›
›

Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 3: Khảo sát tính ổn định của hệ thống

ppt 98 trang huongle 5280
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 3: Khảo sát tính ổn định của hệ thống", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_ly_thuyet_dieu_khien_tu_dong_chuong_3_khao_sat_tin.ppt

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 3: Khảo sát tính ổn định của hệ thống

  1. Chương 3 KHẢO SÁT KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 2
  2. Nội dung chương 3 Khái niệm ổn định Tiêu chuẩn ổn định đại số Điều kiện cần Tiêu chuẩn Routh Tiêu chuẩn Hurwitz Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Khái niệm về QĐNS Phương pháp vẽ QĐNS Xét ổn định dùng QĐNS Tiêu chuẩn ổn định tần số Khái niệm về đặc tính tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản Đặc tính tần số của hệ thống tự động Tiêu chuẩn ổn định Bode Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 3
  3. KHÁI NIỆM ỔN ĐỊNH 4
  4. Khái niệm ổn định Định nghĩa ổn định BIBO Hệ thống được gọi là ổn định BIBO (Bounded Input Bounded Output) nếu đáp ứng của hệ bị chặn khi tín hiệu vào bị chặn. r(t) Hệ thống c(t) 5
  5. Thí dụ minh họa khái niệm ổn định 6
  6. Giản đồ cực - zero Giản đồ cực – zero là đồ thị biểu diễn vị trí cá c cực và các zero của hệ thống trong mặt phẳng phức. 8
  7. Phương trình đặc trưng (PTĐT) Phương trình đặc trưng: phương trình A(s) = 0 Đa thức đặc trưng: đa thức A(s) Chú ý: Hệ thống hồi tiếp Hệ thống mô tả bằng PTTT Phương trình đặc trưng Phương trình đặc trưng 1+G(s)H(s)=0 det(sI –A)=0 10
  8. Tiêu chuẩn ổn định đại số 11
  9. Tiêu chuẩn ổn định đại số Điều kiện cần Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương trình đặc trưng phải khác 0 và cùng dấu. Thí dụ: Hệ thống có phương trình đặc trưng: Không ổn định Không ổn định Chưa kết luận được 12
  10. Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Qui tắc thành lập bảng Routh Cho hệ thống có phương trình đặc trưng: Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập bảng Routh theo qui tắc: Bảng Routh có n+1 hàng. Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẵn. • Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẻ. Phần tử ở hàng i cột j của bảng Routh (i = 3) được tính theo công thức: với 13
  11. Dạng bảng Routh 14
  12. Phát biểu tiêu chuẩn Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các phần tử nằm ở cột 1 của bảng Routh đều dương. Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm của phương trình đặc trưng và bằng số cực nằm bên phải mặt phẳng phức. 15
  13. Thí dụ 2 Xét tính ổn định của hệ thống có sơ đồ khối: Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống là: • • 17
  14. Thí dụ 1 Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: Giải: Bảng Routh Kết luận: Hệ thống ổn định do tất cả các phần tử ở cột 1 bảng Routh đều dương. 16
  15. Thí dụ 2 (tt) Bảng Routh Kết luận: Hệ thống không ổn định do tất cả các phần tử ở cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần. 18
  16. Thí dụ 3 Tìm điều kiện của K để hệ thống ổn định: Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống là: 19
  17. Thí dụ 3 (tt) Bảng Routh Điều kiện để hệ thống ổn định: 20
  18. Trường hợp đặc biệt 1 Nếu bảng Routh có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0, các hệ số còn lại của hàng đó khác 0 thì ta thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi số e dương nhỏ tùy ý, sau đó quá trình tính toán được tiếp tục. 21
  19. Thí dụ 4 Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: Giải: Bảng Routh Kết luận: Vì các hệ số ở cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần nên phương trình đặc trưng của hệ thống có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn định . 22
