Bài giảng Giải tích hàm nâng cao - Chương 3: Không gian lồi địa phương hạch

65 trang huongle 4120

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích hàm nâng cao - Chương 3: Không gian lồi địa phương hạch", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_giai_tich_ham_nang_cao_chuong_3_khong_gian_loi_dia.pdf

Nội dung text: Bài giảng Giải tích hàm nâng cao - Chương 3: Không gian lồi địa phương hạch

Chương 3 KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG HẠCH Lý thuyết 14 tiết Thảo luận 07 tiết Mục tiêu: Trang bị cho học viên những kiến thức về không gian lồi địa phương hạch. Các tiêu chuẩn nhận biết và các tính chất quan trọng của lớp không gian lồi địa phương hạch. Các kết quả về ánh xạ loại l p và loại s . 3.1. Không gian lồi địa phương hạch 3.1.1. Định nghĩa không gian lồi địa phương hạch 3.1.1.1. Bổ đề. Giả sử E là không gian lồi địa phương và M ()E là một họ nào đó các tập lồi cân đóng và bị chặn. Khi đó hai phát biểu sau là tương đương: ()N Đối với mỗi tập AEÎ M () tồn tại tập BEÎ M () sao cho ABÍ và ánh xạ đồng nhất từ EA() và EB() là hạch (tương ứng là tựa hạch, là khả tổng tuyệt đối). ()N ¢ Đối với tập AEÎ M () tồn tại tập BEÎ M () sao cho AB và ánh xạ đồng nhất từ EB¢()0 và EA¢()0 là hạch (tương ứng là tựa hạch, là khả tổng tuyệt đối). Chứng minh. Bỏi vì tích hai ánh xạ tựa hạch (tương ứng là hai ánh xạ khả tổng tuyệt đối) là ánh xạ hạch (định lý 2.3.3.4 và định lý 2.3.4.4), nên các phát biểu trong ()N và ()N ¢ là tương đương. Như vậy chỉ cần chứng minh ()N tương đương với ()N ¢ trong trường hợp ánh xạ hạch. ()N ()N ¢ : Cho AEÎ M (). Do ()N tìm được BCE,()Î M sao cho ABCÌÌ và các ánh xạ đồng nhất e( A , B ) : E ( A )® E ( B ), e(,):()() B C E B® E C là hạch. Do mệnh đề 2.3.1.8 các ánh xạ đối ngẫu 62
e(,):()() B C¢ [ E C]¢® [ E B ] ¢ và e(,):()() A B¢ [ E B]¢® [ E A ] ¢ là hạch. Suy ra các ánh xạ đồng nhất ECEBEA¢()()()0® ¢ 0 ® ¢ 0 là khả tổng tuyệt đối, bởi vì ED¢()0 có thể coi như không gian con của [ED()]¢ với mọi DEÎ M () . Theo định lý 2.3.4.4 ánh xạ đồng nhất ECEA¢()()0® ¢ 0 là hạch. ()N ¢ ()N được chứng minh tương tự. 3.1.1.2. Định nghĩa. Không gian lồi địa phương E gọi là hạch nếu nó có một hệ cơ sở các o- lân cận lồi cân UF ()E sao cho hai điều kiện tương đương sau được thực hiện: ()N ¢ Với mỗi UEÎ UF () tồn tại VEÎ UF () với VUÌ sao cho ánh xạ chính tắc từ EV() vào EU() là hạch (tương ứng tựa hạch, khả tổng tuyệt đối). ()N Với mỗi lân cận UEÎ UF () tồn tại VEÎ UF () với VUÌ sao cho ánh xạ chính tắc EU¢()0 vào EV¢()0 là hạch (tương ứng tựa hạch, khả tổng tuyệt đối). Sự tương ứng của ()N ¢ và ()N nhận được bằng cách áp dụng bổ đề 0 3.1.1.1 đối với họ các tập U , UEÎ UF () trong không gian lồi địa phương E ¢. 3.1.1.3. Mệnh đề. Trong một không gian lồi địa phương hạch E , mọi hệ cơ 1 2 sở các 0- lân cận lồi cân UF ()E với tính chất ()N ¢ . Cho UF ()E hệ cơ sở các 2 1 0 - lân cận lồi cân. Khi đó UE2 Î UF () tùy ý tồn tại UE1 Î UF () với UU1Ì 2 . 1 Bây giờ ta xác định VE1 Î UF () với VU1Ì 1 sao cho ánh xạ chính tắc 2 EVU( 1, 1) từ EV( 1) vào EU( 1 ) là hạch. Cuối cùng chọn trong UF ()E một 0 - lân cận V 2 với VV2Ì 1 . Khi đó ánh xạ chính tắc EVU( 2, 2 ) từ EV( 2 ) vào EU( 2 ) là hạch vì 63
EVUEUUEVUEVV( 2,,,, 2)= ( 1 2) ( 1 1) ( 2 1). 2 Như vậy ta đã chứng tỏ UF ()E cũng có tính chất ()N và ()N ¢ . 3.1.1.4. Mệnh đề. Không gian lồi địa phương E là hạch khi và chỉ khi mỗi hệ cơ sở nào đó (tương ứng mọi cơ sở) các o- lân cận lồi cân UT ()E có tính chất sau: (Q) Với mọi UEÎ UF () tồn tại VEÎ UT () và dãy {an }Ì E ¢ với p0 a < + ¥ å V ( n ) ¥ và ( ) pU x£å x,, a n x Î E . ¥ Chứng minh. Bởi vì EV()¢ có thể đồng nhất với EV¢()0 , nên các bất đẳng thức pU(),, x£å x a n x Î E ¥ và p[ x( U )]£å x ( V ), an , x ( V ) Î E ( V ) ¥ là tương đương. Bất đẳng thức thứ 2 suy ra ánh xạ chính tắc từ EV() vào EU() là tựa hạch nếu p0 a < + ¥ . å V ( n ) ¥ Vậy các tính chất ()N và ()Q là tương đương với mọi hệ cơ sở các lân cận lồi cân của 0. 3.1.1.5. Mệnh đề. Trong một không gian lồi địa phương E là hạch nếu và chỉ nếu tồn tại (tương ứng tất cả) hệ cơ sở các o-lân cận lồi cân UT ()E có tính chất ()P Đối với mỗi UEÎ UT () tồn tại VEÎ UT (), VUÌ là một độ đo Radon dương m trên V 0 sao cho 64
p(),, x£ x a dm x Î E . Uò n V 0 Chứng minh. Suy từ định lý 2.2.3.2 về đặc trưng của ánh xạ khả tổng tuyệt đối. Giả sử E là không gian lồi địa phương. Nếu BT ()E là một hệ cơ bản 0 các tập lồi bị chặn trong E , thì họ các pôla B , BEÎ BT () lập thành một cơ sở các o-lân cận trong E b¢, không gian E ¢ xét với tôpô mạnh b(,)EE¢ hội tụ đều trên các tập bị chặn của E . Do bổ đề 3.1.1.1 ta có: 3.1.1.6. Mệnh đề. Giả sử E là không gian lồi địa phương. Khi đó E b¢ là hạch nếu và chỉ nếu tồn tại một cơ bản các tập lồi cân bị chặn trong E với các tính chất ()N và ()N ¢ . 3.1.1.7. Định nghĩa. Không gian lồi địa phương E gọi là đối ngẫu hạch nếu E b¢ là hạch. Từ mệnh đề 3.1.1.3 ta có: 3.1.1.8. Mệnh đề. Trong một không gian lồi địa phương đối ngẫu hạch, mọi hệ cơ bản các tập lồi cân bị chặn có tính chất ()N và ()N ¢ . 3.1.2. Các họ khả tổng trong không gian lồi địa phương hạch Giả sử E là không gian lồi địa phương tùy ý. Trong mục này ta viết 1 1 1 1 lIIII[EEEE]= l{ }hay l ( ) = l { } 1 1 1 nếu hai không gian véctơ l I [E ] hay l I ()E trùng với l I {E }. Nếu ngoài ra 1 e - tôpô của chúng là p -tôpô của l I {E } ta viết 1 1 1 1 lIIII[EEEE]º l{ }hay l ( ) º l { }. 3.1.2.1. Mệnh đề . Nếu E là hạch, thì với mọi tập chỉ số I có đồng nhất. 1 1 1 lIII[EEE]= l() = l { }. Chứng minh. Do mệnh đề 3.1.1.4 đối với mỗi 0 - lân cận lồi cân UEÎ U() tồn tại VEÎ U() và một dãy {an }Ì E ' với 65
p0 ( a )£ 1 å V n ¥ và pU(),,. x£å x a n x Î E ¥ Bởi vì x,(), a£ p0 ae x I å nV n V[ i ] I ta có bất đẳng thức pU[x i,,, I]£å å x i a n £ e V[ x i I ] ¥ I Suy ra tất cả các họ khả tổng trong E là khả tổng tuyệt đối, nghĩa là 1 1 1 lIII[EEE]= l[ ]= l ( ). 3.1.2.2. Mệnh đề. Nếu đối với không gian lồi địa phương E đồng nhất sau được thỏa mãn 1 1 1 1 lIIII[EEEE]º l{ } hay l( ) º l [ ] với mọi tập chỉ số I , thì E là hạch. 1 1 1 1 Chứng minh. Vì lII(EE)Ì l [ ], chỉ cần chứng tỏ nếu lII(EE)º l { }, thì E là hạch. Cho UEÎ U( ). Khi đó tồn tại VEÎ U( ) với VUÌ và 1 pU[x i,,,, I]£ e V[ x i I] [ x i I] Î l I ( E ) Bây giờ xét một họ hữu hạn tùy ý [xn ( V), A ] trong EV( ). Nếu 1 s ={i1, , ik } Ì U với k là số phần tử của A . Xác định [yi, I]Î l I ( E ) bởi y = 0 nếu i Ï s và y= x với h= 1, , k , ở đây A= n, , n Ì ¥ . i in n h { 1 k } Khi đó do các đồng nhất åpn x n( U)= å p U( x n) = å p U( y i) = p U[ y i, I ] AI và 66
ïì ïü ïì ïü supíï(xVbbV (),:) Î0 ýï £ sup íï( ybbV ,:) Î 0 ýï = p [ yI , ] ïån ï ï å i ï V i îïAA þï îï þï ta có bất đẳng thức ïì ïü p x( U)£supíï( x ( V ), b) : b Î V 0 ýï ån nï å n ï AAîï þï Vậy thì ánh xạ chính tắc từ EV( ) vào EU( ) là khả tổng tuyệt đối. Kết hợp kết quả của 3.1.2.1 và 3.1.2.2 ta có. 3.1.2.3. Định lý. Không gian lồi địa phương E là hạch nếu và chỉ nếu đối với mỗi tập chỉ số vô hạn nào đó I (tương ứng có đối với mọi tập chỉ số I ) đồng nhất 1 1 1 1 lIIII[EEEE]º l{ } hay l( ) º l { } được thỏa mãn. Nếu E là không gian lồi địa phương khả mêtric, thì từ các đồng nhất 1 1 1 1 lIIII[EEEE]º l{ } hay l( ) º l { } suy ra e - tôpô mạnh hơn p - tôpô (theo định lý 2.2.1.3). Do đó cả hai tôpô này là như nhau và ta có 1 1 1 1 lIIII[EEEE]= l{ } hay l( ) = l { } Như vậy đối với không gian lồi địa phương khả mêtric ta có. 3.1.2.4. Định lý. Không gian lồi địa phương metric hay khả mêtric E là hạch nếu và chỉ nếu đối với một tập chỉ số vô hạn nào đó I (tương ứng có đối với mọi tập chỉ số I ) đồng nhất 1 1 1 1 lIIII[EEEE]= l{ } hay l( ) = l { } được thỏa mãn. Sau đây ta sẽ xét định lý 3.1.2.4 trong trường hợp E không khả mêtric. Trước hết ta cần bổ đề sau. 3.1.2.5. Bổ đề. Nếu E là không gian lồi địa phương đối ngẫu hạch thì với 1 mọi tập bị chặn B trong l I [E ] tồn tại tập bị chặn B trong E sao cho 67
å pB ( xi )£ 1, với mọi [xi, I ]Î B . I Chứng minh. Theo giả thiết hU=sup{ e U([ x i,:, I]) [ x i I ] ÎB} < ¥ , với mọi UEÎ U( ). Đặt AUUEE=I {hU : ÎUB( )} Î ( ). Khi đó å l ix i Î A với mọi [xi, I]ÎB ,l i : l i £ 1, s Î F ( I ) và eA[x i , I ]£ 1 với s mọi [xi, I ]Î B . Bây giờ chọn BEÎ B ( ) sao cho ABÌ và ánh xạ chính tắc EAB( , ) từ EA( ) vào EB( ) là khả tổng tuyệt đối. Vì ta có thể chọn B để p - chuẩn của EAB( , ) nhỏ hơn 1, nên ta có 1 pB[x i,, I]£ e A[ x i I ] với mọi [xi, I]Î l I ( E ( A )). Khi đó å pB( x i )£ 1 với mọi [xi, I ]Î B . I 3.1.2.6. Mệnh đề. Nếu E là đối ngẫu hạch, thì đối với mọi tập chỉ số I ta có 1 1 1 1 lIIII[EEEE]= l( ) = l{ } = l Chứng minh. Bởi vì mọi họ khả tổng yếu [xi , I ] trong E có thể xét như một 1 tập bị chặn (chỉ gồm một phần tử) của l I [E ], nên do bổ đề 3.1.2.5 tồn tại BEÎ B ( ) với å pB( x i )£ 1. I Vậy mọi họ khả tổng yếu là hoàn toàn khả tổng và ta có 1 1 1 1 lIIII[EEEE]= l( ) = l{ } = l 3.1.2.7. Mệnh đề. Mọi không gian đối ngẫu hạch có tính chất (B). Chứng minh. Suy trực tiếp từ bổ đề 3.1.2.5. 3.1.2.8. Mệnh đề. Mọi không gian đối ngẫu địa phương E có tính chất (B) thỏa mãn 68
