốc của sóng nước tăng theo chiều sâu. Phần chóp của sóng truyền đi nhanh hơn chỗ lõm, và điều này có thể làm cho sóng tan vỡ. Một khi sóng được tạo ra, lí do duy nhất khiến tốc g/ Một sóng bị vỡ tan độ của nó thay đổi là nếu nó đi vào một môi trường khác hoặc nếu tính chất của môi trường thay đổi. Thật chẳng có gì đáng ngạc nhiên là một sự thay đổi ở môi trường có thể làm cho sóng chậm đi, nhưng điều ngược lại cũng có thể xảy ra. Sóng âm truyền qua một quả khí cầu helium sẽ chậm đi khi nó ló ra đi vào không khí, nhưng nếu nó đi vào một quả khí cầu khác, nó sẽ tăng tốc lên trở lại! Tương tự, sóng nước truyền đi nhanh hơn trên vùng nước sâu hơn, nên một con sóng sẽ chậm đi khi nó đi vào một vỉa đất ngầm, nhưng tăng tốc trở lại khi nó đi vào vùng nước sâu. Ví dụ . Tốc độ thân tàu Tốc độ của đa số tàu thuyền, và của một số động vật bơi trên mặt khác, bị hạn chế bởi thực tế là chúng tạo ra sóng do chuyển động của nước trong nước. Con thuyền trong hình h h/ Ví dụ 4. Con thuyền trồi lên trên một đang chuyển động ở tốc độ bằng với tốc độ sóng riêng của giới hạn tốc độ của nó vì nó không thể trèo nó, và không thể đi nhanh hơn chút nào. Cho dù con thuyền lên trên sóng riêng của nó. Loài cá heo đẩy nước mạnh như thế nào đi nữa, nó vẫn không thể tạo ra tránh vấn đề đó bằng cách nhảy lên khỏi sóng chuyển động về phía trước nhanh hơn. Tốc độ của sóng nước. chỉ phụ thuộc vào môi trường. Đưa thêm năng lượng vào sóng không làm cho nó tăng tốc, mà chỉ làm tăng biên độ của nó. Sóng nước, không giống như nhiều loại sóng khác, có tốc độ phụ thuộc vào hình dạng của nó: sóng rộng hơn chuyển động nhanh hơn. Hình dạng của sóng tạo bởi một con thuyền có xu hướng tự nắn nó theo hình dạng của thân con tàu, cho nên con tàu có thân dài hơn tạo ra con sóng rộng hơn chuyển động nhanh hơn. Tốc độ cực đại của con tàu có tốc độ bị hạn chế bởi hiệu ứng này do đó liên hệ chặt chẽ với chiều dài thân của nó, và tốc độ lớn nhất được gọi là tốc độ thân tàu. Thuyền buồm dành cho đua thuyền không những dài và gầy nhom để làm cho chúng thuôn hơn – chúng còn dài để cho tốc độ thân tàu của chúng sẽ cao. Các kiểu sóng Nếu như độ lớn của vector vận tốc của sóng được xác định trước, thì còn hướng của nó ra sao ? Sóng lan ra theo mọi hướng từ mỗi điểm trên nhiễu động đã tạo ra chúng. Nếu nhiễu động là nhỏ, thì chúng ta có thể xem nó i/ Sóng tròn và sóng thẳng Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 33
38. là một điểm đơn lẻ, và trong trường hợp sóng nước mang lại kiểu sóng là sự gợn lăn tăn hình tròn quen thuộc, i/1. Mặt khác, nếu chúng ta đặt một cái sào lên mặt nước và lắc nó lên xuống, thì chúng ta sẽ tạo ra một kiểu sóng thẳng, i/2. Đối với một sóng ba chiều như sóng âm, các kiểu tương tự sẽ là sóng cầu và sóng phẳng, j. Có vô vàn kiểu sóng có thể tồn tại, nhưng sóng phẳng hoặc sóng thẳng thường dễ phân tích nhất, vì vector vận tốc của nó có hướng như nhau, bất kể chúng ta nhìn vào phần nào của sóng. Vì tất cả các vector vận tốc song song với nhau, nên bài toán thật sự là một chiều. Trong chương này và chương tiếp theo, chúng ta sẽ tự giới hạn mình chủ yếu với chuyển động sóng trong không gian một chiều, đồng thời không do dự mở rộng chân trời của chúng ta khi nó có thể thực hiện mà không quá phức tạp.  