›
›

Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục (Tiếp theo)

pdf 67 trang huongle 1930
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục (Tiếp theo)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_giai_tich_1_chuong_1_gioi_han_va_lien_tuc_tiep_the.pdf

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục (Tiếp theo)

  1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng Giải tích 1 Chương 1: Giới hạn và liên tục (tiếp theo) • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
  2. Nội dung I.2 – Giới hạn của hàm số  – Hàm số.  – Giới hạn của hàm số.  – Vơ cùng bé, Vơ cùng lớn.
  3. 1. Hàm số Định nghĩa (hàm hợp) Cho hai hàm g :;: X Y f Y Z . Khi đĩ tồn tại hàm hợp f g : X Z . h f g f( g ( x )) Ví dụ. g( x ) x 3; f ( x ) x2 f g( x ) f ( g ( x ) f ( x 3) x 3 2 g f( x ) g ( f ( x )) g ( x2 ) x 2 3
  4. dụ. Cho f ( x ) x ; g ( x ) 2 x . Tìm các hàm sau và miền xác định của nĩ: a);;;. f g b) g f c) f f d) g g 4 a) f g ( x ) 2 x 2 x D f g ( ,2] b) g f ( x ) 2 x Dg f 0,4 4 c)() f f x x D f f 0, d) g g ( x ) 2 2 x Dg g  2,2
  5. Đầu vào Đầu ra
  6. Định nghĩa (hàm 1 – 1) Hàm y = f(x) được gọi là hàm 1 – 1, nếu x1 x 2 D f thì f ()() x 1 f x 2 . Hàm y = f(x) là hàm 1 – 1 khi và chỉ khi khơng tồn tại đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm.
  7. Ví dụ. Hàm 1 – 1 Khơng là hàm 1 – 1
  8. Định nghĩa (hàm ngược) Cho y = f(x) là hàm 1 – 1 với miền xác định D và miền giá trị E. Hàm ngược của y = f(x) là hàm từ E vào D, ký hiệu x f 1 () y , xác định bởi x f 1 ()() y y f x .
  9. Chú ý: Vì a f 1 ()() b b f a , nên (a,b) thuộc đồ thị y = f(x) khi và chỉ khi (b,a) thuộc đồ thị của f 1.
  10. Đồ thị y = f(x) và đồ thị của f 1 đối xứng nhau qua qua đường thẳng y = x. Ví dụ. Vẽ đồ thị của Vẽ đồ thị của y x 1 và đồ thị hàm ngược.
  11. Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Xét hàm lượng giác y = sin x - Trên đoạn , , y = sin x là hàm 1 – 1. 2 2 Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y arcsin x
  12. Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Xét hàm lượng giác y = cos x Trên đoạn  0,  , y = cos x là hàm 1 – 1. Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y arccos x
  13. Hàm arcsin x - Miền xác định: [-1,1] Miền giá trị: , 2 2 Hàm luơn luơn tăng. Hàm arccos x Miền xác định: [-1,1] Miền giá trị: 0,  Hàm luơn luơn giảm.
  14. Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Xét hàm lượng giác y = tanx Trên khoảng , , y = tan x là hàm 1 – 1. 2 2 Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y arctan x
  15. Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Xét hàm lượng giác y = cot x Trên khoảng 0, , y = cot x là hàm 1 – 1. Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y arccot x
  16. Hàm arctan x - Miền xác định: R Miền giá trị: , 2 2 Hàm luơn luơn tăng. Hàm arccotan x Miền xác định: R Miền giá trị: 0, Hàm luơn luơn giảm.
