›

Bài giảng Giới hạn hàm số

ppt 29 trang huongle 10850
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giới hạn hàm số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_gioi_han_ham_so.ppt

Nội dung text: Bài giảng Giới hạn hàm số

  1. GiỚI HẠN HÀM SỐ
  2. Khái niệm giới hạn hàm số Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận x0( có thể không xác định tại x0). Nếu giá trị của f(x) rất gần với a khi x đủ gần x0 thì a gọi là giới hạn của f tại x0. Xem 2 VD số sau đây: x f(x) sin x 1/fx ( )= , khi x 0 x f(x) không xác định tại 0, nhưng khi x 0 thì f(x) 1
  3. sin x Đồ thị của hàm số fx(),= x không bị đứt tại x 0 Lúc này coi như f(0) 1 (giới hạn của f tại x = 0 là 1)
  4. 2 /fx ( )= sin , khi x 0 x f(x) x 10 f(x) không xác định tại 0, 0.5 0 nhưng khi x 0 thì f(x) 0 0.1 0 0.0001 0 SAI vì 0.000001 0 2 x= = +2, k k Z f(x) = 1 4kx+ 1 2 Có vô số giá trị x gần 0 mà f(x) = 0, hoặc f(x)=1
  5. ĐỊNH NGHĨA GiỚI HẠN HÀM SỐ limf ( x ) = a (hữu hạn) xx→ 0  0,   0 :x − x0  f ( x ) − a  (x D& x x0 ) f(x) Hạn chế của đn: a Phải chia nhiều trường hợp  tùy thuộc vào giá trị của x  o và a là vô hạn hay hữu hạn x X0
  6. ĐỊNH NGHĨA GiỚI HẠN HÀM SỐ QUA DÃY limf ( x ) = a  xnn  D&, x x0 xx→ 0 nếu lim xxn = 0 thì limf ( xn ) = a n→ n→ Tiện ích của đn: 1.Áp dụng chung cho cả trường hợp a hay xo là . 2.Các tính chất và phép toán của giới hạn dãy vẫn còn đúng cho giới hạn hàm số. 3.Dễ dàng trong việc chứng minh hàm số không có giới hạn.
  7. VÍ DỤ ÁP DỤNG Chứng minh: limf ( x )+ g ( x ) = lim f ( x ) + lim g ( x ) x→ x0 x → x 0 x → x 0 Giả sử: limf ( x ) = a và limg ( x ) = b ( ), xx→ 0 xx→ 0 Lấy dãy {xn} tùy ý (nằm trong Df và Dg) sao cho: lim xxn = 0 n→ Từ ( ), theo đn: limf ( xnn )== a & lim g ( x ) b nn→ → limf ( xnn )+ g ( x ) = a + b n→ Vậy:
  8. Giới hạn cho hàm mũ Xét hàm số có dạng: f()() x=  u x vx() limu ( x )= a 0 b xx→ 0 =limf ( x ) a xx→ 0 limv ( x ) = b xx→ 0 Chứng minh: limux ( ) vx() v( x ) ln u ( x )   = lim e ==eab ln a b xx→ 0 xx→ 0
  9. Phương pháp chứng minh hàm không có giới hạn Chọn 2 dãy {x } và limxnn== lim x x0 n nn→ → {x’n} sao cho: limf ( xnn ) lim f ( x ) nn→ → 1 Ví dụ: 1.Chứng minh fx()= không có gh khi x → 0 x 1 n → n → Chọn x = 0, f() x= n + n n n 1 n → n → x =− 0, f() xn =− n − n n limf ( xnn ) lim f ( x ) nn→ →
