›
›

Bài giảng Dãy số và chuỗi

pdf 76 trang huongle 10310
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Dãy số và chuỗi", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_day_so_va_chuoi.pdf

Nội dung text: Bài giảng Dãy số và chuỗi

  1. Chương 3 DÃY SỐ VÀ CHUỖI ThS. Huỳnh Văn Kha
  2. TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Dãy số và sự hội tụ. 2. Chuỗi số. 3. Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số. 4. Chuỗi lũy thừa. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 2
  3. 1. DÃY SỐ VÀ SỰ HỘI TỤ • Dãy số (sequence) là danh sách các con số được sắp theo một thứ tự nào đó 1, 2, 3, , 푛, • Ví dụ, dãy 2,4,6,8, , 2푛, có phần tử thứ nhất là 1 = 2, phần tử thứ hai là 2 = 4, phần tử thứ 푛 là 푛 = 2푛, • Có thể coi dãy số như một hàm số, biến 1 thành 1, biến 2 thành 2, biến 푛 thành 푛, • Dãy số được mô tả bằng công thức 푛 = 푛 . 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 3
  4. Ví dụ dãy số • Dãy số 푛 = 푛 có các phần tử là 푛 = 1, 2, 3, 4, , 푛, 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 4
  5. 1 • Dãy số = có các phần tử là 푛 푛 1 1 1 1 = 1, , , , , , 푛 2 3 4 푛 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 5
  6. −1 푛+1 • Dãy số = có các phần tử là 푛 푛 1 1 1 −1 푛+1 = 1, − , , − , , , 푛 2 3 4 푛 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 6
  7. Dãy số hội tụ • Nếu các phần tử trong dãy số tiến về một giá trị thực nào đó khi 푛 lớn, thì ta nói dãy số là hội tụ (converge). 1 • Các phần tử của dãy = tiến về 0 khi 푛 lớn. 푛 푛 푛−1 • Các phần tử của dãy = tiến về 1 khi 푛 lớn. 푛 푛 • Nếu các phần tử trong dãy số không tiến về giá trị thực nào cả, hoặc chúng tiến ra vô cùng, thì ta nói dãy số là phân kỳ (diverge). • Các phần tử của dãy số 푛 = 푛 có thể lớn tùy ý khi 푛 đủ lớn, nên dãy số này phân kỳ. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 7
  8. 푛+1 • Các phần tử của dãy số 푛 = −1 nhận giá trị xen kẽ giữa −1 và 1 nên nó không hội tụ về con số thực nào cả. Dãy này phân kỳ. Định nghĩa 1. Dãy số hội tụ Dãy số 푛 được nói là hội tụ (converge) về 퐿 nếu ∀휀 > 0, ∃ ∈ ℕ, ∀푛 > , 푛 − 퐿 < 휀 Nếu không số 퐿 nào như vậy, ta nói dãy 푛 phân kỳ (diverge). Nếu 푛 hội tụ về 퐿 ta viết lim 푛 = 퐿 hay 푛 → 퐿. Và 푛→∞ khi đó ta nói 퐿 là giới hạn (limit) của dãy số 푛 . 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 8
  9. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 9
  10. Một số tính chất 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 10
  11. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 11
  12. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 12
  13. Một số giới hạn cơ bản 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 13
  14. Ví dụ 1. Tính các giới hạn dãy số sau đây. 2 ln 푛 푛 1. lim 2. lim 푛2 푛→∞ 푛 푛→∞ 푛 1 3. lim 푛 3푛 4. lim − 푛→∞ 푛→∞ 2 푛 푛 − 2 100푛 5. lim 6. lim 푛→∞ 푛 푛→∞ 푛! 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 14
  15. 2. CHUỖI SỐ • Chuỗi số (series) là tổng tất cả con số trong một dãy số, tổng đó có dạng 1 + 2 + 3 + ⋯ + 푛 + ⋯ • Tổng vô hạn các con số là gì? Cách tính nó? • Để tính tổng vô hạn các con số, ta tính tổng riêng phần (partial sum) thứ 푛 푠푛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 푛 và sau đó cho 푛 → ∞. • Ví dụ, tính tổng của chuỗi số 1 1 1 1 1 + + + + ⋯ + + ⋯ 2 4 8 2푛−1 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 15
  16. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 16
  17. Sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số Định nghĩa 2. Chuỗi số hội tụ, phân kỳ. Cho chuỗi số 1 + 2 + 3 + ⋯ + 푛 + ⋯ Dãy 푠푛 được định nghĩa bởi 푠1 = 1 푠2 = 1 + 2 푛 푠푛 = 1 + 2 + ⋯ + 푛 = =1 được gọi là dãy tổng riêng phần (sequence of partial sums) của chuỗi số. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 17