  17. Định nghĩa (hàm Hyperbolic) ex e x sin hyperbolic sinh(x ) 2 ex e x cos hyperbolic cosh(x ) 2 sinh(x ) tan hyperbolic tanh(x ) cosh(x ) cosh(x ) cotan hyperbolic coth(x ) sinh(x )
  18. Hàm y cosh( x ) Hàm y sinh( x )
  19. Hàm y tanh( x ) Hàm y coth( x )
  20. Cĩ các cơng thức sau (tương tự cơng thức lượng giác) 1) cosh2 (a ) sinh 2 ( a ) 1 2) sinh(2a ) 2sinh( a )cosh( a ); cosh(2 a ) cosh2 ( a ) sinh 2 () a 3) cosh(a b ) cosh( a )cosh( b ) sinh( a )sinh( b ) 4) cosh(a b ) cosh( a )cosh( b ) sinh( a )sinh( b ) 5) sinh(a b ) sinh( a )cosh( b ) sinh( b )cosh( a ) 6) sinh(a b ) sinh( a )cosh( b ) sinh( b )cosh( b )
  21. và các cơng thức lượng giác hyperbolic khác. Để thu được cơng thức lượng giác hyperbolic từ cơng thức lượng giác quen thuộc ta thay cos bởi cosh và thay sin bởi isinh. Ví dụ. Từ cơng thức cos2a sin 2 a 1 ta cĩ cosh2a i 2 sin 2 a 1 cosh2a sinh 2 a 1
  22. Hàm cho bởi phương trình tham số. Cho hai hàm x = x(t), y = y(t) xác định trong một lân cận V nào đĩ của điểm t 0 . Giả sử tồn tại hàm ngược của một trong hai hàm trên, giả sử của x = x(t) là t = t(x). Khi đĩ tồn tại hàm y = y(t(x)) và hàm này được gọi là hàm cho bởi phương trình tham số: x = x(t) và y = y(t).
  23. dụ. Hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số x 2cos t (1) y 3sin t x cost x2 y 2 2 1 (1) 4 9 y sint 3 Đây chính là phương trình của ellipse.
  24. Ví dụ. Phương trình tham số của đường x Rcos t trịn tâm O bán kính R: y Rsin t Phương trình tham số của đường x a Rcos t trịn tâm (a,b) bán kính R: y b Rsin t x2 y 2 Phương trình tham số của ellipse 1 là a2 b 2 x acos t y bsin t
  25. 2. Giới hạn của hàm số Định nghĩa. Cho D là tập số thực. Điểm x 0 được gọi là điểm tụ của tập D nếu trong mọi khoảng (,) x 0  x 0  đều chứa vơ số các phần tử của tập D. Ví dụ. D = (0,1) Điểm tụ của D là [0,1] 1  D , n N  D cĩ duy nhất một điểm tụ là 0 n  n n 1  D ( 1) , n N  n 2  D cĩ hai điểm tụ -1 và 1.
  26. 2. Giới hạn của hàm số Định nghĩa. (ngơn ngữ   ) Cho x0 là điểm tụ của miền xác định. limf ( x ) a  0  0 x x0 x Df , x x0  | f ( x ) a |  . Chú ý: Trong định nghĩa khơng địi hỏi là f(x) phải xác định tại x0 1 cosx 1 mặc dù hàm khơng Ví dụ. lim x 0 x2 2 xác định tại x = 0.
  27. 2. Giới hạn của hàm số Định nghĩa. limf ( x ) a  0 A 0 x x Df , x A | f ( x ) a |  . Định nghĩa. limf ( x ) a  0 B 0 x x Df , x B | f ( x ) a |  .
  28. limf ( x ) L x thì f(x) trong khoảng này khi x trong khoảng này
  29. limf ( x ) L thì f(x) trong x khoảng này khi x trong khoảng này
  30. 2. Giới hạn của hàm số Định nghĩa. limf ( x ) M 0  0 x x0 x Df ,| x x0 |  f ( x ) M . Định nghĩa. limf ( x ) M 0  0 x x0 x Df ,| x x0 |  f ( x ) M .
  31. 2. Giới hạn của hàm số Định nghĩa. (ngơn ngữ dãy ) Cho x0 là điểm tụ của miền xác định. n limf ( x ) a (),xn D f xn x0 , x n  x o x x0 n f() xn  a Chú ý: Thường dùng định nghĩa này chứng tỏ hàm khơng cĩ giới hạn. ' ' Nếu tìm được hai dãy ( x n ),( x n ) x 0 mà f( xn ), f ( x n ) hội tụ về hai số khác nhau thì hàm khơng cĩ giới hạn.