  10. 2.Chứng minh: f( x )= sin x Không có gh khi x → + (xo = + ) n → xnn = + Chọn xn =+2 n → + n 2 n → f( xn )== sin( n ) 0 0 n → f( xn )= sin + 2 n = 1 1 2 limf ( xnn ) lim f ( x ) nn→ →
  11. GiỚI HẠN MỘT PHÍA •Giới hạn trái limf ( x ) = a  xnn  D&, x x0 xx→ − tại xo: 0 nếu lim xxn = 0 thì limf ( xn ) = a •Giới hạn phải tại xo: limf ( x ) = a + xx→ 0 (Xét xn>xo và xn → xo) xo
  12. GiỚI HẠN MỘT PHÍA limf ( x ) = a + xx→ 0 limf ( x ) = a xx→ limf ( x ) = a 0 − xx→ 0 1 VD: , x 1, 1/fx ( ) = x Xét gh của f(x) tại xo = 1 2xx− 1 , 1, limfx ( ) 1 + = lim =1 = lim (2x −= 1) limfx ( ) x→1 x→1+ x x→1− x→1− =limfx ( ) 1 x→1
  13. 1 2 /fx ( )= , Xét gh của f(x) tại x = 0 x o 1 1 limfx ( )= lim = + , limfx ( )= lim = − xx→→00++x xx→→00−−x f(x) không có gh khi x → 0. x 3 / lim x→0 x
  14. 4/ Cho f(x) và g(x) có đồ thị như hình vẽ 1.Tồn tại hay không các gh y=f(x) A==lim f ( x ), B lim g ( x ) xx→−21 → A = 1 B không tồn tại y=g(x) 2.Tính các gh sau nếu có a/ lim f( x) + 5 g( x) = 4 x→−2 b/ lim f( x) g( x) Không tồn tại x→1
  15. GiỚI HẠN CƠ BẢN 1.Các hàm log, mũ, lũy thừa: xem lại bài HÀM SỐ 1 2 / lim( 1+=xe)x x→0 ln(1+ x ) 1 3 / lim =+limln(1x )x ==lne 1 x→0 x x→0 ex −1 4 / lim= 1, vì với phép đặt : ex – 1 = u, ta có x→0 x eux −1 1 lim= lim ==lim 1 xu→→00xuln(+ 1) u→0 ln(u + 1) u
  16. GiỚI HẠN CƠ BẢN ax −1 exaln −1 5 / lim = lim lna = lna x→0 x x→0 xaln (1+−x ) 1 ex ln(1+x ) −+1 ln(1 ) 6 / lim ==lim x→0 x x→0 ln(1+ xx )
  17. BẢNG TÓM TẮT GH CƠ BẢN 1 sin x tanx 1/ lim( 1+=xe)x 6 / lim= 1, lim= 1, x→0 x→0 x x→0 x 1− cosx 1 ln(1+ x ) lim = 2 / lim= 1 x→0 x2 2 x→0 x arcsin x arctanx ex −1 7 / lim= 1, lim= 1, 3 / lim= 1, x→0 x x→0 x x→0 x ln p x ax −1 8 / lim= 0,  0 4 / lim= lna x→+ x x→0 x x (1+−x ) 1 lim= 0, a 1 5 / lim = x→+ ax x→0 x
  18. LƯU Ý KHI TÍNH GiỚI HẠN 1.Nhớ kiểm tra dạng vô định trước khi lấy giới hạn. 2.Tùy theo dạng vô định, chọn gh cơ bản thích hợp. 3.Nếu dạng VĐ là 0 , − , chuyển về 0/0 hoặc / 4.Nếu là dạng VĐ mũ, biến đổi theo các cách sau: a. lấy lim của lnf(x) b.[u(x)]v(x)= ev(x)lnu(x) c. Dạng 1 , dùng gh (1+x)1/x → e
