›
›

Bài giảng Giới hạn, liên tục, vi phân

pdf 101 trang huongle 9460
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giới hạn, liên tục, vi phân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_gioi_han_lien_tuc_vi_phan.pdf

Nội dung text: Bài giảng Giới hạn, liên tục, vi phân

  1. Chương 2 GIỚI HẠN, LIÊN TỤC, VI PHÂN ThS. Huỳnh Văn Kha
  2. TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Giới hạn và các tính chất. 2. Hàm số liên tục. 3. Giới hạn liên quan đến vô cùng. 4. Định nghĩa đạo hàm. 5. Một số quy tắc tính đạo hàm. 6. Xấp xỉ tuyến tính và vi phân. 7. Cực trị và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 8. Quy tắc L’Hospital. 9. Nguyên hàm. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 2 vi phân
  3. 1. GIỚI HẠN VÀ CÁC TÍNH CHẤT • Cho 0 ∈ , và hàm số xác định trên , có thể ngoại trừ tại chính điểm 0. • Nếu có thể gần tùy ý về giá trị 퐿 với mọi đủ gần 0 nhưng vẫn khác 0 thì ta nói có giới hạn là 퐿 khi tiến về 0 và ký hiệu lim = 퐿 → 0 • Hàm số 2 − 1 = − 1 có giới hạn bằng bao nhiêu khi → 1? C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 3 tục
  4. C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 4 tục
  5. • Các hàm số sau đây có giới hạn bằng bao nhiêu khi tiến về 1? C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 5 tục
  6. Định nghĩa giới hạn Định nghĩa 1. Giới hạn – limit Cho 0 ∈ , và hàm số xác định trên khoảng , , có thể ngoại trừ tại 0. Ta nói giới hạn của khi tiến về 0 là bằng 퐿, và viết lim = 퐿 → 0 nếu, với mọi 휀 > 0 tồn tại 훿 > 0 sao cho với mọi thì 0 < − 0 < 훿 ⇒ − 퐿 < 휀 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 6 tục
  7. C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 7 tục
  8. Các tính chất Định lý 1. Các tính chất giới hạn hàm số Nếu lim = 퐿, lim = và ∈ ℝ thì → 0 → 0 lim ± = 퐿 ± → 0 lim = 퐿 → 0 퐿 lim = , ≠ 0 → 0 lim 푛 = 퐿푛, 푛 ∈ ℕ → 0 lim 푛 = 푛 퐿, 푛 ∈ ℕ → 0 (nếu 푛 chẵn thì giả sử rằng L > 0) C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 8 tục
  9. • Suy ra, nếu 푃 là một đa thức thì lim 푃 = 푃 0 → 0 • Người ta cũng chứng minh được, nếu là một hàm số sơ cấp và 0 thuộc miền xác định của nó thì lim = 0 → 0 Ví dụ 1. Tính các giới hạn. 2 + 2 − 15 ) lim 3 2 − 1 ) lim →−2 →3 2 − 9 2 + 25 − 5 ) lim →0 2 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 9 tục
  10. Giới hạn kẹp Định lý 2. Định lý giới hạn kẹp (Squeeze Theorem) Giả sử ≤ ≤ ℎ với mọi trong một khoảng mở chứa , có thể ngoại trừ tại = . Khi đó nếu lim = lim ℎ = 퐿 → → thì lim = 퐿. → C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 10 tục
  11. C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 11 tục
  12. Ví dụ 2. Tính lim biết →0 2 2 1 − ≤ ≤ 1 + , ∀ ≠ 0 4 2 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 12 tục
  13. Một số giới hạn quan trọng Định lý 3. Một số giới hạn quan trọng. sin 1 − cos 1 lim = 1 lim = →0 →0 2 2 푒 − 1 ln 1 + lim = 1 lim = 1 →0 →0 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 13 tục
  14. Giới hạn một phía • Nếu xác định trên khoảng , và có thể tiến gần tùy ý về 퐿 khi tiến về nhưng vẫn lớn hơn thì ta nói có giới hạn phải bằng 퐿 khi tiến về . Ta viết lim = 퐿 → + • Nếu xác định trên khoảng , và có thể tiến gần tùy ý về khi tiến về nhưng vẫn nhỏ hơn thì ta nói có giới hạn trái bằng khi tiến về . Ta viết lim = → − C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 14 tục
