›

Bài giảng Giải tích - Khai triển Taylor

ppt 57 trang huongle 18380
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích - Khai triển Taylor", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_giai_tich_khai_trien_taylor.ppt

Nội dung text: Bài giảng Giải tích - Khai triển Taylor

  1. KHAI TRIỂN TAYLOR
  2. Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange f có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x0: f ( x) f ( x ) 2 f() x= f( x) +00( x − x) +( x − x ) 01! 0 2! 0 ()n fx( ) n + +0 (xx −) + R n! 0 n (n+ 1) fc( ) n+1 R =−(xx) , c nằm giữa x và x n (n + 1)! 0 0 (khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x0)
  3. Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano f có đạo hàm cấp n tại x0: f ( x) f ( x ) 2 f() x= f( x) +00( x − x) +( x − x ) 01! 0 2! 0 ()n fx( ) n + +0 (xx − ) + o() x− x n n! 0 ( 0 ) Phần dư Peano. x0 = 0: khai triển Maclaurin.
  4. Ý nghĩa của khai triển Taylor f(x): biểu thức phức tạp cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần bằng f(x) để thuận tiện trong tính toán. Hàm đơn giản nhất là đa thức.
  5. f(x) = sinx
  6. f(x) = sinx f()() x=+ x o x
  7. f(x) = sinx x3 f()() x=+ x o x f()() x= x − + o x3 3!
  8. f(x) = sinx 4 x21n− f( x )= ( − 1)n + o ( x7 ) n=1 (2n − 1)! x3 f()() x=+ x o x f()() x= x − + o x3 3!
  9. Ví dụ 1. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho 1 fx()= x (khai triển f thành đa thức theo lũy thừa của (x – 1) đến (x – 1)3) •Với phần dư Peano, chỉ cần tính đến đh cấp 3. •Với phần dư Lagrange, phải tính đến đh cấp 4.
  10. 1 1 fx()= =f (1) 1 fx ()=− f (1) = − 1 x x2 2 24 fx ()= =f (1) 2 fx(4) ()= x3 x5 6 fx ()=− f (1) = − 6 x4 ff (1) (1) f( x )= f (1) + ( x − 1) + ( x − 1)2 1! 2! f (1) +(x − 1)33 + o ( x − 1) 3! ( )
  11. ff (1) (1) f( x )= f (1) + ( x − 1) + ( x − 1)2 1! 2! f (1) +(x − 1)33 + o ( x − 1) 3! ( ) 1 2 6 f()1 x= − ( x − 1) + ( x − 1)2 − ( x − 1) 3 + o ( x − 1) 3 1! 2! 3! ( ) =1 − (x − 1) + (x − 1)2 − (x −1)3 + o((x − 1)3 ) Phần dư Peano
  12. Nếu dùng phần dư Lagrange: 2 3 f( x )= 1 − ( x − 1) + ( x − 1) −(x − 1) + R3 24 fx(4) ()= x5 f (4) ()c Rx=−( 1)4 3 4! 1 24 (x − 1)4 =(x − 1)4 = 4!cc55
  13. Ví dụ 2 Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho f(x) = tan x 2 f ( x )=+ 1 tan x f ( x )=+ 2tan x (1 tan2 x ) f ( x )= 2(1 + tan2 x ) + 6tan 2 x (1 + tan 2 x ) ff (0) (0) f( x )= f (0) + ( x − 0) + ( x − 0)2 1! 2! f (0) +(x − 0)33 + o ( x − 0) 3! ( ) x3 tanx= x + + o ( x3 ) 3
  14. Ví dụ 3 Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = -1, f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1) Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(4)(x) = 0 Khai triển Taylor của f đên cấp 3 không có phần dư. f (2) f (2) f (2) f()(2) x= f + (2) x − + (2) x −23 + (2) x − 1! 2! 3!
