›
›

Bài giảng giới hạn và sự liên tục của hàm số

pdf 31 trang huongle 4410
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng giới hạn và sự liên tục của hàm số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_gioi_han_va_su_lien_tuc_cau_ham_so.pdf

Nội dung text: Bài giảng giới hạn và sự liên tục của hàm số

  1. Chương 3 GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán T1 - MS: C01016 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 1 / 30
  2. Nội dung 1 Giới hạn hàm số Định nghĩa giới hạn Tính chất – Giới hạn cơ bản – Các dạng vô định 2 Hàm số liên tục Liên tục – Liên tục một phía Tính chất hàm liên tục trên khoảng đóng 3 Hàm số liên tục đều Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 1 / 30
  3. Giới hạn hàm số Hàm số y = f (x) được nói là có giới hạn bằng L khi x tiến về a nếu có thể làm cho giá trị của f gần L tùy ý bằng cách cho x đủ gần a (nhưng khác a). Ký hiệu: lim f (x) = L x→a Ví dụ 1. Xét hàm số f (x) = x 2 − x + 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 2 / 30
  4. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 3 / 30
  5. Các chú ý: Giới hạn hàm số khi x → a chỉ liên quan tới giá trị của f xung quanh a, không liên quan giá trị của f tại a, thậm chí f có thể không xác định tại a. x − 1 Ví dụ 2. Xét lim x→1 x 2 − 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 4 / 30
  6. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 5 / 30
  7. Máy tính chỉ tính xấp xỉ nên giá có thể tính sai trong một số trường hợp. Ví dụ 3. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 6 / 30
  8. Tính các giá trị xung quanh chỉ có tác dụng gợi ý về giới hạn. Trong một số trường hợp không chính xác. π Ví dụ 4. Dự đoán giá trị lim sin bằng cách tính giá trị x→0 x 1 1 tại x = , x = , x = 0.1, x = 0.01, x = 0.001 2 3 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 7 / 30
  9. Giới hạn hàm số (tt) – định nghĩa Định nghĩa (chính xác) giới hạn hàm số Cho f là hàm số xác định trên khoảng mở chứa a (có thể ngoại trừ tại a). Ta nói giới hạn của f (x) khi x tiến về a là bằng L nếu: Với mọi ε > 0 cho trước, đều có số δ > 0 để cho: nếu 0 < |x − a| < δ thì |f (x) − L| < ε Tương tự, ta có các khái niệm giới hạn một phía: Giới hạn trái của f khi x tiến về a là bằng L nếu giá trị của f có thể gần L bao nhiêu cũng được, miễn là x đủ gần a và x < a. Ký hiệu giới hạn trái: lim f (x). x→a− Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 8 / 30
  10. Một cách chính xác, giới hạn của f (x) khi x tiến về bên trái a là bằng L nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : a − δ a. Ký hiệu giới hạn phải: lim f (x). x→a+ Một cách chính xác, giới hạn của f (x) khi x tiến về bên phải a là bằng L nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : a < x < a + δ ⇒ |f (x) − L| < ε Định lý. lim f (x) = L ⇔ lim f (x) = lim f (x) = L x→a x→a+ x→a− Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 9 / 30
  11. Ví dụ 5. Xác định các giá trị sau: |x| |x| |x| Ví dụ 6. Tính (a) lim (b) lim (c) lim x→0+ x x→0− x x→0 x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 10 / 30
  12. Giới hạn hàm số (tt) - vô cùng lim f (x) = ∞ nếu: ∀M ∈ , ∃δ > 0 : x→a R 0 M. lim f (x) = −∞ nếu: ∀N ∈ , ∃δ > 0 : x→a R 0 0, ∃M ∈ : x→∞ R x > M ⇒ |f (x) − L| 0, ∃N ∈ : x→−∞ R x < N ⇒ |f (x) − L| < ε. Tương tự cho các giới hạn: lim f (x) = ±∞ và lim f (x) = ±∞ x→±∞ x→a± Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 11 / 30