  15. C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 15 tục
  16. Định lý 4. Hàm số có giới hạn khi → khi và chỉ khi nó có các giới hạn trái, giới hạn phải và các giới hạn một phía này bằng nhau. Nghĩa là lim = 퐿 ⇔ lim = lim = 퐿 → → + → − C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 16 tục
  17. • Tìm giới hạn, giới hạn trái, giới hạn phải của hàm số sau đây tại các điểm 0,1,2,3,4. C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 17 tục
  18. Định nghĩa giới hạn trái, phải Định nghĩa 2. Giới hạn trái, giới hạn phải. Hàm số được nói là có giới hạn phải (right-hand limit) bằng 퐿 khi → 0 nếu với mọi 휀 > 0 đều tồn tại 훿 > 0 sao cho với mọi thì 0 0 đều tồn tại 훿 > 0 sao cho với mọi thì 0 − 훿 < < 0 ⇒ − < 휀 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 18 tục
  19. Ví dụ 3. Tìm giới hạn, giới hạn trái, giới hạn phải của a) = khi → 0 2 + 1, nếu < 1 b) = 2 − 1, nếu ≥ 1 khi → 1 và khi → 0. C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 19 tục
  20. 2. HÀM SỐ LIÊN TỤC • Cho hàm số xác định trên khoảng , . • Nếu ∈ , ta nói là điểm trong. • Nếu = hoặc = ta nói là điểm biên. Định nghĩa 3. Hàm số liên tục. Hàm số được nói là liên tục (continuous) tại điểm trong của khoảng xác định nếu lim = → Hàm số được nói là liên tục tại điểm biên trái (hoặc tại điểm biên phải ) của khoảng xác định nếu lim = (hoặc lim = ) → + → − C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 20 tục
  21. • Nếu không liên tục tại ta nói gián đoạn tại . • Hàm số liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại điểm thuộc khoảng đó. • Hàm số sơ cấp liên tục trên mọi khoảng xác định của nó. C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 21 tục
  22. • Ta nói liên tục phải tại nếu lim = → + • Ta nói liên tục trái tại nếu lim = → − • liên tục tại khi và chỉ khi liên tục trái và liên tục phải tại đó. Ví dụ 4. Xác định các điểm liên tục, liên tục trái, liên tục phải và các điểm gián đoạn của 2+ −2 , nếu ≠ 1 a) = −1 0, nếu = 1 b) = ( là số nguyên lớn nhất vẫn còn ≤ ) C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 22 tục
  23. Một số tính chất Định lý 5. Cho , là các hàm số liên tục tại = và ∈ ℝ. Khi đó các hàm số sau đây cũng liên tục tại . + , − , . , với điều kiện ≠ 0 푛, với 푛 ∈ ℕ 푛 , với 푛 ∈ ℕ (nếu 푛 chẵn thì giả 푠ử > 0 trên khoảng mở chứa ) C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 23 tục
  24. • Cho hai hàm số và . Hàm số hợp nối là hàm số được định nghĩa ∘ = . Định lý 6. Hợp nối của hai hàm số liên tục Nếu liên tục tại và liên tục tại thì ∘ liên tục tại . C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 24 tục
  25. • Định lý 6 thực ra là hệ quả của định lý tổng quát hơn sau đây. Định lý 7. Giới hạn của hàm số liên tục. Nếu liên tục tại và lim = thì → lim = = lim → → C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 25 tục
  26. Ví dụ 5. Tìm , để các hàm số sau liên tục tại mọi . 2 − 1, < 3 a) = 2 , ≥ 3 2 − 2 , ≥ 2 b) = 12, < 2 −2, ≤ −1 c) = − , −1 < < 1 3, ≥ 1 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 26 tục