  18. Định nghĩa 2 (tt). Chuỗi số hội tụ, phân kỳ. Nếu dãy tổng riêng phần nói trên hội tụ về 퐿 thì ta nói chuỗi số là hội tụ và có tổng bằng 퐿, ta viết ∞ 1 + 2 + ⋯ + 푛 + ⋯ = 푛 = 퐿 푛=1 Nếu dãy tổng riêng phần không hội tụ thì ta nói chuỗi số là phân kỳ. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 18
  19. Chuỗi hình học • Chuỗi hình học (geometric series) là chuỗi có dạng ∞ ∞ + + 2 + ⋯ + 푛−1 + ⋯ = 푛−1 ≡ 푛 푛=1 푛=0 trong đó và là các số thực cho trước ( ≠ 0). • Các chuỗi sau là chuỗi hình học ∞ 1 1 1 1 1 + + + ⋯ + + ⋯ = 2 4 2푛−1 2푛−1 푛=1 푛−1 ∞ 푛 2 2 1 1 2 − + − ⋯ + 2 − + ⋯ = 2 − 3 9 3 3 푛=0 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 19
  20. Định lý 1. Sự hội tụ của chuỗi hình học. Xét chuỗi hình học ∞ ∞ + + 2 + ⋯ + 푛−1 + ⋯ = 푛−1 ≡ 푛 푛=1 푛=0 Nếu < 1 thì chuỗi hình học hội tụ và ∞ ∞ 푛 = 푛−1 = , < 1 1 − 푛=0 푛=1 Nếu ≥ 1 thì chuỗi hình học phân kỳ. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 20
  21. Ví dụ 2. 1. Các chuỗi hình học sau có hội tụ không? Nếu có hãy tính tổng của chúng. ∞ ∞ 1 5 −1 푛 ) ) 3푛+1 4푛 푛=1 푛=0 2. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số ) 5.232323 ) 0.999999 . 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 21
  22. Một số tính chất • Các chuỗi số sau có hội tụ không? ∞ ∞ 푛 + 1 1 푛 푛=1 푛=1 • Nếu chuỗi 푛 hội tụ thì 푛 → 0. • Nhưng ngược lại không đúng, có những chuỗi phân kỳ nhưng dãy số tương ứng hội tụ về 0. Kiểm tra chuỗi số phân kỳ dựa vào dãy Nếu dãy 푛 không có giới hạn hoặc lim 푛 ≠ 0 thì 푛→∞ chuỗi 푛 phân kỳ. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 22
  23. Ví dụ 3. Các chuỗi số sau hội tụ hay phân kỳ? ∞ ∞ −푛 1. 푛2 2. 2푛 + 5 푛=1 푛=1 ∞ ∞ 1 3. −1 푛+1 4. 푛 푛=1 푛=1 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 23
  24. Ví dụ 4. Tính tổng các chuỗi số sau đây ∞ ∞ 3푛−1 − 1 4 − 2푛 1. 2. 6푛 3푛+1 푛=1 푛=0 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 24
  25. Chú ý ∞ ∞ 푛 = 1 + 2 + ⋯ + −1 + 푛 푛=1 푛= ∞ ∞ Nên nếu 푛=1 푛 hội tụ thì 푛= 푛 cũng hội tụ với mọi ≥ 1 và ngược lại. Ví dụ 5. Tính tổng chuỗi số ∞ ∞ 1 2 + 3푛 1. 2. 5푛 7푛+1 푛=4 푛=2 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 25
  26. 3. CÁC TIÊU CHUẨN HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ Tiêu chuẩn tích phân (integral test). Cho 푛 là dãy số dương (nghĩa là 푛 > 0, ∀푛). Giả sử 푛 = 푛 với là hàm số liên tục, dương, giảm với ∞ mọi ≥ ( là số nguyên dương). Thì chuỗi 푛= 푛 ∞ và tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 26
  27. 1 Chuỗi ( – series) 푛 Ví dụ 6. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số ∞ ∞ ∞ 1 1 1 1. 2. 3. 푛 1 + 푛2 푛 ln2 푛 푛=1 푛=0 푛=3 Ví dụ 7. Với giá trị nào của thì chuỗi sau hội tụ? ∞ 1 푛 푛=1 풑 – series 1 Chuỗi ∞ hội tụ khi > 1 và phân kỳ khi ≤ 1. 푛=1 푛 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 27
  28. Tiêu chuẩn so sánh 1 Tiêu chuẩn so sánh 1 (comparison test) Cho các chuỗi số không âm 푛, 푛, 푛. Giả sử có số nguyên dương sao cho 푛 ≤ 푛 ≤ 푛, ∀푛 > Nếu 푛 hội tụ thì 푛 hội tụ. Nếu 푛 phân kỳ thì 푛 phân kỳ. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 28
  29. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 29
  30. Ví dụ 8. Xét sự hội tụ của các chuỗi số. ∞ ∞ 5 1 1. 2. 5푛 − 1 푛3 + 1 푛=1 푛=1 ∞ ∞ 1 ln 푛 3. 4. 2푛 + 푛 푛 푛=0 푛=1 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 30
  31. Tiêu chuẩn so sánh 2 Tiêu chuẩn so sánh 2 (limit comparison test) Giả sử 푛 ≥ 0, 푛 > 0, ∀푛 ≥ (với là số nguyên dương). 푛 1. Nếu lim = ∈ 0, ∞ thì chuỗi 푛 và chuỗi 푛→∞ 푛 푛 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. 푛 2. Nếu lim = 0 và 푛 hội tụ thì 푛 hội tụ. 푛→∞ 푛 푛 3. Nếu lim = ∞ và 푛 phân kỳ thì 푛 phân kỳ. 푛→∞ 푛 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 31
