›

Bài giảng Đạo hàm và vi phân

ppt 47 trang huongle 9620
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đạo hàm và vi phân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_dao_ham_va_vi_phan.ppt

Nội dung text: Bài giảng Đạo hàm và vi phân

  1. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN.
  2. ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM Cho y = f(x) xác định trong (a, b)  x0, xét tỷ số fx()()()()() fxfx − fx + xfx − 0== 0 0 0 x x − x0 x Nếu tỷ số trên có giới hạn hữu hạn khi x → x0 hay x → 0 thì f có đạo hàm tại x0. Đặt fx()0 fx (0 )= lim xx→ 0 x ( →x 0)
  3. fx() tan = 0 f(x0) x x → x0 tan = fx ( ) x 0 x0 x f’(x0) là hệ số góc tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) tại tiếp điểm M(x0, f(x0))
  4. fx() Đạo hàm trái tại x : fx ( )= lim 0 0 − 0 − xx→ 0 x ( →x 0− ) fx() fx ( )= lim 0 Đạo hàm phải tại x : + 0 + 0 xx→ 0 x ( →x 0+ ) f có đạo hàm tại x0 f−+ ()() x00= f x
  5. Cách tính đạo hàm 1.Nếu f xác định bởi 1 biểu thức sơ cấp: dùng công thức đạo hàm sơ cấp và các quy tắc(tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp). 2.Nếu tại x0, biểu thức f ’ không xác định: tính bằng định nghĩa. 3.Nếu hàm số có phân chia biểu thức tại x0: tính bằng định nghĩa. 4.Nếu f(x) = u(x)v(x) hoặc f(x) là tích thương của nhiều hàm: tính (lnf)’
  6. Ví dụ: tính đạo hàm tại các điểm được chỉ ra xxln 1/fx ( )= 2 tại x = 1 f ( x )= 2xxln ln 2( x ln x ) =+2xxln ln 2(lnx 1) f (1)= ln2
  7. 2 /f ( x ) = x tại x = 0 xx,0 fx()= − xx,0 f( x )− f (0) x − 0 = xx− 0 1 −1 f ’(0) không tồn tại
  8. 2 1 xxsin , 0 3 /fx ( ) = x 0, x = 0 11 x 0 f ( x )=− 2 x sin cos xx x = 0 Tính bằng định nghĩa.
  9. 2 1 f( x )− f (0) x sin− 0 = x x − 0 x 1 = xsin ⎯⎯⎯→x→0 0 x =f (0) 0
  10. xx2,1 4 /fx ( ) = tại x = 1 2xx− 1, >1 f( x )− f (1) x2 −1 lim = lim − = 2 x→1 x −1 x→1− x −1 f( x )− f (1) 2x −− 1 1 lim = lim x→1+ x −1 x→1+ x −1 =f (1) 2
  11. Đạo hàm hàm ngược Cho y = f(x): (a, b)→(c, d) liên tục và tăng ngặt. Khi đó tồn tại hàm ngược f −1: (c, d) → (a, b) liên tục và tăng ngặt. −1 Nếu tồn tại f ’(x0) 0, xo (a, b) thì tại y0 = f(x0), f có đạo hàm và −1 1 ()()fy 0 = fx ()0 1 Ta thường viết: ()f −1 = f
  12. Đạo hàm các hàm lượng giác ngược 1.y = arcsinx, x (-1, 1) x = sin y, y − , 22 1 1 1 1 yx ()= = = = xy () cos y 1− sin2 y 1− x2 2.y = arctanx, x R x = tan y, 1 1 = = 1+ tan2 y 1+ x2
  13. Bảng công thức đạo hàm các hàm mới 1 (arcsin x) = 2 coshxx = sinh 1− x ( ) 1 (arccos x) =− (sinhxx) = cosh 2 1− x 1 tanh x = 1 ( ) 2 (arctan x) = cosh x 1+ x2 1 coth x =− 1 ( ) 2 (arccot) =− sinh x 1+ x2
  14. Đạo hàm hàm ẩn Hàm số y = f(x) xác định bởi phương trình F( x , y )= 0 ( ) gọi là hàm ẩn xác định bởi ( ) Cách tìm y’(x): lấy đạo hàm pt ( ) theo x, giải tìm y’ theo x và y.