A. Vẽ phác thảo hai xung sóng dương trên một sợi dây đang chồng lấn nhưng không đồng bộ với nhau, và hãy vẽ sự chồng chất của chúng. Thực hiện yêu cầu tương tự đối với một xung sóng dương đang chạy vào một xung sóng âm. B. Một xung sóng đang truyền đi di chuyển sang bên phải trên một sợi dây. Vẽ phác thảo vector vận tốc của các đoạn khác nhau của sợi dây. Giờ thì hãy thực hiện yêu cầu tương j/ Sóng phẳng và sóng cầu tự đối với một xung sóng đang di chuyển sang bên trái. C. Trong một sóng cầu phân tán ra xa từ một điểm, năng lượng của sóng giảm như thế nào theo khoảng cách ? 3.2 Sóng trên một sợi dây Từ trước đến giờ, bạn đã học biết một số điều phản trực giác về hành trạng của sóng, nhưng trực giác có thể luyện tập được. Nửa thứ nhất của mục này nhắm tới xây dựng trực giác của bạn bằng cách nghiên cứu một loại sóng đơn giản, một chiều: sóng trên một sợi dây. Nếu bạn từng kéo căng một sợi dây giữa đáy của hai cái hộp mở miệng để nói chuyện với một người bạn, thì bạn đã đưa loại sóng này vào hoạt động. Các thiết bị có dây là một thí dụ tốt khác. Mặc dù chúng ta thường nghĩ dây đàn piano dễ dàng dao động, nhưng thật ra đầu cần chạm nhanh lên nó và tạo ra một vết lõm trong nó, sau đó nó k/ Gảy một phím trên đàn piano làm cho gợn ra theo cả hai hướng. Vì chương này nói về sóng tự đầu cần cất lên từ bên dưới và chạm vào do, không nói tới sóng phản xạ, nên chúng ta giả sử rằng một dây (thật ra là một bộ ba dây). Kết quả sợi dây của chúng ta là dài vô hạn. là một cặp xung chuyển động ra xa khỏi điểm va chạm. Sau khi thảo luận định tính, chúng ta sẽ sử dụng các phép gần đúng đơn giản để khảo sát tốc độ của một sóng xung trên sợi dây. Cách xử lí nhanh và thô này được theo sau là một nghiên cứu chặt chẽ sử dụng phương pháp giải tích, phần này những học sinh không học về giải tích Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 34
39. có thể bỏ qua không xem. Bạn có thể thâm nhập bao xa vào trong chương này là tùy bạn và tùy thuộc vào lòng tự tin toán học của bạn. Nếu bạn bỏ qua những phần sau và tiếp tục với mục tiếp theo, bạn cần biết một kết quả quan trọng là tốc độ mà một xung truyền đi không phụ thuộc vào kích cỡ hay hình dạng của xung. Đây là thực tế đúng l/ Một dây bị gảy với đầu cần, 1, và hai cho nhiều loại sóng khác nữa. xung lan ra xa, 2. Quan niệm trực giác Xét một sợi dây bị chạm, l/1, mang lại sự hình thành hai sóng xung, 2, một truyền sang trái và một truyền sang phải. Điều này tương tự với cách các gợn sóng phân tán ra theo mọi hướng từ một chỗ bắn tóe trong nước, nhưng trên sợi dây một chiều, “mọi hướng” trở thành “hai hướng”. Chúng ta có thể xem xét sâu hơn bằng cách lập mô phỏng sợi dây là một chuỗi khối lượng liên kết với nhau bằng những lò xo (Trong sợi dây thực tế, khối lượng và tính đàn hồi đều do chính các phân tử góp phần tạo nên). Nếu chúng ta nhìn vào những đoạn vi mô khác nhau của sợi dây, sẽ có một số chỗ thẳng, m/1, một số chỗ bị nghiêng đi nhưng không cong, 2, và một số chỗ bị cong, 3 và 4. Trong thí dụ 1, rõ ràng là hai lực tác dụng lên khối lượng chính giữa triệt tiêu nhau, nên nó sẽ không gia tốc. m/ Một sợi dây liên tục có thể mô phỏng là Tuy nhiên, điều tương tự đúng với thí dụ 2. Chỉ có những một chuỗi khối lượng riêng biệt nối với chỗ bị cong như 3 và 4 là sự gia tốc sinh ra. Trong những nhau