  15. f (2) f (2) f (2) f()(2) x= f + (2) x − + (2) x −23 + (2) x − 1! 2! 3! 1 4 12 =0 − (x − 2) + ( x − 2)23 + ( x − 2) 1! 2! 3! = −(x − 2) + 2( x − 2)23 + 2( x − 2) f ( x ) = − 1 + 4( x − 2) + 6( x − 2)2 Biếtff (1)f(x) =là 1, đa (1)thức = 1bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = -1, f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1)
  16. Khai triển Maclaurin các hàm cơ bản (x0 = 0) 1. f( x) = ex n f ()k (0) ex= f(0) + ( x − 0) k + o( ( x − 0) n ) k =1 k! f()kx() x= e =f ()k (0) 1 n 1 ex=1 + x k + o ( x n ) k =1k!
  17. 2. f() x=+l)n(1 x n f ()k (0) ln(1+x ) = f (0) + xkn + o( x ) k =1 k! (−− 1)k −1 (k 1)! fx()k ()= (1+ x )k fk(kk )(0) = ( − 1)− 1 ( − 1)! n xk ln(1+x ) = ( − 1)kn−1 + o ( x ) k =1 k
  18. 3. f() x=+(1) x f()kk( x )= ( − 1) ( − k + 1)(1 + x ) − fk()k (0)= ( − 1) ( − + 1) n f ()k (0) (1+x ) = f (0) + xkn + o( x ) k =1 k! ( − 1) (1+x ) = 1 + x + x2 + 1! 2! ( − 1) ( −n + 1) ++xnn o() x n!
  19. Áp dụng cho = - 1. ( − 1) (1+x ) = 1 + x + x2 + 1! 2! ( − 1) ( −n + 1) ++xnn o() x n! 1 =1 −x + x23 − x + + ( − 1)n x n + o ( x n ) 1+ x
  20. 3. f( x )= sin x ()k f( x )=+ sin x k =fk()k (0) sin 2 2 k=2 p f ()k (0) = 0 k=2 p − 1 f (2pp−− 1) (0) = ( − 1) 1 21n− f ()k (0) sinx= f (0) + xkn + o( x21− ) k =0 k! n x21k − sinx= ( − 1)kn−−1 + o( x 2 1) k =1 (2k − 1)!
  21. Lưu ý cho hàm sin x 2n f ()k (0) sinx= f (0) + xkn + o( x2 ) k =0 k! f(2n)(0) = 0 hệ số của x2n là 0. n x21k − sinx = ( − 1)k −1 + ox( 2n ) k =1 (2k − 1)!
  22. Bảng công thức kt Maclaurin cơ bản x x2 xn ex =1 + + + + + ox (n ) 1! 2!n ! x23 x xn ln(1+ x ) =x − + − +( − 1)nn−1 + o ( x ) 23 n ( − 1) (1+ x ) =1 +xx +2 + 1! 2! ( −1) ( −n + 1) ++xnn o() x n!
  23. 1 =1 −x + x23 − x + + ( − 1)nx n + o() x n 1+ x x3 x 5 x 2n− 1 sin x =x − + − +( − 1)nn−−1 + o x 2 1 3! 5! (2n − 1)! ( ) (hay + ox( 2n )) x2 x 4 x 2n cos x =1 − + − + ( − 1)nn + ox2 2! 4! (2n )! ( ) (hay + ox( 21n+ ))
  24. Khai triển Maclaurin của arctan và hyperbolic x3 x 5 x 2n− 1 sinh x= x + + − + + o x21n− 3! 5! (2n − 1)! ( ) x2 x 4 x 2n coshx= 1 + + − + + o x2n 2! 4! (2n )! ( ) Giống sinx, cosx nhưng không đan dấu x3 x 5 x 2n− 1 arctanx= x − + − + ( − 1)nn−−1 + o x 2 1 3 5 2n − 1 ( ) Giống sinx, nhưng mẫu số không có giai thừa.