  20. Trường hợp đặc biệt 2 Nếu bảng Routh có tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0: Thành lập đa thức phụ từ các hệ số của hàng trước hàng có tất cả các hệ số bằng 0, gọi đa thức đó là A0(s). Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có các hệ số chính là các hệ số của đa thức dA0(s)/ds, sau đó quá trình tính toán tiếp tục. Chú ý: Nghiệm của đa thức phụ A0(s) cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng. 23
  21. Thí dụ 5 Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: Giải: Bảng Routh 24
  22. Thí dụ 5 (tt) Đa thức phụ: Nghiệm của đa thức phụ (cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng): Kết luận Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phương trình trưng không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức. Phương trình đặc tính có 2 nghiệm nằm trên trục ảo. Sốnghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 – 2 = 3. Hệ thống ở biên giới ổn định 25
  23. Qui tắc thành lập ma trận Hurwitz Cho hệ thống có phương trình đặc trưng: Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz, trước tiên ta thành lập ma trận Hurwitz theo qui tắc: Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n×n. Đường chéo của ma trận Hurwitz là các hệ số từ a1 đến •an. Hàng lẻ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số lẻ theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo. Hàng chẳn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số chẳn theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo. 26
  24. Dạng ma trận Hurwitz Phát biểu tiêu chuẩn Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương 27
  25. Thí dụ 1 Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: Giải: Ma trận Hurwitz Các định thức: • Kết luận: Hệ thống ổn định do các định thức đều dương 28
  26. Các hệ quả của tiêu chuẩn Hurwitz Hệ bậc 2 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện: Hệ bậc 3 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện: Hệ bậc 4 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện: 29
  27. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số 30
  28. Giản đồ cực - zero Giản đồ cực – zero là đồ thị biểu diễn vị trí cá c cực và các zero của hệ thống trong mặt phẳng phức. 8
  29. Tính hàm truyền từ PTTT Thí dụ (tt) => 96
  30. Điều kiện ổn định Tính ổn định của hệ thống phụ thuộc vào vị trí các cực. Hệ thống có tất cả các cực có phần thực âm (có tất cả các cực đều nằm bên trái mặt phẳng phức): hệ thống ổn định. Hệ thống có cực có phần thực bằng 0 (nằm trên trục ảo), các cực còn lại có phần thực âm: hệ thống ở biên giới ổn định. Hệ thống có ít nhất một cực có phần thực dương (có ít nhất một cực nằm bên phải mặt phẳng phức): hệ thống không ổn định. 9
  31. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Định nghĩa Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ thay đổi từ 0.8 Thí dụ: QĐNS của hệ thống có PTĐT có dạng như hình vẽ dưới đây: 31
  32. Qui tắc vẽ QĐNS Muốn áp dụng các qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số, trước tiên ta phải biến đổi tương đương phương trình đặc trưng về dạng: Đặt: • • Gọi n là số cực của Go(s) , m là số zero của G0(s) 32
  33. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNS • Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phương trình đặc tính = số cực của G0(s) = n. • Qui tắc 2: • Khi K = 0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các • cực của G0(s). • Khi K tiến đến +∞ : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến • m zero của G0(s), n−m nhánh cịn lại tiến đến ∞ theo các tiệm • cận xác định bởi qui tắc 5 và qui tắc 6. • Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực. • Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero của G0(s) bên phải nĩ là một số lẻ. 33
