Bài giảng Động lực học lưu chất

Nội dung text: Bài giảng Động lực học lưu chất

1. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay CHƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHO CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG CHUYỂN ĐỘNG (P.Tr EULER) ⎧ 1 ∂p du ∂u ∂u ∂u ∂u ⎫ F − = x = x + u x + u x + u x (1) ⎪ x ρ ∂x dt ∂t x ∂x y ∂y z ∂z ⎪ G ⎪ ⎪ 1 du ⎪ 1 ∂p du y ∂u y ∂u y ∂u y ∂u y ⎪ F − grad(p) = ⇔ F − = = + u + u + u (2) ρ dt ⎨ y x y z ⎬ ⎪ ρ ∂y dt ∂t ∂x ∂y ∂z ⎪ ⎪ ⎪ 1 ∂p du z ∂u z ∂u z ∂u z ∂u z ⎪Fz − = = + u x + u y + u z (3) ⎪ ⎩ ρ ∂z dt ∂t ∂x ∂y ∂z ⎭⎪ ∂u ¾Dạng Lamb-Gromeco của phương trình Euler: y ∂u z ± u y và ± u z Sau khi sắp xếp, trên phương x ta được: ∂x ∂x 2 2 2 1 ∂p ∂u ∂ ⎛ u u y u ⎞ ⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎛ ∂u y ∂u ⎞ F − = x + ⎜ x + + z ⎟ + u ⎜ x − z ⎟ − u ⎜ − x ⎟ x ⎜ ⎟ z y ⎜ ⎟ ρ ∂x ∂t ∂x ⎝ 2 2 2 ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ 2 ∂u ∂ ⎛ u ⎞ = x + ⎜ ⎟ + u rot(u) − u rot(u) ⎜ ⎟ z y y z ∂t ∂x ⎝ 2 ⎠ Ta biến đổi tương tự cho p.tr (2) và (3). DONG LUC HOC 1
2. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Cuối cùng ta được Dạng Lamb-Gromeco của phương trình Euler: G 1 ∂u ⎛ u 2 ⎞ G G ⎜ ⎟ F − gradp = + grad⎜ ⎟ + rot(u) ∧ u ρ ∂t ⎝ 2 ⎠ G G i j k ⎧(rot(u) ∧ u) x = u z rot(u) y − u y rot(u)z G G ⎪ G G rot(u) ∧ u = rot(u) x rot(u) y rot(u)z ⇔ ⎨(rot(u) ∧ u) y = u x rot(u)z − u z rot(u) x ⎪ G G u x u y u z ⎩(rot(u) ∧ u)z = u y rot(u) x − u x rot(u) y II TÍCH PHÂN P. TR. LAMB-GROMECO→ PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI ⎧ 1 ∂p ∂u ∂ ⎛ u 2 ⎞ ⎫ x ⎜ ⎟ ⎪Fx − = + ⎜ ⎟ + u zrot(u)y − u yrot(u)z × dx⎪ ⎪ ρ ∂x ∂t ∂x ⎝ 2 ⎠ ⎪ ⎪ 1 ∂p ∂u ∂ ⎛ u 2 ⎞ ⎪ ⎪ y ⎜ ⎟ ⎪ ⎨Fy − = + ⎜ ⎟ + u x rot(u)z − u zrot(u)x × dy⎬ + ⎪ ρ ∂y ∂t ∂y ⎝ 2 ⎠ ⎪ ⎪ 1 ∂p ∂u ∂ ⎛ u 2 ⎞ ⎪ z ⎜ ⎟ ⎪Fz − = + ⎜ ⎟ + u yrot(u)x − u x rot(u) y × dz ⎪ ⎩⎪ ρ ∂z ∂t ∂z ⎝ 2 ⎠ ⎭⎪ •Đối với dòng ổn định, lưu chất nằm trong trường trọng lực, không nén đựợc: dx dy dz ⎛ p u 2 ⎞ ⎜ ⎟ − d⎜gz + + ⎟ = rot(u)x rot(u)y rot(u)z ⎝ ρ 2 ⎠ u x u y u z Trong một số các trường hợp cụ thể sau, ta có tích phân phương trình trên với vế phải = 0 ⇒P. tr. Bernoulli p u2 p u2 gz + + = C hay z + + = C ρ 2 γ 2g ¾Lưu chất chuyển động thế toàn miền: rot(u)=0 :(C là hằng số cho toàn miền) ¾Tích phân dọc theo đường dòng (C là hằng số trên đường dòng) ¾Tích phân dọc theo đường xoáy (C là hằng số trên đường xoáy). ¾Tích phân dọc theo đường xoắn ốc (C là hằng số trên đường xoắn ốc) DONG LUC HOC 2
3. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay •Trong trường hợp dòng chảy lưu chất không nén được, ổn định với rot(u)≠0, xét trên phương pháp tuyến n với đường dòng: Nếu lực khối là một hàm có thế, ta đưa hàm thế π vào với định nghĩa sau: ∂π ∂π ∂π G F = − ;F = − ;F = − hay F = −gradπ x ∂x y ∂y z ∂z Viết lại phương trình vi phân dạng Lamb-Gromeco: 1 ∂u ⎛ u2 ⎞ G G ⎜ ⎟ − gradπ − gradp = + grad⎜ ⎟ + rot(u) ∧ u ρ ∂t ⎝ 2 ⎠ Trên phương pháp tuyến n với đường dòng (ngược chiều với phương bán kính r): ∂ ⎛ p ⎞ ∂ ⎛ u2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ π + ⎟ = − ⎜ ⎟ − 