Bài giảng Đạo hàm và vi phân - Huỳnh Văn Kha

Nội dung text: Bài giảng Đạo hàm và vi phân - Huỳnh Văn Kha

1. Chương 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Huỳnh Văn Kha Khoa Toán – Thống Kê Toán A1 - MS: 501001 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 1 / 29
2. Nội dung 1 Đạo hàm và các tích chất Đạo hàm, đạo hàm một phía và tính chất Đạo hàm hàm ẩn, hàm cho bởi pt tham số 2 Vi phân và tính gần đúng Vi phân và tính gần đúng 3 Quy tắc L’Hospital 4 Định lý giá trị trung bình và ks hàm số Định lý giá trị trung bình Đơn điệu, cực trị, điểm uốn 5 Công thức Taylor, Mac Laurin Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 1 / 29
3. Đạo hàm Định nghĩa Cho f :(a, b) → R và x0 ∈ (a, b), giới hạn f (x + ∆x) − f (x ) lim 0 0 (nếu có) được gọi là đạo hàm ∆x→0 ∆x 0 của f tại x0. Ký hiệu:f (x0). 0 f (x0 + ∆x) − f (x0) f+(x0) = lim được gọi là đạo ∆x→0+ ∆x hàm phải của f tại x0. 0 f (x0 + ∆x) − f (x0) f−(x0) = lim được gọi là đạo ∆x→0− ∆x hàm trái của f tại x0. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 2 / 29
4. 0 Nếu f có đạo hàm tại mọi x0 ∈ (a, b) thì f là một hàm số f 0 :(a, b) → R x 7→ f 0(x) Nếu hàm số này có đạo hàm tại x0 ∈ (a, b) thì ta nói f có đạo hàm cấp hai tại x0. Ký hiệu: 00 0 0 f (x0) = (f ) (x0) Nếu f có đạo hàm cấp n là f (n) thì đạo hàm cấp n + 1 được định nghĩa là: f (n+1)(x) = (f (n))0(x) Các đạo hàm của y = f (x) còn được ký hiệu: df dy d2f d2y f 0(x) = (x) = , f 00(x) = (x) = , ··· dx dx dx 2 dx 2 Nếu f có đạo hàm tại x thì f liên tục tại x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 3 / 29
5. Các tính chất của đạo hàm Nếu f , g có đạo hàm tại x ∈ (a, b) thì: 1. (f + g)0(x) = f 0(x) + g 0(x) 2. (αf )0(x) = αf 0(x), với α ∈ R 3. (fg)0(x) = f 0(x)g(x) + f (x)g 0(x) f 0 f 0(x)g(x) − f (x)g 0(x) 4. (x) = g g 2(x) 5. (g ◦ f )0(x) = g 0(f (x))f 0(x) 6. Nếu f đơn ánh và f 0(x) 6= 0 thì f −1 cũng có đạo hàm tại y = f (x) và: 1 1 (f −1)0(y) = = f 0(x) f 0(f −1(y)) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 4 / 29
6. Đạo hàm các hàm sơ cấp f (x) f 0(x) f (x) f 0(x) 1 ex ex ln x x 1 ax ax ln a log x a x ln a x α αx α−1 1 sin x cos x tan x = 1 + tan2 x cos2 x −1 cos x − sin x cot x = −(1 + cot2 x) sin2 x 1 −1 arcsin x √ arccos x √ 1 − x 2 1 − x 2 1 arctan x 1 + x 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 5 / 29
7. Ví dụ ex 1. f (x) = . Tính f 0(x). 2 + sin(x) 1 2. f (x) = x arctan . Tính f 0(x). x 1 3. f (x) = . Tính f 0(x), f 00(x), f 000(x), f (n)(x). 1 + x 1 4. f (x) = . Tính f 0(x), f 00(x), f 000(x), f (n)(x), 1 − x 2 1 và f (20) . 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 6 / 29
8. Đạo hàm hàm ẩn Để tính đạo hàm hàm ẩn y = y(x) cho bởi pt g(x, y) = 0, ta xem y là hàm theo x lấy đạo hàm 2 vế rồi suy ra y 0(x). Ví dụ. 1. x 3 + y 3 = 12xy. Tính y 0(x). 2. sin(xy) + x 2 = y + cos(πx). Tính y 0(0). 3. p3 x 2 + y 2 = x sin(y) + 4. Tính y 0(x). Biết y(0) < 0, tính y 0(0). 4. x 4 + y 4 = 16. Tính y 00(x). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 7 / 29
9. Đạo hàm hàm cho bởi pt tham số  x = x(t) Nếu hàm số cho bởi pt tham số . y = y(t) dy dy dx  Thì ta có: y 0(x) = = dx dt dt Ví dụ. Cho y là hàm theo x xác định bởi ptts:  x = et dy dy d 2y 1. . Tính , (e), (e). y = t + ln t dx dx dx 2 ( x = arctan t dy dy d 2y 2. t . Tính , (0), (0) y = dx dx dx 2 1 + t2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 8 / 29
