›
›

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 4: Các định lí giới hạn và ứng dụng - Trần Lộc Hùng

pdf 184 trang huongle 3510
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 4: Các định lí giới hạn và ứng dụng - Trần Lộc Hùng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_ly_thuyet_xac_suat_va_thong_ke_toan_hoc_chuong_4_c.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 4: Các định lí giới hạn và ứng dụng - Trần Lộc Hùng

  1. Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học PGS.TS. Trần Lộc Hùng HCMC, 9/ 2013 Ngày 22 tháng 9 năm 2013 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 1 / 80
  2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING KHOA CƠ BẢN, BỘ MÔN TOÁN-THỐNG KÊ PGS. TS. TRẦN LỘC HÙNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Tp. Hồ Chí Minh, 9/2013 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 2 / 80
  3. Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học PGS.TS. Trần Lộc Hùng HCMC, 9/ 2013 Ngày 22 tháng 9 năm 2013 Chương 4. Các định lý giới hạn và ứng dụng PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 3 / 80
  4. Bất đẳng thức Luật yếu các số lớn Định lý giới hạn địa phương Định lý giới hạn tích phân Định lý giới hạn trung tâm Định lý xấp xỉ Poisson Từ khóa (Key Words) Các luật phân phối xác suất PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 4 / 80
  5. Luật yếu các số lớn Định lý giới hạn địa phương Định lý giới hạn tích phân Định lý giới hạn trung tâm Định lý xấp xỉ Poisson Từ khóa (Key Words) Các luật phân phối xác suất Bất đẳng thức PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 4 / 80
  6. Định lý giới hạn địa phương Định lý giới hạn tích phân Định lý giới hạn trung tâm Định lý xấp xỉ Poisson Từ khóa (Key Words) Các luật phân phối xác suất Bất đẳng thức Luật yếu các số lớn PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 4 / 80
  7. Định lý giới hạn tích phân Định lý giới hạn trung tâm Định lý xấp xỉ Poisson Từ khóa (Key Words) Các luật phân phối xác suất Bất đẳng thức Luật yếu các số lớn Định lý giới hạn địa phương PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 4 / 80
  8. Định lý giới hạn trung tâm Định lý xấp xỉ Poisson Từ khóa (Key Words) Các luật phân phối xác suất Bất đẳng thức Luật yếu các số lớn Định lý giới hạn địa phương Định lý giới hạn tích phân PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 4 / 80
  9. Định lý xấp xỉ Poisson Từ khóa (Key Words) Các luật phân phối xác suất Bất đẳng thức Luật yếu các số lớn Định lý giới hạn địa phương Định lý giới hạn tích phân Định lý giới hạn trung tâm PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 4 / 80
  10. Từ khóa (Key Words) Các luật phân phối xác suất Bất đẳng thức Luật yếu các số lớn Định lý giới hạn địa phương Định lý giới hạn tích phân Định lý giới hạn trung tâm Định lý xấp xỉ Poisson PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 4 / 80
  11. 2 Bất đẳng thức Chebyshev và ứng dụng 3 Các luật yếu các số lớn và các ứng dụng 4 Định lý xấp xỉ Poisson 5 Các định lý giới hạn de Moivre-Laplace 6 Định lý giới hạn trung tâm 7 Bài tập Chương 4. Các định lý giới hạn và ứng dụng 1 Các quy luật xác suất thường gặp PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 5 / 80
  12. 3 Các luật yếu các số lớn và các ứng dụng 4 Định lý xấp xỉ Poisson 5 Các định lý giới hạn de Moivre-Laplace 6 Định lý giới hạn trung tâm 7 Bài tập Chương 4. Các định lý giới hạn và ứng dụng 1 Các quy luật xác suất thường gặp 2 Bất đẳng thức Chebyshev và ứng dụng PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 5 / 80
  13. 4 Định lý xấp xỉ Poisson 5 Các định lý giới hạn de Moivre-Laplace 6 Định lý giới hạn trung tâm 7 Bài tập Chương 4. Các định lý giới hạn và ứng dụng 1 Các quy luật xác suất thường gặp 2 Bất đẳng thức Chebyshev và ứng dụng 3 Các luật yếu các số lớn và các ứng dụng PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 5 / 80
  14. 5 Các định lý giới hạn de Moivre-Laplace 6 Định lý giới hạn trung tâm 7 Bài tập Chương 4. Các định lý giới hạn và ứng dụng 1 Các quy luật xác suất thường gặp 2 Bất đẳng thức Chebyshev và ứng dụng 3 Các luật yếu các số lớn và các ứng dụng 4 Định lý xấp xỉ Poisson PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 5 / 80
  15. 6 Định lý giới hạn trung tâm 7 Bài tập Chương 4. Các định lý giới hạn và ứng dụng 1 Các quy luật xác suất thường gặp 2 Bất đẳng thức Chebyshev và ứng dụng 3 Các luật yếu các số lớn và các ứng dụng 4 Định lý xấp xỉ Poisson 5 Các định lý giới hạn de Moivre-Laplace PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 5 / 80
  16. 7 Bài tập Chương 4. Các định lý giới hạn và ứng dụng 1 Các quy luật xác suất thường gặp 2 Bất đẳng thức Chebyshev và ứng dụng 3 Các luật yếu các số lớn và các ứng dụng 4 Định lý xấp xỉ Poisson 5 Các định lý giới hạn de Moivre-Laplace 6 Định lý giới hạn trung tâm PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 5 / 80
  17. Chương 4. Các định lý giới hạn và ứng dụng 1 Các quy luật xác suất thường gặp 2 Bất đẳng thức Chebyshev và ứng dụng 3 Các luật yếu các số lớn và các ứng dụng 4 Định lý xấp xỉ Poisson 5 Các định lý giới hạn de Moivre-Laplace 6 Định lý giới hạn trung tâm 7 Bài tập PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 5 / 80
  18. Quy luật nhị thức Quy luật Poisson Quy luật hình học Quy luật nhị thức âm Quy luật siêu hình học Các quy luật xác suất thường gặp Quy luật Bernoulli PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 6 / 80
  19. Quy luật Poisson Quy luật hình học Quy luật nhị thức âm Quy luật siêu hình học Các quy luật xác suất thường gặp Quy luật Bernoulli Quy luật nhị thức PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 6 / 80
  20. Quy luật hình học Quy luật nhị thức âm Quy luật siêu hình học Các quy luật xác suất thường gặp Quy luật Bernoulli Quy luật nhị thức Quy luật Poisson PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 6 / 80
  21. Quy luật nhị thức âm Quy luật siêu hình học Các quy luật xác suất thường gặp Quy luật Bernoulli Quy luật nhị thức Quy luật Poisson Quy luật hình học PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 6 / 80
  22. Quy luật siêu hình học Các quy luật xác suất thường gặp Quy luật Bernoulli Quy luật nhị thức Quy luật Poisson Quy luật hình học Quy luật nhị thức âm PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 6 / 80
  23. Các quy luật xác suất thường gặp Quy luật Bernoulli Quy luật nhị thức Quy luật Poisson Quy luật hình học Quy luật nhị thức âm Quy luật siêu hình học PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 6 / 80
  24. Quy luật mũ Quy luật Cauchy Quy luật chuẩn Quy luật loga-chuẩn 4.1 Các quy luật xác suất thường gặp Quy luật đều PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 7 / 80
  25. Quy luật Cauchy Quy luật chuẩn Quy luật loga-chuẩn 4.1 Các quy luật xác suất thường gặp Quy luật đều Quy luật mũ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 7 / 80
  26. Quy luật chuẩn Quy luật loga-chuẩn 4.1 Các quy luật xác suất thường gặp Quy luật đều Quy luật mũ Quy luật Cauchy PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 7 / 80
  27. Quy luật loga-chuẩn 4.1 Các quy luật xác suất thường gặp Quy luật đều Quy luật mũ Quy luật Cauchy Quy luật chuẩn PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 7 / 80
  28. 4.1 Các quy luật xác suất thường gặp Quy luật đều Quy luật mũ Quy luật Cauchy Quy luật chuẩn Quy luật loga-chuẩn PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 7 / 80
  29. Các đặc trưng Các ví dụ 1. Quy luật Bernoulli Bài toán PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 8 / 80
