›
›

Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Phép tính tích phân một biến số

pdf 61 trang huongle 3600
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Phép tính tích phân một biến số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_giai_tich_1_chuong_2_phep_tinh_tich_phan_mot_bien.pdf

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Phép tính tích phân một biến số

  1. CHƯƠNG 2 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN MỘT BIẾN SỐ §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1 Nguyên hàm của hàm số Chương này trình bày về phép tính tích phân, đây là phép toán ngược của phép tính đạo hàm (vi phân) của hàm số. Nếu ta cho trước một hàm số f (x) thì có tồn tại hay không một hàm số F(x) có đạo hàm bằng f (x)? Nếu tồn tại, hãy tìm tất cả các hàm số F(x) như vậy. Định nghĩa 2.2. Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên một tập D nếu F (x)= f (x), x D hay dF(x)= f (x)dx. 0 ∀ ∈ Định lý sau đây nói rằng nguyên hàm của một hàm số cho trước không phải là duy nhất, nếu biết một nguyên hàm thì ta có thể miêu tả được tất cả các nguyên hàm khác của hàm số đó. Định lý 2.10. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng D, thì: Hàm số F(x)+ C cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x), với C là một hằng số bất • kỳ. Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f (x) đều viết được dưới dạng F(x)+ C, trong • đó C là một hằng số. Như vậy biểu thức F(x)+ C biểu diễn tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x), mỗi hằng số C tương ứng cho ta một nguyên hàm. 37
  2. 38 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số Định nghĩa 2.3. Tích phân bất định của một hàm số f (x) là họ các nguyên hàm F(x)+ C, với x D, trong đó C là một nguyên hàm của hàm số f (x) và C là một hằng số bất kỳ. ∈ Tích phân bất định của f (x)dx được ký hiệu là f (x)dx. Biểu thức f (x)dx được gọi là biểu Z thức dưới dấu tích phân và hàm số f (x) được gọi là hàm số dưới dấu tích phân. Vậy f (x)dx = F(x)+ C, với F(x) là nguyên hàm của f (x). Z Các tính chất của tích phân bất định 0 f (x)dx = f (x) hay d f (x)dx = f (x)dx • Z  Z F0(x)dx = F(x)+ C hay dF(x) = F(x)+ C • Z Z af (x)dx = a f (x)dx (a là hằng số khác 0) • Z Z [ f (x) g(x)] dx = f (x)dx g(x)dx • ± ± HaiZ tính chất cuối cùngZ là tính chấtZ tuyến tính của tích phân bất định, ta có thể viết chung [α f (x)+ βg(x)] dx = α f (x)dx + β g(x)dx Z Z Z trong đó α, β là các hằng số không đồng thời bằng 0. Các công thức tích phân dạng đơn giản xα+1 dx xαdx = + C, (α = 1) = ln x + C α + x Z 1 6 − Z | | sin xdx = cos x + C cos xdx = sin x + C Z − Z dx dx = cotgx + C = tgx + C 2 2 x Z sin x − Z cos ax axdx = + C, (a > 0, a = 1) exdx = ex + C a Z ln 6 Z dx 1 a + x dx 1 x = ln + C = arctg + C a2 x2 2a a x x2 + a2 a a Z − − Z dx dx x 2 = ln x + x + α + C = arcsin + C √x2 + α √a2 x2 a Z p Z − 1 a2 x a2 x2dx = x a2 x2 + arcsin + C 2 2 a Z − − p 1 p x2 + adx = x x2 + a + a ln x + x2 + a + C 2 Z h i p p p 38
  3. 1. Tích phân bất định 39 1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 1. Phương pháp khai triển Để tính một tích phân bất kỳ, ta cần sử dụng các phương pháp thích hợp để đưa về các tích phân đã có trong bảng các công thức tích phân đơn giản ở trên. Một phương pháp đơn giản là phương pháp khai triển. Phương pháp này dựa trên tính chất tuyến tính của tích phân bất định: [α f (x)+ βg(x)] dx = α f (x)dx + β g(x)dx Z Z Z Ta phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tổng (hiệu) của các hàm số đơn giản mà đã biết được nguyên hàm của chúng, các hằng số được đưa ra bên ngoài dấu tích phân. 3 4 5 Example 1.1. (2x√x 3x2)dx = 2 x 2 dx 3 x2dx = x 2 x3 + C • 5 Z − Z − Z − 3 1 3 dx x4 2sin x + x x dx = 2 sin xdx + x dx x = 2 cos x + 4 ln x + C • Z − Z Z − Z − − | |  dx  1 1 1 = dx = + arctgx + C • x2(1 + x2) x2 − 1 + x2 − x Z Z   2. Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân Nhận xét: nếu f (x)dx = F(x)+ C thì f (u)du = F(u)+ C , trong đó u = u(x) là Z Z một hàm số khả vi liên tục. Ta có thể kiểm tra lại bằng cách đạo hàm hai vế theo x. Sử dụng tính chất này, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân g(x)dx về dạng g(x)dx = f (u(x))u0 (x)dx, trong đó f (x) là một hàm số mà ta dễ dàng tìm được nguyên hàm F(x). Khi đó tích phân cần tính trở thành g(x)dx = f (u(x))u0 (x)dx = f (u(x))du = F(u(x)) + C Z Z Z Trong trường hợp đơn giản u(x)= ax + b thì du = adx, dođónếu f (x)dx = F(x)+ C ta suy ra Z 1 f (ax + b)dx = F(ax + b)+ C a Z 1 Example 1.2. sin axdx = a cos ax + C • Z − ax eax e dx = a + C • Z 39
  4. 40 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số esin x cos xdx = esin xd(sin x)= esin x + C • Z Z 3 dx = ( + 2 ) ( )= tg x + + cos4 x 1 tg x d tgx 3 tgx C • Z Z 3 x√1 + 3x2dx = 1 √1 + 3x2d(1 + 3x2)= 1 √1 + 3x2 + C • 6 9 Z Z   • arccos x arcsin x π I = dx = arcsin x arcsin xd(arcsin x) √1 x2 2 − Z − Z   nên π 1 I = arcsin2 x arcsin3 x + C ⇒ 4 − 3 3. Phương pháp đổi biến Xét tích phân I = f (x)dx, trong đó f (x)là một hàm số liên tục. Để tính tích phân Z này, ta tìm cách chuyển sang tính tích phân khác của một hàm số khác bằng một phép đổi biến x = ϕ(t), sao cho biểu thức dưới dấu tích phân đối với biến t có thể tìm được nguyên hàm một cách đơn giản hơn. Phép đổi biến thứ nhất: Đặt x = ϕ(t), trong đó ϕ(t) là một hàm số đơn điệu, và có đạo hàm liên tục. Khi đó ta có I = f (x)dx = f [φ(t)] φ0(t)dt Z Z Giả sử hàm số g(t) = f [ϕ(t)] ϕ0(t) có nguyên hàm là hàm G(t), và t = h(x) là hàm số ngược của hàm số x = ϕ(t), ta có g(t)dt = G(t)+ C I = G [h(x)] + C Z ⇒ Phép đổi biến thứ hai: Đặt t = ψ(x), trong đó ψ(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục, và ta viết được hàm f (x)= g [ψ(x)] ψ0(x). Khi đó ta có I = f (x)dx = g [ψ(x)] ψ0(x)dx Z Z Giả sử hàm số g(t) có nguyên hàm là hàm số G(t), ta có I = G [ψ(x)] + C Chú ý: Khi tính tích phân bất định bằng phương pháp đổi biến số, sau khi tìm được nguyên hàm theo biến số mới, phải đổi lại thành hàm số của biến số cũ. 40
  5. 1. Tích phân bất định 41 x Example 1.3. (a) Tính tích phân I = dx 1 2 x Z r − Đặt x = 2sin2 t, t 0, π , ta tính được ∈ 2   x 2sin2 t dx = 4sin t cos tdt, = = tgt 2 x s2(1 sin2 t) r − − Suy ra x I = dx = 4 sin2 tdt = 2t sin2t + C 1 2 x − Z r − Z x Đổi lại biến x, với t = arcsin 2 , ta thu được xp x I = dx = 2 arcsin 2x x2 + C 1 2 x 2 − − Z r − r p e2x (b) Tính tích phân I = dx 2 ex + 1 Đặt ex = t exdx =Zdt, ta có ⇒ t 1 I = dt = 1 dt = t ln t + 1 + C 2 t + 1 − t + 1 − | | Z Z   Đổi lại biến x, ta được I = ex ln(ex + 1)+ C. 2 − dx (c) Tính tích phân I = 3 x Z √1 + 4 Đặt t = 2 x dt = 2 x ln2dx, tích phân trở thành − ⇒ − − dt 1 dt 1 2 I3 = − = = ln(t + t + 1)+ C 2 2 t ln2√1 + t− −ln2 √t + 1 −ln2 Z Z p Đổi lại biến x, ta có: 1 x x I = ln(2− + √4 + 1)+ C 3 −ln2 − 4. Phương pháp tích phân từng phần Giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục. Theo quy tắc lấy vi phân d(uv) = udv + vdu uv = d(uv)= udv + vdu ⇒ Z Z Z Suy ra udv = uv vdu Z − Z Xét tích phân I = f (x)dx. Ta cần biểu diễn Z f (x)dx = [g(x)h(x)] dx = g(x) [h(x)dx] = udv 41
  6. 42 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số và áp dụng công thức tích phân từng phần với các hàm số u = g(x), v = h(x)dx. Ta thường sử dụng phương pháp này khi biểu thức dưới dấu tích phân chứaZ một trong các hàm số sau đây: ln x, ax, hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược. Cụ thể: Trong các tích phân xnekxdx; xn sin kxdx; xn cos kxdx , n nguyên dương, ta • thường chọn u = xn. Z Z Z Trong các tích phân xα lnn xdx, α = 1 và n nguyên dương, ta thường chọn • 6 − u = lnn x. Z Trong tích phân xnarctgkxdx; xn arcsin kxdx, n nguyên dương, ta thường • chọn u = arctgkx hoặcZ u = arcsin kxZ ; dv = xndx. Example 1.4. Tính các tích phân bất định (a) I1 = ln xdx = x ln x dx = x ln x x + C Z − Z − 2 (b) I2 = x sin xdx Z Đặt u = x2, dv = sin xdx v = cos x, ta được ⇒ − 2 I2 = x cos x + 2 x cos xdx − Z Đặt u = x, dv = cos xdx v = sin x, ta được ⇒ I = x2 cos x + 2 x sin x sin xdx = x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C 2 − − −  Z  xexdx (c) I = 3 (x + )2 Z 1 Đặt u = xex; dv = dx v = 1 ; du = (x + 1)exdx, ta được (x+1)2 ⇒ − x+1 xex xex ex I = + exdx = + ex + C = + C 3 x + 1 x + 1 x + 1 − Z − xexdx (d) I = 4 x Z √1 + e x Đặt √1 + ex = t e dx = 2dt, ta có I = 2 [ln(t 1)+ ln(t + 1)] dt = 2(t √1+ex 4 ⇒ Z − − 1) ln(t 1)+ 2(t + 1) ln(t + 1) 4t + C Đổi lại biến x ta có − − xexdx = 2(x 2)√1 + ex + 4ln 1 + √1 + ex 2x + C √1 + ex − − Z   x arcsin x (e) I5 = dx 2 Z √1 x Đặt u = arcsin− x; dv = xdx du = dx ; v = √1 x2, ta được √1 x2 √1 x2 − ⇒ − − − I = 1 x2 arcsin x + dx = 1 x2 arcsin x + x + C 5 − − − − p Z p 42
