›
›

Bài giảng Lí thuyết tổ hợp

pdf 91 trang huongle 4180
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lí thuyết tổ hợp", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_li_thuyet_to_hop.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lí thuyết tổ hợp

  1. Phần thứ nhất LÝ THUYẾT TỔ HỢP Combinatorial Theory Fall 2008 Fall 2008 Toán rời rạc 1
  2. Nội dung 1. Mở đầu 2. Bài toán đếm tổ hợp (Counting Problem) 3. Bài toán tồn tại tổ hợp (Existence Problem) 4. Bài toán liệt kê tổ hợp (Enumeration Problem) 5. Bài toán tối ưu tổ hợp (Combinatorial Optimization Problem) Toán rời rạc 2
  3. 0. Mở đầu NỘI DUNG 0.1. Tổ hợp là gì? 0.2. Sơ lược về lịch sử phát triển của tổ hợp 0.3. Tập hợp và ánh xạ Toán rời rạc 3
  4. 0.1 Tổ hợp là gì?  Đối tượng nghiên cứu  Nội dung nghiên cứu Toán rời rạc 4
  5. Đối tượng nghiên cứu của tổ hợp  Lý thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu sự sắp xếp của các phần tử trong các tập hữu hạn và sự phân bố của các phần tử vào các tập hữu hạn. Mỗi cách sắp xếp hoặc phân bố như thế được gọi là một cấu hình tổ hợp.  Có thể nói vắn tắt: Tổ hợp là lý thuyết về các tập hữu hạn. Toán rời rạc 5
  6. Phân loại bài toán  Trong các tài liệu về tổ hợp, thường gặp các dạng bài toán dưới đây: 1. Bài toán đếm tổ hợp (Counting Problem) 2. Bài toán tồn tại tổ hợp (Existence Problem) 3. Bài toán liệt kê tổ hợp (Enumeration Problem) 4. Bài toán tối ưu tổ hợp (Combinatorial optimization Problem) Toán rời rạc 6
  7. Bài toán đếm – Counting Problem  Đây là các bài toán nhằm trả lời câu hỏi: “Có bao nhiêu cấu hình thoả mãn các điều kiện cho trước?".  Phương pháp đếm thường dựa vào một số nguyên lý cơ bản và một số kết quả đếm các cấu hình đơn giản.  Bài toán đếm được áp dụng một cách có hiệu quả vào những công việc mang tính chất đánh giá như tính xác suất của một sự kiện, tính độ phức tạp của một thuật toán, Toán rời rạc 7
  8. Bài toán tồn tại tổ hợp (Existence Problem)  Khác với bài toán đếm, trong bài toán tồn tại tổ hợp chúng ta cần trả lời câu hỏi: “Tồn tại hay chăng cấu hình tổ hợp thoả mãn các tính chất đã cho?”  Rõ ràng nếu có thể đếm được số lượng cấu hình tổ hợp thoả mãn các tính chất đó cho thì ta cũng giải quyết được bài toán tồn tại tương ứng!  Có thể coi bài toán tồn tại như trường hợp riêng của bài toán đếm được không? Toán rời rạc 8
  9. Ví dụ  Bài toán phủ bàn cờ quốc tế bởi các quân bài domino: “Cho bàn cờ quốc tế kích thước 8 8 bị đục đi 2 ô ở hai góc đối diện và bộ bài domino, mỗi quân bài phủ kín 2 ô của bàn cờ. Hỏi có thể phủ kín bàn cờ đã cho bởi 31 quân bài domino?” Toán rời rạc 9
  10. Bàn cờ quốc tế và quân bài domino Toán rời rạc 10
  11. Bàn cờ quốc tế và quân bài domino Toán rời rạc 11
  12. Có thể phủ bàn cờ như vậy bởi 31 quân bài domino?  Bàn cờ còn 62 ô  31 quân bài có thể phủ kín được 62 ô  Về diện tích là có thể phủ được Toán rời rạc 12
  13. Không tồn tại cách phủ bàn cờ như vậy bởi 31 quân bài domino!  Chứng minh  Mỗi quân bài phủ kín 1 ô trắng và một ô đen.  Suy ra số lượng ô trắng và ô đen bị phủ bởi 31 quân domino là bằng nhau.  Thế nhưng số lượng ô trắng và ô đen trên phần còn lại của bàn cờ là khác nhau  Từ đó suy ra không tồn tại cách phủ! Toán rời rạc 13