  30. Các ví dụ 1. Quy luật Bernoulli Bài toán Các đặc trưng PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 8 / 80
  31. 1. Quy luật Bernoulli Bài toán Các đặc trưng Các ví dụ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 8 / 80
  32. p là xác suất thành công của phép thử Quy luật Bernoulli Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật Bernoulli, ký hiệu X ∼ B(p), nếu P(X = 1) = p; P(X = 0) = 1 − p, p ∈ (0, 1) X là số thành công của phép thử PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 9 / 80
  33. Quy luật Bernoulli Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật Bernoulli, ký hiệu X ∼ B(p), nếu P(X = 1) = p; P(X = 0) = 1 − p, p ∈ (0, 1) X là số thành công của phép thử p là xác suất thành công của phép thử PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 9 / 80
  34. Biến ngẫu nhiên nhận một trong hai giá trị 0 và 1, với xác suất p và (1-p), tương ứng. Ứng dụng trong tin học (số 0 và số 1), trong logic toán (đúng và sai), trong y học (sống và chết), trong kiểm định chất lượng (tốt và xấu), Các ví dụ Sấp ngữa, sống chết, đúng sai, PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 10 / 80
  35. Ứng dụng trong tin học (số 0 và số 1), trong logic toán (đúng và sai), trong y học (sống và chết), trong kiểm định chất lượng (tốt và xấu), Các ví dụ Sấp ngữa, sống chết, đúng sai, Biến ngẫu nhiên nhận một trong hai giá trị 0 và 1, với xác suất p và (1-p), tương ứng. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 10 / 80
  36. Các ví dụ Sấp ngữa, sống chết, đúng sai, Biến ngẫu nhiên nhận một trong hai giá trị 0 và 1, với xác suất p và (1-p), tương ứng. Ứng dụng trong tin học (số 0 và số 1), trong logic toán (đúng và sai), trong y học (sống và chết), trong kiểm định chất lượng (tốt và xấu), PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 10 / 80
  37. Phương sai D(X ) = p(1 − p) Các đặc trưng Kỳ vọng E(X ) = p PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 11 / 80
  38. Các đặc trưng Kỳ vọng E(X ) = p Phương sai D(X ) = p(1 − p) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 11 / 80
  39. p là xác suất thành công của một phép thử khi n=1, ta có quy luật Bernoulli k n! Hệ số nhị thức Cn = k!(n−k)! , 0 ≤ k ≤ n. Quy luật nhị thức Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật nhị thức, ký hiệu X ∼ Bn(p), nếu k k n−k P(X = k) = Cn p (1 − p) ; 0 ≤ k ≤ n, p ∈ (0, 1) X là số thành công của n phép thử Bernoulli PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 12 / 80
  40. khi n=1, ta có quy luật Bernoulli k n! Hệ số nhị thức Cn = k!(n−k)! , 0 ≤ k ≤ n. Quy luật nhị thức Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật nhị thức, ký hiệu X ∼ Bn(p), nếu k k n−k P(X = k) = Cn p (1 − p) ; 0 ≤ k ≤ n, p ∈ (0, 1) X là số thành công của n phép thử Bernoulli p là xác suất thành công của một phép thử PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 12 / 80
  41. k n! Hệ số nhị thức Cn = k!(n−k)! , 0 ≤ k ≤ n. Quy luật nhị thức Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật nhị thức, ký hiệu X ∼ Bn(p), nếu k k n−k P(X = k) = Cn p (1 − p) ; 0 ≤ k ≤ n, p ∈ (0, 1) X là số thành công của n phép thử Bernoulli p là xác suất thành công của một phép thử khi n=1, ta có quy luật Bernoulli PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 12 / 80
  42. Quy luật nhị thức Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật nhị thức, ký hiệu X ∼ Bn(p), nếu k k n−k P(X = k) = Cn p (1 − p) ; 0 ≤ k ≤ n, p ∈ (0, 1) X là số thành công của n phép thử Bernoulli p là xác suất thành công của một phép thử khi n=1, ta có quy luật Bernoulli k n! Hệ số nhị thức Cn = k!(n−k)! , 0 ≤ k ≤ n. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 12 / 80
  43. Xét nghiệm máu cho 1000 người có khả năng bị HIV với xác suất phát hiện HIV trong một phép thử là 0.99. Số USB bị nhiễm virus trong 1500 USB bán ra, với xác suất nhiễm là 0.001 Các ví dụ Kiểm định chất lượng của 300 trường đại học, tiến hành kiểm toán 150 ngân hàng, PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 13 / 80
  44. Số USB bị nhiễm virus trong 1500 USB bán ra, với xác suất nhiễm là 0.001 Các ví dụ Kiểm định chất lượng của 300 trường đại học, tiến hành kiểm toán 150 ngân hàng, Xét nghiệm máu cho 1000 người có khả năng bị HIV với xác suất phát hiện HIV trong một phép thử là 0.99. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 13 / 80
  45. Các ví dụ Kiểm định chất lượng của 300 trường đại học, tiến hành kiểm toán 150 ngân hàng, Xét nghiệm máu cho 1000 người có khả năng bị HIV với xác suất phát hiện HIV trong một phép thử là 0.99. Số USB bị nhiễm virus trong 1500 USB bán ra, với xác suất nhiễm là 0.001 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 13 / 80
  46. Các đặc trưng Kỳ vọng E(X ) = µ = np Phương sai D(X ) = σ2 = np(1 − p) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 14 / 80
  47. Coi Xj = 0 nếu phép thử thứ j không thành công, với xác suất 1-p Các biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn là độc lập, cùng phân phối Số phép thử thành công trong n phép thử độc lập là X = X1 + X2 + + Xn Khi đó, E(X ) = E(X1) + + E(Xn) = nE(X1) = np và do tính độc lập, nêm D(X ) = D(X1) + + D(Xn) = nD(X1) = np(1 − p) Chứng minh Coi Xj = 1 nếu phép thử thứ j thành công, với xác suất p PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 15 / 80
  48. Các biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn là độc lập, cùng phân phối Số phép thử thành công trong n phép thử độc lập là X = X1 + X2 + + Xn Khi đó, E(X ) = E(X1) + + E(Xn) = nE(X1) = np và do tính độc lập, nêm D(X ) = D(X1) + + D(Xn) = nD(X1) = np(1 − p) Chứng minh Coi Xj = 1 nếu phép thử thứ j thành công, với xác suất p Coi Xj = 0 nếu phép thử thứ j không thành công, với xác suất 1-p PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 15 / 80
  49. Số phép thử thành công trong n phép thử độc lập là X = X1 + X2 + + Xn Khi đó, E(X ) = E(X1) + + E(Xn) = nE(X1) = np và do tính độc lập, nêm D(X ) = D(X1) + + D(Xn) = nD(X1) = np(1 − p) Chứng minh Coi Xj = 1 nếu phép thử thứ j thành công, với xác suất p Coi Xj = 0 nếu phép thử thứ j không thành công, với xác suất 1-p Các biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn là độc lập, cùng phân phối PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 15 / 80
  50. Khi đó, E(X ) = E(X1) + + E(Xn) = nE(X1) = np và do tính độc lập, nêm D(X ) = D(X1) + + D(Xn) = nD(X1) = np(1 − p) Chứng minh Coi Xj = 1 nếu phép thử thứ j thành công, với xác suất p Coi Xj = 0 nếu phép thử thứ j không thành công, với xác suất 1-p Các biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn là độc lập, cùng phân phối Số phép thử thành công trong n phép thử độc lập là X = X1 + X2 + + Xn PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 15 / 80
  51. Chứng minh Coi Xj = 1 nếu phép thử thứ j thành công, với xác suất p Coi Xj = 0 nếu phép thử thứ j không thành công, với xác suất 1-p Các biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn là độc lập, cùng phân phối Số phép thử thành công trong n phép thử độc lập là X = X1 + X2 + + Xn Khi đó, E(X ) = E(X1) + + E(Xn) = nE(X1) = np và do tính độc lập, nêm D(X ) = D(X1) + + D(Xn) = nD(X1) = np(1 − p) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 15 / 80
  52. Xác suất p ∈ (0, 1), nhưng n quá lớn Hạn chế của quy luật Khi số phép thử lớn, p quá gần 0 hoặc gần 1. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 16 / 80
  53. Hạn chế của quy luật Khi số phép thử lớn, p quá gần 0 hoặc gần 1. Xác suất p ∈ (0, 1), nhưng n quá lớn PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 16 / 80
