Bài giảng Giải tích - Bài 2: Hàm số

Nội dung text: Bài giảng Giải tích - Bài 2: Hàm số

1. BÀI 2: HÀM SỐ
2. NỘI DUNG 1- ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ 2- HÀM SỐ NGƯỢC 3- HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 4- HÀM HYPERBOLIC
3. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ Hàm số f: X  R → Y  R là Quy luật tương ứng mỗi x X với duy nhất y = f(x) Y. X  R Y  R x : biến; y = f(x) : ảnh của x qua ánh xạ f
4. X  R Y  R •Khơng là ánh xạ vì cĩ 1 biến x •Khơng là ánh xạ vì cĩ 1 biến x khơng cĩ ảnh. cĩ 2 ảnh. Miền xác định: Df = {x / f(x) cĩ nghĩa} Miền giá trị: Imf: y = f(x), x Df  VD: y = sinx D= R, Imf = [–1, 1]
5. XÁC ĐỊNH HÀM SỐ QUA BIỂU THỨC Quen thuộc (dạng hiện): y = f(x) VD: y = x2, y = ex x = x(t) Dạng tham số y = y(t) Biểu thức: VD: x = 1 + t, y = 1 – t → Đường thẳng VD: x = acost, y = asint → Đường trịn Dạng ẩn F(x, y) = 0 y = f(x) (implicit) x2 y 2 VD: Đtrịn x2 + y2 – 4 = 0, + −1 = 0 16 9
6. CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN Hàm y = x ❖ MXĐ : tự nhiên D=R, nguyên âm D=R\{0}, lim x R(nĩi= 0( chung) 0) D=(0, + ) x→+ limx = + ( 0); (hàm căn: tuỳ tính chẵnx→+ lẻ) ❖ Tính đơn điệu (chỉ xét x > 0): > 0 → Tăng, < 0 → Giảm limxx = 0( 0) lim = + ( 0) xx→+ →+ ❖ Giới hạn
7. ĐỒ THỊ HÀM LUỸ THỪA y= xn : n tự nhiên, chẵn yx= n : n tự nhiên, lẻ yx= :0 yx= :1 yx= :1 0 <
8. x HÀM MŨ y = a (a > 0) ❖ MXĐ: R; MGT: (0, + ) ❖ Đơn điệu : a > 1 Hàm tăng, 0 < a < 1 Hàm giảm ❖ Giới hạn : a 1:lim axx = + &lim a = 0; xx→+ →− xx 0 a 1:lim a = 0&lim a = + xx→+ →−
9. ĐỒ THỊ HÀM MŨ y= ax ,1 a
10. ĐỒ THỊ HÀM MŨ x y= a,0 a 1 y= ax ,1 a
11. HÀM logarit y = logax (a >0) ❖ MXĐ: x > 0, MGT : R ❖ Đơn điệu: a > 1 TĂNG , 0 < a < 1 GIẢM ❖ Ghạn a 1: lim logaa x = + & lim log x = − xx→+ →0 + 0 a 1: lim logaa x = − & lim log x = + xx→+ →0 +
12. ĐỒ THỊ HÀM LOGARIT y= loga ( x ), a 1
13. ĐỒ THỊ HÀM LOGARIT y= loga ( x ), a 1 y= loga ( x ), 0< a 1
14. HÀM MŨ, LOGARIT: SO SÁNH VỚI LUỸ THỪA khi x→+ Khi a > 1 & > 0: Cùng , → + , nhưng mũ nhanh hơn luỹ thừa, lũy thừa y = ax, a > 1 nhanh hơn log. y = x , > 0 y =logax, a > 1
15. HÀM LƯỢNG GIÁC: sinx, cosx y = sinx, y = cosx MXĐ: R, MGT:[–1, 1], Tuần hồn y = sin x y = cos x
16. HÀM LƯỢNG GIÁC: tanx, cotx y = tanx (x /2 + k ), y = cotx (x k ): MGT: R, TC đứng y = tanx y = cotx
17. HÀM NGƯỢC Hàm số y = f(x): X → Y thoả :  y Y, ! x X sao cho y = f(x) f là một song ánh (tương ứng một–một) X Y X  R Y  R •Khơng là s/a vì cĩ •Khơng là s/a vì cĩ 1 gt 1 gt y khơng cĩ x y ứng với 2 gt x f song ánh với mọi y, pt f(x) = y (*) cĩ nghiệm x duy nhất
18. Ví dụ: •Hàm số y = f(x) = 2x + 3 là song ánh trên R vì f : R → R và pt y = f(x) = 2x + 3 cĩ duy nhất nghiệm x = (y – 3 )/2 •Hàm số y = x2 (R → R+) khơng là song ánh trên R vì pt y = x2 khơng cĩ duy nhất nghiệm (xy= ) •Hàm số y = x2 là song ánh trên R+(f: R+ → R+) vì pt y = x2 khơng cĩ duy nhất nghiệm (xy= )
19. HÀM NGƯỢC Nếu f : X → Y thì : Y → X x y = f(x) y x = (y) , với y = f(x) là song ánh gọi là hàm ngược của f Ký hiệu hàm ngược : = f −1 Cách tìm hàm ngược: 1. Từ pt y = f(x) , giải tìm nghiệm x = f–1(y) 2. Đổi vai trị của x, y trong biểu thức nghiệm.
