Bài giảng Giới hạn dãy số

Nội dung text: Bài giảng Giới hạn dãy số

1. GIỚI HẠN DÃY SỐ
2. DÃY SỐ THỰC Dãy số là tập hợp các số được đánh chỉ số từ nhỏ đến lớn trong tập hợp số tự nhiên N. 2 VD: 1/ xn = n , n = 0, 1, 2, 2/ xn = 1/n, n = 1, 2, 3/ {xn} là cấp số cộng: a, a+d, a+2d,
3. Các cách cho dãy số 1/ Dạng liệt kê: VD: dãy 1, 2, 3, ; dãy 1, 1/2, 1/3, 2/ Dạng tường minh: {xn} cho dạng biểu thức giải tích của biến n. 2 VD: xnn== n,/ x1 n 3/ Dạng quy nạp: Số hạng đi sau tính theo các số hạng đi trước 2 VD: dãy x11=11, xn+ = x n − x n + xx− dãy x=11,, x = x = nn−1 1 2n+ 1 2
4. Dãy đơn điệu {xn} là dãy tăng xn xn+1, với mọi n đủ lớn {xn} là dãy giảm xn xn+1, với mọi n đủ lớn Bỏ dấu “ = “ trong định nghĩa ta gọi là tăng (giảm) ngặt. Dãy tăng và dãy giảm gọi chung là dãy đơn điệu.
5. Phương pháp khảo sát dãy đơn điệu: 1.Xét hiệu số: xn+1 – xn (so với “0”) 2.Xét thương số: xn+1/xn (so với “1”) (dùng cho dãy số dương) 3.Xét đạo hàm của hàm số f(x), với f(n) = xn
6. Ví dụ 11 ax/:=1 + + + n 2 n 1 xx−= 0 tăng nn+1 n +1 11 bx/n = 1 − 1 − : 2 n x 1 n+1 =−1 giảm xnn +1
7. 23n − cx/:= n 34n − Biểu thức giống hàm số, xét đạo hàm 2x − 3 1 f( x )= , f ( x ) = 0 34x − (3x − 4)2 f(x) tăng {xn} tăng.
8. Dãy bị chặn {xn} là dãy bị chặn trên M : xn M,  n N0 {xn} là dãy bị chặn dưới m : xn m,  n N0 {xn} bị chặn {xn} bị chặn trên và bị chặn dưới 1 a / 2  VD: Xét tính bị chặn của các dãy n b /3 n cn/1 (− )n 
9. DÃY CON Cho {xn}, chọn ra các số hạng từ dãy này 1cách tùy ý theo thứ tự chỉ số tăng dần ta được 1 dãy con của {xn}. VD: xnn = x1,,,,,,,,,, x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x  {x2n{x –2n1}} {x2n-1} = {x1, x3, x5, } {x2n} = {x2, x4, x6, } •Các chỉ số của dãy con cũng kéo dài ra
10. GiỚI HẠN DÃY SỐ Định nghĩa đơn giản: {xn} cĩ giới hạn là a khi n ra tức là xn a khi n đủ lớn Định nghĩa chặt chẽ: Dãy hội tụ =a hữu hạn : lim xn a n→  0, N00 N : xn − a ,  n N  0, N00 : a −  xn a +   n N a x x a −  x a +  x 3 2 N0 1 xn () n N0
11. Ví dụ n Chứng minh lim= 1 n→ n +1 n 1 xa− = −1 = n nn++11 11 xn−11  + n n +1  Chọn N0 1/ , với  > 0 (đủ bé) 11 n N n n +11 x −  0 n -3 * Với  = 10 , tìm N0?
12. Tính chất dãy hội tụ •Dãy hội tụ thì bị chận. •an 0 và an→ a thì a 0 •an → a và a < c thì an < c với n N0 a , n N a n 0 0 a -  a +  an, n N0 a c a -  a + 
13. Các phép tốn trên dãy hội tụ lim tổng (hiệu, tích, thương, căn, ) = tổng (hiệu ) lim  limxynn , lim (hữu hạn) nn→ → lim(xn y n) = lim x n lim y n n→ n → n → limx y = lim x lim y lim y 0 n n n n(ĐK : n ) n→ n → n → n → limxn= lim x nĐK : xn 0 & lim x n 0 n→ n → ( n → )
14. SỰ HỘI TỤ VÀ DÃY CON lim xn = a Mọi dãy con của xn đều → a  1 dãy con phân kỳ Dãy x  phân kỳ n  2 dãy con co ùlim nhau n VD: dãy {xn} = {(–1) } phân kỳ x2n =→11 Vì 2 dãy con x21n− = −11 → − xa2n → Hệ quả: → xn a xa21n− →
15. GIỚI HẠN KẸP Cho 3 dãy xn, yn, zn xn y n z n  n N0 =lim yan n→ limxnn== lim z a nn→ → xn y n z n a Hệ quả: 0 xn y n  n & lim y n = 0 lim x n = 0 nn→ →
16. Dãy phân kỳ ra vơ cùng Dãy khơng hội tụ gọi là dãy phân kỳ: Khơng cĩ giới Phân kỳ ra vơ hạn cùng Giới hạn = : khơng thể xét | xn – a | !