  54. Định lý giới hạn địa phương de Moivre-Laplace Định lý Xét một dãy phép thử Bernoulli có xác suất thành công p ∈ (0, 1). X là số phép thử thành công. Khi đó,   1 lim P X = k = ϕ(xk ) n→∞ pnp(1 − p) ở đây Hàm Laplace-mô hình chuẩn chính tắc 1 − 1 x2 k − np ϕ(x) = √ e 2 ; xk = 2π pnp(1 − p) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 17 / 80
  55. Xác suất p ∈ (0, 1), nhưng n quá lớn, việc tính theo mô hình nhị thức không khả thi. Khi n lớn, có xấp xỉ   1 P X = k = ϕ(xk ) pnp(1 − p) Giải thích Hàm ϕ(x) là hàm mật độ của mô hình chuẩn chính tắc N(0,1). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 18 / 80
  56. Khi n lớn, có xấp xỉ   1 P X = k = ϕ(xk ) pnp(1 − p) Giải thích Hàm ϕ(x) là hàm mật độ của mô hình chuẩn chính tắc N(0,1). Xác suất p ∈ (0, 1), nhưng n quá lớn, việc tính theo mô hình nhị thức không khả thi. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 18 / 80
  57. Giải thích Hàm ϕ(x) là hàm mật độ của mô hình chuẩn chính tắc N(0,1). Xác suất p ∈ (0, 1), nhưng n quá lớn, việc tính theo mô hình nhị thức không khả thi. Khi n lớn, có xấp xỉ   1 P X = k = ϕ(xk ) pnp(1 − p) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 18 / 80
  58. Định lý giới hạn địa phương de Moivre-Laplace Ví dụ Gieo 6000 lần một con xúc xắc cân đối đồng chất. Tính xác suất có đúng 1000 lần xuất hiện mặt "lục" ở đây PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 19 / 80
  59. n = 6000 là quá lớn, việc tính theo mô hình nhị thức không khả thi, vì P(X = 1000) = P6000(1000; 1/6) = 6000! = (1/6)1000(1 − 1/6)5000 1000!(6000 − 1000)! Sử dụng định lý giới hạn địa phương de Moivre- Laplace, có xấp xỉ   1 P X = 1000 = ϕ(0) = p6000x1/6x(1 − 1/6) 1 1 = √ = 0.01909859 p6000x1/6x(1 − 1/6) 2π Giải: 1 Xác suất xuất hiện mặt "lục" là p = 6 . PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 20 / 80
  60. Sử dụng định lý giới hạn địa phương de Moivre- Laplace, có xấp xỉ   1 P X = 1000 = ϕ(0) = p6000x1/6x(1 − 1/6) 1 1 = √ = 0.01909859 p6000x1/6x(1 − 1/6) 2π Giải: 1 Xác suất xuất hiện mặt "lục" là p = 6 . n = 6000 là quá lớn, việc tính theo mô hình nhị thức không khả thi, vì P(X = 1000) = P6000(1000; 1/6) = 6000! = (1/6)1000(1 − 1/6)5000 1000!(6000 − 1000)! PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 20 / 80
  61. Giải: 1 Xác suất xuất hiện mặt "lục" là p = 6 . n = 6000 là quá lớn, việc tính theo mô hình nhị thức không khả thi, vì P(X = 1000) = P6000(1000; 1/6) = 6000! = (1/6)1000(1 − 1/6)5000 1000!(6000 − 1000)! Sử dụng định lý giới hạn địa phương de Moivre- Laplace, có xấp xỉ   1 P X = 1000 = ϕ(0) = p6000x1/6x(1 − 1/6) 1 1 = √ = 0.01909859 p6000x1/6x(1 − 1/6) 2π PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 20 / 80
  62. λ là tốc độ cuộc gọi trong một khoảng thời gian. λ là hằng số dương. Là trường hợp đặc biệt của mô hình nhị thức khi n lớn và p bé. 3. Quy luật Poisson Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X có quy luật Poisson với tham số λ, ký hiệu X ∼ P(λ), nếu e−λλk P(X = k) = ; λ > 0; k = 1, 2, k! X là số các cuộc gọi điện thoại tới tổng đài trong khoảng thời gian xác định [t0, t1]. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 21 / 80
  63. Là trường hợp đặc biệt của mô hình nhị thức khi n lớn và p bé. 3. Quy luật Poisson Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X có quy luật Poisson với tham số λ, ký hiệu X ∼ P(λ), nếu e−λλk P(X = k) = ; λ > 0; k = 1, 2, k! X là số các cuộc gọi điện thoại tới tổng đài trong khoảng thời gian xác định [t0, t1]. λ là tốc độ cuộc gọi trong một khoảng thời gian. λ là hằng số dương. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 21 / 80
  64. 3. Quy luật Poisson Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X có quy luật Poisson với tham số λ, ký hiệu X ∼ P(λ), nếu e−λλk P(X = k) = ; λ > 0; k = 1, 2, k! X là số các cuộc gọi điện thoại tới tổng đài trong khoảng thời gian xác định [t0, t1]. λ là tốc độ cuộc gọi trong một khoảng thời gian. λ là hằng số dương. Là trường hợp đặc biệt của mô hình nhị thức khi n lớn và p bé. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 21 / 80
  65. Xây dựng quy luật Poisson từ quy luật nhị thức Định lý xấp xỉ Poisson Giả sử pn → 0 khi n → ∞ và npn = λ. Khi đó, e−λλk lim C k pk (1 − p)n−1 = n→∞ n k! Công thức gần đúng Khi n lớn, p gần với 0 hoặc 1 e−λλk C k pk (1 − p)n−1 ≈ ; k = 1, 2, n k! PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 22 / 80
  66. Cho n → ∞, ta được k n−k lim C pn(1 − pn) = n→∞ n λk λ λk = lim (1 − )n = e−λ k! n→∞ n k! Chứng minh. λ Sử dụng biến đổi công thức Bernoulii và giả thiết pn = n n! λ λ C k pk (1 − p )n−k = ( )k (1 − )n−k = n n n k!(n − k)! n n n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) λ λ = ( )k (1 − )n−k = k! n n λk 1 2 k − 1 λ λ = [1.(1 − )(1 − ) (1 − )](1 − )−k (1 − )n k! n n n n n PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 23 / 80
  67. Chứng minh. λ Sử dụng biến đổi công thức Bernoulii và giả thiết pn = n n! λ λ C k pk (1 − p )n−k = ( )k (1 − )n−k = n n n k!(n − k)! n n n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) λ λ = ( )k (1 − )n−k = k! n n λk 1 2 k − 1 λ λ = [1.(1 − )(1 − ) (1 − )](1 − )−k (1 − )n k! n n n n n Cho n → ∞, ta được k n−k lim C pn(1 − pn) = n→∞ n λk λ λk = lim (1 − )n = e−λ k! n→∞ n k! PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 23 / 80
  68. Hai đặc trưng bằng nhau. Các đặc trưng Kỳ vọng và phương sai Nếu X ∼ P(λ), λ > 0, thì E(X ) = D(X ) = λ Đặc trưng cho biến cố hiếm, ít xảy ra (động đất, sóng thần, ung thư ) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 24 / 80
  69. Các đặc trưng Kỳ vọng và phương sai Nếu X ∼ P(λ), λ > 0, thì E(X ) = D(X ) = λ Đặc trưng cho biến cố hiếm, ít xảy ra (động đất, sóng thần, ung thư ) Hai đặc trưng bằng nhau. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 24 / 80
  70. Xác suất xuất hiện biến cố A là p, p ∈ (0, 1). Quy luật hình học Bài toán Phép thử Bernoulli được tiến hành cho tới khi xuất hiện biến cố A đầu tiên. X là số phép thử Bernoulli phải tiến hành. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 25 / 80
  71. Quy luật hình học Bài toán Phép thử Bernoulli được tiến hành cho tới khi xuất hiện biến cố A đầu tiên. X là số phép thử Bernoulli phải tiến hành. Xác suất xuất hiện biến cố A là p, p ∈ (0, 1). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 25 / 80
  72. Gieo đồng tiền cho tới khi nào sấp thì ngừng Quy luật hình học Công thức X ∼ Geo(p) ⇔ P(X = n) = (1 − p)n−1p n ≥ 1, p ∈ (0, 1) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 26 / 80
  73. Quy luật hình học Công thức X ∼ Geo(p) ⇔ P(X = n) = (1 − p)n−1p n ≥ 1, p ∈ (0, 1) Gieo đồng tiền cho tới khi nào sấp thì ngừng PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 26 / 80
  74. Các đặc trưng Kỳ vọng 1 E(X ) = p Phương sai 1−p D(X ) = p2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 27 / 80
  75. k là số lần xuất hiện biến cố A, k = n, n + 1, Xác suất xuất hiện biến cố A là p, p ∈ (0, 1). Quy luật nhị thức âm Bài toán Phép thử Bernoulli được tiến hành cho tới khi biến cố A xuất hiện biến cố đúng k lần. n là số phép thử Bernoulli phải tiến hành. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 28 / 80
  76. Xác suất xuất hiện biến cố A là p, p ∈ (0, 1). Quy luật nhị thức âm Bài toán Phép thử Bernoulli được tiến hành cho tới khi biến cố A xuất hiện biến cố đúng k lần. n là số phép thử Bernoulli phải tiến hành. k là số lần xuất hiện biến cố A, k = n, n + 1, PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 28 / 80
