Bài giảng Lý thuyết sác xuất và thống kê toán - Chương 3: Mẫu ngẫu nhiên và bài toán ước lượng - Lê Trường Giang

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết sác xuất và thống kê toán - Chương 3: Mẫu ngẫu nhiên và bài toán ước lượng - Lê Trường Giang

1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING KHOA CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Giảng viên ThS. Lê Trƣờng Giang
2. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT & THỐNG KÊ TOÁN Chƣơng 3 MẪU NGẪU NHIÊN VÀ BÀI TOÁN ƢỚC LƢỢNG Bài 3 ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG CHO TỈ LỆ TỔNG THỂ
3. Bài 3. Ước lượng khoảng cho tỉ lệ tổng thể 3.1.1. Xây dựng khoảng ƣớc lƣợng 3.1. Ƣớc lƣợng khoảng cho tỷ lệ 3.1.2. Ví dụ minh họa tổng thể 3.1.3. Bài tập nhóm 3.2.1. Tối đa 3.2.Khoảng ƣớc lƣợng một phía 3.2.2.Tối thiểu
4. Tài liệu tham khảo 1. Bài giảng Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán, Trƣờng Đại học Tài Chính - Marketing. 2. Tập bài giảng Xác suất và Thống kê Toán – Lê Trường Giang. 3. Lê Sĩ Đồng (2013)- Giáo trình Xác suất - Thống kê –NXB GDVN. 4. Lê Khánh Luận, Nguyễn Thanh Sơn (2011)-Lý thuyết xác suất và thống kê-NXBĐHQG TpHCM. 5. Trần Lộc Hùng (2005)- Giáo trình Xác suất Thống kê –NXB GDVN. 6. Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Ngô Văn Thứ (2012) – Giáo trình Lý thuyết xác suất và Thống kê – NXB Đại học Kinh Tế Quốc Dân, HN.
5. Bài 3. Ước lượng khoảng tham số tỉ lệ tổng thể Giả sử trong tổng thể ta quan tâm những phần tử có tính chất A với tỷ lệ là p chưa biết. Từ tổng thể, ta chọn ra một mẫu gồm n phần tử, kiểm tra mẫu này ta có tỷ lệ phần tử có tính chất A là f. Với một mẫu chọn được, cùng với độ tin cậy 1 cho trước , nhiệm vụ của bài toán ƯLTL là cần xác định khoảng pp 12 , sao cho P p12 p p 1
6. 3.1. Ước lượng khoảng của tỷ lệ tổng thể Cho XXX 12 , , , n là mẫu ngẫu nhiên của tổng thể X có tỉ lệ p, F là tỉ lệ mẫu ngẫu nhiên, f là tỉ lệ mẫu cụ thể, n là kích thước mẫu, 1 là độ tin cậy của ước lượng. Ta xây dựng khoảng ước lượng (đối xứng) cho p:
7. XÂY DỰNG KHOẢNG ƢỚC LƢỢNG Fp Theo đlghtt, ta có GZN  d 0,1 pp 1 n Với 1 z P G z ; 1 1 2 2 2 ta cần xác định thỏa mãn z 1 P G z 1. 2 1 2 2 Khi đó P z G z P G z P G z 1 1 1 1 1 2 2 2 2
8. XÂY DỰNG KHOẢNG ƢỚC LƢỢNG Suy ra Fp P z z 1* 11 22pp 1 n Khi n đủ lớn, theo đlghtt ta có thể thay  XX p 11 p s F F Khi đó, từ (*) ta suy ra FFFF 11 P F z p F z 1 11 nn 22
9. Vậy , trên mẫu cụ thể ta thay F bởi f, ta đƣợc khoảng ƣớc lƣợng của p với độ tin cậy 1 ff 1 ff , ;. z 2 n 1  n 30 /2 /2 nf 5 nf 15 z1 0 z1 2 2
10. Ví dụ 1 Trƣớc ngày bầu cử tổng thống, một cuộc thăm dò dƣ luận đã tiến hành. Ngƣời ta chọn ngẫu nhiên 100 ngƣời để hỏi ý kiến thì có 60 ngƣời nói rằng họ sẽ bỏ phiếu cho ông A. Hãy ƣớc lƣợng (khoảng đối xứng) tỉ lệ cử tri bỏ phiếu cho ông A với độ tin cậy 95%.
