›
›

Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Tích phân suy rộng - Đặng Văn Vinh

pdf 62 trang huongle 1920
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Tích phân suy rộng - Đặng Văn Vinh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_giai_tich_1_chuong_3_tich_phan_suy_rong_dang_van_v.pdf

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Tích phân suy rộng - Đặng Văn Vinh

  1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng Giải tích 1 Chương 3: Tích phân suy rộng • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
  2. Nội dung 3 – Tích phân suy rộng. Tài liệu: 1) Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по мат. анализу, Том 2, Москва, 2003. 2) James Stewart. Calculus. 6th edition, USA, 2008
  3. I. Tích phân suy rộng loại một Bài tốn Tìm diện tích S miền vơ hạn giới hạn bởi đường cong: y f ( x ) 0 , trục hồnh, đường thẳng x = a. b s f() x dx limf ( x ) dx b a a b
  4. Tích phân suy rộng loại một y f() x khả tích trên đoạn  a , b  , với mọi b a b Tích phân f() x dx limf ( x ) dx b a a được gọi là tích phân suy rộng loại một. Các tích phân sau cũng là tích phân suy rộng loại một a a f() x dx limf ( x ) dx b b a f() x dx f()() x dx f x dx a
  5. b f( x ) dx lim f ( x ) dx b a a Nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn thì tích phân gọi là hội tụ Ngược lại, nếu giới hạn khơng tồn tại hoặc bằng vơ cùng, thì tích phân gọi là phân kỳ. Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng 1) Tính tích phân suy rộng (thường rất phức tạp) 2) Khảo sát sự hội tụ.
  6. Tính tích phân suy rộng (cơng thức Newton – Leibnitz) Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên  a, b f( x ) dx lim f ( x ) dx lim F ( b ) F ( a ) b b a a Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại limF ( b ) : F ( ) b f()()()() x dx F x F F a a a
  7. Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 1 y , trục hồnh và đường thẳng x = 1. x2 b dx b dx 1 1 S lim lim lim 1 1 2 b 2 1 x 1 x b x x 1 b Diện tích của miền S bằng 1, hữu hạn.
  8. Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 1 y , trục hồnh và đường thẳng x = 1. x b dx dx b S lim lim ln |x | lim lnb b b 1 x 1 x 1 x S là miền cĩ diện tích vơ hạn, bằng
  9. Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 1 y , trục hồnh. x2 1 dx dx b S 2 2 2  lim arctan x 2 b 0 x 1 0 x 1 Diện tích của miền S bằng .
  10. Ví dụ Tính tích phân I e 2x dx 1 2x 2 2x e e e 1 I e dx 2 2 2 2 1 1 2e dx I Ví dụ Tính tích phân 2 e xln x dx d(ln x ) 1 I 1 1 2 2 1. e xln x e ln x ln x e ln( ) ln e
  11. dx I Ví dụ Tính tích phân 2 4 x 5 x 6 1 1 1 1 x2 5 x 6 (x 2)( x 3) x 3 x 2 1 1 I dx ln |x 3| ln | x 2 | 4 4 4 x 3 x 2 ()() Dạng vơ định.? Khơng được phép dùng: lim (f g ) lim f lim g x x x khi chưa đảm bảo hai giới hạn vế phải chắc chắn tồn tại x 3 x 3 4 3 1 I ln lim ln ln ln1 ln ln 2 x x 2 4 x 2 4 2 2