  27. Định lý giá trị trung gian Định lý 8. Định lý giá trị trung gian. Nếu là hàm số liên tục trên khoảng đóng , và 0 là giá trị bất kỳ nằm giữa và . Thì tồn tại con số ∈ , sao cho = 0 Hệ quả. Nếu liên tục trên , và < 0 thì phương trình = 0 có nghiệm trên khoảng , . C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 27 tục
  28. C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 28 tục
  29. Ví dụ 6. Dùng Định lý giá trị trung gian, chứng tỏ: a) phương trình 3 − − 1 = 0 có nghiệm trong khoảng 1,2 ; b) phương trình 2 + 5 = 4 − 2 có nghiệm. C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 29 tục
  30. 3. GIỚI HẠN LIÊN QUAN VÔ CÙNG Định nghĩa 4. Giới hạn tại vô cùng. Hàm số được nói là có giới hạn bằng 퐿 khi tiến ra vô cùng, và viết lim = 퐿, →∞ nếu với mọi 휀 > 0 đều tồn tại sao cho với mọi > ⇒ − 퐿 0 đều tồn tại sao cho với mọi < ⇒ − 퐿 < 휀 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 30 tục
  31. • Trong Định lý 1, nếu ta thay → bằng → ∞ hoặc → −∞ thì các kết quả đều đúng. • Một số giới hạn hay gặp 1 1 lim = 0 lim = 0 →∞ →−∞ 1 1 lim = 0 lim = 0 với 푛 ∈ ℕ →∞ 푛 →−∞ 푛 • Các giới hạn lim sin , lim cos , lim tan , →±∞ →±∞ →±∞ lim cot đều không tồn tại. →±∞ C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 31 tục
  32. Ví dụ 7. Tính các giới hạn sau đây. 3 2 + 5 ) lim →∞ 2 + 1 1 ) lim sin →−∞ sin ) lim 2 + →∞ C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 32 tục
  33. Giới hạn bằng vô cùng Định nghĩa 5. Giới hạn bằng vô cùng. Hàm số được nói là có giới hạn bằng vô cùng khi tiến về 0, và viết lim = ∞, → 0 nếu với mọi > 0 đều tồn tại 훿 > 0 sao cho với mọi 0 Hàm số được nói là có giới hạn bằng âm vô cùng khi tiến 0, và viết lim = −∞, → 0 nếu với mọi B > 0 đều tồn tại 훿 > 0 sao cho với mọi 0 < − 0 < 훿 ⇒ < − C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 33 tục
  34. C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 34 tục
  35. C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 35 tục
  36. • Định nghĩa tương tự cho các giới hạn lim = ±∞ lim = ±∞ →±∞ → ± • Một số quy tắc khi tính toán với vô cùng (với ∈ ℝ) + ±∞ = ±∞, ±∞ + ±∞ = ±∞ × ±∞ = ±∞ với > 0 × ±∞ = ∓∞ với < 0 ∞ × ±∞ = ±∞ −∞ × ±∞ = ∓∞ = 0 ±∞ C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 36 tục
  37. • Nếu lim = 0 và > 0 (hoặc < 0) trên → một khoảng mở chứa thì 1 1 lim = +∞ hoặc lim = −∞ → → • Các biểu thức có dạng sau gọi là dạng vô định ∞ 0 ∞ − ∞ 0 × ∞ ∞ 0 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 37 tục
  38. • Một số giới hạn thường gặp 1 1 1 lim = +∞ lim = −∞ lim = +∞ →0+ →0− →0 2 lim = +∞ với > 1 →+∞ lim = 0 với > 1 →−∞ lim ln = −∞ lim ln = +∞ →0+ →+∞ lim = +∞ với > 0 →∞ lim = 0 với mọi và > 1 →+∞ C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 38 tục
  39. Ví dụ 8. Tính các giới hạn. 1 ) lim →1+ 1 − 1 + ) lim →1− 1 − ) lim 푒1/ →0− 2 ) lim 푒1/ →0 1 푒) lim ln 1 + →0 2 ) lim ln →∞ 2 + 1 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên 24/08/2015 39 tục
  40. 4. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM • Hàm đo khoảng cách di chuyển của một chất điểm là = 푡 thì vận tốc tức thời tại thời điểm 푡0 là 푡0 + ℎ − 푡0 푣 푡0 = lim ℎ→0 ℎ • Vận tốc 푣 푡0 còn được gọi là đạo hàm của tại thời ′ điểm 푡0 và ký hiệu 푣 푡0 = 푡0 . • Độ dốc của đường cong = tại 푃 0, 0 là 0 + ℎ − 0 푠 0 = lim ℎ→0 ℎ • Độ dốc 푠 0 còn được gọi là đạo hàm của tại 0 ′ và ký hiệu 푠 0 = 0 . C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 40 vi phân
