Bài giảng Dãy số thực - Huỳnh Văn Kha

Nội dung text: Bài giảng Dãy số thực - Huỳnh Văn Kha

1. Chương 2 DÃY SỐ THỰC Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán T1 - MS: C01016 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 1 / 19
2. Nội dung 1 Dãy số hội tụ và các tính chất Dãy số – Giới hạn – Một số tính chất Tiêu chuẩn Weierstrass – Số e Các giới hạn cơ bản – Tính giới hạn 2 Dãy con và Định lý Bolzano - Weierstrass 3 Dãy Cauchy Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 1 / 19
3. Dãy số Một dãy số có thể được xem là một dãy (vô hạn) các con số được được xếp theo một thứ tự nào đó a1, a2, a3, a4, , an, Với mỗi số tự nhiên n ta có tương ứng duy nhất một số thực an cho nên có thể định nghĩa dãy số là một ánh xạ từ N vào R. Dãy số {a1, a2, a3, } được ký hiệu là ∞ {an} hoặc {an}n=1 Chú ý, dãy số có thể được đánh số từ 0 hoặc từ bất kỳ số tự nhiên nào khác. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 2 / 19
4. Dãy số thường được cho dưới dạng công thức cho an. Ví dụ 1.  n ∞ n 1. Dãy có an = n + 1 n=1 n + 1 1 2 3 4 n  , , , , , , 2 3 4 5 n + 1 √ ∞ √ n n o n 2. Dãy (−1) n − 3 có an = (−1) n − 3 n=3 n √ √ √ o 0, 1, − 2, 3, , (−1)n n − 3, ∞ 3. Dãy {cos(nπ/3)}n=0 có an = cos(nπ/3) {1, 1/2, −1/2, −1, , cos(nπ/3), } Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 3 / 19
5. Tuy nhiên nhiều dãy số không thể cho dưới dạng công thức đơn giản như vậy. Ví dụ 2 1. Dãy Fibonacci {an} được định nghĩa bằng quy nạp a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + an−2, n ≥ 3 2. Gọi an là ký tự thứ n trong phần thập phân của số π thì các phần tử đầu tiên của dãy {an} là {1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 4, } 3. Gọi pn là số dân thế giới vào Ngày 31 Tháng 12 Năm n. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 4 / 19
6. Dãy số hội tụ n Xét dãy số a = n n + 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 5 / 19
7. Ta thấy an = n/(n + 1) tiến về 1 khi n đủ lớn. Cụ thể ta thấy khoảng cách giữa 1 và an là n 1 1 − = . n + 1 n + 1 Khoảng cách này có thể nhỏ tùy ý miễn n đủ lớn. Trong trường hợp này, ta nói dãy {n/(n + 1)} có giới hạn là 1 và viết n lim = 1. n→∞ n + 1 Tổng quát, dãy {an} được nói là có giới hạn bằng L nếu các an có thể gần L tùy ý khi n đủ lớn. Ký hiệu lim an = L hoặc lim an = L. n→∞ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 6 / 19
8. Một cách chính xác, ta có định nghĩa Định nghĩa Dãy số an được nói là có giới hạn bằng L nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại số tự nhiên N sao cho |an − L| < ε, ∀n ≥ N. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 7 / 19
9. Tương tự, dãy số an được nói là có giới hạn bằng ∞ (tương ứng −∞) nếu với mọi số thực M đều tồn tại số tự nhiên N sao cho an > M, ∀n ≥ N (tương ứng an < M, ∀n ≥ N). Khi đó ta cũng ký hiệu lim an = ∞ (tương ứng lim an = −∞) và nói dãy {an} có giới hạn bằng ∞ (hoặc −∞). Nếu lim an = L ∈ R thì ta nói {an} là dãy hội tụ. Ngược lại, nếu lim an = ±∞ hoặc lim an không tồn tại thì ta nói {an} là dãy phân kỳ. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 8 / 19
10. Một số tính chất Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương, căn, lũy thừa, . . . bằng tổng, hiệu, tích, thương, căn, lũy thừa, . . . của giới hạn (miễn là tính được). Ví dụ nếu lim an và lim bn đều tồn tại thì: lim(an ± bn) = lim an ± lim bn lim(anbn) = (lim an)(lim bn) a lim a lim n = n (với b 6= 0, lim b 6= 0) b lim b n n √n √ n lim an = lim an (với an ≥ 0, lim an ≥ 0) r r lim(an) = (lim an) . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 9 / 19