10. Khả vi – Vi phân Hàm số y = f (x) được gọi là khả vi tại x0 nếu số gia hàm số tại điểm x0 có thể viết dưới dạng: ∆f = f (x0 + ∆x) − f (x0) = A∆x + o(∆x). Trong đó A là hằng số và o(∆x) là một vô cùng bé so với ∆x khi ∆x → 0. Khi đó đại lượng A∆x được gọi là vi phân của f tại x0 và được ký hiệu là df hay dy. f khả vi tại x khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại x. Và khi đó: df = f 0(x)dx Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 9 / 29
11. Ví dụ: √ 1. Tìm df , biết f (x) = e x . 2. Cho f (x) = cos(x x ). Tính df (1). Vi phân cấp 2 của f là: d 2f = f 00(x)dx 2 Tương tự, vi phân cấp n của f là: d nf = f (n)(x)dx n Ví dụ: √ 3. Tìm d 2y, biết y = arcsin x. √ 4. Cho y = 2x + 1. Tính d ny và d ny(0). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 10 / 29
12. Tính gần đúng (xấp xỉ tuyến tính) Khi f khả vi tại x0 thì: 0 f (x0 + ∆x) − f (x0) = f (x0)∆x + o(∆x). Cho nên ta có thể xấp xỉ: 0 f (x0 + ∆x) ≈ f (x0) + f (x0)∆x Vế phải được gọi là xấp xỉ tuyến tính của f tại x0. Ký 0 hiệu: L(x) = f (x0) + f (x0)(x − x0). Ví dụ: Dùng vi phân tính xấp xỉ các giá trị sau √ 1. 3 28. 2. tan 44o. 3. arctan(0.97). 4. p(0.1)2 + 4e0.1. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 11 / 29
13. Quy tắc L’Hospital Quy tắc L’Hospital Giả sử các hàm f , g khả vi và g 0(x) 6= 0 trên một khoảng mở chứa a (có thể ngoại trừ tại a). Và giả sử một trong hai điều sau là đúng: lim f (x) = lim g(x) = 0, hoặc x→a x→a lim f (x) = lim g(x) = ±∞. x→a x→a f (x) f 0(x) Thì khi đó: lim = lim , miễn là giới hạn vế x→a g(x) x→a g 0(x) phải tồn tại (hoặc bằng ±∞). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 12 / 29
14. Chú ý: Nếu thay “x → a” bằng x → a+, x → a−, x → +∞, hoặc x → −∞ thì vẫn đúng. Ví dụ: ln x 1. lim = (a) 1 (b) −1 (c) 0 (d) +∞ x→1 1 − x ex 2. lim = (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) 1 x→+∞ x 2 sin x 3. lim = x→π− 1 − cos x (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) không ∃ 4. lim x e1/x − 1
     = x→+∞ (a) 0 (b) 1 (c) e (d) e2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 13 / 29
15.  x 1  5. lim − = x→1 x − 1 ln x (a) 0 (b) 1/2 (c) 1 (d) 2 6. lim (1 + sin 2x)cot x = x→0+ (a) 0 (b) 1 (c) e (d) e2 7. lim (ex + x)1/x = x→+∞ (a) 0 (b) 1 (c) e (d) e2 2x − 32x+1 8. lim = x→+∞ 2x + 5 (a) 1 (b) e−3 (c) e5 (d) e−8 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 14 / 29
16. cos mx − cos nx 9. lim = x→0 x 2 (a) m (b) n − m (c) m2 − n2 (d) (n2 − m2)/2 cos x ln(x − a) 10. lim = x→a+ ln (ex − ea) (a) cos a (b) a cos a (c) e sin a (d) a sin a √ 3 8 + 5x − 2 11. lim √ √ x→0 1 + x − 1 − x ex − e−x − 2x 12. lim x→0 x − sin x ln x 13. lim x→0+ 1 + 2 ln sin x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 15 / 29
17. πx  ln(1 − x) + tan 14. lim 2 x→1− cot(πx) 15. lim [(π − 2 arctan x) ln x] x→+∞ 2 tan x 1/x 16. lim x→0 x  πx 1/x 17. lim tan x→+∞ 2x + 1 2  ax − x ln a 1/x 18. lim x→0 bx − x ln b Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 16 / 29
18. Định lý giá trị trung bình Định lý Fermat Nếu f đạt cực trị tại c, và nếu f 0(c) tồn tại thì f 0(c) = 0. Định lý Rolle Cho f là hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b). Khi đó nếu f (a) = f (b) thì sẽ có c ∈ (a, b) sao cho: f 0(c) = 0. Tổng quát, ta có định lý giá trị trung bình sau đây. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 17 / 29
