›
›

Bài giảng Đạo hàm riêng - Huỳnh Văn Kha

pdf 77 trang huongle 8700
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đạo hàm riêng - Huỳnh Văn Kha", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dao_ham_rieng_huynh_van_kha.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đạo hàm riêng - Huỳnh Văn Kha

  1. CHƯƠNG 1 ĐẠO HÀM RIÊNG ThS. Huỳnh Văn Kha Email: huynhvankha@tdt.edu.vn -giang-toan2
  2. NỘI DUNG CHÍNH 1. Hàm nhiều biến 2. Giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến 3. Đạo hàm riêng 4. Đạo hàm theo hướng, véc-tơ gradient 5. Cực trị 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 2
  3. 1. HÀM NHIỀU BIẾN • Thể tích của khối trụ là = 2ℎ • Thể tích = , ℎ là hàm số theo 2 biến và ℎ. Định nghĩa 1. Hàm nhiều biến – function of several variables Cho là tập hợp các bộ 푛 con số có dạng 1, 2, , 푛 . Một hàm số (function) trên là một quy tắc mà ứng với mỗi phần tử của cho tương ứng duy nhất một con số thực 푤 = 1, 2, , 푛 . Miền được gọi là tập xác định (domain) của . Tập các giá trị có thể của gọi là miền giá trị (range). 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 3
  4. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 4
  5. Ví dụ hàm hai biến 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 5
  6. Ví dụ hàm ba biến 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 6
  7. Đồ thị hàm hai biến • Tập hợp các điểm , , , với , thuộc tập xác định của được gọi là đồ thị (graph) của . 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 7
  8. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 8
  9. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 9
  10. 2. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC • Nếu giá trị của , có thể gần 퐿 tùy ý với mọi , đủ gần 0, 0 thì ta nói có giới hạn bằng 퐿 khi , tiến về 0, 0 . Định nghĩa 2. Giới hạn - limit Ta nói , có giới hạn bằng 퐿 khi , tiến về 0, 0 và viết lim , = 퐿 , → 0, 0 nếu với mọi 휀 > 0 đều tồn tại 훿 > 0 sao cho với mọi , thuộc miền xác định của 2 2 0 < − 0 + − 0 < 훿 ⇒ , − 퐿 < 휀 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 10
  11. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 11
  12. Sự liên tục của hàm hai biến Định nghĩa 3. Liên tục – continuous Ta nói , liên tục tại điểm 0, 0 nếu 1. xác định tại 0, 0 , 2. lim , tồn tại, , → 0, 0 3. lim , = 0, 0 . , → 0, 0 Một hàm số được nói là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của nó. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 12
  13. 3. ĐẠO HÀM RIÊNG • Cho hàm hai biến , . Cố định = 0 ta được hàm một biến = , 0 . • Đạo hàm của hàm số này tại 0 gọi là đạo hàm riêng (viết tắt là ĐHR) theo biến của tại điểm ( 0, 0). Định nghĩa 4. Đạo hàm riêng – partial derivative Đạo hàm riêng theo biến của hàm số , tại điểm 0, 0 được định nghĩa là 휕 + ℎ, − , = lim 0 0 0 0 휕 ℎ→0 ℎ 0, 0 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 13
  14. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 14
  15. • Một cách tương đương, ta có thể định nghĩa 휕 = , 휕 0 0, 0 0 • ĐHR theo biến của = , tại điểm 0, 0 được ký hiệu theo nhiều cách 휕 휕 , , , hoặc , , 휕 0 0 휕 0 0 0, 0 0, 0 • ĐHR theo biến của = , cũng là hàm số hai biến và được ký hiệu 휕 휕 hoặc 휕 휕 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 15
