›
›

Bài giảng Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến - Huỳnh Văn Kha

pdf 62 trang huongle 8990
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến - Huỳnh Văn Kha", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dao_ham_rieng_va_vi_phan_ham_nhieu_bien_huynh_van.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến - Huỳnh Văn Kha

  1. Chương 3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN ThS. Huỳnh Văn Kha
  2. TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến. 2. Đạo hàm riêng. 3. Xấp xỉ tuyến tính và vi phân. 4. Đạo hàm hàm hợp, hàm ẩn. 5. Cực trị địa phương. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 2
  3. 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN • Thể tích của khối trụ là = ℎ • Thể tích là hàm số theo 2 biến và . = , ℎ ℎ Định nghĩa 1. Hàm nhiều biến – function of several variables Cho là tập hợp các bộ con số có dạng . Một hàm số (function) trên là một quy tắc, mà, ứng , với mỗi phần tử của cho tương ứng duy nhất một con số thực . = , , , Miền được gọi là tập xác định (domain) của . Tập các giá trị có thể của gọi là miền giá trị (range). 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 3
  4. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 4
  5. Ví dụ hàm hai biến 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 5
  6. Ví dụ hàm ba biến 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 6
  7. Đồ thị hàm hai biến • Tập hợp các điểm với thuộc tập xác định của được, gọi , là ,đồ thị (graph), của . 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 7
  8. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 8
  9. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 9
  10. Giới hạn hàm hai biến • Nếu giá trị của có thể gần tùy ý với mọi đủ gần , thì ta nói có giới hạn bằng khi, tiến về , . , , Định nghĩa 2. Giới hạn - limit Ta nói có giới hạn bằng khi tiến về và, viết , , lim , = , → , nếu với mọi đều tồn tại sao cho với mọi thuộc miền > 0 xác định của > 0 , 0 < − + − < ⇒ , − < 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 10
  11. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 11
  12. Sự liên tục của hàm hai biến Định nghĩa 3. Liên tục – continuous Ta nói liên tục tại điểm nếu , , 1. xác định tại , , 2. tồn tại, lim , , → , 3. . lim , = , , → , Một hàm số được nói là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của nó. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 12
  13. 2. ĐẠO HÀM RIÊNG • Cho hàm hai biến . Cố định ta được hàm một biến , . = = , • Đạo hàm của hàm số này tại gọi là đạo hàm riêng (viết tắt là ĐHR) theo biến của tại điểm . (, ) Định nghĩa 4. Đạo hàm riêng – partial derivative Đạo hàm riêng theo biến của hàm số tại điểm được định nghĩa là , , + ℎ, − , =→ lim , ℎ 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 13
  14. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 14
  15. • Một cách tương đương, ta có thể định nghĩa = , , • ĐHR theo biến của tại điểm được ký hiệu theo nhiều = cách , , , , , hoặc , , , , • ĐHR theo biến của cũng là hàm số hai biến và được ký hiệu = , hoặc 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 15
  16. • Tương tự ta có định nghĩa , + ℎ − , = , =→ lim , ℎ • Đạo hàm riêng theo biến của tại điểm được ký hiệu theo nhiều =cách , , , , , hoặc , , , , • ĐHR theo biến của cũng là hàm số hai biến và được ký hiệu = , hoặc 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 16
  17. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 17
  18. Véc-tơ gradient – Tính ĐHR • Để tính ĐHR theo , ta coi là hằng số . • Để tính ĐHR theo , ta coi là hằng số . • Nếu các ĐHR đều tồn tại, ta đn véc-tơ gradient là = , Ví dụ 1. a) Tính , và tại điểm biết 4, −5 , = + 3 + − 1 b) Tính , và trong các trường hợp sau , = sin , , = 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 2 + cos 18
  19. ĐHR hàm nhiều biến hơn • Định nghĩa ĐHR cho hàm nhiều biến hơn hoàn toàn tương tự. • Véc-tơ gradient là véc-tơ mà thành phần thứ là đạo hàm riêng theo biến thứ = , , , • Để tính ĐHR theo một biến, ta coi tất cả các biến còn lại là hằng số . Ví dụ 2. Tính , , và biết ,, = sin + 3 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 19
  20. ĐHR cấp cao • Các ĐHR và của hàm hai biến cũng là những hàm hai biến. , • Các ĐHR của và được gọi là các ĐHR cấp hai của . Chúng được ký hiệu lần lượt là = = , = = = = , = = • Các ĐHR cấp cao hơn thì tương tự. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 20
