Bài giảng Giới hạn hàm số (Phần 2)

Nội dung text: Bài giảng Giới hạn hàm số (Phần 2)

1. GiỚI HẠN HÀM SỐ (phần 2) Vô cùng bé – vô cùng lớn
2. ĐỊNH NGHĨA • (x) là vô cùng bé khi x → xo nếu giá trị của (x) rất bé khi x gần xo. =lim (x ) 0 xx→ 0 • (x) là vô cùng lớn khi x → xo nếu giá trị của | (x)| rất lớn khi x gần xo. lim (x ) = + xx→ 0
3. Ví dụ 1/ = 0, limx 0 x , > 0 là VCB khi x→ 0 x→0 2 / 0, lim x = + x , > 0 là VCL khi x→ + x→+ 3 / lim ln x = + x→+ 4 / lim ln x = − lnx là VCB khi x→1 x→0+ là VCL khi x →+ , 0 5 / limlnx = 0 x→1
4. TÍNH CHẤT CỦA VÔ CÙNG BÉ 1.Tổng, hiệu, tích các VCB là VCB. 2.c 0, (x) là VCB c (x) là VCB. 3. limf ( x )= a f ( x ) = a + ( x ), xx→ 0 với (x) là VCB khi x → xo.
5. SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG BÉ (x) và (x) là 2 VCB khi x → xo, đặt ()x K = lim xx→ 0 ()x 1.K=0, (x) là VCB bậc cao hơn (x), ký hiệu: (x) = o((x)) . 2.K 0, : (x) và (x) đồng bậc. K= 1: (x) và (x) tương đương: (x) ~ (x)
6. SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG BÉ (x) và (x) là 2 VCB khi x → xo, nếu tồn tại n>0 sao cho: ()x K =lim 0, xx→ n 0  ()x  (tức là (x) đồng bậc với [(x)]n ) Thì (x) được gọi là VCB bậc n đối với (x)
7. VÍ DỤ (x )=+3 x34 2 x 1/ là 2 VCB khi x → 0  ()xx= 3 34 ()x xx+ 2 xx34+ 2 = = 3 ⎯⎯⎯→x→0 1  ()x x x3 ()()xx
8. (xx )= ln(cos ) 2/ là 2 VCB khi x → 0  ()xx= ()x ln(cosx ) ln(1+− cosx 1) = =  ()x x x ln(1+ cosxx − 1) cos − 1 = x cosx − 1 x2 ⎯⎯⎯→ x→0 1 − ( 1/ 2) = 0 0 = (x ) o ( ( x )) (x) bậc cao hơn (x)
9. (xx )= ln(cos ) 3/ là 2 VCB khi x → 0  ()xx= ()x ln(cosx ) = ()x 2 x2 ln(1+ cosxx − 1) cos − 1 = cosx − 1 x2 ⎯⎯⎯→ x→0 1 − ( 1/ = 2) − 1/ 2 (x) là VCB bậc 2 đối với (x).
10. Các vcb tương đương cơ bản Khi x →0 xx sin ln(1)+ xx x 2 1− cos x exx −1 2 tan xx axax −1ln arcsin xx (1)1+−xx arctan xx
11. Ví dụ sin2x 2 x , khi x → 0 1 1−→ cosx24 x , khi x 0 2 tan(ln(1+x )) ln(1 + x ) x , khi x → 0 lnx x−→ 1, khi x 1 11 arctan , khi x → xx
12. Nguyên tắc thay tương đương VCB 1.Chỉ được thay tương đương qua tích các VCB (x ) 1 ( x ),  ( x )  1 ( x ) khi x→ x 0 ()()()()x  x 11 x  x VD: khi x → 0 1/ (exx − 1) sin x = x x2, 2 /( 3 1− 2x5 − 1) ( ex − 1) tan 3 x 1 2 16 (− 2x5 ) x 3 x =− x 3 3 3
13. Nguyên tắc thay tương đương VCB 2.Nguyên tắc ngắt bỏ VCB bậc cao: tổng các VCB khác cấp tương đương với VCB bậc thấp nhất 12()()()()x+ x + + ni x x với i là VCB bậc thấp nhất VD: khi x → 0 x23−+23 x x 3x sinxx32− 2 −2x2
14. Nguyên tắc thay tương đương VCB 3. (x) ~ 1(x), khi x→xo, limfx ( )= a 0 xx→ 0 f()() x x a ()x ax 1() VD: khi x → 0 1/ (xx+ 1) ln( + 1) 1 +ln(xx1 ) 2 22 2/ee2xx− =−eex( 2 x− x 1) 2 e0 (e2xx− −1) 12 −( xx2 ) 2x
15. 4.Nguyên tắc thay tương đương trong tính giới hạn (x ) 1 ( x ),  ( x )  1 ( x ) khi x→ x 0 ()()xx =lim lim 1 x→→ x x x 00()()xx1 sinx− 3 x2 sin x VD: 1/ lim== lim 1 xx→→00ln(1+ xx ) 2 (exx − 1)arctan xx2 x3 2 / lim = lim = lim x→0 ln(cosx ) x→0 ln(1+− cosx 1) x→0 cosx − 1 x3 ==lim 0 x→0 x 2 − 2
16. Nguyên tắc thay tương đương VCB 5.Phép thay qua hiệu 2 VCB (x ) 11 ( x ),  ( x )  () x khi x → x0 ()()x   x ()()()()x −  x 11 x −  x (chỉ thay tương đương qua hiệu nếu 2 VCB ban đầu không tương đương)
