Bài giảng Khảo sát hàm y=f(x)

Nội dung text: Bài giảng Khảo sát hàm y=f(x)

1. Khảo sát hàm y=f(x) Các bước khảo sát và dựng đồ thị hàm y=f(x) 1. Tìm MXĐ, tính chẵn, lẻ, chu kỳ tuần hoàn (nếu có) 2. Tìm tiệm cận 3. Tìm cực trị, khoảng tăng giảm, tiệm cận đặc biệt 4. Tìm khỏang lồi, lõm và điểm uốn (nếu cần) 5. Lập bảng biến thiên 6. Dựng đồ thị
2. Khảo sát hàm y=f(x) 1.Tìm MXĐ, hàm chẵn lẻ, tính tuần hoàn Hàm chẵn nếu f(x) = f(-x), khi đó đồ thị hàm nhận trục Oy là trục đối xứng Hàm lẻ nếu f(x) = -f(-x), khi đó đồ thị nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng Hàm tuần hoàn nếu tồn tại hằng số T sao cho f(x) = f(x+T). Hằng số T>0 được gọi là chu kỳ tuần hoàn của hàm f(x) nếu T là số dương nhỏ nhất thỏa f(x)=f(x+T) và khi đó ta chỉ phải khảo sát hàm trong 1 chu kỳ
3. Khảo sát hàm y=f(x) 2. Tìm tiệm cận Với x0 là điểm không thuộc MXĐ của hàm, nếu: limfx ( ) = thì hàm có TCĐ x = x0 xx→ 0 Nếu limf ( x ) = y0 Thì hàm có TCN y = y0 x→ limfx ( ) = x→ Nếu fx() Thì hàm có TCX y = ax+b lim = a x→ x lim f ( x ) −= ax b x→
4. Khảo sát hàm y=f(x) 2x Ví dụ: Tìm tiệm cận của hàm y = xx2 −+56 MXĐ : R\{2, 3} 2x lim fx( ) = lim = Hàm có TCĐ: x = 2 x→2 x→2 xx2 −+5 6 2x limf (x) = lim = Hàm có TCĐ: x = 3 x→3 x→2 x2 −+5x 6 2x limfx ( )0= lim = Hàm có TCN: y = 0 x→ x→ x2 − 56x +
5. 2x y = xx5 −+56 x=3 x=2 y=0
6. Khảo sát hàm y=f(x) 2 Ví dụ:dụ: Tìm tiệm cận của hàm y=+ xe x 1 MXĐ: R\{0} 2 2 2 2 − e x e x 2 lim y = lim xe x +1 =+1 lim =+1 lim x x→0+ x→0+ x→0+ 1 x→0+ 1 − 2 2 x x =+1 lim 2e x = Hàm có TCĐ x = 0 x→0+ 2 lim y = lim xe x +1 =1 Hàm không có TC x→0− x→0− 2 lim y = lim xe x +1 = x→ x→
7. Khảo sát hàm y=f(x) 2 lim y = lim xe x +1 = x→ x→ 2 2 y xe x +1 1 lim = lim =+lim e x =1 x→ x x→ x x→ x 2 2 lim (y − x ) = lim (xe x +1− x) =1 + limxe x − 1 x→ x→ x→ 2 =1+ limx . = 3 Hàm có TCX y = x+3 x→ x Vậy hàm đã cho có 1 TCĐ x = 0 và 1 TCX y = x+3
8. 2 y=+ xe x 1
9. Khảo sát hàm y=f(x) 3. Tìm khỏang tăng giảm, cực trị : Tính đạo hàm cấp 1 và giải phương trình y’ = 0 Nếu y’>0 trong (a,b) thì hàm tăng trong (a,b) Nếu y’<0 trong (a,b) thì hàm giảm trong (a,b) Nếu y’=0 hoặc không tồn tại y’ tại x=x0 và y’ đổi dấu khi đi qua x=x0 thì hàm đạt cực trị tại x=x0
10. Khảo sát hàm y=f(x) Ví dụ: Tìm cực trị của hàm y=|x|(x+2) 2xx+ 2, 0 x( x+ 2), x 0 y = y = −2x − 2,x 0 yx =01 = − −x( x + 2), x 0 ,0x = Như vậy, ta có 2 điểm nghi ngờ hàm đạt cực trị là x = 0 và x = -1 Để xác định cực trị, khỏang tăng giảm, ta lập 1 bảng biến thiên Vậy hàm có 2 x − -1 0 + cực trị : y’ + - 0 + y =y(-1)=1, y 1 cđ 0 yct=y(0)=0
11. y=+ x( x 2)
12. Khảo sát hàm y=f(x) 4. Tìm khỏang lồi lõm, điểm uốn Tính đạo hàm cấp 2 và giải phương trình y” = 0 Nếu y”>0 trong (a,b) thì hàm lõm trong (a,b) Nếu y”<0 trong (a,b) thì hàm lồi trong (a,b) Nếu y”=0 hoặc không tồn tại y” tại x=x0 và y” đổi dấu khi đi qua x=x0 thì hàm có điểm uốn là (x0,f(x0)) Hàm lồi trong (a,b) khi y”<0 a b
13. Khảo sát hàm y=f(x) Ví dụ: Tìm khỏang lồi lõm và điểm uốn của hàm y=x2lnx y =2 x ln x + x , y = 2ln x + 3 1 yx =0 = e3 Ta cũng lập bảng biến thiên để khảo sát 3 x 0 1/ e + y” - 0 + y 1 Vậy hàm lồi trong khỏang (0, ) , lõm trong khỏang 3 1 e 13− (,)+ Và có điểm uốn là (,) e3 ee362