  14. Có bao nhiêu cách phủ bàn cờ bởi 32 quân bài domino?  Sự tồn tại cách phủ là hiển nhiên. Dễ dàng có thể chỉ ra vài cách phủ  Vấn đề “Có bao nhiêu cách phủ?”  Không dễ dàng trả lời! Toán rời rạc 14
  15. Có bao nhiêu cách phủ bàn cờ bởi 32 quân bài domino?  Nếu chỉ phân biệt hai cấu hình bởi dạng hình học của cách phủ thì có tất cả 12 988 816 cách phủ. Có 2 cách phủ bàn cờ kích thước 2 2 Toán rời rạc 15
  16. Phân biệt hai bài toán đếm và tồn tại  Trong bài toán đếm, sự tồn tại cấu hình là hiển nhiên và vấn đề là cần đếm xem có bao nhiêu.  Trong bài toán tồn tại, bản thân sự tồn tại cấu hình là vấn đề nghi vấn. Cần giải quyết vấn đề “có hay không có” cấu hình như vậy. • Việc chỉ ra được một cấu hình là đủ để khẳng định là tồn tại • Nhưng để chỉ ra sự không tồn tại cấu hình đòi hỏi phải đưa ra những lập luận tin cậy Toán rời rạc 16
  17. Bài toán liệt kê tổ hợp (Enumeration Problem)  Bµi to¸n nµy quan t©m ®Õn viÖc ®a ra tÊt c¶ cÊu h×nh tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cho tríc. • V× thÕ lêi gi¶i cña nã cÇn ®îc biÓu diÔn díi d¹ng thuËt to¸n "vÐt c¹n" tÊt c¶ c¸c cÊu h×nh. Lêi gi¶i trong tõng trêng hîp cô thÓ sÏ ®îc m¸y tÝnh ®iÖn tö gi¶i quyÕt theo thuËt to¸n ®· nªu. • Bµi to¸n liÖt kª ®îc lµm "nÒn" cho nhiÒu bµi to¸n kh¸c. HiÖn nay, mét sè bµi to¸n ®Õm, tèi u, tån t¹i vÉn cha cã c¸ch nµo gi¶i, ngoµi c¸ch gi¶i liÖt kª. • NÕu tríc ®©y, c¸ch gi¶i liÖt kª cßn mang nÆng tÝnh lý thuyÕt, th× b©y giê nã ngµy cµng kh¶ thi nhê sù ph¸t triÓn nhanh chãng cña m¸y tÝnh ®iÖn tö. Toán rời rạc 17
  18. Bài toán tối ưu tổ hợp (Combinatorial Problem)  Khác với bài bài toán liệt kê, bài toán tối ưu chỉ quan tâm đến một cấu hình "tốt nhất" theo một nghĩa nào đấy.  Trong các bài toán tối ưu, mỗi cấu hình được gán cho một giá trị số (là giá trị sử dụng hoặc chi phí xây dựng cấu hình), và bài toán đặt ra là trong số những cấu hình thoả mãn các điều kiện cho trước hãy tìm cấu hình với giá trị số gán cho nó là lớn nhất hoặc nhỏ nhất.  Đây là bài toán có nhiều ứng dụng trong thực tiễn và lý thuyết tổ hợp đã đóng góp một phần đáng kể trong việc xây dựng được những thuật toán hữu hiệu. Toán rời rạc 18
  19. 0. Mở đầu NỘI DUNG 0.1. Tổ hợp là gì? 0.2. Sơ lược về lịch sử phát triển của tổ hợp 0.3. Tập hợp và ánh xạ Toán rời rạc 19
  20. 0.2. Sơ lược về lịch sử phát triển  Có thể nói là tổ hợp là một trong những lĩnh vực có lịch sử phát triển lâu đời nhất của toán học  Nói về lịch sử phát triển của tổ hợp cũng chính là nói về lịch sử phát triển của toán học  Vì vậy, chúng ta sẽ chỉ điểm qua vài nét về lịch sử, thông qua một số bài toán nổi tiếng trong lịch sử phát triển của tổ hợp Fall 2008 Toán rời rạc 20
  21. Hình vuông thần bí - Ma phương Magic Square 2 9 7 4 5 3 6 8 1 Toán rời rạc 21
  22. Hình vuông thần bí - Ma phương Magic Square 9 2 4 5 7 3 6 8 1 Toán rời rạc 22
  23. Tổng theo mỗi hàng ngang, mỗi hàng dọc cũng như mỗi đường chéo đều bằng 15 Toán rời rạc 23
