Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 6: Ước lượng tham số tổng thể - Trần Lộc Hùng

124 trang huongle 7320

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 6: Ước lượng tham số tổng thể - Trần Lộc Hùng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_ly_thuyet_xac_suat_va_thong_ke_toan_hoc_chuong_6_u.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 6: Ước lượng tham số tổng thể - Trần Lộc Hùng

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học PGS.TS. Trần Lộc Hùng Tp. Hồ Chí Minh, 10/ 2013 Ngày 12 tháng 10 năm 2013 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 1 / 60
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING KHOA CƠ BẢN, BỘ MÔN TOÁN-THỐNG KÊ PGS. TS. TRẦN LỘC HÙNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Tp. Hồ Chí Minh, 10/2013 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 2 / 60
Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học PGS.TS. Trần Lộc Hùng Tp. Hồ Chí Minh, 10/ 2013 Ngày 12 tháng 10 năm 2013 Chương 6. Ước lượng tham số tổng thể PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 3 / 60
Độ tin cậy Khoảng ước lượng Từ khóa (Key Words) Ước lượng tham số PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 4 / 60
Khoảng ước lượng Từ khóa (Key Words) Ước lượng tham số Độ tin cậy PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 4 / 60
Từ khóa (Key Words) Ước lượng tham số Độ tin cậy Khoảng ước lượng PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 4 / 60
2 Ước lượng điểm 3 Ước lượng khoảng 4 Ước lượng và cỡ mẫu 5 Bài tập Chương 6. Ước lượng tham số tổng thể 1 Đặt vấn đề PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 5 / 60
3 Ước lượng khoảng 4 Ước lượng và cỡ mẫu 5 Bài tập Chương 6. Ước lượng tham số tổng thể 1 Đặt vấn đề 2 Ước lượng điểm PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 5 / 60
4 Ước lượng và cỡ mẫu 5 Bài tập Chương 6. Ước lượng tham số tổng thể 1 Đặt vấn đề 2 Ước lượng điểm 3 Ước lượng khoảng PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 5 / 60
5 Bài tập Chương 6. Ước lượng tham số tổng thể 1 Đặt vấn đề 2 Ước lượng điểm 3 Ước lượng khoảng 4 Ước lượng và cỡ mẫu PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 5 / 60
Chương 6. Ước lượng tham số tổng thể 1 Đặt vấn đề 2 Ước lượng điểm 3 Ước lượng khoảng 4 Ước lượng và cỡ mẫu 5 Bài tập PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 5 / 60
2 Hàm ước lượng là các thống kê của mẫu θˆ = f (ωn) = f (X1, X2, , Xn) 3 Ước lượng điểm Đặt vấn đề Giả sử ωn = {X1, X2, , Xn} là một mẫu ngẫu nhiên sinh bởi biến ngẫu nhiên X có quy luật xác suất Q(x, θ). Vấn đề đặt ra là: 1 Ước lượng tham số chưa biết θ của tổng thể Ω bao gồm µ, σ2, p. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 6 / 60
3 Ước lượng điểm Đặt vấn đề Giả sử ωn = {X1, X2, , Xn} là một mẫu ngẫu nhiên sinh bởi biến ngẫu nhiên X có quy luật xác suất Q(x, θ). Vấn đề đặt ra là: 1 Ước lượng tham số chưa biết θ của tổng thể Ω bao gồm µ, σ2, p. 2 Hàm ước lượng là các thống kê của mẫu θˆ = f (ωn) = f (X1, X2, , Xn) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 6 / 60
Đặt vấn đề Giả sử ωn = {X1, X2, , Xn} là một mẫu ngẫu nhiên sinh bởi biến ngẫu nhiên X có quy luật xác suất Q(x, θ). Vấn đề đặt ra là: 1 Ước lượng tham số chưa biết θ của tổng thể Ω bao gồm µ, σ2, p. 2 Hàm ước lượng là các thống kê của mẫu θˆ = f (ωn) = f (X1, X2, , Xn) 3 Ước lượng điểm PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 6 / 60
