Bài giảng Hệ phương trình đại số tuyến tính - Huỳnh Văn Kha

Nội dung text: Bài giảng Hệ phương trình đại số tuyến tính - Huỳnh Văn Kha

1. Chương 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Huỳnh Văn Kha Đại Học Tôn Đức Thắng Toán C2 - MS: C01010 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán C2 - MS: C01010 1 / 10
2. Nội dung 1 Các khái niệm chung 2 Phương pháp Gauss 3 Hệ thuần nhất 4 Hệ Cramer Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán C2 - MS: C01010 1 / 10
3. Hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Hệ phương trình đại số tuyến tính là hệ có dạng:  a x + a x + + a x = b  11 1 12 2 1n n 1  a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2   am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm Trong đó: xi là các ẩn số, aij là các hệ số, bj là các hệ số tự do Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán C2 - MS: C01010 2 / 10
4. Đặt:       a11 a12 ··· a1n x1 b1  a21 a22 ··· a2n   x2   b2  A = , X = . , B = .   ············   .   .  am1 am2 ··· amn xn bm Thì hệ được viết lại: AX = B. Ta gọi: A là ma trận hệ số X là ma trận ẩn B là ma trận hệ số tự do A = (A|B) là ma trận hệ số mở rộng n Một nghiệm là 1 vector (c1, ··· , cn) ∈ R mà khi thay x1 = c1, , xn = cn thì tất cả phương trình đều thỏa. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán C2 - MS: C01010 3 / 10
5. Phương pháp Gauss Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa A = (A|B) về dạng bậc thang. Suy ra nghiệm. Ví dụ: Giải các hệ sau   −2x1 − x2 + 2x3 + x4 = 4   x1 + x2 + x4 = 2 1) −x1 + x2 + 4x3 = −1  −x1 − 2x3 = −2   − x2 − 2x3 + x4 = 4   x1 + 2x2 − x3 = −2  −2x − 2x + 2x + x = 2 2) 1 2 3 4 −x1 + x3 + x4 = 0   2x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = −1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán C2 - MS: C01010 4 / 10
6.   x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 2 3) 4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1  2x1 + 7x2 − x3 = −1 Định lý Kronecker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn, với ma trận hệ số mở rộng A = (A|B). Ta có: Nếu r(A) < r A
   thì hệ vô nghiệm Nếu r(A) = r A
   = n thì hệ có nghiệm duy nhất Nếu r(A) = r A
   < n thì hệ vô số nghiệm Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán C2 - MS: C01010 5 / 10
7.   3x1 + 4x2 − 6x3 − 7x4 = −18   2x1 + 6x2 − 14x3 − 5x4 = −13 4) −x1 − 2x2 + 4x3 + 4x4 = 11  2x1 + 4x2 − 8x3 − 5x4 = −13   −x1 − 2x3 + 3x4 = 8 Nếu A ∈ Mn thì: hệ có nghiệm duy nhất ⇔ r(A) = n ⇔ det(A) 6= 0. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán C2 - MS: C01010 6 / 10
8. Hệ thuần nhất Hệ phương trình tuyến tính gọi là thuần nhất khi tất cả các hệ số tự do bằng 0 Hệ thuần nhất luôn có nghiệm X = 0. Nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường. Nghiệm khác 0 gọi là nghiệm không tầm thường. Hệ thuần nhất AX = 0 chỉ có 2 khả năng sau: 1. Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ hệ chỉ có nghiệm tầm thường ⇔ r(A) = số ẩn 2. Hệ có vô số nghiệm ⇔ hệ có nghiệm không tầm thường ⇔ r(A) < số ẩn Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán C2 - MS: C01010 7 / 10
9. Suy ra: nếu số phương trình nhỏ hơn số ẩn thì hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường. Nếu A ∈ Mn thì hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi: r(A) < n ⇔ det(A) = 0. Ví dụ: giải hệ thuần nhất sau  x + 2x + 4x − 3x = 0  1 2 3 4  3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0 4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0   3x1 + 8x2 + 24x3 − 19x4 = 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán C2 - MS: C01010 8 / 10
10. Hệ Cramer Hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính mà số phương trình bằng số ẩn và định thức của ma trận hệ số khác 0 Cách giải hệ Cramer AX = B: PP1: Dùng phương pháp Gauss PP2: X = A−1B PP3: Dùng công thức Cramer Thay B vào cột thứ i của A, gọi nó là ma trận Ai . Thì: det A x = i i det A Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán C2 - MS: C01010 9 / 10
11. Ví dụ: 1) Giải hệ sau   x1 + 3x2 + 7x3 = 1 2x1 + x2 + 2x3 = 0  −7x1 + x2 + 4x3 = 1 2) Giải và biện luận hệ sau theo tham số m   mx1 + x2 + x3 = 1 x1 + mx2 + x3 = m 2  x1 + x2 + mx3 = m Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán C2 - MS: C01010 10 / 10