›

Bài giảng Lý thuyết thông tin - Chương 2: Giới hạn và liên tục

ppt 84 trang huongle 6520
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết thông tin - Chương 2: Giới hạn và liên tục", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_ly_thuyet_thong_tin_chuong_2_gioi_han_va_lien_tuc.ppt

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết thông tin - Chương 2: Giới hạn và liên tục

  1. Mơn học : GIẢI TÍCH 1 CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ (Học trong giờ Bài tập) CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Giới thiệu các lọai hàm : Hàm hợp, hàm ngược, các hàm lượng giác ngược, các hàm hyperbol Giới hạn hàm số - Hàm liên tục Vơ cùng lớn – Vơ cùng bé
  2. CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm hàm y=f(x), hàm ngược, hàm cho bởi phương trình tham số Đạo hàm cấp cao Vi phân, vi phân cấp cao Cơng thức Taylor – Maclaurint. Ứng dụng tính giới hạn hàm Quy tắc L’Hospital Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm y=f(x) Giới thiệu phần mềm MatLab để giải bài tốn giải tích
  3. CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN Tích phân bất định Tích phân xác định – Cơng thức Newton-Leibnitz Tích phân suy rộng: Tích phân với cận vơ tận và Tích phân hàm khơng bị chặn Ứng dụng của tích phân CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân cấp 1: 5 dạng Phương trình vi phân cấp 2: Pt giảm cấp được và Pt tuyến tính Hệ Phương trình vi phân tuyến tính
  4. CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
  5. Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học Hàm số mũ: y = ax Nếu a=1 thì hàm làm hàm hằng, nên ta chỉ tính khi a≠1 Hàm xác định với a>0, a≠1 MXĐ: (-∞,+∞), MGT: (0,+∞) Khi 0<a<1: • Hàm nghịch biến limaaxx= 0, lim = + xx→+ →−
  6. Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học Khi a>1: Hàm đồng biến limaaxx= + , lim = 0 xx→+ →− So sánh 3 hàm y=2x, y=ex, y=3x
  7. Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học Hàm logarit: y=logax , a>0, a ≠1 MXĐ : (0,+∞), MGT: (- ∞,+∞) a>1: Hàm đồng biến lim loga x = − x→0+ lim loga x = + x→+
  8. Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học 0<a<1: Hàm nghịch biến lim loga x = + x→0+ lim loga x = − x→+ Tính chất: y loga (x . y )=+ log a x log a y y=loga x  x = a x log (ax )= x , x log=− logxy log a ay a a loga x a= x,0  x r logaa (x )= r log x ,  r R
  9. Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học So sánh một số hàm logarit với a>1 cụ thể Đặc biệt: khi a=e, ta kí hiệu đơn giản logex=lnx lnb và ta cĩ cơng thức log b = a ln a
  10. Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã họcc Hàm lũy thừa : y=xa MXĐ, MGT : Tùy thuộc vào a a=2, 4, 6: MXĐ: (- ∞,+∞), a=3, 5: MXĐ: (- ∞,+∞), MGT: (0,+∞) MGT: (- ∞,+∞)
  11. Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã họcc yx= a = -1: MXĐ: R*=R\{0}, MGT: R*. Ta cịn gọi đây là a=1/2: MXĐ (0,+∞), đường Hyperbol MGT (0,+∞)
  12. Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Hàm hợp : Cho 2 hàm g:,: X→→ Y f Y Z Ta gọi hàm hợp của 2 hàm trên là h= f g Được xác định như sau : h: X→= Z , h ( x ) f ( g ( x ))
  13. Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Ví dụ : Cho 2 hàm f( x )= 2 x + 1, g ( x ) = x2 + 1 Tìm f g, g f và tính giá trị của chúng tại x = 2 f g() x= f (()) g x = f ( x22 + 1)2 = x + 11 + fg(2) = 2 5 + 1 g f() x= g (2 x + 1) = (2 x + 1)22 + 1 = 4 x + 4 x + 2 =gf(2) 26 Lưu ý : Nĩi chung 2 hàm f g, g f khơng bằng nhau
  14. Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Ví dụ : Cho 2 hàm f( x )= x , g ( x ) =3 x − 1 Tìm các hàm và MXĐ của chúng f g,,, g f f f g g f g( x )= f ( g ( x )) = f (36 x − 1) = x − 1 MXĐ là [1,+∞) 3 g f( x )= g ( x ) = x − 1 MXĐ là [0, +∞) f f( x )= f ( f ( x )) = f ( x ) = x = 4 x MXĐ là [0, +∞) g g() x= g (()) g x = g (33 x − 1) =3 x − 11 − MXĐ là R
  15. Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Hàm 1-1 : Hàm f:,() X→= Y f x y được gọi làm hàm 1-1 nếu x1 x 2:()() f x 1 f x 2 XY− − − − − −− Hàm 1-1 Khơng là hàm 1-1
  16. Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Hàm y=x3 là hàm 1-1 Hàm y=x2 khơng là hàm 1-1 Hàm 1-1 cĩ đồ thị chỉ cắt mọi đường thẳng y = C, với C thuộc MGT của hàm tại duy nhất 1 điểm.