6.1 Ước lượng điểm 1 Ước lượng không chệch 2 Ước lượng vững 3 Ước lượng hiệu quả 4 Ước lượng hợp lý cực đại 5 Ước lượng theo mô men PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 7 / 60
2 Nếu E(θˆ) 6= θ, thì thống kê θˆ là ước lượng chệch so với tham số θ Ước lượng không chệch Định nghĩa Thống kê θˆ được gọi là một ước lượng không chệch của tham số θ, nếu E(θˆ) = θ 1 Bản chất là đẳng thức E(θˆ − θ) = 0 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 8 / 60
Ước lượng không chệch Định nghĩa Thống kê θˆ được gọi là một ước lượng không chệch của tham số θ, nếu E(θˆ) = θ 1 Bản chất là đẳng thức E(θˆ − θ) = 0 2 Nếu E(θˆ) 6= θ, thì thống kê θˆ là ước lượng chệch so với tham số θ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 8 / 60
2 Điều này không phụ thuộc vào cỡ mẫu và đúng cho mọi quy luật xác suất Ước lượng không chệch Ví dụ 1 1 Pn Trung bình mẫu X = n j=1 Xj là một ước lượng không chệch của tham số tổng thể µ 1 Dùng định nghĩa và tính chất của kỳ vọng, ta có n n 1 X 1 X E(X ) = E( X ) = E(X ) = µ n j n j j=1 j=1 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 9 / 60
Ước lượng không chệch Ví dụ 1 1 Pn Trung bình mẫu X = n j=1 Xj là một ước lượng không chệch của tham số tổng thể µ 1 Dùng định nghĩa và tính chất của kỳ vọng, ta có n n 1 X 1 X E(X ) = E( X ) = E(X ) = µ n j n j j=1 j=1 2 Điều này không phụ thuộc vào cỡ mẫu và đúng cho mọi quy luật xác suất PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 9 / 60
2 Điều này là lý do cần phải có phương sai mẫu điều chỉnh n 1 X n Sˆ2 = (X − X )2 = S2 n n − 1 j n − 1 n j=1 Ước lượng không chệch Ví dụ 2 2 1 Pn 2 Phương sai mẫu Sn = n j=1(Xj − X ) là một ước lượng chệch của phương sai tổng thể σ2 1 Dùng định nghĩa và tính chất của kỳ vọng, ta có n 1 X n − 1 E(S2) = E( (X − X )2) = σ2 6= σ2 n n j n j=1 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 10 / 60
Ước lượng không chệch Ví dụ 2 2 1 Pn 2 Phương sai mẫu Sn = n j=1(Xj − X ) là một ước lượng chệch của phương sai tổng thể σ2 1 Dùng định nghĩa và tính chất của kỳ vọng, ta có n 1 X n − 1 E(S2) = E( (X − X )2) = σ2 6= σ2 n n j n j=1 2 Điều này là lý do cần phải có phương sai mẫu điều chỉnh n 1 X n Sˆ2 = (X − X )2 = S2 n n − 1 j n − 1 n j=1 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 10 / 60
2 Khi n lớn thì phương sai mẫu là ước lượng không chệch tiệm cận của tham số σ2, vì n − 1 lim E(S2) = lim σ2 = σ2 n→∞ n n→∞ n Ước lượng không chệch Ví dụ 3 ˆ2 1 Pn 2 Phương sai mẫu điều chỉnh Sn = n−1 j=1(Xj − X ) là một ước lượng không chệch của phương sai tổng thể σ2 1 Dùng định nghĩa và tính chất của kỳ vọng, ta có n − 1 n E(Sˆ2) = E( . σ2) = σ2 n n n − 1 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 11 / 60
Ước lượng không chệch Ví dụ 3 ˆ2 1 Pn 2 Phương sai mẫu điều chỉnh Sn = n−1 j=1(Xj − X ) là một ước lượng không chệch của phương sai tổng thể σ2 1 Dùng định nghĩa và tính chất của kỳ vọng, ta có n − 1 n E(Sˆ2) = E( . σ2) = σ2 n n n − 1 2 Khi n lớn thì phương sai mẫu là ước lượng không chệch tiệm cận của tham số σ2, vì n − 1 lim E(S2) = lim σ2 = σ2 n→∞ n n→∞ n PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 11 / 60
