Bài giảng học phần xác xuất thống kê - Chương 2: Biến ngẫu nhiên và luật phân phối

Nội dung text: Bài giảng học phần xác xuất thống kê - Chương 2: Biến ngẫu nhiên và luật phân phối

1. Chương 2 2.1 Biến ngẫu nhiên (bnn) 2.1.1 Định nghĩa: Cho tnnn T , cĩ khơng gian xác suất Ω.Ngườitagọibiếnngẫu nhiên là X ánh xạ từΩ→ . BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT -Nếutập giá trị X(Ω)củaXlàhữuhạnhayvơ PHÂN PHỐI hạn đém đuợc thì X đượcgọilàbiếnngẫunhiên rờirạc. -Nếutập giá trị X(Ω)củaXlà hay một khoảng [a, b] của  thì X đượcgọilàbiếnngẫu nhiên liên tục. NỘI DUNG CHƯƠNG 2.1 Biến ngẫu nhiên 2.1 Mởđầubiếnngẫu nhiên Ví dụ 2.1.1a Tung 2 đồng xu cân đối đồng chất. 2.2 Biếnngẫu nhiên rờirạcvàluật phân phối Nếucĩ1mặtHthìtathắng 2 đồng và ta thua 1 2.3 Biếnngẫu nhiên liên tụcvàluật phân phối đồng khi cĩ 1 mặtS.GọiXlàsố tiềnnhận được. Khi đĩ: Ω={SH, HS, HH, SS} và X(SH)=1, X(HS)=1, X(HH)=4 và X(SS) = -2, i.e., X cĩ 3 giá trị là: -2, 1, 4. ThS Lê Văn Minh 1
2. 2.1 Biến ngẫu nhiên 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc(bnnrr) SS 2 X :   ,Xccc ( ) { , , , } 12 r SH 1 Hay X : 2.2.1 Dãy ppxs: Cho bnnrr X(Ω)={c1, ,cr}. HS 1 Ngườitagọi dãy ppxs của bnnrr X là dãy cĩ dạng HH 4 sau: Xc c . c Ví dụ 2.1.1b Chọnngẫu nhiên mộthợpchất hĩa 1 2 r (2.2.1) p p p p họcvàđo độ pH X của nĩ. k 1 2 . r Khi đĩ: X là bnnlt vì mọipHđềunằm [0,14] trong đĩ: pk=P(X=ck) 2.1 Biến ngẫu nhiên 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc 2.1.2 Hàm phân phối xác suất 2.2.2 Kỳ vọng củabnnrr: Cho bnnrr X cĩ dãy ppxs Định nghĩa: Cho biến ngẫu nhiên X. Người ta gọi như trên. Ngườitagọikỳ vọng của bnnrr X là giá trị hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là trung bình đượcxácđịnh bởi r hàm F được xác định bởi: EX c p c p  c p c p 11 2 2 rr kk (2.2.2) k 1 Fx( ) PX ( x ), x  (2.1.1) Ví dụ 2.2.1. Gọi tnnn T là tung đồng xu cân bằng mộtlần. GọiXlàsố lần đượcmặt H trong mộtlần tung. a) Hãy lập dãy ppxs củaX.b)Tínhkỳ vọng củaX 2
3. 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc Giải 2.2.3 Phương sai của bnnrr: Cho bnnrr X cĩ dãy a) Gọi: X = ”Số lần đượcmặt H trong 1 lần ppxs như 2.2.1 và kỳ vọng EX . Phương sai của tung”. Thì X là bnnrr và chỉ nhậnmột trong hai bnnrr X là sốđo độ phân tán xung quanh kỳ vọng giá trị là 0 và 1. X = 0,1. và đượcxácđịnh bởi Bảng ppxs của tnnn: 22 2 2 VarX cp11 cp 22  cprr ( EX ) (2.2.3) TSH Ví dụ 2.2.2: Giả thiếtnhư Ví dụ 2.2.2a). Tìm phương sai củaX. pk 1/2 1/2 2 22 21111 2 VarX cp11   cp 22 01 2224 ThS Lê Văn Minh 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc Ta cĩ: p =P(X=0) = P(S) =1/2 Ví dụ 2.2.3: Cĩ2kiện hàng. Kiện1cĩ3sptốtvà 1 2spxấu. Kiện2cĩ2sptốtvà3spxấu. Lấynntừ p =P(X=1) = P(H) =1/2 2 kiện1ra2spvàtừ kiện2ra1sp.Luật ppxs củasp Dãy ppxs của bnnrr X: tốttrong3splấyra. X01 Giải p 1/2 1/2 k GọiAi=“lấy đượcisptốttừ kiện 1”, i=0,1,2. b) Kỳ vọng EX = c p +c p = 0.1/2 + 1 1 2 2 Bi=“lấy đượcisptốttừ kiện 2”, i=0,1. 1.1/2=1/2 X=“Số sp tốttrong3splấyra” 3