  24. Ma phương  Bảng số này được biết từ thời nhà Chu (quãng 2200 năm trước công nguyên)  Hãy chú ý đến những tính chất đặc biệt của bảng số này để có thể thấy tại sao nó được gọi là ma phương và được người Trung hoa cổ đại tôn thờ • Con số 5 nằm ở giữa biểu hiện Ngũ hành nằm ở trung tâm vũ trụ • Các số lẻ biểu thị cho “dương”, các số chẵn biểu thị cho “âm” đều đối xúng nhau qua trung tâm • Nếu tính định thức của ma trận cấp 3 này ta được giá trị 360 = số ngày trong một năm • Giá trị tuyệt đối của các định thức con cũng là các con số đáng chú ý: 7, 23, 37, 53. Toán rời rạc 24
  25. Ma phương bậc tuỳ ý  Ma phương cấp n là bảng gồm n2 số 1, 2, , n2 được xếp thành n hàng ngang và n hàng dọc sao cho tổng các số trên mỗi hàng ngang và mỗi hàng dọc cũng như hai đường chéo đều bằng nhau  Hiện nay có thuật toán xây dựng ma phương mọi cấp. Thuật toán xây dựng ma phương bậc lẻ là đơn giản hơn rất nhiều so với thuật toán xây dựng ma phương bậc chẵn Toán rời rạc 25
  26. Thuật toán xây dựng ma phương bậc lẻ Thuật toán: Điền lần lượt các giá trị số 1, 2, , n2 vào các vị trí của bảng, bắt đầu từ ô ở giữa dòng thứ nhất điền số 1. Tiếp đến di chuyển lên trên và sang phải để điền số tiếp theo. Chú ý: • Trên dòng 1 là dòng n, bên phải cột n là cột 1. • Nếu gặp vị trí đã có số thì số tiếp theo điền xuống ngay dưới số vừa điền. Toán rời rạc 26
  27. Số lượng ma phương (loại trừ những cấu hình thu được bởi phép quay và phản xạ) n # Magic Squares Chú thích 1 1 2 0 3 1 4 880 Frénicle de Bessy (1693) 5 275 305 224 R. Schroeppel (1973) 6 (1.7745 0.0016)1019 Berlekamp et al. (1982) Approximation by Monte Carlo Backtracking 7 (3.79809 ± 0.00050) · 1034 Approximation by Monte Carlo Backtracking Fall 2008 Toán rời rạc 27
  28. Number of distinct magic squares (excluding those obtained by rotation and reflection) 8 (5.2225 ± 0.0018) · 1054 0.035 % 9 (7.8448 ± 0.0038) · 1079 0.049 % To determine the numbers of magic squares 110 following methods were used: 10 (2.4149 ± 0.0012) · 10 0.049 % 11 (2.3358 ± 0.0014) · 10146 0.059 % • Exhaustive search by Standard Backtracking: 12 (1.1424 ± 0.0010) · 10188 0.087 % orders 4 and 5 13 (4.0333 ± 0.0054) · 10235 0.14 % • Approximation by Monte Carlo Backtracking: 14 (1.5057 ± 0.0024) · 10289 0.16 % orders 6 to 20 15 (8.052 ± 0.022) · 10348 0.27 % • Estimation by statistical considerations on magic 16 (8.509 ± 0.027) · 10414 0.31 % series combined with extrapolations of known 17 (2.314 ± 0.009) · 10487 0.39 % approximations: orders greater than 20 18 (2.047 ± 0.008) · 10566 0.40 % 19 (8.110 ± 0.035) · 10651 0.44 % 20 (1.810 ± 0.008) · 10744 0.44 % Fall 2008 Toán rời rạc 28
  29. Các tính chất đặc biệt của các con số  36 = 1+2+3+4+5+6+7+8 (Tổng của 4 số lẻ và 4 số chẵn đầu tiên)  36 = 13+23+33  Con số 36 được người Trung hoa rất tôn sùng = Số quẻ trong Kinh dịch  Các nhà triết học Ai cập cổ đại cũng rất tôn sùng các con số: “Mọi hiện tượng trong tự nhiên cũng như trong xã hội đều cố gắng giải thích bằng các con số” Toán rời rạc 29
  30. Số hoàn hảo  Biểu thị tính hoàn hảo: Dùng số hoàn hảo (perfect number). Số tự nhiên a được gọi là số hoàn hảo, nếu số này bằng tổng các ước số của nó.  Ví dụ: • 6 = 1+2+3 • 28 = 1+2+4+7+14  So sánh: Số lượng số hoàn hảo và Số lượng số nguyên tố trên đoạn [a, b] Toán rời rạc 30