  77. Quy luật nhị thức âm Bài toán Phép thử Bernoulli được tiến hành cho tới khi biến cố A xuất hiện biến cố đúng k lần. n là số phép thử Bernoulli phải tiến hành. k là số lần xuất hiện biến cố A, k = n, n + 1, Xác suất xuất hiện biến cố A là p, p ∈ (0, 1). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 28 / 80
  78. NBn(p) là Negative Binomial model Quy luật nhị thức âm Công thức n−1 n k−n X ∼ NBn(p) ⇔ P(X = k) = Ck−1 p (1 − p) có dạng công thức Bernoulli PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 29 / 80
  79. Quy luật nhị thức âm Công thức n−1 n k−n X ∼ NBn(p) ⇔ P(X = k) = Ck−1 p (1 − p) có dạng công thức Bernoulli NBn(p) là Negative Binomial model PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 29 / 80
  80. Các đặc trưng Kỳ vọng 1 E(X ) = n p Phương sai 1−p D(X ) = n p2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 30 / 80
  81. Chú ý Tổng Nếu X1, X2, , Xn độc lập và Xj ∼ Geo(p), p ∈ (0, 1), thì n X X = Xj ∼ NBn(p) j=1 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 31 / 80
  82. X có quy luật siêu hình học, X ∼ SGeo. Quy luật siêu hình học/Siêu bội Tổng thể có N phần tử, trong đó có M phần tử có tính A, còn lại (N-M) phần tử có tính A. Lấy đồng thời ra n phần tử từ tổng thể đó. Gọi X là số phần tử có tính chất A trong số các phần tử lấy ra. Công thức k n−k CM CN−M X ∼ SGeo ⇔ P(X = k) = n CN PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 32 / 80
  83. Quy luật siêu hình học/Siêu bội Tổng thể có N phần tử, trong đó có M phần tử có tính A, còn lại (N-M) phần tử có tính A. Lấy đồng thời ra n phần tử từ tổng thể đó. Gọi X là số phần tử có tính chất A trong số các phần tử lấy ra. X có quy luật siêu hình học, X ∼ SGeo. Công thức k n−k CM CN−M X ∼ SGeo ⇔ P(X = k) = n CN PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 32 / 80
  84. Các ví dụ 1 Trong 106 vé xổ số có 50 giải thưởng. Một người mua 10 vé. Tính xác suất để người đó trúng ít nhất 1 giải. 2 Trong một khu vực bầu cử có 10.000 cử tri, có 7820 người ủng hộ ứng cử viên A. Chọn một mẫu gồm 200 người. Tính xác suất trong mẫu đó có 142 người ủng hộ A. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 33 / 80
  85. Giải thích tính đều qua đồ thị hàm mật độ fX (x) Thường gặp trường hợp đều trên [0,1]. Quy luật phân phối đều Công thức 1 X ∼ U[a, b] ⇔ fX (x) = b−a , ∀x ∈ (a, b) fX (x) = 0, ∀x ∈/ (a, b) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 34 / 80
  86. Thường gặp trường hợp đều trên [0,1]. Quy luật phân phối đều Công thức 1 X ∼ U[a, b] ⇔ fX (x) = b−a , ∀x ∈ (a, b) fX (x) = 0, ∀x ∈/ (a, b) Giải thích tính đều qua đồ thị hàm mật độ fX (x) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 34 / 80
  87. Quy luật phân phối đều Công thức 1 X ∼ U[a, b] ⇔ fX (x) = b−a , ∀x ∈ (a, b) fX (x) = 0, ∀x ∈/ (a, b) Giải thích tính đều qua đồ thị hàm mật độ fX (x) Thường gặp trường hợp đều trên [0,1]. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 34 / 80
  88. Các đặc trưng Kỳ vọng a+b E(X ) = 2 Phương sai (a−b)2 D(X ) = 12 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 35 / 80
  89. Phù hợp với mọi quy luật tự nhiên về sự hỏng, sự sống. 7. Quy luật mũ X có quy luật mũ X ∼ Exp(λ), λ > 0 −λt FX (t) = 1 − e , nếu t > 0, λ > 0 hay Hàm mật độ −λt fX (t) = λe , nếu t > 0 Mô tả sự hỏng hóc của một hệ thống, thời gian sống (life-time) của một sinh vật. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 36 / 80
  90. 7. Quy luật mũ X có quy luật mũ X ∼ Exp(λ), λ > 0 −λt FX (t) = 1 − e , nếu t > 0, λ > 0 hay Hàm mật độ −λt fX (t) = λe , nếu t > 0 Mô tả sự hỏng hóc của một hệ thống, thời gian sống (life-time) của một sinh vật. Phù hợp với mọi quy luật tự nhiên về sự hỏng, sự sống. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 36 / 80
  91. Các đặc trưng của quy luật mũ Kỳ vọng 1 E(X ) = λ Phương sai 1 D(X ) = λ2 Mô ment bậc r r! µ = , r ≥ 1 r λr PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 37 / 80
  92. Từ định nghĩa suy ra P(X > s + t, X > t) e−λs .e−λt = e−λ(s+t) = = P(X > t) e−λt = e−λs = P(X > s) Tính không trí nhớ Định nghĩa P(X > s + t | X > t) = P(X > s), ∀s, t ≥ 0 Hệ thống đã hoạt động qua (s+t) thời gian, với điều điều kiện đã trải qua t thời gian, nhưng hệ thống không nhớ đã qua t thời gian. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 38 / 80
  93. Tính không trí nhớ Định nghĩa P(X > s + t | X > t) = P(X > s), ∀s, t ≥ 0 Hệ thống đã hoạt động qua (s+t) thời gian, với điều điều kiện đã trải qua t thời gian, nhưng hệ thống không nhớ đã qua t thời gian. Từ định nghĩa suy ra P(X > s + t, X > t) e−λs .e−λt = e−λ(s+t) = = P(X > t) e−λt = e−λs = P(X > s) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 38 / 80
  94. 1 Giả sử X là thời gian khách hàng phải phải chờ nhiều hơn 15 phút. Khi đó, −15. 1 −2/3 P(X > 15) = e 10 = e ≈ 0.513417119 2 Do không có trí nhớ,nên P(X > 15 | X > 10) = P(X > 5 + 10 | X > 10) = P(X > 5) = −5. 1 = e 10 ≈ 0.606530659 1 Tính xác suất để một khách hàng phải chờ ở ngân hàng nhiều hơn 15 phút 2 Tính xác suất để một khách hàng phải chờ ở ngân hàng nhiều hơn 15 phút, nếu ông ta còn ở lại ngân hàng sau 10 phút. Giải: Ví dụ Giả sử tổng thời gian phải chờ ở ngân hàng có quy luật mũ với trung bình 10 phút PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 39 / 80
  95. 1 Giả sử X là thời gian khách hàng phải phải chờ nhiều hơn 15 phút. Khi đó, −15. 1 −2/3 P(X > 15) = e 10 = e ≈ 0.513417119 2 Do không có trí nhớ,nên P(X > 15 | X > 10) = P(X > 5 + 10 | X > 10) = P(X > 5) = −5. 1 = e 10 ≈ 0.606530659 2 Tính xác suất để một khách hàng phải chờ ở ngân hàng nhiều hơn 15 phút, nếu ông ta còn ở lại ngân hàng sau 10 phút. Giải: Ví dụ Giả sử tổng thời gian phải chờ ở ngân hàng có quy luật mũ với trung bình 10 phút 1 Tính xác suất để một khách hàng phải chờ ở ngân hàng nhiều hơn 15 phút PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 39 / 80
  96. 1 Giả sử X là thời gian khách hàng phải phải chờ nhiều hơn 15 phút. Khi đó, −15. 1 −2/3 P(X > 15) = e 10 = e ≈ 0.513417119 2 Do không có trí nhớ,nên P(X > 15 | X > 10) = P(X > 5 + 10 | X > 10) = P(X > 5) = −5. 1 = e 10 ≈ 0.606530659 Giải: Ví dụ Giả sử tổng thời gian phải chờ ở ngân hàng có quy luật mũ với trung bình 10 phút 1 Tính xác suất để một khách hàng phải chờ ở ngân hàng nhiều hơn 15 phút 2 Tính xác suất để một khách hàng phải chờ ở ngân hàng nhiều hơn 15 phút, nếu ông ta còn ở lại ngân hàng sau 10 phút. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 39 / 80
  97. 1 Giả sử X là thời gian khách hàng phải phải chờ nhiều hơn 15 phút. Khi đó, −15. 1 −2/3 P(X > 15) = e 10 = e ≈ 0.513417119 2 Do không có trí nhớ,nên P(X > 15 | X > 10) = P(X > 5 + 10 | X > 10) = P(X > 5) = −5. 1 = e 10 ≈ 0.606530659 Ví dụ Giả sử tổng thời gian phải chờ ở ngân hàng có quy luật mũ với trung bình 10 phút 1 Tính xác suất để một khách hàng phải chờ ở ngân hàng nhiều hơn 15 phút 2 Tính xác suất để một khách hàng phải chờ ở ngân hàng nhiều hơn 15 phút, nếu ông ta còn ở lại ngân hàng sau 10 phút. Giải: PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 39 / 80
  98. 2 Do không có trí nhớ,nên P(X > 15 | X > 10) = P(X > 5 + 10 | X > 10) = P(X > 5) = −5. 1 = e 10 ≈ 0.606530659 Ví dụ Giả sử tổng thời gian phải chờ ở ngân hàng có quy luật mũ với trung bình 10 phút 1 Tính xác suất để một khách hàng phải chờ ở ngân hàng nhiều hơn 15 phút 2 Tính xác suất để một khách hàng phải chờ ở ngân hàng nhiều hơn 15 phút, nếu ông ta còn ở lại ngân hàng sau 10 phút. Giải: 1 Giả sử X là thời gian khách hàng phải phải chờ nhiều hơn 15 phút. Khi đó, −15. 1 −2/3 P(X > 15) = e 10 = e ≈ 0.513417119 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 39 / 80