  32. 2. Giới hạn của hàm số 1 Ví dụ. Chứng tỏ khơng tồn tại giới hạn limsin x 0 x 1 n Chọn dãy x  0 f( xn ) sin 2 n 0 0 n 2n 1 Chọn dãy x,  n 0 n 2n / 2 f( x ) sin(2 n ) 1 1 n 2 Suy ra khơng tồn tại giới hạn
  33. Tính chất của giới hạn hàm số limf ( x ) a , lim g ( x ) b x x0 x x 0 1) lim ( f ) a , R 2) lim (f g ) a b x x0 x x0 f a 3) lim (f g ) a  b 4) lim , b 0 x x0 x x0 g b 5) x V ( x0 ), f ( x ) g ( x ) a b f()()() x g x h x limg ( x ) a 6) x x limf lim h a 0 x x0 x x 0
  34. Mệnh đề limu ( x ) a 0 v() x b x x0 lim u ( x ) a x x0 limv ( x ) b x x0 v() x v( x )ln u ( x ) limv ( x )ln( u ( x )) limu ( x ) lim e x x e 0 x x0 x x 0 ebln a a b.
  35. x 1 lim 1 e x x x 1 lim 1 e x x 1 lim 1 x x e x 0
  36. Các giới hạn cơ bản thường gặp khi x 0 sin x arctan x 1) lim 1 6) lim 1 x 0 x x 0 x x e 1 arcsin x 2) lim 1 7) lim 1 x 0 x x 0 x 1 cosx 1 3) lim tan x x 0 2 8) lim 1 x 2 x 0 x ln(1 x ) 1/ x 4) lim 1 9) lim 1 x e x 0 x x 0 (1 x ) 1 1/ x 1 5) lim 10) lim 1 x x 0 x x 0 e
  37. Các giới hạn cơ bản thường gặp khi x 1) limx , 0 x 2) lim lnx , 0 x 3) limax , a 1 x x 1 4) lim 1 e x x 5) lim sin x khơng tồn tại x
  38. Các dạng vơ định 0 1) 2) 0 3) 0 4) 0 5) 1 6) 0 7) 0
  39. Định nghĩa. (giới hạn trái) Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu  0  0 x Df ,0 x0 x  |f ( x ) a |  . limf ( x ) a ký hiệu x x0 Định nghĩa. (giới hạn phải) Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu  0  0 x Df ,0 x x0  |f ( x ) a |  . limf ( x ) a ký hiệu x x0
  40. Ví dụ 1 1 lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 Ví dụ lime1/ x 0 1/ x lime x 0 x 0
  41. Ví dụ sin x lim 1 x 0 x sin x Khơng tồn tại lim x 0 |x | sinx sin x Vì lim lim 1 x 0 |x | x 0 x sinx sin x và lim lim 1 x 0 |x | x 0 x
  42. Định lý. Hàm số y = f(x) cĩ giới hạn tại x0 khi và chỉ khi nĩ cĩ giới hạn trái và giới hạn phải tại x0 và chúng bằng nhau. Chú ý Dùng định lý trên để chứng tỏ hàm khơng cĩ giới hạn.
  43. Chú ý. Giới hạn một phía thường được dùng trong các trường hợp hàm chứa căn bậc chẵn, chứa trị tuyệt đối, hoặc hàm ghép. 2x 3, x 0 Ví dụ. Cho f () x 1 . Tìm limf ( x ) xsin , x 0 x 0 x limf ( x ) lim (2 x 3) 3 x 0 x 0 Vậy khơng tồn tại giới hạn. 1 limf ( x ) lim x sin 0 x 0 x 0 x
  44. Định nghĩa Hàm số y = f(x) được gọi là vơ cùng bé (VCB) khi x x0 nếu limf ( x ) 0. x x0 Ví dụ f( x ) x3 3sin 2 x là một vơ cùng bé khi x 0 , vì limx3 3sin 2 x 0. x 0
  45. Tính chất của VCB 1) Tổng hữu hạn của các VCB là một VCB. 2) Tích của hai VCB là một VCB. 3) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB. 4) Thương của hai VCB cĩ thể khơng là một VCB.