  13. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 12 / 30
  14. Tính chất giới hạn hàm số lim f (x) = L x→a ⇔ ∀{xn} nếu xn 6= a và lim xn = a thì lim f (xn) = L. Cho c là hằng số. Nếu lim f (x) ∈ và lim g(x) ∈ thì: x→a R x→a R 1. lim[f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x) x→a x→a x→a 2. lim[c f (x)] = c lim f (x) x→a x→a 3. lim[f (x) · g(x)] = lim f (x) · lim g(x) x→a x→a x→a f (x) lim f (x) 4. lim = x→a với lim g(x) 6= 0 x→a g(x) lim g(x) x→a x→a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 13 / 30
  15. Với n là số nguyên dương, ta có: h in 5. lim [f (x)]n = lim f (x) x→a x→a 6. lim c = c và lim x = a x→a x→a 7. lim x n = an x→a √ √ 8. lim n x = n a (a > 0 nếu n chẵn) x→a pn q 9. lim f (x) = n lim f (x) (lim f (x) > 0 nếu n x→a x→a x→a chẵn) Như vậy nếu f là một đa thức hay hàm hữu tỉ và a nằm trong miền xác định của nó thì: lim f (x) = f (a) x→a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 14 / 30
  16. Ví dụ 7. Tính các giới hạn 1. lim (x 2 − x − 2) x→−2 √ x 2 + x − 1 2. lim x→4 x 2 − 1 • Nếu f (x) = g(x), ∀x 6= a thì lim f (x) = lim g(x). x→a x→a x 2 − 1 3. lim x→1 x − 1 √ t2 + 9 − 3 4. lim t→0 t2  x + π, nếu x 6= 1 5. Cho g(x) = . Tính lim g(x). 2, nếu x = 1 x→1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 15 / 30
  17. • Nếu giá trị của f ở bên trái và bên phải a khác nhau thì ta tính lim f (x) và lim f (x). x→a+ x→a− Ví dụ 7. (tt) √  1 + x, nếu x > −1 6. Cho f (x) = 1, nếu x 0 7. Cho g(x) = x r 1  x 2 + , nếu x ≤ 0  4 Tính lim g(x). x→0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 16 / 30
  18. Trong một số trường hợp ta cần dùng giới hạn kẹp. Nếu f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ở xung quanh a (có thể ngoại trừ tại a) và lim f (x) = lim h(x) = L x→a x→a thì khi đó: lim g(x) = L x→a Chú ý: lim f (x) = 0 ⇔ lim |f (x)| = 0. x→a x→a Ví dụ 7. (tt) π 8. lim x sin x→0 x √ sin π 9. lim xe x x→0+ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 17 / 30
  19. Giới hạn các hàm sơ cấp Các hàm mũ, lũy thừa, logarit, lượng giác, lượng giác ngược được gọi là các hàm sơ cấp cơ bản. Tổng, hiệu, tích, thương, hợp nối các hàm sơ cấp cơ bản được gọi là các hàm sơ cấp. Người ta chứng minh được kết quả sau. Nếu a thuộc tập xác định của hàm sơ cấp f thì: lim f (x) = f (a) x→a Như vậy nếu f là hàm sơ cấp thì khi tính giới hạn x → a với a thuộc tập xác định thì chỉ cần thay a vào biểu thức của f . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 18 / 30
  20. Tính toán với ±∞ – dạng vô định Khi gặp giới hạn có ±∞, ta tính như sau (∀a ∈ R) 1. a + (±∞) = ±∞, (±∞) + (±∞) = (±∞)  ±∞, nếu a > 0 hoặc a = +∞ 2. a · (±∞) = ∓∞, nếu a < 0 hoặc a = −∞ a 1  +∞, nếu mẫu dương 3. = 0, = ±∞ 0 −∞, nếu mẫu âm 4. Các biểu thức có dạng: 0 ∞ ∞ − ∞, 0 · ∞, , 0 ∞ là các dạng vô định. Sẽ nói về cách khử dạng vô định ở phần sau. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 19 / 30
  21. Ví dụ 8. 1. lim (x 2 − x) x→∞ 1 2. lim x→0 x 2 1 3. lim x→0 x 1 4. lim x→1+ 1 − x 1 5. lim x→1− 1 − x p √ √ 6. lim ( x − 3 x − x) x→∞ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 20 / 30