  31. Cặp số hữu nghị  Biểu thị tình hữu nghị: Dùng cặp số hữu nghị (pair of friendship numbers). Hai số tự nhiên a, b được gọi là cặp số hữu nghị nếu số này bằng tổng các ước số của số kia và ngược lại  Ví dụ: (220, 284), (1184, 1210), (2620,2924), (5020, 5564), (6232, 6368) Fall 2008 Toán rời rạc 31
  32. Trò chơi với con súc sắc  Người chơi sẽ gieo một (một vài) con súc sắc và đặt cá cược vào khả năng xuất hiện của các mặt.  Hầu tước de Mere phát hiện khi gieo các con súc sắc số khả năng có thể xuất hiện của các tổng điểm là khác nhau:  Ví dụ: Gieo hai con súc sắc, • Tổng điểm 7 có 6 khả năng: (1, 6), (2, 5), (3, 4) • Tổng điểm 6 có ? khả năng: (1, 5), (2, 4), (3, 3) Toán rời rạc 32
  33. Các khả năng xuất hiện tổng điểm khi gieo hai con súc sắc Toán rời rạc 33
  34. Tôn Tẫn đấu ngựa  Có 3 vòng đấu 1, 2, 3. Người thắng cuộc là người thắng ở nhiều vòng đấu hơn  Vua: Có 3 con ngựa A (loại 1), B (loại 2) và C (loại 3)  Tôn Tẫn: Có 3 con ngựa a (loại 1), b (loại 2) và c (loại 3) Toán rời rạc 34
  35. Lịch thi đấu của Tôn Tẫn Vòng đấu Vua Điểm Tôn Tẫn Điểm Vòng 1 A 1 c 0 Vòng 2 B 0 a 1 Vòng 3 C 0 b 1 Tổng điểm 1 2 Toán rời rạc 35
  36. Bài toán tối ưu tổ hợp  Trong số tất cả các cách tổ chức thi đấu hãy tìm cách đem lại nhiều điểm nhất  Có tất cả bao nhiêu cách tổ chức thi đấu ? => Dễ dàng tìm được cách đạt được nhiều điểm nhất và may thay đó cũng là cách dẫn đến thắng lợi!  Nếu số lượng vòng đấu nhiều hơn, cách tính điểm phức tạp hơn thì không dễ dàng nhẩm ra được cách đem lại nhiều điểm nhất! Toán rời rạc 36
  37. 0. Mở đầu NỘI DUNG 0.1. Tổ hợp là gì? 0.2. Sơ lược về lịch sử phát triển của tổ hợp 0.3. Tập hợp và ánh xạ Fall 2008 Toán rời rạc 37
  38. TẬP HỢP  Các khái niệm cơ bản  Các phép toán tập hợp  Sơ đồ Venn  Các đẳng thức Toán rời rạc 38
  39. Tập hợp  Ta hiểu: Tập hợp như là sự tụ tập của các phần tử. • Ta nói tập hợp chứa các phần tử của nó. • Các tập hợp được ký hiệu bởi A-Z, các phần tử a-z • Thông thường phải có một tập vũ trụ U mà tất cả các phần tử được xét trong nó. Tập U có thể được chỉ rõ hoặc được ngầm định.  Xác định tập hợp: • Danh sách các phần tử: S = a, b, c, d  = b, c, a, d, d  (Chú ý: Việc liệt kê lặp lại một phần tử không dẫn đến tập mới. Thứ tự liệt kê là không có vai trò.) Toán rời rạc 39
  40. Tập hợp • Xác định tập hợp (tiếp): • Mô tả cách xây dựng tập hợp bằng việc sử dụng mệnh đề lôgic: S = x | P(x) } S chứa các phần tử thoả mãn mệnh đề P. • Ví dụ, S = { x  x là sinh viên ĐHBK HN} đọc là “S là tập tất cả các phần tử x sao cho x là sinh viên ĐHBK HN.” • Liệt kê các phần tử: S = , -3, -2, -1  - tập các số nguyên âm. Toán rời rạc 40
  41. Tập hợp  Các tập vũ trụ thường dùng • R = tập số thực • N = tập số tự nhiên = 0,1, 2, 3,   • Z = tập các số nguyên = , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,   • Z+ tập các số nguyên không âm Toán rời rạc 41
  42. Tập hợp  Nhận biết các phần tử của tập hợp • Ký hiệu: • x là phần tử của S hay còn nói x thuộc S: x S • x không là phần tử của S: x S • Ví dụ: Gọi S là tập các số nguyên từ 1 đến 12. Khi đó 5 S nhưng 15 S  Chú ý: Việc biết một phần tử có thuộc một tập cho trước hay không là vấn đề không phải lúc nào cũng là dễ dàng: Ví dụ: Gọi P là tập các số nguyên tố. Hỏi x=12121212121212121212111111111111111111111 có thuộc P? Toán rời rạc 42