  12. dx Ví dụ Tính I 5 10 1 x1 x x 1 1 Đổi biến: t dx 5 dt 6 dx I x x 1 1 1 x6 1 x 1 t 1 x10 x 5 Đổi cận: x t 0 0 dt 1 dt I 2 2 1 t t 1 0 t 1/ 2 3/ 4 1 ln t 1/2 t 1/2 2 3/4 0
  13. Ví dụ Tính I e 2x cos xdx 0 Đặt u e 2x du 2 e 2 x dx dv cos xdx v sin x I e 2xsin x 2 e 2 x sin xdx 0 0 Ta cĩ lim e 2 x sin x 0 nên I 2 e 2x sin xdx x 0 u e 2x du 2 e 2 x dx dv sin xdx v cos x 2 I 2 e 2x cos x 4 e 2 x cos xdx 2 4I I 0 0 5
  14. arctan x Ví dụ Tính I dx 2 3/ 2 0 1 x dx Đổi biến: t arctan x dt 1 x2 Đổi cận: x 0 t 0 x t 2 1 x tan t 1 x2 cos2 t arctan x arctan x dx / 2 I dx  tcos tdt 3/ 2 2 1 2 2 1 x 0 1 x 0 1 x 0 2
  15. Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ) Trường hợp 1: 1 1 1 1 1 1 dx  hữu hạn, khác 0. 1  1 a 0 x 1 x a 1 a tích phân hội tụ. Trường hợp 2: 1 1 x1 Tích phân phân kỳ. dx a 0 x 1 a Trường hợp 3: 1 1 dx ln |x | Tích phân phân kỳ. a a 0 x
  16. Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ) 1 hội tụ, nếu 1 dx a 0 x phân kỳ, nếu 1 Nếu 1, thì I hội tụ. 1 Nếu 1, thì I phân kỳ. I  dx 2 xln x Nếu 1,  1, thì I hội tụ. Nếu 1,  1, thì I PK.
  17. Tích phân hàm khơng âm Tiêu chuẩn so sánh 1.  x a f ( x ) 0, g ( x ) 0 và khả tích trên a, f()() x g x ở lân cận của . Khi đĩ: 1) Nếu g () x dx hội tụ, thì f () x dx hội tụ. a a 2) Nếu f () x dx phân kỳ, thì g () x dx phân kỳ. a a Để khsát sự hội tụ của I f () x dx , thường đem so sánh dx a với đã biết kết quả. a x
  18. Chú ý (trong tiêu chuẩn 1): 1) f(x) và g(x) là hai hàm khơng âm. 2) Chỉ cần tồn tại a  x  ,()() f x g x dx 3) Cận dưới của tích phân là số dương ( a 0 . ) a x dx I Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 2 1 2x sin 3 x 1 1 Ta cĩ f()() x g x 2x2 sin 2 3 x 2 x 2 dx Vì hội tụ , nên I hội tụ theo tchuẩn so sánh 1. 2 1 2x
  19. dx I Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 2 1 x sin 3 x 1 2 Ta cĩ f()() x g x x2 sin2 3x x 2 dx Vì hội tụ , nên I hội tụ theo tchuẩn so sánh 1. 2 1 x ln3 xdx Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I 1 x 5 ln3 x 1 1 Ta cĩ f()() x g x x 5 x 5 x 5 2 x dx Vì phân kỳ , nên I phân kỳ theo tchuẩn ssánh 1. 1 2x
  20. Tích phân hàm khơng âm Tiêu chuẩn so sánh 2.  x a f ( x ) 0, g ( x ) 0 và khả tích trên a, f() x K lim Khi đĩ: x g() x 1) K 0 : nếu g () x dx hội tụ, thì f () x dx hội tụ. a a 2) K hữu hạn, 0 : f () x dx và g () x dx cùng HT hoặc cùng PK. a a 3) K : nếu f () x dx hội tụ, thì g () x dx hội tụ. a a
  21. Cách sử dụng tiêu chuẩn so sánh 2. Để khảo sát sự hội tụ của f () x dx a 1) kiểm tra f(x) cĩ là hàm khơng âm (trong lân cận của ) 2) Tìm hàm g(x) bằng cách: tìm hàm tương đương của f(x) khi x tiến ra dương vơ cùng. f() x 3) Tính K lim , kết luận. x g() x x Hai hàm f(x) và g(x) khơng âm: nếu f ()() x g x , thì f()() x dx và g x dx cùng tính chất. a a