  25. Lưu ý về thay tương đương cho sinh, cosh x3 x 5 x 2n− 1 sinh x= x + + − + + o x21n− 3! 5! (2n − 1)! ( ) bậc cao hơn x (khi x→0) sinh xx,khi x → 0 x2 x 4 x 2n coshx= 1 + + − + + o x2n 2! 4! (2n )! ( ) x2 coshx − 1 ,khi x → 0 2
  26. Ví dụ áp dụng 1. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho: 1 fx()= x x0 = 1 0, đặt biến phụ : u = x – x0 = x – 1 1 fx()= =1 −u + u2 − u 3 + o u 3 1+ u ( ) Trả về biến cũ: f()1( x= − x − 1)( + x − 1)2 − ( x − 1) 3 + o( ( x − 1) 3 )
  27. 2. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho: f( x )=+ ln( x 2) x23 x xn u = x – 1 ln(1+x ) = x − + − + ( − 1)nn−1 + o ( x ) 23 n f( x )=+ ln(3 u ) =ln(1 + 2 + u ) (2++uu )23 (2 ) =2 +u − + + o (2 + u )3 23( ) Sai! (u + 2) 0 khi u = 0 (hay x = 1)
  28. f( x )=+ ln(3 u ) ⎯⎯⎯→x→1 0 u u =ln3 1 + = ln3 + ln 1 + 3 3 2 3 u u 3 u 3 3 u = ln3 + − + + o 2 3 3 3 1 1 1 =ln3 +u − u2 + u 3 + o ( u 3 ) 3 18 81 Nhớ trả về x
  29. 3. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho: x + 2 fx()= xx2 −−34 x +−2 1 6 fx()= = + (x+ 1)( x − 4) 5( x + 1) 5( x − 4) −1 1 6 1 =− x 5x + 1 201− 4 Lưu ý: khi khai triển cho f+g, mỗi hàm phải khai triển đến bậc được yêu cầu.
  30. −1 1 6 1 fx()=− x 5x + 1 201− 4 −1 =1 −x + x2 − x 3 + o ( x 3 ) 5 ( ) 2 3 3 6 x x x x − 1 − − + − − − +o − 20 4 4 4 4 −1 1 7 25 f()() x= + x − x2 + x 3 + o x 3 2 8 32 128 1 =1 −x + x23 − x + + ( − 1)n x n + o ( x n ) 1+ x
  31. 4. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho: f( x )=+ ex .ln(1 x ) 1.Khi tích các khai triển, chỉ giữ lại tất cả các lũy thừa từ bậc yêu cầu trở xuống và xếp thứ tự bậc từ thấp đến cao. 2.Tính bậc trong khai triển cấp n cho tích f.g: Bậc thấp nhất trong khai triển của f là k g khai triển đến bậc (n – k) Và ngược lại.
  32. ex ln(1+ x ) 23 xx x2 x 3 x 4 1+x + + + x − + − + 2! 6! 2 3 4 Bậc thấp nhất trong khai triển của ex là x0. ln(1 + x) khai triển đến x3 Bậc thấp nhất trong khai triển của ln(1+x) là x1 ex khai triển đến x2
  33. 2 3 x f( x )=+ e ln(1 x ) khai triển cấp 3 (0) (1) 2 23 x 2 xx 3 fx()= 1+x + + o ( x ) x− + + o() x 2! 23 xx23 =x + + + o() x3 23
  34. 5. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3, cấp 4 cho: f( x )=+ sin x .ln(1 x ) 1.Khai triển cấp 4: 3 3 f( x )=+ sin x .ln(1 x ) (1) (1) 3 23 x 3 xx 3 fx()= x−+ o() x x− + + o() x 3! 23 xx34 =x23 − + + o() x 26
  35. 2.Khai triển cấp 3: 2 2 f( x )=+ sin x .ln(1 x ) (1) (1) 2 2 x 2 fx()= (x+ o() x ) x−+ o() x 2 x3 =x23 − + o() x 2
  36. 7. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho: 2 f() x= exx− Đặt u(x) = x – x2 thì u(0) = 0 khai triển Maclaurin của f theo u. Khi khai triển u theo x, giữ lại tất cả những lũy thừa từ x3 trở xuống
  37. 2 2 xx− 2 2 (xx− ) f( x )= e = 1 +( x − x ) + 2! 2 3 21 (xx− ) 3 x− x x + +−o x x2 3! (( ) ) 1 1 =1 +xx − 2 + x2 −x3 + x3 + ox3 2 6 ( ) 15 =1 +x − x2 − x 3 + o x 3 26 ( ) Để tìm bậc khai triển của f theo u phải xác định bậc VCB của u theo x.