11. Hướng dẫn tra bảng Bảng giá trị tích phân Laplace (hàm phân phối xs Gauss) 1 x t2  0 x exp dt zz 1,96  0.95; 0 z 0,475  0,475 2 0 2 2 2 2 X .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06.06 .07 .08 .09 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0389 0438 0478 0517 0557 0396 0636 0675 0714 0753 0.2 0793 0832 0871 0910 0948 0987 1026 1064 1103 1141 0.3 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517 0.4 1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1844 1879 0.5 1915 1950 1985 2019 2054 2088 2123 2157 2190 2224 0.6 2257 2291 2324 2357 2389 2422 2454 2486 2517 2549 0.7 2580 2611 2642 2673 2703 2734 2764 2794 2823 2852 0.8 2881 2910 2939 2967 2995 3023 3051 3078 3106 3133 0.9 3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3365 3389 1.0 3413 3438 3461 3485 3508 3531 3554 3577 3599 3621 1.1 3643 3665 3686 3708 3729 3749 3770 3790 3810 3830 1.2 3849 3869 3888 3907 3925 3944 3962 3980 3997 4015 1.3 4032 4049 4066 4082 4099 4115 4131 4147 4162 4177 1.4 1492 4207 4222 4236 4251 4265 4279 4292 4306 4319 1.5 4332 4345 4357 4370 4382 4394 4406 4418 4429 4441 1.6 4452 4463 4474 4484 4495 4505 4515 4525 4535 4545 1.7 4554 4564 4573 4582 4591 4599 4608 4616 4625 4633 1.8 4641 4649 4656 4664 4671 4678 4686 4693 4699 4706 1.91.9 4713 4719 4726 4732 4738 4744 4750 4756 4761 4767 2.0 4772 4778 4783 4788 4793 4793 4803 4808 4812 4817 2,1 4821 4826 4830 4834 4838 4838 4846 4850 4854 4857
12. Ví dụ 1 Hƣớng dẫn n 100 30 + Ta nhận thấy nf 60 5 nf 1 40 5 + Sai số (độ chính xác) của ước lượng ff 1 0,6. 1 0,6  z 1,96. 0,096 2 n 100 + Khoảng ước lượng tỉ lệ ff ; 0,504;0,696.
13. Ví dụ 2 Trƣớc ngày bầu cử tổng thống, một cuộc thăm dò dƣ luận đã tiến hành. Ngƣời ta chọn ngẫu nhiên 100 ngƣời để hỏi ý kiến thì có 60 ngƣời nói rằng họ sẽ bỏ phiếu cho ông A. Để ƣớc lƣợng tỷ lệ ngƣời dân bỏ phiếu cho ông A với độ tin cậy 90% và sai số không vƣợt quá 2% thì cần phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu ngƣời nữa.
14. Ví dụ 2 Hướng dẫn ff 1 Độ chính xác của ước lượng được xác định  z 2 n Theo giả thiết ta có f 11 f f f  z n z2 0,02 0,02 0,45 2 2 n 0,02 2 0,6.0,4 nn 1,645 2 1623,615 0,02 Vậy cần phải điều tra thêm ít nhất là 1524 người.
15. Các bƣớc giải bài toán ƣớc lƣợng tỷ lệ Xác định các tham số Bƣớc 1 (n, f, 1 ) Tính độ chính xác (mức sai số) Bƣớc 2 ff 1 2 ff 1  z nz 2 2 n 2  Kết luận Bƣớc 3 p f ; f
16. 3.2. Khoảng ước lượng một phía Khoảng tin cậy tối đa của p với độ tin cậy 1 ff 1 p f z 1 .  2 n Khoảng tin cậy tối thiểu của p với độ tin cậy ff 1 f z1 . p  2 n
17. Ví dụ 3 Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm do một máy sản xuất thấy có 20 phế phẩm. Với mức ý nghĩa 5%, a) Hãy ƣớc lƣợng tỷ lệ phế phẩm tối đa của máy đó. b) Hãy ƣớc lƣợng tỷ lệ phế phẩm tối thiểu của nhà máy đó.
