›
›

Bài giảng Không gian Euclide - Lê Xuân Dại

pdf 53 trang huongle 1810
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Không gian Euclide - Lê Xuân Dại", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_khong_gian_euclide_le_xuan_dai.pdf

Nội dung text: Bài giảng Không gian Euclide - Lê Xuân Dại

  1. KHÔNG GIAN EUCLIDE Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 1 / 56
  2. −→ Công của lực F −→ A = F .−→s = F .s. cos α TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 2 / 56
  3. −→ −→ a = (a1, a2), b = (b1, b2). q −→ −→ −→ 2 2 = a1.b1 + a2.b2; || a || = a1 + a2 −→ −→ −→ −→ −→ −→ cos α = −→ ; d( a , b ) = || a − b || ||−→a ||.|| b || TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 3 / 56
  4. Nội dung 1 Định nghĩa không gian Euclide, độ dài của véc-tơ, khoảng cách giữa 2 véc-tơ, góc giữa 2 véc-tơ 2 Sự trực giao, hệ trực giao, hệ trực chuẩn, cơ sở trực giao, quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt, bù trực giao, hình chiếu vuông góc, khoảng cách từ 1 véc-tơ đến 1 không gian con TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 4 / 56
  5. Không gian Euclide Định nghĩa Cho R−kgv E. Khi đó E được gọi là không gian Euclide (thực) nếu : E × E → R (x, y) 7−→ − gọi là tích vô hướng của 2 véctơ. Tích vô hướng thỏa mãn 4 tiên đề 1 = , ∀x, y ∈ E 2 = + , ∀x, y, z ∈ E 3 = α , ∀x, y ∈ E, ∀α ∈ R. 4 > 0, x =6 0 và = 0 ⇔ x = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 5 / 56
  6. Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ R−kgv R3 là không gian Euclide với tích vô hướng T (x, y) 7−→ = x1.y1 + x2.y2 + x3.y3 = x.y với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3). Ví dụ R−kgv Rn là không gian Euclide với tích vô hướng : Rn × Rn → R n P T (x, y) 7−→ = xi yi = x.y i=1 với x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 6 / 56
  7. Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv R2 có thể xác định tích vô hướng khác (x, y) 7−→ = x1.y1 + 2x2.y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2). = x1.y1 + 2x2.y2 = y1.x1 + 2y2.x2 = = (x1 + y1)z1 + 2(x2 + y2)z2 = (x1z1 + 2x2z2) + (y1z1 + 2y2z2) = + = α.x1.y1 + 2α.x2.y2 = α(x1y1 + 2x2y2) = α. 2 2 = x1.x1 + 2x2.x2 = x1 + 2x2 > 0. Dấu "=" ⇔ x1 = x2 = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 7 / 56
  8. Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv R2 hàm số sau không là một tích vô hướng (x, y) 7−→ = x1.y1 − 3x2.y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2). Cho x = (1, 2). Khi đó = 1.1 − 3.2.2 = −11 < 0. Không thỏa mãn tiên đề 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 8 / 56
  9. Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Không gian véctơ C[a,b] các hàm số liên tục trên đoạn [a, b] là không gian Euclide với tích vô hướng : C[a,b] × C[a,b] → R b (f , g) 7−→ = R f (x)g(x)dx a TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 9 / 56
  10. Không gian Euclide Ví dụ Chứng minh. b b = R f (x)g(x)dx = R g(x)f (x)dx = a a , ∀f , g ∈ C[a,b] b = R (f (x) + g(x))h(x)dx = a b b R f (x)h(x)dx + R g(x)h(x)dx = a a + , ∀f , g, h ∈ C[a,b] TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 10 / 56
  11. Không gian Euclide Ví dụ b = R (αf (x))g(x)dx = a b α R f (x)g(x)dx = α , a ∀f , g ∈ C[a,b], ∀α ∈ R. b = R (f (x))2dx > 0, f (x) =6 0 và a b = R (f (x))2dx = 0 ⇔ f (x) ≡ 0 a TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 11 / 56
