›
›

Bài giảng Đạo hàm và ứng dụng - Huỳnh Văn Kha

pdf 71 trang huongle 6970
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đạo hàm và ứng dụng - Huỳnh Văn Kha", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dao_ham_va_ung_dung_huynh_van_kha.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đạo hàm và ứng dụng - Huỳnh Văn Kha

  1. Chương 2 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG ThS. Huỳnh Văn Kha
  2. TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Định nghĩa đạo hàm. 2. Một số quy tắc tính đạo hàm. 3. Xấp xỉ tuyến tính và vi phân. 4. Cực trị và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 5. Quy tắc L’Hospital. 6. Phương pháp Newton xấp xỉ nghiệm phương trình . = 0 7. Nguyên hàm. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 2
  3. 1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM • Hàm đo khoảng cách di chuyển của một chất điểm là thì vận tốc tức thời tại thời điểm là = + ℎ − =→ lim • Vận tốc còn được gọi là đạoℎ hàm của tại thời điểm và ký hiệu . = • Độ dốc của đường cong tại là = , + ℎ − =→ lim • Độ dốc còn được gọi là đạoℎ hàm của tại và ký hiệu . = 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 3
  4. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 4
  5. Ví dụ 1. 1. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm của vật rơi tự do, biết hàm đo khoảng cách rơi tự do = 1là = 16 2. Cho đường cong = 1/ a) Tính độ dốc của nó tại . = −1 b) Những điểm nào trên đường cong này có độ dốc bằng ? −1/4 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 5
  6. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 6
  7. Định nghĩa 1. Đạo hàm – derivative Cho và hàm số xác định trên khoảng . Ta∈ nói, đạo hàm của tại là giá trị , + ℎ − = lim (nếu giới hạn này tồn →tại). ℎ 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 7
  8. Hàm số đạo hàm • Nếu có đạo hàm tại ta nói khả vi (differentiable) tại đó. • Ta có thể xem là hàm số theo xác định bởi + ℎ − =→ lim • Nếu hàm số này có đạo hàm thìℎ đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của và ký hiệu . • Tổng quát, nếu có đạo hàm cấp là thì đạo hàm cấp được định nghĩa là + 1 = 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 8
  9. • Đạo hàm của còn được ký hiệu là = = • Ta có thể ký hiệu đạo hàm tại bằng = = = = • Các đạo hàm cấp cao cũng được ký hiệu là = = = = 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 9
  10. Định lý 1. (Có đạo hàm thì liên tục) Nếu khả vi tại thì liên tục tại . = = 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 10
  11. Đạo hàm các hàm số sơ cấp , với là hằng số = = 0 = ln = 1 1 log = ln = ln sin = cos cos = − sin tan = 1 + tan cot = − 1 + cot 1 1 = = − cos sin 1 1 arcsin = arctan = 1 − 1 + 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 11
  12. 2. MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM ± = ± , với là hằng số. = = + − = Ví dụ 2. a) Tính đạo hàm của hàm số = b) Tính đạo hàm cấp hai của1 hàm + ln số 24/08/2015 =Đạo2 hàm và ứng− dụng2 + 1 12
  13. Đạo hàm hàm hợp Định lý 2. Đạo hàm hàm hợp Nếu khả vi tại và khả vi tại thì = hàm hợp cũng khả vi tại và ∘ = ∘ = = · 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 13
  14. 1 = = − = ln = log = ln = ln sin = cos cos = − sin tan = 1 + tan cot = − 1 + cot = = − cos sin arcsin = arctan = 24/08/2015 1 − Đạo hàm và ứng dụng 1 + 14
  15. Ví dụ 3. a) Tính đạo hàm của các hàm số = − 3 + 1 = ln b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số ℎ = sin 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 15
  16. 3. XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ VI PHÂN • Trong một số trường hợp, ta cần xấp xỉ một hàm phức tạp bằng hàm đơn giản hơn. Định nghĩa 2. Xấp xỉ tuyến tính – linear approximation Nếu khả vi tại thì hàm số được gọi là tuyến tính = hóa +(linearization) − của tại . Và xấp xỉ được gọi là xấp xỉ tuyến tính ≈của tại . 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 16
  17. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 17
  18. Ví dụ 5. 1. Xấp xỉ tuyến tính hàm số = 1 + tại điểm và tính xấp xỉ giá trị . = 3 4.1 2. Xấp xỉ tuyến tính hàm số = cos tại và tính xấp xỉ giá trị . = /4 cos 44 3. Xấp xỉ tuyến tính hàm số = 1 + (với là hằng số) tại . = 0 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 18
  19. Vi phân • Trong cách ký hiệu , được gọi là vi phân của biến số và = /là vi phân của hàm số . Định nghĩa 3. Vi phân - differential Nếu khả vi thì vi phân của hàm số này là = () = Ví dụ 6. Cho hàm số 3 + a) Tìm vi phân . = + b) Tìm . 1 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 19