11. Tiêu chuẩn giới hạn kẹp Nếu an ≤ bn ≤ cn, ∀n ≥ n0 và lim an = lim cn = L thì lim bn = L. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 10 / 19
12. Dãy đơn điệu - Dãy bị chận Dãy {an} gọi là dãy tăng nếu: an ≤ an+1, ∀n ∈ N. Dãy {an} gọi là dãy giảm nếu: an ≥ an+1, ∀n ∈ N. Nếu {an} là dãy tăng hoặc giảm thì ta nói {an} đơn điệu. Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau. n + 1 √ a = n2, a = , a = (−1)n n + 1 n n n n {an} gọi là bị chận trên nếu: ∃M ∈ R, an ≤ M, ∀n ∈ N. {an} gọi là bị chận dưới nếu: ∃N ∈ R, an ≥ N, ∀n ∈ N. Nếu {an} bị chận trên và dưới thì ta nói nó bị chận. Ví dụ 4. Xét tính bị chận của các dãy số trên. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 11 / 19
13. Tiêu chuẩn Weierstrass – Số e Tiêu chuẩn Weierstrass Một dãy số tăng và bị chận trên thì hội tụ. Một dãy số giảm và bị chận dưới thì hội tụ.  1n Xét dãy a = 1 + . Người ta chứng minh được nó n n là dãy tăng và bị chận trên. Suy ra nó hội tụ.  1n Ta định nghĩa e = lim 1 + n→+∞ n e là số vô tỉ và e ≈ 2.7182818284590 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 12 / 19
14. Các giới hạn cơ bản 1 1. Nếu a > 0 thì lim = 0, lim na = +∞. n→∞ na n→∞ 2. Nếu |a| 1 thì lim an = +∞. n→∞ nα 3. Nếu a > 1 và α ∈ R thì: lim = 0. n→∞ an √ 4. Nếu a > 0 thì lim n a = 1 n√→∞ Đồng thời lim n n = 1. n→∞  x n 5. Giới hạn liên quan số e: lim 1 + = ex n→+∞ n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 13 / 19
15. Tính giới hạn Biến đổi đưa về giới hạn cơ bản, áp dụng các tính chất, sử dụng giới hạn kẹp, . . . . Ví dụ 5. Tính các giới hạn các dãy số sau. 4n2 + 1 1. lim 2 n→∞ 3√n + 2 2. lim n2 + 1 − n
    n→∞  √ √  3. lim p2n + n − 2n + 1 n→∞ √ n n 4. lim √ √ n→∞ n n2 + n n + 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 14 / 19
16. 3 · 5n − 2n 5. lim n→∞ 4n + 2 · 5n n2n + 1 6. lim n→∞ 3n + n2 2n − 1n 7. lim n→∞ 2n  n 2n 8. lim n→∞ n + 1 √ n sin n 9. lim n→∞ n2 + n − 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 15 / 19
17. Dãy con Định nghĩa Cho dãy số (an). Nếu: n1 < n2 < n3 < ··· < nk < . . . là dãy tăng (ngặt) các số tự nhiên thì dãy bk = ank gọi là dãy con của dãy (an) Ví dụ: Các dãy a1, a3, a5, a7, a9, , a2k−1, a1, a2, a3, a5, a8, (với nk+2 = nk+1 + nk ) là các dãy con của dãy an. Đặt biệt, (an) là dãy con của chính nó. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 16 / 19
18. Định lý Dãy số hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều hội tụ và có chung một giới hạn. Suy ra nếu dãy {an} có một dãy con không hội tụ hoặc có hai dãy con hội tụ về hai giới hạn khác nhau thì {an} không hội tụ. Ngoài ra, ta còn có tính chất sau Mọi dãy đều có ít nhất một dãy con đơn điệu Định lý Bolzano-Weierstrass Mọi dãy bị chặn đều có ít nhất một dãy con hội tụ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 17 / 19
19. Dãy Cauchy Định nghĩa Dãy xn gọi là dãy Cauchy nếu: ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀m, n ≥ n0 : |xm − xn| < ε Có thể kiểm chứng dễ dàng rằng mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy. Ngoài ra, do tính đầy đủ của R nên ta có chiều ngược lại. Tức là: Định lý Dãy hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 18 / 19
20. Bài tập. Tính các giới hạn các dãy số sau. 2n + n3 √ √  1. lim 2. lim 3n2 + n − n 3 n→∞ 1 + 2n3 n→∞  2 2n n − 3n+2 3. lim 1 + 4. lim n→∞ 3n n→∞ 2n + 3n √ n! + n + 1 n n + 1 5. lim 6. lim √ n→∞ (n + 1)! + 2 n→∞ 3n n + 2 3n − 1n  n n 7. lim 8. lim n→∞ 3n + 1 n→∞ 2n + 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 19 / 19