  41. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 41 vi phân
  42. Ví dụ 1. 1. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm 푡 = 1 của vật rơi tự do, biết hàm đo khoảng cách rơi tự do là = 16푡2 2. Cho đường cong = 1/ a) Tính độ dốc của nó tại = −1. b) Những điểm nào trên đường cong này có độ dốc bằng −1/4? C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 42 vi phân
  43. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 43 vi phân
  44. Định nghĩa 1. Đạo hàm – derivative Cho 0 ∈ , và hàm số xác định trên khoảng , . Ta nói đạo hàm của tại 0 là giá trị ′ 0 + ℎ − 0 0 = lim ℎ→0 ℎ (nếu giới hạn này tồn tại). C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 44 vi phân
  45. Hàm số đạo hàm • Nếu có đạo hàm tại 0 ta nói khả vi (differentiable) tại đó. • Ta có thể xem ′ là hàm số theo xác định bởi + ℎ − ′ = lim ℎ→0 ℎ • Nếu hàm số này có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của và ký hiệu ′′. • Tổng quát, nếu có đạo hàm cấp 푛 là 푛 thì đạo hàm cấp 푛 + 1 được định nghĩa là ′ 푛+1 = 푛 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 45 vi phân
  46. • Đạo hàm của còn được ký hiệu là ′ = = • Ta có thể ký hiệu đạo hàm tại = bằng ′ = ′ = = = = = • Các đạo hàm cấp cao cũng được ký hiệu là 2 2 ′′ = = 2 2 푛 푛 푛 = = 푛 푛 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 46 vi phân
  47. Định lý 1. (Có đạo hàm thì liên tục) Nếu khả vi tại = thì liên tục tại = . C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 47 vi phân
  48. Đạo hàm các hàm số sơ cấp 훼 ′ = 훼 훼−1 ′ = 0, với là hằng số ′ = ln 푒 ′ = 푒 1 1 log ′ = ln ′ = ln sin ′ = cos cos ′ = − sin tan ′ = 1 + tan2 cot ′ = − 1 + cot2 1 1 = = − cos2 sin2 1 1 arcsin ′ = arctan ′ = 1 − 2 1 + 2 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 48 vi phân
  49. 5. MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM ± 푣 ′ = ′ ± 푣′ ′ = ′, với là hằng số. 푣 ′ = ′푣 + 푣′ ′ ′푣 − 푣′ = 푣 푣2 Ví dụ 2. a) Tính đạo hàm của hàm số = 1 + ln b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số = 2 3 − 2 + 1 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 49 vi phân
  50. Đạo hàm hàm hợp Định lý 2. Đạo hàm hàm hợp Nếu khả vi tại = và khả vi tại thì hàm hợp ∘ = cũng khả vi tại và ′ ∘ ′ = = ′ ∙ ′ C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 50 vi phân
  51. ′ 1 ′ 훼 ′ = 훼 ′ 훼−1 = − 2 ′ = ′ ln 푒 ′ = ′푒 ′ ′ log ′ = ln ′ = ln sin ′ = ′ cos cos ′ = − ′ sin tan ′ = ′ 1 + tan2 cot ′ = − ′ 1 + cot2 ′ ′ = = − cos2 sin2 ′ ′ arcsin ′ = arctan ′ = 1 − 2 1 + 2 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 51 vi phân
  52. Ví dụ 3. a) Tính đạo hàm của các hàm số = 2 − 3 + 1 = ln3 1 3/4 2 + 1 ℎ = arcsin = 3 + 2 5 = b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số = sin 2푒 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 52 vi phân
  53. 6. XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ VI PHÂN • Trong một số trường hợp, ta cần xấp xỉ một hàm phức tạp bằng hàm đơn giản hơn. Định nghĩa 2. Xấp xỉ tuyến tính – linear approximation Nếu khả vi tại thì hàm số 퐿 = + ′ − được gọi là tuyến tính hóa (linearization) của tại . Và xấp xỉ ≈ 퐿 khi ≈ được gọi là xấp xỉ tuyến tính của ở xung quanh . C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 53 vi phân