  17. Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Hàm ngược : Cho hàm 1-1 f:,() X→= Y f x y hàm ngược của hàm, đựơc kí hiệu là y = f -1(x), fYX−1 : → sao cho f−1()() y= x y = f x Như vậy : f(f -1(y))=y và f -1(f(x))=x Ta cĩ: MXĐ của hàm f -1 là MGT của hàm f và MGT của hàm f -1 là MXĐ của hàm f
  18. Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Ví dụ: Tìm hàm ngược của hàm y = x3 - 1 Ta sẽ tìm hàm y = f-1(x) bằng cách tính x theo y y= x3 −11 x =3 y + Thay x bởi y, y bởi x, ta được hàm ngược y= f−1( x ) =3 x + 1 3 f f−1( x) = f( f ( x ))=f (33 x3 +1) = ( x3 +1) − 1 = x MXĐ và MGT của cả 2 hàm f và f -1 đều là R
  19. Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Ví dụ: Hàm y=x2 khơng làm hàm 1-1 trên (-∞,+∞) Tuy vậy, nếu ta giới hạn bớt MXĐ của hàm là (0 ,+∞) thì , x≥0 ta được hàm 1-1 yx= 2, x 0 Khi đĩ, ta vẫn cĩ hàm ngược y= x,0 x
  20. Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Với mọi a thuộc MXĐ của hàm y = f(x), đặt b = f(a) thì a = f-1(b) tức là điểm (a,b) thuộc đồ thị hàm f(x) thì điểm (b,a) thuộc đồ thị hàm f-1(x). Đồ thị của hàm y = f(x) và hàm y=f-1(x) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x
  21. Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol Hàm ngược của hàm y = sinx : hàm y=arcsinx Trên đọan Hàm y = sinx là hàm 1-1 Tồn tại hàm ngược là hàm y=arcsinx Hàm y=arcsinx cĩ MXĐ là [-1.1] MGT là − , 22
  22. Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol y=arcsin x x = sin y , y − , − 22 arcsin(sinx )= x , x − , 22 sin(arcsinx )= x , x  − 1,1 1 arcsin(− 1) = − ,arcsin( − ) = − 242 3 arcsin(0)== 0,arcsin( ) 23
  23. Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol Hàm ngược của hàm y = cosx : hàm y=arccosx Trên đoạn [0,π], hàm y=arccosx, MXĐ là y=cosx là hàm 1-1, tồn tại [-1,1], MGT là [0,π] hàm ngược y=arccos x x = cos y 1 1 2 arccos(0)= ,arccos( ) = ,arccos( − ) = 22 4 2 3
  24. Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol Hàm ngược của hàm y = tanx : hàm y=arctanx y=tan x x = arctan y Hàm y=arctanx, MXĐ là R, Trên đọan − , MGT là 22 Hàm y=tanx là hàm 1-1 21 arctan(− ) = − ,arctan(1) = ,arctan( 3) = ,arctan( − ) = − 2 4 33 6
  25. Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol Hàm ngược của hàm y = cotx : hàm y=arccotx Trên đọan [0,π] hàm là hàm 1-1 Hàm y=arccotx cĩ MXĐ là R, MGT là [0,π] y=cot x x = arc cot y 15 arccot(0)= 0, arc cot( ) = , arc cot( − 3) = 3 36