  12. Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong không gian P2(x) cho tích vô hướng Z 1 = p(x)q(x)dx, 0 2 2 ∀p(x) = a1x + b1x + c1, q(x) = a2x + b2x + c2. Tính tích vô hướng của p(x) = x2 − 4x + 5, q(x) = x + 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 12 / 56
  13. Không gian Euclide Ví dụ Tích vô hướng của p(x) và q(x) là Z 1 = p(x)q(x)dx = 0 Z 1 19 = (x2 − 4x + 5)(x + 1)dx = 0 4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 13 / 56
  14. Không gian Euclide Độ dài véctơ (chuẩn của véctơ) Định nghĩa Cho x ∈ E, trong đó E là không gian Euclide, ta gọi độ dài hay chuẩn của véctơ x là √ ||x|| = Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng = 3x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 2). Tìm độ dài của véctơ u. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 14 / 56
  15. Không gian Euclide Ví dụ √ Độ dài của véctơ u là ||u|| = . = 3.1.1 + 1.2 + 2.1 + 2.2 = 11 √ ⇒ ||u|| = 11 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 15 / 56
  16. Không gian Euclide Khoảng cách giữa hai véctơ Định nghĩa Trong không gian Euclide E, khoảng cách giữa 2 véctơ u, v là độ dài của véctơ u − v. Kí hiệu d(u, v). Vậy d(u, v) = ||u − v||. Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng = x1y1 − 2x1y2 − 2x2y1 + 5x2y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, −1), v = (0, 2). Tìm khoảng cách giữa 2 véctơ u, v. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 16 / 56
  17. Không gian Euclide Ví dụ Khoảng cách giữa 2 véctơ u, v là √ d(u, v) = ||u − v|| = . Ta có u − v = (1, −3) ⇒ = = 1.1 − 2.1.(−3) − 2.(−3).1 + 5(−3)(−3) = 58. √ √ Vậy d(u, v) = = 58 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 17 / 56
  18. Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski Định lý Trong không gian Euclide E, ta có | | 6 ||x||.||y||, ∀x, y ∈ E. Dấu ” = ” xảy ra ⇔ x và y là phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh. ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ R ta có > 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 18 / 56
  19. Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ 2 ⇔ −2λ +λ > 0. 2 2 2 ⇔ ||x|| − 2λ +λ ||y|| > 0. Bất đẳng thức đúng với mọi λ ∈ R nên 0 2 2 2 ∆ = ( ) − ||x|| .||y|| 6 0 2 2 2 ⇔ ( ) 6 ||x|| .||y|| ⇔ | | 6 ||x||.||y|| TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 19 / 56
  20. Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ Nếu | | = ||x||.||y|| thì ∆0 = 0 khi đó 2 2 2 2 ||x|| − 2λ +λ ||y|| = (λ − λ0) . Do đó nếu λ = λ0 thì = 0 hay x − λ0y = 0 ⇔ x = λ0y ⇒ x, y phụ thuộc tuyến tính. Bất đẳng thức BCS trong R2 q q 2 2 2 2 |x1.y1 + x2.y2| 6 x1 + x2 . y1 + y2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 20 / 56
  21. Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ Định nghĩa Ta gọi góc giữa 2 véctơ x, y ∈ E là góc α sao cho cos α = , (0 α π) ||x||.||y|| 6 6 = ||x||.||y||. cos α. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 21 / 56
  22. Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng = x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + 5x2y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 1), v = (1, 0). Tìm góc α giữa 2 véctơ u, v. Ta có cos α = ||u||.||v|| TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 22 / 56