  16. • Tương tự ta có định nghĩa 휕 0, 0 + ℎ − 0, 0 = 0, = lim 휕 ℎ→0 ℎ 0, 0 0 • Đạo hàm riêng theo biến của = , tại điểm 0, 0 được ký hiệu theo nhiều cách 휕 휕 , , , hoặc , , 휕 0 0 휕 0 0 0, 0 0, 0 • ĐHR theo biến của = , cũng là hàm số hai biến và được ký hiệu 휕 휕 hoặc 휕 휕 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 16
  17. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 17
  18. Véc-tơ gradient – Tính ĐHR • Để tính ĐHR theo , ta coi là hằng số. • Để tính ĐHR theo , ta coi là hằng số. Ví dụ 1. 휕 휕 a) Tính , tại điểm 4, −5 biết 휕 휕 , = 2 + 3 + − 1 휕 휕 b) Tính , trong các trường hợp sau 휕 휕 , = sin , , = 2 + cos 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 18
  19. ĐHR hàm nhiều biến hơn • Định nghĩa ĐHR cho hàm nhiều biến hơn hoàn toàn tương tự. • Véc-tơ gradient là véc-tơ mà thành phần thứ 푖 là đạo hàm riêng theo biến thứ 푖 훻 = 1, 2 , , 푛 • Để tính ĐHR theo một biến, ta coi tất cả các biến còn lại là hằng số. Ví dụ 2. Tính , , biết , , = sin + 3 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 19
  20. ĐHR cấp cao • Các ĐHR và của hàm hai biến , cũng là những hàm hai biến. • Các ĐHR của và được gọi là các ĐHR cấp hai của . Chúng được ký hiệu lần lượt là 휕 휕 휕2 휕 휕 휕2 = = , = = 휕 휕 휕 2 휕 휕 휕 휕 휕 휕 휕2 휕 휕 휕2 = = , = = 휕 휕 휕 휕 휕 휕 휕 2 • Các ĐHR cấp cao hơn thì tương tự. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 20
  21. Ví dụ 3. Tính tất cả các ĐHR cấp hai của a) , = cos + 푒 b) , = Định lý 1. Định lý Clairaut. Nếu , và các ĐHR của nó , , , tồn tại trên một miền mở chứa điểm , và tất cả chúng đều liên tục tại , thì , = , 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 21
  22. • Định lý trên nói rằng, nếu tất cả các ĐHR đều liên tục thì thứ tự lấy đạo hàm không quan trọng. • Với hàm nhiều biến hơn thì các định nghĩa và ký hiệu cũng tương tự, ví dụ 휕3 휕4 = = 휕 휕 2 휕 2휕 휕 Ví dụ 4. Tính biết , , = 1 − 2 2 + 2 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 22
  23. Tính khả vi - differentiability • Hàm một biến = khả vi tại 0 khi nó có đạo hàm tại đó, nghĩa là giới hạn sau tồn tại ′ Δ 0 + ℎ − 0 0 = lim = lim ℎ→0 Δ ℎ→0 ℎ • Nếu đặt Δ 휀 = − ′ Δ 0 ′ thì Δ = 0 Δ + 휀Δ và lim 휀 = 0. Δ →0 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 23
  24. Định nghĩa 5. Khả vi - differentiable Cho hàm số = , và đặt Δ = 0 + Δ , 0 + Δ − 0, 0 Hàm số nói trên được gọi là khả vi tại 0, 0 nếu 0, 0 và 0, 0 tồn tại, đồng thời Δ thỏa mãn một phương trình có dạng Δ = 0, 0 Δ + 0, 0 Δ + 휀1Δ + 휀2Δ Trong đó mỗi 휀1 và 휀2 đều tiến về 0 khi cả Δ , Δ → 0. Ta nói khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc miền xác định. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 24
  25. Định lý 2. Nếu các ĐHR , của , đều liên tục trên một miền mở 푅 thì khả vi tại mọi điểm thuộc 푅. Định lý 3. Nếu , khả vi tại 0, 0 thì nó liên tục tại 0, 0 . 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 25
  26. Đạo hàm hàm hợp • Trường hợp 1 biến, nếu 푤 = và = 푡 thì 푤 푤 = 푡 푡 Định lý 4. Đạo hàm hàm hợp 1. Nếu 푤 = , khả vi và = 푡 , = 푡 cũng là những hàm khả vi thì hàm hợp 푤 = 푡 , 푡 khả vi theo 푡 và 푤 = 푡 , 푡 ′ 푡 + 푡 , 푡 ′ 푡 푡 푤 휕 휕 Hay = + . 푡 휕 푡 휕 푡 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 26
  27. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 27