  43. Tập con  Tập A được gọi là tập con của tập B nếu mỗi phần tử của A đều là phần tử của B, nghĩa là x [x A x B] • Ký hiệu: A  B hoặc B  A • Ví dụ: • Nếu S = 1, 2, 3,  , 11, 12  và T = 1, 2, 3, 6  Thế thì T  S. Toán rời rạc 43
  44. Tập con  Một số định nghĩa: • Một tập luôn là tập con của chính nó. • Hai tập là bằng nhau khi và chỉ khi mỗi phần tử của tập thứ nhất đều là phần tử của tập thứ hai và ngược lại, nghĩa là A = B khi và chỉ khi A  B và B  A • Nếu A  B, nhưng A B khi đó ta nói A là tập con thực sự của B. Ký hiệu: A  B. • Ví dụ: • Giả sử A = { 1, 2, 3 }, B = { 2, 3, 1 }, C = { 3 } • Khi đó B = A, C  A, C  B. Toán rời rạc 44
  45. Tập con  Một số định nghĩa: • Tập rỗng (trống) là tập không có phần tử nào cả. • Ký hiệu: . •  là tập con của mọi tập • Tập tất cả các tập con (Power set) của tập A • Ký hiệu: 2A (đôi khi dùng ký hiệu: P(A)) • Ví dụ, nếu A = {1} thì 2A = {,{1}} • Tập gồm n phần tử có 2n tập con. Toán rời rạc 45
  46. Tập con  Lực lượng (cardinality) của tập A là số phần tử trong A. • Ký hiệu: |A| (đôi khi còn ký hiệu là #A, N(A)). • Nếu lực lượng của một tập hợp là số tự nhiên thì nó được gọi là tập hữu hạn, nếu trái lại nó là tập vô hạn. • Ví dụ: N (tập các số tự nhiên) là vô hạn, bởi vì |N| không là số tự nhiên. • Chú ý: Nếu |A| = n thì |P(A)| = 2n. Toán rời rạc 46
  47. Tập con • Ví dụ: • Nếu A = a, b  thì • Tập các tập con của A: 2A = , a, b, a, b • Lực lượng của A: |A| = | a, b| = 2 |2A| = 4 • A và 2A là các tập hữu hạn. Toán rời rạc 47
  48. Lý thuyết tập hợp là không hoàn chỉnh Nghịch lý Russell (Russell’s paradox):  Xét S là tập các tập hợp không chứa chính nó như là phần tử của nó: S = {x | x x }.  Câu hỏi: Có phải S S? Bertrand Russell 1872-1970 Toán rời rạc 48
  49. Nghịch lý Russell  Cho S = {x | x x }. Hỏi S S? • Nếu S S, thì S không là đối tượng x thoả mãn x x. Suy ra, S S ?! • Nếu S S, thì S là một đối tượng x thoả mãn x x. Suy ra, S S ?! Vì vậy ta không thể kết luận được S S và cũng không thể kết luận được S S ?!  Paradox! Toán rời rạc 49
  50. Các phép toán tập hợp  Giao (intersection) của 2 tập A và B: • là tập các phần tử vừa thuộc vào A vừa thuộc vào B. • Ký hiệu: A  B A  B = x  x A  x B  • Nếu giao là tập rỗng, thì A và B được gọi là không giao nhau. Toán rời rạc 50
  51. Các phép toán tập hợp  Hợp (union) của 2 tập A và B: • là tập tất cả các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc vào B. • Ký hiệu: A  B A  B = x  x A  x B   Lực lượng của hợp của hai tập A và B: Có quan hệ so sánh nào ? |AB| ? |A| ? |B| ? |AB| Toán rời rạc 51
  52. Các phép toán tập hợp  Hiệu (difference) của A và B: • là tập hợp các phần tử của A không thuộc vào B. • Ký hiệu: A – B hoặc A \ B A – B = x  x A  x B   Hiệu đối xứng (symmetric difference) của A và B: • là tập (A – B)  (B – A) • Ký hiệu: A  B Toán rời rạc 52
  53. Các phép toán tập hợp  Phần bù (complement) của tập A: • là tập U – A, trong đó U là tập vũ trụ. • phần bù của A là phụ thuộc vào U ! • Ký hiệu: A A = x  (x A)  • Cách ký hiệu khác: Ac. Toán rời rạc 53