19. Định lý GTTB (Lagrange) Cho f là hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b). f (b) − f (a) Khi đó có c ∈ (a, b) sao cho: f 0(c) = . b − a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 18 / 29
20. Đơn điệu và cực trị 1. Nếu f 0(x) > 0 trên [a, b] thì f tăng trên [a, b]. 2. Nếu f 0(x) < 0 trên [a, b] thì f giảm trên [a, b]. 3. Nếu f 0(x) = 0 trên [a, b] thì f là hằng số trên [a, b]. Giả sử f 0(c) = 0, ta có: 1. Nếu f 0 đổi dấu từ dương sang âm tại c thì f đạt cực đại (địa phương) tại c. 2. Nếu f 0 đổi dấu từ âm sang dương tại c thì f đạt cực tiểu (địa phương) tại c. 3. Nếu f 0 không đổi dấu tại c thì f không đạt cực trị tại c. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 19 / 29
21. Ngoài ra, có thể xét cực trị bằng đạo hàm cấp 2. 1. Nếu f 0(c) = 0 và f 00(c) > 0 thì f đạt cực tiểu tại c. 2. Nếu f 0(c) = 0 và f 00(c) < 0 thì f đạt cực đại tại c. Ví dụ: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số f (x) = 3x 4 − 4x 3 − 12x 2 + 5. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 20 / 29
22. Tiếp tuyến Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm x0 có 0 phương trình là: y = f (x0)(x − x0) + f (x0). Ví dụ: 1. Viết phương trình tiếp của đồ thị hàm số 4 3 2 f (x) = 3x − 4x − 12x + 5 tại điểm x0 = 1. 2. Viết phương trình tiếp của đồ thị hàm số f (x) = x ln x tại điểm x0 = e. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 21 / 29
23. Lồi, lõm Nếu đồ thị của f (x) nằm trên tất cả các tiếp tuyến của nó trên khoảng I thì ta nói f lồi trên I . Nếu đồ thị của f (x) nằm dưới tất cả các tiếp tuyến của nó trên khoảng I thì ta nói f lõm trên I . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 22 / 29
24. Nếu f 00(x) > 0 trên I thì f lồi trên I . Nếu f 00(x) < 0 trên I thì f lõm trên I . Điểm P được gọi là điểm uốn của đường cong y = f (x) nếu f liên tục tại đó và đường cong thay đổi từ lồi sang lõm hoặc từ lõm sang lồi khi đi qua P. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 23 / 29
25. Ví dụ: 1. Tìm các khoảng đơn điệu, lồi, lõm, cực trị, điểm uốn của các hàm số f (x) = x 4 − 4x 3. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 24 / 29
26. 2. Tìm các khoảng đơn điệu, lồi, lõm, cực trị, điểm uốn của các hàm số f (x) = e1/x . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 25 / 29
27. 3. Tìm các khoảng đơn điệu, lồi, lõm, cực trị, điểm uốn của các hàm số f (x) = p3 x 2(6 − x). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 26 / 29
28. Khai triển Taylor Công thức Taylor Cho f :(a, b) → R là có đạo hàm đến cấp n trên (a, b) và x0 ∈ (a, b). Khi đó, với mọi x ∈ (a, b), ta có: f 0(x ) f 00(x ) f (x) = f (x ) + 0 (x − x ) + 0 (x − x )2 + 0 1! 0 2! 0 f (n)(x ) ··· + 0 (x − x )n + R (x) n! 0 n n (k) X f (x0) = (x − x )k + R (x) k! 0 n k=0 n
    Trong đó Rn(x) = o (x − x0) là phần dư dạng Peano. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 27 / 29
29. Khai triển Mac Laurin Khai triển Taylor với x0 = 0 gọi là khai triển Mac Laurin n X f (k)(0) f (x) = x k + o(x n). k! k=0 Ví dụ: √ 1. Viết kt Taylor tới cấp 4 của: f (x) = 3 2x − 1, tại x0 = 1. 2. Viết kt Mac Laurin tới cấp 3 của: f (x) = arcsin x. 3. Viết kt Mac Laurin tới cấp 4 của: f (x) = e−x 2 . 4. Viết khai triển Mac Laurin tới bậc n (tổng quát) của các hàm số sau: ex , sin x, cos x, arctan x, ln(1 + x). Chú ý: Khai triển Taylor tại x = x0 là khai triển theo lũy thừa của x − x0. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 28 / 29
30. HẾT Chương 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 29 / 29