1 1 1 1 lII[EE]= l ( ) hoặc lII{EE}= l , với một tập chỉ số vô hạn nào đó I , là đối ngẫu hạch. 1 1 Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh nếu lII[EE]= l { }, thì E là đối ngẫu hạch. Đối với tập tùy ý AEÎ B( ), đặt 1 é ù B ={[xn,¥] Î l¥ ë E( A) û :e A[ x n , ¥ ] £ 1}. 1 Hiển nhiên B bị chặn trong l ¥ [E ]. Do giả thiết ánh xạ đồng nhất từ E vào chính nó là khả tổng tuyệt đối, theo định lý 2.2.1.2, B bị chặn trong 1 l I {E }. Vì E có tính chất (B) thì tồn tại BEÎ B ( ) để å pB( x n)£1, "[ x n , ¥ ] Î B . ¥ Suy ra 1 é ù pB[x n,,,,¥]£ e A[ x n ¥] "[ x n ¥] Î l ¥ ë E( A) û. Như vậy ánh xạ chính tắc từ EA( ) vào EB( ) là khả tổng tuyệt đối. Như vậy B(E ) có tính chất (N). Kết hợp các kết quả 3.1.2.6, 3.1.2.7 và 3.1.2.8 ta nhận được 3.1.2.9. Định lý. Không gian lồi địa phương E là đối ngẫu hạch nếu và chỉ nếu E có tính chất (B) và đối với một tập chỉ số vô hạn nào đó I (tương ứng đối với tất cả các tập chỉ số I ) đồng nhất 1 1 1 1 lIIII[EEEE]= l{ } hay l( ) = l { } được thực hiện. Như trường hợp đặc biệt, do các định lý 2.1.5.6, 2.1.5.8 và định lý 3.1.2.4 ta nhận được kết quả sau: 3.1.2.10. Định lý. Không gian lồi địa phương khả mêtric hay đối ngẫu mêtric E là đối ngẫu hạch nếu và chỉ nếu đối với một tập chỉ số vô hạn nào đó I (tương ứng đối với tất cả các tập chỉ số I ) đồng nhất 69
1 1 1 1 lIIII[EEEE]= l{ } hay l( ) = l { } được thực hiện. 3.1.3. Không gian đối ngẫu với không gian lồi địa phương hạch Trước hết ta đưa các điều kiện cần và đủ để đối ngẫu mạnh E b¢ của không gian lồi địa phương hạch E cũng là hạch. 3.1.3.1. Định lý. Không gian lồi địa phương hạch E là đối ngẫu hạch nếu và chỉ nếu nó có tính chất (B). Chứng minh. Điều kiện cần suy ra từ mệnh đề 3.1.2.7. Để chứng minh khẳng định ngược lại ta chú ý rằng đối với mọi không gian lồi địa phương hạch E do mệnh đề 3.1.2.1 ta có đồng nhất 1 1 lII(EE)= l { }. Do đó E có tính chất ()B . Theo mệnh đề 3.1.2.8 suy ra E là đối ngẫu hạch. 3.1.3.2. Bổ đề. Không gian lồi địa phương tựa thùng E là hạch nếu và chỉ nếu E b¢ là đối ngẫu hạch. Chứng minh. Do E là tựa thùng nên họ 0 0 UU():()EUUEb¢ ={ Î } là hệ cơ bản các tập chặn trong E b¢. Từ mệnh đề 3.1.1.6 suy ra Bổ đề vì 0 U()E có tính chất ()N khi và chỉ khi U ()E b có tính chất ()N . 3.1.3.3. Định lý. Không gian lồi địa phương tựa thùng đối ngẫu hạch E là hạch nếu và chỉ nếu E b¢ có tính chất ()B . Chứng minh. Vì E b¢ là đỗi ngẫu hạch, nên định lý suy ra từ bổ đề trên và định lý 3.1.3.1. Đối với không gian lồi địa phương chỉ đối ngẫu hạch, ta cần bổ đề sau cải tiến bổ để 3.1.3.2. 3.1.3.4. Bổ đề. Không gian lồi địa phương s - tựa thùng E là hạch nếu E b¢ là đối ngẫu hạch. 70
0 Chứng minh. Xét UEÎ U() tùy ý. Khi đó UEÎ B()b và do giả thiết nên 0 0 tồn tại BEÎ B()b với UBÌ và ánh xạ chính tắc từ EU¢() và EB¢() là é0 ù hạch. Vậy tồn tại hn Î ëEU()' û và bn Î B sao cho ¢ 0 a=å hn,,() a b n " a Î E U ¥ và å p()hn < + ¥ . ¥ Do E là s - tựa thùng {bn } là đồng liên tục, nghĩa là tồn tại VEÎ U() 0 0 với bn Î V, n ³ 1 và VUÌ . Ta thấy bây giờ rằng ánh xạ chính tắc EU¢() vào EV¢()0 là hạch bởi vì ta có 0 a=å hn, a b n , " a Î E '( U ) ¥ và å p(hn )( b n ) < + ¥ . ¥ Như vậy ta đã chứng minh rằng U()E có tính chất (N). Như một trường hợp đặc biệt ta có. 3.1.3.5. Định lý. Không gian lồi địa phương khả mêtric hay đối ngẫu mêtric là hạch nếu và chỉ nếu nó đối ngẫu hạch. Chứng minh. Bởi vì không gian lồi địa phương khả mêtric hay đối ngẫu mêtric có tính chất (B) do các định lý 2.1.5.6, 2.1.5.8 và định lý 3.1.2.4, nên theo định lý 3.1.3.1 tất cả không gian lồi địa phương hạch khả mêtric hay đối ngẫu mêtric là đối ngẫu hạch. 3.1.4. Các tính chất của không gian lồi địa phương hạch 3.1.4.1. Mệnh đề. Trong mọi không gian lồi địa phương hạch E tồn tại một ² hệ cơ sở các 0- lân cận UH ()E sao cho các không gian Banach EU() và EU¢()0 là không gian Hilbert. 71
Chứng minh. Kí hiệu UH ()E là họ tất cả các 0 – lân cận cân W sao cho EW²() là không gian Hilbert và như vậy EW¢()0 cũng là không gian Hilbert. Ta sẽ chứng tỏ rằng với mọi UEÎ U() tồn tại WEÎ UH () để WUÌ . Theo mệnh đề 3.1.1.5 tồn tại VEÎ U() sao cho trên V 0 tồn tại một độ đo Radon dương m với p(),, x£ x a dm x Î E . U ò V 0 Khi đó công thức ì ü1/ 2 ï2 ï p()(),, x=íïm V0 x a d m ýï x Î E W ïò ï îïV 0 þï 0 xác định một nửa chuẩn liên tục pW với pWV()()() x£ m V p x . và sinh bởi tích vô hướng (,)(),,,x y=m V0 x a y a d m x Î E . W ò V 0 Như vậy EW²() là không gian Hilbert. Bằng cách áp dụng bất đẳng thức Holder ta có pUW()() x£ p x với mọi xÎ E . Do đó WUÌ và khẳng định được chứng minh. Như một hệ quả của mệnh đề trên, ta có: 3.1.4.2. Định lý. Không gian lồi địa phương E là hạch nếu và chỉ nếu nó chứa một hệ cơ bản các lân cận lồi cân của không UH ()E có hai tính chất sau: 0 ()H 1 EU¢() là không gian Hilbert, với mọi UEÎ UH (). ()H 2 với mỗi UEÎ UH () tồn tại VEÎ UH () sao cho VUÌ và ánh xạ chính tắc EUV¢(,)0 0 là ánh xạ Hilbert-Schmidt. 72
Chứng minh. Theo định 3.2.4.5 trong lớp các không gian Hilbert họ các ánh xạ khả tổng tuyệt đối trùng với họ các ánh xạ Hilbert-Schmidt. Do đó định lý 3.1.4.2 suy ra từ mệnh đề 3.1.4.1. 3.1.4.3. Định lý. Với mỗi không gian lồi địa phương hạch và đối ngẫu hạch E , ánh xạ chính tắc EAU(,), với AEÎ B() và UEÎ U(), là hạch. Chứng minh. Ta biểu diễn EAU(,) dưới dạng EAUEVUEAV(,)(,)(,)= tương ứng EAUEBUEAB(,)(,)(,)= , ở đó V là lân cận của 0 tùy ý trong U()E , mà VUÌ , B là tập bị chặn tùy ý trong B()E , mà ABÌ . Khi đó V , tương ứng B , có thể chọn sao cho ánh xạ EUV(,) , tương ứng EAB(,) , là hạch. 3.1.4.4. Mệnh đề. Nếu với mỗi không gian lồi địa phương E , tất cả các ánh xạ chính tắc EKU(,) đều là ánh xạ khả tổng tuyệt đối, với KEÎ K(), UEÎ U() , thì 1 1 lII() E= l[ E ] với mọi tập chỉ số I , ở đó K()E là họ tất cả các tập hợp tuyệt đối lồi, đóng, tiền com pắc. Chứng minh. Giả sử [xi , I ] là họ khả tổng bất kỳ trong E . Đặt ïì ïü H=íïa x : a £ 1 ýï và HHI=U{ :()s Î F }. s ïå i i i ï s îïs þï Khi đó với mỗi lân cận của không VEÎ U() tồn tại tập hợp s 0 Î F ()I sao 0 ¢ ¢ cho å áxi , a ñ £ 1 với mọi aÎ V và s Î F ()I , sÇ s 0 = Æ, để cho iÎ s ¢ x=a x Î H . Ta có x=a x + a x Î H + V . Do đó å i i åi i å i i s 0 s sÇ s0 s/ s 0 HHVÌ + . Vì H là tiền com pắc, nên tồn tại y, , yÎ E sao cho s 0 s 0 1 s 73
s HÌ{ y + V }. s 0 U n n = 1 Do đó s HÌ{ y + 2 V } . s 0 U n n = 1 Như vậy H là tập hợp tiền com pắc trong E . Do đó trong K()E có tập K chứa H . Vì å a ix i Î K với mọi s Î F ()I và ai: a i £ 1, s nên với mọi dạng tuyến tính aÎ ( E ( K ))¢ ta có ¢ å áxi,(). a ñ £ p K a < + ¥ s 1 Suy ra họ [xi , I ] thuộc vào lI ( E ( K )) . Nhưng theo giả thiết ánh xạ chính tắc EKU(,) là khả tổng tuyệt đối, nên åpU( x i )= å p U ( x i ( U )) < + ¥ với mọi UEÎ U() . s s Vậy tất cả họ khả tổng trong E đều là khả tổng tuyệt đối, do đó 1 1 lII() E= l[ E ] với mọi tập chỉ số I . Từ các kết quả đã nhận được và mệnh đề 3.1.2.8 suy ra: 3.1.4.5. Định lý. Không gian lồi địa phương E , có tính chất ()B , là đối ngẫu hạch khi và chỉ khi các ánh xạ chính tắc EKU(,) với KEÎ K(), UEÎ U() đều là ánh xạ hạch, tương ứng tựa hạch, khả tổng tuyệt đối. Ngoài ra do định lý 3.1.3.4 ta có; 3.1.4.6. Định lý. Không gian lồi địa phương khả metric hay đối ngẫu metric E là hạch khi và chỉ khi các ánh xạ chính tắc EKU(,) với KEÎ K(), UEÎ U() đều là ánh xạ hạch, tương ứng tựa hạch, khả tổng tuyệt đối. 3.1.4.7. Mệnh đề. Trong không gian lồi địa phương hạch hay đối ngẫu hạch E mọi tập bị chặn đều là tiền com pắc. 74
Chứng minh. Vì mỗi tập con bị chặn của không gian E đều được chứa trong một tập bị chặn tuyệt đối lồi đóng, nên chỉ cần chỉ ra khẳng định của định lý đối với AEÎ B() . Thật vậy, ta có ánh xạ chính tắc EA() vào EU() với mỗi lân cận của không UEÎ U() là hạch, nên là tiền com pắc. Do đó A()()(): U={ x U Î E U x Î A} là tập con tiền com pắc của không gian EU() . Từ đó tồn tại x1, , xs Î E sao cho s A()()() UÌU{ xn U + U U }, (1) n = 1 ở đó U()()(): U={ x U Î E U x Î U } là hình cầu đơn vị đóng của không gian EU() . Nhưng từ (1) suy ra s A() UÌU{ xn + U }. n = 1 Vậy khẳng định được chứng minh, vì U là lân cận tùy ý của không trong E . 3.2. Tính ổn định của tính hạch Trong phần trước ta đã nghiên cứu sự liên hệ giữa tính hạch của không gian lồi địa phương với đối ngẫu hạch của nó. Ở đây ta sẽ xem xét sự ổn định của tính hạch đối với các phép toán quan trọng trong lớp các không gian lồi địa phương. 3.2.1. Không gian con và không gian thương của không gian lồi địa phương hạch. 3.2.1.1 Mệnh đề. Mọi không gian con F của một không gian lồi địa phương hạch E là hạch. Chứng minh. Đầu tiên chú ý rằng họ các tập UUFUE0 = Ç,() Î U lập thành thành cơ sở các 0- lân cận trong F . Ngoài ra từ hệ thức p(()) x U= p () x = p () x = p (()) x U với xÎ F , 0 UU0 75