  32. Ví dụ 9. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây. ∞ ∞ 2푛 + 1 2푛 − 1 1. 2. 푛 + 1 2 3푛 + 1 푛=1 푛=1 ∞ ∞ 푛 + 1 32푛 + 2푛 3. 4. 푛 푛2 + 1 22푛 + 3푛 푛=1 푛=1 ∞ ∞ 푛 ln 푛 ln 푛 5. 6. 푛2 + 5 푛3/2 푛=1 푛=1 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 32
  33. Chuỗi đan dấu (Alternating series) • Chuỗi đan dấu là chuỗi mà các hạng tử mang dấu dương và âm xen kẽ, ví dụ 1 1 1 −1 푛+1 1 − + − + ⋯ + + ⋯ 2 3 4 푛 1 1 1 −1 푛4 −2 + 1 − + − + ⋯ + + ⋯ 2 4 8 2푛 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − ⋯ + −1 푛+1푛 + ⋯ • Tổng quát, chuỗi đan dấu là chuỗi 푛, trong đó 푛 푛+1 푛 = −1 푛 hoặc 푛 = −1 푛 với 푛 ≥ 0, ∀푛. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 33
  34. Tiêu chuẩn Leibniz Tiêu chuẩn Leibniz (Leibniz’s test) Chuỗi đan dấu ∞ 푛+1 −1 푛 = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − ⋯ 푛=1 hội tụ nếu có ∈ ℕ để các điều kiện sau đây là đúng 1. 푛 > 0, ∀푛 > 2. 푛 푛≥ là dãy giảm, nghĩa là 푛 ≥ 푛+1, ∀푛 ≥ 3. 푛 → 0. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 34
  35. Ví dụ 10. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số. ∞ ∞ ∞ −1 푛+1 −1 푛 −1 푛푛 1. 2. 3. 푛 푛2 + 1 2푛 + 1 푛=1 푛=0 푛=0 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 35
  36. Hội tụ tuyệt đối • Chuỗi 푛 được nói là hội tụ tuyệt đối (absolutely convergent) nếu chuỗi 푛 hội tụ. • Chuỗi hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối được gọi là hội tụ có điều kiện (conditionally convergent). Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối (The absolute convergence test) Nếu chuỗi 푛 hội tụ thì chuỗi 푛 hội tụ. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 36
  37. Ví dụ 11. Các chuỗi số sau có hội tụ, có hội tụ tuyệt đối không? ∞ ∞ ∞ −1 푛+1 −1 푛 1 1. 2. 3. 푛 푛2 푛 푛=1 푛=1 푛=1 • Nếu ta sắp xếp lại thứ tự lấy tổng cho một chuỗi hội tụ có điều kiện thì tổng thu được có thể khác nhau. • Với chuỗi hội tụ tuyệt đối, mọi cách sắp xếp lại thứ tự lấy tổng đều cho kết quả như nhau. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 37
  38. Tiêu chuẩn tỉ số (của d’Alembert) Tiêu chuẩn tỉ số (ratio test) Xét chuỗi số 푛, giả sử rằng lim 푛+1 = 휌 푛→∞ 푛 Nếu 휌 1 hoặc 휌 = ∞ thì chuỗi phân kỳ. (Nếu 휌 = 1 thì không có kết luận tổng quát.) 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 38
  39. Ví dụ 12. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây. ∞ ∞ 2푛 + 5 푛! 1. 2. 3푛 푛푛 푛=1 푛=1 ∞ ∞ 2푛 ! 푛2푛 3. 4. 푛! 2 2푛 ! 푛=1 푛=1 ∞ 4푛 푛! 2 5. 2푛 ! 푛=1 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 39
  40. Tiêu chuẩn căn số (của Cauchy) Tiêu chuẩn căn số (root test) Xét chuỗi số 푛, giả sử rằng 푛 lim 푛 = 휌 푛→∞ Nếu 휌 1 hoặc 휌 = ∞ thì chuỗi phân kỳ. (Nếu 휌 = 1 thì không có kết luận tổng quát.) 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 40
  41. Ví dụ 13. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây. ∞ ∞ 푛 푛2 1 1. 2. 2푛 1 + 푛 푛=1 푛=1 ∞ 푛 ∞ 2푛2 + 3 푛 푛2 3. 4. 3푛2 + 2 푛 + 1 푛=1 푛=1 ∞ 푛2 ∞ 2 2 15푛푛푛 5. 10푛 1 − 6. 푛 푛 + 3 푛2 푛=1 푛=1 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 41
  42. Tóm tắt các tiêu chuẩn hội tụ 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 42
  43. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 43
  44. Bài tập Ví dụ 14. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây. ∞ ∞ 푛 − 1 푛3 + 1 1. 2. 2푛 + 1 3푛3 + 4푛2 + 2 푛=1 푛=1 ∞ ∞ 3 2 푛 3. 푛푒−푛 4. −1 푛 푛4 + 1 푛=1 푛=1 ∞ ∞ 2 1 5. 6. ! 2 + 3푛 =1 푛=1 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 44