  22. Tính toán với ±∞ – dạng vô định (tt) 5. Với α > 0: (+∞)α = +∞. 6. Với a > 1: a+∞ = +∞ và a−∞ = 0. + 7. Với a > 1: loga(+∞) = +∞ và loga(0 ) = −∞. 8. sin(±∞), cos(±∞), tan(±∞), cot(±∞) đều không tồn tại. π − π + tan 2 = +∞, tan − 2 = −∞ cot (0+) = +∞, cot (π−) = −∞ π π 9. arctan(+∞) = 2 , arctan(−∞) = − 2 10. Các biểu thức có dạng: ∞0, 00, 1∞ là các dạng vô định. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 21 / 30
  23. Một số giới hạn quan trọng sin x 1 − cos x 1 1. lim = 1, lim = x→0 x x→0 x 2 2 ex − 1 ln(1 + x) 2. lim = 1, lim = 1 x→0 x x→0 x Ví dụ 9. sin x 1. lim ln x→0 x 2. lim cos e−x 2 x→∞ h  1 i 3. lim sin e 1−x x→1− Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 22 / 30
  24. h  1 i 4. lim sin e 1−x x→1+ 5. lim(1 + x)1/x x→0 6. lim(cos x)1/x 2 x→0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 23 / 30
  25. Hàm số liên tục Hàm số f được nói là liên tục tại a nếu f xác định tại a, giới hạn khi x → a của f tồn tại, và lim f (x) = f (a). x→a Nếu f không liên tục tại a ta nói f gián đoạn tại a. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 24 / 30
  26. Liên tục một phía f được nói là liên tục trái tại a nếu lim f (x) = f (a). x→a− f được nói là liên tục phải tại a nếu lim f (x) = f (a). x→a+ Ví dụ 10. Xét sự liên tục, liên tục trái, liên tục phải của  ex , nếu x > 0 1. f (x) = tại x = 0 x 2, nếu x ≤ 0  x 2 − x − 2  , nếu x 6= 2 2. f (x) = x − 2 tại x = 2  3, nếu x = 2 ( 1 , nếu x 6= 0 3. f (x) = x 2 tại x = 0 1, nếu x = 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 25 / 30
  27. Hàm số f gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Hàm sơ cấp thì liên tục trên các khoảng xác định của nó. Ví dụ 11. Tìm a để hàm số  x 2 − x  , nếu x 6= 1 1. f (x) = x 2 − 1 liên tục tại x = 1  a, nếu x = 1  ln |x − 2|, nếu x 6= 2 2. f (x) = liên tục tại x = 2 a, nếu x = 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 26 / 30
  28. √  1 − x   arcsin , nếu x > 0 và x 6= 1 3. f (x) = 1 − x a  + 1, nếu x = 1 3 liên tục trên (0, ∞)  ax 2 + 2x, nếu x < 2 4. f (x) = liên tục trên x 3 − ax, nếu x ≥ 2 R 5. Tìm a, b để các hàm số sau liên tục trên R  x 2 − 4  , nếu x < 2  x − 2 f (x) = ax 2 − bx + 3, nếu 2 ≤ x < 3   2x − a − b, nếu x ≥ 3 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 27 / 30
  29. Một số tính chất 1. Nếu f và g đều liên tục tại a thì các hàm sau cũng liên tục tại a: f f ± g, c f , f g, (với g(a) 6= 0). g 2. Nếu f liên tục tại b và lim g(x) = b thì: x→a lim f (g(x)) = f (b). x→a 3. Nếu g liên tục tại a và f liên tục tại g(a) thì hàm hợp nối (f ◦ g)(x) = f (g(x)) liên tục tại a. (sinh viên tự đọc thêm) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 28 / 30
  30. Hàm liên tục trên khoảng đóng Định lý giá trị trung gian Giả sử f liên tục trên khoảng [a, b], lấy N là con số bất kỳ nằm giữa f (a) và f (b) (ở đây giả sử f (a) 6= f (b)). Khi đó tồn tại số c ∈ (a, b) sao cho f (c) = N. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 29 / 30
  31. Hàm liên tục đều Hàm số f gọi là liên tục đều trên D ⊂ R nếu ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, sao cho ∀x, y ∈ D, ta luôn có:|x − y| < δ(ε) sẽ kéo theo |f (x) − f (y)| < ε Nếu f liên tục đều trên D thì f liên tục trên D Ngược lại, có những hàm số liên tục trên tập xác định nhưng không liên tục đều trên đó.Đặc biệt nếu D là khoảng đóng, ta có định lý sau. Định lý Nếu f liên tục trên [a, b] thì f liên tục đều trên [a, b] Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 30 / 30