  7. 1. Tích phân bất định 43 x (f) I6 = e cos 2xdx Đặt uZ = cos 2x; dv = exdx v = ex; du = 2sin2xdx, ta được ⇒ − x x I6 = e cos 2x + 2 e sin2xdx Z Đặt u = sin2x; dv = exdx v = ex; du = 2 cos 2xdx, ta được ⇒ I = ex cos 2x + 2 ex sin2x 2 ex cos 2xdx = ex cos 2x + 2ex sin2x 4I + 5C 6 − − 6  Z  ex Vậy I6 = 5 (cos 2x + 2sin2x) + C. Trong các mục sau đây chúng ta sẽ xét tích phân bất định của một số dạng hàm cơ bản: hàm phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm chứa căn thức; và trình bày một số phương pháp giải chung đối với tích phân các hàm này. 1.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ Một hàm phân thức hữu tỷ là một hàm số có dạng P(x) , trong đó Định nghĩa 2.4. f (x)= Q(x) P(x), Q(x) là các đa thức của x. Một phân thức hữu tỷ có bậc của đa thức ở tử số nhỏ hơn bậc của đa thức ở mẫu số là một phân thức hữu tỷ thực sự. Bằng phép chia đa thức, chia P(x) cho Q(x) ta luôn đưa được một hàm phân thức hữu tỷ về dạng r(x) f (x)= H(x)+ Q(x) trong đó là đa thức thương, là phần dư trong phép chia. Khi đó r(x) là một phân H(x) r(x) Q(x) thức hữu tỷ thực sự. Nguyên hàm của đa thức được tìm bởi công thức tích phân cơ bản. Ta sẽ xét việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỷ còn lại r(x) trong hai trường hợp đặc Q(x) biệt: mẫu số của phân thức là đa thức bậc nhất hoặc đa thức bậc hai. Trong những trường hợp mẫu số phức tạp hơn, chúng ta sử dụng phương pháp hệ số bất định để đưa về hai trường hợp trên. Phương pháp hệ số bất định Giả sử chúng ta muốn phân tích một phân thức hữu tỷ thực sự P(x) thành tổng (hiệu) Q(x) của các phân thức hữu tỷ thực sự có mẫu số là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai. Trước hết ta phân tích đa thức ở mẫu số Q(x) thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai vô nghiệm Q(x) = (x α )a1 (x α )am (x2 + p x + q )b1 (x2 + p x + q )bn − 1 − m 1 1 n n trong đó α , p , q là các hằng số, a , b là các số nguyên dương, 1 i m;1 j n. i j j i j ≤ ≤ ≤ ≤ 43
  8. 44 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện đơn thức (x α)a, a là số nguyên dương thì • − trong phân tích của phân thức P(x) xuất hiện các hạng tử dạng Ai , trong đó là Q(x) (x α)i Ai − hằng số và 1 i a. ≤ ≤ Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện biểu thức (x2 + px + q)b, b là số nguyên • B x+C dương thì trong phân tích của phân thức P(x) xuất hiện các hạng tử dạng j j , Q(x) (x2+px+q)j trong đó B , C là các hằng số và 1 j b. j j ≤ ≤ Sau khi viết được phân tích của P(x) , ta tìm các hằng số bằng cách quy đồng mẫu Q(x) Ai, Bj, Cj số ở hai vế, rồi đồng nhất hệ số của xn, n R ở hai vế. Như vậy việc dùng phương pháp hệ ∈ số bất định dẫn chúng ta tới việc tính bốn loại tích phân hữu tỷ cơ bản sau: Adx Adx I. II. x a (x a)k Z − Z − (Mx + N)dx (Mx + N)dx III. IV. 2 + + ( 2 + + )m Z x px q Z x px q trong đó Adx 1. x a = A ln x a + C Z − | − | 2. Adx = A + C (x a)k (k 1)(−x a)k 1 Z − − − − 3. (Mx + N)dx Mt + (N Mp/2) = − dt (a = q p2/4, đổi biến t = x + p/2) x2 + px + q t2 + a2 − Z Z q Mtdt (N Mp/2)dt = + − 2 + 2 2 + 2 Z t a Z t a t = ln(t2 + a2) + (N Mp/2) arctg + C − a 2N Mp 2x + p = ln(x2 + px + q)+ − arctg + C 4q p2 4q p2 − − p p 4. (Mx + N)dx Mt + (N Mp/2) = − dt (a = q p2/4, đổi biến t = x + p/2) (x2 + px + q)m (t2 + a2)m − Z Z q Mtdt (N Mp/2)dt = + − ( 2 + 2)m ( 2 + 2)m Z t a Z t a Tích phân thứ nhất: Mtdt = M + (t2+a2)m 2(m 1)(t2+a2)m 1 C − − − Tích phân thứ hai cóZ thể tính theo phương pháp tích phân từng phần như ở ví dụ trong phần trước 44
  9. 1. Tích phân bất định 45 Example 1.5. Tính các tích phân bất định x4 x3 + 2x2 2x + 1 a. I = − − dx 1 (x2 + 2)(x 1) Ta cóZ − x4 x3 + 2x2 2x + 1 1 A Bx + C − − = x + = x + + (x2 + 2)(x 1) (x2 + 2)(x 1) x 1 x2 + 2 − − − Quy đồng mẫu số ở hai vế 3 = (A + B)x2 + (C B + 2)x C − − A + B = 0 A = 1 Đồng nhất hệ số của x2, x và hệ số tự do, ta được C B + 2 = 0 B = 1  − ⇒  −  C = 1  C = 1 Suy ra − −   x4 x3 + 2x2 2x + 3 1 1 2x 1  − − = x + (x2 + 2)(x 1) x 1 − 2 x2 + 2 − x2 + 2 − − Vậy tích phân bằng x2 ln(x2 + 2) 1 x I = + ln x 1 arctg + C 2 | − | − 2 − √2 √2 2x4 + 10x3 + 17x2 + 16x + 5 b. I = dx 2 (x + )2(x2 + x + ) Z 1 2 3 Ta viết 2x4 + 10x3 + 17x2 + 16x + 5 2 1 4 = 2 + (x + 1)2(x2 + 2x + 3) x + 1 − (x + 1)2 − x2 + 2x + 3 Suy ra 1 x + 1 I = 2x + 2ln x + 1 + 2√2arctg + C | | x + 1 − √2 1.4 Tích phân hàm lượng giác 1. Phương pháp chung Xét tích phân R(sin x, cos x)dx, trong đó hàm dưới dấu tích phân là một biểu thức Z t hữu tỷ đối với sin x, cos x. Ta có thể sử dụng phép đổi biến tổng quát t = tg 2 , khi đó 2t 1 t2 2t 2dt sin x = ; cos x = − ; tg x = ; dx = 1 + t2 1 + t2 1 t2 1 + t2 − tích phân đang xét được đưa về tích phân của hàm số của biến t. 45
  10. 46 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số sin x cos x + 2 Example 1.6. Tính tích phân − dx 1 + sin x + cos x Ta viết Z sin x cos x + 2 d(1 + sin x + cos x) dx − dx = + 2 + x + x + x + x + x + x Z 1 sin cos − Z 1 sin cos Z 1 sin cos x Đặt t = tg 2 , suy ra dx dt = = ln 1 + t + C + x + x + t Z 1 sin cos Z 1 | | Thay lại biến cũ, ta được sin x cos x + 2 x − dx = ln 1 + sin x + cos x + ln 1 + tg + C 1 + sin x + cos x − | | 2 Z 2. Tích phân dạng sinm x cosn xdx, trong đó m, n là các số nguyên Z Nếu m là số nguyên dương lẻ, ta đặt t = cos x. • Nếu n là số nguyên dương lẻ, ta đặt t = sin x. • Nếu m, n là các số nguyên dương chẵn, ta sử dụng công thức hạ bậc: • 1 cos 2x 1 + cos 2x sin2 x = − ; cos2 x = 2 2 rồi đưa về tích phân dạng sink 2x cosl 2xdx. Z Example 1.7. Tính các tích phân bất định I = sin3 x cos2 xdx • 1 Đặt cosZ x = t sin xdx = dt ta có ⇒− t5 t3 cos5 x cos3 x sin3 x cos2 xdx = (1 t2)t2( dt)= + C = + C 5 3 5 3 Z Z − − − − I = sin4 x cos2 xdx • 2 Sử dụngZ công thức hạ bậc ta có (1 cos 2x)2 1 + cos 2x 1 I = − dx = 1 cos 2x cos2 2x + cos3 2x dx 2 4 2 8 − − Z Z   I = 1 x sin2x 1+cos 4x dx + 1 (1 sin2 2x)d(sin2x) ⇒ 2 8 − 2 − 2 2 − Vậy  Z Z  1 x sin2x sin4x sin2x sin3 2x I2 = + + C ⇒ 8 2 − 2 − 8 2 − 6 ! 46
  11. 1. Tích phân bất định 47 Đối với tích phân I2 sau khi sử dụng công thức hạ bậc lần thứ nhất ta cũng có thể tiếp tục hạ bậc của biểu thức lượng giác dưới dấu tích phân bởi công thức 3sin x sin3x 3 cos x + cos 3x sin3 x = − ; cos3 x = 4 4 Áp dụng vào tích phân I2 , ta có: 1 1 + cos 4x 3 cos 2x + cos 6x I = 1 cos 2x + dx 2 8 − − 2 4 Z   1 x sin2x sin4x sin6x = + + C 8 2 − 8 − 8 24   3. Tích phân R(sin x, cos x)dx có dạng đặc biệt Z Đặt t = cos x nếu R( sin x, cos x)= R(sin x, cos x). • − − Đặt t = sin x nếu R(sin x, cos x)= R(sin x, cos x). • − − Đặt t = tg x nếu R( sin x, cos x)= R(sin x, cos x). • − − dx Example 1.8. Tính tích phân sin x cos4 x Đặt t = cos x dt = sin xdx,Z ta có ⇒ − dx dt 1 1 1 1 = − = + + dt sin x cos4 x (1 t2)t4 t4 t2 2(t 1) − 2(t + 1) Z Z − Z  −  1 1 1 t 1 = + ln − + C −3t3 − t 2 t + 1 nên dx 1 1 1 1 cos x = + ln − + C 4 3 x + x Z sin x cos x −3 cos x − cos 2 1 cos 1.5 Tích phân các biểu thức vô tỷ Xét tích phân có dạng R(x, √α2 x2)dx, R(x, √x2 α2)dx, trong đó R(u, v) là các ± − hàm số hữu tỷ. Z Z Đặt x = α tg t đối với tích phân R(x, √α2 + x2)dx. • Z Đặt x = α sin t hoặc x = a cos t đối với tích phân R(x, √α2 x2)dx. • Z − α α Đặt x = hoặc x = đối với tích phân R(x, √x2 α2)dx. t t • cos sin Z − 47
  12. 48 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số Nói chung việc tính tích phân của các biểu thức vô tỷ thông thường được đưa về việc tính bốn loại tích phân cơ bản sau dx = ln x + √x2 + α + C • √x2+α Z dx = arcsin x + C • √a2 x2 a Z − √ 2 2 1 √ 2 2 a2 x a x dx = 2 x a x + 2 arcsin a + C • Z − − √x2 + adx = 1 x√x2 + a + a ln x + √x2 + a + C • 2 Z h i Example 1.9. Tính các tích phân sau 2 3 1. (1 x )− 2 dx Z − Đặt x = sin t, t π , π dx = cos tdt, √1 x2 = cos t, thì ∈ − 2 2 ⇒ −   3 dt 2 2 (1 x )− dx = 2 = tg t + C = tg(arcsin x)+ C Z − Z cos t 2. dx x2√1+x2 Z Đặt x = tgt dx = dt , ta có ⇒ cos2 t dx cos tdt 1 1 = = + C = + C 2 2 2 t ( x) Z x √1 + x Z sin t −sin −sin arctg m/n r/s ax+b ax+b Tính các tích phân có dạng R x, cx+d , , cx+d dx Z ax + b       Đặt = tk, với k là bội chung nhỏ nhất của các chỉ số căn, đưa về dạng hữu tỉ với t. cx + d (R là hàm hữu tỉ) 48
  13. §2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1 Định nghĩa tích phân xác định Định nghĩa 2.5. Giả sử hàm số f (x) xác định và bị chặn trên [a, b]. Chia [a, b] thành n khoảng nhỏ [xi, xi+1] bởi phân hoạch a = x0 < x1 < < xn = b. Trong mỗi đoạn [xi, xi+1] ta chọn điểm ξ [x , x ] và thành lập biểu thức i ∈ i i+1 n 1 − Sn = ∑ f (ξi) xi với xi = xi+1 xi (2.1) i=0 4 4 − Biểu thức Sn được gọi là tổng tích phân. Gọi λ = max xi. Nếu tồn tại giới hạn hữu 1 i n 4 ≤ ≤ hạn I = lim Sn không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b] và không phụ thuộc vào cách λ 0 → chọn điểm ξi thì I được gọi là tích phân xác định của hàm số f (x) trên [a, b] và kí hiệu là b f (x)dx. Trong trường hợp đó ta nói hàm số f (x) khả tích trên [a, b]. Za Remark 2.1. Trong định nghĩa trên ta đã xét hàm số f (x) trong khoảng đóng [a, b] tức là b a đã giả thiết a < b. Bây giờ nếu b < a ta định nghĩa f (x)dx := f (x)dx và khi a = b a − b b Z Z ta định nghĩa f (x)dx = 0. Za 2.2 Các tiêu chuẩn khả tích Định lý 2.11. Điều kiện cần và đủ để hàm số bị chặn f (x) khả tích trên [a, b] là lim(S λ 0 − s)= 0, trong đó: → n+1 n+1 S = ∑ Mi xi, s = ∑ mi xi i=1 4 i=1 4 Mi = sup f (x), mi = inf f (x) x [x ,x ] x [xi,xi+1] ∈ i i+1 ∈ Áp dụng định lý 2.11 chúng ta có thể chứng minh được các định lý sau: Định lý 2.12. Nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì f (x) khả tích trên [a, b]. Định lý 2.13. Nếu f (x) bị chặn trên [a, b] và có một số điểm gián đoạn trên [a, b] thì f (x) khả tích trên [a, b]. Định lý 2.14. Nếu f (x) bị chặn và đơn điệu trên [a, b] thì f (x) khả tích trên [a, b]. 49