  21. Ví dụ 3. Tính tất cả các ĐHR cấp hai của a) , =cos+ b) , = Định lý 1. Định lý Clairaut. Nếu và các ĐHR của nó , , , tồn tại trên một, miền mở chứa điểm và tất cả chúng đều liên tục tại thì , , , = , 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 21
  22. • Định lý trên nói rằng, nếu tất cả các ĐHR đều liên tục thì thứ tự lấy đạo hàm không quan trọng . • Với hàm nhiều biến hơn thì các định nghĩa và ký hiệu cũng tương tự, ví dụ = = Ví dụ 4 . Tính biết ,, =1−2 + 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 22
  23. Tính khả vi - differentiability • Hàm một biến khả vi tại khi nó có đạo hàm tại đó, nghĩa = là giới hạn sau tồn tại Δ + ℎ − =→ lim =→ lim • Nếu đặt Δ ℎ Δ = − thì Δ và . Δ = Δ + Δ →lim = 0 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 23
  24. Định nghĩa 5. Khả vi - differentiable Cho hàm số và đặt = , Δ = + Δ, + Δ − , Hàm số nói trên được gọi là khả vi tại nếu và tồn tại, đồng thời , thỏa mãn một phương, trình có, dạng Δ Δ = , Δ + , Δ + Δ + Δ Trong đó mỗi và đều tiến về khi cả . 0 Δ, Δ → 0 Ta nói khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc miền xác định. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 24
  25. Định lý 2. Nếu các ĐHR , của đều liên tục trên một miền mở thì khả vi tại ,mọi điểm thuộc . Định lý 3. Nếu khả vi tại thì nó liên tục tại ,. , , 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 25
  26. 3. XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ VI PHÂN • Nếu , đặt và thì , Δ = − Δ = − , − , với= , Δkhi + , Δ + Δ + Δ , → 0 Δ, Δ → 0 Định nghĩa 6. Xấp xỉ tuyến tính – linear approximation Nếu khả vi tại thì tuyến tính hóa (linearization) , của tại đó, là hàm , = , + , − + , − Và xấp xỉ được gọi là xấp xỉ tuyến tính (linear approximation) , ≈ , của tại . , 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 26
  27. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 27
  28. • Nếu có các ĐHR cấp một và cấp hai liên tục trên một hình chữ nhật mở có tâm tại , , • và gọi là một chận trên của , , trên thì sai số thỏa , = , − , 1 − + − , ≤ 2 Ví dụ 5 . Xấp xỉ tuyến tính , = − + + 3 tại 3,2 . Dùng nó tính xấp xỉ giá trị 3.1,2.1 và đánh giá sai số của xấp xỉ này. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 28
  29. Vi phân – differential • Trong xấp xỉ nói trên Nếu ta thayΔ ≈ , , Δ + thì vế, phảiΔ chính là vi phân toàn phầnΔ =của Δtại = . , Định nghĩa 7. Vi phân toàn phần – total differential Vi phân toàn phần của tại được định nghĩa là , , , = , + , Hay viết gọn = + 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 29
  30. • Tương tự cho hàm nhiều biến hơn. • XXTT của tại là , , , , , , ≈ , , = + − + − + − • Sai số thỏa = , , − , , 1 − + − + − ≤ 2 • Vi phân toàn phần của hàm ba biến là = + + 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 30
  31. Ví dụ 6. a) Cho hàm số - Tính 2,0 . , = + - Xấp xỉ tuyến tính cho tại 2,0 . Dùng nó tính xấp xỉ giá trị 1.94, −0.09 và đánh giá sai số của xấp xỉ này. b) Cho hàm số , , = − + 3 sin - Tính 2,1,0 . - Xấp xỉ tuyến tính cho tại 2,1,0 . Dùng nó tính xấp xỉ giá trị 2.01,0.98,0.01 và đánh giá sai số của xấp xỉ này. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 31
  32. 4. ĐẠO HÀM HÀM HỢP, HÀM ẨN • Trường hợp 1 biến, nếu và thì = = = Định lý 4. Đạo hàm hàm hợp 1. Nếu khả vi và , cũng là = , = = những hàm khả vi thì hàm hợp khả vi theo và = , = , + , Hay . = + 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 32
  33. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 33
  34. • Trường hợp nhiều biến hơn, ta có công thức tương tự. Định lý 5. Đạo hàm hàm hợp 2. Nếu khả vi và , , cũng = là, những , hàm khả vi =thì hàm hợp = = = khả vi theo và , , = + + 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 34
  35. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 35
  36. Ví dụ 7. a) Dùng công thức đạo hàm hàm hợp tính đạo hàm của theo biến , biết =và . Tính giá trị của đạo hàm này tại = cos2. = sin = / b) Tính / biết =+, =cos, =sin, = Tính 0 . 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 36
  37. Định lý 6. Đạo hàm hàm hợp 3. Nếu khả vi và , , = cũng, , là những hàm =khả vi, thì hàm = ℎhợp, = , khả vi và = , , ℎ , , , = + + = + + 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 37
