Bài giảng Định luật Gauss

Nội dung text: Bài giảng Định luật Gauss

1. Ni dung 1. Thơng l ưng dịng n ưc 2. Thơng l ưng đin tr ưng (đin thơng) 3. Đnh lu t Gauss Đnh lu t Gauss 4. Dng vi phân c a đnh lu t Gauss 5. Bài t p áp d ng Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle@zenbe.com 1. Thơng l ưng dịng n ưc – 1 1. Thơng l ưng dịng n ưc – 2 • Xét m t dịng n ưc ch y th ng đu v i v n t c v, •Nu (S) t o m t gĩc v i dịng n ưc th ng đu, và mt m t ph ng (S), đt vuơng gĩc v i dịng • thơng l ưng c a n ưc qua (S) là:
   
   ch y. Φ = vS cos α = v ⋅nS • Thơng l ưng Φ ca n ưc qua (S) (th tích n ưc •Du c a Ф ph thu c vào gĩc α. qua (S) trong m t đơ n v th i gian): Th tích n ưc • Ф = v.S Th tích n ưc v trong hình tr v trong hình tr nghiêng này này s đi qua n s đi qua (S) (S) trong m t α trong m t giây. S giây.
2. 1. Thơng l ưng dịng n ưc – 3 1. Thơng l ưng dịng n ưc – 4 • Dịng n ưc b t k ỳ, m t cong (S) b t k ỳ. • Cĩ th coi m i ph n dS là ph ng, và dịng ch y • Chia (S) làm nhi u ph n nh di n tích dS . qua đĩ là th ng đu. Do đĩ, • thơng l ưng qua dS là:
   
   dΦ = vdS cos α = v ⋅ndS Dịng n ưc • v, n là vectơ vn t c và pháp vect ơ trên dS . v • Thơng l ưng qua c mt cong (S) s là tng thơng n lưng qua t t c các ph n dS :
   
   dS Φ = ∫ dΦ = ∫ vn⋅ dS ()S Mt cong (S) 1. Thơng l ưng dịng n ưc – 5 2. Thơng l ưng đin tr ưng – Đnh ngh ĩa •Nu m t (S) là mt m t kín thì ta quy ưc ch n n •Tươ ng t , chúng ta c ũng đnh ngh ĩa thơng l ưng hưng ra ngồi m t (S) . đin tr ưng qua m t m t (S) b t k ỳ là: • Do đĩ thơng lưng n ưc qua m t m t kín = lưu
   
   lưng n ưc đi ra mt bên tr đi lưu lưng n ưc Φ = dΦ = En⋅ dS ∫ ∫()S đi vào phía bên kia . • vi E, n là vectơ đin tr ưng và pháp vect ơ trên Thơng lưng ra dS . n n v là dương • Đin thơng c ũng là s đi s . v • Đi v i m t (S) kín, pháp vect ơ c ũng đưc ch n hưng ra ngồi. Thơng lưng vào là âm
3. 2. Thơng l ưng đin tr ưng – Ý ngh ĩa 3a. Đnh lu t Gauss – 1 • Đin thơng qua m t dS vuơng gĩc v i đin tr ưng • Đin thơng qua m t m t kín (S) b ng t ng các là dΦ = EdS , đin tích bên trong (S) chia cho ε0: • dΦ = s đưng s c đi qua dS .
   