  14. 50 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số 2.3 Các tính chất của tích phân xác định b Trong các phần tiếp theo sau đây, nếu không có chú thích gì thì khi viết f (x)dx ta Za hiểu là f (x) được giả thiết là khả tích trên [a, b]. Tính chất 1. • b b b [α f (x)+ βg(x)]dx = α f (x)dx + β g(x)dx Za Za Za Tính chất 2. • Cho 3 khoảng đóng [a, b], [a, c], [b, c], nếu f (x) khả tích trên khoảng có độ dài lớn nhất thì cũng khả tích trên 2 đoạn còn lại, và b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx Za Za Zc Tính chất 3. Giả thiết a < b. Khi đó: • b (i) Nếu f (x) 0, x [a, b] thì f (x)dx 0 ≥ ∀ ∈ Za ≥ b b (ii) Nếu f (x) g(x) x [a, b] thì f (x)dx g(x)dx ≤ ∀ ∈ Za ≥ Za (iii) Nếu f (x) khả tích trên [a, b] thì f (x) khả tích trên [a, b] và: | | b b f (x)dx f (x) dx | |≤ | | Za Za (iv) Nếu m f (x) M, forallx [a, b] thì ≤ ≤ ∈ b m(b a) f (x)dx M(b a) − ≤ ≤ − Za . Tính chất 4.(Định lý trung bình thứ nhất) • Giả sử f (x) khả tích trên [a, b] và m f (x) M, x [a, b], khi đó tồn tại µ sao cho: ≤ ≤ ∀ ∈ b f (x)dx = µ(b a), m µ M. − ≤ ≤ Za Đặc biệt, nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì tồn tại c [a, b] sao cho: ∈ b f (x)dx = f (c)(b a). − Za 50
  15. 2. Tích phân xác định 51 Tính chất 5.(Định lý trung bình thứ hai) • Giả thiết (i) f (x) và f (x)g(x) khả tích trên [a, b]. (ii) m f (x) M, x [a, b]. ≤ ≤ ∀ ∈ (iii) g(x) không đổi dấu trên [a, b]. Khi đó b b f (x)g(x)dx = µ g(x)dx, m µ M. ≤ ≤ Za Za Đặc biệt nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì tồn tại c [a, b] sao cho: ∈ b b f (x)g(x)dx = f (c) g(x)dx. Za Za 2.4 Tích phân với cận trên thay đổi (hàm tích phân) Giả sử f (x) là một hàm khả tích trên [a, b], khi đó với mỗi x [a, b] thì f cũng khả tích x ∈ trên [a, x]. Ta xác định hàm số F(x)= f (t)dt. Za Định lý 2.15. (1) Nếu f (t) khả tích trên [a, b] thì F(x) liên tục trên [a, b]. (2) Nếu f liên tục tại x [a, b] thì F(x) có đạo hàm tại x và F (x )= f (x ). 0 ∈ 0 0 0 0 Định lý 2.16 (Công thức Newton-Leibniz). Nếu f (x) liên tục trong khoảng đóng [a, b] và F(x) là một nguyên hàm của f (x) thì b f (x)dx = F(b) F(a). − Za 2.5 Các phương pháp tính tích phân xác định 1. Sử dụng công thức tích phân từng phần. Giả sử u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trong [a, b]. Khi đó: b b udv = uv b vdu |a − Za Za 51
  16. 52 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số 2. Sử dụng các phép đổi biến số. b Định lý 2.17 (Đổi biến x := ϕ(t)). Xét I = f (x)dx với f (x) liên tục trong [a, b]. Za Thực hiện phép đổi biến x = ϕ(t) thoả mãn 3 điều kiện sau: (1) ϕ(t) có đạo hàm liên tục trong [a, b]. (2) ϕ(a) = α; ϕ(b)= β. (3) Khi t biến thiên trong [α, β] từ α đến β thì x = ϕ(t) biến thiên liên tục từ a đến b. Khi đó ta có công thức: b β f (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ0(t)dt. Za Zα b Định lý 2.18 (Đổi biến t := ϕ(x)). Giả sử tích phân cần tính có dạng I = f [ϕ(x)].ϕ0(x)dx. Za Trong đó ϕ(x) biến thiên đơn điệu ngặt và có đạo hàm liên tục trên [a, b]. Khi đó: b ϕ(b) f [ϕ(x)].ϕ0(x)dx = f (t)dt. Za ϕZ(a) 3. Sử dụng các phép truy hồi, quy nạp. 2.6 Hệ thống bài tập Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm tích phân. Chúng ta có các công thức sau: x 0 f (t)dt = f (x) (2.2) Za x g(x) 0 f (t)dt = f (g(x)).g0 (x) (2.3)  Za x Công thức 2.2 chúng ta đã biết trong Định lý 2.15, còn công thức 2.3 được suy ra từ công thức đạo hàm của hàm hợp. 52
  17. 2. Tích phân xác định 53 Bài tập 2.1. Tính các đạo hàm: y y x3 d 2 d 2 d dt a) et dt b) et dt c) dx dy dx √1 + x4 Zx Zx xZ2 Lời giải: y x d 2 d 2 2 a) et dt = et dt = ex ( do y là hằng số) dx −dx − Zx Zy y d 2 2 b) et dt = ey ( do x là hằng số) dy Zx x3 x2 x3 d dt d dt d dt 2x 3x2 c) = + = − + dx √1 + x4 −dx √1 + x4 dx √1 + x4 √1 + x8 √1 + 12x2 xZ2 Za Za Dạng 2. Tính giới hạn của hàm số dựa vào công thức L’Hospital và đạo hàm của hàm tích phân. Bài tập 2.2. Tìm giới hạn: sin x x √tg tdt (arctg t)2dt Z Z a)A = lim 0 b)B = lim 0 x 0+ tg x x +∞ √ 2 → → x + 1 √sin tdt Z0 Lời giải: sin x tg x a) Nhận xét: lim √tg tdt = lim √sin tdt = 0 nên áp dụng quy tắc L’Hospital ta x 0+ x 0+ → Z0 → Z0 có: sin x 0 √tg tdt Z ! tg(sin x). cos x lim 0 = lim = 1 A = 1 x 0+ tg x x 0+ ( x) 1 ⇒ → 0 → psin tg . cos2 x √sin tdt ! p Z0 53
  18. 54 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số x b) Nhận xét: lim (arctg t)2dt = lim √x2 + 1 = ∞ nên áp dụng quy tắc L’Hospital x +∞ x +∞ → Z0 → ta có: x 0 (arctg t)2dt Z ! (arctg x)2 π2 π2 lim 0 = lim = B = x +∞ √ 2 x +∞ x 4 ⇒ 4 → x + 1 0 → √x2+1  Dạng 3. Sử dụng công thức tổng tích phân để tính giới hạn của một số dãy số đặc biệt. Xuất phát từ công thức tính tổng tích phân 2.1 n 1 − Sn = ∑ f (ξi) xi với xi = xi+1 xi i=0 4 4 − Nếu chúng ta chia đoạn [a, b] thành n khoảng có độ dài bằng nhau bởi phân hoạch a = x < x < < x = b, trong đó x = a + (b a) i thì: 0 1 n i − n n 1 b a − Sn = − ∑ f (ξi) với ξi [xi, xi+1] n i=0 ∈ Khi đó nếu hàm f (x) khả tích trên [a, b], và chọn ξi = xi ta được công thức: b n 1 b a − b a lim − ∑ f a + − .i = f (x)dx (2.4) n ∞ n n → " i=0 !# Za Còn nếu chọn ξi = xi+1 ta được công thức: b b a n b a lim − ∑ f a + − .i = f (x)dx (2.5) n ∞ n n → "i=1 !# Za Bài tập 2.3. Dùng định nghĩa và cách tính tích phân xác định, tìm các giới hạn: a/ A = lim 1 + 1 + 1 + + 1 ∞ nα nα+β nα+2β nα+(n 1)β n ··· − → h i b/ B = lim 1 1 + 1 + 1 + 2 + + 1 + n n ∞ n n n n → ··· q q p  Lời giải: 54
  19. 2. Tích phân xác định 55 a/ Viết 1 1 1 1 1 A = lim + + + + n ∞ n α β 2β ··· (n 1)β → " α + n α + n α + −n # 1 Áp dụng công thức 2.4 với a = 0, b = 1, f (x)= α+βx ta được: 1 1 1 α + β A = dx = ln α + βx β α Z0 1 Nếu áp dụng công thức 2.5 với a = 0, b = 1, f (x)= α+βx ta được: 1 1 1 1 α + β A0 = lim + + + = A = ln n ∞ nα + β nα + 2β ··· nα + nβ β α → h i b/ Áp dụng công thức 2.5 với a = 0, b = 1, f (x)= √1 + x ta được: 1 2 B = √1 + xdx = (2√2 1) 3 − Z0 Nếu áp dụng công thức 2.4 với a = 0, b = 1, f (x)= √1 + x ta được: 1 1 n 1 2 B0 = lim 1 + 1 + + + 1 + − = B = (2√2 1) n ∞ n n n 3 → r ··· r ! − Bài tập 2.4. Tính lim 1 n (2n)! n ∞ n n! → q ! Dạng 3. Tính tích phân xác định (xem mục 2.5) Bài tập 2.5. Tính các tích phân: e 2 sin2 x cos x a. ln x (x + 1)dx d. dx | | (1 + tg2 x)2 Z1 Z0 e 3 x b. (x ln x)2dx e. arcsin dx 1 + x Z1 Z0 r π 1 2 3 x n c. (x 2x + 5)e− 2 dx f . cos x cos nxdx − Z0 Z0 Lời giải: 55
  20. 56 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số a/ Các câu a, b, c dễ, giải bằng phương pháp tích phân từng phần. Đáp số như sau: e2 + 5 5e3 2 144 Ia = , I = − , Ic = 98 4 b 27 − √e d/ 2 sin2 x cos x I = dx d (1 + tg2 x)2 Z0 2 = sin2 x. cos x. cos4 xdx Z0 2 = sin2 x.(1 sin2 x)d(sin x) − Z0 sin3(2) 2sin5(2) sin7(2) = + 3 − 5 7 e/ 3 x I = arcsin dx e 1 + x Z0 r 3 3 x 1 1 1 = x arcsin x. . . 2 dx 1 + x − 1 x 2 x (x + 1) r 0 Z0 1+x x+1 − 3 q q 1 √x = π dx − 2 x + 1 Z0 √3 1 t = π .2tdt (đặt √x = t) − 2 t2 + 1 Z0 √3 1 = π 1 dt − − t2 + 1 Z0   √3 = π (t arctg t) − − 0 4π h i = √3 3 − 56
  21. 2. Tích phân xác định 57 f/ π 2 n In = cos x cos nxdx Z0 π 2 1 = cosn xd sin nx n Z0 π π 2 1 n 2 1 n 1 = cos x sin nx + sin nx.n. cos − x.sin xdx n 0 n Z0 π 2 n 1 = sin nx. cos − x.sin xdx Z0 Suy ra π π 2 2 n n 1 2In = cos x cos nxdx + sin nx. cos − x.sin xdx Z0 Z0 π 2 n 1 = cos − x cos(n 1)xdx − Z0 = In 1 − Vậy theo phép truy hồi ta có = 1 n = π In 2 .I0 2n+1 π π 2  2 n n Bài tập 2.6. Tính In = sin xdx, Jn = cos xdx Z0 Z0 Dạng 4. Chứng minh các đẳng thức tích phân Bài tập 2.7. Chứng minh rằng nếu f (x) liên tục trên [0,1] thì: π π 2 2 π π π a/ f (sin x)dx = f (sin x)dx, b/ xf (sin x)dx = f (sin x)dx 2 Z0 Z0 Z0 Z0 Lời giải. Đây là bài tập dễ, câu a) đặt t = π x, còn câu b) đặt t = π x. 2 − − Bài tập 2.8. Áp dụng kết quả của bài tập 2.7 hãy chứng minh π π 2 2 √sin x √cos x π dx = dx = √sin x + √cos x √sin x + √cos x 4 Z0 Z0 57
