Bài giảng Hình học 12

Nội dung text: Bài giảng Hình học 12

1. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản QUAN HỆ VUÔNG GÓC I) Hai đường thẳng a và b vuơng gĩc nhau: 1) Tích vơ hướng của hai véc-tơ: a. b= a . b .cos ( a, b ) 2) Ứng dụng của tích vơ hướng: a. b Xác định gĩc giữa hai vectơ: cos( a, b ) = a. b 3) Chứng minh hai đường thẳng a và b vuơng gĩc nhau: * Cách 1: áp dụng định nghĩa: a⊥ b ⇔ (,) a b = 900 . * Cách 2: a⊥ b ⇔ u. v = 0 ( u, v là các véc-tơ chỉ phương của a và b) a * * Cách 3: Hai đường thẳng a và b vuơng gĩc nhau khi đường thẳng này vuơng gĩc với mặt phẳng b chứa dường thẳng kia. α ⎧a ⊥() α ⎨ ⇒a ⊥ b b ⎩b ⊂() α * * Cách 4: Định lý ba đường vuơng gĩc Cho a ⊂() α , b’ là hình chiếu của b trên ()α . a a ⊥ b ⇔ a ⊥ b’ α b’ * Cách 5: Cho đường thằng a // (α). Nếu đường thẳng b vuơng gĩc với mp (α) thì nĩ cũng vuơng b a gĩc với đường thẳng a . ⎧ a //()α ⎨ ⇒a ⊥ b ⎩b⊥ ( α ) α * * Cách 6: Nếu một đường thẳng vuơng gĩc với hai cạnh của một tam giác thì nĩ cũng vuơng gĩc với cạnh cịn lại. II) Chứng minh đường thẳng a vuơng gĩc với mặt phẳng (α): * * Cách 1: Nếu đường thẳng a vuơng gĩc với hai đường thẳng a cắt nhau nằm trong mp (α) thì đường thẳng a vuơng gĩc với mp (α). ⎧ a⊥ b b ⎪ ⎨ a⊥ c ⇒a ⊥ ( α ) c ⎪ α ⎩b∩ c = I * * Cách 2: Cho hai mặt phẳng vuơng gĩc (α) và (β). Khi đĩ, bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuơng gĩc với giao tuyến thì cũng vuơng gĩc GV: Phạm Sơn Hà Trang 1
2. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản với mp cịn lại. ⎧ ()α ⊥() β β ⎪ a ⊂ β ⇒a ⊥ α ⎨ () () a ⎪ ⎩a⊥ b =() α ∩ () β α * Cách 3: Nếu hai mp cắt nhau cùng vuơng gĩc với mp thứ ba thì giao tuyến của chúng vuơng gĩc với b mp thứ ba. ⎧()β ∩ () γ = a ⎪ γ ⎨ ()β ⊥ ( α ) ⇒a ⊥() α β ⎪ a ⎩ ()γ ⊥ ( α ) III) Chứng minh hai mặt phẳng (α) ⊥ (β): * Cách 1: áp dụng định nghĩa: (α) ⊥ (β) ⇔ gĩc giữa chúng bằng 900. α * * Cách 2: Hai mặt phẳng vuơng gĩc khi và chỉ khi mặt phẳng này cĩ chứa một đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng cịn lại. β ⎧a⊂ ( β ) ⎨ ⇔ (α) ⊥ (β) a ⎩a ⊥() α α IV) GĨC: 1) Gĩc giữa hai đường thẳng: a Gĩc giữa hai đường thẳng trong khơng gian là gĩc a’ giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b. b’ ⎧a // a' ⎨ ⇒ (a, b) = (a’, b’) b ⎩b // b' Chú ý: Để dựng gĩc giữa hai đường thẳng chỉ cần lấy điểm O trên a từ đĩ kẻ đường thẳng b’ // b. Khi đĩ, gĩc giữa a và b chính là gĩc giữa a và b’. b b // b’ ⇒ (a, b) = (a’, b’) 2) Gĩc giữa đường thẳng a và mp (α): b’ Đ/n: O Gĩc giữa đường thẳng a và mp (α) bằng gĩc giữa a đường thẳng a và hình chiếu a’ của nĩ trên mp (α). a (a, (α)) = (a, a’) với a’ là hình chiếu của a trên (α). 3) Gĩc giữa hai mặt phẳng (α) và (β ): a’ Các bước xác định gĩc: α GV: Phạm Sơn Hà Trang 2
3. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản + Xác định giao tuyến c của (α) và (β ) + Xác định hai đường thẳng a và b lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (α) và (β ) đồng thời cùng vuơng gĩc β với giao tuyến c b + Xác định gĩc giữa a và b. ( gĩc giữa a và b là gĩc giữa (α) và (β ) ) a c α V) KHOẢNG CÁCH: 1) Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a: O a Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của O trên a Khi đĩ: d(O, a) = OH H 2) Khoảng cách từ điểm O đến mp (α): O Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của O trên (α) Khi đĩ: d(O, (α)) = OH H α 3) Khoảng cách giữa đường thẳng và mp song song: Cho đường thẳng a song song với mp (α). Khoảng cách O a giữa đường thẳng a song song với mp (α) bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến mp (α). H d(a, (α)) = d(O, (α)) = OH , ∀ O ∈ a α 4) Khoảng cách giữa hai mp song song: Cho hai mp song song (α) và (β ). Khoảng cách O β giữa (α) và (β ) bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mp này đến mp cịn lại. d((α), (β ) ) = d(O, (α)) = OH ∀ O ∈ ()β α H 5) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: a * Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng độ dài đoạn vuơng gĩc chung của chúng. M d( a, b) = MN, với MN là đoạn vuơng gĩc chung N b * Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này với mặt phẳng song song chứa đường thẳng cịn lại. GV: Phạm Sơn Hà Trang 3
4. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản a d(a, b) = d(a, (α)), với (α) chứa b và song song a M N b * Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau α bằng khoảng cách giữa hai mp song song lần lượt chứa hai đường thẳng đĩ. M a d(a, b) = d((α), (β )) , α với (α), (β ) song song lần lượt chứa a, b b β N * * Một số dạng hình thường gặp: S S S A D A A D C B B C B C Hình chĩp đáy tam giác Hình chĩp đáy tứ giác Hình chĩp đáy hình thang S S A D A C B C B Hình chĩp cĩ đáy là hbh, ht, hcn, hv Hình chĩp đáy tam giác cĩ SA ⊥ đáy S S A D A D B C BC Hình chĩp đáy hình thang cĩ SA ⊥ đáy Hình chĩp đáy là hbh, ht, hcn, hv cĩ SA ⊥ đáy GV: Phạm Sơn Hà Trang 4
5. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản S S A A D C H I H B C B Hình chóp đều đáy tam giác Hình chóp đều đáy tứ giác A B A B A B C D C D C A’ A’ B’ B’ A’ B’ C’ D’ C’ D’ C’ Lăng trụ đứng tam giác Hình hộp chữ nhật Hình lập phương BÀI TẬP 1/ Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng ABCD cạnh a, SA = a và vuơng gĩc với đáy. a) CMR: các mặt bên của hình chĩp là các tam giác vuơng b) Mặt phẳng (P) đi qua A và vuơng gĩc với SC cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. CMR: B’D’ // BD và AB’ ⊥ SB, AD’ ⊥ SD. 2/ Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi cạnh a và cĩ gĩc BAD = 600 . Gọi O là giao điểm của a3 AC và BD, đường thẳng SO vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) và SO = . Gọi E là trung điểm BC, F 4 là trung điểm của BE. a) CMR: (SOF) ⊥ (SBC) b) Tính khoảng cách từ O và A đến mp (SBC) 3/ Cho tứ diện ABCD cĩ hai mặt (ABC) và (ADC) nằm trong hai mặt phẳng vuơng gĩc nhau. Tam giác ABC vuơng tại A cĩ AB = a, AC = b. Tam giác ADC vuơng tại D cĩ CD = a. a) CMR: tam giác BAD và BDC là các tam giác vuơng b) Gọi I, K là trung điểm của AD và BC. CM: IK là đường vuơng gĩc chung của AD và BC. a 3 4/ Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi cạnh a và cĩ gĩc BAD = 600 và SA = SB = SD = 2 a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABCD) và độ dài cạnh SC b) CMR: (SAC) ⊥ (ABCD) c) CMR: SB ⊥ BC d) Gọi α là gĩc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tanα. GV: Phạm Sơn Hà Trang 5
6. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản CHƯƠNG I. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I) Kiến thức cơ bản: 1) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc (tích ba kích thước) 2) Thể tích khối lập phương: V = a3 3) Thể tích khối lăng trụ: V = B.h Trong đĩ: B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ 4) Thể tích khối chĩp: 1 V = B.h 3 Trong đĩ: B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chĩp. II) Bài tập: A. Bài tốn 1: Thể tích khối lăng trụ. Ví dụ: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = b và AA’ tạo với mặt đáy một gĩc 600. Tính thể tích khối lăng trụ . Giải A C Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của lăng trụ. Khi đĩ, A’H là hình chiếu của AA’ trên mp(A’B’C’) B Xét tam giác AA’H vuơng tại H cĩ: AH Sin A’ = AA' 0 b 3 A’ 60 ⇒ AH = AA’. Sin A’ = AA’. Sin 600 = C’ 2 H Do tam giác A’B’C’ là tam giác đều nên chiều cao của tam giác là: B’ a 3 h = 2 1 a3 2 Diện tích tam giác A’B’C’: SA’B’C’ = h.a = 2 4 1 3 2 Thể tích ABC.A’B’C’: V = .AH. SA’B’C’ = a b 3 8 BÀI TẬP 0 Bài 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1B C1, đáy ABC là tam giác vuơng tại A, AC= a, gĩc C bằng 60 , 0 đường chéo BC1 của mặt bên (CC1B1B ) hợp với mặt bên (ACC1A1) một gĩc 30 . a. Tính độ dài đoạc AC1. b. Tính thể tích khối lăng trụ 3 ĐS: a. AC1 = 3a, b. V = 6a. Bài 2. Cho hình hộp đứng ABCD.A1B1B C1D1 , đáy là hình thoi. Biết diện tích 2 mặt chéo ACC1A1 và BĐ1B1B là s1 và s2. Biết gĩc BA1D là gĩc vuơng. Tính thể tích khối hộp. s s ĐS: V = 1 2 4 2 2 4(s2 − s1 ) GV: Phạm Sơn Hà Trang 6
7. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản Bài 3. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1B C1, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A1 lên mp(ABC) trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Cạnh bên AA1 tạo với mặt đáy một gĩc 600. a. Tính thể tích lăng trụ. b. Chứng minh: BCC1B1B là hình chữ nhật c. Tính diện tích xung quanh của lăng trụ a3 3 a2 3( 13+ 2) ĐS: a. V = , c. Sxq= 4 3 0 Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A1B1B C1D1 , đáy là hình thoi cạnh a, gĩc A bằng 60 . Chân đường vuơng gĩc hạ từ B1 xuống mặt đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB1= a a. Tính gĩc giữa cạnh bên và đáy b. Tính thể tích khối hộp a3 3 ĐS: a. 600, b. V= 4 0 Bài 5. Cho lăng trụ đều ABCD.A1B1B C1D1 cạnh đáy bằng a. Gĩc giữa đường chéo AC1 và đáy là 60 . Tính thể tích của khối lăng trụ. Bài 6. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1B C1D1 cĩ đường cao bằng h. Mp (A1BD) hợp với mặt bên (ABB1B A1) một gĩc α. Tính thể tích của khối lăng trụ. Bài 7. (đề thi ĐH khối D-2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C. 2 a 7 ĐS: V = a 3 , d(AM, B’C) = 2 7 Bài 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1B C1D1 cĩ AB = a, AB hợp với mặt phẳng (A’B’CB) một gĩc α và gĩc BAC’ = β. Tính thể tích hình hộp. Bai 9. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1B C1 , cạnh đáy a. Mặt phẳng (ABC1) hợp với mặt phẳng (BCC1B1B ) một gĩc α. Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC1. a. CM: gĩc AJI bằng α. b. Tính thể tích khối lăng trụ Bài 10. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A1BB1C1 , cạnh đáy bằng a, đường chéo BC1 của mặt bên (BCC1B1B ) hợp với mặt bên (ABB1A1) một gĩc α. a. Xác định gĩc α b. Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 11. Cho lăng tru đứng ABC.A1B1B C1 , đáy ABC là tam giác cân tại A. Gĩc giữa AA1 và BC1 là 0 0 30 và khoảng cách giữa chúng là a. Gĩc giữa hai mặt bên qua AA1 là 60 . Tính thể tích khối lăng trụ. a 3 Bài 12. Cho lăng trụ đều ABC.A1B1B C1. Mặt phẳng (A1BC) cách A một khoảng và hợp với BC’ 4 15 một gĩc α biết sin α = . Tính thể tích khối lăng trụ. 10 Bài 13. Cho lăng tru đứng ABC.A1B1B C1 , đáy ABC là tam giác vuơng tại A, AC= b, gĩc C bằng α. Đường chéo BC1 tạo với mặt bên (ACC1A1) một gĩc β. a. Tính thể tích khối lăng trụ b. Tìm một điểm cách đều các đỉnh của lăng trụ và tính khoảng cách ấy. Bài 14. Cho lăng trụ ABC.A1B1B C1 đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A1 lên mặt phẳng 0 (ABC) trùng với tâm đường trịn (ABC). Gĩc BAA1 bằng 45 . Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 15. Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1B C1 đáy là tam giác vuơng cân tại A. Mặt bên (ABB1A1) là hình thoi cạnh a, nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy. Mặt bên (ACC1A1) hợp với đáy một gĩc α. Tính thể tích khối lăng trụ Bài 16. Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1B C1 đáy ABC là tam giác vuơng tại A. AB = a, BC = 2a. Mặt bên GV: Phạm Sơn Hà Trang 7
8. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản ABB1A1 là hình thoi, mặt bên (BCC1B1B ) nằm trong mặt phẳng vuơng với đáy, hai mặt này hợp với nhau một gĩc α. a. Tính khoảng cách từ A đến mp (BCC1B1B ). Xác định gĩc α b . Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 17. Tính thể tích của khối lăng trụ cĩ chiều cao h, đáy là ngũ giác đều nội tiếp trong một đường trịn bán kính bằng r. B. Bài tốn 2: Tính thể tích khối chĩp. Ví dụ: Cho khối chĩp tam giác đều S.ABC cĩ đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên hợp với đáy một gĩc 600. Tính thể tích của khối chĩp đĩ. S Giải Kẻ SH ⊥ (ABC) Gọi I là giao điểm của AH và BC Do S.ABC là hình chĩp đều nên H là trọng tâm của tam giác ABC. a 3 ⇒ AI = A C 2 2 2 a 3 3 H ⇒ AH = AI = = a I 3 3 2 3 Do AH là hình chiếu của SA trên mp(ABC) nên SAH = 600. B Xét tam giác SAH vuơng tại H ta cĩ: SH tan 600 = ⇒SH = AH.tan 600 = a AH 1 1 a 3 3 2 Diện tích tam giác ABC: SABC = AI.BC = a = a 2 2 2 4 Thể tích khối chĩp: 1 1 3 2 3 3 V = SH. SABC = a ⋅a = a 3 3 4 12 BÀI TẬP Bài 1. Cho khối chĩp tam giác đều SABC cĩ đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên hợp với đáy một gĩc 300. Tính thể tích của khối chĩp đĩ. Bài 2. Cho khối chĩp SABC cĩ đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với đáy một gĩc 600. Tính thể tích của khối chĩp đĩ. Bài 3. Cho khối chĩp SABC cĩ đáy là tam giác vuơng tại B. Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuơng gĩc với SB và AE vuơng gĩc với SC. Biết rằng AB= a, BC= b, SA= c. a) Tính thể tích của khối chĩp đĩ. b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB). Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cĩ AB =a, BC= 2a, AA’ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD. a) Tính thể tích của khối chĩp M.AB’C. b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C). Bai 5. Cho hai đoạn thẳng AB và CD chéo nhau, AC là đường vuơng gĩc của chúng. Biết AC = h, AB = a, CD = b và gĩc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 600. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. GV: Phạm Sơn Hà Trang 8
9. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản Bai 6. Cho tứ diện đều ABCD cĩ cạnh bằng a. Dựng đường cao SH. a. CMR: SA ⊥ BC b. Tính thể tích khối chĩp ABCD c. Gọi O là trung điểm SH. CMR: OA, OB, OC đơi một vuơng gĩc. a3 2 ĐS: b. V = 12 Bài 7. Tính thể tích khối chĩp tứ giác đều SABCD cĩ cạnh đáy bằng a và gĩc ASB = α. a 3 α ĐS: V = cot 2 −1 6 2 Bài 8. Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy là hình chữ nhật cĩ cạnh AB = a, cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy một gĩc α và hợp với mặt bên (SAB) một gĩc β. a. Tính SC b. Tính thể tích khối chĩp a 2 a3 sinα sin β ĐS: a. SC = , b. V = cos2 α − sin 2 β 3(cos 2 α −sin2 β ) Bài 9. Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy là hình vuơng cĩ cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuơng gĩc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB và M là điểm di động trên đường thẳng BC. a. CMR: SH ⊥ (ABCD). Tính thể tích khối chĩp SABCD. b. Tìm tập hợp các hình chiếu vuơng gĩc của S lên DM c. Tính khoảng cách từ S đến DM theo a và CM = x với 0≤ x≤ a a3 3 ĐS: a. V= , b. Quĩ tích là đường trịn đk DH trong (ABCD) 6 7a4− 4a 3 x + 4a 2 x 2 c. 4(a2+ x 2 ) Bài 10. Một hình chĩp tứ giác đều cĩ cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Hãy tính thể tích và diện tích mặt chéo của hình chĩp. Bài 11. Cho hình chĩp tứ giác đều SABCD cĩ cạnh bên tạo với đáy một gĩc 600 và cạnh đáy bằng a. a. Tính thể tích khối chĩp SABCD b. Qua A dựng mặt phẳng (P) vuơng gĩc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chĩp. Bài 12. Cho hình chĩp tứ giác đều SABCD cĩ chiều cao SH = h và gĩc giữa mặt đáy và mặt bên là α. Tính thể tích khối chĩp SABCD theo h và α. Bài 13. Cho hình chĩp SABC cĩ hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuơng gĩc với đáy. Đáy ABC là tam giác cân đỉnh A. Trung tuyến AD bằng a. Cạnh SB tạo với đáy một gĩc α và tạo với mp(SAD) một gĩc β. a. Xác định gĩc α và β b. CMR: SB2= SA 2 + AD 2 + BD 2 c. Tính thể tích khối chĩp Bài 14. Cho hình chĩp SABC cĩ đáy là tam giác cân AB=AC = a. Mặt phẳng (SBC) vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) và SA= SB = a. a. CMR: tam giác SBC là tam giác vuơng b. Cho SC = x. Tính thể tích khối chĩp theo a và x. Bài 15. Cho hình chĩp tứ giác đều SABCD cĩ cạnh đáy bằng a và đường cao bằng h. Gọi (P) là mp qua A và vuơng gĩc với SC và (P) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’ a. h phải thỏa đk gì để C’ là điểm thuộc cạnh SC b. Tính thể tích khối chĩp SAB’C’D’ c. CM: tam giác B’C’D’ luơn cĩ một gĩc tù. Bài 16. Trên cạnh AD của hình vuơng ABCD cạnh a người ta lấy điểm M với AM = x ( 0≤ x≤ a ) và trên nửa đường thẳng Ax vuơng gĩc với mp(ABCD) tại A lấy điểm S sao cho SA = y với y >0 GV: Phạm Sơn Hà Trang 9
10. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản a. CMR: (SAB) ⊥ (SBC) b. Tính khoảng cách từ M đến mp(SAC) c. Tính thể tích khối chĩp SABCM d. Với giả thiết x2 + y2 = a2. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích SABCM. Bài 17. (đề thi ĐH khối B - 2008) Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuơng gĩc với đáy. Gọi M, N là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích của khối chĩp SBMDN và tính cosin của gĩc hợp bởi hai đường thẳng SM, DN. Bài 18. (đề thi ĐH khối A – 2009) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a. Bài 19. (đề thi TNTHPT hệ BT – 2009) Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB = a và AC = a 3, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) và SA = a 2 . Tính thể tích khối chĩp S.ABC theo a. 3 15a 3 ĐS: 5 Bài 20. (đề thi TNTHPT – 2009) Cho hình chĩp S.ABC cĩ mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Biết gĩc BAC = 1200 , tính thể tích khối chĩp S.ABC theo a. Bài 21. (đề thi ĐH khối B – 2009) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ BB’ = a, gĩc giữa đường thẳng BB’ và mp(ABC) bằng 600, tam giác ABC vuơng tại C và gĩc BAC = 600. Hình chiếu của B’ lên mp(ABC) trùng với trọng a9 3 tâm tam giác ABC. Tính thể tích tứ diện A’.ABC theo a. ĐS: 208 Bài 22. (đề thi ĐH khối D – 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB = a, AA’= 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm đoạn A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích a4 3 2a 5 khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC). ĐS: V= ; k/c = 9 5 Bài tốn 3: Tính tỉ số thể tích. Phương pháp: Để tính tỉ số thể tích hai phần của 1 khối đa diện (H) được phân chia thành (H1) , (H2) bởi mặt phẳng (α) ta lựa chọn một trong hai cách sau đây: ¾ Cách 1: Thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α). Bước 2: Tính thể tích V1 và V2 của (H1) , (H2) V Bước 3: Tính k = 1 V2 ¾ Cách 2: Sử dụng kết quả : “Cho hình chĩp SABC , trên ba đường thẳng SA, B, SC lấy ba điểm A’, B’, C’ khác S. Gọi V và V’ là thể tích của SABC và SA’B’C’. V SA.SB.SC SA SB SC Khi đĩ: = = S 'V SA'.SB'.SC' SA' SB' SC' A’ C’ A B’ C B GV: Phạm Sơn Hà Trang 10
11. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản Ví dụ: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuơng gĩc với SC cắt SB, SC, SB' 2 SD tại B’, C’, D’. Biết rằng AB = a, = SB 3 a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chĩp S.AB’C’D’ và S.ABCD S b) Tính thể tích khối chĩp S.AB’C’D’. Giải a) Gọi SH là đường cao của hình chĩp S.ABCD C’ Gọi H’ là giao điểm của SH và mp (P). D’ Do S.ABCD là hình chĩp đều nên H là giao điểm H’ E của AC và BD. D B’ C ⎧BD⊥ SH ⎨ ⇒BD ⊥ (SAC) H ⎩BD⊥ AC B ⇒ BD ⊥ SC. A Do mp (P) ⊥ SC ⇒ BD // mp (P) ⎧ BD //(P) ⎪ Do ⎨ BD⊂ (SBD) ⇒ BD // B'D' ⎪ ⎩(P)∩ (SBD) = B'D' SD' SH' SB' 2 ⇒ = = = , H’D’ = H’B’ va B’D’ ⊥ AC’ SD SH SB 3 Qua H kẻ đường thẳng song song với AC’ cắt SC tại E. SC' 2 Khi đĩ: EC’ = EC, = SE 3 SE− SC' 1 EC' ⇒ = = SE 3 SE ⇒ SC’ = 2EC’ = CC’ V 2 2 4 V 2 2 1 2 Ta cĩ: S.AB'D' = ⋅ = , S.B'C'D' = ⋅ ⋅ = VS.ABD 3 3 9 VS.BCD 3 3 2 9 VS.ABCD Ta cĩ: VS.ABD = VS.BCD = 2 ⎛ 4 2 ⎞ VS.ABCD 1 ⇒ VS.AB’C’D’ = VS.AB’D’ + VS.B’C’D’ = ⎜ + ⎟ = VS.ABCD ⎝ 9 9 ⎠ 2 3 b) Theo cm trên : AC’ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác SAC nên SA = AC ⇒ tam giác SAC đều 3 3 6 ⇒ SH = AC =a 2 = a 2 2 2 1 6 3 6 3 VS.ABCD = a = a 3 2 6 6 3 ⇒ VS.AB’C’D’ = a 18 BÀI TẬP GV: Phạm Sơn Hà Trang 11
12. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản Bài 1. Cho hình chĩp tứ giác đều SABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD và SC a. Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) và hình chĩp b. Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chĩp được phân chia bởi hai mặt phẳng. ĐS: b. 1 Bài 2. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi (H) là hình bát diện đều cĩ các đỉnh là trung điểm các cạnh của V tứ diện đều đĩ. Tính tỉ số (H) VABCD Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cĩ AB = a, BC= b, AA’ = c. Gọi M, N là trung điểm của A’B’ và B’C’. Tính thể tỉ số tích khối chĩp D’.DMN và thể tích khối hộp chứ nhật ABCD.A’B’C’D’ Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cĩ AB = a, BC= b, AA’ = c. Gọi E và F là những 1 1 điểm thuộc các cạnh BB’ và DD’ sao cho BE= B’E, DF = D’F. Mặt phẳng (AEF) chia 2 2 khối hộp chữ nhật thành 2 khối đa diện (H) và (H’). Gọi (H’) là khối đa diện chứa đỉnh A’. Tính thể tích của (H) và tỉ số thể tích của (H) và (H’). Bài 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của C’D’. Tính thể tỉ số tích hai phần của hình lập phương do mặt mặt (A’MO) cắt ra. Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cĩ cạnh bằng a. Gọi M, N là trung điểm các cạnh AD, CD và gọi P lfa điểm trên cạnh BB’ sao cho BP = 3 PB’. a) Tính diện tích thiết diện do mặt phẳng (MNP) cắt hình lập phương. b) Tính thể tỉ số tích hai phần của hình lập phương do thiết diện cắt ra. CHƯƠNG II. MẶT NĨN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU. I) MẶT NĨN, HÌNH NĨN, KHỐI NĨN: 1) Mặt nĩn: Cho hai đường thẳng Δ và d cắt nhau tại O và tạo thành gĩc α (0 < α < 900). Mặt trịn xoay sinh ra bởi đường thẳng d khi quay quanh đường thẳng Δ gọi là mặt nĩn. * d: đường sinh * Δ: trục * O đỉnh * 2α: gĩc ở đỉnh 2) Hình nĩn: Hình nĩn trịn xoay là hình sinh ra bởi một tam giác vuơng khi quay quanh một cạnh gĩc vuơng. * Diện tích xung quanh: Sxq = πrl l: độ dài đường sinh r: bán kính đường trịn đáy. 3) Khối nĩn: Hình nĩn cùng với phần trong của nĩ được gọi là khối nĩn. 1 * Thể tích khối nĩn: V= π r2h . 3 GV: Phạm Sơn Hà Trang 12
13. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản h: độ dài đường cao r: bán kính đường trịn đáy II) MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ: 1) Mặt trụ: Cho hai đường thẳng Δ và d song song nhau và cách nhau một khoảng bằng r. Mặt trịn xoay sinh bởi đường thẳng d khi quay quanh Δ gọi là mặt trụ. * d: đường sinh * Δ: trục 2) Hình trụ: Hình trụ trịn xoay là hình sinh ra bởi một hình chữ nhật khi quay quanh một cạnh. * Diện tích xung quanh: Sxq = 2 πrl l: độ dài đường sinh r: bán kính đường trịn đáy. 3) Khối trụ: Hình trụ cùng với phần trong của nĩ được gọi là khối trụ. * Thể tích khối nĩn: V= r2 h . h: độ dài đường cao r: bán kính đường trịn đáy ™ Chú ý: đối với khối trụ h = l. III) MẶT CẦU, HÌNH CẦU, KHỐI CẦU: 1) Mặt cầu: Cho điểm O cố định và số thực r. Tập hợp các điểm M trong khơng gian cách điểm O một khoảng bằng r được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r. Kí hiệu: S(O,r) = {}M OM= r Chú ý: * OA > r ⇔ A nằm ngồi (S) * OA r ⇔ (P) khơng cắt (S) hay (P) ∩ (S) = φ * d = r ⇔ (P) tiếp xúc (S) tại H Khi đĩ: (S): tiếp diện, (H): tiếp điểm * d < r ⇔ (P) cắt (S) theo đường trịn (C) cĩ tâm H, bán kính r2− d 2 GV: Phạm Sơn Hà Trang 13
14. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản ™ Chú ý: nếu d = 0 hay O ≡ H thì (P) cắt (S) theo đường trịn C(O, r) 3) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu S(O,r) và đường thẳng Δ. Gọi H là hình chiếu của O trên Δ và d= OH là khoảng cách từ O đến Δ. * d > r ⇔ Δ khơng cắt (S) hay Δ ∩ (S) = φ * d = r ⇔ Δ tiếp xúc (S) tại H Khi đĩ: Δ: tiếp tuyến, (H): tiếp điểm * d < r ⇔ (P) cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B 4) Diện tích xung quanh hình cầu, thể tích khối cầu: 2 * Diện tích xung quanh hình cầu: Sxq = 4 πr . 4 * Thể tích khối cầu: V = πr3. 