  34. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNS (tt) • Qui tắc 5: : Gĩc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm số với trục thực xác định bởi : • Qui tắc 6: : Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A cĩ tọa độ xác định bởi: •(pi và zi là các cực •và các zero của G0(s) ) • Qui tắc 7: : Điểm tách nhập (nếu cĩ) của quỹ đạo nghiệm số nằm trên trục thực và là nghiệm của phương trình: dK = 0 ds 34
  35. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNS (tt) • Qui tắc 8: : Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo cĩ thể xác định bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz hoặc thay s=jω vào phương trình đặc trưng. • Qui tắc 9: Gĩc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức pj được xác định bởi: • Dạng hình học của cơng thức trên là: 35
  36. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1 • Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0→+∞. Giải: • Phương trình đặc trưng của hệ thống: K 1 + G(s) = 0  1 + = 0 (1) s(s + 2)(s + 3) • Các cực: p1 = 0 p2 = −2 p3 = −3 • Các zero: khơng cĩ 36
  37. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1 (tt) • Tiệm cận: • Điểm tách nhập: (1)  K = −s(s + 2)(s + 3) = −(s3 + 5s 2 + 6s) dK  = −(3s2 + 10s + 6) ds dK (loại) Do đĩ = 0  ds 37
  38. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1 (tt) • Giao điểm của QĐNS với trục ảo: • Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Hurwitz (1)  s3 + 5s2 + 6s + K = 0 (2) • Điều kiện ổn định: • Thay giá trị Kgh = 30 vào phương trình (2), giải phương trình ta được giao điểm của QĐNS với trục ảo 38
  39. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1 (tt) • Giao điểm của QĐNS với trục ảo: • Cách 2: (1)  s3 + 5s2 + 6s + K = 0 (2) • Thay s=jω vào phương trình (2): ( jω )3 + 5( jω )2 + 6( jω ) + K = 0  − jω3 − 5ω 2 + 6 jω + K = 0   39
  40. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1 (tt) 40
  41. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 • Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0→+∞. • Giải: • Phương trình đặc trưng của hệ thống: K 1 + G(s) = 0  1 + = 0 (1) s(s 2 + 8s + 20) • Các cực: p1 = 0 p2,3 = −4 ± j 2 • Các zero: khơng cĩ 41
  42. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt) • Tiệm cận: • Điểm tách nhập: (1)  K = −(s3 + 8s2 + 20s) dK  = −(3s2 + 16s + 20) ds dK • Do đĩ = 0  (hai điểm tách nhập) ds 42
  43. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt) • Giao điểm của QĐNS với trục ảo: (1)  s3 + 8s2 + 20s + K = 0 (2) • Thay s=jω vào phương trình (2): ( jω )3 + 8( jω )2 + 20( jω ) + K = 0  − jω3 − 8ω2 + 20 jω + K = 0   43
  44. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt) • Gĩc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2: 44
  45. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt) 45
  46. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 3 • Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0→+∞. • Giải: • Phương trình đặc trưng của hệ thống: K (s + 1) 1 + G(s) = 0  1 + 2 = 0 (1) s(s + 3)(s + 8s + 20) • Các cực: p1 = 0 p2 = −3 p3, 4 = −4 ± j 2 • Các zero: z1 = −1 46
  47. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 3 (tt) • Tiệm cận: • Điểm tách nhập: s(s + 3)(s2 + 8s + 20 ) dK 3s4 + 26s3 + 77s2 + 88s + 60 (1)  K = −  = − (s + 1) ds (s + 1)2 dK Do đĩ = 0  (khơng cĩ ds điểm tách nhập) 47
  48. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 3 (tt) • Giao điểm của QĐNS với trục ảo: (1)  s4 + 11s3 + 44s2 + (60 + K )s + K = 0 (2) • Thay s=jω vào phương trình (2): ω4 − 11 jω3 − 44ω2 + (60 + K ) jω + K = 0   (loại) • Vậy giao điểm cần tìm là: s = ± j5,893 48
  49. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 3 (tt) • Gĩc xuất phát của QĐNS tại cực phức p3: θ3 = 180 + β1 − (β2 + β3 + β4 ) = 180 + 146,3 − (153,4 + 116,6 + 90) θ3 = −33.70 49
  50. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 3 (tt) 50