  22. 58 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số Bài tập 2.9. Giả sử f (x) liên tục trên [ a, a](a > 0), hãy chứng minh − a 0 nếu f (x) là hàm số lẻ trên [ a, a] a − I = f (x)dx =  2 f (x)dx nếu f (x) là hàm số chẵn trên [ a, a] Za  − − Z0  Bài tập 2.10. Cho f (x) liên tục, chẵn trên [ a, a], chứng minh − a a f (x)dx = f (x)dx với 0 b = 1 1 + bx ≤ 6 Za Z0 − Áp dụng tính π π 1 2 2 1 2x cos 2x x2 sin x I = dx, I = dx, I = | | dx 1 (x2 + 1)(ex + 1) 2 2002x + 2x 3 1 + 2x Z1 Zπ Zπ − − 2 − 2 b b Bài tập 2.11. Chứng minh xm(a + b x)ndx = xn(a + b x)mdx − − Za Za 1 Áp dụng tính I = x2(1 x)ndx và chứng minh n − Z0 n k k 1 1 2 1 ∑ ( 1) Cn. = + k=0 − k + 3 n + 1 − n + 2 n + 3 Dạng 5. Chứng minh các bất đẳng thức tích phân Bài tập 2.12. Cho f (x), g(x) là hai hàm số khả tích trên [a, b]. Khi đó f 2(x), g2(x) cũng khả tích trên [a, b]. Chứng minh bất đẳng thức sau (a < b) b 2 b b f (x)g(x)dx f 2(x)dx . g2(x)dx ≤ Za ! Za ! Za ! (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt) Lời giải. Xét 2 trường hợp: b b TH1. Nếu f 2(x)dx = g2(x)dx = 0 thì: Za Za b b b f 2(x)+ g2(x) 0 f (x)g(x)dx f (x)g(x) dx dx = 0 ≤ ≤ | | ≤ 2 Za Za Za Khi đó ta có dấu ” = ” xảy ra. 58
  23. 3. Các ứng dụng của tích phân xác định 59 b b TH2. Nếu ít nhất một trong hai tích phân f 2(x)dx, g2(x)dx khác 0, không mất tính Za Za b tổng quát ta giả sử f 2(x)dx = 0 6 Za b Khi đó [α f (x)+ g(x)]2 0 [α f (x)+ g(x)]2 0. Suy ra ≥ ⇒ ≥ Za b b b f 2(x)dx .α2 + 2 f (x)g(x)dx .α + g2(x)dx 0 α R (2.6) ≥ ∀ ∈ Za   Za  Za Biểu thức ở vế trái là tam thức bậc 2 đối với α nên 2.6 đúng với mọi α R khi và chỉ ∈ khi b 2 b b 2 2 0 = f (x)g(x)dx f (x)dx . g (x)dx 0. 4 − ≤ Za ! Za ! Za ! Ta có điều phải chứng minh. §3. CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.1 Tính diện tích hình phằng 1. Trường hợp biên của hình phẳng cho trong hệ toạ độ Descartes (tính diện tích "hình thang cong") a x b ≤ ≤ b y = f (x) Nếu S giới hạn bởi  thì S = f (x) g(x) dx (2.7) y = g(x) | − |  Za f , g C[a, b]  ∈   c y d ≤ ≤ d x = ϕ(y) Nếu S giới hạn bởi  thì S = ϕ(y) ψ(y) dy (2.8) x = ψ(y) | − |  Zc ϕ, ψ [c, d]   ∈   59
  24. 60 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số a x b ≤ ≤ t y = 0 2 Nếu S giới hạn bởi  thì S = ψ(t)ϕ (t) dt (2.9)  0  x = ϕt Z | |  t1 y = ψt    Trong đó giả thiết rằng phương trình ϕ(t) = a, ψ(t) = b có nghiệm duy nhất là t1, t2 và ϕ, ψ, ϕ C[t , t ]. 0 ∈ 1 2 Bài tập 2.13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a/ Đường parabol y = x2 + 4 và đường thẳng x y + 4 = 0. − b/ Parabol bậc ba y = x3 và các đường y = x, y = 2x. c/ Đường tròn x2 + y2 = 2x và parabol y2 = x d/ Đường y2 = x2 x4 − Lời giải: Các câu a), b), c) có thể vẽ hình và tính toán dễ dàng như sau: 1 a. S = [(x + 4) (x2 + 4)]dx = 1 − 6 Z0 1 √2 b. S = (2x x2)dx + (2x x3)dx = 3 − − 4 Z0 Z2 2 c. S = 2 (√4x x2) √2x)dx = 2π 16 − − − 3 Z0 Riêng câu d) nếu khảo sát để vẽ đồ thị đường cong : y2 = x2 x4 thì không đủ thời gian C − nên ta có thể lý luận như sau: Trước hết ta có điều kiện 0 x 1, và nhận xét rằng ≤ ≤ nếu M(x, y) thì M ( x, y) . Do đó S = 4S(D), trong đó D là miền giới hạn bởi: ∈ C 0 ± ± ∈ C 0 x 1 ≤ ≤ . Do miền D nằm hoàn toàn trong hình vuông 0 x 1,0 y 1, hơn y = √x2 x4 ≤ ≤ ≤ ≤  − nữa hàm số y = √x2 x4 liên tục, y(0) = y(1) = 0 nên đồ thị của nó trong [0,1] phải có  − hình dáng như hình vẽ dưới đây: y 1 b O 1 x 60
  25. 3. Các ứng dụng của tích phân xác định 61 1 Áp dụng công thức 2.7 ta có S(D)= √x2 x4dx = 1 S = 4 − 3 ⇒ 3 Z0 61
  26. 62 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số 2. Trường hợp biên của hình phẳng cho trong hệ toạ độ cực (tính diện tích của miền có dạng hình quạt) ϕ = α β  ϕ = β 1 2 Nếu S giới hạn bởi  thì S = r (ϕ)dϕ (2.10) r = r(ϕ) 2  Zα r(ϕ) C[α, β]  ∈   Bài tập 2.14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường hình tim r2 = a2 cos 2ϕ Lời giải: Khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong trong toạ độ cực và nhận xét tính đối xứng của hình vẽ ta có: π 4 1 S = 4S(D)= 4. r2(ϕ)dϕ = a2 2 Z0 3.2 Tính độ dài đường cong phẳng Trường hợp đường cong AB cho bởi phương trình y = f (x) y = f (x) b AB a x b thì s = 1 +[ f (x)]2 (2.11)  0  ≤ ≤ Z  f C1[a, b] a q ∈  Trường hợp đường cong ABcho bởi phương trình tham số: x = x(t) y = y(t) β  AB α t β thì s = [x (t)]2 +[y (t)]2dt (2.12)  0 0  ≤ ≤ Z x(t), y(t) C1[a, b] α q ∈  2 2 > x0 (t)+ y0 (t) 0 t [α, β]  ∀ ∈  Trường hợp đường cong AB cho bởi phương trình trong toạ độ cực: r = r(ϕ) β AB α ϕ β thì s = r2(ϕ)+ r 2(ϕ)dϕ (2.13)  0  ≤ ≤ Z r(ϕ) C1[α, β] α q ∈   62
  27. 3. Các ứng dụng của tích phân xác định 63 Bài tập 2.15. Tính độ dài đường cong ex+1 a/ y = ln ex 1 khi x biến thiên từ 1 đến 2. − t x = a(cos t + ln tg 2 ) π π b/ khi t biến thiên từ 3 đến 2 y = a sin t  Lời giải: a/ Ta có 2 2 x x 2x 2 e e e + 1 1 + y0 (x)= 1 + = ex + 1 − ex 1 e2x 1 − ! − ! Nên áp dụng công thức 2.11 ta được: 2 e4 e2x + 1 (t=e2x) t + 1 e2 + 1 s = dx = = ln e2x 1 2t(t 1) e2 Z1 − eZ2 − b/ Áp dụng công thức 2.12 ta có π 2 2 2 2 2 2 cos t cos t 2 x0 (t)+ y0 (t)= a . s = a dt = a ln sin2 t ⇒ s sin2 t √ Zπ s 3 3 3.3 Tính thể tích vật thể Trường hợp vật thể được giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng x = a, x = b. Giả thiết ta biết rằng diện tích S của thiết diện của vật thể khi cắt bởi mặt phẳn x = x0 là S(x0), và S(x) là hàm số xác định, khả tích trên [a, b]. Khi đó b V = S(x)dx (2.14) Za Bài tập 2.16. Tính thể tích của vật thể là phần chung của hai hình trụ x2 + y2 = a2 và y2 + z2 = a2(a > 0). Lời giải: Do tính đối xứng nên V = 8V trong đó V = V x 0, y 0, z 0 . Một 0 0 ∩{ ≥ ≥ ≥ } điểm M(x,0,0) Ox, qua M ta dựng thiết diện của V vuông góc với Ox thì được một hình ∈ 0 vuông có cạnh là √a2 x2, do đó S(x)= a2 x2. Áp dụng công thức 2.14 ta được − − a 16 V = 8 (a2 x2)dx = a3 − 3 Z0 63
  28. 64 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số Bài tập 2.17. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi mặt paraboloit z = 4 y2, các mặt phẳng − toạ độ và mặt phẳng x = a. Lời giải: Sau khi vẽ hình và áp dụng công thức 2.14 ta có: a 2 16 16 V = S(x)dx mà S(x)= (4 y2)dy = nên V = a − 3 3 Z0 Z0 a x b ≤ ≤ Trường hợp vật thể là vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong y = 0   y = f (x) quanh trục Ox, trong đó f C[a, b] thì  ∈  b V = π f 2(x)dx (2.15) Za Tương tự, nêú vật thể là vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong c y d ≤ ≤ x = 0 quanh trục Oy, trong đó ϕ C[c, d] thì  ∈  x = ϕ(y)   d V = π ϕ2(y)dy (2.16) Zc Bài tập 2.18. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các đường y = 2x x2 và y = 0. − a/quanhtrụcOxmộtvòng b/quanhtrụcOymộtvòng. Lời giải: a/ Áp dụng công thức 2.15 ta được: 2 V = π (2x x2)dx = − Z0 b/ Áp dụng công thức 2.16 ta được: 1 1 2 2 V = π 1 + 1 y dy π 1 1 y dy = Z − − Z − − 0  p  0  p  64
  29. 3. Các ứng dụng của tích phân xác định 65 3.4 Tính diện tích mặt tròn xoay a x b ≤ ≤ Cho hình thang cong giới hạn bởi y = 0 với f C1[a, b]. Quay hình thang cong  ∈  y = f (x) này quanh trục Ox thì ta được một vật thể tròn xoay. Khi đó diện tích xung quanh của vật  thể được tính theo công thức: b S = 2π f (x) 1 + f 2(x)dx (2.17) | | 0 Za q c y d ≤ ≤ Tương tự nếu quay hình thang cong x = 0 với ϕ C1[c, d], quanh trục Oy thì:  ∈  x = ϕ(y)   d S = 2π ϕ(y) 1 + ϕ 2(y)dy (2.18) | | 0 Zc q Bài tập 2.19. Tính diện tích mặt tròn xoay tạo nên khi quay các đường sau a/ y = tg x,0 a2 + b2 = 1 Oy(a b) c/ 9y2 = x(3 x)2,0 x 3 quanh trục Ox. − ≤ ≤ 65
  30. 66 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số Lời giải: a/ Áp dụng công thức 2.17 ta có: π 4 S = 2π tg x 1 + (1 + tg2 x)dx Z0 q 1 dt = 2π t 1 + (1 + t2)2. (đặt t = tg x) 1 + t2 Z0 q 1 1 + (1 + t2)2 = π .d(t2 + 1) 1 + t2 Z0 p 2 √1 + s2 = π ds (đặt s = 1 + t2) s Z1 √5 1 = π 1 + du u2 Z 1 √2  −  1 √5 1 √5 + 1 = π. √5 √2 + ln − ln ( − 2 √2 1 − √2 + 1 ) h − i b/ Nhận xét tính đối xứng của miền và áp dụng công thức 2.18 ta có: b a a y 2 S = 2.2π b2 y2. 1 + . dy b − s b b2 y2 Z0 q  −  b p a = 4π b4 + (a2 b2)y2dy b − Z0 q b a b4 = 4π a2 b2 y2 + dy b − s a2 b2 p Z0 − b a b4 = 4π a2 b2 y2 + βdy( đặt β = ) b − a2 b2 p Z0 q − b a 1 = 4π a2 b2. y y2 + β + β ln y + y2 + β b − 2 | | h q q i 0 p 1 y2 + βdy = y y2 + β + β ln y + y2 + β 2 | | ! Z q h q q i 66
  31. 4. Tích phân suy rộng 67 c/ Trước hết 2 2 2 (3 x)(1 x) 2 (1 x) 9y = x(3 x) 18yy0 = 3(3 x)(1 x) y0 = − − y0 = − − ⇒ − − ⇒ 6y ⇒ 4x Nên áp dụng công thức 2.17 ta có: 3 3 √x(3 x) (1 x)2 1 S = 2π − . 1 + − dx = 2π. (3 x)(1 + x)dx = 3π 3 4x 6 − Z0 r Z0 §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG Khi định nghĩa tích phân xác định, chúng ta đã xét các hàm số xác định trên một đoạn hữu hạn [a, b] và bị chặn trên đoạn đó. Trong phần này chúng ta sẽ mở rộng khái niệm tích phân, từ đó đưa vào khái niệm tích phân suy rộng với cận vô hạn và tích phân của hàm số không bị chặn. 4.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn Giả sử f (x) là hàm số xác định trên khoảng [a, +∞)] và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, A] , (a A < +∞). ≤ A Định nghĩa 2.6. Giới hạn của tích phân f (x)dx khi A +∞ được gọi là tích phân suy → Za rộng của hàm số f (x) trên khoảng [a, +∞) và ký hiệu như sau +∞ A f (x)dx = lim f (x)dx A +∞ Za → Za +∞ Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn ta nói tích phân suy rộng f (x)dx hội tụ. Ngược lại, Za nếu không tồn tại giới hạn này hoặc giới hạn bằng vô cùng ta nói tích phân đó phân kỳ. Tương tự ta định nghĩa tích phân của một hàm số f (x) trên các khoảng ( ∞, a] và − ( ∞, +∞) bởi các công thức sau − a a +∞ A f (x)dx = lim f (x)dx và f (x)dx = lim f (x)dx A ∞ A +∞,A0 ∞ Z∞ →− ZA Z∞ → →− AZ − − 0 67