14. Khảo sát hàm y=f(x) Trên hình vẽ là đt 1 x = e3 Tiếp tuyến 1− 2 3 yx=( − )( ) − e3 e 32 e 3 Qua điểm uốn, vị trí tương đối của tiếp tuyến và đường cong thay đổi vì đồ thị đổi dáng từ lồi sang lõm
15. Khảo sát hàm y=f(x) 1 Ví dụ: Khảo sát và dựng đồ thị hàm y=− ex x MXĐ : R\{0} 1 Tiệm cận: lim y =−lim e x x = x→ x→ 1 y e x − x lim= lim = − 1 TCX: y=-x+1 x→ x x→ x 1 x  lim (y +=x ) lim e =1 x→ x→ 1 lim y =−lim ()e x x = + TCĐ: x=0 x→0+ x→0+ 1 lim0y =−lim (exx ) = x→0− x→0−
16. Khảo sát hàm y=f(x) 1 y=− ex x 1 1 1 exx + 2 Cực trị: ye = −x −1 =− x2 x2 y 0,  x R* x y’ − y + 0 −
17. Khảo sát hàm y=f(x) exp(1/x) - x 14 12 10 8 6 y 4 2 0 -2 -4 -6 -6 -4 -2 0 2 4 6 x 1 y=− ex x
18. 1 y=− ex x
19. Khảo sát hàm y=f(x) Ví dụ: Khảo sát và dựng đồ thị hàm y=−3 x( x 1)2 MXĐ: R Tiệm cận: limy= lim3 x ( x − 1)2 = xx→ → y3 x( x − 1)2 (x − 1)2 lim= lim = lim = xx→ xx → x→ 3 x2 Hàm không có tiệm cận 1 Cực trị: y =( x − 1)2 + 23 x ( x − 1) 33 x2 x =1 y = 0 Và y’(0)=+∞ x =1/ 7
20. Khảo sát hàm y=f(x) 1 y =( x − 1)2 + 23 x ( x − 1) 3 x2 Vì đạo hàm cấp 2 phức tạp nên ta sẽ không tính Bảng biến thiên x 0 1/7 1 y’ + + 0 - 0 + + y 0.3841 0 0 − Tiếp tuyến nằm ngang
21. Khảo sát hàm y=f(x) Đồ thị y=0.3841 y = 0.3841 y=−3 x( x 1)2 x=1/7 y=−3 x( x 1)
22. Khảo sát hàm y=f(x) Ví dụ: Khảo sát và dựng đồ thị hàm y = lnx-x+1 MXĐ: R+ Tiệm cận: lim y = lim (lnxx− +=1 ) − Hàm có TCĐ x = 0 x→0+ x→0+ ln x lim y = lim (ln)x −+x 1 = 1+− limx 1 = − x→+ x→+ x→+ x y lnxx−+ 1 lnx 1 lim = lim =lim − 1 + = −1 x→+ x x→+ x x→+ xx lim (yx+= ) lim (lnx− x + 1 + x ) =lim( lnx + 1) = + x→+ x→+ x→+ Hàm không có TCX
23. Khảo sát hàm y=f(x) 1 1 Cực trị: y =−1 yx = 0 =1 =1 x x Bảng biến thiên: x 0 1 +∞ y’ + 0 - y 0 -∞ -∞
24. Khảo sát hàm y=f(x) Đồ thị
25. Khảo sát hàm y=f(x) 3 Ví dụ: Khảo sát và dựng đồ thị hàm yx=−2 2 MXĐ R 3 Tiệm cận: lim y =−limx2 2 = + x→ x→ 3 2 2 3 y x − 2 ( x − 2) lim = lim = lim = x→ x x→ x x→+ x2 3 2 2 3 y x − 2 ( x − 2) lmi =lim = lim ( − 1) = x→− x xx→− x →− x2 Hàm không có tiệm cận
26. Khảo sát hàm y=f(x) Cực trị: 3 1 2 2 2 (xx− 2) ,| | 2 3x ( x− 2)2 ,| x | 2 y = =y 3 1 2 2 2 (2− xx ) ,| | 2 −3x (2 − x )2 ,| x | 2 y = 0 x = 0, 2 Bảng biến thiên x − − 2 0 2 + y’ − 0 + − + y + 8 0 0
27. Khảo sát hàm y=f(x) 8 3 yx=−2 2 Hàm có 2 tiếp tuyến nằm ngang ứng với 3 nghiệm của pt y’=0 là y=0 và y = 8
28. Khảo sát hàm y=f(x) – Phụ lục Tìm tiệm cận của các hàm 1 11 y=+ xln( e ) x= −, y = x + x ee 1 y=3 x32 − x y = x − 3 sin x y = y=0 x 1 −1 y = ex x=0,y=0 x
29. Khảo sát hàm y=f(x) – Phụ lục Tìm cực trị của các hàm 2 −11 y= x1 − x ymin = y ( ),y max = y ( ) 22 x y== y y ( e ) ln x min |x − 1| y= ymin = y (1), y max = y (2) x2 3 2 y=− x2 x ymin = y(1)
30. Khảo sát hàm y=f(x) – Phụ lục Khảo sát và vẽ đồ thị 1 3 −x 1.yx=+ (1 ) x 6.y= x e 2 1 x 7.y=− x2 ( x 2 3) 2 2.y = 4 x2 +1 x2 +1 2 8.y = |x − 3| 2 3.y = xx−+45 x 8x 2 9.y = 4.y= x + x − 1 x2 − 4 2 5.ye= 4xx− 10.y= x2 ln x