  54. Các phép toán tập hợp  Ví dụ: • U = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10  • A= 1, 2, 3, 4, 5 , B = 4, 5, 6, 7, 8 . • Khi đó A  B A  B A B A -B B -A A  B Toán rời rạc 54
  55. René Descartes Tích Đề các (1596-1650)  Tích Đề-các (Cartesian product) của A với B: • Là tập bao gồm tất cả các cặp có thứ tự (a, b), trong đó a thuộc A và b thuộc B. • Ký hiệu: A B. Theo định nghĩa A B = (a, b)a A  b B  • Ví dụ: • Cho A = 1, 2, 3  và B = 3, 4 . Khi đó A B = (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4)  B A = (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)  • Thông thường A B B A • |A B| = ? Toán rời rạc 55
  56. Tích Đề các  Ví dụ: • A = { Thắng, Mạnh, Hùng, Cường }; • B = { Mai, Mơ, Mận, Me, Muỗm } • A B = { (T, Mai), , (T, Muỗm}, ,(C, Muỗm) }  Tích Đề các được mở rộng cho nhiều tập: • Cho A1, A2, , Am là các tập hợp • A1 A2 Am = {(a1, a2, , am): ai Ai, i = 1, 2, , m} Toán rời rạc 56
  57. Tích Đề các  Ví dụ: • A = { Thắng, Mạnh, Hùng, Cường }; • B = { Mai, Mơ, Mận, Me, Muỗm } • C = { P30 - B4, P55-B3, P17-A1 } • A B C = {(Thắng, Mai, P30-B4), }  Ký hiệu n XXXX n lÇn Toán rời rạc 57
  58. SƠ ĐỒ VENN (John Venn 1834­1923)  Venn diagrams: • Là cách biểu diễn rất trực quan giúp chỉ ra mối liên hệ giữa 2 hoặc 3 tập hợp. • Tập vũ trụ U được biểu diễn bởi hình chữ nhật. • Mỗi tập con của U được biểu diễn bởi phần trong của một vòng kín.  Ví dụ: Cho 2 tập Cho 3 tập Toán rời rạc 58
  59. Ví dụ: Nhiều tập sẽ rất rối mắt! Toán rời rạc 59
  60. SƠ ĐỒ VENN  Ví dụ: Vẽ sơ đồ Venn cho thấy tác động của các phép toán tập hợp. • Các miền tương ứng với kết quả sẽ tô đen để chỉ ra tác động của phép toán tập hợp. Toán rời rạc 60
  61. Sơ đồ Venn Toán rời rạc 61
  62. Sơ đồ Venn Toán rời rạc 62
  63. Sơ đồ Venn  Câu hỏi: • Hãy vẽ sơ đồ Venn của A  B • Phép  được sử dụng trong logic như là phép toán Exclusive OR? Toán rời rạc 63
  64. Các đẳng thức tập hợp  Các đẳng thức tập hợp tương tự như các đẳng thức logic.  Các đẳng thức quan trọng: Đẳng thức Tên gọi A   = A Đồng nhất A  U = A (Identity laws) A  U = U Trội A   =  (Domination laws) A  A = A Đồng nhất A  A = A Idempotent laws ()AA Bù (Complementation laws) Toán rời rạc 64
  65. Các đẳng thức tập hợp  Tiếp theo: Đẳng thức Tên gọi A  B = B  A Giao hoán A  B = B  A Commutative laws A  (B  C) = (A  B)  C Kết hợp A  (B  C) = (A  B)  C Associative laws A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Phân phối A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Distributive laws A  B A  B Luật De Morgan A  B A  B De Morgan’s laws Toán rời rạc 65
  66. Chứng minh các đẳng thức tập hợp  Để chứng minh đẳng thức tập hợp A = B, có thể sử dụng các kỹ thuật thường dùng sau: 1. Chứng minh A  B và B  A. 2. Sử dụng định nghĩa và sự tương đương của các mệnh đề logic xác định tập hợp. 3. Sử dụng bảng quan hệ thành viên. Toán rời rạc 66
  67. Ví dụ 1. CM đẳng thức: A(BC)=(AB)(AC).  Phần 1: CM A(BC)(AB)(AC). • Giả sử x A(BC), cần chỉ ra x (AB)(AC). • Ta biết x A, và hoặc là x B hoặc là x C. • TH 1: x B. Khi đó x AB, vì thế x (AB)(AC). • TH 2: x C. Khi đó x AC , do đó x (AB)(AC). • Suy ra, x (AB)(AC). • Vậy A(BC)(AB)(AC).  Phần 2: CM (AB)(AC)  A(BC). (tương tự) Toán rời rạc 67