  15. Ví dụ 1.Tìm y’(x) với y xác định từ pt : xy22+=1 ( ) Lấy đạo hàm pt ( ) theo x x 2x+= 2 y . y 0 y = − y So sánh với kết quả lấy đạo hàm từ các biểu thức −x yx= 1 − 2 y = 1− x2
  16. Ví dụ 2. Tìm y’(0) với y = y(x) xác định bởi 1+yx + .2y = 0 ( ) Lấy đạo hàm pt ( ) theo x 0 +y +2y +x.2y ln 2.y = 0 ( ) Từ ( ), với x = 0 y = -1 Thay vào ( ): y (0)+ 2−1 + 0 = 0 1 y (0) = − 2
  17. 3.Tìm đạo hàm tại x = 1của hàm ẩn y = y(x) xác định bởi pt: (x− 1) exy+ + xy = 0 ( ) Lấy đạo hàm ( ) hai theo x ex++ y+( x − 1)(1 + y ) e x y + y + xy = 0 ( ) Từ ( ), x = 1 y = 0, thay vào ( ) ey1 +0 + 0 + 1. (1) = 0 ye (1) = −
  18. Đạo hàm hàm cho theo tham số x= x() t Cho các hàm số : y= y() t Nếu : * x = x(t) có hàm ngược t = t(x) * x(t) và y(t) có đạo hàm, x’(t) ≠ 0 y ( x )= y ( t ). t ( x ) yt () yx ()= xt ()
  19. Ví dụ t Cho : x( t )=− t . e 1 Tính y’(x) tại x = -1 2 y() t=+ t t yt () 21t + yx ()= = xt () ett+ t. e x = -1 t.et – 1 = – 1 t = 0 y ( − 1) = 1
  20. ĐẠO HÀM CẤP CAO Cho f(x) có đạo hàm cấp 1 trong lân cận x0, nếu f’ có đạo hàm tại x0, đặt f ()() x= f x 0 ( ) xx= 0 Có thể viết: f ()() x= ( f x ) Tổng quát: đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) (nn ) (− 1) f()() x= f x
  21. Ví dụ 1 1.Tìm đạo hàm cấp 2 của f tại x = 1: fx( )= arctan x 11 11 1 fx ()= =− 2 22=− 2 x 1 xx1+ 1+ x 1+ x x2 1 2x fx ()=− 2 = 2 1+ x (1+ x2 ) 1 =f (1) 2
  22. 2.Tìm đạo hàm cấp 2 tại x = 1của hàm ẩn y = y(x) xác định bởi pt: y32+ x y − x +10 = (1) Lấy đạo hàm (1) theo x 3.yy2 +2xy +xy2 −=10(2) Lấy đạo hàm (2) theo x 2 2 6y .( y ) + 3 y y ++2(y xy )+2xy +=xy2 0 (3)
  23. 6y .( y )2 + 3 y2 y ++2(y xy ) +2xy +=xy2 0 (3) (1) x =1⎯⎯→ y(1)= 0⎯⎯→(2) y (1)= 1 Thay x = 1, y = 0, y’ = 1 vào (3) 0+ 0 + 2(0 + 1) + 2 +y (1) = 0 y (1) = − 4
  24. Đạo hàm cấp cao các hàm cơ bản ()n ()n (ax ) = ax (lna)n (ex ) = ex ()n ax + b =an ( − 1) ( −n + 1) ax + b −n ( ) ( ) ()n n 1 n a =−( 1)n ! ax+ b ()ax+ b n+1 an ln(axb+ )(n) =( − 1)n−1 (n − 1)! ()ax+ b n
  25. Đạo hàm cấp cao các hàm cơ bản (n) n sin(ax + b) =asin ax + b + n 2 ()n n cos(axb+ ) =a cos ax +b + n 2
  26. Công thức đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp cao (f g)()n = f()()nn g của tổng hiệu: Đạo hàm cấp cao n f. g()n = Ck f()() k g n− k của tích: ( )  n k =0 (công thức Leibnitz)
  27. Ví dụ 1.Tính đạo hàm cấp 7 tại x = 1. 23x − 5 1 1 1 fx()= =+ xx2 −−2 3xx+− 1 3 2 5 (−− 1)77 1 ( 1) fx(7)()=+ 33(xx+− 1)88 ( 2) 77 (7) 5 (−− 1) 1 ( 1) 1 5 f (1)= + = − + 1 3(1+− 1)8 3 (1 2) 8 3 2 8
  28. 2.Tính đạo hàm cấp 7 tại x = 1. f( x )=− ( x22 x ). e x 7 (7)k 2 ( k ) 2 x (7−k ) f()() x=− C7 x x( e ) k =0 02 (0)2xx(7) 12 (1)2 (7− 1) =C77()() x − x( e) + C x − x( e ) 7 2 (7) 2x (7− 7) + +C7 () x − x( e )
  29. 02 (0)2xx(7) 12 (1)2 (7− 1) =C77()() x − x( e) + C x − x( e ) 7 2 (7) 2x (7− 7) + +C7 () x − x( e ) =−1.(x2 x ).2 7 e 2x +−7.(2xe 1).262x 7.6 + 22 52 e x +0 2 fe(7)(1)= 28.2 6 . 2
  30. Đạo hàm cấp cao của hàm tham số x= x() t yt() Cho các hàm số : yx ()= y= y() t xt () yt() (yx ()) xt () y ()() x= ( y x ) = t = t x xt () xt () y ()()()() t x t− y t x t yx(n− 1) () yx ()= ()n ( ) xt ()3 yx()= t   xt ()