  51. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 4 • Cho hệ thống điều khiển cĩ sơ đồ khối như sau: 10 G(s) = (s 2 + 9s + 3) KI GC (s) = K + P s • Cho KI = 2.7, hãy vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi KP =0→+∞, biết rằng dKP / ds=0 cĩ 3 nghiệm là −3, − 3, 1.5. • Khi KP =270, KI = 2.7 hệ thống cĩ ổn định hay khơng? 51
  52. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 4 (tt) • Giải: • Phương trình đặc trưng của hệ thống: 1 + GC (s)G(s) = 0   (1) • Các cực: p1 = −9 p2 = + j 3 p3 = − j 3 • Các zero: z1 = 0 52
  53. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 4 (tt) • Tiệm cận: • Điểm tách nhập: dKP = 0  ds (loại) • QĐNS cĩ hai điểm tách nhập trùng nhau tại −3 53
  54. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt) • Gĩc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2: 54
  55. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 4 (tt) • Khi KI =2.7, QĐNS của hệ thống nằm hồn tồn bên trái mặt phẳng phức khi KP =0→+∞, do đĩ hệ thống ổn định khi KI =2.7, KP =270. 55
  56. Tiêu chuẩn ổn định tần số 56
  57. Tiêu chuẩn ổn định tần số Khái niệm đặc tính tần số • Hãy quan sát đáp ứng của hệ thống tuyến tính ở trạng thái xác lập khi tín hiệu vào là tín hiệu hình sin. 57
  58. Tiêu chuẩn ổn định tần số Khái niệm đặc tính tần số • Hệ thống tuyến tính: khi tín hiệu vào là tín hiệu hình sin thì ở trạng thái xác lập tín hiệu ra cũng là tín hiệu hình sin cùng tần số với tín hiệu vào, khác biên độ và pha. • Định nghĩa: Đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu ra ở trạng thái xác lập và tín hiệu vào hình sin . C ( jω ) Đặc tính tần số = R( jω ) • Người ta chứng minh được: 58
  59. Tiêu chuẩn ổn định tần số Đáp ứng biên độ – Đáp ứng pha • Tổng quát G(jω) là một hàm phức nên cĩ thể biểu diễn dưới dạng đại số hoặc dạng cực: • Trong đĩ: Đáp ứng biên độ Đáp ứng pha • Ý nghĩa vật lý: • Đáp ứng biên độ cho biết tỉ lệ về biên độ (hệ số khuếch đại) giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số. • Đáp ứng pha cho biết độ lệch pha giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số. 59
  60. Tiêu chuẩn ổn định tần số Biểu đồ Bode – Biểu đồ Nyquist • Biểu đồ Bode: là hình vẽ gồm 2 thành phần: • Biểu đồ Bode về biên độ: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa • logarith của đáp ứng biên độ L(ω) theo tần số ω L(ω ) = 20 lg M (ω ) [dB] • Biểu đồ Bode về pha: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa đáp ứng pha ϕ(ω) theo tần số ω . • Cả hai đồ thị trên đều được vẽ trong hệ tọa độ vuơng gĩc với trục hồnh ω được chia theo thang logarith cơ số 10. • Biểu đồ Nyquist: (đường cong Nyquist) là đồ thị biểu diễn đặc tính tần số G(jω) trong hệ tọa độ cực khi ω thay đổi từ 0→∞. 60
  61. Tiêu chuẩn ổn định tần số Biểu đồ Bode Biểu đồ Nyquist 61
  62. Tiêu chuẩn ổn định tần số Các thơng số quan trọng của đặc tính tần số • Tần số cắt biên (ωc): là tần số mà tại đĩ biên độ của đặc tính tần số bằng 1 (hay bằng 0 dB). M (ωc ) = 1  L(ωc ) = 0 • Tần số cắt pha (ω−π): là tần số mà tại đĩ pha của đặc tính tần số bằng −1800 (hay bằng −π radian). ϕ (ω−π ) = −1800  ϕ (ω−π ) = −π rad • Độ dự trữ biên (GM – Gain Margin): 1 GM =  GM = − L(ω−π ) [dB] M (ω−π ) • Độ dự trữ pha ( ΦM – Phase Margin): ΦM = 1800 + ϕ (ωc ) 62
  63. Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tỉ lệ • Hàm truyền: G(s) = K • Đặc tính tần số: G( jω ) = K • Biên độ: M (ω ) = K  L(ω ) = 20 lg K • Pha: ϕ (ω ) = 0 63
  64. Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tỉ lệ 64
  65. Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tích phân lý tưởng 1 • Hàm truyền: G(s) = s 1 1 • Đặc tính tần số: G( jω ) = = − j jω ω 1 • Biên độ: M (ω ) =  L(ω ) = −20 lg ω ω • Pha: ϕ (ω ) = −900 65
  66. Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tích phân lý tưởng 66