  68. Ví dụ 2 • Chứng minh rằng ABAB  • CM: A B x x A  B theo ®Þnh nghÜa phÇn bï x ( x ( A  B )) theo ®Þnh nghÜa x ( x A  x B ) theo ®Þnh nghÜa giao x x A  x B) theo luËt DeMorgan x x A  x B) theo ®Þnh nghÜa phÇn bï x x A  B) theo ®Þnh nghÜa hî p • Q.E.D. Toán rời rạc 68
  69. Bảng quan hệ thành viên  Xây dựng bảng: • Các cột ứng với các biểu thức tập hợp. • Các dòng ứng với mọi tổ hợp có thể về quan hệ thành viên trong các tập đang xét.  Điền vào bảng: • Sử dụng “1” để ghi nhận là thành viên, “0” để chỉ ra không là thành viên.  Đẳng thức là được chứng minh nếu hai cột tương ứng với hai biểu thức ở hai vế là giống hệt nhau. Toán rời rạc 69
  70. Ví dụ 3 Chứng minh: (AB) B = A B. AA BB AABB ((AABB)) BB AA BB 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 Toán rời rạc 70
  71. Ví dụ 4  Sử dụng bảng quan hệ thành viên, chứng minh rằng A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A B C BC A(BC) AB AC (AB)(AC) 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 Toán rời rạc 71
  72. Các đẳng thức tập hợp  Ví dụ 5: • Cho A, B, và C là các tập hợp. Chứng minh rằng A  (B C) (C  B)  A • CM: ABCABC(  )  (  ) theo luËt De Morgan ABC (  ) theo luËt De Morgan theo luËt giao ho¸n ()BCA   ®èi ví i phÐp giao (CBA  )  theo luËt giao ho¸n ®èi phÐp hî p Toán rời rạc 72
  73. Hợp của nhiều tập  Hợp của hai tập: AB  Hợp của n tập: A1A2 An  (( ((A1 A2)  ) An) (ghép nhóm và thứ tự là không quan trọng)  Ký hiệu: n  Ai i 1 Toán rời rạc 73
  74. Giao của nhiều tập  Giao của hai tập: AB  Giao của n tập: A1A2 An  (( ((A1A2) )An) (ghép nhóm và thứ tự là không quan trọng)  Ký hiệu: n  Ai i 1 Toán rời rạc 74
  75. Biểu diễn tập hợp bởi xâu nhị phân  Đối với tập vũ trụ U = { x1, x2, , xn } gồm không quá nhiều phần tử. Ta có thể sử dụng biểu diễn tập SU bởi xâu nhị phân b1b2 bn trong đó bi=1  xi S.  Ví dụ. U = {1, ,11}. Xét các tập con S, T  U. • S = {2,3,5,7,11}  01101010001. • T = {1,2,4,11}  11010000001.  Trong cách biểu diễn này các phép toán tập hợp , , được thực hiện nhờ phép toán logic OR, AND, NOT với từng bít!  Ví dụ: S  T = 01101010001  11010000001 = 11111010001 Toán rời rạc 75
  76. Phân hoạch  Giả sử X1, X2, , Xm là các tập con của X. Ta nói X1, X2, , Xm tạo thành một phân hoạch của X (hoặc X được phân hoạch thành các tập X1, X2, , Xm ) nếu: • X = X1  X2   Xm ; • Xi  Xj = , i j. Toán rời rạc 76
  77. ÁNH XẠ  Định nghĩa  Cách xác định ánh xạ  Đơn ánh, toàn ánh, song ánh Fall 2008 Toán rời rạc 77
  78. Ánh xạ  Ta nói f là ánh xạ từ tập X vào tập Y nếu nó đặt tương ứng mỗi một phần tử x X với một phần tử y Y nào đó. • Ký hiệu: f: X Y hoặc y = f(x) • x gọi là gốc, y gọi là ảnh.  Trong giáo trình giải tích chúng ta đã làm quen với hàm số thực f đặt tương ứng mỗi số thực x R với một giá trị thực y = f(x). Toán rời rạc 78
  79. Xác định ánh xạ  Cho hai tập hữu hạn X và Y.  Để xác định một ánh xạ f từ X vào Y (f: X Y) ta có thể sử dụng một trong các cách sau: • Bảng giá trị đầy đủ • Sơ đồ ánh xạ • Ma trận ánh xạ Toán rời rạc 79