  26. Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol Định nghĩa (hàm Hyperbolic) eexx− − sin hyperbolic sinh(x ) = =shx 2 eexx+ − cos hyperbolic cosh(x ) = =chx 2 sinh(x ) tan hyperbolic tanh(x ) = =thx cosh(x ) cosh(x ) cotan hyperbolic coth(x ) = =cthx sinh(x )
  27. Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol Hàm y = coshx (chx) Hàm y = sinhx (shx)
  28. Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol Hàm y = tanhx (thx) Hàm y=cothx (ctx)
  29. Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol Cĩ các cơng thức sau (tương tự cơng thức lượng giác) 1/ ch2x – sh2x = 1 2/ sh(2x)=2shx.chx, ch(2x) = ch2x + sh2x 3/ ch(x+y) = chx.chy + shx.shy 4/ ch(x-y) = chx.chy - shx.shy 5/ sh(x+y) = shx.chy + shx.chy 6/ sh(x-y) = shx.chy - shx.chy
  30. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Điểm tụ: Cho D là tập số thực. Điểm x0 được gọi là điểm tụ của tập D nếu trong mọi lân cận (,)xx00−+ của x0 đều chứa vơ số các phần tử của D Ví dụ. D = (0,1) mọi điểm thuộc [0,1] đều là điểm tụ 1 D= , n N Cĩ duy nhất 1 điểm tụ là 0 n
  31. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số (ngơn ngữ ε – δ) : Cho hàm f(x) và x0 là 1 điểm tụ của MXĐ Df của hàm limf ( x ) = a   0   0 xx→ 0 x Df , x − x0  | f ( x ) − a | . Chú ý: a+ε Hàm f(x) cĩ thể a y=a+ε khơng xác định tại x0 y=a-ε a-ε x0 x0-δ x0+δ
  32. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số x −1 Ví dụ: Tính giới hạn l im x→1 x2 −1 Hàm khơng xác định tại x0=1, giới hạn đã cho cĩ dạng 0 0 Ta vẽ đường cong để minh họa cho kết quả dễ thấy x −11 lim = x→1 x2 −1 2
  33. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số (ngơn ngữ dãy): Cho x0 là điểm tụ của MXĐ Df của hàm f(x) n→ limf ( x ) = a (),xDnf xn x0, x n ⎯⎯⎯→ x o xx→ 0 n→ f() xn ⎯⎯⎯→ a Chú ý: Ta thường dùng định nghĩa bằng ngơn ngữ dãy để chứng minh giới hạn hàm khơng tồn tại ' bằng cách chỉ ra 2 dãy (xnn ),( x ) → x0 ' sao cho 2 dãy tương ứng f( xnn ), f ( x ) cĩ 2 giới hạn khác nhau
  34. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Ví dụ: Chứng minh rằng giới hạn sau khơng tồn tại lim sin x x→ Chọn 2 dãy xnn = n  f( x ) = sin n = 0  n (2nn++ 1) (2 1) xnn=  f( x ) = sin = 1,  n  22 limf ( xnn )== 0,lim f ( x ) 1 nn→ →
  35. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn ở vơ cực : limf ( x ) = a   0  A 0 y=a x→+ x Df , x A | f ( x ) − a |  . y=a limf ( x ) = a  B 0 x→− x Df , x B | f ( x ) − a |  .