4. 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc Ý nghĩa của kỳ vọng và phương sai Ta thấy X là bnnrr, X=0,1,2,3 2 1 .Kỳ vọng là số trung bình theo xác suấtcủatấtcả C2 C3 PX( 0)()().() PAB00 PA 0 PB 0 21  0,06 các giá trị cĩ thể củabiếnngẫu nhiên. CC55 .Giá trị củaphương sai biểuthịđộtập trung hay P(1)(X P AB10  AB 01 )( P AB 10 )( P AB 01 ) CC11. C 1 CC21 phân tán của các giá trị biếnngẫu nhiên xung   32 3 220, 4 2121 quanh giá trị trung bình của nĩ. NếuVarXlớnthì CCCC5555 các giá trị của X phân tán nhiều. NếuVarX nhỏ thì PX(2)( PAB11  AB 2 0 )0,42 các giá trị củaXtập trung gần giá trị trung bình. PX(3)()0,12 PAB21 X0123 Dãy ppxs củaX: πi 0,06 0,4 0,42 0,12 2.2.4 Tính chất kỳ vọng và phương sai Ý nghĩa của kỳ vọng và phương sai Định lý 2.2.1: Cho X, Y là các bnn. Khi đĩ: - Trong Cơng nghiệp, nếu X là kích cỡ nào đĩ 1. EC C , C const thì VarX biểuthịđộchính xác ứng vớikíchcỡ 2. ECX ( ) CEXC . , const đĩcủasảnphẩm. 3. EX ( Y ) EX ( ) EY ( ) - Trong chăn nuơi, vớiXlàmức độ tăng trưởng 4. XY EXEY ( ) ( ) (2.2.4) thìVarX thể hiện độ tăng trưởng đồng đềucủa 5. VarC 0, C const lồi. 6. Var ( C X ) VarX , C const - Trong trồng trọt, nếuXlànăng suấtthìVarX 7. Var ( CX ) C2 VarX , C const biểuthị mức độ ổn định năng suất. 4
5. 2.2.5 Biến ngẫu nhiên nhị thức 2.2.5 Biến ngẫu nhiên nhị thức Định lý 2.2.2: Cho X~b(n; p). Khi đĩ: Cho tnnn T. Gọi ω1=“thành cơng”, ω2=“thấtbại”. p=P(ω1),q=P(ω2)=1- p. EX np; Var X npq ,( q 1 p ) (2.2.5) Thí nghiệmnàygọilàphép thử Bernoulli. Ví dụ 2.2.5: Cho một thùng đựng 16 trái táo, Định nghĩa: Xét phép thử Bernoulli, và thựchiện trong đĩcĩ4tráitáotốtvà12táohư. Rút ngẫu lại phép thử n lần độclập. ĐặtX=“số lần thành nhiên lầnlượt 25 trái táo (rút cĩ hồn lại). cơng trong n thí nghiệm”. Ngườitagọi X là bnn a) Tìm xác suất để rút đúng mộttráitáotốt nhị thứcvàkíhiệu: X~b(n;p). b) Tìm xác suất để rút khơng quá 7 trái táo tốt. ThS Lê Văn Minh 2.2.3 Biến ngẫu nhiên nhị thức 2.2.5 Biến ngẫu nhiên nhị thức Ví dụ 2.2.4 Gọi ω1=“trai”, ω2=“gái”. Giải X=“số lầnsinhtraitrongnlần sinh”. Đặt ω1=“táo tốt”, ω2=“táo hư”. X =“Số lầnrút đượctáotốt trong 25 lần rút”. Ta cĩ: Ta cĩ: p =P(ω1)=1/2. q = P(ω2)=1-1/2 =1/2. →X~b(n;1/2) 41 123 PP()12 ;() Định nghĩa: Cho X~b(n;p). Khi đĩ 16 4 16 4 Dorútcĩhồnlại và các lầnrútđộclậpnên kknk kn PX( k ) Cpq , k 0, , n (2.2.4) X~b(25;1/4). 5
6. 2.2.5 Biến ngẫu nhiên nhị thức 2.2.6 Biến ngẫu nhiên cĩ phân phối Poisson a) Gọi A=“Rút được đúng 1 trái táo tốt”={X=1}. Ví dụ 2.2.6: Xét số người đếnsiêuthị trong 1 25 1 24 tháng. GọiX=“Số người đếnsiêuthị trong 1 1 13 25!1 3 PA() PX ( 1) C25  0,006 44 24!4 4 ngày” b) Gọi B=“Rút được ≤ 7 trái táo tốt” Ta thấy X=0,1,2 . Ta khơng đốn biết chính xác ={X ≤ 7} = {X=0}U{x=1}U U{x=7} một ngày nào đĩ cĩ bao nhiêu người đến. Nhưng ta Vì các biến cố xung khắc nên: biết đượcsố ngườiTBđếnsiêuthị trong 1 ngày, chẳng hạn: λ=100 PB()(0)(1)(7) PX PX PX 025 24 718 Khi đĩ: X~P0(100). 