  19. 1 1/ lim( 1+=xe)x x→0 VÍ DỤ ln(1+ x ) 2 / lim= 1 x→0 x ex −1 1− cos5x 3 / lim= 1, 1/ lim Dạng 0/0 x→0 x x→01− cos2x ax −1 4 / lim= lna x→0 x (1+−x ) 1 5 / lim = x→0 x 1− cos5x tanx sin x lim= 1, 2 2 6 / lim= 1, x→0 x→0 x (5x ) (5x ) x = lim 1− cosx 1 x→01− cos2x 2 lim = (2x ) x→0 x2 2 2 arcsin x arctanx (2x ) 7 / lim= 1, lim= 1, x→0 x x→0 x 1/ 2 25 25 = = ln p x 8 / lim= 0,  0 1/ 2 4 4 x→+ x x lim= 0, a 1 x→+ ax
  20. 1 1/ lim( 1+=xe)x cos x x→0 2 / lim = A Dạng 0/0 ln(1+ x ) 2 / lim= 1 − 2x x→0 x x→ ex −1 2 3 / lim= 1, x→0 x ax −1 u= x − x = x − 4 / lim= lna Đặt: 0 x→0 x 2 (1+−x ) 1 5 / lim = x→0 x tanx sin x lim= 1, cos + u 6 / lim= 1, x→0 x→0 x 2 x A = lim 1− cosx 1 lim = x→0 −2u x→0 x2 2 arcsin x arctanx 7 / lim= 1, lim= 1, x→0 x x→0 x sinu 1 = lim = u→0 2u 2 ln p x 8 / lim= 0,  0 x→+ x x lim= 0, a 1 x→+ ax
  21. 1 1/ lim( 1+=xe)x sin x x→0 e −1 ln(1+ x ) 3 / lim Dạng 0/0 2 / lim= 1 x→0 x x→0 x ex −1 3 / lim= 1, x→0 x ax −1 sin x 4 / lim= lna ex−1 sin x→0 x = lim (1+−x ) 1 x→0 sin xx 5 / lim = x→0 x tanx sin x lim= 1, 6 / lim= 1, x→0 x x→0 x =1 1 = 1 1− cosx 1 lim = x→0 x2 2 arcsin x arctanx 7 / lim= 1, lim= 1, x→0 x x→0 x ln p x 8 / lim= 0,  0 x→+ x x lim= 0, a 1 x→+ ax
  22. 1 1/ lim( 1+=xe)x 2xx x→0 e − 3 ln(1+ x ) 4 / lim Dạng 0/0 2 / lim= 1 x→0 x x→0 x ex −1 3 / lim= 1, 2xx x→0 x e −1 − (3 − 1) ax −1 = lim 4 / lim= lna x→0 x x→0 x (1+−x ) 1 2xx 5 / lim = x→0 x e −−1 3 1 tanx =−lim 2 =−2 ln3 sin x lim= 1, x→0 6 / lim= 1, x→0 x 2xx x→0 x 1− cosx 1 lim = x→0 x2 2 Có thể biến đổi như sau: arcsin x arctanx 7 / lim= 1, lim= 1, x x→0 x x→0 x 2 e2xx− 3 (e 31) − = 3x xx ln p x 8 / lim= 0,  0 2 x→+ x x→0 e x ⎯⎯⎯→ 1 ln lim= 0, a 1 3 x→+ ax
  23. 1 1/ lim( 1+=xe)x x→0 tanxx− sin ln(1+ x ) Dạng 0/0 2 / lim= 1 5 / lim 3 x→0 x x→0 x ex −1 3 / lim= 1, x→0 x ax −1 tan1 tanxx (1xx− cos 1 sin ) 4 / lim= lna x→0 x =−=limlim x→x→0 0 22xx3 (1+−x ) 1 xxx 5 / lim = x→0 x tanx tanxx 1− cos 1 sin x lim= 1, = lim = 1 6 / lim= 1, x→0 x 112 x→0 x =limx→0 x − =x 0 SAI 2 1− cosx 1 22 lim = x→0 xx x→0 x2 2 arcsin x arctanx 7 / lim= 1, lim= 1, x→0 x x→0 x ln p x 8 / lim= 0,  0 x→+ x x lim= 0, a 1 x→+ ax