  32. 68 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số Ta có thể viết +∞ +∞ a f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx Z∞ Za Z∞ − − khi hai trong ba tích phân nói trên hội tụ. Qua các định nghĩa trên ta thấy rằng tích phân suy rộng là giới hạn của tích phân xác định (hiểu theo nghĩa thông thường) khi cho cận tích phân dần tới vô cùng. Do đó có thể dùng công thức Leibniz để tính tích phân, sau đó cho cận tiến ra vô cùng. A f (x)dx = F(A) F(a) − Za kí hiệu F(+∞) = lim F(A) A ∞ → thì có thể viết +∞ ∞ f (x)dx = F(+∞) F(a) = F(x) + − |a Za +∞ dx Example 4.1. 1. Tính tích phân x ln x(lnln x)2 eZ2 Ta có A A dx 1 A 1 1 dx 1 = = nên lim = 2 ∞ 2 x ln x(lnln x) −lnln x e2 ln2 − lnln A ⇒ A + x ln x(lnln x) ln2 Z2 → Z2 e e Vậy +∞ dx 1 = x ln x(lnln x)2 ln2 eZ2 +∞ dx 2. Tính tích phân (x2 + 1)2 Z∞ − A Trước hết ta tính dx , đặt x = tg t dx = dt = cos2 tdt, (x2+1)2 (1+x2)2 1+tg2 t Z ⇒ A0 A arctg A dx 1 + cos 2t t sin2t arctgA = dt = + (x2 + 1)2 2 2 4 Z Z   arctgA0 A0 arctg A0 68
  33. 4. Tích phân suy rộng 69 Khi A +∞, A ∞ thì arctg A π ; arctg A π , suy ra → 0 →− → 2 0 →− 2 +∞ π dx t sin2t 2 π 2 2 = + = (x + 1) 2 4 π 2 Z∞   2 − − 0 0 0 3. x sin xdx = lim x sin xdx = lim ( x cos x + sin x) A = lim (A cos A sin A) A ∞ A ∞ − | A ∞ − Z∞ →− AZ →− →− −Giới hạn này không tồn tại, do đó tích phân phân kỳ. 4. Xét sự hội tụ của tích phân +∞ dx I = xα Z1 Tích phân suy rộng I hội tụ khi và chỉ khi α > 1, và phân kỳ khi và chỉ khi α 1. ≤ 4.2 Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn Giả sử f (x) là hàm số xác định trên khoảng [a, b) và khả tích trên mọi đoạn [a, t], (t < b bất kỳ), và lim f (x)= ∞. Điểm x = b được gọi là điểm bất thường (điểm kỳ dị) của hàm số x b f (x). → t Định nghĩa 2.7. Giới hạn của tích phân f (x)dx khi t b , được gọi là tích phân suy → − Za rộng của hàm số f (x) trên khoảng [a, b) và được ký hiệu như sau: b t f (x)dx = lim f (x)dx t b− Za → Za Nếu giới hạn ở vế phải tồn tại, ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Ngược lại nếu không tồn tại giới hạn này hoặc giới hạn bằng vô cùng, ta nói tích phân phân kỳ. Tương tự ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm số f (x) không bị chặn trên khoảng (a, b] và (a, b) lần lượt nhận x = a và x = b làm điểm bất thường. b b b t0 f (x)dx = lim f (x)dx và f (x)dx = lim f (x)dx + + t a t a ,t0 b− Za → Zt Za → → Zt Đối với tích phân có hai điểm bất thường x = a, x = b, ta có thể viết b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx Za Za Zc khi hai trong ba tích phân nói trên hội tụ. 69
  34. 70 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số 1 dx Example 4.2. 1. Xét sự hội tụ của tích phân √1 x2 Z1 − − 0 0 0 dx dx π = lim = lim arcsin x = lim ( arcsin t) = √ 2 t 1 √ 2 t 1 t 1 − 2 Z 1 x →− Z 1 x →− →− 1 − t − t − 1 1 t dx dx π = lim = lim arcsin x = lim arcsin t = √ 2 t 1 √ 2 t 1 t 1 2 Z 1 x → Z 1 x → → 0 − 0 − 0 nên 1 0 1 dx dx dx = + = π √1 x2 √1 x2 √1 x2 Z1 Z1 Z0 − − − − − 1 dx 2. Xét sự hội tụ của tích phân I = xα Z0 Tích phân suy rộng I hội tụ khi và chỉ khi α < 1, phân kỳ khi và chỉ khi α 1. ≥ 4.3 Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ Định lý 2.19. +∞ +∞ Nếu f (x) dx hội tụ thì f (x)dx hội tụ • | | Za Za b +∞ Nếu f (x) dx (có điểm bất thường là a hoặc b) hội tụ thì f (x)dx cũng hội tụ • | | Za Za Định nghĩa 2.8. +∞ +∞ +∞ Nếu f (x) dx hội tụ thì ta nói f (x)dx hội tụ tuyệt đối, còn nếu f (x)dx hội tụ • | | Za Za Za +∞ +∞ nhưng f (x) dx phân kì thì ta nói f (x) dx bán hội tụ. | | | | Za Za b b Nếu f (x) dx (có điểm bất thường là a hoặc b) hội tụ thì ta nói f (x)dx hội tụ • | | Za Za b b b tuyệt đối, còn nếu f (x)dx hội tụ nhưng f (x) dx phân kì thì ta nói f (x) dx | | | | Za Za Za bán hội tụ. 70
  35. 4. Tích phân suy rộng 71 4.4 Các tiêu chuẩn hội tụ Định lý 2.20 (Tiêu chuẩn so sánh). 1. Cho hai hàm số f (x) và g(x) khả tích trên mọi khoảng hữu hạn [a, A](a A) và ≤ 0 f (x) g(x), x a ≤ ≤ ≥ Khi đó +∞ +∞ i) Nếu g(x)dx hội tụ thì f (x)dx hội tụ Za Za +∞ +∞ ii) Nếu f (x)dx phân kỳ thì g(x)dx phân kỳ Za Za 2. Giả sử f (x) và g(x) là hai hàm số khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, A](a A) và +∞ +∞ ≤ f (x) lim = k(0 < k < +∞). Khi đó các tích phân f (x)dx và g(x)dx hoặc cùng x +∞ g(x) → Za Za hội tụ, hoặc cùng phân kỳ. Corollary 2.3. Cho f và g là hai hàm số dương khả tích trên [a, +∞). Khi đó +∞ +∞ f (x) 1. Nếu lim = 0 và nếu g(x)dx hội tụ thì f (x)dx hội tụ. x +∞ g(x) → Za Za +∞ +∞ f (x) 2. Nếu lim =+∞ và nếu g(x)dx phân kì thì f (x)dx phân kì. x +∞ g(x) → Za Za Tương tự chúng ta cũng có các tiêu chuẩn hội tụ cho trường hợp tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn. Định lý 2.21 (Tiêu chuẩn so sánh). 1. Cho hai hàm số f (x) và g(x) khả tích trên (a, b] và có cùng điểm bất thường là x = a sao cho 0 f (x) g(x), x (a, b] ≤ ≤ ∀ ∈ Khi đó b b i) Nếu g(x)dx hội tụ thì f (x)dx hội tụ Za Za 71
  36. 72 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số b b ii) Nếu f (x)dx phân kỳ thì g(x)dx phân kỳ Za Za 2. Giả sử f (x) và g(x) là hai hàm số dương khả tích trên (a, b] và có cùng điểm bất thường x = a. Nếu tồn tại giới hạn f (x) lim = k(0 1 a) I1 = α a x phân kì nếu α 1 Z  ≤ b dx hội tụ nếu α < 1 b dx hội tụ nếu α < 1 b) I2 = α , I20 = α a (x a) phân kì nếu α 1 a (b x) phân kì nếu α 1 Z −  ≥ Z −  ≥   4.5 Bài tập Bài tập 2.20. Xét sự hội tụ và tính (trong trường hợp hội tụ) các tích phân sau: 0 +∞ a. xexdx b. cos xdx Z∞ Z0 − +∞ 1 dx dx c. d. (x2 + 1)2 x(1 x) Z∞ Z0 − − p 72
  37. 4. Tích phân suy rộng 73 0 0 Lời giải. a. xexdx = ex(x 1) = 1 − Z∞ ∞ − − ∞ +∞ + b. cos xdx = sin x . Do không tồn tại giới hạn lim sin x nên tích phân đã cho x +∞ Z → 0 0 phân kì. π +∞ 2 dx +∞ dx c. . Đặt thì 2 π 2 2 = 2 2 2 x = tg t I = 2 cos tdt = 2 (x + 1) 0 (x + 1) Z∞ Z Z0 − 1 1 2 1 dx dx dx d. = + x(1 x) x(1 x) x(1 x) Z0 Z0 Z1 − − 2 − p p I1 p I2 | {z } | {z } 1 1 – Xét tích phân I1 có điểm bất thường là x = 0. Khi x 0, . Mặt → x(1 x) ∼ √x 1 − dx p khác tích phân hội tụ nên I hội tụ. √x 1 Z0 1 1 – Xét tích phân I2 có điểm bất thường là x = 1. Khi x 1, . → x(1 x) ∼ √1 x 1 − − dx p Mặt khác tích phân hội tụ nên I2 hội tụ. √1 x Z0 − Vậy I = I1 + I2 hội tụ. b dx Trong trường hợp tổng quát, muốn tính I = ta thực hiện phép đổi (x a)(b x) Za − − biến p x = a cos2 ϕ + b sin2 ϕ sẽ chuyển I về tích phân xác định π 2 I = 2 dϕ = π Z0 73
  38. 74 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số Bài tập 2.21. Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau 1 1 1 dx √xdx √xdx a. b. c. tg x x esin x 1 √1 x4 Z0 − Z0 − Z0 − +∞ +∞ 2 +∞ ln(1 + x)dx e x x2dx d. e. − dx f. x x2 x4 x2 + 1 Z1 Z1 Z0 − Lời giải. a. Tích phân đã cho có điểm bất thường là x = 0 và 1 1 1 lim : = x 0 tg x x x3 3 → − 1 1 dx dx Mặc khác phân kì nên cũng phân kì. x3 tg x x Z0 Z0 − b. Tích phân đã cho có điểm bất thường là x = 0 và khi x 0, esin x 1 sin x x nên 1 1 → − ∼ ∼ √x 1 dx √xdx . Do hội tụ nên cũng hội tụ. esin x 1 ∼ √x √x esin x 1 − Z0 Z0 − c. Tích phân đã cho có điểm bất thường là x = và khi x 1 thì → √x √x 1 = √1 x4 (1 x)(1 + x + x2 + x3) ∼ 2√1 x − − − 1 1 p dx √xdx Do hội tụ nên cũng hội tụ. √1 x √1 x4 Z0 − Z0 − +∞ +∞ ln(1 + x) 1 dx ln(1 + x)dx d. Ta có > với mọi x > e 1. Mà phân kì nên cũng x x − x x Z1 Z1 phân kì. +∞ x2 2 e 1 dx e. Ta có e x 0 nên − 0. Mặt khác hội tụ nên − x2 x2 x2 Z0 +∞ 2 e x − dx cũng hội tụ. x2 Z1 x2 1 f. Khi x +∞ thì nên tích phân đã cho hội tụ. → x4 x2 + 1 ∼ x2 − 74
  39. 4. Tích phân suy rộng 75 +∞ Bài tập 2.22. Nếu f (x)dx hội tụ thì có suy ra được f (x) 0 khi x +∞ không? → → Za +∞ +∞ Lời giải. f (x)dx hội tụ không suy ra được f (x) 0 khi x +∞. Vídụnhư sin(x2)dx → → Za Z0 hội tụ (xem bài tập 2.24) nhưng không tồn tại giới hạn lim sin(x2). x +∞ → +∞ Bài tập 2.23. Cho hàm số f (x) liên tục trên [a, +∞) và lim f (x)= A = 0. Hỏi f (x)dx x +∞ 6 → Za có hội tụ không? +∞ +∞ f (x) Lời giải. Theo giả thiết lim = 1, mà Adx phân kì nên f (x)dx cũng phân kì. x +∞ A → Za Za Bài tập 2.24. Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau +∞ +∞ +∞ 2 x2 2 a. sin(x )dx b. e− dx c. 1 cos dx − x Z0 Z0 Z1   π 1 1 2 2 x dx p p 1 q 1 d. e. (tg x) dx f. x − (1 x) − dx 3 (1 x2)5 − Z0 − Z0 Z0 +∞p 1 p 1 x f (x)dx g. x − e− dx h. ( f C[0,1]) √1 x2 ∈ Z0 Z0 − dt Lời giải. a. Thựchiệnphépđổibiến x = √t, dx = , đưa tích phân đã cho về dạng 2√t +∞ 1 sin tdt I = 2 √t Z0 Ta có thể viết π +∞ 2 +∞ sin tdt sin tdt sin tdt = + √t √t √t Z Z Zπ 0 0 2 I1 I2 sin t | {z } | {z } Vì lim = 0 nên tích phân I1 thực chất là tích phân xác định nên hội tụ, do đó chỉ t 0 √ → t cần xét I2. +∞ +∞ ∞ +∞ +∞ sin t d(cos t) cos t + 1 cos t 1 cos t = = = = I2 dt 3/2 dt 3/2 dt √t − √t − √t π − 2 t −2 t Zπ Zπ 2 Zπ Zπ 2 2 2 2 75