  22. Hội tụ tuyệt đối Định lý Nếu f () x dx hội tụ, thì f () x dx hội tụ. a a Định nghĩa Nếu f () x dx hội tụ, thì f () x dx gọi là hội tụ tuyệt đối a a Nếu hàm f(x) cĩ dấu tùy ý, để khảo sát sự hội tụ của ksát sự HT của để sử dụng f() x dx tích phân hàm f() x dx được hai tiêu a khơng âm a chuẩn so sánh
  23. dx Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I 1 5x ln x 1x 1 1 Ta cĩ f() x Chọn g() x 5x ln x 5 x1/ 2 x1/ 2 f( x ) 1 Khi đĩ: lim hữu hạn, khác 0. x g() x 5 Tích phân f () x dx và g () x dx cùng hội tụ hay phân kỳ 1 1 1 Vì g () x dx phân kỳ ( 1 ), nên tích phân I phân kỳ. 1 2
  24. 3xdx I Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 3 1 2x sin3 x 3xx 3 x 3 Ta cĩ f() x 2x3 sin3 x 2 x 3 2 x 2 1 f( x ) 1 Chọn g() x lim hữu hạn, khác 0. x2 x g() x 5 Tích phân f () x dx và g () x dx cùng hội tụ hay phân kỳ 1 1 Vì g () x dx hội tụ ( 2 1 ), nên tích phân I hội tụ. 1
  25. arctan xdx I Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 1 2x 2ln x arctan x x Ta cĩ f() x 2x2 2ln x 2 2x2 4 x 2 1 f() x Chọn g() x lim hữu hạn, khác 0. x2 x g( x ) 4 Tích phân f () x dx và g () x dx cùng hội tụ hay phân kỳ 1 1 Vì g () x dx hội tụ ( 2 1 ), nên tích phân I hội tụ. 1
  26. dx Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I 0 (3x 1) x 1 1x 1 1 Ta cĩ f() x Chọn g() x (3x 1) x 1 3x3/ 2 x3/ 2 f( x ) 1 Khi đĩ: lim hữu hạn, khác 0. x g( x ) 3 Tích phân f () x dx và g () x dx cùng hội tụ hay phân kỳ 0 0 3 Vì J g () x dx hội tụ ( 1 ), nên tích phân I hội tụ. 0 2 Sai! vì J phân kỳ (xem phần tích phân suy rộng loại hai)
  27. dx Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I 0 (3x 1) x 1 1 dx dx Cách giải đúng! III 1 2 0(3x 1) x 1 1 (3 x 1) x 1 I1 là tích phân xác định nên hội tụ. Xét tích phân I2 1x 1 1 Ta cĩ f() x Chọn g() x (3x 1) x 1 3x3/ 2 x3/ 2 f( x ) 1 Khi đĩ: lim hữu hạn, khác 0. x g( x ) 3 Tích phân f () x dx và g () x dx cùng hội tụ hay phân kỳ. 1 1 g() x dx 3 Vì HT ( 1 ), nên I1 HT, suy ra I HT. 1 2
  28. 2 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I e x dx 1 2 x 1 f ( x ) e x e x g ( x ) 1 e x dx e x g() x dx HT 1 1 e 1 Tích phân đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 1. 1/ x2 1 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I e cos dx 1 x 2 1 1 1 3 f( x ) e1/ x cos I HT x x22 x 2 2 x 2
  29. e x Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I dx 1 x 1 1 Ta cĩ: x 1 ex x ex x 1 1 f()() x g x Tích phân đã cho hội tụ. xex x2 x3 x 2 1 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I dx 3 1 x 3 x 1 x3 x 2 1x x 3/ 2 1 f() x Tích phân hội tụ. x3 3 x 1 x 3 x 3/ 2
  30. arctan x Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I dx x 0 2 e arctan x x f()() x g x 2 ex 2 e x x x Tính e dx e 1 HT, nên tích phân đã cho HT. 0 0 2arctan x3 I dx Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 3/ x 1 e 1 1 3 2 / 2 arctan 3 x 3 2arctan x x 2/x 2 HT e3/ x 1 e3/ x 1 3/x 3 x2