  99. Ví dụ Giả sử tổng thời gian phải chờ ở ngân hàng có quy luật mũ với trung bình 10 phút 1 Tính xác suất để một khách hàng phải chờ ở ngân hàng nhiều hơn 15 phút 2 Tính xác suất để một khách hàng phải chờ ở ngân hàng nhiều hơn 15 phút, nếu ông ta còn ở lại ngân hàng sau 10 phút. Giải: 1 Giả sử X là thời gian khách hàng phải phải chờ nhiều hơn 15 phút. Khi đó, −15. 1 −2/3 P(X > 15) = e 10 = e ≈ 0.513417119 2 Do không có trí nhớ,nên P(X > 15 | X > 10) = P(X > 5 + 10 | X > 10) = P(X > 5) = −5. 1 = e 10 ≈ 0.606530659 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 39 / 80
  100. Xuất phát từ thí nghiệm vật lý 8. Quy luật Cauchy Bài toán Trong mặt phẳng cho đường thẳng ∆ và điểm nguồn A ∈/ ∆. Bắn các hạt (phân tử) từ điểm A theo hướng ngẫu nhiên đến ∆. Gọi B là vị trí va chạm của hạt với ∆. Rõ ràng vị trí B là ngẫu nhiên. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 40 / 80
  101. 8. Quy luật Cauchy Bài toán Trong mặt phẳng cho đường thẳng ∆ và điểm nguồn A ∈/ ∆. Bắn các hạt (phân tử) từ điểm A theo hướng ngẫu nhiên đến ∆. Gọi B là vị trí va chạm của hạt với ∆. Rõ ràng vị trí B là ngẫu nhiên. Xuất phát từ thí nghiệm vật lý PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 40 / 80
  102. Ký hiệu ϕ = OAB[ Theo giả thiết bài toán thì ϕ ∼ U[−π/2, π/2] Đặt X = OB, λ = OA thì X là biến ngẫu nhiên và X = λtg(ϕ) Khi đó, với x ∈ R, hàm phân phối xác suất của X là 1 arctg(x/λ) F (x) = P(X < x) = P(ϕ < arctg(x/λ)) = + X 2 π Quy luật Cauchy Gọi O là hình chiếu của A lên ∆ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 41 / 80
  103. Theo giả thiết bài toán thì ϕ ∼ U[−π/2, π/2] Đặt X = OB, λ = OA thì X là biến ngẫu nhiên và X = λtg(ϕ) Khi đó, với x ∈ R, hàm phân phối xác suất của X là 1 arctg(x/λ) F (x) = P(X < x) = P(ϕ < arctg(x/λ)) = + X 2 π Quy luật Cauchy Gọi O là hình chiếu của A lên ∆ Ký hiệu ϕ = OAB[ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 41 / 80
  104. Đặt X = OB, λ = OA thì X là biến ngẫu nhiên và X = λtg(ϕ) Khi đó, với x ∈ R, hàm phân phối xác suất của X là 1 arctg(x/λ) F (x) = P(X < x) = P(ϕ < arctg(x/λ)) = + X 2 π Quy luật Cauchy Gọi O là hình chiếu của A lên ∆ Ký hiệu ϕ = OAB[ Theo giả thiết bài toán thì ϕ ∼ U[−π/2, π/2] PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 41 / 80
  105. Khi đó, với x ∈ R, hàm phân phối xác suất của X là 1 arctg(x/λ) F (x) = P(X < x) = P(ϕ < arctg(x/λ)) = + X 2 π Quy luật Cauchy Gọi O là hình chiếu của A lên ∆ Ký hiệu ϕ = OAB[ Theo giả thiết bài toán thì ϕ ∼ U[−π/2, π/2] Đặt X = OB, λ = OA thì X là biến ngẫu nhiên và X = λtg(ϕ) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 41 / 80
  106. Quy luật Cauchy Gọi O là hình chiếu của A lên ∆ Ký hiệu ϕ = OAB[ Theo giả thiết bài toán thì ϕ ∼ U[−π/2, π/2] Đặt X = OB, λ = OA thì X là biến ngẫu nhiên và X = λtg(ϕ) Khi đó, với x ∈ R, hàm phân phối xác suất của X là 1 arctg(x/λ) F (x) = P(X < x) = P(ϕ < arctg(x/λ)) = + X 2 π PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 41 / 80
  107. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có Quy luật Cauchy. Quy luật Cauchy Hàm mật độ xác suất pX (x) xác định bởi ∂F (x) λ p (x) = X = X ∂x π(λ2 + x2) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 42 / 80
  108. Quy luật Cauchy Hàm mật độ xác suất pX (x) xác định bởi ∂F (x) λ p (x) = X = X ∂x π(λ2 + x2) Biến ngẫu nhiên X được gọi là có Quy luật Cauchy. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 42 / 80
  109. Hàm Lorentz là nghiệm của phương trình vi phân mô tả lực cộng hưởng Trong vật lý quang phổ, nó dùng để biểu diễn hình dạng các đường quang phổ được nới rộng bởi nhiều cơ cấu máy móc, đặc biệt là sự va chạm Quy luật Cauchy không có kỳ vọng và phương sai. Trong vật lý phân phối Cauchy được biết như là phân phối Lorentz, hàm Lorentz hay phân phối Breit-Wigner PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 43 / 80
  110. Trong vật lý quang phổ, nó dùng để biểu diễn hình dạng các đường quang phổ được nới rộng bởi nhiều cơ cấu máy móc, đặc biệt là sự va chạm Quy luật Cauchy không có kỳ vọng và phương sai. Trong vật lý phân phối Cauchy được biết như là phân phối Lorentz, hàm Lorentz hay phân phối Breit-Wigner Hàm Lorentz là nghiệm của phương trình vi phân mô tả lực cộng hưởng PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 43 / 80
  111. Quy luật Cauchy không có kỳ vọng và phương sai. Trong vật lý phân phối Cauchy được biết như là phân phối Lorentz, hàm Lorentz hay phân phối Breit-Wigner Hàm Lorentz là nghiệm của phương trình vi phân mô tả lực cộng hưởng Trong vật lý quang phổ, nó dùng để biểu diễn hình dạng các đường quang phổ được nới rộng bởi nhiều cơ cấu máy móc, đặc biệt là sự va chạm PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 43 / 80
  112. Trong vật lý phân phối Cauchy được biết như là phân phối Lorentz, hàm Lorentz hay phân phối Breit-Wigner Hàm Lorentz là nghiệm của phương trình vi phân mô tả lực cộng hưởng Trong vật lý quang phổ, nó dùng để biểu diễn hình dạng các đường quang phổ được nới rộng bởi nhiều cơ cấu máy móc, đặc biệt là sự va chạm Quy luật Cauchy không có kỳ vọng và phương sai. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 43 / 80
  113. Phù hợp với mọi quy luật vật lý, xác suất, thống kê, 9. Quy luật chuẩn Gauss X có quy luật chuẩn X ∼ N(µ, σ2) Z x 1 − 1 ( y−µ )2 Φµ,σ2 (x) = √ e 2 σ dy σ 2π −∞ hay Hàm mật độ 1 − 1 ( x−µ )2 fX (x) = √ e 2 σ σ 2π Mô tả quy luật các sai số trong các phép đo. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 44 / 80
  114. 9. Quy luật chuẩn Gauss X có quy luật chuẩn X ∼ N(µ, σ2) Z x 1 − 1 ( y−µ )2 Φµ,σ2 (x) = √ e 2 σ dy σ 2π −∞ hay Hàm mật độ 1 − 1 ( x−µ )2 fX (x) = √ e 2 σ σ 2π Mô tả quy luật các sai số trong các phép đo. Phù hợp với mọi quy luật vật lý, xác suất, thống kê, PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 44 / 80
  115. Các đặc trưng Kỳ vọng, phương sai E(X ) = µ; D(X ) = σ2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 45 / 80
  116. Quy luật chuẩn chính tắc N(0,1) của Laplace Hàm mật độ 1 − 1 x2 fX (x) = √ e 2 2π Kỳ vọng, phương sai E(X ) = 0; D(X ) = 1 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 46 / 80
  117. Chuyển đổi Chính tắc hóa Mọi biến ngẫu nhiên X ∼ N(µ, σ2) đều có thể đưa về Y ∼ N(0, 10), nếu X − µ Y = σ Dễ thấy, khi đó Kỳ vọng, phương sai E(Y ) = 0; D(Y ) = 1 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 47 / 80
  118. Là phân phối giới hạn của nhiều phân phối khác khi n rất lớn Định lý được quan tâm là định lý giới hạn trung tâm. Giải thích nghĩa "chuẩn" Là quy luật được phát hiện bởi Gauss và Laplace (một cách độc lập) từ các bài toán vật lý PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 48 / 80
  119. Định lý được quan tâm là định lý giới hạn trung tâm. Giải thích nghĩa "chuẩn" Là quy luật được phát hiện bởi Gauss và Laplace (một cách độc lập) từ các bài toán vật lý Là phân phối giới hạn của nhiều phân phối khác khi n rất lớn PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 48 / 80
  120. Giải thích nghĩa "chuẩn" Là quy luật được phát hiện bởi Gauss và Laplace (một cách độc lập) từ các bài toán vật lý Là phân phối giới hạn của nhiều phân phối khác khi n rất lớn Định lý được quan tâm là định lý giới hạn trung tâm. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 48 / 80
  121. 10. Quy luật Loga-chuẩn Bài toán Galton, 1879 Giả sử X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên dương, độc lập, cùng phân phối. Qn Đặt Tn = j=1 Xj . Khi đó lim P(logTn < t) = Φ(t) n→∞ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 49 / 80
  122. Quy luật Loga-chuẩn Từ đây, Định nghĩa X ∼ logN(0, 1) ⇐⇒ logX ∼ N(0, 1) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 50 / 80