01 13 13 7 13 CC25 25  C 25 0,7 44 44 44 2.2.6 Biến ngẫu nhiên cĩ phân phối Poisson 2.2.6 Biến ngẫu nhiên cĩ phân phối Poisson Định nghĩa 2.2.3: Biến ngẫu nhiên rời rạc X, nhận Định lý 2.2.4a: Cho X~P0(λ), (λ > 0). Khi đĩ: các giá trị X =0, 1, 2, ,n, với xác suất như sau EXX  ; Var  (2.2.7) e   k PX( k ) , k 0,1,2, ; 0 (2.2.6) k! Định lý 2.2.4b: ChoXlàbnnnhị thức, X~b(n;p). được gọi là bnn cĩ phân phối Poisson, kí hiệu: Giả sử n lớnvànp = λ.Khiđĩ: X là biếnngẫu X~P0(λ). nhiên cĩ phân phối Poisson vớithamsố λ , i.e., X~P0(λ). Chú ý: Nên dùng đlý khi n≥100, p≤0,01, np≤20 6
7. 2.2.6 Biến ngẫu nhiên cĩ phân phối Poisson 2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội Ví dụ 2.2.7 Trong mộtlơthuốc, tỷ lệ thuốchỏng Ví dụ 2.2.8 Ngườitachọnmộthội đồng chấmthi p =0,003. Kiểm tra 1000 ống. Tính xác suất để gồm3ngườitừ 5 nhà Vật lý và 4 nhà Tốn học. gặp3ống bị hỏng. Hãy tìm xác suất để cĩ đúng một nhà Tốn học Giải trong hội đồng này? GọiXsốống thuốchỏng trong 1000 ống ktra. Giải Đây là phép thử Benoulli với p=0,003; n=1000. ĐặtX=“Số nhà Tốn học trong hội đồng được XH (9;4;3), N 9, M 4, n 3 X~b(1000; 0,003).Khi đĩ: X~P0(3) chọnra“,thì  333ee  3 PX( 3) 0,224 3! 3! ThS Lê Văn Minh 2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội 2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội Định nghĩa: Cho tậphợpcĩNphầntử, trong đĩcĩ A=“Cĩ đúng 1 nhà Tốn học trong HĐ”={X=1}. Mphầntử loạiA.Lấyngẫu nhiên từ tậpnàyn CC12 10 PA() PX { 1}45 048 phầntử (lấy khơng hồn lại). ĐặtX=“Số phầntử 3 C9 21 loại A trong n phầntử lấyra”.NgườitagọiXlà biếnngẫu nhiên siêu bội, kí hiệu: X~H(N;M,n) và Định lý 2.2.5a: Cho X~H(N; M; n). Khi đĩ: MMMNn knk EX  n ; VarX  n 1 (2.2.8) CCMNM NNNN 1 PX { k }n , k 0,1, , n (2.2.8) CN 7
8. 2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội 2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội Định lý 2.2.5b: Cho X~H(N; M; n). Nếu N lớn và Cách khác: Vì N=5000 rất lớn và n=10<< N và n << N thì X là bnn nhị thức, i.e., X~b(n;p). Với X~H(5000; 1000; 10) nên X~b(10; 1/5). Do đĩ p=M/N. 37 Ví dụ 2.2.9: Một Cơng ty xuấtnhậpkhẩu, nhập 3 11 PA() C10 1 0,2. 5000 thùng hĩa chất trong đĩ cĩ 1000 thùng kém 55 chấtlượng. Cơng ty này cĩ một xí nghiệpnhận10 thùng hĩa chất. Hãy tìm xác suất để trong 10 thùng này cĩ đúng 3 thùng kém chấtlượng? 2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội 2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục Giải Định nghĩa 2.3.1a: Cho thí nghiệmngẫu nhiên T cĩ GọiX=”Số thùng kém chấtlượng trong 10 thùng kgxs Ω.Ngườitagọi ánh xạ X: Ω→  là bnnlt nếu hĩa chất mà xí nghiệp đãnhận” tập giá trị X(Ω) trùng với  hoặcmột khoảng (a,b) trong . XHNMnH~ ( ; ; ) (5000;1000;10) GọiA=”Cĩđúng 3 thùng kém chấtlượng trong 10 Định nghĩa 2.3.1b: Cho tnnn T cĩ kgxs Ω. thùng” .Ngườitagọi hàm ppxs của bnnlt X là hàm số CC37 F(x) đượcxácđịnh bởi PA() PX { 3}1000 4000 0.2 C10 5000 Fx( ) PX {  x }, x  (2.3.1) ThS Lê Văn Minh 8