ta có thể đồng nhất trong không gian định chuẩn FU()0 với không gian con của EU() lập bởi các lớp tương đương x( U ), xÎ F . Vì U()E có tính chất ()N ¢ , nên với mỗi UEÎ U() tồn tại 0- lân cận VEÎ U() sao cho VUÌ và ánh xạ chính tắc EVUEVEU(,):()()® là tựa hạch. Khi đó ánh xạ FVUFVFU(,):()()0 0 0® 0 là hạn chế của EVU(,) trên FV()0 cũng là tựa hạch. Do đó họ cơ bản các 0- lân cận trong FUUFUE:,()0 = Ç Î U có tính chất ()N ¢ . 3.2.1.2. Mệnh đề. Không gian con F của một không gian lồi địa phương đối ngẫu hạch E là đối ngẫu hạch. Chứng minh. Trước tiên chú ý rằng AFA0 = Ç , , trong đó AEÎ B() lập thành một hệ cơ bản các tập bị chặn trong F . Ngoài ra từ hệ thức p( x )= p ( x ), với xÎ F() A AA0 0 suy ra rằng có thể đồng nhất không gian định chuẩn FA()0 với khộng gian con FEAÇ () của EA(). Vì B()E có tính chất ()N với mỗi AEÎ B() , nên tồn tại một tập BEÎ B() sao cho ABÌ và ánh xạ chính tắc EAB(,) từ EA() vào EB() là tựa hạch. Khi đó ánh xạ chính tắc FAB(,)0 0 là hạn chế của EAB(,) trên FA()0 là tựa hạch. Do đó hệ cơ bản các tập bị chặn AFAAE0 = Ç,() Î B trong F có tính chất (N). 3.2.1.3. Mệnh đề. Mọi không gian thương QEF= / của không gian lồi địa phương hạch E theo một không gian đóng F là không gian hạch. Chứng minh. Đối với mỗi aÎ F 0 xác định phiếm hàm tuyến tính aˆ trên không gian thương Q bởi x( F ), aˆ = x , a , x Î E . 76
Bằng cách này ta có thể nhận được tất cả các phiếm hàm tuyến tính aˆ Î Q¢. Như vậy Q ¢ có thể đồng nhất với F 0 . Bây giờ ta chú ý rằng họ các tập U()(): F={ x F x Î U + F } với UEÎ U() lập thành một họ cơ sở các 0-lân cận lồi cân trong Q , khi. Ngoài ra từ hệ thức FUUF0Ç 0 = [ ()]0 é0 ù suy ra rằng không gian định chuẩn QUF¢(ë() û) trùng với không gian con véctơ FEU0Ç ¢() 0 của EU¢()0 . Vì U()E có tính chất ()N đối với mỗi UEÎ U() nên tồn tại một 0- lân cận VEÎ U() với VUÌ và ánh xạ chính tắc EUV¢(,)0 0 từ EU¢()0 vào EV¢()0 là tựa hạch. Khi đó ánh xạ chính tắc QUFVF¢((),())[ ]0[ ] 0 như là hạn chế của EUV¢(,)0 0 trên FEU0Ç ¢() 0 là tựa hạch. Do đó họ UFUE( ),Î U ( ) có tính chất (N). Bởi vì không gian con đóng và thương theo một không gian con đóng của một ()F - không gian cũng là một ()F - không gian, nên từ mệnh đề 3.2.1.1 và 3.2.1.3 ta có ngay. 3.2.1.4. Mệnh đề. Nếu F là không gian con đóng của ()F - không gian hạch E thì F và EF/ là các ()F - không gian hạch. 3.2.1.5. Mệnh đề. Mọi không gian con đóng F của một ()F ¢ - không gian hạch E là một ()F ¢ - không gian hạch . Để chứng minh mệnh đề 3.2.1.5, ta cần bổ đề sau: 3.2.1.6. Bổ đề. Nếu F là không gian đóng của một ()F - không gian đối ngẫu hạch E , thì các tập hợp B()():,() F={ x F Î Q x Î B} B Î B E lập thành một hệ cơ bản các tập bị chặn của không gian thương QEF= / . 77
Chứng minh. Bởi vì Q là không gian hạch, theo bổ đề 3.1.3.4 và định lý 3.2.1.3, nên mọi tập bị chặn trong Q là hoàn toàn bị chặn. Giả sử AQÎ B(). Khi đó tồn tại một dãy {xn () F } hội tụ tới không trong Q để A bao hàm trong bao đóng của bao lồi cân của {xn () F } . Xét một cơ sở giảm các 0-lân cận lồi cân đóng U n trong E . Khi đó {UFUFn() = n + } lập thành cơ sở các 0- lân cận trong Q . Suy ra các tập I= n Î¥ : p ( x ( F )) ³ 1 k{ Uk () F n } là hữu hạn và ta có II1ÌÌ 2 Đặt yn=0, n Ï U I k và yn= x n với nÎ I 1 , ¥ còn trong trường hợp nÎ Ik+ 1 \ I k ta xác định phần tử yn sao cho x-Î y F và p( y )< 1. n n Uk n Khi đó yn( F )= x n ( F ), với mọi n Î ¥ . Thật vậy, nếu nÏ I với mọi k thì p( x ( F ))< 1 với mọi n Î ¥ . k Un () F n Nhưng điều đó chỉ xảy ra khi xn ( F )= 0( F ) . Với mỗi nÏ I ta có hoặc là nÏ I suy ra p( x ( F ))= 0, p U k Up () F n ¥ hoặc là tồn tại k³ p để nÎ Ik+ 1 \ I k , do đó p( x ( F ))£ p ( x ( F )) < 1. Up()() F n U k F n Vậy thì p( y )< 1, " n Ï I . Up n p 78
Như vậy {yn }Ì E hội tụ tới không. Gọi B là bao đóng của bao lồi cân của {yn }. Ta có BFA() É . Chứng minh mệnh đề 3.2.1.5. Theo mệnh đề 3.2.1.1 cần kiểm tra lại F là một ()F ¢ - không gian. Để chứng minh điều này ta kết hợp mỗi phần tử xÎ F với phiếm hàm tuyến tính ¢ 0 0 h trên EFb / bởi h,(),a F= x a . Với mọi aÎ E ¢. Theo cách này ta nhận được tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục ¢ 0 ¢ 0 trên EFb / . Theo bổ đề 3.2.1.6 tôpô của (/)EFb¢ b xác định bởi họ các nửa chuẩn ¢0 ¢ pb( x )= sup{ h , a ( F ) : a Î B} , B Î B ( E b ) mà họ nửa chuẩn này cũng xác định tôpô của F . Như vậy F là một ()F ¢ - không gian. 3.2.1.7. Mệnh đề. Không gian thương QEF= / của ()F ¢ - không gian hạch E theo không gian con đóng F của nó là ()F ¢ - không gian hạch. Chứng minh. Kết luận của mệnh đề suy ra từ đồng nhất Q với F 0 . Thật ( )b vậy, với mọi x() FÎ Q , xác định dạng tuyến tính xˆ()() FÎ F 0 ¢ cho bởi công thức xˆ( F ), a= x , a với mọi aÎ F 0 . Do EE¢¢= , nên theo định lý Hahn-Banach suy ra tương ứng này xác định đẳng cấu đại số giữa Q và ()F 0 ¢. Bởi vì các tập dạng UF0Ç 0 với UEÎ U() lập nên một hệ cơ bản các tập bị chặn trong F 0 , nên tôpô mạnh trên QF= ()0 ¢ xác định bởi hệ các nửa chuẩn 0 0 qxFU ( ( ))= supxaaU{ , : Î Ç F} , U Î U ( E ) . Trong khi tôpô thương của Q xác định bởi họ các nửa chuẩn 79
pxFUU( ( ))= infpx{ ( + y ) : y Î F } , với UEÎ U() Ta còn phải chứng minh pUU( x ( F ))= q ( x ( F )) khi đó mệnh đề được chứng minh. Thật vậy, từ bất đẳng thức x,,() a= x + y a £ pU x + y với mọi xÎÎ E, y F và aÎÇ U0 F 0 , suy ra qUU( x ( F )) £ p( x + y) với mọi yÎ F . Do đó qUU( x ( F ))£ p ( x ( F )) . Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại ta xét x() FÎ Q với qU ( x ( F ))£ 1. Khi đó 0 xÎ( U0 Ç F 0 ) =( U + F)00 =() U + F . Do đó, với mỗi e > 0 cho trước, tồn tại phần tử zÎ{ x +e U} Ç() U + F , mà nó có thể biểu diễn dưới dạng z= x +e x1, x 1 Î U và z= x2 + y,, x 2 Î U y Î F . Khi đó x- y = x2 - e x 1 . Từ đó suy ra pUUU( x ( F ))£ p( x - y) = p( x2 -e x 1 ) £ 1 + e . Cho e ® 0 ta nhận được pU ( x ( F ))£ 1 khi qU ( x ( F ))£ 1. Vậy pUU( x ( F ))£ q ( x ( F )) với x() FÎ Q . Kết hợp các mệnh đề trước ta nhận được kết quả cơ bản sau. 80
3.2.1.8. Định lý. Đối với mỗi ()F hay ()F ¢ - không gian hạch E tương ứng FF« 0 xác định tuơng ứng một đối một giữa các không gian con đóng của E và E b¢. Khi đó FEFEFFFEFEFFº¢/,/,/,/0¢ º 0¢ 0 =( )¢ ¢ 0 = ¢. ( b) b ( ) b b b b 3.2.2. Tích và tổng của các không gian lồi địa phương hạch Cho một họ các không gian lồi địa phương ()E i iÎ I . Khi đó tích EE= Õ i là không gian tuyến tính với hai phép toán I [xi,,,, I]+[ y i I] =[ x i + y i I ] với [xi,,, I][ y i I]Î E a[xi,, I]= [ a x i I ], với [xi,, I]ÎÎ Ea K . Các tập hợp U=[ Ui,,: I] ={[ x i I] x i Î E i }, trong đó UEiÎ U() i , tạo thành hệ cơ bản các lân cận của không trong E . Các nửa chuẩn tương ứng được xác định bởi công thức p()(): x= sup p x i Î I với mọi x= x, I Î E . U{ Ui i } [ i ] Khi đó ta nhận được không gian lồi địa phương E và gọi là tích của các không gian lồi địa phương E i . 3.2.2.1. Mệnh đề. Tích EE= Õ i một họ tùy ý các không gian lồi địa I phương hạch là hạch. Chứng minh. Xét một 0-lân cận cân UUI= [ i , ] trong E . Khi đó I0 ={ i Î I: Ui ¹ E i }. là hữu hạn. Theo mệnh đề 3.1.1.4 với mỗi iÎ I 0 tồn tại VEiÎ U() i với VUiÌ i và các phiếm hàm tuyến tính ainÎ E i¢, n ³ 1, sao cho p0 () a < + ¥ å Vi in ¥ 81
và p(),, x£ x a " x Î E . Ui å i in i ¥ Khi đó VVI= [ i , ] với Vi= E i , i Ï I 0 là 0-lân cận lồi cân trong E với VUÌ . Nếu đối với mỗi họ x=[ xi , I] Î E ta đặt x,, ain= x i a in thì ain có thể xét như một phần tử của E ¢ và ta có p0()() ain= p 0 a in < + ¥ . å åVV å å i II0¥ 0 ¥ Ngoài ra, đối với tất cả x=[ xi , I] Î E , ta có bất đẳng thức p()(),, x£ p x £ x a = x a . Uå Ui i å å i in å å in III0 0¥ 0 ¥ Vậy theo mệnh đề 3.1.1.4, E là hạch. Bây giờ cho một họ các không gian lồi địa phương ()E i iÎ I . Khi đó tổng EE= å i là không gian tuyến tính với hai phép toán I [xi,,,, I]+[ y i I] =[ x i + y i I ] với [xi,,, I][ y i I]Î E a[xi,, I]= [ a x i I ], với [xi,, I]ÎÎ Ea K . Dễ thấy rằng các tập hợp U=[ Ui,,: I] ={[ x i I] x i Î E i }, trong đó UEiÎ U() i , tạo thành hệ cơ bản các lân cận của không trong E . Các nửa chuẩn tương ứng được xác định bởi công thức p()(): x= sup p x i Î I với mọi x= x, I Î E . U{ Ui i } [ i ] Các tập hợp ïì ïü U=( U , I ) =íï[a x , I] : x Î U , a £ 1 ýï , với UEÎ U() iï i i i iå i ï i i îïI þï cũng tạo thành hệ cơ bản các lân cận của không trong E . 82