  28. • Trường hợp nhiều biến hơn, ta có công thức tương tự. Định lý 5. Đạo hàm hàm hợp 2. Nếu 푤 = , , khả vi và = 푡 , = 푡 , = 푡 cũng là những hàm khả vi thì hàm hợp 푤 = 푡 , 푡 , 푡 khả vi theo 푡 và 푤 휕 휕 휕 = + + 푡 휕 푡 휕 푡 휕 푡 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 28
  29. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 29
  30. Ví dụ 5. a) Dùng công thức đạo hàm hàm hợp tính đạo hàm của 푤 = theo biến 푡, biết = cos 푡 và = sin 푡. Tính giá trị của đạo hàm này tại 푡 = /2. b) Tính 푤/ 푡 biết 푤 = + , = cos 푡 , = sin 푡 , = 푡 푤 Tính . 푡 푡=0 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 30
  31. Định lý 6. Đạo hàm hàm hợp 3. Nếu 푤 = , , khả vi và = , 푠 , = ℎ , 푠 , = , 푠 cũng là những hàm khả vi thì hàm hợp 푤 = , 푠 , ℎ , 푠 , , 푠 khả vi và 휕푤 휕푤 휕 휕푤 휕 휕푤 휕 = + + 휕 휕 휕 휕 휕 휕 휕 휕푤 휕푤 휕 휕푤 휕 휕푤 휕 = + + 휕푠 휕 휕푠 휕 휕푠 휕 휕푠 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 31
  32. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 32
  33. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 33
  34. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 34
  35. • Trường hợp 푤 = , và = , 푠 , = ℎ , 푠 ta cũng có công thức tương tự 휕푤 휕푤 휕 휕푤 휕 = + 휕 휕 휕 휕 휕 휕푤 휕푤 휕 휕푤 휕 = + 휕푠 휕 휕푠 휕 휕푠 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 35
  36. • Tổng quát, 푤 = 1, 2, , 푛 và mỗi 푖 là một hàm theo biến 푡1, 푡2, , 푡 thì với mỗi 푗 = 1, 휕푤 휕푤 휕 휕푤 휕 휕푤 휕 = 1 + 2 + ⋯ + 푛 휕푡푗 휕 1 휕푡푗 휕 2 휕푡푗 휕 푛 휕푡푗 Ví dụ 6. a) Tính 휕푤/휕 và 휕푤/휕푠 biết 푤 = + 2 + 2 = , = 2 + ln 푠 , = 2 푠 b) Tính 휕푤/휕 và 휕푤/휕푠 biết 푤 = 2 + 2, = − 푠, = + 푠 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 36
  37. Đạo hàm hàm ẩn • Các phương trình 3 + 3 − 9 = 0 và 2 + 2 − 25 = 0 thể hiện mối liên hệ ẩn của theo . • Nếu từ 퐹 , = 0 ta có thể suy ra = ( là hàm số theo ) thì khi đó ta nói là một hàm ẩn (implicit function). • Một số trường hợp ta có thể suy ra công thức tường minh cho hàm ẩn = . • Tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta không có được công thức tường minh. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 37
  38. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 38
  39. • Giả sử rằng – Hàm số 퐹 , khả vi, – Phương trình 퐹 , = 0 xác định được hàm ẩn khả vi = ℎ . • Khi đó hàm hợp 푤 = 퐹 , ℎ khả vi và do 푤 = 0 nên 푤 휕퐹 휕퐹 0 = = + = 퐹 + 퐹 휕 휕 • Nếu 퐹 ≠ 0 thì 퐹 = − 퐹 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 39
  40. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 40
  41. Định lý 7. Đạo hàm ẩn. Nếu 퐹 , khả vi và phương trình 퐹 , = 0 xác định được là hàm ẩn khả vi theo thì tại những điểm 퐹 ≠ 0 퐹 = − 퐹 Ví dụ 7. a) Tính ′ biết 2 = . b) Tính ′ biết 2 = 2 + sin c) Tính độ dốc đường tròn 2 + 2 = 25 tại 3, −4 . 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 41
  42. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 42
  43. • Nếu – Hàm số 퐹 , , khả vi, – Phương trình 퐹 , , = 0 xác định được = , là hàm ẩn khả vi • Thì hàm hợp 푤 = 퐹 , , , khả vi và 휕푤 휕 휕 휕 휕 0 = = 퐹 + 퐹 + 퐹 = 퐹 + 퐹 휕 휕 휕 휕 휕 휕푤 휕 휕 휕 휕 0 = = 퐹 + 퐹 + 퐹 = 퐹 + 퐹 휕 휕 휕 휕 휕 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 43
  44. • Suy ra, nếu 퐹 ≠ 0 thì 휕 퐹 휕 퐹 = − = − 휕 퐹 휕 퐹 Ví dụ 8. Tính 휕 /휕 và 휕 /휕 tại điểm 0,0,0 biết 3 + 2 + 푒 + cos = 0 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 44