  31. Ví dụ Chứng minh tích phân hội tụ và tính dx I 2 3 x1 x 1x 1 f() x 2 2 1 nên tích phân I hội tụ. x1 x2 x t 1 x2 t2 x 2 1 2tdt 2 xdx xdx tdt t 1 I 1 2 2 2 ln ln1 ln ln3 3 x1 x 2 t t 1 t 1 2 3
  32. dx Ví dụ Chứng minh tích I phân hội tụ và tính 4 2 80 x x 1 1x 1 1 3 f() x 1 1/ 2 3/ 2 1 nên I hội tụ x4 1 x2 x x 2 t 4 1 x2 t4 x 2 1 4t3 dt 2 xdx xdx 2t3 dt dt dt I 24 2 4 2 2 80 x1 x 9 t t 1 9t 1 9 t 1 t 1 8 ln arctant 9 ln arctan9 t 1 9 10 2
  33. Ví dụ Chứng minh tích phân phân kỳ và tính giới hạn x et ex dt I dx 1 t x lim 1 x ex ex 1 x 1 f ( x ) g ( x ) g() x dx FK nên I phân kỳ x x 1 Giới hạn cĩ dạng vơ định , dùng qui tắc Lơpital t ' x t x e e dt dt x 1 t 1 t e 1 lim x lim ' lim lim 0 x e x ex x x ex x x
  34. sin xdx I Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 1 x ln 2 x sin x 1 x 1 f() x g() x Hội tụ. x2 ln 2 x x2 ln 2 x x2 Sai! vì f(x) cĩ dấu tùy ý, khơng sử dụng so sánh được. sin x Xét tích phân hàm khơng âm J dx 2 1 x ln 2 x sin x 1 x 1 f() x g() x Hội tụ. x2 ln 2 x x2 ln 2 x x2 Tích phân đã cho hội tụ tuyệt đối.
  35. sin xdx Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I 1 x 1 1 Tích phân từng phần: u du dx x x2 dv sin xdx v cos x sinx cos x cos x cos1 I dx dx 2 J 1x x 1 1 x 1 cos x cosx 1 Xét tích phân J dx hội tụ 2 x2 x 2 1 x J hội tụ, suy ra I hội tụ.
  36. sin xdx Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I 1 x sin x Xét tích phân hàm khơng âm J dx 1 x sinx sin2 x 1 cos2 x x x2 x 1 cos2x dx cos2 x dx dx II1 2 12x 1 2 x 1 2 x dx cos2xdx I I hội tụ (tương 1 phân kỳ 2 1 2x 1 2x tự ví dụ trước) Tích phân đã cho hội tụ, nhưng khơng hội tụ tuyệt đối
  37. Chú ý: 1) Với tích phân chỉ cĩ một điểm suy rộng f() x dx khi tách ra cĩ dạng vơ định G()() x H x a a a vẫn chưa kết luận t/phân ban đầu phân kỳ. 2) Với tích phân cĩ hai điểm suy rộng a f() x dx khi tách ra thành tích phân f()() x dx f x dx a chỉ cần một trong hai tphân PK, thì tphân ban đầu PK.
  38. I. Tích phân suy rộng loại hai Định nghĩa Điểm x0 được gọi là điểm kỳ dị của đường cong y = f(x), nếu limf ( x ) x x0 Giả sử trên đoạn [a,b] hàm y = f(x) cĩ một điểm kỳ dị duy nhất là x0 = b. b t f( x ) dx : lim f ( x ) dx at b a Tích phân suy rộng loại hai của f(x) trên đoạn [a,b]
  39. I. Tích phân suy rộng loại hai Giả sử trên đoạn [a,b] hàm y = f(x) cĩ một điểm kỳ dị duy nhất là x0 = a. Tích phân suy rộng loại hai của f(x) trên đoạn [a,b] b b f( x ) dx : lim f ( x ) dx at a t
  40. I. Tích phân suy rộng loại hai Giả sử trên đoạn [a,b] hàm y = f(x) cĩ một điểm kỳ dị duy nhất là c  a, b Tích phân suy rộng loại hai của f(x) trên đoạn [a,b] b c b f()()() x dx f x dx f x dx a a c t b limf ( x ) dx lim f ( x ) dx t ca t c t Tích phân vế trái là hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân vế phải hội tụ.
