Bài giảng học phần xác xuất thống kê - Chương 5: Lý thuyết ước lượng

pdf 7 trang huongle 4130
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng học phần xác xuất thống kê - Chương 5: Lý thuyết ước lượng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_hoc_phan_xac_xuat_thong_ke_chuong_5_ly_thuyet_uoc.pdf

Nội dung text: Bài giảng học phần xác xuất thống kê - Chương 5: Lý thuyết ước lượng

  1. 3 Chương 5 5.1 Ước lượng điểm. Ước lượng khoảng Giả sử ta biếtX~N(,2), nhưng2thamsố  và 2 chưabiết. Do đó ta không biết chính xác luật phân phốicủaX.Thường ký hiệuhàmphânphối LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG xác suất có thêm tham số chưaxácđịnh, chẳng hạn: F(x). Bài toán tìm cách xác định giá trị củathamsố chưabiếtnàydựatrênmẫugọi là bài toán ước lượng. Có hai loại bài toán ướclượng là: - Ướclượng điểm - Ướclượng khoảng 1 2 4 NỘI DUNG CHƯƠNG 5.1 Ước lượng điểm. Ước lượng khoảng 5.1 Ướclượng điểm. Ướclượng khoảng 5.1.1 Ướclượng điểm 5.2 Khoảng tin cậychokỳ vọng Cho bnn X, có hàm ppxs F(x),  là tham số và mẫungẫu nhiên từ XlàWXX ( , , ) .Ngườitagọi 5.3 Khoảng tin cậy cho phương sai X 1 n ướclượng điểmcủathamsố  là hàm nhiềubiến 5.4 Khoảng tin cậychotỷ lệ theo Xi,k/h: ˆˆ  (XX1 , ,n ) (5.1.1) Ướclượng không chệch: ˆ đượcgọilàướclượng không chệch của  nếu E(ˆ ) ThS Lê Văn Minh 1
  2. 5 7 5.1 Ước lượng điểm. Ước lượng khoảng 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 5.1.1 Ướclượng điểm Giả sử X~N(, 2),  và 2 chưabiết. Dựavào Ví dụ 5.1.1 Cho bnn X có EX=,  là tham số. mẫuWX=(X1, ,Xn)lấytừ X, cần tìm hai đạilượng Cho WX=(X1, ,Xn)làmẫungẫu nhiên từ Xvàđặt 1(X1, ,Xn)và2(X1, ,Xn) sao cho: ˆ X.CMRX làướclượng không chệch của . P(12 ) 1 (5.2.1) Giải i) Trường hợpn 30, 2 chưabiết 11nn Ta có: E()ˆ EX E X E X ()Xn  ii Xét thông kê:ZN ~(0,1) nnii 11 sˆ 11n Dựavàoluậtppđãbiếtcủa Z ta tìm đượczsao   EXi () n (dpcm) nni 1 cho: PZ(| | z ) 1 Do Z có pp chuẩntắc, nên PZ(| | z ) 1 ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 6 8 5.1 Ước lượng điểm. Ước lượng khoảng 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 5.1.2 Ướclượng khoảng    ()zz ( ) 1 2 () z 1 1 Cho bnn X, có hàm ppxs F (x),  là tham số và  (z ) 1 (5.2.2) W =(X , ,X ). Ngườitagọi khoảng tin cậycủa 2 X 1 n tham số  với độ tin cậy1- là một khoảng có 2 đầu Đặt z là phân vị mức1 của luật pp chuẩn tắc, 1 2 2 mút là 2 bnn 1= 1(X1, ,Xn)và2= 2(X1, ,Xn)sao tức là (z ) 1 cho: 1 2 P{ } 1 (5.1.2) 2 12 thay vào (5.2.1) ta có khoảng tin cậy cho kỳ vọng : Bài toán tìm khoảng tin cậycủathamsố  gọilà ssˆˆ Xz    Xz (5.2.3) bài toán ướclượng khoảng. Số gọilàmức ý nghĩa. 11 22nn ThS Lê Văn Minh 2