  20. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 20
  21. 4. CỰC TRỊ VÀ GTLN, GTNN Định nghĩa 4. GTLN, GTNN – global extremum Hàm số đạt giá trị lớn nhất (hay cực đại toàn cục – global maximum – absolute maximum) tại điểm thuộc miền xác định của nếu với mọi . ≤ ∈ Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất (hay cực tiểu toàn cục – global minimum – absolute minimum) tại điểm thuộc miền xác định của nếu với mọi . ≥ ∈ 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 21
  22. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 22
  23. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 23
  24. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 24
  25. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 25
  26. Định lý 3. (về GTLN, GTNN – extreme value theorem) Nếu liên tục trên khoảng đóng thì đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên, khoảng đó. Nghĩa là có hai số thuộc sao cho , và , , với mọi =. = ≤ ≤ ∈ , 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 26
  27. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 27
  28. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 28
  29. Cực trị địa phương Định nghĩa 5. Cực trị địa phương - local extremum Hàm số đạt cực đại địa phương (local maximum) tại điểm thuộc miền xác định của nếu có sao cho với mọi > 0. ≤ ∈ ∩ − , + Hàm số đạt cực tiểu địa phương (local minimum) tại điểm thuộc miền xác định của nếu có sao cho với mọi > 0. ≥ ∈ ∩ − , + Hàm số được nói là đạt cực trị địa phương (local extremum) tại nếu nó đạt cực đại hay cực tiểu địa phương tại đó. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 29
  30. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 30
  31. Định lý 4. Định lý Fermat Nếu đạt cực trị địa phương tại điểm trong của miền xác định và nếu tồn tại thì = 0 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 31
  32. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 32
  33. Tìm GTLN, GTNN • Cực trị (địa phương hay toàn cục) của chỉ có thể xảy ra tại một trong các loại điểm sau đây – Điểm trong của miền xác định và = 0 – Điểm trong của miền xác định và không xác định – Điểm biên của miền xác định. • Nếu là điểm trong của miền xác định và = 0 hoặc không tồn tại thì ta nói là điểm tới hạn (critical point) của . • Để tìm GTLN, GTNN của ta làm như sau – Tình giá trị của tại các điểm tới hạn và các điểm biên. – Lấy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong các giá trị nói trên. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 33
  34. Ví dụ 7. a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số 10 2 − ln trên khoảng 1, . = b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số = trên khoảng −2,3 . 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 34
  35. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 35
  36. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 36
  37. Định lý Rolle Định lý 4. Định lý Rolle Cho là hàm số liên tục trên khoảng đóng và = khả vi trên khoảng mở . Nếu , thì có ít nhất một ,sao cho = . ∈ , = 0 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 37
  38. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 38
  39. Định lý Lagrange Định lý 5. Định lý Lagrange Cho là hàm số liên tục trên khoảng đóng và = khả vi trên khoảng mở . Khi đó có ít nhất một, số sao cho , ∈ , − = − 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 39
  40. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 40
  41. • Định lý Lagrange là định lý cơ bản của phép tính vi phân. Nhiều kết quả quan trọng được suy ra từ đây. Hệ quả 1. Nếu với mọi thì , với là hằng số. = 0 ∈ , = Hệ quả 2. Nếu với mọi thì tồn tại hằng số sao cho = ∈. Nghĩa, là là hàm hằng trên . = + − , 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 41
  42. Sự đơn điệu của hàm số • Ngoài ra ta còn hệ quả quan trọng sau đây về sự đơn điệu (tăng, giảm) của hàm số. Hệ quả 3. Cho hàm số liên tục trên và khả vi trên . , , - Nếu thì tăng trên . > 0, ∀ ∈ , , - Nếu thì giảm trên . < 0, ∀ ∈ , , 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 42
  43. Tìm cực trị địa phương • Cho là điểm tới hạn của hàm số liên tục và giả sử khả vi trên một khoảng mở chứa (có thể ngoại trừ tại ). • Khi di chuyển từ trái sang phải – Nếu đổi dấu từ âm sang dương thì là cực tiểu địa phương. – Nếu đổi dấu từ dương sang âm thì là cực đại địa phương. – Nếu không đổi dấu (nghĩa là dương cả hai bên hoặc âm cả hai bên điểm ) thì không phải là cực trị địa phương. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 43