  41. I. Tích phân suy rộng loại hai Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống như trong tích phân suy rộng loại một. Tương tự tích phân suy rộng loại một: cĩ hai tiêu chuẩn so sánh cho tích phân hàm khơng âm. Khái niệm hội tụ tuyệt đối cũng tương tự trong tích phân suy rộng loại một: Hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.
  42. Tính tích phân suy rộng (cơng thức Newton – Leibnitz) Cho x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất của f(x) trên [a,b] Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên a, b b b limF ( b ) F ( a ) f( x ) dx lim f ( x ) dx t b t b a a Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại limF ( t ) : F ( b ) t b b b f()()()() x dx F x F b F a a a Tương tự cho trường hợp x0 = a là điểm kỳ dị.
  43. 4 dx Ví dụ Tính tích phân I 2 x 2 Theo định nghĩa 4 dx 4 d( x 2) I lim 1/ 2 t 2 2 x 2 t x 2 4 2 2 limt 2 2 2 lim 2x 2 t 2 t t 2 Theo cơng thức Newton – Leibnitz (gọn hơn) 4 dx 4 I 2x 2 2 4 2 2 2 2 2 2 x 2 2
  44. 3 dx Ví dụ Tích phân I 0 x 1 3 dx 3 I ln |x 1| ln 2 ln1 ln 2 0 0 x 1 Sai! vì cĩ điểm kỳ dị x = 1 trong đoạn [0,3]. 1dx 3 dx II I 1 2 0x 1 1 x 1 1 dx Xét tích phân I lim lim ln |t 1| 1 t 1 0 x 1 t 1 Vậy tích phân I 1 phân kỳ. Suy ra tích phân đã cho phân kỳ
  45. 1 dx Ví dụ Tính tích phân I 0 (2 x ) 1 x Đặt 1 x t 1 x t 2 dx 2 tdt Đổi cận: x 0 t 1 x 1 t 0 1 dx 0 2tdt 1 2dt I 2 2 0 (2 x ) 1 x 1 1 t t 0 1 t I 2arctan t 1 2 arctan1 arctan0 0 2
  46. Tích phân hàm khơng âm Tiêu chuẩn so sánh 1. Trường hợp x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất.  x a f ( x ) 0, g ( x ) 0 và khả tích trên a, b f()() x g x ở lân cận của trái của b. Khi đĩ: b b 1) Nếu g () x dx hội tụ, thì f () x dx hội tụ. a a b b 2) Nếu f () x dx phân kỳ, thì g () x dx phân kỳ. a a Tương tự cho trường hợp x0 = a là điểm kỳ dị duy nhất.
  47. Tích phân hàm khơng âm Tiêu chuẩn so sánh 2. (x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất)  x a f ( x ) 0, g ( x ) 0 và khả tích trên a, b f() x K lim Khi đĩ: x b g() x b b 1) K 0 : nếu g () x dx hội tụ, thì f () x dx hội tụ. a a 2) K hữu hạn, 0 : b b f () x dx và g () x dx cùng HT hoặc cùng PK. a a b b 3) K : nếu f () x dx hội tụ, thì g () x dx hội tụ. a a
  48. Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ) b 1 phân kỳ, nếu 1 dx a x a hội tụ, nếu 1 b 1 phân kỳ, nếu 1 dx a b x hội tụ, nếu 1 Chú ý: Kết luận ngược lại so với tích phân loại một!
