Bài giảng Hệ phương trình tuyến tính hệ số hằng

Nội dung text: Bài giảng Hệ phương trình tuyến tính hệ số hằng

1. Hệ phương trình tuyến tính hệ số hằng Định nghĩa: Hệ ptvp là hệ gồm các ptvp chứa đạo hàm của các hàm cần tìm Ví dụ: Các hệ ptvp F( t , x , y , x , y ')= 0 Hệ 2 ptvp cấp 1 Trong đó G( t , x , y , x , y ')= 0 t là biến độc lập, x(t), y(t) là các hàm cần tìm. Hệ 3 ptvp cấp 1 dạng chính tắc x = f(,,,) t x y z y = g(,,,) t x y z z = h(,,,) t x y z
2. Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng Hệ ptvp tuyến tính cấp 1 hệ số hằng là hệ ptvp có dạng dx 1 =a x + a x + + a x + f ( t ) dt 11 1 12 2 1nn 1 dx2 =a21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2nn x + f 2 ( t ) dt dx n =a x + a x + + a x + f ( t ) dt n1 1 n 2 2 nn n n Trong đó fi(t), i=1,2, ,n là các hàm liên tục trong (a,b)
3. Hệ pt tuyến tính cấp 1hệ số hằng Đặt aaa11121 n xt1() ft1() aaa xt() ft() A = 21222 n Xt()= 2 Ft()= 2 :::: : : xt() ft() aaannnn12 n n Thì hpt trên có thể viết thành dX =+AX F( t ) (1) Hệ không thuần nhất dt dX = AX (2) Hệ thuần nhất dt Nghiệm của hệ là 1 hàm vecto trong (a,b) gồm các hàm khả vi, liên tục trong (a,b) và thỏa hệ
4. Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử d Ta kí hiệu phép lấy đạo hàm là D = Suy ra dt dd23 D23 = , D = , dt23 dt Ví dụ với hệ ptvp sau x =2 x + y + et (D− 2) x − y = et Ta viết thành y = x −2 y + t −x +( D + 2) y = t Sau đó, ta dùng phương pháp khử như đối với hpt đại số tuyến tính
5. Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử x =3 x + x + et Ví dụ: Giải hpt 1 1 2 x2 =22 x 1 + x 2 + t Ta viết lại hpt (D− 3) x − x = et (1) 12 −2x12 +( D − 2) x = t (2) Lấy 2*(1)+(D-3)*(2) để khử x1, ta được : t (− 2 + (D − 2)( D − 3)) x2 = 2 e + ( D − 3) t 2 t D x2−5 Dx 2 + 4 x 2 = 2 e − 3 t + 3 t Viết lại kí hiệu thường x2 −5 x 2 + 4 x 2 = 2 e − 3 t + 1 Ta giải pt trên
6. Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử t x2 −5 x 2 + 4 x 2 = 2 e − 3 t + 1 2 3 11 x= C et + C e4 t − te t − t − 2 1 2 3 4 16 xt Thay vào pt (2) xx=2 − − 1222 1 1 1 41 x= C e4t − C e t + e t ( t − 1) + t + 2 22 1 3 4 24
7. Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử ' x1=2 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 Ví dụ: Giải hpt ' x2= −4 x 1 − 6 x 2 − 3 x 3 ' x3=33 x 1 + x 2 + x 3 Ta viết lại hpt: (D− 2) x1 − 4 x 2 − 3 x 3 = 0 (1) 4x1+ ( D + 6) x 2 + 3 x 3 = 0 (2) −3x1 − 3 x 2 + ( D − 1) x 3 = 0 (3) Khử x3: (1)+(2) và 3*(3)-(D-1)*(2) (D+ 2) x12 + ( D + 2) x = 0 (− 4(D − 1) − 9) x12 + ( − ( D − 1)( D + 6) − 9) x = 0
8. Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử Hệ trên tương đương với: (D+ 2) x12 + ( D + 2) x = 0 (4) 2 (− 4D − 5) x12 + ( − D − 5 D − 3) x = 0 (5) 2 Khử x2: (D +5D+3)*(4)+(D+2)*(5) 2 (D+ 5 D + 3)( D + 2) x11 + ( − 4 D − 5)( D + 2) x = 0 32 (D+ 3 D − 4) x1 = 0 x1 +=3 x 1 − 4 x 1 0 t−−22 t t x1=+ C 1 e C 2 e+ C 3 te t−−22 t t Thay vào pt (4) để tìm x2: x2= − C 1 e + C 4 e − C 3 te tt1 −2 Thay vào (1) để tìm x3: x= C e −(4 C + C + 4 C ) e 3 13 2 3 4
9. Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng dX Hệ pt =+AX F() t dt Với A là ma trận thực, vuông chéo được Tồn tại ma trận S khả nghịch sao cho A=SDS-1 dX Thay vào hpt =+SDS−1 X F() t dt dX S−1= DS − 1 X+ S − 1 F() t dt dY dX Đặt Y=S-1X = S −1 Thay vào hpt trên dt dt dY =+DY S−1 F() t Đây là n-ptvp cấp 1 riêng biệt dt
10. Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng x = x −2 x + t 2 Ví dụ: Giải hpt 1 1 2 x2 = x 1 +42 x 2 − 12− 2 1 −1 1 1 2 0 A = SSD= ,, = = 14 −1 − 1 − 1 − 2 0 3 Đặt Y=S-1X, ta được hpt: 2 dY −1 y11 =22 y + t − =+DY S F() t dt 2 y22 =34 y − t + 2dt 2− 2 dt y11= e( ( t − 2) e dt + C ) y= e 3dt( − t 2 + 4) e− 3 dt dt + C 12( )
11. Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng 1 1 3 y= − t22 − t + + C e t 112 2 4 1 4 34 y= t23 + t − + C e t 223 9 27 21 y1 Ta tính X== SY −−11 y2 2 5 17 x= − t2 − t + +2 C e 2tt + C e 3 13 9 54 1 2 5 1 55 x= − t2 + t + − C e 2tt − C e 3 26 18 108 1 2
12. Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng −2t x1 = x 1 −33 x 2 + x 3 + e −2t Ví dụ: Giải hpt x2 =3 x 1 − 5 x 2 + 3 x 3 + e x =6 x − 6 x + 4 x − 2 t 3 1 2 3 1− 3 3 e−2t 1 1 1 A =− 3 5 3 F() t= e−2t S = 1 0 1 6− 6 4 −2t 0− 1 2 1−− 3 1 2 0 0 1 SD−1 = − −2 2 0 , = 0 − 2 0 2 −−1 1 1 0 0 4
13. Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng Đặt Y=S-1X, ta được hpt −2t 11 −2t y11= C e + t − y11 = −2 y + e + t 24 −2t yy22 =−2 y22= C e 4t 11 y33 =−4 y t y33= C e++ t 4 16 33 Vậy ()C+ C e−24tt + C e + t − 1 2 3 4 16 x1 33 x= C e−24tt + C e + t − X= SY 2 1 3 4 16 x3 −24tt11 −C23 e +2 C e + t + 28
14. Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng 2 x1 = − x 1 +32 x 2 + x 3 + t 2 Ví dụ: Giải hpt x2 =32 x 1 − x 2 + x 3 − t x = x + x +22 x + t 3 1 2 3 −1 3 2 t 2 111 2 A =− 3 1 2 F() t=− t S =−1 1 1 1 1 2 2t −1 1 0 1 1− 2 0 0 0 1 SD−1 == 1 1 2 , 0 4 0 4 2−− 2 0 0 0 4
15. Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng Đặt Y=S-1X, ta được hpt 1 y= − t2 + C yt =− 112 1 4t 11 y22 =+4 y t y22= C e − t − 4 16 yy33 =−4 −4t y33= C e 1 1 1 x= C + C e4tt + C e 4 − t 2 − t − 1 1 2 2 2 4 16 4tt 41 2 1 1 X= SY x2= C 1 + C 2 e − C 2 e − t − t − 2 4 16 42t 1 1 1 x3= − C 1 + C 2 e + t − t − 2 4 16
16. Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – Bài tập Giải các hpt sau x =+2 x y 1. y =+ x2 y x =+46 x y 2. y =23 x + y + t x + y =2 x + 6 y − cos t 3. y = x +3 y + sin t x' = x −44 x − x + et 1 1 2 3 ' 4. x2= 8 x 1 − 11 x 2 − 8 x 3 + 2 t ' x3= −8 x 1 + 8 x 2 + 5 x 3
17. Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – Bài tập x'2= −4 x + 2 x + 5 x + t 1 1 2 3 ' 5. x2= 6 x 1 − x 2 − 6 x 3 + 2 t ' x3= −8 x 1 + 3 x 2 + 9 x 3 x1 =2 x 1 − x 2 + 2 x 3 + 2 t −2t 6. x2 = 5 x 1 − 3 x 2 + 3 x 3 − e x3= − x 1 − 2 x 3