bởi những lò xo. thí dụ này, tổng vector của hai lực tác dụng lên khối lượng ở giữa không bằng không. Khái niệm quan trọng là sự cong tạo ra lực: những chỗ bị cong của sóng có xu hướng chịu lực tác dụng, mang lại một gia tốc hướng về phía mõm cong. Tuy nhiên, chú ý là phần không bị cong của sợi dây không nhất thiết là không chuyển động. Nó có thể chuyển động ở vận tốc không đổi sang bên này hoặc bên kia. n/ Một xung hình tam giác lan ra xa. Cách giải gần đúng Bây giờ chúng ta tiến hành một cách xem xét gần đúng về tốc độ mà hai xung sẽ lan ra từ một vết lõm ban đầu trên sợi dây. Để cho đơn giản, chúng ta tưởng tượng một cú đánh đầu cần tạo ra một vết lõm hình tam giác, n/1. Chúng ta sẽ ước tính lượng thời gian, t, cần thiết cho đến khi mỗi xung truyền đi được khoảng cách bằng với chiều rộng của chính xung đó. Vận tốc của các xung khi đó là w / t. Như luôn luôn xảy ra, vận tốc của một sóng phụ thuộc vào những tính chất của môi trường, trong trường hợp này là sợi dây. Các tính chất của dây có thể tóm lược bằng hai biến: lực căng T, và khối lượng trên đơn vị chiều dài, . Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 35
40. Nếu chúng ta xem đoạn dây bị vây quanh bởi vết lõm ban đầu là một đối tượng riêng lẻ, thì đối tượng này có khối lượng xấp xỉ w (khối lượng/chiều dài x chiều dài = khối lượng). (Ở đây, và trong suốt phần sau, chúng ta h nhỏ hơn nhiều so với w, cho nên chúng ta có thể bỏ qua thực tế là đoạn dây này có chiều dài hơi lớn hơn w). Mặc dù gia tốc hướng xuống dưới của đoạn này của sợi dây sẽ không phải không đổi theo thời gian và cũng không đồng đều trên sợi dây, nhưng chúng ta sẽ giả sử rằng nó không đổi nhằm mục đích ước tính đơn giản của chúng ta. Nói đại khái, khoảng thời gian giữa n/1 và 2 là lượng thời gian cần thiết cho vết lõm ban đầu gia tốc từ nghỉ và đạt tới vị trí bình thường, bằng phẳng của nó. Tất nhiên đỉnh của tam giác có khoảng cách truyền đi dài hơn các cạnh, nhưng một lần nữa chúng ta bỏ qua những sự phức tạp và giả sử đơn giản rằng đoạn đó là một tổng thể phải truyền đi khoảng cách h. Thật vậy, có lẽ thật ngạc nhiên là tam giác đó sẽ bật gọn về hình dạng bằng phẳng hoàn hảo. Sự thật thực nghiệm là nó đã làm như vậy, nhưng phân tích của chúng ta quá thô để xử lí những chi tiết như thế. Sợi dây bị thắt nút, tức là bị cong sít sao, ở hai cạnh của tam giác, nên ở đây sẽ có những lực lớn không triệt tiêu bằng không. Có hai lực tác dụng lên đỉnh tam giác, một có độ lớn T tác dụng hướng xuống và sang phải, và một có cùng độ lớn tác dụng hướng xuống và sang trái. Nếu góc của các cạnh nghiêng là , thì hợp lực tác dụng lên đoạn đó bằng 2Tsin. Chia tam giác thành hai tam giác vuông, chúng ta thấy sin bằng h chia cho chiều dài của một cạnh nghiêng. Vì h nhỏ hơn nhiều so với w, chiều dài của cạnh nghiêng về cơ bản là bằng w/2, nên chúng ta có sin = h/w, và F = 4Th/w. Gia tốc của đoạn đó (thật ra là gia tốc của khối tâm của nó) là a = F/m = 4Th/w2 Thời gian cần thiết để di chuyển một khoảng cách h dưới gia tốc không đổi a được tìm bằng cách 1 giải phương trình h at 2 , thu được 2 2h t a  w 2T Kết quả cuối cùng của chúng ta cho vận tốc của các xung là w v t 2T  Đặc điểm nổi bật của kết quả này là vận tốc của các xung không phụ thuộc vào cả w lẫn h, tức là mọi xung tam giác có tốc độ bằng nhau. Thật là một thực tế kinh nghiệm (và chúng ta cũng sẽ chứng minh chặt chẽ trong tiểu mục tiếp sau) là bất kì xung thuộc bất kì loại nào, tam giác hay kiểu nào khác, truyền dọc theo sợi dây ở tốc độ bằng nhau. Tất nhiên, sau quá nhiều phép gần đúng, chúng ta không thể trông đợi thu được mọi hệ số bằng số hợp lí. Kết quả chính xác cho vận tốc của các xung là Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 36