  49. 2 dx Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I 2 1 x 1 1x 1 1 Ta cĩ f() x (x 1)( x 1) 2 x 1 1/ 2 1 f( x ) 1 hữu hạn, Chọn g() x 1/ 2 lim x 1 x g() x 2 khác 0. 2 2 Tích phân f () x dx và g () x dx cùng hội tụ hay phân kỳ 1 1 2 1 Vì g () x dx hội tụ ( 1 ), nên tích phân I hội tụ. 1 2
  50. 5 3 1 ln 1 x dx Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I x 0 e 1 5 3 ln 1 x x 0 x3/5 1 1 f() x hội tụ vì 1 ex 1x ( x 0)2/ 5 2 3 2x3 dx I Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 0 9 x 2x3 x 3 18 1 f() x hội tụ vì 1 3 x (3 x ) (x 3)1/ 2 2
  51. 1 5x3 x Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I dx 0 tan x x x3 x3 tanx x x ( x3 ) x ()x3 3 3 5x3 xx 0 x 1/ 2 3 5 phân kỳ vì 1 tan x x x3/3 ( x 0) 5/ 2 2 4 dx Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I 0 x 2 1 x 2 x 4 4 f() x phân kỳ vì 1 x 2 x 4 (x 4)1
  52. sin2 xdx Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I 2 0 x 1 sin2xdx sin 2 xdx III 2 2 1 2 0x 1 x sin2 x I1 khơng là tích phân suy rộng lim2 1 x 0 x mà là tích phân xác định nên HT sin2 x 1 Ta cĩ g() x x2 x 2 Vì g () x dx HT , nên I1 HT, suy ra I HT. 1
  53. Tính các tích phân sau 1 2 1) dx ln 2 3 (x 1)( x 2) 3 1 1 2 2) dx ln5 ln 2 2 (x 1)( x 2)( x 3) 4 3 (5x 3) 11 1 3) 2 dx ln 2 ln3 3 (x 2)(3 x 2 x 1) 5 5 2 (x 1) 1 ln 2 4) 3 dx 2 x( x 1) 3 17 dx 5) ln 2 2 3 16 128 2 x 1 ( x 1)
  54. 1 2 7 6) 2 dx arctan 7 0 x x 2 7 x 3 3 3 7) 2 dx ln3 1 x( x x 1) 2 18 x2 8) 6 dx 0 x 1 6 dx arctan 2 9) 2 0 4x 4 x 5 4 dx 10) x x 4 0 e e
  55. 1 11) dx x x 2 2ln 2 0 e e 1 12) 2 dx 1 x(ln x 1) 2 1 13) 2 dx 1 0 cosh (x ) 1 2x 14) xe dx 4 0 dx ln 2 15) 6 1 x( x 3) 9
  56. dx ln 2 16) 4x 0 e 1 4 2x 17) x dx 0 4 1 4ln 2 dx 18) x 0 e 1 dx 19) 1 2 2 2 x x 1 e 1 dx ln 20) e 1 1 sinh x
  57. 21) e 3x dx 1 2 1 3e dx 22) 2 1 e xln x xdx 1 23) x 2 0 2 ln 2 dx 24) 1 (1 x ) x 2 ln 7 1 5 xdx arctan 25) 3 63 2 3 2 x 1
  58. dx 26) 2 2 0 x2 1 x 3 2x 3 27) e cos3 xdx 0 13 dx 4 28) 2 3 (x x 1) 3 3 dx 29) 3 2 2 0 (4x 1) x 1 9 x2 12 13 30) dx 2 4 1 x2 1
  59. dx 1 31) 2 1 2x 3 10 dx 2 5 32) 3/ 2 2 (x 3) 5 2 x3 1 33) x e dx 0 3 ln xdx 1 34) 3 1 x 4 1 1 35) 5 dx 1 x 1 64
  60. 3 3 1 2 x x dx 36) 625 5 3 0 x 187 1 dx 37) 2 1 (4 x ) 1 x 15 2 x4 dx 38) 2 2 5 2 (1 x ) 4 x 5 2 dx 39) 1 x x 1 2 2 dx 40) 2 3 1 x x 1
  61. Tìm tất cả các giá trị để chuỗi hội tụ e3/ x 1 1) ln 1 dx , 0 khơng tồn tại 1 arctan3x 2) dx 1 0 (2 x ) 1  3) 2 dx 1 x 2 x x  4) x dx 1 e x 1 1 5) dx 1 x 2 x
  62. 1 ln 1 x 3 6) dx x 2 0 e 1 dx 7) 3 1 4 2 5 0 x ln(1 x ) x 5 5 (x3 1) 5 8) dx 7 5 1 x x 1 6 dx 9) 2 3 1 x sin x x x 1 1 e 1 x 10) dx 2 0 coshx cos x