Khi đó ta nhận được không gian lồi địa phương E và gọi là tổng của các không gian lồi địa phương E i . 3.2.2.2. Mệnh đề. Tổng trực tiếp đếm được EE= Å n của các không gian lồi ¥ địa phương hạch là hạch. Chứng minh. Xét một lân cận tùy ý của không UUNE=[ n ,()] Î U . Theo mệnh đề 3.1.1.4 với mỗi n ³ 1 tồn tại VEVUnÎÌU( n ), n n và amnÎ E n¢, mÎ M = N sao cho 1 p0 ( a )£ , M = { 1,2 } å Vn mn n M 2 và p(),, x£ x a với mọi xÎ E . Un nå n mn n n M Khi đó VVN= [ n , ] là lân cận của không trong E . Nếu đối với mỗi họ [xn , N]Î E , đặt x,,, amn= x n a mn thì amn có thể xem như thuộc E ¢ và ta có 1 p0()() a= p 0 a £ < + ¥ . å åVVmn å ån mn å n NMNMN 2 Cuối cùng với mọi x=[ xn , N] Î E ta có p()(),, x= p0 x £ x a = x a UåU n å å n mn å å mn NNMNM nên theo mệnh đề 3.1.1.4 , không gian E là hạch. 3.2.2.3. Mệnh đề. Bao đầy Eˆ của một không gian lồi địa phương hạch E là hạch. Chứng minh. Với mỗi UEÎ U() kí hiệu U° là bao đóng của U trong Eˆ . Dễ thấy rằng họ U°, UEÎ U() lập nên 0- cơ sở lân cận lồi cân trong Eˆ và EUˆ ()° 83
chứa EU() như một không gian con trù mật. Điều này suy ra Eˆ là hạch nếu E là hạch. 3.2.3. Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục 3.2.3.1. Định lý. Giả sử E là không gian lồi địa phương đối ngẫu hạch còn F là không gian lồi địa phương hạch. Khi đó Lb (,)EF , không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F xét với tôpô hội tụ đều trên các tập bị chặn, là hạch. Chứng minh. Xét một 0-lân cận WAU(,) tùy ý trong Lb (,)EF , ở đây AEUEÎÎBU( ), ( ) còn WAUTEFTAU( ,(,):())={ ÎL Ì }. Do E là đối ngẫu hạch ta tìm được BEÎ B() với ABÌ và ánh xạ chính tắc từ EA() vào EB() là hạch. Do đó tồn tại am thuộc hình cầu đơn vị của [EA()'] và xm Î E() B với å pB() x m < + ¥ M và x=å x,,() am x m x Î E A . M Suy ra x,,,' a=å x am " x Î A " a Î E . M Từ mệnh đề 3.1.1.4 tồn tại VÎÎU( E ), bn F ' với p0 () b < + ¥ å V n N và 0 y,(),, b£ pU y £å y b n " y Î F " b Î U N 84
Bây giờ ta xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục Amn trên Lb (,)EF bởi T,,,(,) Amn= T x m b n T Î L E F . Ta có đánh giá p0()()() A£ p x p 0 b < + ¥ (1) åWBVV(,) mn å B m n MNMN,, bởi vì T, Amn£ p W(,) B V ( T ) p B ( x m ) pV 0 ( b n ). Ngoài ra, đối với xÎ A và bÎ U 0 ta có T x,,,' b£å T x bn = å x T b n NN £åxm,',. T b n = å T A mn MNMN,, Từ đó pW(,) A U(), T£ å T A mn . (2) MN, Do (1) và (2) tính hạch của Lb (,)EF nhận được từ mệnh đề 3.1.1.4 . 3.3. Tích tenxơ các không gian lồi địa phương 3.3.1. Định nghĩa tích tenxơ lồi địa phương 3.3.1.1. Tích tenxơ đại số EFÄ của các không gian tuyến tính E và F là không gian tuyến tính tất cả các tổng hữu hạn n z=å xr Ä y r , với xrÎÎ E, y r F , r = 1 trong đó ()x1+ x 2 Ä y = x 1 Ä y + x 2 Ä y , xÄ() y1 + y 2 = x Ä y 1 + x Ä y 2 , a()()()xÄ y = a x Ä y = x Ä a y . 85
3.3.1.2. Giả sử E và F là không gian lồi địa phương. Với mỗi lân cận của không UEÎ U() và VFÎ U(), đặt ïìn ïü p ()()()z= infíï p x p y ýï , (,)U Vïå U r V r ï îïr = 1 þï ở đó cận dưới chạy theo tất cả các biểu diễn của z dưới dạng n z=å xr Ä y r , với xrÎÎ E, y r F r = 1 và ïìn ïü e (),,:,z= supíï á xaybaUbV ñá ñ Î0 Î 0 ýï . (,)U Vïå r r ï îïr = 1 þï Khi đó chúng tạo thành hai hệ nửa chuẩn trong tích tenxơ đại số EFÄ , đồng thời sinh ra trong EFÄ hai tô pô lồi địa phương: p - tô pô và e - tô pô. Các tích ten xơ của các không gian lồi địa phương sẽ được ký hiệu là ˆ EFÄp và EFÄe , bổ sung của chúng được ký hiệu là EFÄp và ˆ EFÄe . Đó là các không gian lồi địa phương đầy đủ. 3.3.1.3. Mệnh đề. Trong tích ten xơ đại số EFÄ của các không gian lồi địa phương E và F , p - tô pô là trội hơn e - tô pô. Chứng minh. Với UEVFÎÎUU( ), ( ) , với mỗi phần tử n 0 0 z=å xr Ä y r Î E Ä F và mọi dạng tuyến tính aÎÎ U, b V ta có r = 1 n n åáxr,,()() a ñá y r b ñ £ å p U x r p V y r . r=1 r = 1 Do đó n e(,)U V()()()z£ å p U x r p V y r r = 1 xảy ra với biểu diễn tùy ý của z , nên ta có e(,)(,)UVUV()()z£ p z với mọi zÎÄ E F. Mệnh đề được chứng minh. 86
3.3.2. Tích tenxơ các không gian lồi địa phương đặc biệt 1 3.3.2.1. Mệnh đề. Tích tensor đại số l I Ä E có thể đồng nhất với không gian véctơ tất cả các họ khả tổng hữu hạn chiều [xi , I ] trong không gian lồi địa phương E . Chứng minh. Đầu tiên ta chứng tỏ tương ứng né n ù éx()()r,,I ùÄ ya ê x r y I ú åëi û rê å i r ú r=1ë r = 1 û 1 là song ánh H từ l I Ä E vào không gian véctơ tất cả các họ [xi , I ] trong E . Thật vậy ta xét phần tử tùy ý n éx(r ),I ùÄÎÄ y l 1 E å ëi û r I r = 1 mà nó tương ứng với họ [0,1] bởi H . Khi đó ta có n ()r å xiy r = 0, với mọi iÎ I . r = 1 Ta xác định một số hữu hạn các phần tử độc lập tuyến tính e1, , em sao cho các phần tử y1, , yn là tổ hợp tuyến tính của chúng m yr= å a rs e s s= 1 Nếu ta đặt n ()()s r hi=å x i a rs (s = 1, , m , i Î I ) r = 1 thì m ()s å hie s = 0, với mọi iÎ I . s = 1 Từ đó ()s hi =0, "s = 1, , m ; " i Î I . Nhưng khi đó ta có 87
n m éx()()r,I ùÄ y = é h s , I ù Ä e =[ 0, I ] Ä 0 = 0. åëi û r å ë i û s r=1 s = 1 Vậy H là đơn ánh. Hiển nhiên mọi họ trong ảnh của H là họ hữu hạn chiều và khả tổng tuyệt đối. Mặt khác, do mệnh đề 3.1.6.2, mọi họ hữu hạn chiều khả tổng [xi , I ] trong E có thể viết dưới dạng n x= x()r e , với mọi éx(r ),I ùÎ l 1 và eÎ E . iå i r ëi û I r r = 1 Vậy ta có æn ö Hç éx()r ,, I ùÄ e÷ = [ x I ]. çå ëi û r÷ i èçr = 1 ø 3.3.2.2. Mệnh đề. Đối với mọi không gian lồi địa phương E tích tensor 1 1 l I Äp E có thể đồng nhất với không gian con của l I {E }, được tạo thành bởi các họ hữu hạn chiều. Chứng minh. Phần đại số của mệnh đề được suy trực tiếp từ mệnh đề 3.3.2.1. 1 1 Ta chỉ cần chứng minh p - tôpô của l I Ä E trùng với p - tôpô của l I {E } 1 xét trên l I Ä E . Muốn vậy ta sẽ chứng minh đồng nhất ïìn ïü p[x, I]= infíï lé x()r , I ù p ( y ) ýï , U iïå 1 ë i û U r ï îïr = 1 þï 1 xảy ra với mọi họ hữu hạn chiều [xi , I ]Î l I {E } và mọi 0-lân cận UEÎ U() , ở đây infimum trong vế phải, được ký hiệu là p x, I , lấy theo tất cả các (,)l I U[ i ] biểu diễn có thể có của họ [xi , I ] dưới dạng n x= x()r y với éx(r ),I ùÎ l 1 và yÎ E . iå i r ëi û I r r = 1 Từ bất đẳng thức n n ()()r r pU[x i, I]=å p U ( x i ) £ å å x i p U ( y r ) = å l1 x i , I p U ( y r ), I I r=1 r = 1 88
suy ra px,, I£ p x I . U[ i] (,)l 1 U[ i ] Bây giờ ta xét một biểu diễn tùy ý của họ [xi , I ] dưới dạng n x= x()r y với éx(r ),,I ùÎÎl 1 y E . iå i r ëi û I r r = 1 Với mỗi e > 0, ta chọn một tập hợp s Î F ()I sao cho ()r e å xip U( y r )£ , r = 1, , n . I \ s n Khi đó ta có n p[x- x( s ), I] £ lé x()()r - x r ( s ), I ù p ( y ) £ e (l i ,U ) i iå 1 ë i i û U r r = 1 và p[x( s ), I]£ p ( x ) £ p [ x , I ] . (,)l 1 U iå U i U i s Do đó px, I£ p x - x ( s ), I + p x ( s ), I £e + p x,, I (,)(,)(,)l1U[ i] l 1 U[ i i] l 1 U[ i ] U[ i ] cho e ® 0 ta nhận được px,, I£ p x I . (,)l 1 U[ i] U[ i ] Vậy px,, I= p x I với mọi họ hữu hạn chiều x, IÎ l 1 { E }. U[ i] (,)l I U[ i ] [ i] I 3.3.2.3. Định lý. Đối với mỗi không gian lồi địa phương đầy E , tích Tensor 1 µ 1 xạ ảnh l I ÄpE đồng nhất với l I {E }. 1 1 Chứng minh. Nếu ta xét l I Äp E như không gian con véctơ của l I {E }, ta nhận được p-lim[xi ( s ), I] = [ x i , I ]. s 1 1 Nghĩa là l I Ä E trù mật trong l I {E }. Nhưng cả hai đầy, nên 1µ 1 lIIÄpEE º l { }. 89
3.3.2.4. Mệnh đề. Đối với mỗi không gian lồi địa phương E tích Tensor 1 1 l I Äe E có thể đồng nhất với không gian con của l I (E ) mà nó lập nên bởi tất cả các họ hữu hạn chiều. Chứng minh. Bởi vì phần đại số của khẳng định suy ra từ mệnh đề 3.3.2.1, ta 1 1 chỉ cần chứng minh e - tôpô của l I Ä E trùng với e - tôpô của l I (E ) xét 1 1 trên l I Ä E . Cho [xi, I]Î l I ( E ) là họ hữu hạn chiều. Viết [xi , I ] dưới dạng n x= x()r y , với éx(r ),I ùÎ l 1 và yÎ E. iå i r ëi û I r r = 1 Với mỗi lân cận của không UEÎ U() , theo định nghĩa ta có ïì ïü e [x, I]= supíï x , a : a Î U 0 ýï . U iïå i ï îïI þï Do đó ïìn ïü e[x, I]= supíï a x , a : a £ 1, a Î U 0 ýï . U iïå i i i ï îïr = 1 þï n ()r Từ đó, sau khi thay xi= å x i y r ta nhận được r = 1 ïìn ïü e[x, I]= supíïé x(r ) ,,, I ù[ a I] y ,: a a £ 1, a Î U 0 ýï U iïå ë i û i r i ï îïr = 1 þï = e x, I . (,)l 1 U[ i ] Từ định lý 3.3.2.3 và mệnh đề 3.3.2.4 ta nhận được 3.3.2.5. Định lý. Đối với mỗi không gian lồi địa phương đầy E ta có 1µ 1 lIIÄpEE º l ( ). 3.3.2.6. Định lý. Không gian lồi địa phương E là hạch nếu và chỉ nếu đối với một tập chỉ số vô hạn nào đó I (tương ứng đối với tất cả các tập chỉ số I ) ta có 1 1 lIIÄeEE º l Ä p . 90