  36. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn ra vơ cực : limfx ( ) = +  M 0   0 xx→ 0 x Df ,| x − x0 |  f ( x ) M . x0-δ x0+δ limfx ( ) = −  M 0   0 xx→ 0 x Df ,| x − x0 |  f ( x ) M . y=M
  37. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Tính chất của giới hạn hàm Cho : limf ( x )== a , lim g ( x ) b x→→ x00 x x 1) lim ( fa )= , R 2) lim (f+ g ) = a + b xx→ 0 xx→ 0 fa 3) lim (f g ) = a  b 4) lim= , b 0 xx→ 0 xx→ 0 gb 5) (x V ( x0 ), f ( x ) g ( x )) a b f()()() x g x h x 6) =limg ( x ) a (Định lý kẹp) limf== lim h a xx→ 0 x→→ x00 x x
  38. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số x Số e : 1 lim 1+=e x→+ x x 1 lim 1+=e x→− x 1 lim( 1+=xe) x x→0
  39. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn dạng u(x)v(x) : Giả sử : limu ( x )= a 0 xx→ 0 limv ( x ) = b xx→ 0 Ta cĩ : vx() v( x )ln( u ( x )) limv ( x )ln( u ( x )) lim(u ( x )) = lim e = exx→ 0 x→→ x00 x x ==eabln a b. limvx ( ) Vậy: limu ( x )vx()= lim u ( x )xx→ 0 x→→ x00 x x
  40. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn cơ bản thường gặp khi x→0 sin x arcsin x 1) lim= 1 7) lim= 1 x→0 x x→0 x ex −1 2) lim= 1 tan x x→0 8) lim= 1 x x→0 1− cosx 1 x 3) lim = 1/ x x→0 x2 2 9) lim( 1+= xe) x→0 ln(1+ x ) 4) lim= 1 x→0 x shx 10) lim= 1 (1+−x ) 1 x→0 5) lim = x x→0 x chx −11 11) lim = arctan x 2 6) lim= 1 x→0 x 2 x→0 x
  41. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn cơ bản thường gặp khi x→∞ 1) limx = + , 0 x→+ 2) lim( lnx) = + , 0 x→+ 3) limaax = + , 1 x→+ x 4) lim 1+=e x→+ x 5) lim sin x khơng tồn tại x→+
  42. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Các dạng vơ định: 0 1) 2) 0 3) 0 4) − 0 5) 1 6) 0 7) 0
  43. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Ví dụ: Tính các giới hạn sau bằng cách áp dụng các giới hạn cơ bản ln(cosx ) 0 L1 = lim (Dạng ) x→0 ln(1+ x2 ) 0 2 ln(1+ (cosx − 1)) x cos x − 1 1 1 L1 = lim =1.1.(− ) =− x→0 cosx − 1 ln(1+ xx22 ) 2 2 x−1 sin(e − 1) sin(et − 1) L2 = lim t =−x 1lim x→1 ln x t→0 ln(1+ t ) t sin(e − 1) tet −1 = lim t =1 t→0 e −1 ln(1+ tt )
  44. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Ví dụ: Tính các giới hạn sau bằng cách áp dụng các giới hạn cơ bản 1 1− cos x 1− cos xx Lx3 =−lim cot = lim = lim . .x x→0 sin x x→0 sin x x→0 x2 sin x = 0 1 L4 =−lim x tan x =−lim x = 1 x→ 2 x→ 2 tan − x 2 2 ( 2 ) 1 1 t m x −1 (1t +−)1m m n L = lim = lim = 5 n tx= −1lim 1 x→1 1 x→1 x −1 t→0 n t m (t + 1)− 1 n
  45. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Ví dụ: Tính các giới hạn sau bằng cách áp dụng các giới hạn cơ bản 3x 2 2 x x −2 x −2 3x 2 lim x +1 3 3 2 L = lim =+lim 1 = ex→ x −2 6 2 2 =1 x→ x − 2 x→ x − 2 7 x x xln7 31 − x 3 xx 3 31 e − 73− L7 = lim 2 = lim = lim x→0 23xx+ x→0 xx(23+ ) x→0 x.3 xln7 3 1. e − 1 ln 7 3 17 = lim . = ln x→0 xln 7 3 3 33
  46. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn 1 phía: Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu   0   0 x Df ,0 x0 − x  |f ( x ) − a |  . ký hiệu limf ( x ) = a − x→x0 Số a gọi là giới hạn phải của y = f(x) tại điểm x0, nếu x Df ,0 x − x0  ký hiệu limf ( x ) = a + x→x0
  47. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn 1 phía: Định lý: Hàm số y = f(x) cĩ giới hạn tại x0 khi và chỉ khi nĩ cĩ giới hạn trái, giới hạn phải tại x0 và chúng bằng nhau. Chú ý: 1.Ta cĩ thể dùng định lý trên để chứng minh khơng tồn tại giới hạn hàm (Ngồi cách dùng định nghĩa bằng ngơn ngữ dãy). 2.Giới hạn một phía thường được dùng trong các trường hợp hàm chứa căn bậc chẵn, chứa trị tuyệt đối, hoặc hàm ghép.
