Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục (Tiếp theo) - Đặng Văn Vinh

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục (Tiếp theo) - Đặng Văn Vinh

1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng Giải tích 1 Chương 1: Giới hạn và liên tục (tiếp theo) • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
2. Định nghĩa (vơ cùng lớn) Hàm số y = f(x) được gọi là vơ cùng lớn (VCL) khi x x0 nếu limf ( x ) . x x0 Ví dụ f( x ) 2 x2 3cos x là một vơ cùng lớn khi x , vì lim 2x2 3cos x . x
3. Định nghĩa Cho f(x) và g(x) là hai vơ cùng lớn khi x x 0 . f() x Giả sử lim k . x x0 g() x 1) Nếu k , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x). f( x )  ( g ( x )) 2) Nếu k hữu hạn, khác khơng, thì f(x) và g(x) là hai VCL cùng cấp. 3) Nếu k 1 , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương. f( x ) g ( x )
4. Qui tắc ngắt bỏ VCL Tổng hữu hạn các VCL lim x x0 Tổng hữu hạn các VCL VCL bậc cao nhất của tử lim x x0 VCL bậc cao nhất của mẫu
5. Ví dụ x2 4 2 x 3 x I lim x x2 4 x x Tử là tổng của ba VCL: x2 4 2 x 3 x 3 x x Mẫu là tổng của hai VCL: x2 4 x 2 x 3x 3 I lim x 2x 2
6. 3. Liên tục của hàm số Định nghĩa Hàm y f () x được gọi là liên tục tại x 0 , nếu xác định tại điểm này và lim f ( x ) f ( x0 ). x x0 Định nghĩa Nếu hàm khơng liên tục tại x 0, ta nĩi hàm gián đoạn tại điểm này.
7. thì f(x) tiến đến f(a). Khi x tiến đến a. đồ thị liền nét (khơng đứt đoạn) tại điểm (a, f(a)).
8. Định nghĩa Cho x 0 là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số y f() x 1) Điểm gián đoạn loại một: giới hạn trái f(x0-) và phải f(x0+) tồn tại và hữu hạn. x0 là điểm khử được: f(x0-) = f(x0+) x0 là điểm nhảy: f()() x0 f x 0 bước nhảy: h f()() x0 f x 0 2) Điểm gián đoạn loại hai: khơng phải là loại một. Một trong hai giới hạn (trái hoặc phải) khơng tồn tại hoặc tồn tại nhưng bằng vơ cùng.
9. x = 2 là điểm gián đoạn loại một khử được.
10. f() x  x x = 2 là điểm nhảy: gián đoạn khơng khử được.
11. x = 0 là điểm gián đoạn loại hai.
12. Tính chất của hàm số liên tục Cho y f ( x ), y g ( x ) là hai hàm liên tục tại x 0 , khi đĩ 1) f ( x ); f ( x ) g ( x ); f ( x )  g ( x ) liên tục tại x0. f() x 2) Nếu g ( x 0 ) 0 , thì liên tục tại x0. g() x Định lý Nếu hàm f(x) liên tục tại x 0 và f ( x 0 ) 0 , thì tồn tại một lân cận của x0, sao cho f(x) > 0 với mọi x thuộc lân cận này.
13. Định lý (Bozano- Cơsi) Nếu y f () x liên tục trên đoạn [a,b] và f(a) = A, f(b) = B thì  CAB [,] tồn tại x0  a, b  sao cho f(). x0 C Hệ quả Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một x0 thuộc [a,b] sao cho f(x0) = 0.
14. Định nghĩa Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản: 1/ hàm hằng 2/ hàm lũy thừa y x 3/ hàm mũ y ax ; a 0, a 1 4/ hàm logarit y loga x ; ( a 0, a 1) 5/ hàm lượng giác 6/ hàm lượng giác ngược 7/ hàm hyperbolic
15. Định nghĩa Hàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản bằng cách sử dụng hữu hạn các phép tốn: cộng, trừ, nhân, chia, khai căn và phép hợp. Định lý Hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của nĩ. 1 y sin3 x ln là hàm sơ cấp 2 x Vậy nĩ liên tục trên tồn miền xác định: x > -2.
16. Ví dụ Khảo sát tính liên tục sin x ,x 0 f() x x 1,x 0 sin x x 0, f ( x ) là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ x sinx sin x Tại x = 0: lim 1 lim f (0) x 0 x x 0 x Hàm liên tục tại x = 0. Vậy hàm liên tục trên R.
17. Ví dụ Khảo sát tính liên tục sin x ,x 0 f() x x 1,x 0 sin x x 0, f ( x ) là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ x sin x sin x Tại x = 0: lim 1 lim 1 x 0 x x 0 x x = 0 là điểm nhảy. Bước nhảy: h f 0 f 0 1 ( 1) 2.
18. Ví dụ Khảo sát điểm gián đoạn 1 f( x ) arctan x Tập xác định: DRf \ 0 1 1 Tại x = 0: lim arctan lim arctan x 0 x 2 x 0 x 2 x = 0 là điểm nhảy. Bước nhảy: h f0 f 0 ( ) . 2 2
19. Ví dụ Khảo sát điểm gián đoạn 1 f( x ) x arctan x Tập xác định: DRf \ 0 1 1 Tại x = 0: limx arctan 0 limx arctan 0 x 0 x x 0 x x = 0 là điểm gián đoạn khử được.