  23. Không gian Euclide Ví dụ = 1.1 + 2.1.0 + 2.1.1 + 5.1.0 = 3 √ √ ||u|| = = 1.1 + 2.1.1 + 2.1.1 + 5.1.1 √ = 10 √ √ ||v|| = = 1.1 + 2.1.0 + 2.0.1 + 5.0.0 = 1 3 3 Vậy cos α = √ ⇒ α = arccos √ 10 10 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 23 / 56
  24. Sự trực giao Định nghĩa Sự trực giao TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 24 / 56
  25. Sự trực giao Định nghĩa Sự trực giao Định nghĩa Trong không gian Euclide E với tích vô hướng 1 Hai véctơ x, y ∈ E được gọi là trực giao ⇔ = 0. Kí hiệu x ⊥ y 2 Véctơ x được gọi là trực giao với tập hợp M ⊂ E nếu nó trực giao với mọi véctơ của M. Kí hiệu x ⊥ M. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 25 / 56
  26. Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng = 2x1y1 − x1y2 − x2y1 + x2y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, −1), v = (2, m). Tìm m để u ⊥ v. Để u ⊥ v thì = 0 ⇔ 2.1.2 − 1.m − (−1).2 + (−1).m = 6 − 2m = 0 ⇔ m = 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 26 / 56
  27. Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong R3 cho tích vô hướng chính tắc và M = . Khi đó u = (−2, 1, 1) ⊥ M. Lấy v ∈ M bất kỳ. Khi đó v = α(1, 1, 1) + β(2, 1, 3) = (α + 2β, α + β, α + 3β), ∀α, β ∈ R. Ta có = −2.(α+2β)+1.(α+β)+1.(α+3β) = 0 Vậy u ⊥ M. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 27 / 56
  28. Sự trực giao Hệ trực giao, trực chuẩn Hệ trực giao, trực chuẩn TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 28 / 56
  29. Sự trực giao Hệ trực giao, trực chuẩn Định nghĩa 1 Hệ véctơ {x1, x2, , xn} được gọi là trực giao ⇔ chúng trực giao với nhau từng đôi một. 2 Hệ trực giao được gọi là hệ trực chuẩn nếu ||xk|| = 1, (k = 1, 2, , n) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 29 / 56
  30. Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong R2 với tích vô hướng chính tắc, M = {(1, −2), (2, 1)} là hệ trực giao.  1 2   2 1  N = √ , −√ , √ , √ là hệ trực 5 5 5 5 chuẩn. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 30 / 56
  31. Sự trực giao Ví dụ = 1.2 + (−2).1 = 0 ⇒ M là hệ trực giao. N là hệ trực chuẩn vì  1 2   2 1  √ , −√ , √ , √ = 5 5 5 5 1 2 (−2) 1 √ .√ + √ .√ = 0 5 5 5 5   s 1 2 1 4 √ , −√ = √ 2 + √ 2 = 1 5 5 5 5   s 2 1 4 1 √ , √ = √ 2 + √ 2 = 1 5 5 5 5 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 31 / 56
  32. Sự trực giao Cơ sở trực giao Định lý Hệ véctơ trực giao không chứa véctơ 0 thì độc lập tuyến tính. Giả sử M = {x1, x2, , xp} là 1 hệ véctơ trực giao, không chứa véctơ 0. Xét p P λi xi = 0, λi ∈ K, i = 1, 2, , p. Với i=1 p P ∀xk ∈ M, k = 1, 2, , p ta có = i=1 λk = 0 ⇔ λk = 0, k = 1, 2, , p. Vậy M độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 32 / 56
  33. Sự trực giao Cơ sở trực giao Hệ quả Trong không gian Euclide E n chiều, tập gồm n véctơ khác véc-tơ 0, trực giao từng đôi một tạo thành một cơ sở của E. Cơ sở này được gọi là cơ sở trực giao. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 33 / 56
  34. Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian Euclide R3 với tích vô hướng chính tắc, 3 véctơ x = (1, 1, 0), y = (−1, 1, 4), z = (2, −2, 1) tạo thành 1 cơ sở trực giao của R3. = 1.(−1) + 1.1 + 0.4 = 0 = 1.2 + 1.(−2) + 0.1 = 0 = (−1).2 + 1.(−2) + 4.1 = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 34 / 56