3.3.3. Đặc trưng của không gian lồi địa phương hạch 3.3.3.1. Định lý. Nếu E là không gian lồi địa phương hạch thì i) EFEFÄe = Ä p đối với mọi không gian lồi địa phương F . ii) EFÄp và do đó EFÄe là hạch đối với mọi không gian lồi địa phương hạch F . Chứng minh. Cho UEÎ U() . Ta xác định VEÎ U() để VUÌ và ánh xạ chính tắc EV() vào EU() là hạch. Khi đó tồn tại an Î E ¢ và xn Î E sao cho r =p0 ()() a p x < + ¥ å V n U n ¥ và æ ö ç ÷ limpUç x- x , a n x n ÷ = 0 với mọi xÎ E . (1) s å ÷ èç s ø Bây giờ nếu WFÎ U() tùy ý, thì do định lý Hahn-Banach với mỗi phần tử s (0) (0) z0 =å xr Ä y r Î E Ä F r = 1 tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục c trên EFÄp với z0,() c£ p (UW , ) z 0 và z,() c£ p(,)UW z với mọi zÎÄ E F . Nói riêng, với mọi xÎ E và yÎ F ta có bất đẳng thức xÄ y,()() c £p(,)UWUW( x Ä y) £ p x p y . Từ (1) ta nhận được xÄ y,,, c =å x an x n Ä y c . ¥ Do đó, ta có s (0) (0) p(U , W )(),,z 0= z 0 c =å x r Ä y r c r = 1 s (0) (0) =å å xr,, a n x n Ä y r c ¥ r = 1 91
s (0) (0) =åxn Ä å x r,, a n y r c . ¥ r = 1 Từ đó ta nhận được æs ö p ()(),z£ p x pç x(0) a y (0) ÷. (U , W ) 0 å U n Wç å r n r ÷ ¥ èçr = 1 ø Cuối cùng, từ định nghĩa của e(VW , )()z 0 suy ra æs ö ç (0) (0) ÷ p x,()() a y÷£ p0 ae z Wçå r r÷ V ( U , W ) 0 èçr = 1 ø với mọi aÎ E¢() V 0 . Từ đó ta có p()()()()z£ p x p0 a e z . (U , W ) 0å U nV n ( V , W ) 0 ¥ Vì z0 ÎÄ E F tùy ý, nên ta có p(,)(,)UWVW()()z£ p e z với mọi zÎÄ E F . Do đó e - tôpô mạnh hơn p - tôpô. Vậy EFEFÄp = Ä e . ii) Do i) chỉ cần chứng minh EFÄe là hạch. Cho UEÎ U() và VEÎ U() . Do mệnh đề 3.1.1.4 tồn tại U1 ÎU( E ), an Î E¢ , n ³ 1 và VE1 Î U( ), bn Î F sao cho p0();() a< + ¥ p 0 b < + ¥ åUV1n å 1 n ¥ ¥ và 0 x,(), a£ pU x £ å x a n với mọi xÎÎ E, a U , M 0 y,(), b£ pV y £ å y b n với mọi yÎÎ F, b V . M Xác định cmn ÎÄ() Ee F ¢ bởi s s z,,, cmn= å x r a m y r b n với z=å xr Ä y r Î E Ä F . r = 1 r = 1 92
Ta có e ()()()c£ p0 a p 0 b < + ¥ (2) å(,)UII V mn å UV mI n MN MN bởi vì z,()()() c£ e z p0 a p 0 b . mn(,) UII VUVII m n Ngoài ra, đối với aÎ U 0 và bÎ V 0 ta có ước lượng s s s åxaybr,,,,,, r= å xyba r r £ å å xyba r r m r=1 r = 1M r = 1 s s £å åxr a m y r,,,,. b £ å å x r a m y r b = å z c mn MMNMNr=1 , r = 1 , Từ đó ta nhận được e (),z£ z c với mọi zÎÄ E F . (3) (,)U1 V 1 å mn MN, Theo mệnh đề 3.1.1.4, từ (2) và (3) suy ra EFÄe là hạch. 3.3.4. Định lý về hạch Trước tiên ký hiệu B(,)EF là tập hợp tất cả các dạng song tuyến tính liên tục, xác định trên tích EF´ của các không gian lồi địa phương E và F . Như đã biết, dạng song tuyến tính B= [ B(,) x y ] là liên tục khi và chỉ khi tồn tại lân cận của không UEÎ U() và VFÎ U() sao cho B(,)()() x y£ pUV x p y với mọi xÎ E và yÎ F . Dạng song tuyến tính B được gọi là hạch, nếu nó được biểu diễn dưới dạng B(,),, x y=å á x an ñá y b n ñ với mọi xÎ E và yÎ F , ¥ ở đó an Î E ¢ và bn Î F ¢, thỏa mãn điều kiện p0()() a p 0 b < + ¥ với UEÎ U() và VFÎ U(). å UVn n ¥ 93
3.3.4.1. Định lý. Nếu E là không gian lồi địa phương hạch, thì với mọi không gian lồi địa phương F , tất cả các dạng song tuyến tính BEFÎ B(,) đều là hạch. Chứng minh. Giả sử UEÎ U() và WFÎ U() là các lân cận của không sao cho B(,)()() x y£ pUW x p y với mọi xÎ E và yÎ F . Vì E là hạch, nên tồn tại VEÎ U() sao cho VUÌ và ánh xạ chính tắc không gian EV() lên EU() là hạch. Do đó tồn tại các dạng tuyến tính an Î E ¢ và các phần tử xn Î E sao cho p0 ()() a p x < + ¥ å V n U n ¥ và limpU ( x- á x , a n ñ x n ) = 0 với mọi xÎ E . n å n Khi đó B(,),(,) x y=å á x an ñ B x n y với mọi xÎ E và yÎ F . ¥ Với bn Î F ¢, đặt áy,(,) bn ñ= B x n y với mọi yÎ F , ta có pW 0 ( bn )= sup{ á y , b n ñ : y Î W} £ p U ( x n ). Do đó p0()()()(). a p 0 b£ p 0 a p x < + ¥ åVWVn n å n U n ¥ ¥ Khi đó ta có B(,),, x y=å á x an ñá y b n ñ với mọi xÎ E và yÎ F . ¥ 3.3.4.2. Định lý. Không gian lồi địa phương E là hạch khi và chỉ khi với kất kỳ không gian lồi địa phương F tất cả các dạng song tuyến tínhBEFÎ B(,) đều là hạch. Chứng minh. Điều kiện cần đã được chứng minh. 94
Điều kiện đủ. Lấy một lân cận của không tùy ý UEÎ U() và xét dạng song tuyến tính BEEUÎ B( ,¢ (0 )) , được xác định bởi công thức B(,), x a= á x a ñ với mọi xÎ E và aÎ E¢() U 0 . Theo giả thiết, nó có thể biểu diễn dưới dạng áx,,,, a ñ=å á x an ñáx n a ñ ¥ 0 ở đó an và xn là các dạng tuyến tính trong E ¢ và (EU¢ ( )) ¢, thỏa mãn điều kiện p0()() a p¢ 0 x 0 bất kỳ, mỗi phần tử zÎÄ Ep F được biểu diễn dưới dạng z=å xn Ä y n , ở đó xnÎÎ E, y n F và ¥ å pU()()(). x n p V y n£p(,) U V z + d ¥ 95
% Chứng minh. Vì zÎÄ Ep F nên tồn tại một dãy các phần tử zr ÎÄ E F sao cho d p ()z- z < với mọi rÎ N = {0,1,2, } . (,)U V r 2r + 3 Khi đó d p ()z- z < với mọi r Î ¥ . (U , V ) r+ 1 r 2r + 2 Từ đó phần tử zr+ 1 - z r có thể biểu diễn dưới dạng nr + 1 (r+ 1) ( r + 1) zr+ 1 - z r =å x n Ä y n , n = 1 (r+ 1) ( r + 1) ở đó xnÎÎ E, y n F và nr + 1 d (r+ 1) ( r + 1) å pU()(). x n p V y n £ r + 2 n = 1 2 Ngoài ra, vì d p()()()(),z£ p z + p z - z < p z + (,)0UVUVUVUV (,) (,) 0 (,) 2 nên phần tử z0 có thể biểu diễn dưới dạng n 0 (0) (0) z0 =å xn Ä y n , n = 1 (0) (0) ở đó xnÎÎ E, y n F và n 0 (0) (0) d å pU()()(). x n p V y n£p(,) U V z + n = 1 2 Do đó nr ()()r r z= z0 +å() zr+ 1 - z r = å å x n Ä y n , R R n = 1 và khẳng định của chúng ta được chứng minh đầy đủ, bởi vì nr ()()r r å å pU()()(). x n p V y n£p(,) U V z + d R n = 1 96
n ¢ 3.3.5.2. Với mỗi z=å ar Ä y r Î E Ä F , ánh xạ hữu hạn chiều r = 1 n T x=å á x, ar ñ y r r = 1 đồng nhất tích tenxơ đại số EF¢Ä với không gian tuyến tính AEF(,) . Với d > 0 cho trước chọn biểu diễn của phần tử z sao cho n p0()()() a p y£p 0 z + d, å UUVr V r (,) r = 1 ta nhận được đánh giá sau b()()T£ p(,)UV0 z + d . Vì d bé tùy ý nên suy ra b()()T£ p(,)UV0 z . Như vậy, ánh xạ chính tắc từ EFb¢Äp vào LEFb(,) là liên tục và do đó có % thể thác triển đến ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian EFb¢Äp vào % % LEFb(,) . Do định lý 3.3.5.1, ảnh của ánh xạ này trùng với tập hợp NEF(,) tất cả các ánh xạ hạch từ E vào F%. 3.4. Các ánh xạ loại l p và s . 3.4.1. Số xấp xỉ của các ánh xạ tuyến tính liên tục các không gian định chuẩn. Giả sử E và F là các không gian định chuẩn.Ta ký hiệu AEFr (,) , ở đó r = 1,2, , là tập hợp tất cả các ánh xạ hữu hạn chiều ALEFÎ (,) , mà số chiều của ảnh của nó không vượt quá r . Với mỗi ánh xạ tùy ý TLEFÎ (,), ta đặt ar()T= inf{ b ( T - AA ): Î AEFr r (,), = 0,1, }. Ta gọi a r ()T là số xấp xỉ thứ r của ánh xạ T . Ta luôn có b(TTT )= a0 ( ) ³ a 1 ( ) ³ ³ 0 . 97
3.4.1.1. Mệnh đề. Giả sử STLEF,(,)Î và s, rÎ R = { 0,1,2, }. Khi đó ar+ s(STST+ ) £ a r ( ) + a s ( ). Chứng minh. Với d > 0 tùy ý, tồn tại các ánh xạ AAEFÎ r (,) và BAEFÎ s (,) sao cho b()()SAS- £ ar + d và b()()TBT- £ as + d . Vì ABAEF+ Î r+ s (,) nên ta có ar+ s ()()STSTAB+ £ b + - - £ £b(SATBST - ) + b ( - ) £ ar ( ) + a s ( ) + 2 d . Vì d bé tùy ý, nên suy ra ar+ s(STST+ ) £ a r ( ) + a s ( ). 3.4.1.2. Mệnh đề. Giả sử STLEF,(,)Î tùy ý và rÎ R . Khi đó ar(STST )- a r ( ) £ b ( - ). Chứng minh. Theo mệnh đề 3.4.1.1 ta có ar()()()STST£ a r + a 0 - , tức là ar(STST )- a r ( ) £ b ( - ). Đổi vai trò của S và T ta được ar(TSST )- a r ( ) £ b ( - ). Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 3.4.1.3. Mệnh đề. Với mọi TLEFÎ (,), rÎ R và số l ta có ar( lTT )= l a r ( ). 3.4.1.4. Mệnh đề. Nếu a r (T )= 0 thì TAEFÎ r ( , ). Chứng minh. Giả sử số chiều của ảnh của ánh xạ T lớn hơn r . Khi đó tồn tại r + 1 phần tử độc lập tuyến tính yi= T x i , r + 1 dạng tuyến tính bk Î F ¢ thỏa mãn điều kiện áyi, b k ñ=d ik , (, i k = 1,2, r + 1). Vì det(dik )= 1, nên tồn tại s > 0 sao cho det(a ik )¹ 0 khi aik- d ik £ s . Theo giả thiết ta có 98
inf{b( T- A ) : A Î Ar ( E , F )} = 0. Suy ra với số dương é ù- 1 r= s max pU( x i ) p0 ():, b k i k = 1,2, , r + 1 ëê{ V } ûú tồn tại ánh xạ AAEFÎ r (,) sao cho b().TA- £ r Vì dik- áA x i,, b k ñ = á T x i - Ax i b k ñ £rpU()() x i p b k £ s , V 0 nên ta có det(áA xi , b k ñ ) ¹ 0. Nhưng vì ảnh của ánh xạ A có không quá r phần tử, nên r + 1 phần tử Ax i phải phụ thuộc tuyến tính, do đó det(áA xi , b k ñ ) = 0. Mâu thuẫn nhận được chứng tỏ giả sử ở trên không đúng, do đó TAEFÎ r ( , ). 3.4.1.5. Mệnh đề. Giả sử EF, và G là các không gian định chuẩn. Với TLEFÎ (,), SLFGÎ (,) và r, sÎ R tùy ý ta có ar+ s(ST )£ a r ( S ) a s ( T ). Chứng minh. Với d > 0 tùy ý tồn tại ánh xạ BAEFÎ s (,) và AAFGÎ r (,) sao cho b()()TBT- £ as + d và b()()SAS- £ ar + d . Vì A()(,) T- B + SB Î Ar+ s E G , nên ta có ar+ s (STSTATBSB )£ b ( - (( - ) - ) £b()()().()SATBST - b - £[ ar + d][ a s + d]. Từ đó, do d bé tùy ý, suy ra điều phải chứng minh. 99