9. 2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục 2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục .Ngườitagọihàmmật độ xác suấtcủa bnnlt X là Định lý 2.3.1 (tt) hàm số fx()  0, x  vi) f () x F (), xtại x là điểm liên tục của f () x sao cho: n x vii) f ( x ) dx 1 , 1  k Fx( ) ftdt ( ) (2.3.2) k 1 b viii) f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) a 2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục Ý nghĩa hình học của hàm mđxs Định lý 2.3.1: Cho bnnlt X, cĩ hàm ppxs F(x)và Xác suất để bnn X cĩ giá trị trong khoảng (x ,x ) là hàm mđxs f(x).Khiđĩ 1 2 diện tích giới hạn bởi: f(x), x=x1, x=x2 và Ox iFxx) 0  ( ) 1, ii) Nếu ab thì FaFb ( ) ( ) f(x) x2 P()()xXx fxdx iii) P { a X b } F ( b ) F ( a ) (2.3.3) 12 x1 iv) lim Fx ( ) 0; lim Fx ( ) 1 xx x x x vPXC) { } 0, C const 1 2 ThS Lê Văn Minh 9
10. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục . Kỳ vọng . Phương sai Định nghĩa 2.3.2a: Cho bnnlt X, cĩ hàm ppxs F(x) Định nghĩa 2.3.2b: Cho bnnlt X cĩ hàm ppxs F(x), và hàm mđxs f(x).Nguờitagọikỳ vọng của bnnlt hàm mđxs f(x),kỳ vọng E(X). Ngườitagọi X là giá trị trung bình theo xác suấtxácđịnh bởi: phương sai của bnnlt X là sốđo độ phân tán xung quanh giá trị kỳ vọng và đượcxácđịnh bởi EX( ) xdFx ( )= xfxdx ( ) (2.3.4) VarX E() X EX 2 (xEXdFx )22 ( ) = ( xEXfxdx ) ( ) (2.3.5) Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục .Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên g(X) hay 2 EgX( ) gxfxdx ( ) ( ) (2.3.4) 222 VarX EX() EX x f () x dx xf () x dx (2.3.5) .Trường hợp g(X) = X2 thì Độ lệch chuẩn:  VarX EX22 x f( x ) dx (2.3.4) X 10
11. 2.3.1 Biến ngẫu nhiên liên tục cĩ pp đều 2.3.2 Biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn .Biếnngẫu nhiên liên tụcXđượcgọilàbnnltcĩ Định nghĩa: Biếnngẫu nhiên liên tụcXđượcgọilà phân phối đều trên [a, b] nếuhàmmđxs củaXcĩ bnnlt cĩ phân phốichuẩnvới hai tham sốμvà dạng σ2>0, ký hiệu: X~N(μ,σ2)nếuXcĩhàmmật độ 1 nếu x [,]ab ()x  2 fx() ba 1 2 2 fx()  e ,( x  ) 0 nếu x [ab , ]  2 ThS Lê Văn Minh 2.3.1 Biến ngẫu nhiên liên tục cĩ pp đều 2.3.2 Biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn Định lý 2.3.1b: Cho X là bnnlt cĩ phân cĩ phân Đồ thị hàm mật độ của bnn cĩ pp chuẩn phối đều trên [a,b] . Khi đĩ ab () ab2 EX , VarX (2.3.6) 212 μ = 4 và σ2 =9 11
12. 2.3.2 Biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn 2.3.2 Biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn Định lý 2.3.2a: Cho X~N(μ,σ2). Khi đĩ Định lý 2.3.2c: Cho Z ~N(0, 1), cĩ hàm pp chuẩn tắc Ф(x). Khi đĩ: 2 EX , Var X (2.3.7) iPaZb) {   } ( b ) ( a ) (2.3.8) Định lý 2.3.2b: Cho X~N(μ,σ2) và Y =aX +b, (a, b ii)  ( x ) 1  ( x ) =const). Khi đĩ: trong đĩ: giá trị Ф(x) tra bảng pp chuẩn tắc. YNaba~( ;22 ) 2.3.2 Biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn 2.3.2 Biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn Cho X~N(μ,σ2). Người ta gọi biến ngẫu nhiên Ví dụ 2.3.2a: Cho Z~N(0, 1). Tính PZ 1/2 1 X  Z là bnn chuẩn tắc, ký hiệu: Z~N(0,1) Giải  .Hàm mật độ của bnn chuẩn tắc: PZ    1/2 1 (1) ( 1/2) (1) [1 (1/2)] x2 (1)  (1 / 2) 1 1 ()x e 2 0,8413 0,6914 1 0,532 2 Định lý 2.3.2d: Cho X~N(μ,σ2). Khi đĩ .Hàm pp chuẩn tắc: c  iPXc) {  } xxt2  1 2  ()x  ()tdt e dt ba  2 ii) P  a  X b  (2.3.9)  12
13. 2.3.2 Biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn 2.3.2 Biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn Ví dụ 2.3.2b: Cho X~N(-2, 9). Tính P(X ≤ 1) và Hệ quả 1: P(-8 ≤ X ≤ 1). Xnp Pa    b( b ) ( a ) (2.3.11) Giải  npq 1(2) Hệ quả 2:  PX {1}   (1)0,841 x2 3 k 112 knp PX{ k }  e , xk , k 0,1,2, 1 ( 2) 8 ( 2) npq2 npq  PX {8 1}     (1) (2) 33 (2.3.12) (1) [1  (2)]  (1)  (2) 1 0,841 0,977 1 0,818 2.3.2 Biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn 2.3.2 Biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn Định lý 2.3.2e: (Định lý giá trị trung tâm dạng De Ví dụ 2.3.2c Trong mộtthítrấn cĩ 40% số dân là Moire - Laplace) nghiệnthuốclá.Chọn 300 ngườidânđể phỏng vấn Cho X là bnn nhị thứcX~b(n;p)vàZlàbnnchuẩn (chọnmột cách độclập). Hãy tìm xác suất để: tắc Z~N(0;1). Khi đĩ: a) Cĩ khơng quá 140 người nghiệnthuốclá b) Số người nghiệnthuốclánằm trong khoảng từ Xnp limPxx   ( ) (2.3.10) 100 đến 140 người n  npq Giải 13
14. 2.3.2 Biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn 2.3.2 Biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn Khi đĩ: PB( ) P {100 X 140} Gọi ω1=“nghiện”, ω2=“khơng nghiện” 100 120X 120 140 120 →p=P(ω1)=4/10, q=P(ω2)=1-p=6/10. P  8,5 8,5 8,5 GọiX=“Số người nghiện trong 300 người được  X 120  phỏng vấn”.Dosố lần thí nghiệplàđộclậpnên P 2,35 2,35 8,5 X~b(300;4/10).   (2,35)  ( 2,35) a) 2 (2,35) 1 2.0,9906 1 0,9812 Đặt A=“Khơng quá 40 người nghiện”={X≤40} 2.3.2 Biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn 2.3.3 Luật phân phối Chi bình phương Xnp 140 np Khi đĩ PA() PX { 140} P  Cho X ~N(0;1), i=1, ,n và các X là các bnn độc npq npq i i  lập. n X 120 2  P 2,35 (2,35) 0,9906 Đặt: Z X 8,5  i  i 1 b) GọiB=“Số người nghiệntừ 100 đến 140 khi đĩngười ta nĩi Z tuân theo luật pp chi bình người”. phương vớinbậctự do. Kí kiệu: Z ~ χ2(n) 14
15. 2.3.3 Luật phân phối chi bình phương 2.3.4 Luật phân phối Student Hàm mật độ xs của bbnn chi bình phương Tính chất: nx 1 Cho T~t(n). Khi đĩ 22 fx() Cx. e , x 0 n E(TT ) 0, Var 0 , x 0 n 2 với 1 Cxedx  ; ( ) 1 x , ( 0) n/2 (/2).2n 0 Tính chất: NếuZ~χ2(n) thì EZ=n và VarZ =2n ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 2.3.4 Luật phân phối Student .Cho 2 bnn độc lập X~N(0,1) và Y~ χ2(n). Đặt X T Yn/ Khi đĩ ta nĩi T tuân theo luật pp Student với n bậc tự do và kí hiệu: T~t(n). .Hàm mật độ xs của bnn Student: n 1 n 1 2 2  x 2 fx() C 1 với C n nn (/2) 15