18. Hướng dẫn tra bảng Bảng giá trị tích phân Laplace (hàm phân phối xs Gauss) 1 x t2 x exp dt 0,05 0 zz 0,5 0,5 0,45 0,45 1,645 0 2 0 2 .05 X .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0389 0438 0478 0517 0557 0396 0636 0675 0714 0753 0.2 0793 0832 0871 0910 0948 0987 1026 1064 1103 1141 0.3 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517 0.4 1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1844 1879 0.5 1915 1950 1985 2019 2054 2088 2123 2157 2190 2224 0.6 2257 2291 2324 2357 2389 2422 2454 2486 2517 2549 0.7 2580 2611 2642 2673 2703 2734 2764 2794 2823 2852 0.8 2881 2910 2939 2967 2995 3023 3051 3078 3106 3133 0.9 3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3365 3389 1.0 3413 3438 3461 3485 3508 3531 3554 3577 3599 3621 1.1 3643 3665 3686 3708 3729 3749 3770 3790 3810 3830 1.2 3849 3869 3888 3907 3925 3944 3962 3980 3997 4015 1.3 4032 4049 4066 4082 4099 4115 4131 4147 4162 4177 1.4 1492 4207 4222 4236 4251 4265 4279 4292 4306 4319 1.5 4332 4345 4357 4370 4382 4394 4406 4418 4429 4441 1.61.6 4452 4463 4474 4484 4495 45054505 4515 4525 4535 4545 1.7 4554 4564 4573 4582 4591 4599 4608 4616 4625 4633 1.8 4641 4649 4656 4664 4671 4678 4686 4693 4699 4706 1.9 4713 4719 4726 4732 4738 4744 4750 4756 4761 4767 2.0 4772 4778 4783 4788 4793 4793 4803 4808 4812 4817 2,1 4821 4826 4830 4834 4838 4838 4846 4850 4854 4857
19. Ví dụ 3 20 Ta có f 0,05 400 ff 1 0,05.0,95  z 1 1,645. 0,0179  2 n 400 a) Khoảng tin cậy tối đa pf  0,0679 b) Khoảng tin cậy tối thiểu pf  0,0321
20. Các bƣớc giải bài toán ƣớc lƣợng tỷ lệ Bước 1: Xác định Bước 2: Tính độ chính xác ff 1  Kích thước mẫu: n I. Đối xứng  z  n  Tỉ lệ mẫu: f 2  Độ tin cậy: II. Một phía ff 1 1   z 1  2 n Bước 3: Kết luận i. Khoảng tin cậy đối xứng p f ; f ii. Khoảng tin cậy tối đa pf  iii. Khoảng tin cậy tối thiểu pf 
21. Bài 1. Một vùng có 3000 hộ gia đình. Để điều tra nhu cầu tiêu dùng một loại hàng hóa tại vùng đó ngƣời ta nghiên cứu ngẫu nhiên 100 gia đình và thấy có 74 gia đình có nhu cầu về loại hàng hóa trên. Với độ tin cậy 95% hãy ƣớc lƣợng số gia đình trong vùng có nhu cầu về loại hàng hóa đó. Bài 2. Để ƣớc lƣợng tỷ lệ ngƣời dân có mức thu nhập trên 10 triệu đồng ở TP. HCM với độ tin cậy 95%, sai số không vƣợt quá 2% thì cần phải điều tra với số lƣợng bao nhiêu ngƣời, biết rằng tỉ lệ thực nghiệm là 0,8.
22. Bài 1 Hƣớng dẫn Bài 1 n 100 30 M + Gọi M , suy ra p + Ta nhận thấy nf 74 5 3000 nf 1 26 5 + Độ chính xác của ước lượng ff 1 0,74. 1 0,74  z 1,96. 0,086 2 n 100 + Khoảng ước lượng tỉ lệ 0,654;0,826 . + Kết luận (1962; 2478)
23. Bài 2 Hướng dẫn Bài 2 ff 1 Độ chính xác của ước lượng được xác định  z1 2 n Theo giả thiết ta có f 11 f f f  z n z2 0,02 0,02 2 22n 0,02 2 0,8.0,2 nn 1,96 2 1536,64 0,02 Vậy cần phải điều tra ít nhất là 1537 người
24. Bài 3. Từ một lô hàng gồm 5000 sản phẩm, ngƣời ta chọn ngẫu nhiên ra 500 sản phẩm để kiểm tra thì thấy có 450 sản phẩm loại A. a) Hãy ƣớc lƣợng số sản phẩm loại A có trong lô hàng với độ tin cậy 95%? b) Nếu muốn ƣớc lƣợng số sản phẩm loại A của lô hàng đạt độ chính xác nhƣ câu a) và độ tin cậy 99% thì cần kiểm tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa? c) Nếu muốn ƣớc lƣợng tỷ lệ sản phẩm loại A của lô hàng đạt độ chính xác ε = 2, 5% thì độ tin cậy là bao nhiêu %? Đáp số a) (4369; 4632) sản phẩm. b) cần phải điều tra 364 sản phẩm nữa. c) độ tin cậy là 93.72%.
25. Đáp số a) (4369; 4632) sản phẩm. b) cần phải điều tra 364 sản phẩm nữa. c) độ tin cậy là 93.72%.
26. XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!