Bây giờ giả sử F là không gian con của không gian định chuẩn G . Khi đó mỗi ánh xạ tuyến tính liên tục T từ E vào F có thể xem như là ánh xạ từ E vào G . Vì thế T có số xấp xỉ cả trong LEF(,) và trong LEG(,) . Ta F G GF ký hiệu chúng là a r ()T và a r ()T . Dễ thấy rằng ar()()TT£ a r ; khi r = 0 GF đẳng thức xảy ra. Khi r > 0 ta có ar()()TT 0 tùy ý tồn tại ánh xạ BAEGÎ r (,) sao cho G b()()TBT- £ ar + d . ánh xạ B được biểu diễn dưới dạng r Bx=å á x, an ñ z n n = 1 với mọi xÎ E , các dạng tuyến tính a1, , ar Î E ¢ và z1, , zr Î G . Đồng thời tồn tại các phần tử y1, , yr Î F sao cho r p()() a p z- y £ d . å U 0 n W n n n= 1 Đặt r Ax=å á x, an ñ y n với mọi xÎ E . n= 1 Khi đó AAEFÎ r (,) và r b()()()B- A £ p a p z - y £ d. å U 0 n W n n n = 1 Do đó FG ar()(TTATBBAT£ b - )( £ b - )( + b - ) £ a r ()2 + d. 100
FG GF Vì d bé tùy ý, suy ra ar()()TT£ a r . Mặt khác luôn có ar()()TT£ a r , FG nên suy ra ar(TT )= a r ( ). 3.4.1.7. Bổ đề. Nếu T là ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn r + 1 chiều F và tồn tại ánh xạ SLFEÎ (,) sao cho T Sy= y với mọi yÎ F , thì ar (TS ) b ( )³ 1. Chứng minh. Giả sử ar (TS ) b ( )< 1. Khi đó tồn tại ánh xạ AAEFÎ r (,) sao cho b(TAS- ) b ( ) < 1. Vì F là không gian Banach, nên ánh xạ ITAAS-() - = , ở đó I là ánh xạ đồng nhất của không gian F lên chính nó, là khả nghịch. Nhưng điều đó không thể xảy ra, vì ASAEFÎ r (,). 3.4.2. Các ánh xạ loại l p . Giả sử E và F là các không gian định chuẩn tùy ý, R = {0,1,2, } và p là số dương tùy ý. Ký hiệu lp (,) E F là tập hợp tất cả các ánh xạ TLEFÎ (,) thỏa mãn p å [a r ()T ] < + ¥ N và ta gọi tất cả các ánh xạ TÎ lp(,) E F là ánh xạ loại l p . 3.4.2.1. Mệnh đề. lp (,) E F là không gian tuyến tính. Chứng minh. Giả sử S,(,) TÎ lp E F . Khi đó với hai số x, h ³ 0 tùy ý, ta có bất đẳng thức p p p p- 1 ()()x+ h £ tp x + h , ở đó t p = max {2 ,1}. áp dụng mệnh đề 3.4.1.1 ta nhận được p p p å[ar()()()STSTST+] = å[ a2 r +] + å [ a 2 r + 1 +] £ RRR p p £2å[a2r (STST + )] £ 2 å [ a r ( ) + a r ( )] RR 101
p p £2tpå {[ a r (ST )] + [ a r ( )]}. R Do đó S+ T Î lp(,) E F . Ngoài ra, với số l bất kỳ ta có p p p å[ar()() lTT] = l å [ a r ] , RR suy ra l TÎ lp( E , F ). Vậy lp (,) E F là không gian tuyến tính. Bây giờ với mỗi TÎ lp(,) E F đặt 1/ p r()().TT= [ a ]p p{å r } R Khi đó hàm thực r= é r ()T ù trên lp (,) E F có các tính chất sau: pë p û i)r p ( T )³ 0; ii)r p ( T )= 0 Þ T = 0 ; iii)()()rp l T= l r p T với mọi số l ; iv)$s p ³ 1 sao cho r()()()STST+ £ sé r + r ù với mọi S,(,) TÎ lp E F . p pë p p û Các khẳng định i), ii ) và iii) là hiển nhiên. Ta còn phải chứng minh iv) . Thật vậy, từ đánh giá trong mệnh đề 3.4.2.1 suy ra p p p ér(STST+ ) ù £ 2 t é r ( ) ù + é r ( ) ù . ëp û p{ ë p û ë p û} Suy ra ér(STST+ ) ù £ (2 t )1/ p t é r ( ) + r ( ) ù ëp û p1/ p ë p p û Do đó ta có r()()()STST+ £ sé r + r ù, p pë p p û ở đó 102
ïì 2khi p ³ 1 1/ p ï s=(2 t ) t = íï . p1/ p ï 2(2/p )- 1 khi p 0 tạo thành một hệ cơ sở các lân cận của ánh xạ T p 3.4.2.2. Bổ đề. Nếu {T a } là dãy Cô si trong l(,) E F và tồn tại ánh xạ p TLEFÎ (,) sao cho lim Ta x= T x với mọi xÎ E , thì TÎ l(,) E F và a r p -lim Ta = T . a p Chứng minh. Vì rp()()SS³ b với mọi SÎ l(,) E F , nên {T a } cũng là dãy Cô si trong LEF(,) , và do lim Ta x= T x với mọi xÎ E , nên nó hội tụ đến a TLEFÎ (,). Theo mệnh đề 3.4.1.2 ta có ar()()()TTTTTT-a - a r b - a £ b - b . Suy ra limar()() Tb- T a = a r T - T a . b Nhưng với mỗi d > 0 cho trước, tồn tại a 0 sao cho 1/ p ïìp ïü r()()TTTT- =íïé a - ù ýï £ d với mọi a, b³ a . pb aïå ë r b a û ï 0 îïR þï Từ đó suy ra 1/ p ïìp ïü r()()TTTT- =íï[ a -] ýï £ d với mọi a³ a . païå r a ï 0 îïR þï Như vậy, ánh xạ TT- và cả T đều thuộc vào lp (,) E F , và dãy Cô si T a 0 { a } hội tụ đến T trong lp (,) E F . Từ bổ đề này trực tiếp suy ra hệ quả sau: 103
3.4.2.3. Mệnh đề. Nếu E là không gian định chuẩn và F là không gian Ba nắc thì lp (,) E F là không gian đầy đủ. 3.4.2.4. Mệnh đề. Không gian tuyến tính AEF(,) trù mật trong lp (,) E F . Chứng minh. Hiển nhiên mỗi ánh xạ hữu hạn chiều TLEFÎ (,) đều thuộc p l(,) E F , vì dãy {a r ()T } chỉ chứa hữu hạn thành phần khác 0. Ngược lại, giả sử TÎ lp(,) E F . Khi đó với mỗi d > 0, tồn tại số tự nhiên s sao cho ¥ p 1 p å [ar ()T ] 0 bất kỳ, tồn tại ánh xạ AAEFÎ (,) sao cho rp ()TA- £ d . 3.4.2.5. Mệnh đề. Mỗi ánh xạ loại l p đều là ánh xạ tiền com pắc. Chứng minh. Theo mệnh đề 3.4.2.4, với mỗi ánh xạ TÎ lp(,) E F tồn tại dãy các ánh xạ TAEFn Î (,) sao cho limr p( T- T n ) = 0 . n 104
p Nhưng vì với mọi SÎ l(,) E F ta có bất đẳng thức rp()()SS³ b , nên ta cũng có limb( T- T n ) = 0. n Do đó, T là ánh xạ tiền com pắc. Giả sử EF, và G là các không gian định chuẩn. Khi đó ta có: 3.4.2.6. Định lý. Giả sử E , F , G là các không gian định chuẩn, 1 1 1 TÎ lp(,) E F và SÎ lq (,) F G . Khi đó STÎ ls (,) E G , ở đó = + . s p q Chứng minh. áp dụng bất đẳng thức Hơn đe ta có 1/s 1/ p 1/ q ïìs ïü ïì p üï ïì q ïü íïx h ýï£ íï x ýï íï h ýï , ïår r ï ï å r ï ï å r ï îïRRR þï îï þï îï þï đồng thời áp dụng mệnh đề 4.1.5 ta nhận được 1/s 1/ s ïìs ïü ïì s ïü r(ST )=íï[ a ( ST )] ýï £ íï 2[ a ( ST )] ýï £ sïå r ï ï å 2 r ï îïRR þï îï þï 1/ s ïìs ïü £íï2[a (ST ) a ( )] ýï £ ïå r r ï îïR þï 1/q 1/ p ïìq ïü ïì p ïü £21/síï[a ()STST] ýï íï[ a ()] ýï = 2()(). 1/ s r r ïår ï ï å r ï q p îïRR þï îï þï Vậy STÎ ls (,) E G . 3.4.2.7. Mệnh đề. 1) Nếu TLEFÎ (,) và SÎ lp (,) F G , thì STÎ ls (,) E G và rp(ST )£ r p ( S ) b ( T ). 2)Nếu TÎ lp(,) E F và SLFGÎ ( , ), thì STÎ ls (,) E G và rp(ST )£ b ( S ) r p ( T ). Chứng minh. Theo mệnh đề 3.4.1.5 ta có ar()()()ST£ a r S b T . 105
Do đó rp()()()ST£ r p S b T . Tương tự , theo mệnh đề 3.4.1.5 ta có ar()()()ST£ b S a r T . Suy ra rp()()()ST£ b S r p T . 3.4.3. Số xấp xỉ của các ánh xạ compắc giữa các không gian HilBert Trong mục này ta luôn giả sử E và F là các không gian Hilbert với các hình cầu đơn vị đóng U và V . 3.4.3.1. Bổ đề. Với mỗi ánh xạ com pắc TLEFÎ (,) với chuẩn l= b(T ) > 0 tồn tại phần tử eÎ E sao cho * 2 T T e= l e và pU ( e )= 1. Chứng minh. Vì l =sup{ pV (): T x x Î U }, nên tồn tại dãy các phần tử xn Î U sao cho lim pV() T x n = l . n Theo giả thiết T là ánh xạ com pắc, nên có thể coi dãy {T xn } họi tụ tới phần tử l f trong F . Đặt T* f= l e , ta có * 2 lim T T xn = l e . (1) n Vì vế phải của đẳng thức 2 2 épTTx(*-l 2 x ) ù = é pTTx ( * ) ù - 2 l 2 pTx ( )2 + l 4 px ( ) 2 ëU n n û ë U n û [ V n] [ U n ] dần đến 0 khi n ® ¥ , nên * 2 lim( T T xn-l x n ) = 0. (2) n Từ (1) và (2) suy ra lim xn = e , n do đó 106
* * 2 T T e= lim T T xn = l e. n Cuối cùng, vì l=limpTxV()()()() n = pTe V £ l pe U = l limpx U n £ l , n n nên ta có pU ( e )= 1. 3.4.3.2. Định lý về phân tích phổ. Với mỗi ánh xạ com pắc TLEFÎ (,) tồn tại các hệ trực chuẩn [ei , I ] và [fi , I ] trong F và họ số [l i,I]Î c I , ở đó l i > 0, sao cho T x= å l i(,) x e i f i với mọi xÎ E . I Chứng minh. Xét tập hợp tất cả các hệ trực chuẩn, được tạo thành bởi các phần tử eÎ E , mà đối với chúng có thể tìm được số l > 0 sao cho T* T e= l 2 e. Bằng qui nạp sắp xếp chúng theo quan hệ bao hàm tập hợp sao cho theo bổ đề xoocnơ tồn tại hệ trực chuẩn cực đại [ei , I ], đối với các phần tử của nó ta có đẳng thức * 2 T T ei= l i e i với các số l i > 0 nào đó. Khi đó công thức Px= x - å (,) x ei e i với mọi xÎ E , (3) i xác định một phép chiếu liên tục P , mà ảnh của nó R ()P gồm tất cả các phần tử xÎ E sao cho (x , ei )= 0 với mọi iÎ I . Đặt TTP0 = và giả sử l0= b(T 0 ) > 0 . Theo bổ đề 3.4.3.1 tồn tại phần tử e0 sao cho * 2 T0 T 0 e 0= l 0 e 0 và pU ( e0 )= 1. - 2 * Vì T0 = PT , nên e0=l 0 PT T Pe 0 Î R ( P ). Khi đó ta có * * 2 (T T e0 , ei )= ( e 0 , T T e i ) =l i ( e 0 , e i ) = 0 với mọi iÎ I . 107
* Suy ra T T e0 Î R () P . Khi đó ta có * * * 2 TTe0= PTTPe 0 = TTe 0 0 0 = l 0 e 0, Vì hệ trực chuẩn [ei , I ] có thể mở rộng bằng cách bổ sung thêm phần tử e0 , nên điều đó mâu thuẫn với tính cực đại của nó. Do đó b(T 0 )= 0, suy ra T 0 = 0 . Bây giờ theo (3), ta có biểu diễn đối với T Tx= T((,))(,)å xeei i + TPx = å xeTe i i với mọi xÎ E . i i - 1 Đặt fi= l i T e i , ta nhận được T x= å l i(,) x e i f i với mọi xÎ E , i trong đó các phần tử fi tạo thành hệ trực chuẩn trong F , vì 1 1 1 * 1 1 (,)(,)(,)fij f=l iijj T e l T e = l i T T e ijj l e = l ijij l d . Cuối cùng,ta sẽ chứng minh [l i,I]Î c I . Thật vậy, lấy số d > 0 tùy ý, xét tập hợp Id ={ i Î I : li ³ d}. Với cặp chỉ số bất kỳ i, jÎ I d ta có 2 2 ép( T e- T e ) ù = é p (l f - l f ) ù = l2 + l 2 ³ 2 d 2 . ëV i j û ë V i i j j û i j Nhưng vì ei Î U , nên tập hợp tất cả các phần tử T ei , iÎ I là tiền com pắc. Do đó I d phải là tập hữu hạn. Bây giờ ta xét ánh xạ tuyến tính com pắc tùy ý T từ không gian E vào không gian F , được biểu diễn dưới dạng T x= å l i(,) x e i f i với mọi xÎ E . I Vì [l i,I]Î c I và l i > 0, nên tập hợp 1 I= i Î I : l ³ là hữu hạn và II= . n{ i } U n n n Do đó, tập hợp các chỉ số I là không quá đếm được và có thể coi nó có dạng I= {0,1, , n } hoặc I = {0,1,2, }. 108