  45. 4. CHUỖI LŨY THỪA Định nghĩa 3. Chuỗi lũy thừa (power series) Chuỗi lũy thừa tâm tại là chuỗi có dạng ∞ 푛 2 푛 − = 0 + 1 − + 2 − + ⋯ 푛=0 trong đó tâm và các hệ số 0, 1, 2, là các hằng số cho trước. Có thể coi chuỗi lũy thừa là đa thức có bậc vô cùng. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 45
  46. Ví dụ 15. Với giá trị nào của thì các chuỗi lũy thừa sau hội tụ? Tính tổng của chúng. ∞ 1. 푛 = 1 + + 2 + 3 + ⋯ 푛=0 ∞ −1 푛 2. − 2 푛 2푛 푛=0 1 1 1 = 1 − − 2 + − 2 2 − − 2 3 + ⋯ 2 4 8 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 46
  47. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 47
  48. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 48
  49. Ví dụ 16. Với giá trị nào của thì các chuỗi lũy thừa sau đây hội tụ? ∞ ∞ − 3 푛 1. 푛! 푛 2. 푛 푛=0 푛=1 ∞ −1 푛 2푛 3. 22푛 푛! 2 푛=0 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 49
  50. Định lý về sự hội tụ Định lý 2. Về sự hội tụ của chuỗi lũy thừa. ∞ 푛 2 Xét chuỗi lũy thừa 푛=0 푛 = 0 + 1 + 2 + 3 3 + ⋯ 1. Nếu nó hội tụ tại = ≠ 0 thì nó hội tụ tại mọi thỏa . 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 50
  51. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa The Radius of Convergence of a Power Series Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. 푛 Chuỗi lũy thừa 푛 − chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau. 1. Có số 푅 > 0 sao cho chuỗi phân kỳ với − > 푅 và hội tụ (tuyệt đối) với − < 푅. Còn tại các đầu mút = − 푅, = + 푅 chuỗi có thể hội tụ, có thể phân kỳ. 2. Chuỗi hội tụ tuyệt đối với mọi (푅 = ∞). 3. Chuỗi chỉ hội tụ tại = và phân kỳ tại mọi ≠ (푅 = 0). 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 51
  52. • Giá trị 푅 nói trên gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. • Khoảng hội tụ (hay miền hội tụ) là khoảng chứa tất cả các giá trị của để chuỗi lũy thừa hội tụ. • Tìm bán kính hội tụ và khoảng hội tụ cho các chuỗi lũy thừa trong Ví dụ 14. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 52
  53. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 53
  54. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 54
  55. Bài tập Ví dụ 17. Tìm bán kính hội tụ và khoảng hội tụ. ∞ ∞ −3 푛 푛 푛 + 2 푛 1. 2. 푛 + 1 3푛+1 푛=0 푛=0 ∞ ∞ 3 + 2 푛 3. 푛푛 2 − 1 푛 4. 푛 + 1 푛=1 푛=0 ∞ 푛 ∞ 1 − 2 −1 푛 푛 5. 6. 5 푛! 푛=0 푛=0 ∞ −1 푛 푛 7. 푛2 + 푛 푛=1 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 55
  56. Vi phân chuỗi lũy thừa 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 56
  57. Tích phân chuỗi lũy thừa 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 57
  58. Chuỗi Taylor 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 58
  59. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 59
  60. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 60
  61. Đa thức Taylor 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 61
  62. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 62
  63. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 63
  64. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 64
  65. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 65
  66. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 66
  67. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 67
  68. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 68
  69. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 69
  70. Sự hội tụ của chuỗi Taylor 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 70
  71. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 71
  72. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 72
  73. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 73
  74. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 74
  75. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 75
  76. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 76