2 Khi n lớn thì tần suất mẫu fn ≈ p. Đây là bản chất của thống kê (Luật yếu các số lớn) Ước lượng không chệch Giả sử X ∼ Bn(p), k là số phép thử thành công của n phép thử độc lập Bernoulli. Khi đó, Ví dụ 4 k Tần suất mẫu fn = n là là một ước lượng không chệch của tham số p 1 Dùng định nghĩa và tính chất của kỳ vọng, ta có k E(k) np E( ) = = = p n n n PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 12 / 60
Ước lượng không chệch Giả sử X ∼ Bn(p), k là số phép thử thành công của n phép thử độc lập Bernoulli. Khi đó, Ví dụ 4 k Tần suất mẫu fn = n là là một ước lượng không chệch của tham số p 1 Dùng định nghĩa và tính chất của kỳ vọng, ta có k E(k) np E( ) = = = p n n n 2 Khi n lớn thì tần suất mẫu fn ≈ p. Đây là bản chất của thống kê (Luật yếu các số lớn) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 12 / 60
2 Bản chất: khi n lớn, thì θˆ ≈ θ Ước lượng vững Định nghĩa Thống kê θˆ được gọi là một ước lượng vững của tham số θ, nếu ∀ > 0, lim P | θˆ − θ |> = 0 n→∞ 1 Là kết quả của Luật yếu số lớn PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 13 / 60
Ước lượng vững Định nghĩa Thống kê θˆ được gọi là một ước lượng vững của tham số θ, nếu ∀ > 0, lim P | θˆ − θ |> = 0 n→∞ 1 Là kết quả của Luật yếu số lớn 2 Bản chất: khi n lớn, thì θˆ ≈ θ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 13 / 60
2 limn→∞ D(θˆ) = 0 Ước lượng vững Định lý 1 Thống kê θˆ là một ước lượng vững của tham số θ, nếu 1 Thống kê θˆ là ước lượng không chệch của tham số θ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 14 / 60
Ước lượng vững Định lý 1 Thống kê θˆ là một ước lượng vững của tham số θ, nếu 1 Thống kê θˆ là ước lượng không chệch của tham số θ 2 limn→∞ D(θˆ) = 0 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 14 / 60
2 Nếu D(θˆ) → 0 khi n → ∞, ta có điều phải chứng minh. Chứng minh 1 Xét ∀ > 0, do θˆ là một ước lượng không chệch của tham số θ, 0 < P | θˆ − θ | = P | θˆ − E(θˆ) |≥ ≤ 1 ≤ D(θˆ) 2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 15 / 60
Chứng minh 1 Xét ∀ > 0, do θˆ là một ước lượng không chệch của tham số θ, 0 < P | θˆ − θ | = P | θˆ − E(θˆ) |≥ ≤ 1 ≤ D(θˆ) 2 2 Nếu D(θˆ) → 0 khi n → ∞, ta có điều phải chứng minh. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 15 / 60
2 2 σ limn→∞ D(X ) = n = 0 Ước lượng vững Ví dụ 1 Trung bình mẫu X là một ước lượng vững của tham số µ, vì 1 Trung bình mẫu X là ước lượng không chệch của tham số µ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 16 / 60
Ước lượng vững Ví dụ 1 Trung bình mẫu X là một ước lượng vững của tham số µ, vì 1 Trung bình mẫu X là ước lượng không chệch của tham số µ 2 2 σ limn→∞ D(X ) = n = 0 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 16 / 60
Ước lượng vững Ví dụ 2 2 2 Phương sai mẫu Sn không là một ước lượng vững của tham số σ , vì phương sai mẫu X không phải là ước lượng không chệch của tham số σ2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 17 / 60
2 Phương sai D(θˆ) ≤ D(θ), với θ là một ước lượng của tham số θ Ước lượng hiệu quả Định nghĩa Thống kê θˆ được gọi là một ước lượng hiệu quả của tham số θ, nếu 1 Thống kê θˆ là một ước lượng không chệch của tham số θ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 18 / 60
Ước lượng hiệu quả Định nghĩa Thống kê θˆ được gọi là một ước lượng hiệu quả của tham số θ, nếu 1 Thống kê θˆ là một ước lượng không chệch của tham số θ 2 Phương sai D(θˆ) ≤ D(θ), với θ là một ước lượng của tham số θ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 18 / 60