  38. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 38
  39. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 39
  40. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 40
  41. • Trường hợp và , ta cũng có công = thức , tương tự = , = ℎ , = + = + 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 41
  42. • Tổng quát, và mỗi là một hàm theo biến = , , , thì với mỗi , , , = 1, = + + ⋯ + Ví dụ 8. a) Tính và biết / / = + 2 + = , = + ln , = 2 b) Tính và biết / / = + , = − , = + 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 42
  43. Đạo hàm hàm ẩn • Các phương trình 25 = 0 thể hiện + mối −liên 9 hệ =ẩn 0của và theo+ .− • Nếu từ , = 0 ta có thể suy ra = ( là hàm số theo ) thì khi đó ta nói là một hàm ẩn (implicit function). • Một số trường hợp ta có thể suy ra công thức tường minh cho hàm ẩn = . • Tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta không có được công thức tường minh. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 43
  44. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 44
  45. • Giả sử rằng – Hàm số khả vi, , – Phương trình xác định được hàm ẩn khả vi . , = 0 = ℎ • Khi đó hàm hợp khả vi và do nên = , ℎ = 0 0 = = + = + • Nếu thì ≠ 0 = − 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 45
  46. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 46
  47. Định lý 7. Đạo hàm ẩn. Nếu khả vi và phương trình xác định được, là hàm ẩn khả vi theo thì, tại những = 0 điểm ≠ 0 = − Ví dụ 9. a) Tính biết . = b) Tính biết c) Tính độ dốc đường = tròn+ sin 25 tại 3, −4 . + = 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 47
  48. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 48
  49. • Nếu – Hàm số khả vi, , , – Phương trình xác định được là hàm ẩn khả vi , , = 0 = , • Thì hàm hợp khả vi và = , , , 0 = = + + = + 0 = = + + = + 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 49
  50. • Suy ra, nếu thì ≠ 0 = − = − Ví dụ 10. Tính và tại điểm biết / / 0,0,0 + + + cos = 0 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 50
  51. 5. CỰC TRỊ ĐỊA PHƯƠNG Định nghĩa 8. Cực trị địa phương – Local extremum Cho là hàm số xác định trên chứa điểm . , , Điểm được gọi là một điểm cực đại địa phương (local maximum), của nếu tồn tại đĩa tròn mở có tâm tại sao cho , , ≥ , , ∀ , ∈ ∩ Điểm được gọi là một điểm cực tiểu địa phương (local minimum), của nếu tồn tại đĩa tròn mở có tâm tại sao cho , , ≤ , , ∀ , ∈ ∩ 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 51
  52. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 52
  53. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 53
  54. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 54
  55. • Nếu đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương tại thì ta nói là một điểm cực trị (địa phương), của . , Định lý 8. Kiểm tra cực trị bằng đạo hàm riêng cấp 1. Nếu đạt cực trị tại điểm trong của miền xác định , và nếu các đạo hàm riêng của ,tại đó đều tồn tại thì khi đó , = , = 0 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 55
  56. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 56
  57. • Điểm trong của miền xác định, mà tại đó và đều bằng hoặc ít nhất một trong chúng không tồn tại , thì ta 0nói điểm đó là điểm tới hạn (critical point). • Định lý 8 nói rằng một điểm là cực trị (địa phương) thì bắt buộc phải là điểm tới hạn hoặc điểm biên . • Tuy nhiên không phải mọi điểm tới hạn đều là cực trị. • Điểm tới hạn của hàm số khả vi được nói là điểm yên ngựa ,(saddle point) nếu nó không phải là cực trị. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 57
  58. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 58
  59. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 59
  60. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 60
  61. Định lý 9. Kiểm tra cực trị bằng đạo hàm riêng cấp 2. Cho là hàm số có đạo hàm riêng cấp 1 và 2 liên tục trên , đĩa tròn tâm . Giả sử (tức là , là điểm tới hạn),, khi = đó đặt , = 0 , ta sẽΔ có = cácΔ , kết luận = sau , , − , a) Nếu và thì là cực tiểu . Δ > 0 , > 0 , b) Nếu và thì là cực đại . Δ > 0 , < 0 , c) Nếu thì là điểm yên ngựa . Δ < 0 , 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 61
  62. Ví dụ 11. Tìm cực trị địa phương của các hàm số sau. 1. . , = − − − 2 − 2 + 4 2. 3 − 3 + 6 . , = 2 − 3. , = 1 + + . 4. , = + + . 5. , = + − 4 + 1. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 62