Đặt ì l khi rÎ I . ï r l ()T = í r ï 0khi rÏ I . îï Khi đó ta có 3.4.3.3. Định lý. Với mỗi ánh xạ com pắc TLEFÎ (,) ta có ar(T )= l r ( T ), r = 0,1,2, Chứng minh. Xét ánh xạ T biểu diễn dưới dạng T x= å l i( T )( x , e i ) f i với mọi xÎ E . I Cố định số rÎ I , ta xác định ánh xạ AAEF0 Î r (,) bởi công thức r - 1 A0 x= å l i( T )( x , e i ) f i với mọi xÎ E . i= 0 Khi đó ta có 2 2 2 [pV()()(,) T x- A0 x] =å [l i T][ x e i ] £ i> r 2 2 £ [l r()()T][ p U x ] với mọi xÎ E . Suy ra ar()()()TTAT£ b -0 £ l r . (1) Mặt khác, giả sử AAEFÎ r (,) tùy ý, được biểu diễn dưới dạng r A x= å (,) x ak y k với mọi xÎ E , k = 1 trong đó a1, , ar Î E và y1, , yr Î F . Lấy nghiệm không tầm thường của phương trình tuyến tính thuần nhất r å xi(,e i a k )= 0, k = 1, , r , i= 0 được chuẩn hóa sao cho r 2 å xi = 1. i= 0 109
Đặt r x0 = å xi e i . i = 0 Khi đó ta có r r r Ax0=å( x 0 , ak ) y k = å å x i ( e i , a k ) y k = 0 . k=1 k = 1 i = 0 Chú ý rằng pU ( x 0 )= 1, nên ta có đánh giá sau 2 2 2 [b()()()T- A] ³[ pVV T x0 - A x 0] =[ p T x 0 ] = r 2 2 2 =å [li()().TT] x i ³ [ l r ] i= 0 Vì AAEFÎ r (,) tùy ý nên suy ra ar()()TT³ l r (2) Kết hợp (1) và (2) ta nhận được ar()()TT= l r với mọi rÎ I . Cuối cùng, nếu rÏ I , thì theo định nghĩa ta có l r (T )= 0. Nhưng bởi vì khi đó số chiều của ảnh của ánh xạ T không vượt quá r , nên TAEFÎ r (,), điều đó có nghĩa là a r (T )= 0. 3.4.3.4. Định lý. Nếu E và F là các không gian Hilbert, thì các ánh xạ hạch từ E vào F trùng với ánh xạ loại l1, ngoài ra với mọi 1 TÎ N(,)(,) E F = l E F ta có đẳng thức n()()TT= r 1 . Chứng minh. Lấy ánh xạ hạch tùy ý TNEFÎ (,) , biểu diễn nó theo 3.4.3.2 dưới dạng T x= å l i(,) x e i f i với mọi xÎ E . I Do tính hạch của ánh xạ T nên với mỗi số d > 0 tồn tại các phần tử xn Î E, và yn Î F sao cho `å pU()()() x n p V y n £n T + d N và 110
T x= å (,) x xn y n với mọi xÎ E . N Khi đó, vì l i=(T e i , f i ) = å ( e i , x n )( y n , f i ) N nên ta có đánh giá sau l £ (e , x )( y , f ) åi å å i n n i INI 1/ 2 1/ 2 ïì2 ïü ïì 2 üï £ íï(,)(,)e x ýï íï y f ýï åï åi n ï ï å n i ï NIIîï þï îï þï £å pU()()() x n p V y n £n T + d. N Do d tùy ý nên ta có å li £ n(T ). I Mặt khác, vì tập hợp các chỉ số I là hữu hạn hay đếm được nên theo 3.3.1.1 ta có n()()().T£å li p U e i p V f i = å l i II Do đó n().T = å l i I Theo định lý 3.4.3.3 ta có r1()(),TT=å ar = å l i RI nên ta nhận được r1(TT )= n ( ). Như vậy ta đã chứng minh rằng mỗi ánh xạ hạch đều là ánh xạ loại l1 Nhưng ngược lại tất cả các ánh xạ loại l1 đều là ánh xạ hạch, vì theo định lý 3.4.3.3 chúng có thể biểu diễn dưới dạng 111
T x= å l i(,) x e i f i với mọi xÎ E , I trong đó å l ip U()() e i p V f i < + ¥ . I 3.4.3.5. Định lý. Nếu E và F là các không gian Hilbert, thì ánh xạ Hilbert - Schmidt từ E vào F trùng với ánh xạ loại l 2 , trong đó với mọi TÎ S(,)(,) E F = l2 E F ta có đẳng thức s(TT )= r 2 ( ). Chứng minh. Xét ánh xạ com pắc TLEFÎ (,) tùy ý, biểu diễn nó theo định lý 3.4.3.2 dưới dạng T x= å l i(,) x e i f i với mọi xÎ E . I é¢ ù Mở rộng hệ trực chuẩn [ei , I ] thành hệ trực chuẩn đầy đủ ëei , I û, ta nhận được T ei = 0 với mọi iÎ I¢\ I , do đó theo định lý 3.4.3.3 ta có 22 2 2 2 [s()()()().T] =å[ pV T e i] = å l i = å [ a r T] = [ r 2 T ] IIR¢ Do đó, với ánh xạ com pắc TLEFÎ (,) ta có các khẳng định sau là tương đương s ()T < + ¥ và r 2()T < + ¥ . Như vậy khẳng định của chúng ta đã được chứng minh, vì các ánh xạ Hinbe - Smit và ánh xạ loại l1 đều là ánh xạ com pắc. 3.4.4. Ánh xạ khả tổng tuyệt đối và ánh xạ hạch 3.4.4.1. Bổ đề. Với mỗi không gian con r - chiều F của không gian định chuẩn E tồn tại các phần tử x1, , xr Î F và các dạng tuyến tính a1, , ar Î E ¢ sao cho r p( x )= 1, p0 ( a ) = 1, á x , a ñ= d và x= á x, a ñ x với mọi xÎ F. U iU k i k ik å i i i- 1 112
Chứng minh. Giả sử {y1, , yr } là hệ tùy ý gồm r phần tử độc lập tuyến tính 0 trong F . Với mỗi hệ gồm r dạng tuyến tính b1, , br Î U , ở đó U là hình cầu đơn vị đóng của không gian E , ta đặt d(b1 , , br )= det{ á y i , b k ñ}, ở đó d(b1 , , br ) là hàm số liên tục trên tích com pắc của r hình cầu đơn vị 0 com pắc yếu của không gian E ¢. Do đó, tồn tại các phần tử a1, , ar Î U , sao cho hàm số đạt giá trị lớn nhất d0= d(a 1 , , ar ) do tính độc lập tuyến tính của các phần tử y1, , yr . Giả sử x1, , xr Î F là nghiệm duy nhất của hệ phương trình r å áyi, a j ñ x j = y i , i = 1, , r . j = 1 Khi đó áxj, a k ñ= d jk , và bởi vì r 0 å áyi,,, a j ñá x j b k ñ= á y i b k ñ với mọi b1, , br Î U , j = 1 nên từ định lý nhân định thức suy ra d(a1 , , ar )det{á x j , b k ñ} = d (, , b 1 b r ). Do đó 0 det{áxj , b k ñ} £ 1 với mọi b1, , br Î U . 0 Nói riêng, lấy bk= a k khi k¹ i, bi = b Î U , ta nhận được 0 áxi, b ñ £ 1 với mọi bÎ U , tức là pU( x i )£ 1. Theo giả thiết ta có pU 0 ( ai )£ 1, nên từ hệ thức 1= áxi , a i ñ£ p U ( x i ) pU 0 ( a i ) suy ra 113
pU( x i )= 1 và pU 0 ( ai )= 1. Cuối cùng, vì x1, , xr Î F độc lập tuyến tính, nên F là không gian r chiều, mỗi phần tử xÎ F được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính r x= å xi x i , i = 1 trong đó r áx,,. ak ñ=å x i á x i a k ñ= x k i= 1 Bây giờ giả sử E và F là các không gian định chuẩn với các hình cầu đơn vị U và V . Khi đó ta có; 3.4.4.2. Bổ đề. Mỗi ánh xạ TAEFÎ (,) với ảnh r chiều R ()T biểu diễn được dưới dạng r T x=å l i á x, a i ñ y i với mọi xÎ E , i= 1 0 trong đó aiÎÎ u, y i V , số l i thỏa mãn bất đẳng thức li £ b(T ). Chứng minh. Lấy các phần tử yi Î R () T và các dạng tuyến tính bi Î F ¢ có tính chất đã được chỉ ra trong bổ đề 3.4.4.1. Khi đó r ¢ T x=å á x, T bi ñ y i với mọi xÎ E và i= 1 ¢ l i=pU 0 ( T b i ) > 0. Đặt - 1 ai= l i T¢ b i , ta nhận được biểu diễn sau r T x=å l i á x, a i ñ y i với mọi xÎ E , i= 1 0 trong đó aiÎÎ u, y i V và li £ b(T ). 114
3.4.4.3. Mệnh đề. Mỗi ánh xạ TÎ lp ( E , F ), 0 < p £ 1 đều biểu diễn được dưới dạng T x=å l r á x, a r ñ y r với mọi xÎ E, R 0 trong đó arÎÎ U, y r V và số l r thỏa mãn bất đẳng thức 1/ p 3 ïìp ïü 2+ íïl ýï £ 2p r (T ). ïå r ï p îïR þï Chứng minh. Chọn các ánh xạ An Î A2n - 2( E , F ), n = 1,2, sao cho b(TAT-n ) £ 2 a 2n - 2 ( ) và đặt BAAn= n+ 1 - n . Khi đó n + 2 dn= dimR ( B n ) £ 2 và b(BTATATn )£ b ( - n ) + b ( - n + 1 ) £ 4 a 2n - 2 ( ). Từ đó p 2p+ n + 2 p dn[b( B n )] £ 2[ a 2n - 2 ( T )] . Vì dãy [a r (TR ), ] đơn điệu giảm, nên 2n - 2 n - 1 p p p p 2an (TTTT )£ a ( ) = a ( ) = é r ( ) ù . å[ 2- 2 ] å å[ r] å [ r] ë p û NNRr =2n - 1 - 1 Do đó p p db( B )£ 22p+ 3 é r ( T ) ù . å n[ n] ë p û N Theo bổ đề 3.4.4.2, ta biểu diễn ánh xạ Bn dưới dạng dn ()()()n n n Bn x=å l i á x,, a i ñ y i i= 1 (n ) 0 ( n ) ()n ở đó aiÎÎ U, y i V và li£ b(B n ). Khi đó ta có 115
d n p p l(n )£d b( B )p £ 2 2 p+ 3 é r ( T ) ù . å åi å n[ n] ë p û N i= 1 N Từ đó khẳng định của chúng ta được chứng minh, vì dn ()()()n n n TxlimAx=m+ 1 = Bx n =l i á xay, i ñ i với mọi xÎ E. m å å å N N i= 1 3.4.4.4. Định lý. Giả sử EF, và G là các không gian định chuẩn tùy ý. Tích ST của các ánh xạ khả tổng tuyệt đối TPEFÎ (,) và SPFGÎ (,) là ánh xạ loại l 2 , trong đó r2(STST )£ p ( ) p ( ). Chứng minh. Như trong định lý 3.3.4.4, ST , được xét như là ánh xạ không gian E vào G%, có phân tích sau % ST= S2 KST S 1 T 2 K T 1 . Theo định lý 3.4.3.5 ta có %% r2()()()KSTKSTTSS 1 2= s 1 2 £ p và do G% % r2()ST£ b ()( S 2 r 2 KST S 1 T 2 )( b K T 1 ) £ p ()(), S p T nên khẳng định của định lý được chứng minh, bởi vì theo mệnh đề 3.4.1.6 ST cũng được xét như là ánh xạ từ không gian E vào G , là ánh xạ loại l 2 , GG% trong đó r2(ST )= r 2 ( ST ) £ p ( S ) p ( T ). 3.4.5. Các ánh xạ loại s Giả sử E và F là các không gian định chuẩn tùy ý. Ta ký hiệu s(,) E F là tập hợp tất cả các ánh xạ TLEFÎ (,) thỏa mãn p å [a r ()T ] 0, N và ta gọi chúng là các ánh xạ loại s . Vì s(,)(,) E F= I lp E F , nên ta có mệnh đề sau: p> 0 116
3.4.5.1. Mệnh đề. s(,) E F là không gian tuyến tính. Cho ánh xạ TÎ s(,) E F , hệ cơ bản các lân cận được tạo thành bởi các tập hợp Up,e() T={ S Î s (,):( E Fr p S - T ), £ e p > 0, e > 0} xác định trong s(,) E F một tôpô mêtric. Khi đó từ bổ đề 3.4.2.2 và mệnh đề 3.4.2.4 suy ra mệnh đề sau: 3.4.5.2. Mệnh đề. Nếu E là không gian định chuẩn và F là không gian Ba nắc, thì s(,) E F là không gian đầy đủ. 3.4.5.3. Mệnh đề. Không gian tuyến tính AEF(,) trù mật trong s(,) E F . 3.4.5.4. Mệnh đề. Giả sử EF, và G là các không gian định chuẩn. Khi đó: i) Nếu TLEFÎ (,) và SÎ s(,) F G , thì STÎ s(,) E G . ii) Nếu TÎ s(,) E F và SLFGÎ (,) , thì STÎ s(,) E G . Dãy số [l r ,R ] được gọi là dãy giảm nhanh, nếu mỗi dãy ék ù ë(r+ 1)l r , R û , k = 0,1,2, bị chặn. k p 3.4.5.5. Bổ đề. Nếu [l r ,R ] là dãy giảm nhanh, thì å (r + 1) l r 0. Chứng minh. Giả sử h là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện hp³ k + 2. Khi đó theo giả thiết tồn tại r > 0 sao cho h (r + 1) lr £ r với mọi rÎ R. Suy ra kp p - 2 å(r+ 1)lr £ r å ( r + 1) 0 R đều là dãy giảm nhanh. 117