  67. Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu vi phân lý tưởng • Hàm truyền: G(s) = s • Đặc tính tần số: G( jω ) = jω • Biên độ: M (ω ) = ω  L(ω ) = 20 lg ω • Pha: ϕ (ω ) = 900 67
  68. Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu vi phân lý tưởng 68
  69. Tiêu chuẩn ổn định tần số 69
  70. Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu quán tính bậc 1 70
  71. Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu sớm pha bậc 1 • Hàm truyền: G(s) = Ts + 1 • Đặc tính tần số: G ( jω ) = Tjω + 1 • Biên độ:  • Pha: • Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ: : đường thẳng nằm ngang trùng trục hoành : đường thẳng có độ dốc +20dB/dec 71
  72. Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu sớm pha bậc 1 72
  73. Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu dao động bậc 2 • Hàm truyền: • Đặc tính tần số: • Biên độ:  • Pha: Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ: • ω 1 / T : đường thẳng cĩ độ dốc −40dB/dec 73
  74. Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu dao động bậc 2 74
  75. Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu trì hỗn • Hàm truyền: G(s) = e−Ts • Đặc tính tần số: G ( jω ) = e−Tjω • Biên độ: M (ω ) = 1  L(ω ) = 0 • Pha: ϕ (ω ) = −Tω 75
  76. Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu trì hỗn 76
  77. Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của hệ thống • Xét hệ thống tự động cĩ hàm truyền G(s) cĩ thể phân tích thành tích của các hàm truyền cơ bản như sau: • Đặc tính tần số: l • Biên độ: M (ω ) = ∏ M i (ω )  i =1 l • Pha: ϕ (ω ) = ∑ϕi (ω ) i =1 => Biểu đồ Bode của hệ thống (gồm nhiều khâu ghép nối tiếp) bằng tổng biểu đồ Bode của các khâu thành phần. 77
  78. Tiêu chuẩn ổn định tần số Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ bằng đường tiệm cận • Giả sử hàm truyền của hệ thống cĩ dạng: G(s) = Ksα G1 (s)G2 (s)G3 (s)K (α>0: hệ thống cĩ khâu vi phân lý tưởng α 1 thì cĩ thể chọn ω0 =1. 78
  79. Tiêu chuẩn ổn định tần số Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ bằng đường tiệm cận (tt) • Bước 3: Qua điểm A, vẽ đường thẳng cĩ độ dốc: (− 20 dB/dec × α) nếu G(s) cĩ α khâu tích phân lý tưởng (+ 20 dB/dec × α) nếu G(s) cĩ α khâu vi phân lý tưởng Đường thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp. • Bước 4: Tại tần số gãy ωi =1/Ti , độ dốc của đường tiệm cận được cộng thêm một lượng: (−20dB/dec × βi) nếu Gi(s) là βi khâu quán tính bậc 1 (+20dB/dec × βi) nếu Gi(s) là βi khâu sớm pha bậc 1 (−40dB/dec × βi) nếu Gi(s) là βi khâu dao động bậc 2 (+40dB/dec × βi) nếu Gi(s) là βi khâu sớm pha bậc 2 Đường thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp. • Bước 5: Lặp lại bước 4 cho đến khi vẽ xong đường tiệm cận tại tần số gãy cuối cùng. 79
  80. Tiêu chuẩn ổn định tần số Thí dụ 1: Vẽ biểu đồ Bode gần đúng • Vẽ biểu đồ Bode biên độ gần đúng của hệ thống cĩ hàm truyền: • Dựa vào biểu đồ Bode gần đúng, hãy xác định tần số cắt biên của hệ thống. • Giải: • Các tần số gãy: 1 1 1 1 ω1 = = = 10 (rad/sec) ω2 = = = 100 (rad/sec) T1 0,1 T2 0,01 • Biểu đồ Bode qua điểm A cĩ tọa độ 80
  81. Tiêu chuẩn ổn định tần số Thí dụ 1 (tt) • Theo hình vẽ, tần số cắt biên của hệ thống là 103 rad/sec 81
  82. Tiêu chuẩn ổn định tần số Thí dụ 2: Xác định hàm truyền dựa vào biểu đồ Bode • Xác định hàm truyền của hệ thống cĩ biểu đồ Bode biên độ gần đúng như sau: 82
  83. Tiêu chuẩn ổn định tần số Thí dụ 2 (tt) 54 − 26 Độ dốc đoạn CD: = +40 (dB/dec) 2 − 1.301 • Các tần số gãy: 40 − 26 lg ωg1 = 0 + = 0.7  ωg1 = 100.7 = 5 (rad/sec) 20 lg ωg 2 = 1.301  ωg 2 = 101.301 = 20 (rad/sec) lg ωg 3 = 2  ωg 3 = 102 = 100 (rad/sec) 2 • Hàm truyền cần tìm cĩ dạng: G(s) = K (T1s + 1)(T2 s + 1) s(T3s + 1)2 20 lg K = 40  K = 100 1 1 1 1 1 1 T1 = = = 0.2 T2 = = = 0.05 T3 = = = 0.01 ωg1 5 ωg 2 20 ωg 3 100 83