41. T v  Tầm quan trọng của kết quả trên nằm ở cái nhìn sâu sắc mà nó mang lại – rằng mọi xung chuyển động với tốc độ bằng nhau – chứ không phải ở chi tiết của kết quả số học. Lí do cho giá trị quá cao của chúng ta cho vận tốc thật chẳng khó khăn gì đoán được. Nó phát sinh từ giả thuyết gia tốc là không đổi, khi mà thật ra hợp lực tác dụng lên đoạn đó sẽ giảm đi khi nó kéo thẳng ra. Kết quả chặt chẽ sử dụng giải tích (tự chọn) Sau nỗ lực hết sức đáng kể cho một lời giải gần đúng, bây giờ chúng ta thể hiện sức mạnh của giải tích với cách giải chặt chẽ và hoàn toàn khái quát, tuy ngắn và dễ hơn nhiều. Đặt vị trí thẳng của sợi dây làm trục x, còn trục y đo mức độ xa mà một điểm trên sợi dây lệch khỏi vị trí cân bằng của nó. Chuyển động của sợi dây được đặc trưng bởi y (x, t), một hàm của hai biến. Biết rằng lực tác dụng lên bất kì đoạn nhỏ nào của sợi dây phụ thuộc vào độ cong của sợi dây ở chỗ đó, và đạo hàm hạng hai là số đo độ cong, thật chẳng có gì bất ngờ tìm được vi phân lực dF tác dụng lên vi phân đoạn dx cho bởi dy2 dF T dx dx2 (Công thức này có thể chứng minh bằng cách cộng vector hai vi phân lực tác dụng ở hai phía). Gia tốc khi đó là a = dF/dm, hay, thay dm = dx, d22 y T d y dt22 dx Đạo hàm hạng hai theo thời gian liên quan với đạo hàm hạng hai theo tọa độ. Đây chẳng hơn gì là một phát biểu toán học tạm thời của thực tế trực quan phát triển ở trên, rằng sợi dây gia tốc khi nào kéo thẳng ra độ cong của nó. Trước khi thậm chí bực bội đi tìm lời giải cho phương trình này, chúng ta hãy lưu ý là nó đã chứng minh nguyên lí chồng chất, vì đạo hàm của một tổng bằng tổng của các đạo hàm. Do đó, tổng của hai đáp án bất kì cũng sẽ là một đáp án. Dựa trên kinh nghiệm, chúng ta muốn phương trình này sẽ được thỏa mãn bởi bất kì hàm y(x, t) nào mô tả một xung hay kiểu sóng chuyển động sang trái hoặc sang phải ở tốc độ v chính xác. Nói chung, một hàm như thế sẽ có dạng y = f(x – vt) hoặc y = f(x +vt), trong đó f là hàm bất kì của một biến. Do quy luật chuỗi, mỗi đạo hàm theo thời gian mang thêm một thừa số. Lấy đạo hàm hạng hai ở cả hai vế của phương trình cho ta 2 T v f' f ''  Phép bình phương giải phóng cho dấu, và chúng ta thấy chúng ta có một đáp án có giá trị cho hàm f bất kì, biết v được cho bởi T v  Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 37
42. 3.3 Sóng âm và sóng ánh sáng Sóng âm Hiện tượng âm dễ dàng tìm thấy có đầy đủ những đặc trưng mà chúng ta mong đợi từ một hiện tượng sóng: Sóng âm tuân theo sự chồng chất. Âm thanh không triệt tiêu nhau trên đường truyền khi chúng va chạm nhau, và chúng ta có thể nghe nhiều hơn một âm thanh mỗi lần nếu chúng ta chạm đến tai của chúng ta đồng thời. Môi trường không di chuyển cùng với âm thanh. Cho dù là đang đứng trước một cái loa khổng lồ đang phát nhạc đinh tai, chúng ta không hề cảm thấy cả cơn chấn động nhỏ nhất. Vận