17. limxnn= +  M > 0 ,  N00 N : x M ,  n N n→ limxnn=−  M > 0 ,  N00 N : x − M , n N n→
18. Ví dụ Chứng minh lim 2n = + n→ Với M > 0 (lớn) tùy ý, n 2 M n log2 M Chọn N0 > log2M + 1, ta cĩ : n n N02 n log M 2 M
19. Các phép tốn trên dãy phân kỳ ra 1 1/ Nếu lim an = thì lim= 0 n→ n→ an liman = 0 n→ 2/ Nếu thì lim an = + n→ (− ) an 0( 0),  n N0 3/ lim(abnn+ ) = n→ , lim bcn = n→ limabnn= , nếu c 0 n→ lim an = + , lim bn = + lim(abnn + ) = + n→ n→ n→ , lim bn = + lim abnn = n→ n→
20. GIỚI HẠN CƠ BẢN 0 lim n = ln p n 1/. Lũy thừa: n→ 5 / lim = 0,  0 n→ n 0 limn = 0 n→ n limn = 0, a 1 aa 1 lim n = n→ a 2/. Hàm mũ: n→ n −1 aa 1 lim = 0 an n→ lim= 0, a 0 n→ n! 3 / limn n = 1, n→ ln pnn n a 4 / limn aa= 1,  0 n→
21. Ví dụ 2 1 an/ lim = bn/ lim== lim−12 0 n→ nn→ n → n n 1 c / lim 2 = + d / lim = 0 n→ n→ 2 n2 en/ limn −2 = 1 f / lim= 0 n→ n→ 3n
22. 7 DẠNG VƠ ĐỊNH • Đối với 4 phép tốn cộng, trừ, nhân, chia: 0 − ,0 , , 0 bn • Đối với dạng mũ (an ) 1 ,000 ,
23. Ví dụ tổng hợp n! nn! 1 2 1 1/ lim 00 = → n→ nn nn n n n n nnsin nsin n n 2 / lim 00 22 → n→ n2 +1 nn++11 n 1000 3 / lim n→ n nn 1000 1 Với n 2000: 00 → n 2
24. Tổng cấp số nhân 11− qn+1 q 1 lim( 1+q + q2 + + qn ) = lim = nn→ → 11−−qq uq1− n+1 q 1 n 0 ( ) u0 lim(u0+ u 0 q + + u 0 q ) = lim = nn→ → 11−−qq
25. 1 1 1 4 / lim 1+ + + + n→ 24 2n 1− 1 2n+1 1 =lim = = 2 n→ 1−− 1 2 1 1 2 2 1 3 9 5 / S=lim − + − + , n→ 3 2 8 32 1 3 3 2 8 q= −  = − , u = S = 2 2 40 3 21
26. nn22+−1 5 / limnn2 +− 1 = lim ( ) 2 n→ n→ nn++1 1 1 1 1 =lim = lim = 0. = 0 nn→ n22+1 + n → n 1 + n− + 1 2 6 / limn n2 +− 1 n n→ ( ) 7 / limnn2 +− 1 2 n→ ( )
27. 0 8 / limn 3nn+ 2 ( ) n→ n nnn n n 3 xn =+32 23= 32 n → 3 31 limxn = 3 n→ 8 / limn 3nn+ n2 2 n→
28. TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS Dãy tăng & bị chặn trên thì hội tụ, Dãy giảm & bị chặn dưới thì hội tụ
29. VD: 1/ Chứng minh tồn tại giới hạn sau: 1 1 1 lim 1+ + + + n→ 232 2n 2 11 x =1 + + + : n 222n 1 x− x = 0 x  tang n+1 n(n + 1)2 n 1 1 1 1 = − x 2 n2 (n−−11) n n n n
30. TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS 2/ Chứng minh tồn tại và tìm giới hạn dãy số: x xx=3, =n + 1 01n+ 2 • Dùng quy nạp chứng minh xn > 2 (bị chặn dưới) xn 2 Gs xk > 2, x = +1 + 1 = 2 k+1 22 x • Đơn điệu: xx− n 1− xn nn+1 = +1 − xn = 0 2 2 {xn} giảm và bị chận dưới nên hội tụ
31. Gọi: lim xLn = Khi đĩ lim xLn+1 = x Ta lại cĩ x =+n 1 n+1 2 Qua giới hạn khi n→ , ta được L LL= +12 = 2
32. SỐ e Chứng minh tồn tại giới hạn sau : n 1 e =+lim 1 n→ n 1 n • Tính đơn điệu: xn =+ 1 n sử dụng bđt Cauchy cho 1 và n số (1+1/n) 11n nn+1 n+1 11 11+ + 11 + + nn+1 nn +1 Vậy {xn} tăng.
33. n n k • Bị chặn: 1 Cn 1+= k n k=0 n n n( n−11) ( n − k + ) 1 =2 +  k k=2 k! n n 1 k − 1 1 2 + 1 − 1 −  k=2 n n k! n 1 +2  k=2 k! n 1 1 2 2 + k−1 2 + = 3 k=2 2 1− 1 2
34. PHÁ DẠNG VÔ ĐỊNH 1 n a a ae: lim 1 + = . n→ n n 11 VD :1/ lim 1−= n→ ne 23n− n + 2 2 / lim Dạng 1. n→ n + 4 23n− n+4 21n+4 2 lim 1− = e−2 = Biến đổi 4 n→ n + 4 e