  80. Xác định ánh xạ: Bảng giá trị đầy đủ  Giả sử • X = {x1, x2, , xm}, Y = {y1, y2, , yn},  Một ánh xạ f từ X vào Y (f: X Y) có thể xác định bởi bảng giá trị đầy đủ sau đây x x1 x2 xm y=f(x) f(x1) f(x2) f(xm) Như vậy mỗi ánh xạ từ tập m phần tử X vào tập n phần tử Y hoàn toàn xác định bởi bộ ảnh (f(x1), f(x2), , f(xm)) Toán rời rạc 80
  81. Sơ đồ ánh xạ  Ánh xạ có thể xác định bởi sơ đồ như sau: f X Y • • f • • • • y x y • • • • • X x Y Sơ đồ Đồ thị hàm số Toán rời rạc 81
  82. Ma trận ánh xạ  Giả sử • X = {x1, x2, , xm}, • Y = {y1, y2, , yn},  Một ánh xạ f từ X vào Y (f: X Y) có thể xác định bởi ma trận Af = {aij} kích thước m n với các phần tử được xác định theo qui tắc sau đây: 1, nÕu yj lµ phÇn tö t­ ¬ng øng ví i x i qua ¸nh x¹ f aij 0, nÕu tr¸i l¹i Toán rời rạc 82
  83. Ví dụ • X = { Thắng, Mạnh, Hùng, Cường }; • Y = { Mai, Mơ, Mận, Me, Muỗm }  Xét ánh xạ f từ X vào Y xác định bởi bảng giá trị đầy đủ sau: x Thắng Mạnh Hùng Cường y=f(x) Mai Mai Mận Muỗm  Ánh xạ nói trên có thể cho bởi sơ đồ và ma trận như sau: Mai Mai M¬ MËn Me Muçm Thắng 1 0 0 0 0 Thắng Mơ Mạnh 1 0 0 0 0 Mạnh Mận A f 0 0 0 1 0 Hùng Hùng Me 0 0 0 0 1 Cường Cường Muỗm Toán rời rạc 83
  84. Một số loại ánh xạ hay dùng  Xét 3 loại ánh xạ hay dùng • Đơn ánh • Toàn ánh • Song ánh  Giả sử X, Y là các tập hợp.  Đơn ánh: Ánh xạ f : X Y được gọi là đơn ánh (injection) nếu nó đặt tương ứng hai phần tử khác nhau của X với hai phần tử khác nhau của Y. x1, x2 X, x1 x2 f(x1) f(x2) Toán rời rạc 84
  85. Một số loại ánh xạ hay dùng  Toàn ánh: Ánh xạ f từ X vào Y được gọi là toàn ánh (surjection) nếu mỗi phần tử của Y đều là ảnh của ít nhất một phần tử nào đó của X qua ánh xạ f. y Y,  x X: y = f(x).  Song ánh: Ánh xạ f từ X vào Y được gọi là song ánh (bijection, one to one) hay còn gọi là tương ứng 1-1(one-to-one correspondence), sánh, nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Toán rời rạc 85
  86. Ví dụ  Sơ đồ của một số ánh xạ: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Đơn ánh Toàn ánh Song ánh Toán rời rạc 86
  87. Ứng dụng  Xét bài toán: Đếm số phần tử của tập X. Giả sử Y là tập mà số phần tử của nó là đã biết: ny = |Y|. Giả sử ta có thể xây dựng được ánh xạ f từ X vào Y. Khi đó • Nếu f là đơn ánh, thì ta có |X| ny • Nếu f là toàn ánh, thì ta có |X|  ny • Nếu f là song ánh, thì ta có |X| = ny  Trong tình huống thứ ba ta giải được bài toán đếm đặt ra, nhờ xây dựng được song ánh từ tập các cấu hình tổ hợp cần đếm (tập X) vào tập các cấu hình tổ hợp mà ta đã biết trước số phần tử (tập Y). Toán rời rạc 87
  88. Ví dụ  Hỏi có bao nhiêu số có 5 chữ số mà mỗi chữ số đứng sau lại lớn hơn chữ số đứng trước? Giải: Mỗi một số cần đếm tương ứng với một cách chọn ra 5 chữ số từ 9 chữ số 1, 2, , 9, và ngược lại mỗi một cách lấy ra 5 chữ số từ 1, 2, , 9 sau khi sắp xếp theo thứ tự tăng dần cho ta đúng một số cần đếm. Vậy số lượng số cần đếm là C(9, 5).  Lập luận tương tự ta cũng có số lượng số cần đếm chính bằng số cách loại bỏ 4 chữ số từ dãy 1 2 3 9. Vậy số lượng số cần đếm là C(9, 4)  Như vậy bằng lập luận tổ hợp ta đã chứng minh được C(9,5) = C(9,4). Fall 2008 Toán rời rạc 88
  89. Ask questions! Toán rời rạc 89
  90. Toán rời rạc 90
  91. Toán rời rạc 91