tốc của âm thanh phụ thuộc vào môi trường. Âm thanh truyền đi trong helium nhanh hơn trong không khí, và truyền trong nước nhanh hơn trong helium. Đưa thêm năng lượng vào sóng âm làm cho nó mạnh hơn, chứ không nhanh hơn. Ví dụ, bạn có thể dễ dàng phát hiện ra một tiếng vọng khi bạn vỗ tay cách một bức tường phẳng, lớn một khoảng cách ngắn, và tiếng vỗ lớn hơn không vọng lại nhanh hơn. Mặc dù không phải mọi sóng đều có tốc độ độc lập với hình dạng của sóng, và do đó tính chất này không liên quan đến bộ sưu tập bằng chứng của bạn rằng âm thanh là một hiện tượng sóng, tuy vậy âm thanh thật sự có tính chất này. Chẳng hạn, tiếng nhạc trong một phòng hòa nhạc lớn hay sân vận động có thể mất cỡ một giây để đi tới một người nào đó ngồi ở khu vực chảy máu cam, nhưng chúng ta không chú ý hoặc không quan tâm, vì sự trễ là như nhau đối với mọi âm thanh. Tiếng ghita bass, tiếng trống, và tiếng xướng nhạc pop đều hướng ra xa khỏi sân khấu với tốc độ 340 m/s, bất chấp hình dạng sóng khác nhau của chúng. Nếu âm thanh có đủ cả những tính chất mà chúng ta mong đợi từ một sóng, vậy sóng này thuộc loại gì ? Nó phải là dao động của một môi trường vật chất như không khí, vì tốc độ của âm thanh khác nhau trong những môi trường khác nhau, ví dụ như helium hay nước. Bằng chứng nữa là chúng ta không nhận được tín hiệu âm thanh đi đến hành tinh của chúng ta từ không gian vũ trụ. Tiếng rít và tiếng la của những con tàu Hollywood thật hào hứng, nhưng sai lầm về mặt khoa học.1 Chúng ta cũng có thể nói sóng âm gồm sự nén và dãn, chứ không phải những dao động sang hai bên kiểu như sự uốn lượn của một con rắn. Chỉ có những dao động nén ép mới có thể làm cho màng nhĩ của bạn dao động vào ra. Ngay cả với một âm thanh rất lớn, thì sự nén ép là cực kì nhỏ; sự tăng hay giảm so với áp suất khí quyển bình thường không lớn hơn một phần một triệu. Tai của chúng ta rõ ràng là những cái máy thu rất nhạy! Sóng ánh sáng Những quan sát hoàn toàn tương tự đưa chúng ta đến chỗ tin rằng ánh sáng là một sóng, mặc dù khái niệm ánh sáng là một sóng đã có một lịch sử lâu đời và khúc khuỷu. Thật hứng thú lưu ý là Isaac Newton là người chủ trương rất mạnh mẽ quan điểm ngược lại về ánh sáng. Niềm tin rằng vật chất cấu thành từ các nguyên tử thật hợp thời vào lúc đó trong số những nhà tư tưởng 1 Không gian bên ngoài không phải là chân không hoàn toàn, nên có khả năng cho sóng âm thanh truyền qua nó. Tuy nhiên, nếu chúng ta muốn tạo ra một sóng âm, thường thì chúng ta thực hiện bằng cách tạo ra dao động của một đối tượng vật chất,ví dụ như bảng phát âm của đàn ghita, lưỡi gà của kèn saxophone, hay nón loa. Mật độ của môi trường xung quanh càng thấp, thì năng lượng có thể chuyển hóa thành âm thanh và mang đi xa càng kém hiệu quả. Một cái âm thoa điều chỉnh cô lập, để cho dao động trong không gian vũ trụ, sẽ tiêu tán năng lượng dao động của nó thành nhiệt nội tại ở tốc độ lớn hơn nhiều bậc độ lớn so với tốc độ phát ra âm thanh vào trong chân không gần như hoàn toàn xung quanh nó. Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 38