20. Ví dụ 1. Tìm hàm ngược của hàm số y = f(x) = 2x + 3 trên R •B1: giải pt y = f(x) y − 3 yx=+23 =x 2 y −1 Biểu thức hàm ngược theo y : x== f−1() y 2 x −1 •B2: Đổi vai trị của x, y : y== f−1() x 2
21. 2. Tìm hàm ngược của hàm số y = f(x) = x2 trên R+ y== f() x x 2 x = y = f−1() y x 0 Vậy : y== f−1() x x 3. Tìm hàm ngược của hàm số y = f(x) = ex f : R → R+, với mỗi y > 0 : y= f( x ) = ex x = ln y Vậy : y== f−1( x ) ln x
22. Đồ thị của hàm y = f(x) và y = f-1(x) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
23. HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC •Lưu ý: các hàm lượng giác trên tồn bộ miền xác định khơng phải là song ánh ( pt y = f(x) cĩ vơ số nghiệm) •Các gĩc và cĩ Các gĩc và cĩ cùng giá trị sin cùng giá trị cos
24. HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC yx= sin là song ánh trên − , 22 s/a sin :− , [− 1,1] 22 tồn tại hàm ngược y=sin−1 x = arcsin x :[ − 1,1] − , 22 Miền Miền giá xác định trị y=sin x , x − , x = arcsin y 22
25. y =sin x
26. y = arcsin x y =sin x
27. yx= cos là song ánh trên 0,  s/a cos : 0,  [− 1,1] tồn tại hàm ngược y=cos−1 x = arccos x :[ − 1,1] 0,  Miền Miền giá xác định trị y=cos x , x  0,  x = arccos y
28. y =cos x
29. y = arccos x y =cos x
30. VÍ DỤ sin0= 0 arcsin0 = 0, cos0= 1 arccos1 = 0, sin= 1 arcsin1 = , cos = − 1 arcsin( − 1) = 22 11 11 sin= arcsin = , cos = arccos = , 6 2 2 6 3 2 2 3 33 sin − = − arcsin − = − , 3 2 2 3 3 − 2 2 3 cos= arcsin − = 4 2 2 4
31. y=tan x:, song ánh : − → R 22 y =arctan x:, R → − 22 y=→cot x : song ánh : ( 0, ) R y =arccot x : R → ( 0, ) arcsinxx+= arccos 2 Tính chất: arctanxx+= arccot 2
32. y = tan x
33. y = tan x y = arctan x
34. y = cot x
35. y = cot x y = arccot x
36. HÀM HYPERBOLIC (Tốn 1, ĐCK, trang 23 – 24) eexx− − eexx+ − sinhxx==sh , cosh xx==ch 2 2 sinhxx cosh tanhx=th x = , coth x = cth x = coshxx sinh •Miền xác định của các hàm số trên? •Tính chẵn lẻ?
37. ĐỒ THỊ HÀM Sinh x và Cosh x y = cosh x
38. ĐỒ THỊ HÀM Sinh x và Cosh x y = cosh x •a/ ch(x) 1  x •b/ sh x < chx  x y = sinh x
39. ĐỒ THỊ HÀM tanh x và coth x y = tanh x
40. ĐỒ THỊ HÀM tanh x và coth x y = coth x y = tanh x
41. Ví dụ: 1/ Giải phương trình: sinh(x) = 1 exx − e− =2 x = ln( 1 + 2) 2/ Chứng minh ch2x – sh2x = 1,  x (So sánh: cos2x + sin2x = 1) x−− x22 x x 22 e+− e e e coshxx− sinh = − 22 11 = + =1 22
42. BẢNG CƠNG THỨC HÀM HYPERBOLIC Công thức lượng giác Công thức Hyperbolic sin 2 x + cos2 x =1 ch 2 x −sh 2 x =1 cos(x y) = cos xcos y  sin xsin y ch(x y) = chxchy shxshy sin(x y) = sin xcos y sin ycos x sh(x y) = shxchy shychx cos(2x) = 2cos2 x −1 =1− 2sin 2 x ch(2x) = 2ch 2 x −1 =1+ 2sh 2 x sin(2x) = 2sin xcos x sh (2x) = 2shxchx x + y x − y x + y x − y cos x + cos y = 2cos cos chx + chy = 2ch ch 2 2 2 2 x + y x − y x + y x − y cos x − cos y = −2sin sin chx − chy = 2sh sh 2 2 2 2