  54. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 54 vi phân
  55. Ví dụ 5. 1. Xấp xỉ tuyến tính hàm số = 1 + ở xung quanh = 3 và tính xấp xỉ giá trị 4.1. 2. Xấp xỉ tuyến tính hàm số = cos2 ở xung quanh = /4 và tính xấp xỉ giá trị cos2 440 . 3. Xấp xỉ tuyến tính hàm số = 1 + (với là hằng số) ở xung quanh = 0. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 55 vi phân
  56. Vi phân • Trong cách ký hiệu ′ = / , được gọi là vi phân của biến số và là vi phân của hàm số . Định nghĩa 3. Vi phân - differential Nếu = ( ) khả vi thì vi phân của hàm số này là = ′ Ví dụ 6. Cho hàm số = 5 + 3 2 + a) Tìm vi phân . b) Tìm 1 . C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 56 vi phân
  57. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 57 vi phân
  58. 7. CỰC TRỊ VÀ GTLN, GTNN Định nghĩa 4. GTLN, GTNN – global extremum Hàm số đạt giá trị lớn nhất (hay cực đại toàn cục – global maximum – absolute maximum) tại điểm thuộc miền xác định của nếu ≤ với mọi ∈ . Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất (hay cực tiểu toàn cục – global minimum – absolute minimum) tại điểm thuộc miền xác định của nếu ≥ với mọi ∈ . C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 58 vi phân
  59. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 59 vi phân
  60. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 60 vi phân
  61. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 61 vi phân
  62. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 62 vi phân
  63. Định lý 3. (về GTLN, GTNN – extreme value theorem) Nếu liên tục trên khoảng đóng , thì đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Nghĩa là có hai số 1, 2 thuộc , sao cho 1 = , 2 = và ≤ ≤ với mọi ∈ , . C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 63 vi phân
  64. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 64 vi phân
  65. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 65 vi phân
  66. Cực trị địa phương Định nghĩa 5. Cực trị địa phương - local extremum Hàm số đạt cực đại địa phương (local maximum) tại điểm thuộc miền xác định của nếu có 훿 > 0 sao cho ≤ với mọi ∈ ∩ − 훿, + 훿 . Hàm số đạt cực tiểu địa phương (local minimum) tại điểm thuộc miền xác định của nếu có 훿 > 0 sao cho ≥ với mọi ∈ ∩ − 훿, + 훿 . Hàm số được nói là đạt cực trị địa phương (local extremum) tại nếu nó đạt cực đại hay cực tiểu địa phương tại đó. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 66 vi phân
  67. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 67 vi phân
  68. Định lý 4. Định lý Fermat Nếu đạt cực trị địa phương tại điểm trong của miền xác định và nếu ′ tồn tại thì ′ = 0 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 68 vi phân
  69. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 69 vi phân
  70. Tìm GTLN, GTNN • Cực trị (địa phương hay toàn cục) của chỉ có thể xảy ra tại một trong các loại điểm sau đây – Điểm trong của miền xác định và ′ = 0 – Điểm trong của miền xác định và ′ không xác định – Điểm biên của miền xác định. • Nếu là điểm trong của miền xác định và ′ = 0 hoặc ′ không tồn tại thì ta nói là điểm tới hạn (critical point) của . • Để tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục – Tình giá trị của tại các điểm tới hạn và các điểm biên. – Lấy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong các giá trị nói trên. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 70 vi phân