  40. 76 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số +∞ cos t 1 cos t Vì nên dt hội tụ. Vậy ta có I2 cũng hội tụ và tích phân đã cho t3/2 ≤ t3/2 t3/2 Zπ 2 hội tụ. +∞ +∞ x2 x x 1 x2 b. Ta có với x > 1 thì e− 0. 2 p 0 thì khi x , (tg x)p = = → 2 cos x  π  ∼ π p   sin x x  2 −  2 − nên I hội tụ nếu 0 0;{z còn I chỉ} hội| tụ khi {z1 q 0. Vậy I chỉ hội tụ khi p > 0, q > 0. g. Nếu p 1 thì tích phân đã cho chỉ có điểm bất thường tại +∞ và ≥ p+1 p 1 x 1 x lim [x − e− ] : = lim = 0 x +∞ x2 x +∞ ex → → 76
  41. 4. Tích phân suy rộng 77 p 1 x nên x − e− dx hội tụ. x Z+∞ → Nếu p 0 và I2 hội| tụ{z với p bất} kì.| {z } +∞ p 1 x Vậy x − e− dx hội tụ nếu p > 0. Z0 h. Mặc dù tích phân đã cho là tích phân suy rộng có điểm bất thường là x = 1 nhưng ta có thể đưa I về tích phân thường bằng cách đổi biến. Đặt x = sin θ, trên [0, c] ta có π 1 c arcsin c 2 f (x)dx f (x)dx = lim = lim f (sin θ)dθ = f (sin θ)dθ 2 2 √1 x c 1− √1 x c 1− Z0 − → Z0 − → Z0 Z0 Vì f là một hàm số liên tục trên [0,1] nên hàm hợp f (sin θ) là một hàm số liên tục và π bị chặn trên 0, và tích phân đã cho là tích phân xác định nên hội tụ. 2 h i Bài tập 2.25. Tính các tích phân suy rộng sau +∞ +∞ +∞ ax ax dx a. e− sin bxdx b. e− cos bxdx c. 1 + x4 Z0 Z0 Z0 +∞ ∞ a sin bx + b cos bx + b Lời giải. a. e ax sin bxdx = e ax = − − a2 + b2 − a2 + b2 Z 0 0 +∞ ∞ b sin bx a cos bx + b b. e ax cos bxdx = − e ax = − a2 + b2 − a2 + b2 Z 0 0 1 c. Thực hiện phép đổi biến x = ta có t +∞ +∞ +∞ dx t2dt x2dx I = = = 1 + x4 1 + t4 1 + x4 Z0 Z0 Z0 Do đó 1 +∞ +∞ +∞ +∞ 1 + dx dx x2dx (1 + x2)dx x2 2I = + = =   1 + x4 1 + x4 1 + x4 1 Z Z Z Z x2 + 0 0 0 0 x2 77
  42. 78 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số 1 Lại đặt z = x ta được − x +∞ ∞ 1 z 1 z + π I = = arctg = 2 z2 + 2 √ √ √ Z∞ 2 2 2 ∞ 2 2 − − 78
  43. CHƯƠNG 3 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ §1. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 1.1 Giới hạn của hàm số nhiều biến số Ta nói rằng dãy điểm M (x , y ) dần tới điểm M (x , y ) trong R2 và viết M M • { n n n } 0 0 0 n → 0 khi n +∞ nếu lim d(Mn, M0)= 0 hay nếu xn x0, yn y0. n +∞ → → → → Giả sử hàm số z = f (M) = f (x, y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm • M0(x0, y0), có thể trừ tại điểm M0. Ta nói rằng hàm số f (x, y) có giới hạn là l khi M dần đến M0 nếu với mọi dãy điểm Mn(xn, yn) thuộc lân cận V dần đến M0 ta đều có lim f (xn, yn)= l n +∞ → Khi đó ta viết lim f (x, y)= l hay lim f (M)= l (x,y) (x ,y ) M M0 → 0 0 → Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một • biến số. Các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương đối với hàm số một biến số cũng • đúng cho hàm số nhiều biến số và được chứng minh tương tự. Nhận xét: Theo định nghĩa trên, muốn chứng minh sự tồn tại của giới hạn của hàm số nhiều • biến số là việc rất khó khăn vì phải chỉ ra lim f (xn, yn) = l với mọi dãy số xn n +∞ → { → 79
  44. 80 Chương 3. Hàm số nhiều biến số x , y y . Trong thực hành, muốn tìm giới hạn của hàm số nhiều biến số, 0} { n → 0} phương pháp chứng minh chủ yếu là đánh giá hàm số, dùng nguyên lý giới hạn kẹp để đưa về giới hạn của hàm số một biến số. Với chiều ngược lại, muốn chứng minh sự không tồn tại giới hạn của hàm số nhiều • biến số, ta chỉ cần chỉ ra tồn tại hai dãy x x , y y và x x , y y { n → 0 n → 0} { n0 → 0 n0 → 0} sao cho lim f (xn, yn) = lim f (xn0 , yn0 ) n +∞ n +∞ → 6 → hoặc chỉ ra tồn tại hai quá trình (x, y) (x , y ) khác nhau mà f (x, y) tiến tới hai → 0 0 giới hạn khác nhau. 1.2 Tính liên tục của hàm số nhiều biến số Giả sử hàm số f (M) xác định trong miền D, M là một điểm thuộc D. Ta nói rằng • 0 hàm số f (M) liên tục tại điểm M0 nếu lim f (M) = f (M0) M M → 0 Nếu miền D đóng và M0 là điểm biên của D thì limM M f (M) được hiểu là giới hạn → 0 của f (M) khi M dần tới M0 ở bên trong của D. Hàm số f (M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc • D. Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất như hàm số một biến số liên • tục. Chẳng hạn, nếu hàm số nhiều biến số liên tục trong một miền đóng, bị chặn thì nó liên tục đều, bị chặn trong miền ấy, đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong miền đó. 1.3 Bài tập Bài tập 3.1. Tìm miền xác định của các hàm số sau 1 a. z = b. z = (x2 + y2 1)(4 x2 y2) x2 + y2 1 − − − − q y 1 c. z = arcsinp − d. z = x sin y x p Bài tập 3.2. Tìm giới hạn (nếu có) của các hàm số sau x2 y2 πx a. f (x, y)= − (x 0, y 0) b. f (x, y)= sin (x ∞, y ∞) x2 + y2 → → 2x + y → → 80
  45. 2. Đạo hàm và vi phân 81 Lời giải. a. Nếu cho (x, y) (0,0 theo phương của đường thẳng y = kx thi ta có → x2 k2x2 1 k2 1 k2 f (x, kx) = − = − − khi x 0 x2 + k2x2 1 + k2 → 1 + k2 → Vậy khi (x, y) (0,0 theo những phương khác nhau thì f (x, y) dần tới những giới → hạn khác nhau. Do đó không tồn tại lim f (x, y). (x,y) (0,0) → b. Nếu cho (x, y) (0,0 theo phương của đường thẳng y = kx thi ta có → πx π π f (x, kx)= sin = sin sin khi x 0 2x + kx 2 + k → 2 + k → Vậy khi (x, y) (0,0 theo những phương khác nhau thì f (x, y) dần tới những giới → hạn khác nhau. Do đó không tồn tại lim f (x, y). (x,y) (0,0) → §2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.1 Đạo hàm riêng Cho hàm số f (x, y) xác định trong một miền D, điểm M(x , y ) D. Nếu cho y = y , • 0 0 ∈ 0 hàm số một biến số x f (x, y0) có đạo hàm tại điểm x = x0 thì đạo hàm đó gọi là 7→ ∂ f ∂ đạo hàm riêng của f với biến x tại M và được kí hiệu là hay f (x, y). 0 ∂x ∂x ∂ f f (x + x, y ) f (x , y ) = lim 0 4 0 − 0 0 ∂x x 0 x 4 → 4 Cho hàm số f (x, y) xác định trong một miền D, điểm M(x , y ) D. Nếu cho x = x , • 0 0 ∈ 0 hàm số một biến số x f (x0, y) có đạo hàm tại điểm y = y0 thì đạo hàm đó gọi là 7→ ∂ f ∂ đạo hàm riêng của f với biến x tại M và được kí hiệu là hay f (x, y). 0 ∂y ∂y ∂ f f (x , y + y) f (x , y ) = lim 0 0 4 − 0 0 ∂y y 0 y 4 → 4 Chú ý: Các đạo hàm riêng của các hàm số n biến số (với n 3) được định nghĩa tương tự. ≥ Khi cần tính đạo hàm riêng của hàm số theo biến số nào, xem như hàm số chỉ phụ thuộc vào biến đó, còn các biến còn lại là các hằng số và áp dụng các quy tắc tính đạo hàm như hàm số một biến số. 81
  46. 82 Chương 3. Hàm số nhiều biến số 2.2 Vi phân toàn phần Cho hàm số z = f (x, y) xác định trong miền D. Lấy các điểm M (x , y ) D, M(x + • 0 0 0 ∈ 0 x , y + y ) D. Biểu thức f = f (x + x , y + y ) f (x , y )(x , y ) được 4 0 0 4 0 ∈ 4 0 4 0 0 4 0 − 0 0 0 0 gọi là số gia toàn phần của f tại M0. Nếu như có thể biểu diễn số gia toàn phần dưới dạng f = A. x + B y + α y + β y 4 4 4 4 4 trong đó A, B là các hằng số chỉ phụ thuộc x , y còn α, β 0 khi M M , thì ta nói 0 0 → → 0 hàm số z khả vi tại M , còn biểu thức A. x + B y + α y được gọi là vi phân toàn 0 4 4 4 phần của z = f (x, y) tại M0 và được kí hiệu là dz. Hàm số z = f (x, y) được gọi là khả vi trên miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền ấy. Đối với hàm số một biến số, sự tồn tại đạo hàm tại điểm x tưong đương với sự khả • 0 vi của nó tại x0. Đối với hàm số nhiều biến số, sự tồn tại của các đạo hàm riêng tại M0(x0, y0) chưa đủ để nó khả vi tại M0 (xem bài tập 3.3). Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y) khả vi tại M0. Định lý 3.22. Nếu hàm số f (x, y) có các đạo hàm riêng trong lân cận của M0 và nếu các đạo hàm riêng đó liên tục tại M0 thì f (x, y) khả vi tại M0 và dz = f 0 x + f 0 y x 4 y 4 2.3 Đạo hàm của hàm số hợp Cho D là một tập hợp trong R2 và các hàm số ϕ f D ϕ(D) R2 R → ⊂ → và F = f ϕ là hàm số hợp của hai hàm số f và ϕ: ◦ F(x, y)= f (u(x, y), v(x, y)) ∂ f ∂ f Định lý 3.23. Nếu f có các đạo hàm riêng , liên tục trong ϕ(D) và nếu u, v có các ∂x ∂y ∂u ∂u ∂v ∂v ∂F ∂F đạo hàm riêng , , , trong D thì tồn tại các đạo hàm riêng , và ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂F ∂ f ∂u ∂ f ∂v = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂F ∂ f ∂u ∂ f ∂v (3.1) = +  ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y  82