  24. 1 1/ lim( 1+=xe)x 43x+ x→0 23x + ln(1+ x ) (Dạng 1 ) 2 / lim= 1 6 / lim x→0 x x→+ 21x − ex −1 3 / lim= 1, x→0 x x 43x+ a −1 4 / lim= lna 4 x→0 x =+lim 1 (1+−x ) 1 x→+ 21x − 5 / lim = x→0 x tanx sin x lim= 1, 6 / lim= 1, x→0 x x→0 x 4 1− cosx 1 0 (4x + 3) lim 2 = x→0 x 2 21x− 21x− arcsin x arctanx 7 / lim= 1, lim= 1, x→0 x x→0 x 4 4 =+lim 1 x→+ 21x − ln p x 8 / lim = 0,  0 x→+ x 16 2 8 x ==ee lim= 0, a 1 x→+ ax
  25. 1 5 1/ lim( 1+=xe)x 2 x→0 x −1 ln(1+ x ) 7 / lim = A Dạng 0/0 2 / lim= 1 x→1 3 x→0 x x −1 ex −1 3 / lim= 1, x→0 x ax −1 Đặt: u= x − x = x −1 4 / lim= lna 0 x→0 x (1+−x ) 1 5 / lim = 5 2 x→0 x (u +− 1) 1 tanx sin x lim= 1, A = lim 6 / lim= 1, x→0 x 3 x→0 x u→0 u +−11 1− cosx 1 lim = 2/5 x→0 x2 2 (u +− 1) 1 arcsin x arctanx = lim 7 / lim= 1, lim= 1, 1/3 x→0 x x→0 x u→0 (u +− 1) 1 (uu+− 1)2/5 1 ln p x = lim 8 / lim= 0,  0 1/3 x→+ x u→0 u (u +− 1) 1 x lim= 0, a 1 x→+ ax
  26. 1 1/ lim( 1+=xe)x x→0 2 ln(1+ x ) ln(1+ 2x ) 2 / lim= 1 8 / lim Dạng 0/0 x→0 x 2 ex −1 x→0 sin x 3 / lim= 1, x→0 x ax −1 4 / lim= lna (Biểu thức trong ln tiến về 1) x→0 x (1+−x ) 1 5 / lim = x→0 x tanx sin x lim= 1, 22 6 / lim= 1, x→0 x ln(1+ 2xx ) x→0 x =lim 2 1− cosx 1 22 lim = x→0 2xx sin x→0 x2 2 arcsin x arctanx 7 / lim= 1, lim= 1, x→0 x→0 2 2 x x ln(1+ 2xx ) =lim 2 x→0 2x2 sin x ln p x 8 / lim= 0,  0 x→+ x x lim= 0, a 1 x→+ ax
  27. 1 1/ lim( 1+=xe)x x→0 ln(1+ x ) 9 / limxx ln Dạng 0 2 / lim= 1 + x→0 x x→0 ex −1 3 / lim= 1, x→0 x ax −1 4 / lim= lna (Biểu thức trong ln tiến về 0) x→0 x (1+−x ) 1 5 / lim = −1 x→0 x =lim −xx ln tanx + ( ) sin x lim= 1, 6 / lim= 1, x→0 x x→0 x→0 x 1 1− cosx 1 ln lim 2 = x→0 x 2 =− lim x arcsin x arctanx 7 / lim= 1, lim= 1, x→0+ 1 x→0 x x→0 x x lnu =− lim = 0 ln p x 8 / lim= 0,  0 u→+ u x→+ x x lim= 0, a 1 x→+ ax
  28. 1 1/ lim( 1+=xe)x 1 x→0 2 ln(1+ x ) 100 x 2 / lim= 1 10 / lim xe Dạng 0 x→0 x x→0 ex −1 3 / lim= 1, x→0 x ax −1 1 4 / lim= lna x→0 x x 2 (1+−x ) 1 e 5 / lim = = lim x→0 x 50 tanx x→0 1 sin x lim= 1, 6 / lim= 1, x→0 x→0 x x x2 1− cosx 1 lim = x→0 x2 2 arcsin x arctanx u 7 / lim= 1, lim= 1, e x→0 x x→0 x = lim = + u→+ u50 ln p x 8 / lim= 0,  0 x→+ x x lim= 0, a 1 x→+ ax
  29. sin x 11/ lim Không có dạng vô định. x→+ x 1 sinx 1 − , với mọi x > 0 xxx x → + 0 0 sin x lim= 0 x→+ x