  71. Ví dụ 7. a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số = 10 2 − ln trên khoảng 1, 푒2 . 2 b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số = 푒− + trên khoảng −2,0 . 3 c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số = 2 trên khoảng −2,3 . C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 71 vi phân
  72. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 72 vi phân
  73. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 73 vi phân
  74. Định lý Rolle Định lý 4. Định lý Rolle Cho = là hàm số liên tục trên khoảng đóng , và khả vi trên khoảng mở , . Nếu = thì có ít nhất một ∈ , sao cho ′ = 0. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 74 vi phân
  75. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 75 vi phân
  76. Định lý Lagrange Định lý 5. Định lý Lagrange Cho = là hàm số liên tục trên khoảng đóng , và khả vi trên khoảng mở , . Khi đó có ít nhất một số ∈ , sao cho − ′ = − C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 76 vi phân
  77. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 77 vi phân
  78. • Định lý Lagrange là định lý cơ bản của phép tính vi phân. Nhiều kết quả quan trọng được suy ra từ đây. Hệ quả 1. Nếu ′ = 0 với mọi ∈ , thì = , với là hằng số. Hệ quả 2. Nếu ′ = ′ với mọi ∈ , thì tồn tại hằng số sao cho = + . Nghĩa là − là hàm hằng trên , . C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 78 vi phân
  79. Sự đơn điệu của hàm số • Ngoài ra ta còn hệ quả quan trọng sau đây về sự đơn điệu (tăng, giảm) của hàm số. Hệ quả 3. Cho hàm số liên tục trên , và khả vi trên , . - Nếu ′ > 0, ∀ ∈ , thì tăng trên , . - Nếu ′ < 0, ∀ ∈ , thì giảm trên , . C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 79 vi phân
  80. Tìm cực trị địa phương • Cho là điểm tới hạn của hàm số liên tục và giả sử khả vi trên một khoảng mở chứa (có thể ngoại trừ tại ). • Khi di chuyển từ trái sang phải điểm – Nếu ′ đổi dấu từ âm sang dương thì là cực tiểu địa phương. – Nếu ′ đổi dấu từ dương sang âm thì là cực đại địa phương. – Nếu ′ không đổi dấu (nghĩa là ′ dương cả hai bên hoặc âm cả hai bên điểm ) thì không phải là cực trị địa phương. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 80 vi phân
  81. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 81 vi phân
  82. Ví dụ 8. a) Tìm cực trị địa phương của = 2 − 3 푒 b) Tìm cực trị địa phương của = 3 − 4 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 82 vi phân
  83. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 83 vi phân
  84. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 84 vi phân
  85. Một số bài toán ứng dụng • Một cái hộp không nắp đậy được làm bằng cách cắt bỏ 4 hình vuông nhỏ kích thước × ở 4 góc của một tấm bìa 12 × 12 cm2 (xem hình vẽ). Tìm giá trị của để thể tích hộp nói trên lớn nhất. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 85 vi phân