   Đin tr ưng do t t Φ = ⋅ = Qin S E n dS c các đin tích cĩ • Do đĩ đin thơng Φ qua (S) b ng t ng s đưng ∫()S ε 0 mt t o ra, nhưng sc qua (S). q3 ch các đin tích • Φ > 0 khi các đưng s c đi theo chi u c a pháp bên trong (S) m i vect ơ, đĩng gĩp vào đin q5 thơng qua (S). T i • Φ 0 q 0 Ф < 0 q Ф = 0 Nưc vào = Nưc ra Lưu l ưng qua (S) = 0
4. 3b. Đnh lu t Gauss & dịng nưc – 2 3b. Đnh lu t Gauss & dịng nưc – 3 Mt kín Mt kín (S) (S) Nưc vào Nưc ra Nưc vào Nưc ra Nưc vào 0 Nưc vào > Nưc ra Lưu l ưng qua (S) < 0 Cá phun nưc ~ đin tích d ươ ng Cá ung n ưc ~ đin tích âm 3b. Đnh lu t Gauss & dịng nưc – 4 4a. Divergence (div) – đnh ngh ĩa • Xét m t m t kín nh (S) bao quanh m t đim Mt kín M( x,y,z ). (S) • Th tích gi i h n b i m t kín này là V và đin thơng qua ( S) là Φ . Nưc vào Nưc ra (S) E M( x,y,z) V Nưc vào = Nưc ra Lưu l ưng qua (S) = 0 Cá ngồi khơng th thay đi l ưu l ưng.
5. 4a. Divergence (div) – đnh ngh ĩa (tt) 4b. Divergence trong t a đ Descartes • Gi i h n c a Ф/V khi ( S) ti n r t g n t i M • Trong t a đ Descartes div E ti M( x,y,z ) cĩ bi u đưc g i là divergence c a đin tr ưng t i M: th c:
   ∆Φ
   ∂E ∂E ∂E div E = lim div E = x + y + z ∆V →0 ∆V ∂x ∂y ∂z • Nh ư v y divergence là thơng lưng tính trên m t • trong đĩ các đo hàm riêng đưc th c hi n v trí đơ n v th tích trong ( S). M( x,y,z ). 4c. D ng vi phân c a đnh lu t Gauss 5a. Bài t p 1 – đi x ng tr • Áp d ng đnh lu t Gauss cho ( S), trong đĩ cĩ • Cho m t dây khơng d n đin, dài vơ h n, tích ch a đin tích Q: đin đu v i m t đ λ > 0. Tìm đin tr ưng ∆ ∆Φ = Q kho ng cách r tính t tr c c a dây. ε 0 • Nh n xét: • Chia hai v cho th tích V trong m t kín r i l y • Dây cĩ tính đi x ng tr , t c là đi x ng đi v i gi i h n khi V ti n t i khơng: tr c c a nĩ. ∆Φ ∆Q Mt đ đin tích • Do đĩ đin tr ưng do dây t o ra c ũng cĩ tính đi lim = lim ∆V →0 ∆V ∆V →0 ∆V M xng tr .
   ρ div E = ε 0
6. 5a. Tr li BT 1 – 1 5a. Tr li BT 1 – 2 Mt tr • Do tính đi x ng tr , đin tr ưng cĩ tính ch t nh ư đng tr c sau: λ • Đưng s c đin tr ưng là nh ng đưng th ng xuyên tâm trong các m t ph ng c t tr c đi x ng. E E • Xét m t m t tr đng tr c v i dây; r • Đin tr ưng vuơng gĩc v i m t tr này và cĩ đ l ln khơng đi trên đĩ. E Nhìn t trên xu ng Nhìn ngang 5a. Tr li BT 1 – 3 5b. Bài t p 2 – đi x ng ph ng • Xét m t kín (S) g m m t tr đng tr c v i dây, cĩ • Cho m t b n ph ng vơ h n, khơng d n đin, tích bán kính r và chi u cao l và hai đ áy c a nĩ. đin đu v i m t đ σ > 0. Xác đnh đin tr ưng • Đin thơng qua (S) b ng đin thơng qua m t bên kho ng cách r tính t bn ph ng. hình tr : • Nh n xét: Φ = = ⋅ π E∫ dS E 2 rl •H cĩ tính đi x ng đi v i m t ph ng đi qua b n •Mt khác, theo đnh lu t Gauss thì: tích đin, λ ⋅ Φ = Qin = l • do đĩ đin tr ưng do b n t o ra c ũng đi x ng đi ε ε 0 0 vi b n ph ng. • Do đĩ: λ E = πε 2 0r
7. 5b. Tr li BT 2 – 1 5b. Tr li BT 2 – 2 • Đin tr ưng này cĩ đc đim: Mt tr kín vuơng gĩc • Đưng s c là nh ng đưng th ng song song vi b n vuơng gĩc v i b n ph ng tích đin, cĩ chi u đi xng qua b n. • Trên m t m t ph ng song song v i b n thì đin E tr ưng cĩ đ ln khơng đi. A E Đáy (A) Nhìn ngang 5b. Tr li BT 2 – 3 5c. Bài t p 3 – đi x ng c u • Xét m t kín (S) là mt m t tr vuơng gĩc v i b n, •Mt v cu m ng bán kính R cĩ đin tích q > 0 nh n b n làm m t ph ng đi x ng. phân b đu trên b mt. Tìm đin tr ưng do v • Đin thơng qua (S) b ng hai l n đin thơng qua cu t o ra bên trong và bên ngồi nĩ. mt đáy (A): • Nh n xét:
   Φ = ⋅
   = = •H cĩ tính đi x ng c u đi v i tâm c a v cu, S 2∫ En Sd 2E∫ dS 2EA ()A ()A • đin tr ưng do h to ra c ũng cĩ tính đi x ng •Mt khác, theo đnh lu t Gauss thì: cu đi v i tâm v cu. Q σA σ Φ = in = E = S ε ε ε 0 0 2 0
8. 5c. Tr li BT 3 – 1 5c. Tr li BT 3 – 2 • Xét m t kín (S) là mt m t c u bán kính r đng Đưng s c là nh ng tâm v i v cu. Đin tr ưng trên (S) khơng đi đưng xuyên tâm. nên đin thơng qua nĩ là:
   
   Φ = ⋅ = = π 2 S En dS E dS E 4. r Trên m t m t c u tâm ∫()S ∫()S O, đin tr ưng cĩ đ •Mt khác theo đnh lu t Gauss thì: O ln khơng đi. Φ = Qin S ε 0 Q E • Do đĩ: E = in πε 2 4 0r 5c. Tr li BT 3 – 3 • Đ tìm Qin chúng ta phân bi t hai tr ưng h p, khi r < R và r ≥ R: Đin tr ưng bên 0 r < R trong m t v cu tích Q =  đin đu luơn luơn in ≥ q r R bng khơng. • Do đĩ đin tr ưng là: Đin tr ưng bên ngồi m t v cu tích 0 r < R  đin đu, đin tích q E = q  r ≥ R = đin tr ưng c a  πε 2 4 0r mt đin tích đim q đt t i tâm.