Bài giảng Giải tích - Hàm số liên tục

Nội dung text: Bài giảng Giải tích - Hàm số liên tục

1. HÀM SỐ LIÊN TỤC
2. Định nghĩa 1.Cho hàm f(x) xác định tại xo, f liên tục tại xo nếu limf ( x )= f ( x0 ) xx→ 0 (đồ thị của hàm số y = f(x) không bị ngắt tại xo.) Ngược lại, f được gọi là gián đoạn tại xo. 2. f liên tục phải tại x nếu: limf ( x )= f ( x ) o + 0 xx→ 0 limf ( x )= f ( x ) 3. f liên tục trái tại xo nếu: − 0 xx→ 0 f liên tục tại xo f liên tục phải và trái tại xo.
3. Ví dụ sin x ,,x 0 sin x 1 /()fx= limfx ( )== lim 1 x xx→→00x 10,. x = f liên tục tại xo = 0. sin x ,,x 0 2 /()fx= x 10,. x = sin x limfx ( )= lim = 1 xx→→00 x f liên tục phải nhưng không liên tục trái tại x = 0
4. 1 , x 1, x 3 /f ( x )== 0 , x 1, 2xx− 1 , 1. 1 limfx ( ) = lim =1 = lim (2x −= 1) limfx ( ) x→1+ x→1+ x x→1− x→1− limfx ( )= 1 f (1) f không liên tục tại x = 1 x→1 Nhận xét: nếu đặt lại f(1) = 1, khi đó f liên tục tại 1
5. Phân loại điểm gián đoạn Loại 1: Tồn tại hữu hạn: f( x+ )= lim f ( x ), f( x− )= lim f ( x ) 0 + 0 − xx→ 0 xx→ 0 +− * f()()( x0= f x 0 f x 0 ): Điểm gián đoạn khử được. +− * f()(): x00 f x Điểm gián đoạn không khử được. +− h = f()() x00− f x : Bước nhảy của f tại x0. Loại 2: các trường hợp gián đoạn khác.
6. y=f(x) y=g(x) 1.f gđoạn tại x = -2 (loại khử được) 2.g liên tục tại x = -2 3.g gđoạn tại x= 1 (loại không khử được)
7. Tính chất hàm liên tục 1.Tổng, hiệu, tích , thương (mẫu số khác 0 tại x0) các hàm liên tục là liên tục. 2.Nếu f(u) liên tục tại u0, u(x) liên tục tại x0 và u(x0) = u0 thì f(u(x)) liên tục tại x0 3.Các hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định.
8. Ví dụ Phân loại điểm gián đoạn tại các điểm được chỉ ra, x−1 e x −1 1/fx ( ) = x = 0, x = 1 x −1 x 2 /fx ( ) = x = 0 1 arctan x
9. Hàm số liên tục trên [a, b] 1.Hàm số f liên tục trên [a, b] f liên tục tại mọi x nằm trong (a, b), f liên tục phải tại a, liên tục trái tại b. 2.* f liên tục trên [a, b] thì f bị chận trên [a, b] * f liên tục trên [a, b] thì f đạt gtln và gtnn trên [a, b]
10. 3.f liên tục trên [a, b], gọi m và M lần lượt là gtnn và gtln của f trên [a, b], ta có k [ m , M ],  x00 [ a , b ]: f ( x ) = k Hệ quả: nếu f liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong (a,b). VD: Xét phương trình x.2x – 1 = 0 trong (0, 1)