  45. 4. ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG VÀ VÉC- TƠ GRADIENT • Để tính tỉ lệ thay đổi của hàm , theo hướng véc-tơ đơn vị 퐮 = 1, 2 người ta dùng đạo hàm theo hướng (directional derivative). 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 45
  46. Định nghĩa 6. Đạo hàm theo hướng Đạo hàm của tại 푃0 0, 0 theo hướng véc-tơ đơn vị 퐮 = 1, 2 là con số sau (nếu nó tồn tại) 0 + 푠 1, 0 + 푠 2 − 0, 0 퐮 = lim 푃0 푠→0 푠 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 46
  47. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 47
  48. Véc-tơ gradient Định nghĩa 7. Véc-tơ gradient Véc-tơ gradient của tại điểm 푃0 0, 0 là véc-tơ 휕 휕 훻 푃 = 푃 , 푃 0 휕 0 휕 0 Định lý 8. Tính đạo hàm theo hướng Nếu khả vi trên miền mở chứa 푃0 0, 0 và 퐮 = 1, 2 là véc-tơ đơn vị thì = 훻 푃0 . 퐮 푃0 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 48
  49. Tìm đạo hàm của , = 푒 + cos tại điểm 2,0 theo hướng véc-tơ 퐯 = 3, −4 . 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 49
  50. ĐH theo hướng – hàm ba biến • Nếu hàm số , , khả vi và 퐮 = 1, 2, 3 là véc-tơ đơn vị trong không gian thì 훻 = , , 퐮 = 훻 . 퐮 = 1 + 2 + 3 Ví dụ 9. Tìm đạo hàm của 3 2 a) , , = − − tại 푃0 1,1,0 theo hướng 퐯 = 2, −3,6 . − b) , = tại 푃 1, −1 theo hướng 퐮 = 12,5 . +2 0 1 c) , , = cos + 푒 + ln tại 푃 1,0, 0 2 theo hướng 퐮 = 1,2,2 . 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 50
  51. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong , , = tại điểm 푃0 0, 0, 0 có phương trình 푃0 − 0 + 푃0 − 0 + 푃0 − 0 = 0 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 51
  52. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong = , tại điểm 푃0 0, 0, 0, 0 có phương trình 0, 0 − 0 + 0, 0 − 0 − − 0 = 0 Ví dụ 10. Tìm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong 2 2 a) + + − 9 = 0 tại 푃0 1,2,4 . b) = cos − 푒 tại 푃0 0,0,0 . 2 c) cos − + 푒 + = 4 tại 푃0 0,1,2 . 2 2 d) = ln + tại 푃0 1,0,0 . 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 52
  53. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 53
  54. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 54
  55. Xấp xỉ tuyến tính và vi phân Nếu , khả vi, đặt Δ = − 0, Δ = − 0 thì , − 0, 0 = 0, 0 Δ + 0, 0 Δ + 휀1Δ + 휀2Δ với 휀1, 휀2 → 0 khi Δ , Δ → 0 Định nghĩa 8. Xấp xỉ tuyến tính – linear approximation Nếu , khả vi tại 0, 0 thì tuyến tính hóa (linearization) của tại đó là hàm 퐿 , = 0, 0 + 0, 0 − 0 + 0, 0 − 0 Và xấp xỉ , ≈ 퐿 , được gọi là xấp xỉ tuyến tính (linear approximation) của tại 0, 0 . 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 55
  56. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 56
  57. • Nếu có các ĐHR cấp một và cấp hai liên tục trên một hình chữ nhật mở 푅 có tâm tại 0, 0 , • và gọi là một chận trên của , , trên 푅 thì sai số , = , − 퐿 , thỏa 1 , ≤ − + − 2 2 0 0 1 Ví dụ 11. Xấp xỉ tuyến tính , = 2 − + 2 + 2 3 tại 3,2 . Dùng nó tính xấp xỉ giá trị 3.1,2.1 và đánh giá sai số của xấp xỉ này. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 57
  58. Vi phân – differential • Trong xấp xỉ nói trên Δ ≈ 0, 0 Δ + 0, 0 Δ Nếu ta thay Δ = , Δ = thì vế phải chính là vi phân toàn phần của tại 0, 0 . Định nghĩa 9. Vi phân toàn phần – total differential Vi phân toàn phần của , tại 0, 0 được định nghĩa là 0, 0 = 0, 0 + 0, 0 Hay viết gọn = + 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 58