  84. Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist • Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài tốn đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s). • Tiêu chuẩn Nyquist: Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu đường cong Nyquist của hệ hở G(s) bao điểm (−1, j0) l/2 vịng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) khi ω thay đổi từ 0 đến +∞, trong đĩ l là số cực nằm bên phải mặt phẳng phức của hệ hở G(s) . 84
  85. Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 1 • Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đĩ hệ hở G(s) cĩ đường cong Nyquist như hình vẽ. Biết rằng G(s) ổn định. Xét tính ổn định của hệ thống kín. 85
  86. Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 1 (tt) • Giải: • Vì G(s) ổn định nên G(s) khơng cĩ cực nằm bên phải mặt phẳng phức, do đĩ theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đường cong Nyquist G(jω) của hệ hở khơng bao điểm (−1, j0) • Trường hợp (1): G(jω) khơng bao điểm (−1, j0) => hệ kín ổn định. • Trường hợp (2): G(jω) qua điểm (−1, j0) => hệ kín ở biên giới ổn định; • Trường hợp (3): G(jω) bao điểm (−1, j0) => hệ kín khơng ổn định. 86
  87. Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 2 • Hãy đánh giá tính ổn định của hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết • Giải: • Biểu đồ Nyquist: 87
  88. Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 2 (tt) • Vì G(s) khơng cĩ cực nằm bên phải mặt phẳng phức, do đĩ theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đường cong Nyquist G(jω) của hệ hở khơng bao điểm (−1, j0) • Trường hợp (1): G(jω) khơng bao điểm (−1, j0) => hệ kín ổn định. • Trường hợp (2): G(jω) qua điểm (−1, j0) => hệ kín ở biên giới ổn định; • Trường hợp (3): G(jω) bao điểm (−1, j0) => hệ kín khơng ổn định. 88
  89. Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 3 • Cho hệ thống hở khơng ổn định cĩ đặc tính tần số như các hình vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định. Ổn định Khơng ổn định 89
  90. Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 3 (tt) • Cho hệ thống hở khơng ổn định cĩ đặc tính tần số như các hình vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định. Khơng ổn định 90
  91. Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 3 (tt) • Cho hệ thống hở khơng ổn định cĩ đặc tính tần số như các hình vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định. Ổn định Khơng ổn định 91
  92. Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 4 • Cho hệ thống hở cĩ hàm truyền đạt là: Tìm điều kiện của K và T để hệ thống kín (hồi tiếp âm đơn vị) ổn định. • Giải: • Đặc tính tần số của hệ thống là: • Biên độ: • Pha: 92
  93. Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 4 (tt) • Biểu đồ Nyquist: • Điều kiện ổn định: đường cong Nyquist khơng bao điểm (−1,j0). Theo biểu đồ Nyquist, điều này xảy ra khi: M (ω−π ) < 1 93
  94. Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 4 (tt) • Ta cĩ:  • Do đĩ: 94
  95. Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Bode • Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài tốn đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s). • Tiêu chuẩn Bode: Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu hệ thống hở G(s) cĩ độ dự trữ biên và độ dự trữ pha dương: 95
  96. Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Bode: Thí dụ • Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết rằng hệ hở cĩ biểu đồ Bode như hình vẽ. Xác định độ dự trữ biên, độ dự trữ pha của hệ thống hở. Hỏi hệ kín cĩ ổn định khơng? Theo biểu đồ Bode: Do GM<0 và ΦM<0 nên hệ thống kín khơng ổn định. 96
  97. Tiêu chuẩn ổn định tần số Chú ý • Trường hợp hệ thống hồi tiếp âm như hình vẽ, vẫn cĩ thể áp dụng tiêu chuẩn ổn định Nyquist hoặc Bode, trong trường hợp này hàm truyền hở là G(s)H(s) . 97