  123. 1 trọng lượng của người trưởng thành 2 nồng độ các khoáng chất trong lớp chất tích tụ trong lòng đất 3 phân phối của cải 4 thời gian máy móc hư n 1 −1 P trung bình số học n j=1 Xj có phân phối giới hạn tiệm cận chuẩn n 2 Q 1/n trung bình hình học ( j=1 Xj ) có phân phối giới hạn tiệm cận Loga-Chuẩn Phân phối Loga-Chuẩn thường mô tả các đại lượng như Quy luật Loga-chuẩn Nếu X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, nhận giá trị dương thì PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 51 / 80
  124. 1 trọng lượng của người trưởng thành 2 nồng độ các khoáng chất trong lớp chất tích tụ trong lòng đất 3 phân phối của cải 4 thời gian máy móc hư n 2 Q 1/n trung bình hình học ( j=1 Xj ) có phân phối giới hạn tiệm cận Loga-Chuẩn Phân phối Loga-Chuẩn thường mô tả các đại lượng như Quy luật Loga-chuẩn Nếu X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, nhận giá trị dương thì n 1 −1 P trung bình số học n j=1 Xj có phân phối giới hạn tiệm cận chuẩn PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 51 / 80
  125. 1 trọng lượng của người trưởng thành 2 nồng độ các khoáng chất trong lớp chất tích tụ trong lòng đất 3 phân phối của cải 4 thời gian máy móc hư Phân phối Loga-Chuẩn thường mô tả các đại lượng như Quy luật Loga-chuẩn Nếu X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, nhận giá trị dương thì n 1 −1 P trung bình số học n j=1 Xj có phân phối giới hạn tiệm cận chuẩn n 2 Q 1/n trung bình hình học ( j=1 Xj ) có phân phối giới hạn tiệm cận Loga-Chuẩn PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 51 / 80
  126. 1 trọng lượng của người trưởng thành 2 nồng độ các khoáng chất trong lớp chất tích tụ trong lòng đất 3 phân phối của cải 4 thời gian máy móc hư Quy luật Loga-chuẩn Nếu X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, nhận giá trị dương thì n 1 −1 P trung bình số học n j=1 Xj có phân phối giới hạn tiệm cận chuẩn n 2 Q 1/n trung bình hình học ( j=1 Xj ) có phân phối giới hạn tiệm cận Loga-Chuẩn Phân phối Loga-Chuẩn thường mô tả các đại lượng như PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 51 / 80
  127. 2 nồng độ các khoáng chất trong lớp chất tích tụ trong lòng đất 3 phân phối của cải 4 thời gian máy móc hư Quy luật Loga-chuẩn Nếu X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, nhận giá trị dương thì n 1 −1 P trung bình số học n j=1 Xj có phân phối giới hạn tiệm cận chuẩn n 2 Q 1/n trung bình hình học ( j=1 Xj ) có phân phối giới hạn tiệm cận Loga-Chuẩn Phân phối Loga-Chuẩn thường mô tả các đại lượng như 1 trọng lượng của người trưởng thành PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 51 / 80
  128. 3 phân phối của cải 4 thời gian máy móc hư Quy luật Loga-chuẩn Nếu X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, nhận giá trị dương thì n 1 −1 P trung bình số học n j=1 Xj có phân phối giới hạn tiệm cận chuẩn n 2 Q 1/n trung bình hình học ( j=1 Xj ) có phân phối giới hạn tiệm cận Loga-Chuẩn Phân phối Loga-Chuẩn thường mô tả các đại lượng như 1 trọng lượng của người trưởng thành 2 nồng độ các khoáng chất trong lớp chất tích tụ trong lòng đất PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 51 / 80
  129. 4 thời gian máy móc hư Quy luật Loga-chuẩn Nếu X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, nhận giá trị dương thì n 1 −1 P trung bình số học n j=1 Xj có phân phối giới hạn tiệm cận chuẩn n 2 Q 1/n trung bình hình học ( j=1 Xj ) có phân phối giới hạn tiệm cận Loga-Chuẩn Phân phối Loga-Chuẩn thường mô tả các đại lượng như 1 trọng lượng của người trưởng thành 2 nồng độ các khoáng chất trong lớp chất tích tụ trong lòng đất 3 phân phối của cải PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 51 / 80
  130. Quy luật Loga-chuẩn Nếu X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, nhận giá trị dương thì n 1 −1 P trung bình số học n j=1 Xj có phân phối giới hạn tiệm cận chuẩn n 2 Q 1/n trung bình hình học ( j=1 Xj ) có phân phối giới hạn tiệm cận Loga-Chuẩn Phân phối Loga-Chuẩn thường mô tả các đại lượng như 1 trọng lượng của người trưởng thành 2 nồng độ các khoáng chất trong lớp chất tích tụ trong lòng đất 3 phân phối của cải 4 thời gian máy móc hư PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 51 / 80
  131. Quy luật Loga-chuẩn Hàm mật độ Nếu X ∼ logN(µ, σ), thì hàm mật độ dạng 1  (ln x − µ)2  p(x) = √ exp − , (x > 0) xσ 2π 2σ2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 52 / 80
  132. Quy luật Loga-chuẩn Hàm phân phối xác suất Nếu X ∼ logN(µ, σ), thì hàm phân phối xác suất Z x  ln x−µ  F (x) = p(t)dt = Φ σ , (x > 0). 0 trong đó µ: tham số tỷ lệ (scale), σ: tham số shape và x 2 Φ(x) = √1 R e−t /2dt là hàm Laplace. 2π −∞ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 53 / 80
  133. Kỳ vọng E(X ) = eµ+σ2/2. Phương sai Var(X ) = e2µ+σ2 (eσ2 − 1). Mode=eµ−σ2 ; Median=eµ. Các đặc trưng mô hình Loga-chuẩn k kµ+k2σ2/2 Moment cấp k : µk = E(X ) = e . PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 54 / 80
  134. Phương sai Var(X ) = e2µ+σ2 (eσ2 − 1). Mode=eµ−σ2 ; Median=eµ. Các đặc trưng mô hình Loga-chuẩn k kµ+k2σ2/2 Moment cấp k : µk = E(X ) = e . Kỳ vọng E(X ) = eµ+σ2/2. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 54 / 80
  135. Mode=eµ−σ2 ; Median=eµ. Các đặc trưng mô hình Loga-chuẩn k kµ+k2σ2/2 Moment cấp k : µk = E(X ) = e . Kỳ vọng E(X ) = eµ+σ2/2. Phương sai Var(X ) = e2µ+σ2 (eσ2 − 1). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 54 / 80
  136. Các đặc trưng mô hình Loga-chuẩn k kµ+k2σ2/2 Moment cấp k : µk = E(X ) = e . Kỳ vọng E(X ) = eµ+σ2/2. Phương sai Var(X ) = e2µ+σ2 (eσ2 − 1). Mode=eµ−σ2 ; Median=eµ. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 54 / 80
  137. Định lý giới hạn địa phương de Moivre-Laplace Định lý giới hạn tích phân de Moivre-Laplace Định lý giới hạn trung tâm Các định lý giới hạn Định lý xấp xỉ Poisson PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 55 / 80
  138. Định lý giới hạn tích phân de Moivre-Laplace Định lý giới hạn trung tâm Các định lý giới hạn Định lý xấp xỉ Poisson Định lý giới hạn địa phương de Moivre-Laplace PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 55 / 80
  139. Định lý giới hạn trung tâm Các định lý giới hạn Định lý xấp xỉ Poisson Định lý giới hạn địa phương de Moivre-Laplace Định lý giới hạn tích phân de Moivre-Laplace PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 55 / 80
  140. Các định lý giới hạn Định lý xấp xỉ Poisson Định lý giới hạn địa phương de Moivre-Laplace Định lý giới hạn tích phân de Moivre-Laplace Định lý giới hạn trung tâm PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 55 / 80
  141. 1 khi n lớn, p bé (hoặc gần 1) có định lý xấp xỉ Poisson 2 khi n lớn, p ∈ (0, 1) có định lý giới hạn địa phương de Moivre-Laplace 3 khi n lớn, số phép thử thành công thuộc khoảng (k1, k2) có định lý giới hạn tích phân de Moivre-Laplace Xét trường hợp tổng quát, cho một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với kỳ vọng và phương sai hữu hạn (Định lý giới hạn trung tâm) Xét trường hợp tổng quát, cho một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, không cùng phân phối với kỳ vọng và phương sai hữu hạn (Định lý giới hạn trung tâm Lindeberg-Feller) Bản chất của các định lý giới hạn Xét các trường hợp khi công thức Bernoulli không còn thích hợp PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 56 / 80