17. Cách thực hiện Thay và  qua các tương đương trung gian (chẳng hạn xp khi x→0), đến khi không còn thay được nữa, nếu hiệu triệt tiêu thì và  là 2 VCB tương đương không thay qua hiệu trong trường hợp này
18. VÍ DỤ 1/ arctanxx− sin 2 2 / tanxx− sin x x2 2 3 / (ex − 1)( x + 1) − sin x 4 /x− ln( x + 1) − sin x x 1 x
19. Lưu ý 1.Không chuyển vế trong tương đương cơ bản. 2.Không thay tương đương qua hàm số ngoại trừ hàm lũy thừa dương(chỉ thay tương đương cho VCB, VCL.) 3.Tính triệt tiêu trong tương đương tổng hiệu chỉ xét cho từng cặp hàm
20. Ví dụ Xét tính đúng, sai trong các tương đương sau Khi x → 0 exx 1+ sin22xxĐ sin−−22xx Đ ln(1++ sinx ) ln(1 x ) x ln(1+ sinx ) sin x x sin xx Đ e−−11 e x esin x −1 sin x x
21. VÍ DỤ TỔNG HỢP 1.Tìm các hằng số a và p sao cho x axp ,0 khi x → 2.So sánh bậc các VCB 3.Tính giới hạn
22. Tìm các hằng số a và p sao cho x axp ,0 khi x → 1/ (x )=− sin( x2 2 x ) xx2 − 2 −2x a = -2, p = 1 2 / (x )=− sin( x2 tan 2 x ) xx2 − tan 2 2 xx− 2 a = -2, p = 1
23. Tìm các hằng số a và p sao cho x axp ,0 khi x → 3 / (x )=− sin x tan 2 x xx− 2 =−x a = -1, p = 1 xe 3 x 4 / ( )= ln 1 + sin ( − 1) sin3 (ex − 1) x 3 (e − 1) x3 a = -1, p = 3
24. Tìm các hằng số a và p sao cho x axp ,0 khi x → 5 / (xx )= + 2 − 2 x = x ++22 x 1 ap =,1 = 22 22
25. So sánh bậc các VCB khi x → 0 2 (x )=− sin( x 2 x ) 1/ 3 2  (xx )= 1 − 3 − 1 (xx )− 2 Bậc 1 theo x 1  (xx ) (− 32 ) Bậc 2 theo x 3 = (x ) o ( ( x )) ((x) bậc cao hơn (x))
26. So sánh bậc các VCB khi x → 0 (xx )= arctan 2/ xx(+ 1)  (xe )=− 1 ()xx  (x ) x ( x + 1) x (x)  (x)
27. So sánh bậc các VCB khi x →+ 1 x 3 /  (xx )== , ( ) ln x ex ()x 1 ex lim = lim x→+  ()x x→+ ln xx xex =lim = + x→+ ln x x2 (x) bậc cao hơn (x)
28. Tính giới hạn 2 22 (eextan x− 3 x ) ee3x( x tan x− 3 x −1) lim = lim x→0 xx32+ sin x→0 x2 1(x tan x− 3 x2 ) = lim x→0 x2 (xx22− 3 ) =lim = − 2 x→0 x2
29. Tính chất vô cùng lớn 1.Tích các VCL là VCL. 2.c 0, (x) là VCL c (x) là VCL. 3. f(x) bị chận trong lân cận xo, (x) là VC khi x → xo (x) + f(x) là VCL khi x → xo.
30. SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG LỚN (x) và (x) là 2 VCL khi x → xo, đặt ()x K = lim xx→ 0  ()x 1.K= + , (x) là VCB bậc cao hơn (x). 2.K 0, : (x) và (x) đồng bậc. K= 1: (x) và (x) tương đương: (x) ~ (x)
31. Nguyên tắc thay thế VCL 1.Chỉ được thay tương đương qua tích các VCL 2.Nguyên tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp: tổng các VCL khác cấp tương đương với VCL bậc cao nhất 3. (x) ~ 1(x), khi x→xo, limfx ( )= a 0 xx→ 0 f()() x x a ()x ax 1() 4.Nguyên tắc thay tương đương trong tính giới hạn: giống VCB 5. f(x) bị chận trong lân cận xo, (x) là VCL khi x → xo (x) + f(x)  (x) khi x → xo.
32. VÍ DỤ 1.Khi x → + , m > n >0: xm là VCL bậc cao hơn xn. 2.Khi x → + , p > 0, > 0, a > 1: ln pxx x a 3. Khi x→ + ,ln x + sin x ln x
33. x/2 xe xex/2 1/ lim x = lim x→+ xe+ x→+ ex x = lim x→+ ex/2 x ==lim2 2 0 x→+ ex/2 x/2 x/2 xe xe x/2 2 / lim x = lim ==lime 0 x→− xe+ x→− x x→−