Ước lượng hiệu quả Định nghĩa Thống kê θˆ còn được gọi là một ước lượng không chệch với phương sai bé nhất của tham số θ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 19 / 60
2 Khó khăn trong việc xác định sự bé nhất của phương sai D(θˆ) so với các phương sai của các ước lượng không chệch khác của tham số θ 3 Đó là nguyên nhân phải sử dụng bất đẳng thức thông tin của Crame-Rao Chú ý 1 Điều kiện để thống kê θˆ là một ước lượng không chệch của tham số θ có thể dễ dàng kiểm tra PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 20 / 60
3 Đó là nguyên nhân phải sử dụng bất đẳng thức thông tin của Crame-Rao Chú ý 1 Điều kiện để thống kê θˆ là một ước lượng không chệch của tham số θ có thể dễ dàng kiểm tra 2 Khó khăn trong việc xác định sự bé nhất của phương sai D(θˆ) so với các phương sai của các ước lượng không chệch khác của tham số θ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 20 / 60
Chú ý 1 Điều kiện để thống kê θˆ là một ước lượng không chệch của tham số θ có thể dễ dàng kiểm tra 2 Khó khăn trong việc xác định sự bé nhất của phương sai D(θˆ) so với các phương sai của các ước lượng không chệch khác của tham số θ 3 Đó là nguyên nhân phải sử dụng bất đẳng thức thông tin của Crame-Rao PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 20 / 60
2 Bất đẳng thức đúng với mọi ước lượng không chệch của tham số θ Bất đẳng thức thông tin Crame-Rao Bất đẳng thức Với mọi ước lượng không chệch θˆ của tham số θ, có 1 D(θˆ) ≥ nIn(θ) 1 Đại lượng In(θ) là đơn vị thông tin Fisher, xác định bởi d I (θ) = E( ln p(x, θ))2 n dθ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 21 / 60
Bất đẳng thức thông tin Crame-Rao Bất đẳng thức Với mọi ước lượng không chệch θˆ của tham số θ, có 1 D(θˆ) ≥ nIn(θ) 1 Đại lượng In(θ) là đơn vị thông tin Fisher, xác định bởi d I (θ) = E( ln p(x, θ))2 n dθ 2 Bất đẳng thức đúng với mọi ước lượng không chệch của tham số θ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 21 / 60
Ước lượng hiệu quả Kết luận Thống kê θˆ là một ước lượng không chệch với phương sai bé nhất (hiệu quả) của tham số θ, nếu 1 D(θˆ) = nIn(θ) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 22 / 60
Ước lượng hiệu quả Ví dụ 1 Giả sử X ∼ N(µ, σ2). Khi đó, trung bình mẫu X là một ước lượng hiệu quả của tham số µ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 23 / 60
2 2 σ Mặt khác, ta có D(X ) = n 3 Lời khẳng định là đúng, nếu 1 I (µ) = n σ2 2 4 Xét đơn vị thông tin In(µ) của biến ngẫu nhiên X ∼ N(µ, σ ) Lời giải 1 Dễ dàng thấy rằng trung bình mẫu X là một ước lượng không chệch của tham số µ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 24 / 60
3 Lời khẳng định là đúng, nếu 1 I (µ) = n σ2 2 4 Xét đơn vị thông tin In(µ) của biến ngẫu nhiên X ∼ N(µ, σ ) Lời giải 1 Dễ dàng thấy rằng trung bình mẫu X là một ước lượng không chệch của tham số µ 2 2 σ Mặt khác, ta có D(X ) = n PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 24 / 60
2 4 Xét đơn vị thông tin In(µ) của biến ngẫu nhiên X ∼ N(µ, σ ) Lời giải 1 Dễ dàng thấy rằng trung bình mẫu X là một ước lượng không chệch của tham số µ 2 2 σ Mặt khác, ta có D(X ) = n 3 Lời khẳng định là đúng, nếu 1 I (µ) = n σ2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 24 / 60