  48. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số 2x Ví dụ: Chứng minh khơng tồn tại giới hạn lim x→3 x − 3 bằng cách tìm giới hạn 1 phía 2x Ta cĩ: lim = − x→3− x − 3 vì khi x→3- thì x-3 0 2x Vậy:  lim x→3 x − 3 vì giới hạn trái, phải tồn tại nhưng khơng bằng nhau
  49. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số 1 Ví dụ: Tính giới hạn lim 2 x−1 x→10 Giới hạn phải: x→1+ xx 1 − 1 0 Tức là 1 1 → + Vậy: lim 2 x−1 = + x −1 x→+10 Giới hạn trái: x→1- xx 1 − 1 0 Tức là 1 1 → − Vậy: lim 2x−1 = 0 x −1 x→−10
  50. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Ví dụ : Tính giới hạn khi x→0 của hàm sin2x ,0x fx()= x 5xx+ 2, 0 sin2x limfx ( )== lim 2 xx→→00++x limf ( x )= lim (5 x + 2) = 2 xx→→00−− Vậy: limfx ( )= 2 x→0
  51. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Hàm liên tục: Hàm y=f(x) được gọi là liên tục tại điểm x=a thuộc MXĐ của hàm nếu limf ( x )= f ( a ) xa→ Hàm gián đoạn tại x=a nếu nĩ khơng liên tục tại đĩ Đồ thị của hàm y=f(x) gián đọan tại x=3
  52. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Các hàm sơ cấp cơ bản là 5 lớp hàm sau 1.Hàm số mũ : y=ax 2.Hàm lũy thừa: y=xa 3.Hàm loga: y=logax 4.Các hàm lượng giác: 4 hàm 5.Các hàm lượng giác ngược: 4 hàm Hàm sơ cấp là các hàm tạo từ các hàm sơ cấp cơ bản với 4 phép tốn số học (cộng, trừ, nhân, chia) và phép hợp hàm
  53. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Định lý (về sự liên tuc của các hàm sơ cấp): Các hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm xác định của nĩ xx2 −−2 Ví dụ: Khảo sát sự liên tục của hàm y = x − 2 Dễ thấy, y là hàm sơ cấp và khơng xác định tại x=2 nên nĩ khơng liên tục tại x=2. Điểm x=2 gọi là điểm gián đoạn của hàm
  54. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số xx2 −−2 y=g(x) Ta cĩ: limy = lim xx→→22x − 2 3 =lim(x + 1) = 3 x→2 xx2 −−2 ,2x 2 gx()= x − 2 3 , x = 2 Đặt: y=h(x) xx2 −−2 ,2x hx()= x − 2 1 1 , x = 2 2 Thì hàm g(x) là hàm liên tục với mọi x, hàm h(x) là, hàm gián đọan tại x=2
  55. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Liên tục 1 phía: Thay giới hạn trong định nghĩa hàm liên tục bởi 2 giới hạn 1 phía, tương ứng ta cĩ khái niệm liên tục trái, liên tục phải Định lý: Hàm liên tục tại x=a khi và chỉ khi nĩ liên tục trái và liên tục phải tại x=a Tính chất hàm liên tục: Tổng, tích, thương và hợp các hàm liên tục lại là các hàm liên tục
  56. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Ví dụ: Xét hàm phần nguyên f(x)=[x] Phần nguyên của x là số nguyên lớn nhất khơng vượt quá x. [1]=1, [0.5]=0, [-0.5] = -1 Ta cĩ: limx == n f ( n ) xn→ + limx = n − 1 f ( n ) xn→ − Vậy hàm f(x) liên tục phải và khơng liên tục trái tại x=n, n là số nguyên.
  57. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB VCB: Hàm số α(x) được gọi là vơ cùng bé (VCB) khi x→x0 nếu lim (x )= 0. xx→ 0 Ví dụ: Hàm α(x) = 2x3+x là: + VCB khi x→0 vì lim (x )= 0 x→0 + khơng là VCB khi x→1 vì lim (x )= 3 x→1
  58. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB Tính chất của các VCB 1) Tổng hữu hạn của các VCB là một VCB. 2) Tích của hai VCB là một VCB. 3) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB. 4) Thương của hai VCB cĩ thể khơng là một VCB.
