Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê Toán - Chương 2: Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất (Phần 1) - Lê Trường Giang

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê Toán - Chương 2: Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất (Phần 1) - Lê Trường Giang

1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING KHOA CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN – THỐNG KÊ BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Giảng viên ThS. Lê Trƣờng Giang
2. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT & THỐNG KÊ TỐN Chƣơng 2 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
3. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 1. Biến ngẫu nhiên 2. Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên 4. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
4. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 1. Biến ngẫu nhiên a. Định nghĩa Xét một phép thử trong khơng gian mẫu  . Hàm X được xác định X :  X được gọi là biến ngẫu nhiên. (BNN là một số được gán cho từng kết quả của phép thử) Kí hiệu biến ngẫu nhiên bởi các chữ cái in hoa X, Y, Z, Miền giá trị của hàm X kí hiệu là Im(X) Im X x :   , X x . Với aX Im , tập : Xa  là một sự kiện ngẫu nhiên
5. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 1. Biến ngẫu nhiên a. Định nghĩa Ví dụ 1. Xét phép thử Bernoulli, trong phép thử này chỉ cĩ hai kết quả “thành cơng” kí hiệu là T và “thất bại” kí hiệu là T . Xác định một quy tắc X như sau: XTXT 1, 0, Khi đĩ X là một biến ngẫu nhiên và Im(X) = {0,1} Cho xác suất thành cơng là P T q , xác suất thất bại là P T 1 q . P X 1 P  : X 1 P T q , tương tự P X 01 q.
6. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 1. Biến ngẫu nhiên b. Phân loại Định nghĩa. BNN X thuộc loại rời rạc nếu Im(X) là tập hữu hạn hay vơ hạn đếm được. Ví dụ 2.Thực hiện dãy phép thử Bernoulli, gọi X là BNN chỉ số lần thực hiện phép thử cho đến khi xuất hiện lần thành cơng đầu tiên. Trong ví dụ này Im(X) = {1, 2, 3, }, dĩ đĩ X là BNN rời rạc. k 1 P X k q. 1 q , k 1,2, Định nghĩa. BNN X là liên tục nếu Im(X) là một khoảng hay đoạn số thực, và là tập vơ hạn khơng đếm được. Ví dụ 3. BNN X chỉ thời gian xuất hiện hư hỏng lần đầu tiên của một chiếc máy điện thoại. Khi đĩ, BNN X thuộc loại liên tục.
7. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 1. Biến ngẫu nhiên c. Chú ý BNN coi như được xác định nếu như ta biết được 2 yếu tố sau:  Tập các giá trị của BNN,  Các xác suất mà BNN nhận giá trị thuộc tập đĩ.
8. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 2. Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên + Luật phân phối xác suất của BNN là một biểu đồ, trong đĩ chỉ ra  Các giá trị cĩ thể nhận được của BNN,  Xác suất tương ứng để BNN nhận các giá trị đĩ. + Luật phân phối xác suất thường được thể hiện dưới hai hình thức: hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất.
9. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên a. Biến ngẫu nhiên rời rạc Định nghĩa. BNN X rời rạc, Im(X) = {x1, x2, , xn, } ứng với mỗi giá trị của X là một xác suất fX x P X x ,  x Im X . Hàm fX được gọi là hàm mật độ xác suất của BNN X . Hàm mật độ xác suất thỏa mãn các điều kiện sau i, fX x 0,  x Im X . ii,  fxX 1. xX Im
10. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên BNN X cĩ hữu hạn giá trị, Im(X) = {x1, x2, , xn}. Bảng phân phối xác suất của X dạng như sau X x1 x2 xn pi f X x i P X x i . P p p p 1 2 n Tập AX Im , P X A  f x . xA Ví dụ 6. Lơ hàng cĩ 20 sản phẩm giống nhau, cĩ 5 sản phẩm kém chất lượng. Lấy ngẫu nhiên một lần 3 sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ số sản phẩm kém chất lượng và tính xác suất PX 2 .
11. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Ví dụ 6B. Một xạ thủ cĩ 4 viên đạn, bắn lần lượt từng viên vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,7. Nếu cĩ 1 viên trúng mục tiêu hoặc hết đạn thì dừng. Gọi X là số viên đạn đã bắn. a) Lập bảng phân phối xác suất của X ? b) Tính PX 24 ?
12. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên a. Biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa. BNN X liên tục, với hai giá trị thực ab , xác suất của sự kiện a X b là P a X b . Giả sử một hàm f khơng âm, thỏa b P a X b f x dx. a Hàm f như trên được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X. Hàm mật độ xác suất thỏa mãn các điều kiện sau i. f x 0,  x . ii. f x dx 1. Ngược lại, f thỏa đồng thời i và ii thì f là hàm mật độ xác suất.
13. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên BNN X là biến ngẫu nhiên liên tục thì P X a 0,  a . Suy ra PaXb PaXb PaXb PaXb . y P(a ≤ X ≤ b) b f(x) Xác suất P a X b f x dx a là miền diện tích tơ đen a O b x Ví dụ 7. Cho X là BNN cĩ hàm mật độ xác suất như sau ax 2 nếu x [0,1] a. Xác định a ? fx 0 nếux [0,1]. b. Tính P 0,25 X 0,5 ?
14. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 4. Hàm phân phối xác suất Định nghĩa. Cho BNN X , hàm phân phối xác suất của X kí hiệu là F(x) được xác định F x P X x . y X rời rạc: F x  f t . tx P(X ≤ x) f(x) x X liên tục: F x f t dt . x O x
15. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 4. Hàm phân phối xác suất Tính chất. BNN X cĩ hàm phân phối F và hàm mật độ f 1. x , 0 F X 1. 2.  xx12, nếu xx12 thì F x12 F x . 3. Nếu a,, b a b thì P a X b F b F a . 4. limF x 0, lim F x 1. xx 5. f x F x tại x là điểm liên tục của f.
16. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất Nếu X là BNN rời rạc cĩ bảng phân phối xác suất là X x1 x2 x3 . xn p p1 p2 p3 . pn thì hàm phân phối F x  P X xi cụ thể xxi 0 khi xx 1 p x x x 1 khi 12 pp12 khi x23 x x Fx p p p 12 k khi xkk x x 1 p1 p 2 pn 1 khi xnn 1 x x p12 p pn khi xx n
17. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất Với X là BNN liên tục cĩ hàm mật độ xác suất là fx thì hàm x phân phối xác suất F x f t dt . Cụ thể 0 khi xa x khi x  a , b x f x F x t dtkhi a x b 0 khix a , b   a 1 khi xb x x khi x a t dtkhi x a f x F x a 0 khi xa 0 khi xa
18. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 4. Hàm phân phối xác suất Ví dụ 9A. Cho X là BNN rời rạc cĩ bảng phân phối xác suất như sau X 0 1 2 p 0.6 0.3 0.1 Tìm hàm phân phối xác suất của X ?
19. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 4. Hàm phân phối xác suất Ví dụ 9B. Cho X là BNN rời rạc cĩ bảng phân phối xác suất như sau X -2 0 1 2 3 p 0.1 0.2 0.1 0.5 0.1 a. Tìm hàm phân phối xác suất của X? b. Tính xác suất PX 03 ?
20. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 4. Hàm phân phối xác suất Ví dụ 9C. Tuổi thọ của một bộ phận trong một dây chuyền sản xuất là BNN X (tháng) cĩ hàm mật độ xác suất như sau 25 khix 0,40 2 fx 2 x 10 0 khix 0,40 a. Tìm hàm phân phối xác suất của X? b. Tìm xác suất để tuổi thọ của thiết bị nhỏ hơn 1 năm?
21. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 4. Hàm phân phối xác suất Ví dụ 9D. Cho BNN X cĩ hàm mật độ xác suất như sau 2 khix 2 fx x2 0 khix 2 a. Tìm hàm phân phối xác suất của X? b. Tìm PX 35 ?
22. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 4. Hàm phân phối xác suất Ví dụ 10 (BTN). Một người hằng ngày từ nhà đến cơ quan phải qua 4 ngã tư. Xác suất gặp đèn đỏ ở mỗi ngã tư là 25%. Lập hàm phân phối xác suất số lần gặp đèn đỏ của người đĩ.
23. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên 2. Phương sai của biến ngẫu nhiên 3. Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên 4. Mode và Median của biến ngẫu nhiên
24. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Định nghĩa. BNN X rời rạc, cĩ bảng phân phối xác suất dạng X x1 x2 xn P p1 p2 pn Kỳ vọng của X kí hiệu là  hoặc EX cho bởi n  E X  xii p i 1 hoặc  E X  xii p khi X cĩ vơ hạn đếm được các giá trị. i 1 BNN X liên tục với hàm mật độ f , kỳ vọng là giá trị  E X x f x dx
25. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên  xii pnếu X rời rạc i Nếu YX thì EY x f x dxnếu X liên tục. Tính chất. 1. Với k là hằng số thì E k k. 2. E kX kE X . 3. EXYEXEY . 4. E XY E X E Y nếu X và Y độc lập. 5. Nếu XY thì EXEY . 6. Nếu X 0 thì EX 0.
26. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Ý nghĩa của kỳ vọng: Kỳ vọng nĩi lên giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên. Khi BNN cĩ độ phân tán nhỏ thì kỳ vọng cĩ thể làm đại diện cho giá trị của biến ngẫu nhiên.
27. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Ví dụ 1. BNN X chỉ số lượng hàng hĩa bán ra trong một ngày, cĩ bảng phân phối xác suất như sau X 1 2 3 4 P 0,1 0,3 0,4 0,2 Tính kỳ vọng của X ?
28. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Ví dụ 2. Tuổi thọ của dân cư tại một quốc gia là BNN X cĩ hàm mật độ xác suất như sau 2 2 kx 100 x khi x 0,100 fx 0 khix 0,100 a) Xác định hằng số k? b) Tuổi thọ trung bình của dân cư quốc gia trên là bao nhiêu? c) Tìm tỉ lệ người cĩ tuổi thọ từ 60 đến 70 tuổi?
29. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 2. Phương sai của biến ngẫu nhiên Định nghĩa. BNN X cĩ kỳ vọng là  . Phương sai của biến ngẫu nhiên X là số EX()  2 nếu nĩ tồn tại. Phương sai của X được kí hiệu là Var(X), D(X) hoặc  2 . Khi X rời rạc cĩ bảng phân phối xác suất n X x1 x2 xn 2 Var X  xii p P p1 p2 pn i 1 2 Đối với biến ngẫu nhiên X liên tục Var X x f x dx . Chú ý. Để tính phương sai của X ta cĩ thể dùng cơng thức sau Var X E X 22  .
30. 2. Phương sai của biến ngẫu nhiên Ý nghĩa của phương sai: Giá trị phương sai biểu thị độ tập trung hay phân tán giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh trung bình của nĩ
31. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 2. Phương sai của biến ngẫu nhiên Ví dụ 3. Cho bảng phân phối xác suất của X X 1 2 3 4 P 0,4 0,24 0,144 0,216 Tính kỳ vọng, phương sai của X. Ví dụ 4. Cho BNN X liên tục, cĩ hàm mật độ xác suất f 3x2 khix 2,2 fx 16 0 khix 2,2 Hãy tính kỳ vọng, phương sai của X.
32. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 2. Phương sai của biến ngẫu nhiên Tính chất. 1. Với k là hằng số thì Vkar 0. 2. Var kX k2 . V ar X . 3. Var X Y Var X V ar Y nếu X và Y độc lập. Ví dụ 5. Cho BNN X cĩ kỳ vọng  , phương sai là  2 X  xác định kỳ vọng và phương sai của X * .  Ví dụ 6. Cho các BNN XXX12, , , n độc lập và cĩ cùng kỳ vọng bằng  và phương sai bằng  2 . Hãy tìm kỳ vọng, phương sai 1 và dạng chuẩn hĩa của XXXX 12 n . n
33. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 3. Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên Dù rằng phương sai biểu thị sự phân tán của các biến ngẫu nhiên, tuy nhiên lại khơng cùng đơn vị với các biến ngẫu nhiên đĩ. Chính vì thế mà người ta đưa ra một tham số mới cĩ ý nghĩa giống như phương sai, nhưng cùng đơn vị với biến ngẫu nhiên. Đại lượng đĩ gọi là độ lệch chuẩn và được ký hiệu là  X hoặc se X . Biểu thức xác định độ lệch chuẩn se X var X
34. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 4. Mode và Median a. Mode Định nghĩa: Mode được kí hiệu là Mod(X). Nếu X là BNN rời rạc thì Mode của X là giá trị mà tại đĩ xác suất P(X = Mod(X)) là lớn nhất. Nếu X là BNN liên tục thì Mode của X là giá trị mà tại đĩ hàm mật độ xác suất f(x) đạt cực đại. Một BNN X cĩ thể cĩ một hay nhiều Mode hoặc khơng cĩ Mode nào.
35. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 4. Mode và Median b. Median Định nghĩa. Median (trung vị) được kí hiệu là Med(X). Median là giá trị nằm chính giữa phân phối xác suất của BNN. Nĩi cách khác đĩ là giá trị chia phân phối của BNN thành hai phần bằng nhau 1 1 Median của biến ngẫu nhiên X là số m sao cho P X m và P X m . 2 2 1 Với X là BNN rời rạc thì Med X x nếu F xi F x i , x i X  . i 2 1 x 0 1 Với X là BNN liên tục thì Med X x nếu F x f x dx . 0 0 2 Chú ý: Median là khơng duy nhất, cĩ thể cĩ nhiều Median.
36. Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 4. Mode và Median Ví dụ 7 . Gọi BNN X bảng phân phối xác suất. X -200000 -50000 30000 100000 P 0,3 0,2 0,4 0,1 Tìm Mod(X) và Med(X).