  59. • Tương tự cho hàm nhiều biến hơn. • XXTT của , , tại 푃0 0, 0, 0 là , , ≈ 퐿 , , = 푃0 + 푃0 − 0 + 푃0 − 0 + 푃0 − 0 • Sai số = , , − 퐿 , , thỏa 1 ≤ − + − + − 2 2 0 0 0 • Vi phân toàn phần của hàm ba biến là = + + 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 59
  60. Ví dụ 12. a) Cho hàm số , = 3 + 푒2 - Tính 2,0 . - Xấp xỉ tuyến tính cho tại 2,0 . Dùng nó tính xấp xỉ giá trị 1.94, −0.09 và đánh giá sai số của xấp xỉ này. b) Cho hàm số , , = 2 − + 3 sin - Tính 2,1,0 . - Xấp xỉ tuyến tính cho tại 2,1,0 . Dùng nó tính xấp xỉ giá trị 2.01,0.98,0.01 và đánh giá sai số của xấp xỉ này. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 60
  61. 5. CỰC TRỊ Định nghĩa 10. Cực trị địa phương – Local extremum Cho , là hàm số xác định trên 푅 chứa điểm , . Điểm , được gọi là một điểm cực đại địa phương (local maximum) của nếu tồn tại đĩa tròn mở có tâm tại , sao cho , ≥ , , ∀ , ∈ ∩ 푅 Điểm , được gọi là một điểm cực tiểu địa phương (local minimum) của nếu tồn tại đĩa tròn mở có tâm tại , sao cho , ≤ , , ∀ , ∈ ∩ 푅 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 61
  62. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 62
  63. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 63
  64. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 64
  65. • Nếu đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương tại , thì ta nói , là một điểm cực trị (địa phương) của . Định lý 9. Kiểm tra cực trị bằng đạo hàm riêng cấp 1. Nếu , đạt cực trị tại điểm trong , của miền xác định và nếu các đạo hàm riêng của tại đó đều tồn tại thì khi đó , = , = 0 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 65
  66. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 66
  67. • Điểm trong của miền xác định, mà tại đó và đều bằng 0 hoặc ít nhất một trong chúng không tồn tại, thì ta nói điểm đó là điểm tới hạn (critical point). • Định lý 8 nói rằng một điểm là cực trị (địa phương) thì bắt buộc phải là điểm tới hạn hoặc điểm biên. • Tuy nhiên không phải mọi điểm tới hạn đều là cực trị. • Điểm tới hạn , của hàm số khả vi được nói là điểm yên ngựa (saddle point) nếu nó không phải là cực trị. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 67
  68. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 68
  69. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 69
  70. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 70
  71. Định lý 10. Kiểm tra cực trị bằng đạo hàm riêng cấp 2. Cho , là hàm số có đạo hàm riêng cấp 1 và 2 liên tục trên đĩa tròn tâm , . Giả sử , = , = 0 (tức là , là điểm tới hạn), khi đó đặt 2 Δ = Δ , = , , − , ta sẽ có các kết luận sau a) Nếu Δ > 0 và , > 0 thì , là cực tiểu. b) Nếu Δ > 0 và , < 0 thì , là cực đại. c) Nếu Δ < 0 thì , là điểm yên ngựa. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 71
  72. Ví dụ 13. Tìm cực trị địa phương của các hàm số sau. 1. , = − 2 − 2 − 2 − 2 + 4. 2. , = 3 2 − 2 3 − 3 2 + 6 . 3. , = 1 + + . 1 1 4. , = + + . 5. , = 4 + 4 − 4 + 1. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 72
  73. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 73
  74. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 74
  75. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 75
  76. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 76
  77. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 77