  59. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB So sánh các VCB: Cho α(x) và β(x) là hai vơ cùng bé khi x→x0 ()x Giả sử lim = k xx→ 0  ()x 1) Nếu k = 0, thì α(x) gọi là VCB bậc cao hơn β(x), kí hiệu là α(x) = O(β(x)) 2) Nếu k hữu hạn, khác khơng, thì α(x) và β(x) là hai VCB cùng cấp. 3) Nếu k = 1, thì α(x) và β(x) là hai VCB tương đương, kí hiệu là : ()()xx 4) Nếu α(x) cùng bậc với (β(x))m thì ta nĩi bậc của α(x) là m so với β(x)
  60. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB Ví dụ: So sánh các VCB sau 22 1. Khi x→0 : (x )= sin x + x , ( x ) = tan2 x 1−x 2. Khi x→1 : (x )= ln x , ( x ) = e − 1 Ta dùng định nghĩa để so sánh, tức là ta sẽ tính giới hạn của tỉ số 2 VCB cần so sánh (x ) sin2 x++ x 2 sin 2 x x 2 2 x 2 1. lim= lim = lim = 0 x→0 (x ) x → 0 tan2 x x → 0 2x2 tan2 x Vậy α(x) = O(β(x)) (x ) ln(1+ ( x − 1)) x − 1 2.lim= lim = − 1 α(x), β(x) là 2 xx→→11(xx )− 1 e1−x −1 VCB cùng bậc
  61. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB Các VCB tương đương thường gặp khi x→0 1) sin xx  6) arcsin xx  2) exx -1  7) arctan xx  x2 3) 1- cos x  8) tan xx  2 4) ln(1+xx ) 9) sinh xx  2 x 5) (1+xx ) -1 10) coshx − 1 2
  62. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB Qui tắc thay VCB tương đương với tích, thương Cho các VCB tương đương f1( x ) f 2 ( x ), g 1 ( x ) g 2 ( x ) Ta được: f1( x ). g 1 ( x ) f 2 ( x ). g 2 ( x ) f12()() x f x g12()() x g x
  63. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB Qui tắc thay VCB tương đương với tổng nhiều VCB Giả sử a≠0, b ≠0, α, β là các hằng số thực sao cho  f12(),() x ax f x bx với x→0, f1(x), f2(x) là VCB 1.ax ,khi  (  ) f12( x )+ f ( x ) 2.( a + b ) x ,khi  = & a + b 0 3.khong thay duoc,khi = &a+b=0 Chú ý: Trường hợp duy nhất KHƠNG ĐƯỢC THAY VCB tương đương là HIỆU 2 VCB CÙNG TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI VCB THỨ BA
  64. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB Ví dụ: So sánh các VCB sau khi x→0: 1.  (x )== x , ( x ) x sin 1 x 2 3 2.  (x )= 2x − cos x , ( x ) = sin x2 − arcsin x2 1 ()x xsin 1 1.lim= lim x = lim sin xx→→00()xxx→0 x Giới hạn khơng tồn tại tức là 2 VCB này khơng so sánh được
  65. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB 2. Ta sẽ so sánh bằng cách tính bậc của 2 VCB đĩ 2 2 1 (xx )=− 2x cos =(exx ln 2 − 1) − (cos − 1) xx22ln 2 + 2 = x2 (ln 2+ 1 ) 2 Như vậy, bậc của α(x) là 2 so với x 3 3  (x )=− sin x2 arcsin x2 xx2 − 2 3 x 2 Bậc của β(x) là 3/2 so với x Vậy (x )= O ( ( x ))