  3. 9 11 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng ii) Trường hợp n 30, 2 đã biết Ví dụ 5.2.1. GọiX(m)làchiều cao củanhững nam Thay sˆ trong (5.2.3) bởi : sinh viên tạimộttrường đạihọc. Biếtrằng XN~(,)  2   Chọnngẫu nhiên 10 sinh viên củatrường đochiều Xz    Xz (5.2.3) 11 22nn cao được: iii) Trường hợp n<30, 2 chưa biết ()Xn  Xét thống kê Ytn ~( 1) sˆ Tương tự như trên ta có khoảng tin cậycho: Hãy ướclượng chiều cao trung bình củanamsinh ssˆˆ viên trường nay với độ tin cậy 95%. Xc    Xc (5.2.4) 1,1 nn 1,1 22nn Giải ThS Lê Văn Minh 10 12 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng iv) Trường hợp n<30, 2 đã biết Ta cóXN~(,)2  EX là chiều cao trung bình. Thay sˆ trong (5.2.4) bởi : Do đóbàitoánướclượng chiều cao trung bình là   bài toán tìm khoảng tin cậycho. Xc    Xc (5.2.4) 1,1 nn 1,1 22nn + n =10<30 nên khoảng tin cậycódạng: sˆˆs Xc    Xc 1,1 nn 1,1 Trong đó: c là phân vị mức 1 của luật phân 22nn 1,1 n 2 2 phối Student với n-1 bậc tự do. Theo đề:10,950,05 và cc 0,975;9 2,262 1,1 n 2 ThS Lê Văn Minh 3
  4. 13 15 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng Từ bảng số liệu, ta có Thay số ta được: 3,96  4,039 1 10 XX 1, 71 (m)  i Vậynăng suất trung bình của đia phương này đạt 10 i 1 10 2221 29,3078 2 từ 3,96 (tấn/ha) đến 4,039 (tấn/ha) với độ tin cậy sXX  i ( ) 1,71 0,00668 10i 1 10 95%. 10 ssˆˆ22 0,007422 s 0,007422 0,0862 9 Độ chính xác của ước lượng khi ước lượng kỳ vọng Thay số liệu: 2,262.0,0862 2,262.0,0862 Độ chính xác của ước lượng X cho tham số EX 1, 71  1, 71 10 10 với độ tin cậy 1- là số >0 sao cho: hay 1,648 (m)  1,772(m) Vậy chiều cao trung bình của nam sinh viên trường PX(|  | ) 1 (5.2.5) này từ 1,48 m đến 1,772 m ( độ tin cậy 95%) ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 14 16 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng Ví dụ 5.2.2 Điềutranăng suất lúa X trên 144 ha Độ chính xác của ước lượng khi ước lượng kỳ vọng trồng lúa, tính được:X 4 (tấn/ha),sˆ 0,02 (tấn/ha). + Trường hợp 2 chưa biết: 2 BiếtrằngXN~(,)  . Hãy tìm khoảng tin cậy 95% sˆ  z (5.2.6) cho năng suất lúa trung bình? 1 2 n Giải + Trường hợp 2 đã biết Khoảng tin cậy cho nằng suất lúa tb EX dạng: ssˆˆ  Xz    Xz , ( n 144 30) 11  z (5.2.6) 22nn 1 2 n Đề cho1 0,95 0,05. zz1 / 2 0,975 1,96 4
  5. 17 19 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 5.3 Khoảng tin cậy cho phương sai Trường hợp bài toán cho độ chính xác  và độ tin Ví dụ 5.3.1 GọiX(mm)làđường kính mộtloạichi cậy 1- tìm cỡ mẫu: tiếtmáy.Biếtrằng X~N(,2). Đo25chitiếtmáyta Từ (5.2.6) và (5.2.6)’ ta tính được: có bảng số liệusau: + Khi 2 chưa biết thì cỡ mẫu n được xác định: X5678910 2 n 2510341 sˆ i nz (5.2.7) 1 Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho phương sai củaX. 2  Giải 2 + Khi  đã biết thì cỡ mẫu n được xác định: 2 2 2 Ta có X~N(, ) var(X)= .Khoảng tin cậycủa  2 nz (5.2.7)  có dạng (5.3.1). 