  46. Định nghĩa Cho f(x) và g(x) là hai vơ cùng bé khi x x 0 . f() x Giả sử lim k . x x0 g() x 1) Nếu k 0 , thì f(x) gọi là VCB bậc cao hơn g(x). f( x ) ( g ( x )) 2) Nếu k hữu hạn, khác khơng, thì f(x) và g(x) là hai VCB cùng cấp. 3) Nếu k 1 , thì f(x) và g(x) là hai VCB tương đương. f( x ) g ( x )
  47. Ví dụ f( x ) x2 tan 4 x ; g ( x ) sin 2 x 2 x 3 Khi đĩ f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi x 0 . f( x ) x2 tan 4 x Vì lim . lim 1. x 0g() x x 0 sin2x 2 x 3 Ví dụ f( x ) sin3 x x 2 ; g ( x ) x tan 2 x Khi đĩ f(x) là VCB bậc cao hơn g(x) khi x 0 . f( x ) x2 sin 3 x Vì lim . lim 0. x 0g() x x 0 x tan2 x
  48. Ví dụ f( x ) sin2 x 2 x 2 ; g ( x ) tan 2 3 x Khi đĩ f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi x 0 . f( x ) sin2 x 2 x 2 1 Vì lim . lim . x 0g( x ) x 0 tan2 3x 3 Ví dụ f( x ) ex 1 1; g ( x ) 1 x 2 Khi đĩ f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi x 1 . f( x ) e 1 x 1 1 Vì lim . lim . x 1 g() x x 1 1 x2 2
  49. Các vơ cùng bé thường gặp khi x 0 1) sin x  x 6) arcsin x  x 2) ex -1  x 7) arctan x  x x2 3) 1- cos x  8) tan x  x 2 4) ln(1 x )  x 9) sinh x  x 2 x 5) (1 x ) -1  x 10) coshx 1  2 Chú ý: Đây là các vơ cùng bé khi x 0 Các vơ cùng bé trên suy ra trực tiếp từ định nghĩa và các giới hạn cơ bản.
  50. Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Tổng hữu hạn các VCB lim x x0 Tổng hữu hạn các VCB VCB bậc thấp nhất của tử lim x x0 VCB bậc thấp nhất của ma ãu
  51. Ví dụ. ln(1 x tan x ) Tính giới hạn I lim x 0 x2 sin 3 x 2 3 2 ln(1 x tan x )  x tan x  x2 x sin x x ln(1 x tan x ) x2 I lim 2 3 lim 1. x 0 x sin x x 0 x2 Ví dụ. ln(cosx ) Tính giới hạn I lim x 0 ln(1 x2 ) ln(1 cosx 1) cosx 1 x2 / 2 1 I lim lim 2 lim 2 x 0 ln(1 x2 ) x 0 x x 0 x 2
  52. Ví dụ. 2 ex cos x Tính giới hạn I lim x 0 sin2 x 2 2 x ex 1  x2 1 cosx  sinx  x 2 2 ex 1 1 cos x x2 x 2 / 2 3 I lim lim2 . x 0 sin2 x x 0 x 2 Ví dụ. esin 5x e sin x Tính giới hạn I lim x 0 ln(1 2x ) esin 5x 1 1 e sin x sin5x sin x 5x x I lim lim lim 2 x 0 ln(1 2x ) x 0 2x x 0 2x
  53. Ví dụ. sin ex 1 1 Tính giới hạn I lim x 1 ln x ex 1 1  x 1 lnx ln(1 x 1) x -1 sin(x 1) x 1 I lim lim 1. x 1 x 1 x 1 x 1 Ví dụ. esinh 3x e sinh x Tính giới hạn I lim x 0 tan x esinh 3x 1 1 e sinh x sinh3x sinh x 3x x I lim lim lim 2. x 0 x x 0 x x 0 x
  54. Ví dụ. ex 1 (cos x 1) Tính giới hạn I lim x 0 sin3x 2 x 4 ex 1  x cosx 1  - x2 / 2 2 x( x / 2) x( x2 / 2) 1 I lim 3 4 lim x 0 x 2 x x 0 x3 2 Ví dụ. 2 e1/ x cos(1/ x ) Tính giới hạn I lim x2  x arctan x 1/x2 1/(2 x 2 ) 3 I lim x2  x / 2
  55. Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI. tanx sin x tan x x 1) lim 3 lim SAI x 0 x x 0 x3 tanx sin x x sin x SAI 2) lim lim 3 x 0 x3 x 0 x tanx sin 2 x x sin 2x 3) lim lim 3 ĐÚNG x 0 x3 x 0 x
  56. Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI. tanx sin 2 x x 2 x 4) lim lim ĐÚNG x 0 sin x x 0 x tanx sin x tanx sin x 5) lim lim ĐÚNG x 0 sin3 x x 0 x3 1 cos2 x 1 cos2 x 6) lim 2 2 lim 2 2 SAI x 0 xsin x x 0 x x
  57. Định nghĩa Cho f(x) là vơ cùng bé khi x x 0 . Số p được gọi là bậc của VCB f(x) khi x x 0 , nếu f() x lim p hữu hạn, 0. x x0 x x0 Ví dụ. f( x ) sin2 x x 3 1 cos2 x là một VCB khi x 0 , và bậc của f(x) là 2. f( x ) sin2 x x 3 1 cos2 x vì lim lim 3 x 0x2 x 0 x 2
  58. Ví dụ Tìm bậc của các VCB sau đối với x khi x 0 . 1) f ( x ) 3 x2 x 3 bậc 2/3. 2) f ( x ) sin x 2 2 bậc 1. 3) f ( x ) 2x 1 bậc 1/2. 4) f ( x ) 3sin3 x x 4 bậc 3. 3 5) f ( x ) ex cos x bậc 2.