2 ω. u.sin(ω, u) 2 ∂n ⎝ ρ ⎠ ∂n ⎝ 2 ⎠ ∂ ⎛ p ⎞ u ⇒ ⎜ π + ⎟ = ∂r u2 u2 u2 u2 ∂r ⎝ ρ ⎠ r = −uω − 2 = − 2 = − ∂n r r r r ⎛ ⎞ 2 Nếu lưu chất chịu tác dụng của lực trọng trường: ∂ p u ⇒ ⎜ gz + ⎟ = ∂r ⎝ ρ ⎠ r Nhận xét: p ¾Theo phương r (hướng từ tâm quay ra): r càng lớn, z + càng lớn γ áp suất phân bố trên mặt cắt ướt theo p quy luật thủy tĩnh (khi ấy các đường ¾Khi r→∝; z + = const dòng song song và thẳng, m/c ướt là mặt γ phẳng) - đây là trường hợp chất lỏng chuyển động đều hoặc biến đổi dần •Ý nghĩa năng lượng của phương trình Bernoulli: p z + : là thế năng của một đơn vị trọng lượng lưu chất γ (bao gồm vị năng đơn vị z và áp năng đơn vị p/γ). 2 u : là động năng của một đơn vị trọng lượng lưu chất. 2 g DONG LUC HOC 3
4. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Bình luận: Dòng chảy với các đường dòng như hình vẽ, ta có: p p a) z + A = z + D A A γ D γ B p p b) z + C = z + D C D C γ D γ p p c) z + C = z + B C γ B γ p p d) z + A = z + B A γ B γ Câu nào đúng? III. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHO CHẤT LỎNG THỰC CHUYỂN ĐỘNG (P.Tr Navier-Stokes) G 1 G 1 G du F − grad(p) + ν∇2u + νgrad(div(u) = ρ 3 dt Tích phân phương trình Navier-Stokes cho toàn dòng chảy, ta được phương trình Bernoulli viết cho toàn dòng chất lỏng thực không nén được chuyển động ổn định. Đây là một dạng của phương trình năng lượng, mà ta chứng minh được bằng pp TTKS trong chương động học: IV. PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG dQ dW ∂ 1 2 p 1 2 p − = ∫∫∫(eu + u +gz+ )ρdw+∫∫(eu + u +gz+ )ρundA dt dt ∂t w 2 ρ A 2 ρ Đây chính là phương trình năng lượngchodòngchấtlỏngkhôngổn định có khối lượng riêng ρ thay đổi. DONG LUC HOC 4
5. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay 1.Đối với dòng ổn định, không có sự trao đổi nhiệt với môi trường bên ngoài: dW 1 p − = (e + u2 + gz + )ρu dA ∫∫ u n chú ý rằng: dt A 2 ρ Z = z+p/γ là thế năng đơn vị dW 1 ⇒ e ρu dA + = − ( u 2 + gZ)ρu dA ∫∫ u n ∫∫ n A dt A 2 Nhận xét thấy: dW là phần biến đổi năng lượng do ∫∫euρundA + chuyển A dt động của các phần tử bên trong khối lưu chất gây ra và do ma sát của khối lưu chất với bên ngoài. Đại lượng này khó xác định được bằng lý thuyết, thông thường, nó được tính từ thực nghiệm, tuỳ theo trường hợp cụ thể. Ta đặt: dW + = ρ đây chính là năng lượng bị mất đi của lưu chất qua ∫∫ euu ndA gh f Q A dt thể tích W trong một đơn vị thời gian. hf là mất năng trung bình của một đơn vị trọng lượng lưu chất. 1 ⇒ γQh = − ( u 2 + gZ)ρu dA f ∫∫ n A 2 ™Nếu xét cho một đoạn dòng chảy vào mặt cắt 1-1 và ra tại m/c 2-2 (ρ=const) ⎛ 1 1 ⎞ ρgh Q = −⎜ ( u2 + gZ)ρu dA − ( u2 + gZ)ρu dA⎟ f ⎜ ∫∫ 2 2n ∫∫ 2 1n ⎟ ⎝ A2 A1 ⎠ Ta tính riêng các tích phân: •Nếu trên m/c ướt A, áp suất p phân bố theo quy luật thủy ∫∫(gZ)ρdQ = gZρQ = (gz + )ρQ tĩnh. A ρ •Tíchphânthànhphần 1 2 1 2 ∫∫ u ρundA = ĐNthật > V ρQ = ĐNV động năng:. A 2 2 Đưa vào hệ số hiệu chỉnh động năng α: 1 2 1 2 ∫∫ u ρundA = ĐNthật = αV ρQ = αĐNV A 2 2 với αtầng =2; αrối=1,05 - 1,1 1 2 1 2 Như vậy: ρgh Q = ( α V + gZ )ρQ − ( α V + gZ )ρQ f 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 p1 α1V1 p 2 α 2 V2 hay: z + + = z + + + h 1 γ 2g 2 γ 2g f1−2 Đây chính là ph.tr. năng lượng cho toàn dòng chảy ổn định chất lỏng thực không nén được nằm trong trường trọng lực từ m/c/1 tới m/c 2 (không có nhập hoặc tách lưu) DONG LUC HOC 5
6. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay ™Nếu dòng chảy có nhập hoặc tách lưu (ρ=const) 1 2 1 2 ∑ ( αiVi + gZi )ρQi − ∑ ( α jVj + gZ j)ρQ j = ∑Hf ivào 2 jra 2 ΣHf là tổng năng lượng dòng chảy bị mất đi khi chảy từ các m/c vào đến các m/c ra (trong 1 đ.vị thời gian). 2. Trong trường hợp dòng chảy có sự trao đổi năng lượng với bên ngoài (được bơm cung cấp năng lượng Hb ; hay dòng chảy cung cấp năng lượng Ht cho turbine), thì ph. tr trên có dạng tổng quát hơn: p α V 2 p α V 2 H + z + 1 + 1 1 = H + z + 2 + 2 2 + h B 1 γ 2g T 2 γ 2g f1−2 Hb là năng lượng do bơm cung cấp cho một đơn vị trọng lượng dòng chảy khi dòng chảy qua bơm - Ta gọi là cột áp bơm . Ht là năng lượng mà một đơn vị trọng lượng dòng chảy cung cấp cho turbine khi qua turbine. V. ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG A B Ví dụ 1: Đo lưu tốc điểm của dòng khí bằng ống Pito vòng A’ h Áp dụng ph.tr Bernoulli trên đường dòng từ A tới B (bỏ qua mất năng): 2 2 B’ p A u A p B u B z A + + = z B + + γ k 2g γ k 2g u2 ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ với u =0, suy ra: A B A B = ⎜zB + ⎟ − ⎜zA + ⎟ 2g ⎝ γ k ⎠ ⎝ γ k ⎠ Áp dụng phương trình thuỷ tĩnh lần lượt cho các cặp điểm AA’ (trong môi trường khí), A’B’ (trong môi trường lỏng); BB’ (trong môi trường khí) ta có: ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞⎫ ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ p −p ⎜ A' ⎟ ⎜ A ⎟ ⎜ B ⎟ ⎜ A ⎟ B' A' ⎜zA' + ⎟ = ⎜zA + ⎟⎪ ⎜zB + ⎟−⎜zA + ⎟ =(zB' −zA' )+ ⎝ γk ⎠ ⎝ γk ⎠⎪ ⎝ γk ⎠ ⎝ γk ⎠ γk ⎬ Suy ra ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ γ h ⎛ γ ⎞ ⎜z + B' ⎟ = ⎜z + B ⎟ ⎪ l ⎜ l ⎟ ⎜ B' ⎟ ⎜ B ⎟ ⎪ = −h+ = h⎜ −1⎟ ⎝ γk ⎠ ⎝ γk ⎠ ⎭ γk ⎝γk ⎠ ⎛ γ ⎞ Thựctế do mấtnăng nên vận tốc Như vậy: ⎜ l ⎟ thực tại điểm A lớn vận tốc tính u A = 2 gh ⎜ − 1 ⎟ ⎝ γ k ⎠ từ công thức bên. DONG LUC HOC 6
7. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví dụ 2: Đo Lưu lượng qua ống Ventury 1 Áp dụng p. tr năng lượng cho dòng chảy D 2 từ m/c 1-1 đến 2-2 (bỏ qua mất năng): d 1 2 2 2 γd p1 α 1V1 p 2 α 2 V2 z1 + + = z 2 + + γ n 2g γ n 2g γ n A h (α1,α2=1): Suy ra: B Q 2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ ⎜ − ⎟ = ⎜z + 1 ⎟ − ⎜z + 2 ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2g ⎝ A 2 A1 ⎠ ⎝ γ n ⎠ ⎝ γ n ⎠ Hay: ⎛ A2A2 ⎞ ⎛ γ ⎞ Q = ⎜ 2 1 ⎟ 2gh⎜1− d ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ A1 − A2 ⎠ ⎝ γn ⎠ Lưu lượng Q ở trên tính được không kể tới tổn thất năng lượng, Thực tế lưu lượng Qthực nhỏ hơn, nên cần hiệu chỉnh lại lưu lượng sau khi tính Qtính Hiệu chỉnh bằng công thức trên như sau: Qthực = CQtính vớiC = -(h); Ta ghi nhận (pA/γ)min = -(h). Lưuý rằng trên mặtcắt ướt1-1 tại A áp suấtphânbố theo quy luậtthủytĩnh, nghĩalà: z1+p1/γ= zA+pA/γ. Để tìm Q ứng với(pA/γ)min = -(h), ta viếtp.trnăng lượng cho dịng chảytừ mặtcắt1-1 (chỗ co hẹp) tớimặtcắt2-2 (chỗ mở rộng) DONG LUC HOC 7
8. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví dụ 3: Dòng chảy ổn định qua lỗ thành mỏng: 0 0 p α V 2 p α V 2 z + 0 + 0 0 = z + c + c c + h 0 γ 2g c γ 2g f H Năng lượng của dòng chảy từ bình ra ngoài chủ c A yếu bị mất đi là do co hẹp khi qua lỗ, đây là loại c 2 mất năng cục bộ, nó tỷ lệ với Vc tại mặt cắt co hẹp c-c (học trong chương đường ống). Ta có thể viết lại: p α V 2 p α V 2 V 2 z + 0 + 0 0 = z + c + c c + ξ c 0 γ 2g c γ 2g 2g ⎛ 1 ⎞ V =0, p =0; Suy ra: V = ⎜ ⎟ 2gH = C 2gH 0 0 c ⎜ ⎟ V ⎝ α + ξ⎠ với CV < 1 gọi là hệ số lưu tốc. ⎛ 1 ⎞ Lưu lượng: Q = AcVc = Ac ⎜ ⎟ 2gH = AcCV 2gH = εCVA 2gH = CdA 2gH ⎝α + ξ⎠ Với A là diện tích lỗ tháo, ε là hệ số co hẹp, Cd (<CV) làhệsốlưulượng Ví dụ 4: Dòng chảy ổn định qua đập tràn thành mỏng: h B Xem dòng chảy là tập họp của những dòng chảy qua lỗ thành mỏng có bề rộng dh h H B, cao dh nằm ở toạ độ h trên trục toạ độ Oh như hình vẽ. θ 0 Lưu lượng qua lỗ tháo: ⎛ θ ⎞ dQ = C d Bdh 2g(H − h) = C d 2tg ⎜ ⎟(h) 2g(H − h)dh ⎝ 2 ⎠ H ⎛ θ ⎞ Q = ∫ Cd 2tg⎜ ⎟(h) 2g(H − h)dh 0 ⎝ 2 ⎠ Để lấy tích phân trên ta đặt: u = h; dv = (H − h)dh 8 θ Kết quả cho: ⎛ ⎞ 2 Q = Cd tg⎜ ⎟H 2gH 15 ⎝ 2 ⎠ DONG LUC HOC 8
9. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví dụ 5: Dòng chảy qua vòi lắp ngoài: 0 0 2 2 ck p α V p α V pc z + c + c c = z + 1 + 1 1 H c γ 2g 1 γ 2g c 1 suy ra: 2 2 A p c α 1V1 α c Vc = − Vclỗ ⎝ αc + ξ⎠ ⎝ γ ⎠ ⎝ γ ⎠ Như vậy, lưu lượng qua vòi lớn hơn lưu lượng qua lỗ thành mỏng và bằng: (viết phương trình năng lượng cho dòng chảy từ m/c 0-0 đến 1-1 đểtìm ra vận tốc 1 tại mặt cắt ra 1-1).trong trường hợp này :Cd = CV: Q = CVA 2gH = CdA 2gH VíCâu dụ 18: 5b: Q Một bình chứa nước tới độ cao H. Nước chảy ra ở đáy bình qua một lỗ nhỏ đường kính d. Để mực nước trong bình ổn định, người ta đổ thêm vào bình một lưu lượng Q. Bỏ qua co hẹp. Cho H=4m; Q= 5 lít/s; d=3 cm. Hệ số mất năng cục bộ tại lỗ tháo là: H Đ S: hệ số mấtnăng cụcbộ tạilỗ tháo =0,57 d Ví dụ 6: Dòng chảy không ổn định ra ngoài bình: Q = Cda 2gh A trong đó h giảm theo thời gian dh Sau thời gian dt, thể tích trong bình giảm: H dW = −Adh = Qdt = C d a 2gh dt h A dt = − dh a Cda 2gh Vậy thời gian để nước chảy hết bình là: 0 0 A A A T = − dh = − 2 h = 2 H ∫ C a 2gh C a 2g C a 2g H d d H d DONG LUC HOC 9
10. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví dụ 7a: Dòng chảy qua máy thủy lực: 22 p α V 2 p α V 2 z + 0 + 0 0 = z + 1 + 1 1 + h 0 γ 2g 1 γ 2g f 0 −1 1 B p0=0; V0=0; z0=0 H 1 Suy ra tại mặt cắt 1-1 trước bơm 0 0 chuẩn có áp suất chân không: p α V 2 1 = − (z + 1 1 + h ) < 0 γ 1 2 g f p α V 2 p α V 2 z + 0 + 0 0 + H = z + 2 + 2 2 + h 0 γ 2g B 2 γ 2g f 0 − 2 Suy ra: HB = H + hf0−2 Công suất hữu ích của bơm: N = γQHB γQHB Hiệu suất bơm: η = Ntruc Ví dụ 7b Bơm hút nước từ giếng lên như hình vẽ.Biết lưu lượng Q=30 lít/s, đường kính ống hút D=0,12m.Tại chỗ uống con có hệ số tổn thất là ξ=0,5. Chiều dài đường ống hút L = 5m. Ống có hệ số ma sát đường dài là λ=0,02. Nếu nước có nhiệt độ là 200C và bỏ qua tổn thất cục bộ vào miệng ống. Tìm chiều cao đặt bơm zB tối đa 0 1 Giải: Ở 20 C, áp suất hơi bão hoà của nước B là 0,25 m nước. Vậy áp suất chân không tại 1 z mặt cắt trước bơm cho phép tối đa là 9,75 m B nước. 0 0 Q Ta có: V = = 2.653m/s giếng A 2 p 1 α 1V1 ⎛ L ⎞ z B = − − ⎜1 + λ + ξ ) ⎟ γ 2g ⎝ D ⎠ 2 α 1 2.653 ⎛ 5 ⎞ z B = 9,75 − ⎜1 + 0.02 + 0.5) ⎟ 2 * 9.81 ⎝ 0.12 ⎠ z B = 8.91m DONG LUC HOC 10
11. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Cấu tạo bộ phận cải tiến của bơm Q Q 2 Q 1 DONG LUC HOC 11
12. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay 1 1 Q Q 1 h Q bom 2 2 2 Ví dụ 8:Độ chênh mực thuỷ ngân trong ống chữ Unốihaiđầuvớicuốiống hút và đầu ống đẩy là. Đường kính ống hút là D1=8 cm. Dường kính ống đẩy là D2=6 cm. Q=17 lít/s. Công suất hữu ích của bơm là 1261 W. 1. Bỏ qua mất năng, xác định đô chênh áp suất trước và sau bơm. 2. Xác định h trong ống chũ U 1 2 D −3 2 Q Q.4 17 *10 * 4 D1 B V1 = = 2 = 2 = 3.38 m/s A1 πD1 π * (0.08 ) 1 2 Q Q.4 17 *10 −3 * 4 V = = = = 6.01 m/s B nước 2 2 2 h A1 πD2 π * (0.06) 2 2 p 1 α 1V1 p 2 α 2 V2 A z 1 + + + H B = z 2 + + γ 2g γ 2g Hg N 1261 Từ : N = γQH Suy ra: H = = = 7.56m B B γQ 9.81*103 *17*10−3 ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ ⎛ α V 2 α V 2 ⎞ 2 1 ⎜ 1 1 2 2 ⎟ Vậy chênh lệch áp suất: ⎜ z 2 + ⎟ − ⎜ z 1 + ⎟ = H B + ⎜ − ⎟ = 6.30m ⎝ γ ⎠ ⎝ γ ⎠ ⎝ 2g 2g ⎠ ⎫ ⎛ p2 ⎞ ⎛ pA ⎞ ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ p −p ⎜z + ⎟ =⎜z + ⎟ 2 1 A B ⎛ p2 ⎞ ⎛ p1 ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎜ A ⎟⎪ ⎜z2 + ⎟−⎜z1 + ⎟ =(zA −zB)+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ γ γ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜z2 + ⎟ −⎜z1 + ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠⎪ ⎝ γn ⎠ ⎝ γn ⎠ γn γ γ ⎬⇒ ⇒ h = ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ p1 pB ⎪ γHgh ⎛ γHg ⎞ ⎛ γHg ⎞ ⎜z1 + ⎟ =⎜zB + ⎟ = −h+ = h⎜ −1⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ γ ⎟ ⎜ γ ⎟ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ γ ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎭ γn ⎝ γn ⎠ ⎝ n ⎠ Tính được: h=0.50 m DONG LUC HOC 12
13. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví dụ 9: Nước chảy từ bể chứa qua turbin. Hiệu suất cả hệ thống là 80%. Cho H=60m, V=4,24m/s. 1. Xác định lưu lượng Q chảy qua turbine 2. Tính công suất điện phát ra, bỏ qua mất năng πD 2 4.24 * π *32 Q = VA = V = = 29.97 m 3/s 4 4 p α V 2 p α V 2 z + 1 + 1 1 = z + 2 + 2 2 + H 1 γ 2g 2 γ 2g T 1 1 d=3m H 2 2 ⇒ H T = H T 3 6 ⇒ NT = γQHT *80% = 9.81*10 *29.97*60*0.8 =14.11*10 W Ví dụ10: Xác định lưu lượng Q và tổn thất năng lượng khi dòng chảy ra ngoài không khí. Bỏ qua co hẹp p α V 2 p α V 2 1 z + 1 + 1 1 = z + 2 + 2 2 + h 1 1 γ 2g 2 γ 2g f H=6m V = 0; p = 0; p = 0 h=5.75m 1 1 2 2 2 α 2 V2 2 ⇒ H = + h f d=0.08 2g 2 m Mặt khác tia nước bắn ra với động năngα 2 V đập2 vào ống nghiệm, 2g dừnglại, vậytoànbộđộngnăngnày chuyển hoá thành áp năng đẩy cột nước trong ống nghiệm lên một độ cao h=5,75m. α V 2 Vậy: h = 2 2 ⇒ V = 2 gh = 10.62m/s 2 g 2 πd 2 π * 0.08 2 ⇒ Q = AV = V = *10 .62 = 0.0534m 3 /s 4 4 Và: h f = 6 − 5.75 = 0.25 m nướùc DONG LUC HOC 13
14. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví dụ10b: Bên hông một bình chứa nước có hai lỗ tháo nước A và B như hình vẽ. Lỗ A nằm dưới mặt thoáng nước một độ sâu HA; lỗ B nằm dưới mặt thoáng nước một độ sâu HB. Tia nườc bắn ra từ hai lỗ giao nhau tại O. Giả sử hệ số lưu tốc của hai lỗ là như nhau và bằng CV. Tìm khoảng cách x từ O đến thành bình Giải: phương trình đường quỹ đạo của tia nước Pa bắn ngang ra khỏi lỗ với vận tốc V cho dưới HA 2 2 A dạng: x =2V y/g; với gốc tọa độ tại lỗ, x hướng H ngang và y hướng xuống, g là gia tốc trọng B B y trường. Suy ra: A 2 2 y 2V y 2V y B x 2 = A A = B B O g g x 4C2 gH y 4C2 gH y ⇒ x 2 = V A A = V B B g g ⇒ HA yA = HByB Mặt khác ta có: HA+yA=HB+yB Giải ra được: HA=yB ;HB=yA Suy ra: x = 2CV HAHB Ví dụ10c: Bên hông một bình chứa nước có một lỗ tháo nước như hình vẽ. Lỗ phải nằm dưới mặt thoáng nước một độ h bằng bao nhiêu để tia nướcbắnravarơixuống mộtvị trí xa nhấttínhtừ bình?Cộtnước trong bình là H, bỏ qua mấtnăng Giải: Chọn x hướng ngang và y hướng xuống, gốc Pa tọa độ tại lỗ, g là gia tốc trọng trường. phương trình đường quỹ đạo của tia nước bắn ngang ra khỏi lỗ H h 2 2 với vận tốc V cho dưới dạng: x =2V y/g. Gọi x0 , y0 o Vgh= 2 là tọa độ tia nước tại vị trí chạm mặt đất: y0 x x y 0 24Vy2 ghy xx22=⇒===−=−+0044()44 hyhHhhHh 2 00gg 0 2 ĐặtY=x0 , khảo sát Y theo h ta thấy: dY dY H =−84hH + → = 0 ⇔ h = dh dh 2 VậyY đạtgiátrị max khi h=H/2 hay vị trí củalổ tháo nằm ởđộsâu H/2 thì nướcsẽ bắnraxanhất DONG LUC HOC 14
15. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay VI. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG Dạng tổng quát của p.tr ĐL (chứng minh từ chương Động Học): ∂ F = (u)ρdw + (u)ρu dA ∑ ngoạilực ∫∫∫ ∫∫ n ∂t w A ∂ X G G ¾ Đối với dòng ổn định: = 0 ⇒ F = uρu dA = uρdQ ∂ t ∑ ngoạilực ∫∫ n ∫∫ W A A ¾Đối với dòng nguyên tố chuyển động ổn định (vào ở dA1; ra ở dA2): G G G u ρ u dA − u ρ u dA = F 2 2 2 n 2 1 1 1n 1 ∑ ngoạilực ¾Đối với toàn dòng chảy từ mặt cắt 1-1 đến 2-2, ta cần chiếu phương trình ĐL trên lên một phương s bất kỳ, rồi sau đó lấy tích phân trên từng m/c A1, A2: u ρ dQ − u ρ dQ = F ∫ 2 s 2 2 ∫ 1s 1 1 ∑ s ngoailuc A2 A1 u ρdQ = ĐL > ρQV = ĐL Ta có: ∫ s thật /S S V /S A ĐL = u ρdQ=α ĐL =α VρQ Ta đưa vào hệ số α0 : thật ∫ s 0 V 0 s A α0 là hệ số hiệu chỉnh động lượng; α0tầng=4/3; α0rối =1,02-1,05 Như vậy ph.trình Động lượng chiếu trên một phương s bất kỳ đối với toàn dòng chảy ổn định lưu chất không nén được đi vào m/c 1 ra m/c 2 viết dưới dạng sau: (∑ F)s = ρQ(α02V2s − α01V1s ) = ĐL ra / s − ĐL vào / s ¾Trường hợp dòng chảy có nhiều m/c ra và nhiều m/c vào: (∑F)s = ∑ ĐLra / s − ∑ ĐLvào / s DONG LUC HOC 15
16. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay VII. ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG (∑ F)s = ρQ(α02V2s − α01V1s ) = ĐL ra/ s − ĐL vào / s Phân tích ngoại lực, thông thường gồm có các lực sau đây: ¾Trọng lực G ¾Lực ma sát Fms giữa chất lỏng với thành rắn. ¾Phản lực N vuông góc và từ thành rắn tác dụng vào khối lưu chất. ¾Áp lực Fi từ các phía tác dụng vào các m/c (mà dòng chảy ra hoặc vào khối thể tích kiểm soát. (tính như áp lực thuỷ tĩnh). Hai lực giữa (Fms và N) thông thường gom chung thành một lực R gọi là phản lực của thành rắn tác dụng vào khối lưu chất. Lực trọng trường G thông thường bị triệt tiêu khi chiếu lên phương nằm ngang (vì G theo phương thẳng đứng), hoặc giả thiết nhỏ nên không tính tới (trừ trường hợp có giá trị lớn đáng kể và khi chiếu p.tr ĐL lên phương thẳng đứng) Ví dụ (tự giải): Lưuchấtkhốilượng riêng ρ chảy trong trong ống trònbánkínhro có phân bố vậntốcnhư sau: ⎛ r 2 ⎞ u = u ⎜1− ⎟ max ⎜ 2 ⎟ ⎝ ro ⎠ Trong đó umax là vậntốccựcđạitạitâmống. Chọntrụcchuẩn trùng vớitrục ống và nếuápsuấttạitâmống là áp suấtkhítrời Tìm động lượng và năng lượng đi qua mặtcắtthẳng góc vớidòngchảy trong đơn vị thời gian ĐS: 3 2 ĐN= ρumax πro /8 2 2 ĐL= ρumax πro /3 DONG LUC HOC 16
17. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví dụ 11. Lực F t/dụng lên vòi cứu hoả: 1 2 F F =0 Áp dụng p. tr ĐL cho thể tích KS như hình vẽ: 1 F 2 ρQ(α02V2 − α01V1) = Rx + F1 − F2 1 2 x Chọn α0=1: ⇒ R x = ρQ(V2 − V1) − F1 F1=p1A1; F2=0; áp dụng thêm p.tr năng lượng cho dòng chảy từ 1-1 tới 2-2, ta có: p V2 − V2 ρ V2 − V2 1 = 2 1 ⇒ F = ( 2 1 )A γ 2g 1 2 1 ρ(V2 − V2 ) ⇒ R = ρA V (V − V ) − 2 1 A x 1 1 2 1 2 1 ⎛ V2 + V1 ⎞ = ρA1( V2 − V1)⎜V1 − ⎟ 0 Trên phương y: x D1=27cm ρQ(−α01V1) = R y + F1 1 F1 1 V1; p1=194 Kpa ⇒ R y = ρQ(−V1) − F1 < 0 Ta suy ra: Rx hướng tới trước, Ry hướng xuống dưới. Nhưvậylựccủadòngchảy tác dụng lên vòi: Fx hướng ra sau ; Fy hướng lên trên Thế số vào ta được: Fx=4709 N; Fy=11109 N; F=12065N DONG LUC HOC 17
18. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví dụ 13. Lực của dòng chảy tác dụng lên đập tràn: Áp dụng p. tr ĐL cho thể tích KS như hình vẽ: Rx = ρQ(Vc − V1) − F1 + F2 (∗) F1=p1A1=[γ(H+L2)/2]A1; F2=p2A2=[γ(hc)/2]A2 Bỏ qua mất năng: 1 p α V 2 p α V 2 H z + 1 + 1 1 = z + c + c c 1 γ 2g c γ 2g F1 F 2 2 L c α1Q α cQ 1 L2 ⇔ H + L1 + = h c + F 2 2 hc 2 2gA 1 2gA c 1 c 2 2 A c A 1 ⇔ Q = 2 2 2g(H + L 1 − h c ) A 1 − A c Sau khi tính được lưu lượng ta tính Vc =Q/Ac ; V1=Q/A1; Sau đó thế vào p.tr (*) để tìm Rx; và F=-Rx. Ví dụ 14. . Lực tác dụng của tia nước đập vào cánh gáo a.Khi giữ xe đứng yên, A 1V Lực tác dụng lên xe Fx = -Rx 1 u* 2 Fx R x = ρQ(−V2 − V1 ) − F1 − F2 2 V = ρVA(−V − V) = −2ρV 2 A F1và F2 đều bằng 0 vì đây là dòng tia, chung quanh đều là áp suất khí trời b. Khi xe chuyển động tới với vận tốc u*, Lực tác dụng Fx=-Rx vào xe sẽ nhỏ hơn và bằng: 2 Rx = ρ(V − u*)A(−(V − u*) − (V − u*)) = −2ρ(V − u*) A ∗ * 2 ∗ Như vậy, công suất hấp thụ bởi gầu bằng: Ngầu = Fx u = 2ρ(V − u ) Au V2 V3 Công suất cung ứng bởi vòi nước: Nvoi = ρQ = ρA 2 2 2 N 2ρ(V − u* )2 Au* u* ⎛ V − u* ⎞ Hiệu suất cả hệ thống η = gầu = = 4 ⎜ ⎟ = 4x(1 − x)2 3 ⎜ ⎟ (đặt x=u*/V): Nvòi ρAV / 2 V ⎝ V ⎠ Khảo sát hàm số trên, ta thấy η dạt giá trị cực đại khi x=1(loại bỏ) và x=1/3. DONG LUC HOC 18
19. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví dụ 15 . Ống Borda thẳng đứng: Ab 0 0 H G − R = ρA V V y c 1 1 A + 1 1 Ac Xem như ống Borda đủ dài để ở sát đáy bình nước yên lặng. Ta có: G=ρgAbH; Ry=ρg(Ab-A)H; Suy ra: V1 = 2gH ρgAH = ρAc 2gH ⇒ A = 2Ac Ví dụ 16 . Q=12 lít/s. Tìm V1; V2. Bỏ qua mất năng, xác định p1 Xác định Fx tác dụng lên ống −3 Q Q.4 12*10 *4 D2=5cm V1 = = 2 = 2 = 2.39 m/s A1 πD1 π*(0.08) V2 −3 R Q Q.4 12*10 *4 x 12m V2 = = 2 = 2 = 6.12 m/s P1? A1 πD2 π*(0.05) p α V 2 p α V 2 D1=8cm z + 1 + 1 1 = z + 2 + 2 2 1 γ 2g 2 γ 2g p α V 2 α V 2 ⇒ 1 = z − z + 2 2 − 1 1 = 13 .61m ⇒ F = p A = 671.2747N γ 2 1 2g 2g 1 1 1 R x = ρQ(V2 − V1) − F1 3.14 * (0.08) 2 R = 1000 *12 *10 −3 (6.12 − 2.39) − 13.61* 9.81*10 3 x 4 = -626.584N ⇒ Fx = 626.58N DONG LUC HOC 19
20. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví dụ 17 . V=30m/s. Tính lực nằn ngang cần giữ cho xe đứng yên Nếu để xe chạy tới với u=5m/s, thì lực tác động vào xe là bao nhiêu? Tìm hiệu suất πD2 Q = VA = V = 0.059m 3 / s 1 4 V R = ρQ(−V cos(300 )) x 1 1 D=50mm 0 0 R x =1000*0.059*(−30cos(30 )) = -1530.39N 30 Vậy lực Fx để giữ xe đứng yên là 1530N Khi xe chuyển động tới với vận tốc u=5 m/s, thì ph. Tr ĐL sẽ viết lại như sau: x 0 R x = −ρQ[V1 cos(30 ) − u] = −1000 * 0.059 *(30 * cos(30 0 ) − 5) = 1235.8689N V 2 V 3 Công suất tia nước: N = ρQ = ρA = 26507.19W tia 2 2 Công suất xe: Nxe = Fxu =1235.8689*5 = 6179.345W N η = xe = 0 .233 Hiệu suất: N tia VíCâu dụ 19: 17b Tia nước diện tích A bắn vào thùng nước đặt trên xe. Bên hơng dưới đáy thùng cĩ lỗ tháo nhỏ thành mỏng cũng diện tích A. Cột nước H α trong thùng khơng đổi và bỏ qua mất năng. 2 Cho A=100cm ; H=3m. H Để xe khơng chuyển động, cần tác động vào xe một lực nằm ngang A 0 Fx bằng: bao nhiêu. Gĩc α=30 ĐS: 78,85 N Hình câu 19 DONG LUC HOC 20
21. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay 3 Ví dụ 18 . D=1,2m; d=0.85m, Q2=Q3=Q1/2; Q1=6 m /s; p1=5Mpa Bỏ qua mất năng. Xác định lực nằm ngang tác dụng lên chạc ba 1 V Q1 2 2 V1= =5.305m/s;V3= V2 = 5.287m/s R A F1 D x d F 1 450 2 V1 2 (∑F)s = ∑ ĐLra / s − ∑ ĐLvào / s y 1 R R x 0 y 0 (ρQ2V2 + ρQ3V3 cos(45 )) −ρQ1V1 = R x + F1 − F2 − F3 cos(45 ) 3 d 0 0 V −ρQ3V3 sin(45 ) = R y + F3 sin(45 ) 3 3 F3 p p V 2 − V 2 ρ(V 2 − V 2 ) 2 = 1 + 1 2 ⇔ p = p + 1 2 = 5000097Pa ⇒ p = p γ γ 2g 2 1 2 3 2 F1 = p1A1 = 5654867N; F3 = F2 = p2A 2 = 2837306N; 0 0 ⇒ R x = (ρQ2V2 + ρQ3V3 cos(45 )) −ρQ1V1 − F1 + F2 + F3 cos(45 ) 0 0 R y = −ρQ3V3 sin(45 ) − F3 sin(45 ) Thế số: Rx=-816,038KN; Ry=-2017,493 KN; R=2176,281 KN Chứng minh hệ số α, α0 >1: Lưu ý rằng: u = V ± Δu ⇒ ∫∫ udA = ∫∫ (V ± Δu)dA A A ⇒ Q = Q ± ∫∫ ΔudA ⇒ ∫∫ ΔudA = 0 A A u2 ρ udA 3 3 DN ∫∫ 2 1 ⎛ u ⎞ 1 ⎛(V±Δu⎞ α = that = A = ⎜ ⎟ dA= ⎜ ⎟ dA DN V2 A∫∫ V A∫∫ V V ρVA A ⎝ ⎠ A ⎝ ⎠ 2 1 ⎛(V3 ±3V2Δu+3VΔu2 ±Δu3 ⎞ 1 ⎛ 3Δu Δu2 Δu3 ⎞ = ⎜ ⎟dA= ⎜ dA± dA+ 3 dA± dA⎟ >1 ∫∫⎜ 3 ⎟ ⎜∫∫ ∫∫ ∫∫ 2 ∫∫ 3 ⎟ A A ⎝ V ⎠ A⎝ A A V A V A V ⎠ ρuudA 2 3 DL ∫∫ 1 ⎛ u ⎞ 1 ⎛ (V ± Δu ⎞ α = that = A = dA = dA 0 ∫∫⎜ ⎟ ∫∫⎜ ⎟ DLV ρVAV A A ⎝ V ⎠ A A ⎝ V ⎠ 1 ⎛ (V2 ± 2VΔu + Δu 2 ⎞ 1 ⎛ 2Δu Δu 2 ⎞ = ⎜ ⎟dA = ⎜ dA ± dA + dA⎟ >1 ∫∫⎜ 2 ⎟ ⎜∫∫ ∫∫ ∫∫ 2 ⎟ A A ⎝ V ⎠ A ⎝ A A V A V ⎠ DONG LUC HOC 21