  142. 2 khi n lớn, p ∈ (0, 1) có định lý giới hạn địa phương de Moivre-Laplace 3 khi n lớn, số phép thử thành công thuộc khoảng (k1, k2) có định lý giới hạn tích phân de Moivre-Laplace Xét trường hợp tổng quát, cho một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với kỳ vọng và phương sai hữu hạn (Định lý giới hạn trung tâm) Xét trường hợp tổng quát, cho một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, không cùng phân phối với kỳ vọng và phương sai hữu hạn (Định lý giới hạn trung tâm Lindeberg-Feller) Bản chất của các định lý giới hạn Xét các trường hợp khi công thức Bernoulli không còn thích hợp 1 khi n lớn, p bé (hoặc gần 1) có định lý xấp xỉ Poisson PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 56 / 80
  143. 3 khi n lớn, số phép thử thành công thuộc khoảng (k1, k2) có định lý giới hạn tích phân de Moivre-Laplace Xét trường hợp tổng quát, cho một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với kỳ vọng và phương sai hữu hạn (Định lý giới hạn trung tâm) Xét trường hợp tổng quát, cho một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, không cùng phân phối với kỳ vọng và phương sai hữu hạn (Định lý giới hạn trung tâm Lindeberg-Feller) Bản chất của các định lý giới hạn Xét các trường hợp khi công thức Bernoulli không còn thích hợp 1 khi n lớn, p bé (hoặc gần 1) có định lý xấp xỉ Poisson 2 khi n lớn, p ∈ (0, 1) có định lý giới hạn địa phương de Moivre-Laplace PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 56 / 80
  144. Xét trường hợp tổng quát, cho một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với kỳ vọng và phương sai hữu hạn (Định lý giới hạn trung tâm) Xét trường hợp tổng quát, cho một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, không cùng phân phối với kỳ vọng và phương sai hữu hạn (Định lý giới hạn trung tâm Lindeberg-Feller) Bản chất của các định lý giới hạn Xét các trường hợp khi công thức Bernoulli không còn thích hợp 1 khi n lớn, p bé (hoặc gần 1) có định lý xấp xỉ Poisson 2 khi n lớn, p ∈ (0, 1) có định lý giới hạn địa phương de Moivre-Laplace 3 khi n lớn, số phép thử thành công thuộc khoảng (k1, k2) có định lý giới hạn tích phân de Moivre-Laplace PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 56 / 80
  145. Xét trường hợp tổng quát, cho một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, không cùng phân phối với kỳ vọng và phương sai hữu hạn (Định lý giới hạn trung tâm Lindeberg-Feller) Bản chất của các định lý giới hạn Xét các trường hợp khi công thức Bernoulli không còn thích hợp 1 khi n lớn, p bé (hoặc gần 1) có định lý xấp xỉ Poisson 2 khi n lớn, p ∈ (0, 1) có định lý giới hạn địa phương de Moivre-Laplace 3 khi n lớn, số phép thử thành công thuộc khoảng (k1, k2) có định lý giới hạn tích phân de Moivre-Laplace Xét trường hợp tổng quát, cho một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với kỳ vọng và phương sai hữu hạn (Định lý giới hạn trung tâm) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 56 / 80
  146. Bản chất của các định lý giới hạn Xét các trường hợp khi công thức Bernoulli không còn thích hợp 1 khi n lớn, p bé (hoặc gần 1) có định lý xấp xỉ Poisson 2 khi n lớn, p ∈ (0, 1) có định lý giới hạn địa phương de Moivre-Laplace 3 khi n lớn, số phép thử thành công thuộc khoảng (k1, k2) có định lý giới hạn tích phân de Moivre-Laplace Xét trường hợp tổng quát, cho một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với kỳ vọng và phương sai hữu hạn (Định lý giới hạn trung tâm) Xét trường hợp tổng quát, cho một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, không cùng phân phối với kỳ vọng và phương sai hữu hạn (Định lý giới hạn trung tâm Lindeberg-Feller) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 56 / 80
  147. Định lý xấp xỉ Poisson Định lý Giả sử pn → 0 khi n → ∞ và npn = λ. Khi đó, e−λλk lim C k pk (1 − p)n−1 = n→∞ n k! Công thức gần đúng Khi n lớn, p gần với 0 hoặc 1 e−λλk C k pk (1 − p)n−1 ≈ ; k = 1, 2, n k! PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 57 / 80
  148. Cho n → ∞, ta được k n−k lim C pn(1 − pn) = n→∞ n λk λ λk = lim (1 − )n = e−λ k! n→∞ n k! Chứng minh. λ Sử dụng biến đổi công thức Bernoulii và giả thiết pn = n n! λ λ C k pk (1 − p )n−k = ( )k (1 − )n−k = n n n k!(n − k)! n n n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) λ λ = ( )k (1 − )n−k = k! n n λk 1 2 k − 1 λ λ = [1.(1 − )(1 − ) (1 − )](1 − )−k (1 − )n k! n n n n n PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 58 / 80
  149. Chứng minh. λ Sử dụng biến đổi công thức Bernoulii và giả thiết pn = n n! λ λ C k pk (1 − p )n−k = ( )k (1 − )n−k = n n n k!(n − k)! n n n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) λ λ = ( )k (1 − )n−k = k! n n λk 1 2 k − 1 λ λ = [1.(1 − )(1 − ) (1 − )](1 − )−k (1 − )n k! n n n n n Cho n → ∞, ta được k n−k lim C pn(1 − pn) = n→∞ n λk λ λk = lim (1 − )n = e−λ k! n→∞ n k! PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 58 / 80
  150. Định lý giới hạn địa phương de Moivre-Laplace Định lý Xét một dãy phép thử Bernoulli có xác suất thành công p ∈ (0, 1). X là số phép thử thành công. Khi đó,   1 lim P X = k = ϕ(xk ) n→∞ pnp(1 − p) ở đây Hàm Laplace-mô hình chuẩn chính tắc 1 − 1 x2 k − np ϕ(x) = √ e 2 ; xk = 2π pnp(1 − p) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 59 / 80
  151. Xác suất p ∈ (0, 1), nhưng n quá lớn, việc tính theo mô hình nhị thức không khả thi. Khi n lớn, có xấp xỉ   1 P X = k = ϕ(xk ) pnp(1 − p) Giải thích Hàm ϕ(x) là hàm mật độ của mô hình chuẩn chính tắc N(0,1). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 60 / 80
  152. Khi n lớn, có xấp xỉ   1 P X = k = ϕ(xk ) pnp(1 − p) Giải thích Hàm ϕ(x) là hàm mật độ của mô hình chuẩn chính tắc N(0,1). Xác suất p ∈ (0, 1), nhưng n quá lớn, việc tính theo mô hình nhị thức không khả thi. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 60 / 80
  153. Giải thích Hàm ϕ(x) là hàm mật độ của mô hình chuẩn chính tắc N(0,1). Xác suất p ∈ (0, 1), nhưng n quá lớn, việc tính theo mô hình nhị thức không khả thi. Khi n lớn, có xấp xỉ   1 P X = k = ϕ(xk ) pnp(1 − p) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 60 / 80
  154. Định lý giới hạn địa phương de Moivre-Laplace Ví dụ Gieo 6000 lần một con xúc xắc cân đối đồng chất. Tính xác suất có đúng 1000 lần xuất hiện mặt "lục" PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 61 / 80
  155. n = 6000 là quá lớn, việc tính theo mô hình nhị thức không khả thi, vì P(X = 1000) = P6000(1000; 1/6) = 6000! = (1/6)1000(1 − 1/6)5000 1000!(6000 − 1000)! Sử dụng định lý giới hạn địa phương de Moivre- Laplace, có xấp xỉ   1 P X = 1000 = ϕ(0) = p6000x1/6x(1 − 1/6) 1 1 = √ = 0.01909859 p6000x1/6x(1 − 1/6) 2π Giải: 1 Xác suất xuất hiện mặt "lục" là p = 6 . PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 62 / 80
  156. Sử dụng định lý giới hạn địa phương de Moivre- Laplace, có xấp xỉ   1 P X = 1000 = ϕ(0) = p6000x1/6x(1 − 1/6) 1 1 = √ = 0.01909859 p6000x1/6x(1 − 1/6) 2π Giải: 1 Xác suất xuất hiện mặt "lục" là p = 6 . n = 6000 là quá lớn, việc tính theo mô hình nhị thức không khả thi, vì P(X = 1000) = P6000(1000; 1/6) = 6000! = (1/6)1000(1 − 1/6)5000 1000!(6000 − 1000)! PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 62 / 80
  157. Giải: 1 Xác suất xuất hiện mặt "lục" là p = 6 . n = 6000 là quá lớn, việc tính theo mô hình nhị thức không khả thi, vì P(X = 1000) = P6000(1000; 1/6) = 6000! = (1/6)1000(1 − 1/6)5000 1000!(6000 − 1000)! Sử dụng định lý giới hạn địa phương de Moivre- Laplace, có xấp xỉ   1 P X = 1000 = ϕ(0) = p6000x1/6x(1 − 1/6) 1 1 = √ = 0.01909859 p6000x1/6x(1 − 1/6) 2π PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 62 / 80
  158. Định lý giới hạn tích phân de Moivre-Laplace Định lý Xét một dãy phép thử Bernoulli có xác suất thành công p ∈ (0, 1). X là số phép thử thành công. Khi đó,   lim P k1 < X < k2 = Φ(xk ) − Φ(xk ) n→∞ 2 1 ở đây Tích phân Laplace Z x 1 − 1 y 2 kj − np Φ(x) = √ e 2 ; x = , j = 1, 2 kj p 2π −∞ np(1 − p) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 63 / 80