  31. Ví dụ Cho y(t) = t2 + 1, x(t) = t3 – t + 2, tính y”(t) y ( t ) 2 t yx ()== xt () 31t 2 − 2t (yx ()) 31t 2 − yx ()= t = t xt () 31t 2 − 2(3t2 −− 1) 6 t .2 t = (3t 23− 1) −−26t = (3t 23− 1)
  32. Cách 2: y(t) = t2 + 1, x(t) = t3 – t + 2 y ()()()() t x t− y t x t yx ()= xt ()3 2.(3t2 − 1) − 6 t .2 t − 2 − 6 t == (3tt2−− 1) 3 (3 2 1) 3
  33. SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN f khả vi tại xo nếu tồn tại một hằng số A sao cho y = f()(). x−= f x0 A() x − x0 + o() x− x0 hay f()().() x00+ x − f x = A x + o x Khi đó đại lượng: dy= df(). x0 = A x gọi là vi phân của f tại xo
  34. Ví dụ Cho f(x) = x2 , chứng minh f khả vi và tìm df(1) f( x )− f (1) = x2 − 1 =(xx − 1)( + 1) =(xx − 1)( − 1 + 2) =2(xx − 1) + ( − 1)2 df(1) o(x – 1)
  35. y M(,) x00 y dy = f () x0 x x dx
  36. Đạo hàm và vi phân f khả vi tại xo f có đạo hàm tại xo df( x00 )= f ( x ). x Cách viết thông thường: df( x00 )= f ( x ). dx Cách viết khác của đạo hàm: df() x 0 = fx () dx 0
  37. Ví dụ 1.Cho f(x) = 3x2 – x, tìm số gia f và vi phân df tại x = 1 với x =0.01 f(1) = f (1 + x ) − f (1) =3(1 + xx )22 − (1 + ) − (3.1 − 1) =5 xx + 3( )2 =5 0.01 + 3(0.01)2 = 0.0503
  38. df(1)= f (1). dx = f (1). x f ( x )=− 6 x 1 =f (1) 5 df (1)= (6.1 − 1) 0.01 = 0.0500
  39. 2.Tìm vi phân của f(x) = xex tại x = 0 df(0)= f (0). dx f ( x )=+ ( x 1) ex =f (0) 1 df(0) = 1. dx = dx 2.Tìm vi phân của f(x) = xsinx df( x )= f ( x ). dx =+(sinx x cos x) dx
  40. Các phép tính vi phân d(.), c f== cdf c const d( f g) = df dg d( f. g) =+ gdf fdg f gdf− fdg d = g g 2
  41. Vi phân hàm hợp Nếu y = f(x) khả vi theo x (biến độc lập): dy= f () x dx Nếu x = x(t) , y = f(x) khả vi, x = x(t) khả vi y = f(x(t)) khả vi theo t (biến độc lập): y () t== f (()) x t f ().() x x t dy = yd ()tt= f ( x ). x ( t ) dt = f () x dx Dù x là biến độc lập hay hàm số, dạng vi phân của y theo x không đổi.
  42. Ví dụ áp dụng Cho y = f(x) = sin(x2), 1.Tính dy theo dx 2. Với x = x(t) = arctan(t), tính dy theo dt tại t = 1 1. dy== y ( x ) dx 2 x cos( x2 ) dx 2. y== sin( x22 ) sin(arctan t ) dy= y () t dt = (arctan22t) cos( arctan t) dt 1 = 2arctant cos( arctan2 t) dt 1+ t 2
  43. Cách khác: dùng vi phân hàm hợp dy== y ( x ) dx 2 x cos( x2 ) dx (dx= x () t dt ) = 2x cos( x2 ).( arctan t) dt 1 =2x cos( x2 ) dt 1+ t 2 Tại t = 1, x = /4 2 =dycos dt 4 16
  44. VI PHÂN CẤP CAO 1.Nếu x là biến độc lập: dx = x : là hằng số dy2 = d( dy ) = d( y dx) = (y dx) dx = y dx2 dn y= y() n dx n 2.Nếu x = x(t): dx = x’dt : là hàm số dy2 ==d( dy) d (y dx) =+d( y ). dx y d( dx) d2 y=+ y dx 2 y d 2 x
  45. Ví dụ Cho y = sin(x) 1.Tính d2y theo dx. 2.Nếu x = ch(t), tính d2y theo dt. 1. d22 y= y ( x ) dx =−sin xdx2 2. yt= sin( cosh ) d22 y= y () t dt 22 =− cosht cos( cosh t) sinh t sin( cosh t) dt
  46. 2. d2 y=+ y ( x ) dx 2 y ( x ) d 2 x y ( x )= cos x , y ( x )=− sin x dx=sinh tdt dx2 = sinh 2 tdt 2 d22 x= cosh( t ) dt d2 y = −sin x .sinh 2 tdt 2 + cos x .cosh tdt 2 =( −sinx .sinh22 t + cos x .cosh t) dt
  47. Tổng kết. 1.Tính đạo hàm cho 3 loại hàm số (y = f(x), hàm ẩn, tham số). 2.Nếu x là biến độc lập: tính vi phân là tính đạo hàm 3. Nếu x = x(t) (là hàm số): 1.Vi phân cấp 1 : dy = y’(x)dx, sau đó khai triển dx theo dt 2.Vi phân cấp 2: d2y = y”dx2 + y’d2x cuối cùng phải đưa về dt2(chỉ tính đến cấp 2)