Chứng minh. Kết luận được suy trực tiếp từ ước lượng sau s p p p (s + 1) lr £å l r £ å l r 0. SS Theo bổ đề 3.4.4.2, ánh xạ Bs biểu diễn được dưới dạng ds ()()()s s s Bs x=å l i á x,, a i ñ y i i = 1 (s ) 0 ( s ) ()s ở đó aiÎÎ U, y i V và li£ b()B s . Khi đó ta có ds ()s p p å åli£ å d s[ b() B s ] 0. S i= 1 S 118
và ds ()()()s s s TxlimAx=r+ 1 = Bx s =l i á xay, i ñ i với mọi xÎ E. r å å å S S i= 1 Như vậy ta đã chứng minh ánh xạ T được biểu diễn dưới dạng T x=å l r á x, a r ñ y r , R 0 p ở đó arÎÎ U, y r V và å l r 0. R Bằng cách thực hiện hoán vị tập hợp R , ta có thể coi l0³ l 1 ³ ³ l r £ Khi đó theo bổ đề 3.4.5.6, [l r ,R ] là dãy giảm nhanh. Điều kiện đủ: Giả sử TLEFÎ (,) tùy ý , được biểu diễn bởi T x=å l r á x, a r ñ y r , R 0 trong đó arÎÎ U, y r V và [l r ,R ] là dãy giảm nhanh. Vì ánh xạ A được xác định bởi công thức s- 1 A x=å l r á x, a r ñ y r với mọi xÎ E , r = 0 thuộc vào AEFs (,) , nên ta có ¥ ar()()TTA£ b - £ å l r . r= s Do đó, với mọi p Î (0,1) ta có ¥p ¥ p æ ö p [a()T ] £ç l÷ £ l , sçå r÷ å r èçr= s ø r = s từ đó ¥ p p p å[as(T )] £ å å l r = å ( r + 1) l r < + ¥ . S S r= s R Vậy T là ánh xạ loại s . 119
3.4.6. Đặc trưng của không gian lồi địa phương hạch 3.4.6.1. Định lý. Không gian lồi địa phương E là hạch khi và chỉ khi với số p > 0 nào đó khẳng định sau là đúng: Với mỗi lân cận của không UEÎ U() , tồn tại lân cận của không VEÎ U() sao cho VUÌ và ánh xạ chính tắc từ không gian EV() lên EU() là ánh xạ loại l p . Chứng minh. Điều kiện cần: Với mỗi lân cận của không UUE=0 Î U() tồn tại các lân cận UUE1, , 4n Î U ( ) sao cho UUU4n ÌÌÌ 1 0 và các ánh xạ chính tắc EUU(,)k k - 1 là khả tổng tuyệt đối. Đặt VU= 4n . Khi đó theo định lý 3.4.2.6 suy ra EVUEUUEUU(,)= (,) (1 0 4n , 4 n - 1 ) là ánh xạ loại l1/ n , vì trong vế phải tích của mỗi cặp ánh xạ khả tổng tuyệt đối cạnh nhau là ánh xạ loại l 2 . Bây giờ với p > 0, ta chọn n> 1/ p , khi đó ánh xạ chính tắc EUV(,) là ánh xạ loại l p . Điều kiện đủ. Giả sử khẳng định được phát biểu trong định lý là đúng với mỗi số p > 0. Khi đó với mỗi lân cận của không UUE=0 Î U() và mỗi số n tự nhiên tồn tại các lân cận của không UUE1, ,n Î U ( ) sao cho p UUUn ÌÌÌ 1 0 và các ánh xạ chính tắc EUU(,)k k - 1 là các ánh xạ loại l . Lấy n> p và đặt VU= n , theo định lý 3.4.2.6 ta có EVUEUUEUU(,)= (,) (,1 0n n - 1 ) là ánh xạ loại l p/ n . Do đó ánh xạ EUV(,) là hạch vì p/ n < 1. 3.4.6.2. Định lý. Không gian lòi địa phương đối ngẫu mêtric E là hạch khi và chỉ khi với mỗi lân cận của của không UEÎ U() , tồn tại lân cận của không VEÎ U() sao cho VUÌ và ánh xạ chính tắc từ không gian EV() lên EU() là ánh xạ loại s . 120
Chứng minh. Tính đủ được suy trực tiếp từ định lý 3.4.6.1. Như vậy ta chỉ còn phải chứng minh điều kiện cần. Thật vậy, chọn dãy các lân cận của không VEn Î U() sao cho VUn Ì và ánh xạ chính tắc từ không gian EV()n lên 1/ n không gian EU() là ánh xạ loại l , và giả sử ()B n nÎ N là dãy cơ bản tăng các tập bị chặn trongE . Khi đó tồn tại các số r mn > 0 sao cho BVmÌ r mn n . Đặt VV= I r nn n , ta có V là tập hợp tuyệt đối lồi đóng. N Vì - 1 BmÌ sup{r mn r nn ; n = 1,2, , m} V ( m = 1,2, ), nên với mỗi tập bị chặn BEÌ đều tồn tại số r > 0 sao cho BVÌ r . Nhưng không gian đối ngẫu mêtric hạch E là tựa thùng, nên V phải là lân cận của không trong E . Khi đó ánh xạ chính tắc từ không gian EV() lên không gian EU() là ánh xạ loại s , bởi vì với mỗi nÎ N nó được biểu diễn dưới dạng EVUEVUEVV( , )= (n , ) ( , n ). Tương tự như trong 3.4.6.1 ta có: 3.4.6.3. Định lý. Không gian lồi địa phương E là đối ngẫu hạch khi và chỉ khi với số p > 0 nào đó khẳng định sau là đúng: Với mỗi tập hợp AEÎ B() , tồn tại tập hợp BEÎ B() sao cho ABÌ và ánh xạ chính tắc từ không gian EA() lên EB() là ánh xạ loại l p . Đồng thời tương tự như trong 3.4.6.2, bằng cách đối ngẫu ta có: 3.4.6.4. Định lý. Không gian lòi địa phương mêtric E là đối ngẫu hạch khi và chỉ khi với mỗi tập hợp AEÎ B() , tồn tại tập hợp BEÎ B() sao cho ABÌ và ánh xạ chính tắc từ không gian EA() lên EB() là ánh xạ loại s . 121
3.4.6.5. Mệnh đề. Đối với không gian lồi địa phương hạch hay đối ngẫu hạch E mọi ánh xạ chính tắc EAU(,), trong đó AEUEÎÎBU( ), ( ) , đều là ánh xạ loại s . Chứng minh. Giả sử V là lân cận tùy ý của không VEÎ U() sao cho VUÌ . Khi đó EAUEVUEAV(,)(,)(,)= . Nhưng trong trường hợp, khi E là hạch, với mỗi số p > 0 theo định lý 3.4.6.1 có thể chọn V sao cho EVU(,) và do đó EAU(,) là ánh xạ loại l p . Từ đó EAU(,) phải là ánh xạ loại s . Đối với trường hợp đối ngẫu hạch E chứng minh tương tự bằng cách biểu diễn ánh xạ chính tắc EAU(,) dưới dạng EAUEBUEAB(,)(,)(,)= với sự lựa chọn thích hợp tập hợp BEÎ B() . Khi đó EAB(,) là ánh xạ loại s . Do đó theo mệnh đề 3.4.5.4, EAU(,) là ánh xạ loại s . Cuối cùng ta có: 3.4.6.6. Định lý. Không gian lồi địa phương mêtric hay đối ngẫu mêtric E là hạch khi và chỉ khi tất cả ánh xạ chính tắc EKU(,) , trong đó KEUEÎÎKU( ), ( ), là các ánh xạ loại s . 122
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt : [1] Phạm Hiến Bằng, Không gian lồi địa phương hạch, ĐHSP-ĐHTN, 2006. [2] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc và Đỗ Đức Thái, Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm, Tập 1, 2 ; NXBGD, 2001 [3]. Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, NXBGD, 1994. [4] Hoàng Tụy, Giải tích hiện đại, tập I, II, III, NXBGD, 1979. Tiếng Anh [5] A.Pietsch, Absolutely-p-summing operators in Lr - spaces, I,II. Sem. Goulaouic-Schwartz, Paris 1970/1971. [6] A.Pietsch, Nuclear locally convex spaces, Berlin-Heidelberg-New York, (1972). 123
MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Chương 1. Không gian lồi địa phương 2 1.1. Không gian lồi địa phương 2 1.2. Không gian đối ngẫu với không gian lồi địa phương 5 1.3. Một số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt 6 1.4. Không gian Banach 7 1.5. Không gian Hilbert 7 1.6. Ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian lồi địa phương 8 1.7. Không gian định chuẩn kết hợp với không gian lồi địa phương 9 1.8. Độ đo Radon 11 Chương 2. Ánh xạ khả tổng tuyệt đối 13 2.1. Các họ khả tổng 13 2.1.1. Họ số khả tổng 13 2.1.2. Họ khả tổng yếu trong không gian lồi địa phương 18 2.1.3. Họ khả tổng trong không gian lồi địa phương 19 2.1.4. Họ khả tổng tuyệt đối trong không gian lồi địa phương 22 2.1.5. Họ hoàn toàn khả tổng trong không gian lồi địa phương 25 2.1.6. Họ hữu hạn chiều trong không gian lồi địa phương 29 2.2. Ánh xạ khả tổng tuyệt đối 30 2.2.1. Ánh xạ khả tổng tuyệt đối giữa các không gian lồi địa phương 30 2.2.2. Ánh xạ khả tổng tuyệt đối giữa các không gian định chuẩn 32 2.2.3. Đặc trưng của ánh xạ khả tổng tuyệt đối giữa các không gian định chuẩn 34 2.2.4. Ánh xạ Hilbert- Schmidt 38 124
2.3. Ánh xạ hạch 42 2.3.1. Ánh xạ hạch giữa các không gian định chuẩn 42 2.3.2. Ánh xạ tựa hạch giữa các không gian định chuẩn 47 2.3.3. Tích các ánh xạ tựa hạch giữa các không gian định chuẩn 51 2.3.4. Tích các ánh xạ khả tổng tuyệt đối giữa các không gian định chuẩn 55 Chương 3. Không gian lồi địa phương hạch 62 3.1. Không gian lồi địa phương hạch 62 3.1.1. Định nghĩa không gian lồi địa phương hạch 62 3.1.2. Các họ khả tổng trong không gian lồi địa phương hạch 65 3.1.3. Không gian đối ngẫu với không gian lồi địa phương hạch 70 3.1.4. Các tính chất của không gian lồi địa phương hạch 71 3.2. Tính ổn định của tính hạch 75 3.2.1. Không gian con và không gian thương của không gian lồi địa phương hạch 75 3.2.2. Tích và tổng các không gian lồi địa phương hạch 81 3.2.3. Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục 84 3.3. Tích tenxơ các không gian lồi địa phương 85 3.3.1. Định nghĩa tích tenxơ lồi địa phương 85 3.3.2. Tích tenxơ các không gian lồi địa phương đặc biệt 87 3.3.3. Đặc trưng của không gian lồi địaphương hạch 91 3.3.4. Định lý về hạch 93 3.3.5. p - tích tenxơ đầy đủ của các không gian định chuẩn 95 3.4. Các ánh xạ loại l p và s 97 3.4.1. Số xấp xỉ của các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian định chuẩn 97 3.4.2. Các ánh xạ loại l p 101 3.4.3. Số xấp xỉ của các ánh xạ compắc giữa các không gian 106 125
Hilbert 3.4.4. Ánh xạ khả tổng tuyệt đối và ánh xạ hạch 112 3.4.5. Các ánh xạ loại s 116 3.4.6. Đặc trưng của không gian lồi địaphương hạch 120 TÀI LIỆU THAM KHẢO 123 126