20. Ví dụ Tìm a, b để hàm liên tục trên  / 2;3 / 2 xcos( x / 2) ,x  / 2,3 / 2 , x 0, x sin x f( x ) a , x 0 b, x xcos( x / 2) limf ( x ) lim 1 a 1. x 0 x 0 sin x xcos( x / 2) limf ( x ) lim b . x x sin x 2 2
21. Ví dụ Tìm a, b để hàm liên tục trên tồn TXĐ. x, | x | 1 f() x 2 x ax b, | x | 1 limx2 ax b a b 1 limf ( x ) x 1 x 1 a b 1 1. limf ( x ) limx 1 f (1) x 1 x 1 limf ( x ) limx 1 f ( 1) x 1 x 1 a b 1 1. limf ( x ) limx2 ax b 1 a b x 1 x 1 Vậy a = 1, b = -1.
22. x Ví dụ Khảo sát điểm gián đoạn f() x sin x Tập xác định: Df R\, k k Z x Tại x0 k 0 , k 0 0 : lim khơng tồn tại. x k0 sin x Các điểm này là các điểm gián đoạn loại hai. x x0 = 0 là điểm gián Tại x0 0 : lim 1 x 0 sin x đoạn khử được.
23. Ví dụ Khảo sát điểm gián đoạn 1, x là số hữu tỷ. f() x 0,x là số vô tỷ. Tập xác định: R Hàm khơng cĩ giới hạn tại mọi điểm. (Vì sao??) Tất cả các điểm là những điểm gián đoạn loại hai.
24. Ví dụ Khảo sát điểm gián đoạn x, x là số hữu tỷ. f() x 0,x là số vô tỷ. Tập xác định: R Hàm khơng cĩ giới hạn tại mọi điểm khác 0. Các điểm khác khơng là những điểm gián đoạn loại hai. Tại điểm x = 0: limf ( x ) 0 f (0). x 0 Hàm liên tục tại x = 0.
25. Bài tập I) Chứng tỏ rằng các hàm sau khơng liên tục tại x0 x 1, x 0 x 0 1) f ( x ) 2 0 x, x 0 1 ,x 0 2) f ( x ) x x0 0 0,x 0 1 2 ,x 0 3) f ( x ) x x0 0 1,x 0 4) f ( x ) sign( x 1) x0 1
26. II) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng 1/(x 1), x 0 2 1) f() x ( x 1), 0 x 2 1 x , x 2 1 2) f ( x ) x / 2 n loại hai cos x |x 2 | 3) f ( x ) x= -2, điểm nhảy, h =2 x 2 |x 1| 4) f ( x ) x= 0: loại hai, x= 1: x2 x 3 điểm nhảy, h = -2
27. III) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng arcsin x 1) f ( x ) x= 0, khử được sin 2x x 2) f ( x ) x / 2 n loại hai cos x 1 3) f ( x ) x= 0, x= 2: loại hai, ln |x 1| x = 1: khử được 2 4) f ( x ) 3x/(1 x ) x= -1, x= 1: loại hai 5) y e 1/|x | x= 0, khử được
28. IV) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng 1 1) f ( x ) arctan x= 0, khử được x2 2) f ( x ) sin( x lg( x 1)) liên tục trên MXĐ 1 1 x 3) f ( x ) ln x= 0, khử được x1 x |x | 4) f ( x ) x= 0, điểm nhảy, h=2 arctan x x 1 5) y x= 0, điểm nhảy, h= 4/ arctan(1/x )
29. V) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng 1) f ( x ) lnln(1 x2 ) x= 0, loại hai x= -1, điểm nhảy, h = -2 2) f ( x ) sign( x2 2 x 3) x= 3, điểm nhảy, h = 2 31/x 2 1/ x 3) f ( x ) x= 0, điểm nhảy, h = 2 31/x 2 1/ x x 5/ 3 cos x 4) f ( x ) liên tục trên MXĐ tan(arcsin |x |) 1 5) y (sin x )sin x= 0, khử được x
30. V) Tìm giá trị a để hàm liên tục (1 x )n 1 ,x 0, n N 1) f ( x ) x trên R a n a, x 0 xcot(2 x ), x 0,| x | / 2 a 1/ 2 2) f ( x ) a, x 0 trên ( / 2, / 2) (arcsinx )cot x , x 0 3) f ( x ) trên (-1,1) a 1 a, x 0 sinh x ,x 0 4) y x trên R a 1 a, x 0
31. VI) Chứng minh rằng các pt sau cĩ nghiệm duy nhất 1) x  2x 1 3) x2  arctan x a ; a 0 2) x ex 2 4) x sin x 1, 0 1 VII) CMR pt 2x 4x cĩ ít nhất hai nghiệm thực VIII) CMR pt xsin x 1/ 2 cĩ vơ số nghiệm x 1 IX) CMR pt 10 x chỉ cĩ một nghiệm x0 1.