  66. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB Ví dụ : Tìm a, b để α(x) cùng bậc với axb khi x→0 1. (xx )= sin( 1 − − 1) 2. (x )=+ tan x2 2 x 3. (x )=− 2x 1 4. (x )= 1 − 3 x2 − cos x Ta đí tính bậc của các VCB −−xx 1. (x )= sin 1−xx + 1 1 − + 1 −1 1 x ab==− ,1 2 2 2. (x ) x2 + 2 x 2x ab==2, 1
  67. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB 3. (xe )= 2xx − 1 =ln 2 − 1 1 2 ab= ln 2, = 1 xxln2= ln2 . 2 4. (x )= 1 − 3 x2 − cos x 1 2 2 cosx − 1 = (1 − 3x ) − 1 − cosx + 1 1 1 1 5 3.x22−= x x2 ab==5 ,2 222 4 4
  68. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB Qui tắc thay VCB tương đương với tổng nhiều VCB Giả sử a≠0, b ≠0, α, β là các hằng số thực sao cho  f12(),() x ax f x bx với x→0, f1(x), f2(x) là VCB 1.ax ,khi  (  ) f12( x )+ f ( x ) 2.( a + b ) x ,khi  = & a + b 0 3.khong thay duoc,khi = &a+b=0 Chú ý: Trường hợp duy nhất KHƠNG ĐƯỢC THAY VCB tương đương là HIỆU 2 VCB CÙNG TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI VCB THỨ BA
  69. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB 1− cos(2x ) Ví dụ: Tính giới hạn L1 = lim x→0 3xx2 ++ ln(1 ) 1.Ta thay VCB tương đương như sau, khi x→0 1 1−= cos2x (2 x )22 2 x 2 (VCB tương đương cơ bản) ln(1+ xx ) 3x22 + ln(1 + x ) 3 x + x x (Tổng các VCB khơng cùng bậc tương đương với VCB cĩ bậc thấp nhất) 2x2 L1 = lim = 0 x→0 x
  70. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB sin 2(x − 1) Ví dụ: Tính giới hạn L = lim 2 x−1 x→1+ ex+−cos 1 Lưu ý: Vì trong hàm dưới dấu lim cĩ cosx − 1 tức là x≥1 nên ta chỉ tính giới hạn phải Khi x→1+ thì (x-1) là VCB nên : sin2(xx−− 1) 2( 1) 132 exx−−11+cos x −= 1 ( e −+− 1) (1 cos x − 1) ( x −+ 1) x −=− 1 ( x 1) 22( ) 2(x − 1) 4 L2 = lim = x→1 3 (x − 1) 3 2
  71. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB ee2xx− sin Ví dụ: Tính L3 = lim x→0 tan3x e2x− e sin x( e 2 x − 1) − ( e sin x − 1) L3 ==lim lim xx→→00tan3xx tan3 2x−− sin x 2 x x 1 L3 ==lim lim = xx→→0 3x 0 3x 3
  72. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB eexx− sin Ví dụ: Tính L4 = lim x→0 3x ex− esin x( e x − 1) − ( e sin x − 1) L4 ==lim lim xx→→0033xx Đến đây, khơng thể thay VCB tương đương như trên được vì: x ex−1 Tử số là HIỆU CỦA 2 VCB CÙNG TƯƠNG ĐƯƠNG sin x e−1 sin x x VỚI VCB THỨ 3 Ta sẽ cĩ cách làm khác: hoặc dùng quy tắc L’Hospital hoặc dùng CT Taylor - Maclaurint
  73. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB VCL: Hàm số A(x) được gọi là vơ cùng lớn (VCL) khi x→x0 nếu limAx ( )= . xx→ 0 Ví dụ: 1. lim (2xx2 + sin ) = Nên A(x)=2x2+sinx là VCL x→ khi x→∞ 1 1 2. lim = =Ax() là VCL khi x→0 x→0 x x