  47. 2. Đạo hàm và vi phân 83 Công thức 3.1 có thể được viết dưới dạng ma trận như sau ∂u ∂u ∂F ∂F ∂ f ∂ f ∂x ∂y =   ∂x ∂y ∂v ∂v    ∂u ∂v   ∂x ∂y      trong đó ma trận ∂u ∂u ∂x ∂y  ∂v ∂v   ∂x ∂y      được gọi là ma trận Jacobi của ánh xạ ϕ, định thức của ma trận ấy được gọi là định thức D(u, v) Jacobi của u, v với x, y và được kí hiệu là . D(x, y) 2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao Cho hàm số hai biến số z = f (x, y). Các đạo hàm riêng f , f là những đạo hàm riêng • x0 y0 cấp một. Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một nếu tồn tại được gọi là những đạo hàm riêng cấp hai. Có bốn đạo hàm riêng cấp hai được kí hiệu như sau: ∂ ∂ f ∂2 f = = f ”(x, y) ∂x ∂x ∂x2 xx     ∂ ∂ f ∂2 f  = = f ”(x, y) ∂y ∂x ∂y∂x yx     ∂ ∂ f ∂2 f  = = f ”(x, y) ∂x ∂y ∂x∂y xy   ∂ ∂ f ∂2 f  = = f (x y)  2 yy” , ∂y ∂y ∂y     Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai, nếu tồn tại, được gọi là các đạo hàm riêng cấp ba, Định lý 3.24 (Schwarz). Nếu trong một lân cận U nào đó của điểm M0(x0, y0) hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng fxy”, fyx” và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M0 thì fxy” = fyx” tại M0. Xét hàm số z = f (x, y), vi phân toàn phần của nó dz = f dx + f dy, nếu tồn tại, cũng • x0 y0 là một hàm số với hai biến số x, y. Vi phân toàn phần của dz, nếu tồn tại, được gọi là vi phân toàn phần cấp hai của z và được kí hiệu là d2z. Ta có công thức 2 2 2 d z = fxx”dx + 2 fxy”dxdy + fyy”dy 83
  48. 84 Chương 3. Hàm số nhiều biến số 2.5 Đạo hàm theo hướng - Gradient Cho f (x, y, z) là một hàm số xác định trong một miền D R3 và ~l = (l , l , l ) là một • ∈ 1 2 3 véctơ bất kì trong R3. Giới hạn, nếu có, f (M + t~l) f (M) lim 0 − t 0 t → ~ ∂ f được gọi là đạo hàm của hàm số f theo hướng l tại M0 và được kí hiệu là (M0). ∂~l Nếu~l trùng với véctơ đơn vị i của trục Ox thì đạo hàm theo hướng~l chính là đạo hàm riêng theo biến x của hàm f ∂ f ∂ f (M0)= (M0) ∂~l ∂x Vậy đạo hàm riêng theo biến x chính là đạo hàm theo hướng của trục Ox, cũng như ∂ f ∂ f vậy, , là các đạo hàm của f theo hướng của trục Oy và Oz. Định lý sau đây cho ∂y ∂z ta mối liên hệ giữa đạo hàm theo hướng và đạo hàm riêng: Định lý 3.25. Nếu hàm số f (x, y, z) khả vi tại điểm M0(x0, y0, z0) thì tại M0 có đạo hàm theo mọi hướng~l và ta có ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f (M0)= (M0) cos α + (M0) cos β + (M0) cos γ ∂~l ∂x ∂y ∂z trong đó (cos α, cos β, cos γ) là cosin chỉ phương của~l. Cho f (x, y, z) là hàm số có các đạo hàm riêng tại M (x , y , z ). Người ta gọi gradient • 0 0 0 0 của f tại M0 là véctơ ∂ f ∂ f ∂ f (M ), (M ), (M ) ∂x 0 ∂y 0 ∂z 0   và được kí hiệu là grad−−→ f (M0). Định lý 3.26. Nếu hàm số f (x, y, z) khả vi tại M0 thì tại đó ta có ∂ f ~ (M0)= grad−−→ f .l ∂~l ∂ f ~ Chú ý: (M0) thể hiện tốc độ biến thiên của hàm số f tại M0 theo hướng l. Từ công thức ∂~l ∂ f ~ ~ ~ ∂ f ~ (M0) = grad−−→ f .l = grad−−→ f l . cos grad−−→ f , l ta có ~ (M0) đạt giá trị lớn nhất bằng ∂l ∂l ~ ~   grad−−→ f l nếu l có cùng phương với grad−−−→f . Cụ thể 84
  49. 2. Đạo hàm và vi phân 85 Theo hướng ~l, hàm số f tăng nhanh nhất tại M nếu ~l có cùng phương, cùng hướng • 0 với grad−−−→f . Theo hướng~l, hàm số f giảm nhanh nhất tại M nếu~l có cùng phương, ngược hướng • 0 với grad−−−→f . 2.6 Hàm ẩn - Đạo hàm của hàm số ẩn Cho phương trình F(x, y) = 0 trong đó F : U R là một hàm số có các đạo hàm • → riêng liên tục trên tập mở U R2 và F (x , y ) = 0. Khi đó phương trình F(x, y) = 0 ⊂ y0 0 0 6 xác định một hàm số ẩn y = y(x) trong một lân cận nào đó của x0 và có đạo hàm Fx0 y0(x)= − Fy0 Tương tự, cho phương trình F(x, y, z) = 0 trong đó F : U R là một hàm số có các • → đạo hàm riêng liên tục trên tập mở U R3 và F (x , y , z ) = 0. Khi đó phương trình ⊂ z0 0 0 0 6 F(x, y, z)= 0 xác định một hàm số ẩn z = z(x, y) trong một lân cận nào đó của (x0, y0) và có đạo hàm Fx0 Fy0 z0x = , zy0 = − Fz0 − Fz0 2.7 Bài tập Bài tập 3.3. Chứng minh rằng hàm số xy nếu 2 2 (x, y) = (0,0) f (x, y)= x + y 6  0 nếu (x, y) = (0,0) có các đạo hàm riêng tại (0,0) nhưng không liên tục tại (0,0) và do đó không khả vi tại (0,0). Bài tập 3.4. Tính các đạo hàm riêng của hàm số sau x 3 a) z = ln x + x2 + y2 b) z = y2 sin c) z = xy y  q  1 x2 y2 z d) z = arctg − e) u = xy , (x, y, z > 0) f) u = e x2+y2+z2 , (x, y, z > 0) s x2 + y2 Lời giải. a. 1 + x y √x2+y2 1 √x2+y2 z0x = = ; zy0 = x + x2 + y2 x2 + y2 x + x2 + y2 p p p 85
  50. 86 Chương 3. Hàm số nhiều biến số b. x x x z0 = y cos ; z0 = 2y sin x cos . x y y y − y c. 3 y3 1 2 y3 z0x = y x − ; zy0 = 3y ln x.x d. 1 ∂ x2 y2 y2 z0 = − = x x2 y2 2 2 4 4 − + 1 ∂x s x + y ! x x y x2+y2 − p 1 ∂ x2 y2 y z0 = − = − y x2 y2 2 2 4 4 − + 1 ∂y s x + y ! x y x2+y2 − p e. z yz 1 yz z 1 yz z u0x = y x − ; uy0 = x zy − .ln x; uz0 = x y ln y ln x f. 1 x 1 y 1 z x2+y2+z2 2 x2+y2+z2 2 x2+y2+z2 2 u0x = e . − ; uy0 = e − ; uz0 = e − . (x2 + y2 + z2)2 (x2 + y2 + z2)2 (x2 + y2 + z2)2 Bài tập 3.5. Khảo sát sự liên tục và sự tồn tại, liên tục của các đạo hàm riêng của các hàm số f (x, y) sau a. 2 x arctg y nếu x = 0 f (x, y) = x 6 0 nếu x = 0    b. x sin y y sin x − nếu (x, y) = (0,0) x2 + y2 6 f (x, y) =  0 nếu (x, y) = (0,0) .  86
  51. 2. Đạo hàm và vi phân 87 Lời giải. a. Ta dễ thấy hàm số liên tục với mọi (x, y) = (0, y). 2 6 2 Xét x = 0, vì x arctg y π x nên lim x. arctg y = 0 = f (0, y) . Vậy f (x, y) liên x ≤ 2 | | x 0 x R2 → tục trên .   Với x = 0 các đạo hàm riêng tồn tại và liên tục: 6 y 2 2x2y2 2x3y z0 = arctg , z0 = x x − x4 + y4 y x4 + y4   Xét tại x = 0, 2 f (h, y) f (0, y) h 0, y = 0 fx0 (0, y) = lim − = arctg y =  h 0 h  π , y = 0  →   2  6  f (0, y + k) f (0, y)  fy0 (0, y) = lim − = lim 0 = 0 k 0 k k 0  → → Vậy ta thấyf (x, y) liên tục trên R2 (0,0) ; f (x, y) liên tục trên R2.  x0 \ y0 b. Hàm số liên tục trên R2 (0,0), còn tại (0,0) thì \ x sin y ysinx xy sin y sin x 1 sin y sin x 0 − = ≤ x2 + y2 x2 + y2 y − x ≤ 2 y − x   nên x sin y ysinx lim − = 0 x 0 x2 + y2 y→0 → Vậy f (x, y) liên tục trên R2. Bài tập 3.6. Giả sử z = yf x2 y2 , ở đó f là hàm số khả vi. Chứng minh rằng đối với − hàm số z hệ thức sau luôn thoả mãn 1 1 z z0 + z0 = x x y y y2 Lời giải. Ta có 2 2 2 2 2 2 z0 = yf x y .2x, z0 = f x y + y. f x y . ( 2y) x − y − − −       nên 1 1 f x2 y2 z z0x + zy0 = − = 2 x y y  y Bài tập 3.7. Tìm đạo hàm của hàm số hợp sau đây u2 2v2 2 2 a. z = e − , u = cos x, v = x + y . p 87
  52. 88 Chương 3. Hàm số nhiều biến số 2 2 x b. z = ln u + v , u = xy, v = y .  c. z = arcsin (x y) , x = 3t, y = 4t3. − Lời giải. a. Ta có x v0x = u0x = sin x √x2+y2 − ; y ; ( uy0 = 0  vy0 =  √x2+y2 nên  cos x2 2(x2+y2) z = e − [ sin2x 4x] . 0x − − cos x2 2(x2+y2) z = e − [ 4y] .  y0 −  b. Ta có 1 u = y v0x = 0x ; y = x ( uy0 = x ( vy0 −y2 nên 2 2 y4 1 z0x = , zy0 = 4 − x y (y + 1) c. Ta có xt0 = 3 2 ( yt0 = 12t nên 1 2 zt0 = 3 12t 2 − 1 (x y) − −   q Bài tập 3.8. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số y a. z = sin x2 + y2 . b. z = ln tg x  x + y  2 c. z = arctg d. u = xy z. (3.2) x y − Lời giải. a. dz = cos x2 + y2 (2xdx + 2ydy)   b. 2 xdy ydx dz = . − . 2y x2 sin x   88
  53. 2. Đạo hàm và vi phân 89 c. (x y) dx + (x + y) dy dz = − . (x y)2 + (x + y)2 − d. 2 2 y z du = xy z dx + 2yz ln xdy + y2 ln xdz . x   Bài tập 3.9. Tính gần đúng a. A = 3 (1,02)2 + (0,05)2 b. B = ln √3 1,03 + √4 0,98 1 − q Lời giải. a. Xét hàm f (x, y) = 3 x2 + y2, ∆x = 0, 02; ∆y = 0, 05; x = 1; y = 0. Ta có p 1 1 fx0 = 2x; fy0 = 2y 3 (x2 + y2)2/3 3 (x2 + y2)2/3 Khi đó 2 f (1 + ∆x,0 + ∆y) f (1,0) + f 0 (1,0) ∆x + f 0 (1,0) ∆y = 1 + .0, 02 + 0.0, 05 = 1, 013. ≈ x y 3 b. Xét hàm f (x, y) = ln √3 x + √4 y 1 ; x = 1; y = 1; ∆x = 0, 03; ∆y = 0,02 − Ta có  1 1 1 1 f 0 = . ; f 0 = . x 3 4 2 y 3 4 3 √x + √y 1 3 √x + √y 1 4 − 3x − 3y Khi đó 1 1 f (1 + ∆x,1 + ∆y) f (1,1) + f 0 (1,1) ∆x + f 0 (1,1) ∆y = 0 + .0, 03 + ( 0,02) = 0, 005. ≈ x y 3 4 − Bài tập 3.10. Tìm đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình sau 3 3 4 x + y y a. x y y x = a ; tính y0 b. arctg = ; tính y0 − a a z 3 3 3 c. x + y + z = e ; tính z0 , z0 d. x + y + z 3xyz = 0, tính z0 , z0 x y − x y Lời giải. a. Xét hàm số ẩn F (x, y) = x3y y3x a4 = 0, có F = 3x2y y3; F = x3 3y2x. Vậy − − x0 − y0 − 2 3 Fx0 3x y y y0 = − = − F − x3 3y2x y0 − 89
  54. 90 Chương 3. Hàm số nhiều biến số 1 a a F0 = 2 = 2 x x+y a2+(x+y) x+y y 1+( a ) b. Xét hàm số ẩn F (x, y) = arctg có 2 nên a − a  a 1 a2 a2 (x+y) F0 = 2 = − − 2  y a2+(x+y) − a a(a2+(x+y) )  a y0 =  . (x + y)2 c. Xét hàm số ẩn F (x, y, z) = x + y + z ez có F = 1; F = 1; F = 1 ez nên − x0 y0 z0 − 1 1 z0 = − ; z0 = − x 1 ez y 1 ez − − d. Xét hàm số ẩn F (x, y) = x3 + y3 + z3 3xyz = 0 có F = 3x2 3yz; F = 3y2 3xz; F = − x0 − y0 − z0 3z2 3xy nên − 3yz 3x2 3xz 3y2 z0 = − ; z0 = − x 3z2 3xy x 3z2 3xy − − x+z Bài tập 3.11. Cho u = y+z , tính u0x, uy0 biết rằng z là hàm số ẩn của x, y xác định bởi phương trình z.ez = x.ex + y.ey F = (ex + xex) x0 − z x y  y y Lời giải. Xét hàm số F (x, y, z) = ze xe ye = 0 có Fy0 = (e + ye ) nên − −  −  z z Fz0 = e + ze  ex+xex  ex+xex 1 + z z  (x + z) z z (1 + z0x) . (y + z) (x + z) (z0x) e +ze − e +ze u0x = − =  (y + z)2  (y + z)2  y y y y  e +ye e +ye  (x + z) . 1 + z (y + z) z (x + z) . 1 + z z (y + z) z z  y0 − y0 e +ze − e +ze uy0 = =  (y +z)2    (y +z)2      Bài tập 3.12. Tìm đạo hàm của các hàm số ẩn y(x), z(x) xác định bởi hệ x + y + z = 0 x2 + y2 + z2 = 1  Lời giải. Lấy đạo hàm hai vế của các phương trình của hệ ta có 1 + y0x + z0x = 0 2x + 2yy + 2zz = 0  0x 0x nên  z x y = − 0x y z  x − y z = −  0x y z −  90