  35. Sự trực giao Sự trực giao hóa Gram-Schmidt Sự trực giao hóa Gram-Schmidt −→ −→ −→ −→ −→ −→ y1 −→ z2 = ||x2 ||.||y1 ||. cos α. 2 = −→ 2 .y1 ||y1|| ||y1 || −→ −→ −→ y2 = x2 − z2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 35 / 56
  36. Sự trực giao Sự trực giao hóa Gram-Schmidt Ví dụ Trong R2, xây dựng cơ sở trực giao từ 2 véc tơ x1 = (1, 1), x2 = (0, 1). y1 = x1 = (1, 1), y2 = x2 − 2 .y1 = ||y1|| 1  1 1 = (0, 1) − .(1, 1) = − , 2 2 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 36 / 56
  37. Sự trực giao Sự trực giao hóa Gram-Schmidt Cho không gian Euclide E và {x1, x2, , xn} là cơ sở của E. Khi đó ta có thể chọn được các số λij ∈ R sao cho các véctơ  y = x  1 1  y = λ y + x  2 21 1 2 y3 = λ31y1 + λ32y2 + x3     yn = λn1y1 + λn2y2 + λn3y3 + λnn−1yn−1 + xn tạo thành cơ sở trực giao của E, gồm toàn các véctơ khác không. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 37 / 56
  38. Sự trực giao Sự trực giao hóa Gram-Schmidt Do y1 ⊥ y2 nên = = λ21 + = 0 ⇒ λ21 = − Tương tự, y3 ⊥ y1, y2 nên = = λ31 +λ32 + = λ31 + = 0 ⇒ λ31 = − TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 38 / 56
  39. Sự trực giao Sự trực giao hóa Gram-Schmidt = = λ31 +λ32 + = λ32 + = 0 ⇒ λ32 = − Quá trình cứ thế tiếp diễn, ta thu được λn1 = − , λn2 = − , , λnn−1 = − . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 39 / 56
  40. Sự trực giao Sự trực giao hóa Gram-Schmidt Theo cách xây dựng trên, y1 = x1 ⇒ y1 =6 0 vì x1 =6 0 Tương tự, y2 là THTT của x1, x2 với hệ số của x2 bằng 1 ⇒ y2 =6 0. Vì nếu y2 = 0 thì x2 sẽ biểu diễn tuyến tính qua x1 ⇒ {x1, x2} PTTT ⇒ x1, x2, , xn PTTT (mâu thuẫn) Tương tự, yk là THTT của x1, x2, , xk với hệ số của xk bằng 1 ⇒ yk =6 0. Vì nếu yk = 0 thì x1, x2, , xk PTTT ⇒ x1, x2, , xn PTTT (mâu thuẫn) . Từ đó suy ra yk =6 0, k = 1, 2, , n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 40 / 56
  41. Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Áp dụng quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt để xây dựng cơ sở trực giao từ cơ sở (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) Hệ véctơ (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) là cơ sở của R3. Áp dụng tích vô hướng chính tắc, theo công thức trực giao hóa, ta có y1 = x1 = (1, 1, 1), 2 y2 = − y1 + x2 = − (1, 1, 1) + (0, 1, 1) 3  2 1 1 = − , , 3 3 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 41 / 56
  42. Sự trực giao Ví dụ y3 = − y1 − y2 + x3 1 1  2 1 1 = − (1, 1, 1) − − , , + (0, 0, 1) 3 2 3 3 3  1 1 = 0, − , 2 2  2 1 1  1 1 Vậy hệ (1, 1, 1), − , , , 0, − , là hệ 3 3 3 2 2 trực giao. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 42 / 56
  43. Sự trực giao Ví dụ Hệ quả Trong không gian Euclide tồn tại cơ sở trực giao. Từ đó suy ra tồn tại cơ sở trực chuẩn. Giả sử không gian Euclide n chiều có cơ sở x1, x2, , xn. Theo quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt, ta thu được 1 cơ sở trực giao. Để có cơ sở trực chuẩn, ta có thể lấy y1 y2 yn e1 = , e2 = , , en = . ||y1|| ||y2|| ||yn|| TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 43 / 56