  44. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 44
  45. Ví dụ 8. a) Tìm cực trị địa phương của = − 3 b) Tìm cực trị địa phương của = − 4 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 45
  46. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 46
  47. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 47
  48. Một số bài toán ứng dụng • Một cái hộp không nắp đậy được làm bằng cách cắt bỏ 4 hình vuông nhỏ kích thước ở 4 góc của × một tấm bìa (xem hình vẽ). Tìm giá trị của để thể 12tích × hộp 12 nóicm trên lớn nhất. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 48
  49. • Bạn được yêu cầu thiết kế một cái hộp hình trụ tròn đứng có thể tích 1 lít. Bán kính và chiều cao của hình trụ bằng bao nhiêu để ít tốn nguyên liệu nhất? 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 49
  50. • Ký hiệu – là doanh thu khi bán được sản phẩm, – là chi phí để sản xuất sản phẩm, – là lợi nhuận thu được. = − • Trong kinh tế người ta gọi – là doanh thu biên (marginal revenue), – là chi phí biên (marginal cost), – là lợi nhuận biên (marginal profit). • Khi đạt được lợi nhuận tối đa thì doanh thu biên sẽ bằng chi phí biên . 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 50
  51. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 51
  52. • Giả sử và 15 , với là số triệu máy = 9nghe nhạc MP3 = được− 6 sản+ xuất. Tìm để lợi nhuận thu được là tối đa và mức lợi nhuận tối đa đó là bao nhiêu? 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 52
  53. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 53
  54. 5. QUY TẮC L’HOSPITAL Định lý 6. Quy tắc L’Hospital. Cho các hàm khả vi và trên một khoảng mở chứa (có, thể ngoại trừ tại ≠). Giả 0 sử một trong hai điều sau đây là đúng a) hoặc lim = lim = 0 b) → → . →lim =→ lim = ±∞ Thì khi đó →lim =→ lim miễn là giới hạn vế phải tồn tại (có thể bằng ). 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng ±∞ 54
  55. • Chú ý, nếu thay bằng , , hay thì quy → tắc trên vẫn → đúng. → → ∞ → −∞ Ví dụ 9. Tính các giới hạn ln ) lim → 1 − ln ) lim → sin ) lim →/ 1 − 2 cos ) lim → 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 55
  56. 3 − sin ) lim → 1 + − 1 ) lim → 2 1 + − − 2 ) lim → 1 ℎ) lim − → − 1 ln 1 ) lim sin → 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 56
  57. 6. PHƯƠNG PHÁP NEWTON • Trong nhiều trường hợp, ta không thể tính được nghiệm chính xác của phương trình . = 0 • Một phương pháp có thể tính gần đúng nghiệm phương trình được đề xuất bởi Newton. Phương pháp Newton 1. Chọn nghiệm xấp xỉ ban đầu . 2. Tính các xấp xỉ tiếp theo bằng công thức = − , ∀ ∈ ℕ 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 57
  58. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 58
  59. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 59
  60. • Tính gần đúng bằng cách giải phương trình 2 − 2 = 0 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 60
  61. • Tìm hoành độ giao điểm của đường và đường thẳng . = − = 1 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 61
  62. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 62
  63. 7. NGUYÊN HÀM Định nghĩa 6. Nguyên hàm - antiderivative Hàm số được gọi là nguyên hàm của trên khoảng nếu . = , ∀ ∈ Tìm một nguyên hàm cho các hàm số 1 2 + 2 cos Định lý 7. Nếu là một nguyên hàm của thì nguyên hàm tổng quát của có dạng với là hằng số. + 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 63
  64. Ví dụ 10 a) Tìm nguyên hàm của biết . = 3 1 = −1 b) Tìm nguyên hàm của . = c) Tìm nguyên hàm của . = d) Tìm nguyên hàm của . = sin e) Tìm nguyên hàm của . = f) Tìm nguyên hàm của . = 2 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 64
  65. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 65
  66. Bảng các nguyên hàm 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 66
  67. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 67
  68. • Từ các tính chất của đạo hàm, dễ dàng suy ra các tính chất sau đây của nguyên hàm. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 68
  69. Ví dụ 11. a) Tìm nguyên hàm của . 2 = + sin b) Tìm nguyên hàm của . = 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 69
  70. Tích phân bất định Định nghĩa 7. Tích phân bất định – indefinite integral. Tập hợp tất cả các nguyên hàm của được gọi là tích phân bất định và ký hiệu là 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 70
  71. Ví dụ 12. Tính các tích phân bất định. ) − 2 + 1 + ) 2 1 ) − 1 − ) 2 cos 2 − 3 sin 3 ) + 5 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 71