  38. 6. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 4 cho: f( x )= ln(cos x ) ln(cosxx )= ln(1 + cos − 1) 1 ux=cos − 1 − x2 2 khai triển f đến u2 Cần khai triển đến x4 2 (cosx − 1) 2 ln(1+ cosx − 1) = cos x − 1 − + o( cos x − 1) 2 ( )
  39. 2 (cosx − 1) 2 ln(1+ cosx − 1) = cos x − 1 − + o( cos x − 1) 2 ( ) xx24 =11 − + +ox4 − 2! 4! ( ) 24 2 1 xx 44 − 11 − + +o( x) − + o( x ) 2 2! 4! 24 xx 4 = − − + ox 4 2 12 ( ) x trong số hạng bình phương không sử dụng 2 1 x2 − 11− +ox2 − cos x chỉ cần khai ( ) 2 2 2! triển đến x
  40. 7. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 5 cho: f( x )= tan x 5 4 sinx 1 tanxx= = sin  cosxx 1+− cos 1 (1) (0) =sinx  1 − (cos x − 1) + (cos x − 1)22 + o (cos x − 1) ( ) 2 4 2 2 x x4 x 2 4 =sinx 1 −−++ 1 o ( x ) −+−+ 1 1 o ( x ) −+ 1 o ( x ) 2 24 2
  41. 2 4 2 2 x x4 x 2 4 =sinx 1 −−++ 1 o ( x ) −+−+ 1 1 o ( x ) −+ 1 o ( x ) 2 24 2 35 xx 5 152 4 4 = x − + + o() x 1+x + x + o ( x ) 6 120 2 24 12 =x + x3 + x 5 + o() x 5 3 15
  42. 35 Cách 2: xx x− + + o() x5 sin x tan x ==6 120 cos x xx24 1− + + ox (5 ) 2 24 24 xx35 xx x −+ 1−+ 6 120 2 24 11 1 3 2 5 xx35− + o x + x + x 3 30 3 15 2 5 + x + o 15 12 tanx= x + x3 + x 5 + o ( x 5 ) 3 15
  43. Bổ sung: tìm khai triển của f(x) = cosh x eexx+ − cosh x = 2 2 3 2nn− 1 2 x x x x 2n = 1 +x + + + + + + o( x ) 2! 3! (2nn− 1)! (2)! 2 3 2nn− 1 2 x x x x 2n +1 −x + − + − + + o( x ) : 2 2! 3! (2nn− 1)! (2)! xx22n =1 + + + + ox2n 2! (2n )! ( )
  44. Bổ sung: tìm khai triển của f(x) = arctan x 1 f( x )= arctan x f ()() x== g x 1+ x2 Khai triển Maclaurin cho g(x) đến x2n. g( x )= 1 − x2 + x 4 − x 6 + + ( − 1)n x 2 n + o ( x 2 n ) fg (0)= (0) = − 1 2! f (0)= 0 (2kk ) (2− 1) fg (0)== (0) 1 fg(0)== (0) 0 (2k+ 1) (2 k ) k fg (0)== (0) 0 f(0)= g (0) = (1)(2)! − k
  45. f (0) f (0) f (0) f( x )= f (0) + x + x23 + x + 1! 2! 3! ff(2nn )(0) (2+ ) (0) + +x2n + x 2 n++ 1 + o x 2 n 1 (2nn )! (2+ )! ( ) x3 x 5 x 2n− 1 arctanx= x − + − + ( − 1)nn−−1 + o x 2 1 3 5 2n − 1 ( ) Cách viết khai triển cho arctan là cách viết khai triển cho hàm ngược nói chung.