43. cấp tiếp (mặc dù không có bằng chứng thực nghiệm nào cho sự tồn tại của chúng), và dường như thật hợp lí với Newton là ánh sáng cũng sẽ được cấu thành từ những hạt nhỏ xíu mà ông gọi là tiểu thể. Những thành tựu của Newton trong lĩnh vực cơ học, tức là nghiên cứu về vật chất, đã mang đến cho một ông một thanh thế lớn nên chẳng ai lo lắng hoài nghi lí thuyết không đúng của ông về ánh sáng trong 150 năm trời. Một bằng chứng có sức thuyết phục rằng ánh sáng là một sóng là theo lí thuyết của Newton, hai chùm ánh sáng cắt nhau sẽ chịu ít nhất một phần nào đó đổ vỡ do va chạm giữa các tiểu thể của chúng. Cho dù là các tiểu thể cực kì nhỏ, và va chạm vì thế rất hiếm khi, thì ít nhất phần nào đó sự lu mờ phải có thể đo được. Trong thực tế, những thí nghiệm rất tinh vi cho thấy chẳng có sự lu mờ nào cả. Lí thuyết sóng của ánh sáng hoàn toàn thắng lợi cho đến thế kỉ 20, khi người ta phát hiện thấy không phải mọi hiện tượng ánh sáng có thể giải thích với một lí thuyết sóng thuần túy. Ngày nay, người ta tin rằng cả ánh sáng và vật chất đều cấu thành từ những hạt nhỏ xíu vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt. Ở đây, chúng ta sẽ tự giới hạn mình với lí thuyết sóng ánh sáng, nó có khả năng giải thích rất nhiều thứ, từ camera cho tới cầu vồng. Nếu như ánh sáng là một sóng, vậy thì cái gì đang gợn sóng ? Cái gì là môi trường gợn sóng khi một sóng ánh sáng truyền qua ? Nó không phải là không khí. Chân không có khả năng xuyên thủng với âm thanh, nhưng ánh sáng phát ra từ những ngôi sao truyền đi một cách nhàn hạ qua hàng triệu triệu tỉ tỉ dặm trong không gian trống rỗng. Bóng đèn không có không khí bên trong chúng, nhưng điều đó không ngăn cản sóng ánh sáng đi ra khỏi dây tóc. Trong một thời gian dài, các nhà vật lí cho rằng phải có một môi trường bí ẩn cho sóng ánh sáng, và họ gọi nó là aether (không nên nhầm với một chất hóa học). Cho là aether tồn tại ở mọi nơi trong không gian, và miễn nhiễm với bơm chân không. Các chi tiết của câu chuyện được để dành cho phần sau của khóa học này, nhưng kết quả cuối cùng là một loạt thí nghiệm kéo dài đã thất bại trước việc phát hiện bất kì bằng chứng nào cho aether, và người ta không còn tin là nó tồn tại. Thay vì vậy, ánh sáng có thể giải thích là một loại sóng cấu thành từ điện trường và từ trường. 3.4 Sóng tuần hoàn Chu kì và tần số của một sóng tuần hoàn Bạn chọn một đài phát thanh bằng cách chọn một tần số nhất định. Chúng ta đã định nghĩa chu kì và tần số cho các dao động, nhưng chúng có ý nghĩa gì trong trường hợp một sóng ? Chúng ta có thể sử dụng lại định nghĩa trước đây của chúng ta dễ dàng bằng cách phát biểu lại nó theo các dao động mà sóng gây ra khi nó đi qua một thiết bị thu tại một điểm nhất định trong không gian. Đối với o/ Đồ thị áp suất theo thời gian đối với sóng âm, thiết bị thu này có thể là màng nhĩ hoặc một sóng âm tuần hoàn, nguyên âm “ah”. microphone. Nếu các dao động của màng nhĩ tự lặp lại mãi mãi, tức là tuần hoàn, thì chúng ta mô tả sóng âm gây ra chúng là tuần hoàn. Tương tự, chúng ta có thể định nghĩa chu kì và tần số của một sóng theo chu kì và tần số của các dao động mà nó gây ra. Một thí dụ khác, một sóng nước tuần hoàn sẽ là một sóng làm cho một con vịt cao su dập dềnh theo kiểu tuần hoàn khi chúng đi qua nó. Chu kì của một sóng âm liên quan với cảm giác của p/ Đồ thị tương tự cho một sóng không chúng ta về độ cao nốt nhạc. Một tần số cao (chu kì ngắn) tuần hoàn, âm “sh”. Bài giảng Dao động và Sóng | © Benjamin Crowell _ hiepkhachquay dịch 39