  159. Các giá trị của hàm Φ(x) được tính ở bảng tích phân Laplace. kj −np Giá trị xk = √ , j = 1, 2. j np(1−p) Giải thích Hàm Φ(x) là hàm phân phối xác suất của luật chuẩn chính tắc N(0,1), được gọi là tích phân Laplace. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 64 / 80
  160. kj −np Giá trị xk = √ , j = 1, 2. j np(1−p) Giải thích Hàm Φ(x) là hàm phân phối xác suất của luật chuẩn chính tắc N(0,1), được gọi là tích phân Laplace. Các giá trị của hàm Φ(x) được tính ở bảng tích phân Laplace. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 64 / 80
  161. Giải thích Hàm Φ(x) là hàm phân phối xác suất của luật chuẩn chính tắc N(0,1), được gọi là tích phân Laplace. Các giá trị của hàm Φ(x) được tính ở bảng tích phân Laplace. kj −np Giá trị xk = √ , j = 1, 2. j np(1−p) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 64 / 80
  162. Định lý giới hạn tích phân de Moivre-Laplace Ví dụ Gieo 60 lần một con xúc xắc cân đối đồng chất. Tính xác suất để số lần xuất hiện mặt "lục" trong khoảng (10, 15) ở đây PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 65 / 80
  163. n = 60 là lớn, việc tính theo công thức nhị thức không khả thi, vì P60(10 ≤ X ≤ 15; 1/6) = 15 X 60! = (1/6)k (1 − 1/6)15−k 10!(60 − 10)! k=10 Sử dụng định lý giới hạn địa phương de Moivre- Laplace, có xấp xỉ   15 − 60.1/6 P 10 ≤ X ≤ 15 = Φ( ) − Φ(0) = p60.5/36 = Φ(1.732051) − 0 = 0.9582 Giải: 1 Xác suất xuất hiện mặt "lục" là p = 6 . PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 66 / 80
  164. Sử dụng định lý giới hạn địa phương de Moivre- Laplace, có xấp xỉ   15 − 60.1/6 P 10 ≤ X ≤ 15 = Φ( ) − Φ(0) = p60.5/36 = Φ(1.732051) − 0 = 0.9582 Giải: 1 Xác suất xuất hiện mặt "lục" là p = 6 . n = 60 là lớn, việc tính theo công thức nhị thức không khả thi, vì P60(10 ≤ X ≤ 15; 1/6) = 15 X 60! = (1/6)k (1 − 1/6)15−k 10!(60 − 10)! k=10 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 66 / 80
  165. Giải: 1 Xác suất xuất hiện mặt "lục" là p = 6 . n = 60 là lớn, việc tính theo công thức nhị thức không khả thi, vì P60(10 ≤ X ≤ 15; 1/6) = 15 X 60! = (1/6)k (1 − 1/6)15−k 10!(60 − 10)! k=10 Sử dụng định lý giới hạn địa phương de Moivre- Laplace, có xấp xỉ   15 − 60.1/6 P 10 ≤ X ≤ 15 = Φ( ) − Φ(0) = p60.5/36 = Φ(1.732051) − 0 = 0.9582 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 66 / 80
  166. Định lý giới hạn trung tâm Định lý Giả sử X1, X2, là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối 2 với kỳ vọng E(Xj ) = µ, D(Xj ) = σ < +∞, j = 1, 2, Khi đó, X + + X − nµ  lim P 1 √ n < x = Φ(x) n→∞ σ n ở đây Tích phân Laplace Z x 1 − 1 y 2 Φ(x) = √ e 2 2π −∞ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 67 / 80
  167. Khẳng định khi n lớn, có   Sn − E(Sn) P p < x ≈ Φ(x) D(Sn) với Sn = X1 + X2 + + Xn Là cơ sở cho mô phỏng Monte Carlo và khoảng tin cậy cho các tham số của tổng thể Giải thích Khẳng định phân phối chuẩn chính tắc Φ(x) là giới hạn của phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, có kỳ vọng và phương sai hữu hạn PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 68 / 80
  168. Là cơ sở cho mô phỏng Monte Carlo và khoảng tin cậy cho các tham số của tổng thể Giải thích Khẳng định phân phối chuẩn chính tắc Φ(x) là giới hạn của phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, có kỳ vọng và phương sai hữu hạn Khẳng định khi n lớn, có   Sn − E(Sn) P p < x ≈ Φ(x) D(Sn) với Sn = X1 + X2 + + Xn PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 68 / 80
  169. Giải thích Khẳng định phân phối chuẩn chính tắc Φ(x) là giới hạn của phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, có kỳ vọng và phương sai hữu hạn Khẳng định khi n lớn, có   Sn − E(Sn) P p < x ≈ Φ(x) D(Sn) với Sn = X1 + X2 + + Xn Là cơ sở cho mô phỏng Monte Carlo và khoảng tin cậy cho các tham số của tổng thể PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 68 / 80
  170. 4.3 Luật yếu các số lớn Luật Bernoulli, 1713 Thực hiện n phép thử độc lập, có k phép thử thành công với xác suất thành công là p. Khi đó, với n lớn k ≈ p n PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 69 / 80
  171. k Tần suất fn = n là ước lượng không chệch và vững của xác suất p Giải thích Tỷ lệ bé trai và bé gái xấp xỉ 0.5 khi n lớn PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 70 / 80
  172. Giải thích Tỷ lệ bé trai và bé gái xấp xỉ 0.5 khi n lớn k Tần suất fn = n là ước lượng không chệch và vững của xác suất p PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 70 / 80
  173. 4.3 Luật yếu các số lớn Bất đẳng thức Chebyshev Với mọi biến ngẫu nhiên X có E(X ) = µ và D(X ) = σ2 < +∞. Khi đó   1 P | X − µ |≥  ≤ σ2 2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 71 / 80
  174. Dạng tương đương   1 P | X − µ |≤  ≥ 1 − σ2 2 Giải thích Bất đẳng thức 3 − σ và ứng dụng trong thống kê (so sánh với định lý giới hạn tích phân) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 72 / 80
  175. Giải thích Bất đẳng thức 3 − σ và ứng dụng trong thống kê (so sánh với định lý giới hạn tích phân) Dạng tương đương   1 P | X − µ |≤  ≥ 1 − σ2 2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 72 / 80
  176. Luật yếu các số lớn Luật yếu số lớn Chebyshev Giả sử X1, X2, là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phương sai hữu hạn bởi cùng một hằng số. Khi đó, với n lớn X + + X E(X ) + E(X ) 1 n ' n n n n PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 73 / 80
  177. Luật yếu các số lớn Luật yếu số lớn Khinchin Giả sử X1, X2, là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối và E(Xn) = µ. Khi đó, với n lớn X + + X 1 n ' µ n PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 74 / 80
  178. ứng dụng trong thống kê Giải thích ứng dụng trong vật lý PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 75 / 80
  179. Giải thích ứng dụng trong vật lý ứng dụng trong thống kê PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 75 / 80
  180. Bài tập chương 4 Bài tập 1. Xác suất một lọ thuốc bị vỡ khi vận chuyển từ nơi sản xuất tới nơi tiêu thụ là 0.01. 1 Dùng định lý xấp xỉ Poisson tính xác suất có đúng 5 lọ thuốc bị vỡ khi vận chuyển 300 lọ thuốc. 2 Phải vận chuyển bao nhiêu lọ thuốc cùng loại để xác suất có ít nhất một lọ thuốc bị vỡ không bé hơn 0.999 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 76 / 80
  181. Bài tập chương 4 Bài tập 2. Gieo 30 lần một con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi X là số điểm sau 30 lần gieo con xúc xắc. 1 Tính E(X ) và D(X ) 2 Tính xác suất P(X > 120) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 77 / 80
  182. Bài tập chương 4 Bài tập 3. Trong kho có 100 thùng sản phẩm, trong mỗi thùng có 90 chính phẩm và 10 phế phẩm. Mỗi thùng hàng lấy ra (có hoàn lại) kiểm tra 5 sản phẩm Tính xác suất để tổng số phế phẩm thuộc khoảng (40; 55) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 78 / 80
  183. Bài tập chương 4 Bài tập 4. Gieo 3200 lần một đồng tiền có xác suất xuất hiện mặt sấp là 0.519. Gọi X là số lần sấp xuất hiện sau 3200 lần gieo. 1 Tính số lần sấp có khả năng xuất hiện nhất. 2 Tính xác suất tương ứng. √ √ 3 Tính xác suất P(1600 + 5 2 < X < 1600 + 10 2). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 79 / 80
  184. Bài tập chương 4 Bài tập 5. Gọi X là số người vào một hiệu cắt tóc trong khoảng thời gian 30 phút. Giả sử X có phân phối Poisson với tham số λ = 2. 1 Hỏi trung bình có bao nhiêu người vào cắt tóc trong 30 phút. p p 2 Tính xác suất P(E(X ) − D(X ) ≤ X < E(X ) + D(X )). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 80 / 80