  86. • Bạn được yêu cầu thiết kế một cái hộp hình trụ tròn đứng có thể tích 1 lít. Bán kính và chiều cao của hình trụ bằng bao nhiêu để ít tốn nguyên liệu nhất? C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 86 vi phân
  87. • Ký hiệu – là doanh thu khi bán được sản phẩm, – là chi phí để sản xuất sản phẩm, – = − là lợi nhuận thu được. • Trong kinh tế người ta gọi – ′ là doanh thu biên (marginal revenue), – ′ là chi phí biên (marginal cost), – ′ là lợi nhuận biên (marginal profit). • Khi đạt được lợi nhuận tối đa thì doanh thu biên sẽ bằng chi phí biên. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 87 vi phân
  88. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 88 vi phân
  89. • Giả sử = 9 và = 3 − 6 2 + 15 , với là số triệu máy nghe nhạc MP3 được sản xuất. Tìm để lợi nhuận thu được là tối đa và mức lợi nhuận tối đa đó là bao nhiêu? C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 89 vi phân
  90. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 90 vi phân
  91. 8. QUY TẮC L’HOSPITAL Định lý 6. Quy tắc L’Hospital. Cho các hàm , khả vi và ′ ≠ 0 trên một khoảng mở chứa (có thể ngoại trừ tại ). Giả sử một trong hai điều sau đây là đúng a) lim = lim = 0 hoặc → → b) lim = lim = ±∞. → → Thì khi đó ′ lim = lim → → ′ miễn là giới hạn vế phải tồn tại (có thể bằng ±∞). C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 91 vi phân
  92. • Chú ý, nếu thay → bằng → +, → −, → ∞ hay → −∞ thì quy tắc trên vẫn đúng. Ví dụ 9. Tính các giới hạn ln ln a) lim b) lim →1 1 − →∞ sin 푒 c) lim d) lim → /2 1 − 2 cos →∞ 2 3 − sin 1 + − 1 푒) lim ) lim →0 →0 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 92 vi phân
  93. 2 1 + − − 2 1 ) lim ℎ) lim − →0 2 →1 − 1 ln 1 푖) lim sin 푗) lim 1 + cos 4 cot →∞ →∞ 2 tan 1/ ) lim 푒 + 1/ 푙) lim →∞ →∞ C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 93 vi phân
  94. 9. NGUYÊN HÀM Định nghĩa 6. Nguyên hàm - antiderivative Hàm số 퐹 được gọi là nguyên hàm của trên khoảng nếu 퐹′ = , ∀ ∈ . Tìm một nguyên hàm cho các hàm số 1 cos 2 + 2푒2 Định lý 7. Nếu 퐹 là một nguyên hàm của thì nguyên hàm tổng quát của có dạng 퐹 + với là hằng số. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 94 vi phân
  95. Ví dụ 10 a) Tìm nguyên hàm 퐹 của = 3 2 biết 퐹 1 = −1. 1 b) Tìm nguyên hàm 퐹 của = biết 퐹 9 = 1. c) Tìm hàm số biết ′ = 푒 + 20 1 + 2 −1, 0 = −2 d) Tìm hàm số biết ′′ = 12 2 + 6 − 4, 0 = 4, 1 = 1 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 95 vi phân
  96. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 96 vi phân
  97. Bảng các nguyên hàm C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 97 vi phân
  98. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 98 vi phân
  99. • Từ các tính chất của đạo hàm, dễ dàng suy ra các tính chất sau đây của nguyên hàm. C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 99 vi phân
  100. Tích phân bất định Định nghĩa 7. Tích phân bất định – indefinite integral. Tập hợp tất cả các nguyên hàm của được gọi là tích phân bất định và ký hiệu là C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 100 vi phân
  101. Ví dụ 11. Tính các tích phân bất định. ) 3 − 2 + 1 ) 2 cos 2 − 3 sin 3 ) 푒3 + 5푒− 푡 푡 + 푡 ) 푡 푡2 2 1 푒) − 2 1 1 − 4 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, 24/08/2015 101 vi phân