3 BÀI TẬP I) MẶT NĨN, HÌNH NĨN, KHỐI NĨN: ™ DẠNG 1: Chứng minh một đường thẳng d thuộc mặt nĩn: + B1: Chứng minh đường thẳng d đi qua điểm O cố định thuộc đường thẳng Δ cố định. + B2: Chứng minh gĩc giữa d và Δ là giá trị khơng đổi + B3: Kết luận. Ví dụ: Cho hai điểm A, B cố định. Một đường thẳng d di động luơn đi qua A và cách B một đoạn khơng AB đổi a = . Chứng minh rằng d luơn nằm trên một mặt nĩn. 2 Giải Xét tùy ý đường thẳng d đi qua điểm A. A Theo gt: A cố định ⇒ d đi qua điểm A cố định thuộc đường thẳng AB cố định (1) Trong mp (d, AB) kẻ BH ⊥ d tại H Gọi α = HAB H Xét tam giác vuơng ABCH ta cĩ: B BH a 1 Sin α = = = ⇒ α = 300 . d AB AB 2 Vậy α khơng đổi (2) Từ (1) và (2) suy ra d luơn nằm trên một mặt nĩn đỉnh A, nhận AB làm trục và cĩ gĩc ở đỉnh 2α = 600. BÀI TẬP Bài 1. Cho hai điểm A, B cố định AB= a. một đường thẳng l thay đổi luơn đi qua A, khơng vuơng gĩc với AB và cách B một khoảng khơng đổi d. Chứng tỏ l luơn nằm trên một mặt nĩn. Bài 2. Trong mp (P) cho một gĩc xOy = 2ϕ. Một mặt phẳng (Q) thay đổi luơn vuơng gĩc với đường phân giác của gĩc xOy cắt Ox, Oy tại A và B Trong mp (Q) lấy điểm M nhìn đoạn AB dưới một gĩc vuơng. Chứng tỏ các điểm M luơn nằm trên một mặt nĩn. Bài 3. Trong mp (α) cho điểm O cố định. Xét một đường thẳng d thay đổi luơn đi qua O và hợp với mp (α) một gĩc ϕ khơng đổi. Chứng minh d luơn nằm trên một mặt nĩn. ™ DẠNG 2: Diện tích xung quanh của hình nĩn, thể tích khối nĩn. GV: Phạm Sơn Hà Trang 14
15. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản 1 2 Sxq = πrl, V = πr h 3 Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nĩn cĩ đỉnh là tâm O của hình vuơng ABCD và đáy là hình trịn nội tiếp hình vuơng A’B’C’D’. Giải A B a Khối nĩn cĩ chiều cao a và cĩ bán kính đáy r = O 2 D C 2 ⎛ a ⎞ a 5 Độ dài đường sinh: l = a 2 + ⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠ 2 Diện tích xung quanh của khối nĩn: 2 B’ a a 5 πa 5 A’ Sxq = πrl π = O’ 2 2 4 Thể tích khối nĩn: D’ C’ 2 1 1 ⎛ a ⎞ πa3 V = πr2 h = πr 2 ⎜ ⎟ a = 3 3 ⎝ 2 ⎠ 12 BÀI TẬP Bài 1. Cho khối nĩn trịn xoay cĩ đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm. Một mp (P) đi qua đỉnh của khối nĩn và cĩ khoảng cách đến tâm O của đáy là 12 cm. Xác định thiết diện của (P) với khối nĩn và tính diện tích thiết diện đĩ. ĐS: S = 500 cm2 . Bài 2. Cho hình nĩn cĩ thiết diện qua trục là một tam giác vuơng cân cĩ cạnh gĩc vuơng bằng a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần b) Tính thể tích khối chĩp đĩ. c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một gĩc 600. Tính diện tích của thiết diện này. πa2 2 ( 2+ 1) π a 2 πa3 2 a2 2 ĐS: a. Sxq = , Stp = b. V = c. 2 2 12 3 Bài 3. Tính thể tích của khối nĩn trong các trường hợp sau: a) Bán kính đáy r, gĩc giữa đường sinh và trục của hình nĩn là β b) Thiết diện qua trục là tam giác vuơng cân cĩ diện tích S. Bài 4. Cho hình nĩn cĩ đỉnh S, đáy là hình trịn tâm O bán kính r, chiều cao của hình nĩn bằng 2r. Gọi I là một điểm nằm trên mặt đáy và cách O một đoạn bằng 2r. Trong hình trịn tâm O kẻ bán kính OA vuơng gĩc với OI. IA cắt đường trịn tại B. Tính thể tích khối nĩn và diện tích xung quanh của hình nĩn. Bài 5. Cho hình nĩn cĩ đỉnh D, O là tâm đường trịn đáy, đường sinh bằng l và gĩc giữa đường sinh và mặt đáy bằng α. Tính diện tích của hình nĩn và thể tích của khối nĩn được tạo nên. Bài 6. Cho hình chĩp tứ giác đều SABCD cĩ chiều cao h và gĩc SAB = α (α > 450). Tính diện tích xung quanh của hình nĩn đỉnh S và cĩ đường trịn đáy ngoại tiếp hình vuơng ABCD của hình chĩp. Bài 7. Cho khối nĩn cĩ bán kính đáy bằng 12 cm và cĩ gĩc ở đỉnh là 1200. Hãy tính diện tích thiết diện đi qua hai đường sinh vuơng gĩc với nhau. Bài 8. Một mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nĩn cắt đường trịn đáy theo một cung cĩ số đo là α (α< π). Biết rằng (P) hợp với mặt đáy một gĩc β và khoảng cách từ tâm của đáy tới (P) bằng a. Tính thể tích khối nĩn theo a, α, β. II) MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ: GV: Phạm Sơn Hà Trang 15
16. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản ™ DẠNG 1: Chứng minh một điểm hoặc một đường thẳng thuộc mặt trụ: + Chứng minh một điểm M thuộc mặt trụ: Chứng minh khoảng cách từ M đến đường thẳng cố định Δ bằng một số khơng đổi. + Chứng minh một đường thẳng d thuộc mặt trụ: Chứng minh d // Δ cố định và khoảng cách từ M bất kỳ trên d đến đường thẳng Δ bằng một số khơng đổi. Ví dụ: Cho đường trịn (C) trong mp (P). Từ một điểm M trên (C) kẻ đường thẳng d vuơng gĩc với mp (P). Chứng minh đường thẳng d nằm trên một mặt trụ. Giải Δ d Gọi Δ là đường thẳng vuơng gĩc với mp (P) tại O Gọi r là bán kính của (C). O ⎧d⊥ (P) Do ⎨ ⇒d // Δ M ⎩Δ ⊥ )P( P Khoảng cách giữa d và Δ là: d(d, Δ) = OM = r: khơng đổi Vậy d nằm trên mặt trụ trụ Δ bán kính r Bài tập tương tự: Cho mp (P). Gọi A là một điểm nằm trên (P) và B là điểm nằm ngồi (P) sao cho hình chiếu H của B trên (P) khơng trùng với A. Một điểm M chạy trên mp(P) sao cho gĩc ABM = BMH. CMR: điểm M luơn nằm trên một mặt trụ trịn xoay cĩ trục AB. HD: Gọi I là hình chiếu M trên AB. CM: MI cĩ độ dài khơng đổi. ™ DẠNG 2: Tính diện tích xung quanh mặt trụ và thể tích khối trụ. Ví dụ: Cho khối trụ cĩ bán kính đáy bằng r và cĩ thiết diện qua trục là một hình vuơng. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho (hình lăng trụ này cĩ đáy là hình vuơng nội tiếp trong đường trịn đáy của hình trụ) c) Gọi V là thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp trong khối trụ và V’ là thể tích khối trụ. Tính tỉ số của V và V’. Giải a) Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuơng nên đường sinh l bằng đường cao h l = h = 2r. Diện tích xung quanh của hình trụ: B 2 A Sxq = 2π r l = 4π r . Diện tích tồn phần của hình trụ: O 2 Stp = Sxq + 2B = 6π r . C b) Gọi ABCD.A’B’C’D’ là trụ tứ giác đều nội tiếp D trong hình trụ đã cho. Ta cĩ: ABCD nội tiếp trong đường trịn đáy nên: B’ A’ AB = r 2 O’ Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều: V = AA’.S = 4r3. C’ ABCD D’ c) Thể tích khối trụ: V’ = B.h = 2π r3 V 2 Vậy: = 'V π BÀI TẬP GV: Phạm Sơn Hà Trang 16
17. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản Bài 1. Một hình trụ cĩ bán kính đáy bằng 50 cm và cĩ chiều cao h = 50 cm. a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối trụ được tạo nên. b) Một đoạn thẳng cĩ chiều dài 100 cm và cĩ hai đầu mút nằm trên hai đường trịn đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đĩ đến trục của hình trụ. Bài 2. Một khối trụ cĩ bán kính đáy bằng r và chiều cao r 3. Gọi A và B là hai điểm trên hai đường trịn đáy sao cho gĩc được tạo thành giữa đường thẳng AB và trục của khối trụ bằng 300. Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ. a) Tính độ dài đoạn vuơng gĩc chung của AB và trục của khối trụ. Bai 3. Một hình trụ cĩ các đáy là hai hình trịn tâm O và O’ bán kính r và cĩ đường cao h = r 2 . Gọi A là điểm trên đường trịn tâm O và B là điểm trên đường trịn O sao cho AO ⊥ O’B a) CMR: các mặt bên của tứ diện OABO’ là các tam giác vuơng. Tính thể tích tứ diện này b) Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và song song vơi OO’. Tính khoảng cách giữa OO’ và mp(P) Bài 4. Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ SA= SB= SC = a và cĩ gĩc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng α. Tính diện tích xung quanh của hình trụ cĩ đường trịn đáy là đường trịn nội tiếp tam giác đáy của hình chĩp và cĩ chiều cao bằng chiều cao của hình chĩp. Bài 5. Một hình trụ cĩ các đáy là hai hình trịn tâm O và O’ bán kính r và cĩ đường cao h = r 2 . A và B là hai điểm di động trên hai đường trịn O và O’ sao cho gĩc (OA, O’B) khơng đổi. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ b) Thể tích khối trụ tương ứng. Bài 6. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a và đường cao SA = 2a. MNPQ là thiết diện song song với đáy M ∈ SA và AM = x. Xét hình trụ cĩ đáy là đường trịn ngoại tiếp MNPQ và đường sinh MA. a) Tính diện tích MNPQ theo a và x. b) Tính thể tích lăng trụ theo a và x. c) Tìm hình lăng trụ cĩ thể tích lớn nhất. III) MẶT CẦU, HÌNH CẦU VÀ KHỐI CẦU: ™ DẠNG 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp (hình lăng trụ). * Phương pháp 1: Xác định điểm O cách đều các đỉnh của hình chĩp. Khi đĩ: O là tâm mặt cầu ngoại tiếp. * Phương pháp 2: a + B1: Xác định đường thẳng a đi qua tâm I của đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy. S (a gọi là trục của đường trịn) + B2: Dựng đường thẳng trung trực của cạnh bên M cắt a tại O. O D + B3: Kết luận O là tâm mặt cầu. A I B C Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương đã cho. Giải Ap dụng pp1: Gọi O là trung điểm của đường chéo AC’. Ta cĩ: O cách đều các đỉnh của hình lập phương Vậy mặt cầu đi qua 8 đỉnh hình lập phương cĩ tâm O, GV: Phạm Sơn Hà Trang 17
18. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản AC' Bán kính r = A B 2 a 3 AC’ = a3 ⇒ r = 2 D C O A’ Ví dụ 2: Cho tứ diện D.ABC cĩ DA ⊥ (ABC) và DA = 5a, B’ tam giác ABC vuơng tại B và AB = 3a, BC = 4a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện. D’ Giải C’ Ap dụng pp1: D Gọi O là trung điểm DC Do DA ⊥ (ABC) nên DA ⊥ AB, DA ⊥ AC O ⇒ Δ DAC vuơng tại A ⇒ OA = OC = OD = CD/2 (1) Ta cĩ: BC ⊥ BA, BC ⊥ DA ⇒ BC ⊥ (ABD) A C ⇒ BC ⊥ BD B ⇒ OB = CD/ 2 (2) Từ (1 và (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính r = CD/2. Ví dụ 3: Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh hình chĩp. S Giải Gọi H là trọng tâm tam giác ABC. Do SABC là hình chĩp đều nên tâm O của mặt cầu nằm trên SH. Gọi I là trung điểm của SA. Trong mp(SAH) dựng IO vuơng gĩc với SA cắt SH tại O Khi đĩ: O là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh hình chĩp. Xét hai tam giác đồng dạng SIO và SHA ta cĩ: A C SO SI SA SA 2 H = = ⇒ SO = = r SA SH 2SH 2SH B 2 ⎛ 2a 3 ⎞ 2 2 2 2 ⎜ ⎟ Mà SH = SA − AH = b − ⎜ ⎟ ⎝ 2.3 ⎠ 3b2− a 2 1 Nên SH = = 3b2− a 2 3 3 SA 2 b2 b3 2 Vậy: r = = = 2SH 2 2 2 3b2− a 2 2 3b− a 3 BÀI TẬP Bài 1. Cho tứ diện D.ABC cĩ DA ⊥ (ABC) và DA = 4a, tam giác ABC vuơng tại B và AB = 6a, BC = 8a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh A, B, C, D của tứ diện. Bài 2. Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a, Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D. Bai 3. Cho hình chĩp tứ giác đều SABCD cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D. GV: Phạm Sơn Hà Trang 18
19. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản Bài 4. Cho tứ diện OABC cĩ gĩc AOB = 900, COB = 600, AOC = 1200, OA= OB= OC = a a) Cĩ nhận xét gì về tam giác ABC? b) Xác định hình chiếu vuơng gĩc của O trên mp(ABC) c) Xac định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 4 đỉnh O, A, B, C. Bài 5. Cho tứ diện đều SABC cĩ cạnh đáy bằng a. Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC). a) CM: H là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC b) Xác định và bán kính mặt cầu đi qua 4 đỉnh S, A, B, C. c) Gọi I là trung điểm SH. CMR: IA, IB, IC đơi một vuơng gĩc. Bai 6. Cho tứ diện SABC cĩ SA = a và SA vuơng gĩc với mp(ABC), AB = AC = b, gĩc BAC= 600. Xac định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 4 đỉnh S, A, B, C. Bài 7. Cho hình chĩp tứ giác đều SABCD cĩ cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D Bài 8. Cho hình chĩp tứ giác đều SABCD cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một gĩc 600. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D. Bài 9. Cho hình vuơng ABCD tâm O, cạnh a. Trên đường thẳng vuơng gĩc với mp(ABCD) tại O lấy a điểm S sao cho SO = . Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D. 2 ™ DẠNG 2: Xét vị trí tương đối của mặt cầu S(O, r) và mặt phẳng (P): Phương pháp: Xác định khoảng cách d từ O đến mp(P). * Nếu d > r: (P) khơng cắt (S) * Nếu d = r: (P) tiếp xúc (S) * Nếu d r: a khơng cắt (S) * Nếu d = r: a tiếp xúc (S) * Nếu d < r: a cắt (S) tại hai điểm phân biệt Ví dụ: Cho mặt cầu S(O,r) và một điểm a biết OA = 2r. Qua A kẻ một tiếp tuyến với mặt cầu tại B và kẻ một cát tuyến cắt mặt cầu tại C và D. Cho biết CD = r 3 a) Tính AB b) Tính khoảng cách từ O đến CD. Giải a) Ta cĩ: AB là tiếp tuyến của mặt cầu tại B nên AB ⊥ OB 2 2 2 2 ⇒ AB = OA− OB = 4r − r = r 3 D b) Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của O trên CD. C H Ta cĩ: OC = OD = r B Nên tam giác OCD cân tại O O CD r 3 A Do H là trung điểm của CD nên HC = = 2 2 Vậy khoảng cách từ O đến CD là độ dài OH với 2 ⎛ r 3 ⎞ r 2 2 2 ⎜ ⎟ OH = OC− HC = r − ⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠ 2 GV: Phạm Sơn Hà Trang 19
20. Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản Bài tập: Cho mặt cầu S(O, r) tiếp xúc với mp(P) tại I. Gọi M là điểm nằm trên mặt cầu nhưng khơng phải là điểm đối xứng của I qua O. Từ M kể hai tiếp tuyến của mặt cầu vuơng gĩc với nhau lần lượt cắt mặt phẳng (P) tại A và B. CMR: AB2 = AI2 + IB2. ™ DẠNG 4: Diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu: 4 S = 4π r2, V = π r3. 3 Ví dụ: Cho tứ diện ABCD cĩ DA = 5a và DA vuơng gĩc với mp(ABC). Tam giác ABC vuơng tại B và AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua các đỉnh của tứ diện. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng. Giải D a) Gọi O là trung điểm DC O Do DA ⊥ (ABC) nên DA ⊥ AB, DA ⊥ AC ⇒ Δ DAC vuơng tại A ⇒ OA = OC = OD = CD/2 (1) Ta cĩ: BC ⊥ BA, BC ⊥ DA ⇒ BC ⊥ (ABD) ⇒ BC ⊥ BD ⇒ OB = CD/ 2 (2) A C Từ (1 và (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính r = CD/2. 1 1 1 5a 2 B r = CD = AD2+ AC 2 = AD2+ AB 2 + BC 2 = 2 2 2 2 b) Diện tích mặt cầu: S = 4π r2 = 50π a2 4 125a3 2 Thể tích của khối cầu tương ứng: V = π r3 = 3 3 BÀI TẬP Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ tất cả các cạnh đều bằng a. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng Bài 2. Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Dựng mp(P) qua A và vuơng gĩc với SC. Mặt phẳng (P) cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. a) CMR: 7 điểm A, B, C, D, A’, B’ C’, D’ luơn nằm trên một mặt cầu b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo thành. Bài 3. Cho hình chĩp tam giác đều SABC cĩ cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy một gĩc bằng 600. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng. Bài 4. Cho hình chĩp SABC cĩ SA = SB = SC = a và cĩ chiều cao h. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ. b) Tính diện tích mặt cầu đĩ. GV: Phạm Sơn Hà Trang 20