  55. 2. Đạo hàm và vi phân 91 Bài tập 3.13. Phương trình z2 + 2 = y2 z2, xác định hàm ẩn z = z (x, y). Chứng minh x − rằng 2 1 1 x z0x + y zy0 = z p F = 2 x0 − x2  y Lời giải. Xét hàm số 2 2 2 2 có Fy0 = − nên F (x, y, z) = z + x y z  √y2 z2 − −  −  z p F0 = 2z + z √y2 z2  −  2  2 z = x 0x 2z + z  √y2 z2  y −  −  √y2 z2 z = − y0 2z + z  √y2 z2  − 2 zy0 1  Từ đó suy ra x z0x + y = z .  Bài tập 3.14. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau 1 y a. z = (x2 + y2)3 b. z = x2 ln x2 + y2 c. z = arctg 3 x q   2 2 2 2 2x 2x + y z00xx = x + y + x = 2 x2 + y2 x2 + y2 2 2  z0 = x x + y p 2 2 x  2 2 2y x + 2y Lời giải. a. Ta có nên zyy00 = x + y + y p = p  2 2  2 2 2 2 zy0 = ypx + y  2 x + y x + y   p 2xy xy p z00xy = = p p   2 x2 + y2 x2 + y2     p p2x 2x (x + y) x2 z00xx = 2ln (x + y) + + − x2 x + y (x + y)2 z = 2x ln (x + y) +  2 0x x + y  2x x b. Ta có  nên z = + − x2  00xy x + y 2 z =  (x + y)  y0 x + y  x2 zyy00 = 2   (x + y)     2xy z00xx = 1 y y (x2 + y2)2 z0x = .− = −  y 2 x2 x2 + y2 x2 + y2 + y.2y y2 x2  1 + x  c. Ta có nên z00xy = − = −  1 1 x  2 2 2 2 2 2 z0 =  =  (x + y ) (x + y )  y y 2 x x2 + y2  2xy 1 + x zyy00 = − 2   (x2 + y2)      91
  56. 92 Chương 3. Hàm số nhiều biến số Bài tập 3.15. Tính vi phân cấp hai của các hàm số sau 1 a. z = xy2 x2y b. z = − 2 (x2 + y2) Lời giải. a. Ta có dz = y2 2xy dx + 2xy x2 dy nên − −   d2z = 2y (dx)2 + 4 (y x) dxdy+ (2y) (dy)2 − − b. Ta có dz = x dx + y dy nên 2(x2+y2)2 2(x2+y2)2 y2 3x2 4xy x2 3y2 d2z = − (dx)2 dxdy + − (dy)2 (x2 + y2)3 − (x2 + y2)3 (x2 + y2)3 §3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 3.1 Cực trị tự do Định nghĩa 3.9. Cho hàm số z = f (x, y) xác định trong một miền D và M (x , y ) D. 0 0 0 ∈ Ts nói rằng hàm số f (x, y) đạt cực trị tại M0 nếu với mọi điểm M trong lân cận nào đó của M nhưng khác M , hiệu số f (M) f (M ) có dấu không đổi. 0 0 − 0 Nếu f (M) f (M ) > 0 trong một lân cận nào đó của M thì M được gọi là cực tiểu • − 0 0 0 của hàm số f tại M0. Nếu f (M) f (M ) 0, là cực đại nếu − 0 r < 0. 92
  57. 3. Cực trị của hàm số nhiều biến số 93 2. Nếu s2 rt > 0 thì f (x, y) không đạt cực trị tại M . − 0 Chú ý: Nếu s2 rt = 0 thì chưa kết luận được điều gì về điểm M , nó có thể là cực trị, − 0 cũng có thể không. Trong trường hợp đó ta sẽ dùng định nghĩa để xét xem M0 có phải là cực trị hay không bằng cách xét hiệu f (M) f (M ), nếu nó xác định dấu trong một lân − 0 cận nào đó của M0 thì nó là cực trị và ngược lại. Bài tập 3.16. Tìm cực trị của các hàm số sau a. z = x2 + xy + y2 + x y + 1 b. z = x + y x.ey − − 4 4 2 2 2 2 (x2+y2) c. z = 2x + y x 2y d. z = x + y e− − − − p = z = 2x + y + 1 = 0 x = 1 Lời giải. a. Xéthệphươngtrình 0x − . Vậy ta có q = z = x + 2y 1 = 0 ⇔ y = 1  y0 −  M ( 1,1) là điểm tới hạn duy nhất. −   Ta có A = z (M)= 2; B = z (M)= 1; C = z (M)= 2 nên B2 AC = 1 4 = 3 0 nên M là điểm cực tiểu. b. Xét hệ phương trình p = 1 ey = 0 x = 1 − q = 1 xey = 0 ⇔ y = 0  −  Vậy hàm số có điểm tới hạn duy nhất M (1,0). Ta có A = z00xx(M) = 0; B = z00xy(M) = 1; C = z (M)= 1 nên B2 AC = 1 > 0. Hàm số đã cho không có cực trị. − yy00 − − c. Xét hệ phương trình z = 8x3 2x x 4x2 1 = 0 x = 0 x = 1 x = 1 0x − − ∨ 2 ∨ − 2 Vậy các điểm  3  2  z0 = 4y 4y ⇔ y y 1 = 0 ⇔ y = 0 y = 1 y = 1  y −  −  ∨ ∨ − tới hạn của hàm số là     1 1 M (0,0) ; M (0,1) ; M (0, 1) ; M ,0 ; M ,1 1 2 3 − 4 2 5 2     1 1 1 1 M , 1 ; M ,0 ; M ,1 ; M , 1 6 2 − 7 −2 8 −2 9 −2 −         Ta có z = 24x2 2; z = 0; z = 12y2 4. 00xx − 00xy yy00 − – Tại M (0,0), A = 2; B = 0; C = 4; B2 AC = 8 0 nên M , M 2 3 − − − 2 3 không phải là điểm cực đại với z = 0. 93
  58. 94 Chương 3. Hàm số nhiều biến số – Tại M 1 ,0 ; M 1 ,0 ; A = 4; B = 0; C = 4; B2 AC = 16 > 0 nên M , M 4 2 7 −2 − − 4 7 không phải là điểm cực đại với z = 0. – Tại M 1 ,1 ; M 1 , 1 ; M 1 ,1 ; M 1 , 1 ; A = 4; B = 0; C = 8; B2 5 2 6 2 − 8 − 2 9 − 2 − − AC = 32  0 nên tại M hàm số đạt − − cực tiểu. 3.2 Cực trị có điều kiện Cho tập mở U R2 và hàm số f : U R. Xét bài toán tìm cực trị của hàm số f khi ⊂ → các biến x, y thoả mãn phương trình ϕ(x, y)= 0 Ta nói rằng tại điểm (x , y ) U thoả mãn điều kiện ϕ(x , y )= 0 hàm f có cực đại tương 0 0 ∈ 0 0 đối (tương ứng cực tiểu tương đối) nếu tồn tại một lân cận V U sao cho f (x, y) f (x , y ) ⊂ ≤ 0 0 (tương ứng f (x, y) f (x , y )) với mọi (x, y) V thoả mãn điều kiện ϕ(x, y) = 0. Điểm ≥ 0 0 ∈ (x0, y0) được gọi là cực trị có điều kiện của hàm số f (x, y), còn điều kiện ϕ(x, y) = 0 được gọi là điều kiện ràng buộc của bài toán. Nếu trong một lân cận của (x0, y0) từ hệ thức ϕ(x, y) = 0 ta xác định được hàm số y = y(x) thì rõ ràng (x0, y(x0)) là cực trị địa phương của hàm số một biến số g(x)= f (x, y(x)). Như vậy, trong trường hợp này bài toán tìm cực trị ràng buộc được đưa về bài toán tìm cực trị tự do của hàm số một biến số. Ta xét bài toán sau đây Bài tập 3.17. Tìm cực trị có điều kiện a. = 1 + 1 với điều kiện 1 + 1 = 1 z x y x2 y2 a2 b. z = x.y với điều kiện x + y = 1 94
  59. 3. Cực trị của hàm số nhiều biến số 95 Lời giải. a. Đặt = a = a , ta có 1 + 1 = 1 Khi đó x sin t ; y cos t x2 y2 a2 . 1 1 sin t cos t z = + = + . x y a a Ta có cos t sin t √2 π π 5π z0 = = sin t = 0 t = t = t a − a a 4 − ⇔ 4 ∨ 4   π √ √ √2 Với t = 4 ta có x = 2a; y = 2a, hàm số đạt cực tiểu và zCT = −a . Với t = 5π ta có x = √2a; y = √2a, hàm số đạt cực đại và z = √2 . 4 − − CĐ a b. Từ điều kiện x + y = 1 ta suy ra y = 1 x. Vậy z = xy = x(1 x). Dễ dàng nhận − − thấy hàm số x = x(1 x) đạt cực đại tại x = 1 và z = 1 . − 2 CĐ 4 Tuy nhiên không phải lúc nào cũng tìm được hàm số y = y(x) từ điều kiện ϕ(x, y)= 0. Do đó bài toán tìm cực trị điều kiện không phải lúc nào cũng đưa được về bài toán tìm cực trị tự do. Trong trường hợp đó ta dùng phương pháp Lagrange được trình bày dưới đây. Định lý 3.29 (Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị điều kiện). Giả sử U là một tập mở trong R2, f : U R và (x , y ) là điểm cực trị của hàm f với điều kiện ϕ(x, y) = 0. → 0 0 Hơn nữa giả thiết rằng: a. Các hàm f (x, y), ϕ(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục trong một lân cận của (x0, y0). b. ∂ϕ (x , y ) = 0. ∂y 0 0 6 Khi đó tồn tại một số λ0 cùng với x0, y0 tạo thành nghiệm của hệ phương trình sau (đối với λ, x, y) ∂φ ∂ f ∂ϕ ∂x = 0 ∂x (x, y)+ λ ∂x (x, y)= 0  ∂φ = 0  ∂ f (x, y)+ λ ∂ϕ (x, y)= 0 (3.3)  ∂y ⇔  ∂y ∂y  ∂φ  ∂λ = 0 ϕ(x, y)= 0 với φ(x y λ)= f (x y)+λϕ(x y) được gọi là hàm Lagrange. , , ,  ,  Định lý trên chính là điều kiện cần của cực trị có ràng buộc. Giải hệ phương trình 3.3 ta sẽ thu được các điểm tới hạn. Giả sử M(x0, y0) là một điểm tới hạn ứng với giá trị λ0. Ta có φ(x, y, λ ) φ(x , y , λ )= f (x, y)+ λ ϕ(x, y) f (x , y ) λ ϕ(x , y )= f (x, y) f (x , y ) 0 − 0 0 0 0 − 0 0 − 0 0 0 − 0 0 nên nếu M là một điểm cực trị của hàm số φ(x, y, λ0) thì M cũng là điểm cực trị của hàm số f (x, y) với điều kiện ϕ(x, y) = 0. Muốn xét xem M có phải là điểm cực trị của hàm số φ(x, y, λ0) hay không ta có thể quay lại sử dụng định lý 3.28 hoặc đi tính vi phân cấp hai ∂2φ ∂2φ ∂2φ d2φ(x , y , λ )= (x , y , λ )dx2 + 2 (x , y , λ )dxdy + (x , y , λ )dy2 0 0 0 ∂x2 0 0 0 ∂x∂y 0 0 0 ∂y2 0 0 0 95
  60. 96 Chương 3. Hàm số nhiều biến số trong đó dx và dy liên hệ với nhau bởi hệ thức ∂ϕ ∂ϕ (x , y )dx + (x , y )dy = 0 ∂x 0 0 ∂y 0 0 hay ∂ϕ (x0, y0) dy = ∂x dx − ∂ϕ ∂y (x0, y0) 2 Thay biểu thức này của dy vào d φ(x0, y0, λ0) ta có 2 2 d φ(x0, y0, λ0)= G(x0, y0, λ0)dx Từ đó suy ra Nếu G(x , y , λ ) > 0 thì (x , y ) là điểm cực tiểu có điều kiện. • 0 0 0 0 0 Nếu G(x , y , λ ) 0 nên M là điểm cực tiểu có điều • 2 2 4a3 4a3 2 kiện. 96
  61. 3. Cực trị của hàm số nhiều biến số 97 3.3 Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất Giả sử f : A R là hàm số liên tục trên tập hợp đóng A của R2. Khi đó, f đạt giá trị → lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên A. Để tìm các giá trị này ta hãy tìm giá trị của hàm số tại tất cả các điểm dừng trong miền A cũng như tại các điểm đạo hàm riêng không tồn tại, sau đó so sánh các giá trị này với các giá trị của hàm trên biên ∂A của A (tức là ta phải xét cực trị có điều kiện). Bài tập 3.19. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a. z = x2y(4 x y) trong hình tam giác giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, x + y = 6. − − b. z = sin x + sin y + sin(x + y) trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường x = 0, x = π π 2 , y = 0, y = 2 . 97