  44. Sự trực giao Bù trực giao Bù trực giao Định lý Cho không gian Euclide E, dim(E) = n, n ∈ N∗ và F là không gian véctơ con của E. Khi đó 1 Với ∀x ∈ E, x ⊥ F ⇔ x trực giao với một cơ sở của F ⊥ 2 Tập F gồm các véctơ của E trực giao với F là một không gian véctơ con của E. Tập F ⊥ được gọi là bù trực giao của F . ⊥ 3 dim(F ) + dim(F ) = n. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 44 / 56
  45. Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian R3 cho không gian con W = {(x1, x2, x3): x1 + x2 + x3 = 0}. Tìm cơ sở và số chiều của W ⊥. Bước 1. Cơ sở của W (−1, 1, 0), (−1, 0, 1) ⊥ Bước 2. x = (x1, x2, x3) ∈ W nên x ⊥ (−1, 1, 0) và x ⊥ (−1, 0, 1). Do đó ta có  −x1 + x2 = 0 ⇒ x1 = x3, x2 = x3 ⇒ −x1 + x3 = 0 ⊥ (x1, x2, x3) = x3(1, 1, 1). Vậy dim(W ) = 1 và 1 cơ sở của nó là (1, 1, 1) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 45 / 56
  46. Sự trực giao Hình chiếu vuông góc, khoảng cách Hình chiếu vuông góc, khoảng cách TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 46 / 56
  47. Sự trực giao Hình chiếu vuông góc, khoảng cách Hình chiếu vuông góc, khoảng cách Trong không gian Euclide E cho không gian con F và 1 véctơ v tùy ý. Véctơ v có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng v = f + g, f ∈ F , g ∈ F ⊥. Véctơ f được gọi là hình chiếu vuông góc của v xuống F . Kí hiệu f = prF v. Khoảng cách từ v đến không gian F là d(v, F ) = ||g|| = ||v − prF v||. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 47 / 56
  48. Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong R3 với tích vô hướng chính tắc, cho không gian con F = và véctơ x = (1, 1, 2). Tìm hình chiếu vuông góc prF x của x xuống F và khoảng cách từ x đến F . Bước 1. Cơ sở của F f1 = (1, 1, 1), f2 = (0, 1, 1) Bước 2. x = f + g = λ1.f1 + λ2.f2 + g = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + g, vì f ∈ F , g ∈ F ⊥ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 48 / 56
  49. Sự trực giao Ví dụ Bước 3. = = λ1(3) + λ2.2 = = 4 = = λ1(2) + λ2.2 = = 3   3λ + 2λ = 4  λ1 = 1 ⇒ 1 2 ⇔ 1 2λ1 + 2λ2 = 3 λ =  2 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 49 / 56
  50. Sự trực giao Ví dụ Bước 4. Kết luận Vậy hình chiếu vuông góc prF x của x xuống F 1  3 3 là f = 1.(1, 1, 1) + (0, 1, 1) = 1, , 2 2 2 Khoảng cách từ x đến F là d(x, F ) = ||g|| =   3 3 ||x − prF x|| = (1, 1, 2) − 1, , = 2 2   r r 1 1 1 1 1 0, − , = 0.0 + + = 2 2 4 4 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 50 / 56
  51. Thực hành MatLab Trong Rn với tích vô hướng chính tắc 1 = dot(x, y) 2 ||x|| = norm(x) 3 d(x, y) = norm(x − y) 4 cos α = dot(x, y)/(norm(x) ∗ norm(y)) 5 f1, f2, , fm là cơ sở F . A = [f1; f2; ; fm]   f1  f   2  ⊥ 0 0 A =   ⇒ Cơ sở của F : null(A, r )   fm TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 51 / 56
  52. Thực hành MatLab Trong Rn với tích vô hướng chính tắc Giả sử f1, f2, , fm là cơ sở F .   dot(f1, f1) dot(f1, f2) dot(f1, fm)  dot(f2, f1) dot(f2, f2) dot(f2, fm)  A =   ,   dot(fm, f1) dot(fm, f2) dot(fm, fm)   dot(x, f1)  dot(x, f2)  T B =   , λ = (λ1, λ2, . . . , λm) = inv(A)∗B   dot(x ∗ fm) 1 Hình chiếu f = λ(1) ∗ f1 + λ(2) ∗ f2 + + λ(m) ∗ fm 2 Khoảng cách ||g|| = ||x − f || = norm(x − f ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 52 / 56
  53. Kết luận THANK YOU FOR ATTENTION TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 53 / 56