  74. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB So sánh các VCL: Cho A(x) và B(x) là hai vơ cùng lớn khi xx→ 0. Ax() Giả sử lim= k . xx→ 0 Bx() 1) Nếu k = ∞ , thì A(x) gọi là VCL bậc cao hơn B(x), 2) Nếu k hữu hạn, khác khơng, thì A(x) và B(x) là hai VCL cùng cấp. 3) Nếu k=1, thì A(x) và B(x) là hai VCL tương đương 4) Nếu A(x) cùng bậc với (B(x))m thì bậc của A(x) là m so với B(x)
  75. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB Qui tắc ngắt bỏ VCL Tổng hữu hạn các VCL lim xx→ 0 Tổng hữu hạn các VCL VCL bậc cao nhất của tử = lim xx→ 0 VCL bậc cao nhất của mẫu
  76. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB 3 x10−2 x 5 + 2 − 2 x 3 + x 4 Ví dụ: Tính lim x→ x5+2 x 3 − x + x 2 + 3 x 3 − 2 x 4 Khi x → ∞ thì cả trên tử số và dưới mẫu số đều là tổng của các vơ cùng lớn khơng cùng bậc Bậc lớn nhất ở tử số và cả mẫu số đều là 4 3 10 5 3 4 Vậy: x−2 x + 2 − 2 x + x x4 1 lim ==lim − x→ x5+2 x 3 − x + x 2 + 3 x 3 − 2 x 4 x→ −2x4 2
  77. Giới hạn & liên tục – Phụ lục 1 x 5 2 1+− 1 5 32 32+−x 2 L1 = lim = lim x→0 x x→0 x 1 x 2. 1 ==lim 532 x→0 x 80 cos3xx− cos7 (cos3xx− 1) − (cos7 − 1) L2 = lim 2 = lim x→0 x x→0 x2 11 −+9xx22 49 = lm i 22= 20 x→0 x2
  78. Giới hạn & liên tục – Phụ lục L3 = lim cot 2xx  cot( / 4 − ) x→ /4 1 − 2x =−lim tan( 2x ) ==lim 2 2 x→ /4 2 tan( − x ) x→ /4 − x 4 4 2 2 1/sin (2x ) L4 =− lim 1 tan x x→0 ( ) 2 tan x x2 2 2 lim 2 tan x sin (2x ) 1 x→0 (2x )2 1 =−lim ( 1 tan x) == x→0 e 4 e
  79. Giới hạn & liên tục – Phụ lục chx− 1 1/(1− cosx ) 1 1− cos x L= lim cosh x chx− 1 5 ( ) =lim ( 1 + (chx − 1)) x→0 x→0 1 x2 lim 2 x→0 1 x2 ==e 2 e 4 2 2 x 2 21x − 21x2 − 2 x 23x + 4 4 L6 = lim 2 =+lim 1 2 x→ 21x − x→ 21x − 4x2 lim ==ex→ 21x2 − e2
  80. Giới hạn & liên tục – Phụ lục 2x − x2 (4.2x−22− 4) − (x − 4) L7 = lim = lim x→2 x − 2 x→2 x − 2 4(e(x− 2)ln 2 − 1) =lim − (x + 2) x→2 x − 2 4((x − 2)ln 2) =lim − 4 = 4(ln 2− 1) x→2 x − 2
  81. Giới hạn & liên tục – Phụ lục x 1/ x 1 L8 =+ lim e x→ x 1 (ex1/ x −+ 1 ) 1 x 1 1/ x 1 e1/ x −+1 =lim 1 + (e − 1 + ) x x→ x 1 1 1 (e1/ x− 1 + ) x ( + ) x limx lim x x =eexx→ = → = e2
  82. Giới hạn & liên tục – Phụ lục 2 xx2 ++14 xx( 1++ 14 / 1) L9 = lim x 0 lim =1 x→+ xx2 −+2 x→+ xx( 1− 2/ 2 +1) 1 14 2 (−x ) (1 −2 ) − 1 xx2 ++14 x x 0 lim L10 = lim 1 x→− xx2 −+2 x→− (−x ) (1 +2 ) 2 − 1 2 1− 14 x . 2 ==lim 2 x −7 x→− 12 . 2 x2
  83. Giới hạn & liên tục – Phụ lục 12− 1 eexx(1− ) L = lim th ==lim 1 11 + + 12− x→0 x x→0 eexx(1+ ) 1+ x xx 2 Lx12 =lim ln 1 + − ln = limx ln x→+ 22x→+ x 2 22 =limxx ln 1 + = lim . = 2 xx→+ xx →+
  84. Giới hạn & liên tục – Phụ lục 1− cos xsin x 1− esinxx ln(cos ) L13 = lim 2 = lim x→0 x x→0 x2 −sinxx ln(1 + (cos − 1)) −−xx(cos 1) = lim ==lim 0 x→0 x2 x→0 x2 4 − x2 (2+−xx )(2 ) L14 = lim ==lim 4 x→2 sh(2− x ) x→2 2 − x