1 2  ThS Lê Văn Minh 18 20 5.3 Khoảng tin cậy cho phương sai 5.3 Khoảng tin cậy cho phương sai Định lý: ChoXN~(,),  22 (,  chưabiết) và mẫu Từ bảng số liệu, tính được: (n=25) 7 WXX ( , , ) 11 ngẫu nhiênX 1 n . Khi đó khoảng tin cậycho Xnx   ii 180 7,2 (mm) n i 1 25 phương sai có dạng: 7 22211 2 22 s  nx ( X ) 1336 (7,2) 1,6 (1)ns ˆˆ (1) ns  ii  2 (5.3.1) n i 1 25 cc 22n 25 1,1 nn ,1 ssˆ  1, 6 1, 667 22 n 124 2 Trường hợp  đãbiết, thì khoảng tin cậycủa  : Đề cho 10,950,05 nn 22 ()XX  () cc 0,975;2439,4 ; cc 0,025;24 12,4 ii 1,1 nn ,1 ii 11  2 (5.3.2) 22 cc 1, nn , 22 ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 5
  6. 21 23 5.3 Khoảng tin cậy cho phương sai 5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ Thay số ta được: Tạisaonhư vậy, có rất nhiềulýdonhư:tínhkịp (25 1).1,667 (25 1).1,667 thời, kinh phí và nhất là phá vở tính tổng thể,  2 39,4 12,4 Như vậytasẽướclượng tỷ lệ pnhư thế nào? 1,02  2 3,23 Định lý: Cho X~b(n;p), p là tỷ lệ chưabiết. Khi đó Vậyphương sai củaXđạttừ 1,02 đến 3,23 (với độ khoảng tin cậychopvới độ tin cậycód1 ạng: tin cậy 95%). ppˆˆ(1 )pp ˆˆ (1 ) pzˆˆ p pz (5.4.1) 11 22nn trong đó:pˆ là ướclượng điểmcủap(tỷ lệ mẫu). z 1 phân vị mức1- /2 củaluậtppchuẩn 2 22 24 5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ 5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ Ví dụ 5.4.1 Trong mộtlớphọc XSTK có 100 sinh Ví dụ 5.4.2 Tiếnhànhđiềutravề việcsử dụng sữa viên. Sau buổibầubíthưđoàn, số phiếubầucho bộtcủa 100 gia đình đượcchọnngẫu nhiên từ một sinh viên A là 40 phiếu. địaphươngthìcó50giađình sử dụng. Hãy ước m 40 Tỷ lệ bầu cho sinh viên A là:p 0,4 lượng tỷ lệ sử dụng sữabộtcủa đạiphương này với N 100 Ngườitachọnngẫu nhiên 80 phiếuvàđặtX=“số độ tin cậy 95%. phiếubầu cho sinh viên A” thì X~b(100; 0,4). Giải Nhậnxét:Ở ví dụ trên thì tỷ lệ ptrêntổng thểđã Gọiplàtỷ lệ sử dụng sữabộtcủa đia phương nay. biết, nên sẽ xác định luậtppcủa bnn X. Nhưng Khi đó khoảng tin cậychopcódạng (5.4.1). X 50 trong thựctế thì tỷ lệ ptrêntổng thể thường không +Tỷ lệ mẫu: pˆ 0,5 biếtmàchỉ biếttỷ lệpˆ trên mẫu. n 100 ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 6
  7. 25 5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ Đề cho 1 0,95 0,5 zz 0,975 1, 96 1 2 Thay giá trị vào (5.4.1), ta được: 0,5(1 0,5) 0,5(1 0,5) 0,5 1,96.p 0,5 1,96. 100 100 hay 0,402 p 0,598 Vậy tỷ lệ sử dụng sữa bột của đại phương này là từ 40,2% đến 59,8% ( độ tin cậy 95%). 26 5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ Độ chính xác  và cỡ mẫu n khi ước lượng tỷ lệ: ppˆˆ(1 )  z (5.4.2) 1 2 n 2 ppˆˆ(1 ) nz (5.4.3) 1 2  ThS Lê Văn Minh 7