  46. Các lưu ý khi viết khai triển Taylor tai x0 1.Luôn luôn chuyển về khai triển Maclaurin 2.Áp dụng các công thức cơ bản trên biểu thức u(x) với điều kiện u(x0) = 0. 3.Khai triển cho tổng hiệu: từng hàm phải khai triển đến bậc được yêu cầu. 4.Khai triển cho tích: lấy bậc yêu cầu trừ ra bậc thấp nhất trong kt mỗi hàm để biết được bậc kt của hàm còn lại. 5.Khai triển cho hàm hợp: tính bậc VCB cho u(x).
  47. Áp dụng trong tính đạo hàm. Bài toán: tìm đạo hàm cấp n của f tại x0. B1: Viết khai triển taylor theo (x-x0) đến cấp n n B2: Xác định hệ số của (x-x0) trong khai triển. B3: Giả sử hệ số trong B2 là a (n) f (x0) = a.n!
  48. Ví dụ 1. Tìm đh cấp 3 tại x = 0, với f(x) = ex.sinx Khai triển Maclaurin đến cấp 3 của f là 23 xx23 f( x )= 1 + x + + o ( x ) x − + o ( x ) 2! 3! xx33 Các số hạng chứa x3 là: −+ 3! 2! Hệ số của x3 là: 1 1 1 − + = 3! 2! 3 1 f (0) =  3! = 2 3
  49. 2. Tìm đh cấp 3 tại x = 0,f ( x )= ln(1 + x + x2 ) Khai triển Maclaurin đến cấp 3 của f là ()()x++ x2 2 x x 2 3 f()() x= x + x23 − + + o x 23 1 1 Các số hạng chứa x3 là: −2x3 +x3 2 3 2 Hệ số của x3 là: − 3 2 f (0) = −  3! = − 4 3
  50. 1 3. Tìm đh cấp 12, 13 tại x = 0, fx()= 2 + x3 Khai triển Maclaurin đến cấp 13 của f là 3 323 3 11 1 x x x fx()= =  1 − + − 2 x3 2 2 2 2 1+ 2 45 xx33 + − + o( ) 22 12 1 x 13 =  10 − + + + ox( ) 2 16
  51. 12 1 x 13 f( x )=  1 − + + 0 + o( x ) 2 16 2 Hệ số của x12 là: − 3 Hệ số của x13 là: 0 1 ff(12)(0) =  12! , (13) (0) = 0  13! 16
  52. Áp dụng khai triển Taylor trong tính giới hạn 1.Thông thường chỉ áp dụng kt Tayor để tính gh nếu các pp khác (gh cơ bản, VCB, L’Hospital) tính quá dài hoặc không tính được. 2.Đa số các bài dùng Taylor rơi vào trường hợp thay VCB hoặc VCL qua tổng, hiệu gặp triệt tiêu. Do đó các biểu thức được khai triển đến khi hết triệt tiêu ở phần đa thức thì dừng, phần VCB bậc cao bỏ đi khi tính lim
  53. Ví dụ 1.Tìm các hằng số a,p để VCB (x)  axp khi x → 0. a/ ( x )=− x sin x 3 x 3 =x − x − + 0( x ) 3! x3 =+0(x3 ) 3! x3 1 ap =,3 = 3! 6
  54. b/ ( x )= 2 x − exx + e− =−2xx 2sinh 3 x 33 =2x − 2 x + + o ( x ) 2 x 3!
  55. c/ ( x )=− sin x x cos x 32 xx32 =x − + o( x ) − x 1 − + o ( x ) 62 x3 x3 =+ox()3 3 3
  56. 2.Tính giới hạn: x2 a / lim x→0 5 1+ 5xx − − 1 x2 = lim x→0 1 1 1 1 2 2 1+ .5x + − 1( 5 x) + o ( x ) − x − 1 5 2!5 5 2 x x2 1 = lim 2 =lim = − x→0 −x x→0 2 + ox()2 −x 2 2 2
  57. eexx− tan b / lim x→0 xx34+ 3 exx−tan −1 = lim etan x x→0 x3 xx− tan = lim1 x→0 x3 x3 x− x − + o() x3 1 = lim 3 =− x→0 x3 3