  59. Ví dụ Tìm ,  để f(x) và x  là 2 VCB tương đương, x 0 1) f ( x ) cos x cos2 x 3/ 2;  2 2) f ( x ) ln cos x2 1/ 2;  4 3) f ( x ) 3 x e x ln3;  1/ 2 4) f ( x ) sin3 2 x ln(1 x tan x )  1 5) f ( x ) 1 2 x2 cos3 x 13/ 4;  2
  60. Định nghĩa (vơ cùng lớn) Hàm số y = f(x) được gọi là vơ cùng lớn (VCL) khi x x0 nếu limf ( x ) . x x0 Ví dụ f( x ) 2 x2 3cos x là một vơ cùng lớn khi x , vì lim 2x2 3cos x . x
  61. Định nghĩa Cho f(x) và g(x) là hai vơ cùng lớn khi x x 0 . f() x Giả sử lim k . x x0 g() x 1) Nếu k , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x). f( x )  ( g ( x )) 2) Nếu k hữu hạn, khác khơng, thì f(x) và g(x) là hai VCL cùng cấp. 3) Nếu k 1 , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương. f( x ) g ( x )
  62. Qui tắc ngắt bỏ VCL Tổng hữu hạn các VCL lim x x0 Tổng hữu hạn các VCL VCL bậc cao nhất của tử lim x x0 VCL bậc cao nhất của mẫu
  63. Ví dụ x2 4 2 x 3 x I lim x x2 4 x x Tử là tổng của ba VCL: x2 4 2 x 3 x 3 x x Mẫu là tổng của hai VCL: x2 4 x 2 x 3x 3 I lim x 2x 2
  64. Bài tập I) Tìm các giới hạn sau. 2 x 4 4 1) lim 2 x 2 x x 2 3 1 5 32 x 2 2) lim 80 x 0 x cos3x cos7 x 3) lim 20 x 0 x2 4) lim cot 2x cot( / 4 x ) 2 x / 4 1/ 4 1/ sin2 (2x ) e 5) lim 1 tan2 x x 0
  65. 2 6) lim cos x 1/ x e 1/ 2 x 0 7) lim cosh x 1/(1 cosx ) e x 0 2 2 x 2x 3 2 e 8) lim 2 x 2x 1 2x x2 9) lim 4(ln 2 1) x 2 x 2 x 1/ x 1 2 10) lim e e x x
  66. x2 14 x 11) lim 1 x x2 2 x x2 14 x 12) lim 7 x x2 2 x 1 1 13) lim tanh x 0 x 1 1 14) lim tanh x 0 x sin 2x 2arctan3 x 3 x2 15) lim 2 x 0 ln(1 3x sin2 x ) xex
  67. 51 10x 3 1 3 x 16) lim 1 x 0 arcsin(3x x2 ) sinh(2 x x 3 ) x x 2 17) limx ln 1 ln x 2 2 1 3cos4x 3 cos5 x 18) lim 3 x 0 1 cos3x 1 tanx 1 sin x 1/ 4 19) lim x 0 sin3 x tan 2x 3arcsin 4 x 10/37 20) lim x 0 sin5x 6arctan7 x