Lời giải 1 Dễ dàng thấy rằng trung bình mẫu X là một ước lượng không chệch của tham số µ 2 2 σ Mặt khác, ta có D(X ) = n 3 Lời khẳng định là đúng, nếu 1 I (µ) = n σ2 2 4 Xét đơn vị thông tin In(µ) của biến ngẫu nhiên X ∼ N(µ, σ ) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 24 / 60
1 1 x−µ 2 Khi đó, ln p(x, µ) = ln( √ ) − ( )2 σ 2π 2 σ 3 Lấy đạo hàm riêng theo µ, ta có d x − µ ln p(x, µ) = dµ σ2 4 Suy ra, d 2 x − µ2 1 I (µ) = E ln p(x, µ) = E = n dx σ2 σ2 Lời giải 1 Biến X có hàm mật độ 1 − 1 ( x−µ )2 p(x, µ) = √ e 2 σ σ 2π PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 25 / 60
3 Lấy đạo hàm riêng theo µ, ta có d x − µ ln p(x, µ) = dµ σ2 4 Suy ra, d 2 x − µ2 1 I (µ) = E ln p(x, µ) = E = n dx σ2 σ2 Lời giải 1 Biến X có hàm mật độ 1 − 1 ( x−µ )2 p(x, µ) = √ e 2 σ σ 2π 1 1 x−µ 2 Khi đó, ln p(x, µ) = ln( √ ) − ( )2 σ 2π 2 σ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 25 / 60
4 Suy ra, d 2 x − µ2 1 I (µ) = E ln p(x, µ) = E = n dx σ2 σ2 Lời giải 1 Biến X có hàm mật độ 1 − 1 ( x−µ )2 p(x, µ) = √ e 2 σ σ 2π 1 1 x−µ 2 Khi đó, ln p(x, µ) = ln( √ ) − ( )2 σ 2π 2 σ 3 Lấy đạo hàm riêng theo µ, ta có d x − µ ln p(x, µ) = dµ σ2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 25 / 60
Lời giải 1 Biến X có hàm mật độ 1 − 1 ( x−µ )2 p(x, µ) = √ e 2 σ σ 2π 1 1 x−µ 2 Khi đó, ln p(x, µ) = ln( √ ) − ( )2 σ 2π 2 σ 3 Lấy đạo hàm riêng theo µ, ta có d x − µ ln p(x, µ) = dµ σ2 4 Suy ra, d 2 x − µ2 1 I (µ) = E ln p(x, µ) = E = n dx σ2 σ2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 25 / 60
Ước lượng hợp lý cực đại Định nghĩa 1 Qn Hàm L(X1, X2, , Xn, θ) = j=1 pXj (x, θ) được gọi là hàm hợp lý của tham số θ Định nghĩa 2 Thống kê θˆ được gọi là một ước lượng hợp lý cực đại của tham số θ, nếu hàm hợp lý L(X1, X2, , Xn, θ) đạt giá trị cực đại (địa phương) tại điểm θ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 26 / 60
Thuật toán Fisher tìm ước lượng hợp lý cực đại Thuật toán 1 Xác định hàm hợp lý L(X1, X2, , Xn, θ) của tham số θ 2 Giải phương trình d ln L(X , X , , X , θ) = 0 dθ 1 2 n tìm điểm có khả năng đạt cực trị θˆ 3 Kiểm tra điều kiện d2 L(X , X , , X , θˆ) < 0 dθ2 1 2 n 4 Nếu điều kiện thỏa mãn, thì thống kê θˆ là ước lượng hợp lý cực đại của tham số θ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 27 / 60
Giải thích 1 Dựa vào định lý Fermat: nếu hàm số y = f (x) có cực trị tại điểm x0, d thì dx f (x0) = 0. (Điều ngược lại không đúng) 2 Dựa vào định lý về cực trị: nếu hàm số y = f (x) có cực trị tại điểm x0 và f (x0) 0 nên hàm số f và ln(f ) có cùng cực trị. 4 Vì vậy mà Fisher đã xét điểm cực đại của hàm ln L(X1, X2, , Xn, θ) thay cho hàm L(X1, X2, , Xn, θ) > 0. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 28 / 60
Ước lượng hợp lý cực đại Ví dụ 1 Giả sử X ∼ N(µ, σ2). Khi đó, trung bình mẫu X là một ước lượng hợp lý cực đại của tham số µ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 29 / 60
2 Giải phương trình d ln L(X , X , , Xn, µ) = 0 dµ 1 2 1 Pn cho nghiệm µˆ = X = n j=1 Xj 3 Kiểm tra điều kiện d2 n ln L(X , X , , Xn, µˆ) = − < 0 dµ2 1 2 σ2 4 Kết luận, trung bình mẫu X là ước lượng hợp lý cực đại của tham số µ Lời giải 1 Xác định hàm hợp lý của tham số µ là 1 Pn 2 1 n − (xj −µ) L(X1, X2, , Xn, µ) = ( √ ) e 2σ2 j=1 σ 2π PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 30 / 60
3 Kiểm tra điều kiện d2 n ln L(X , X , , Xn, µˆ) = − < 0 dµ2 1 2 σ2 4 Kết luận, trung bình mẫu X là ước lượng hợp lý cực đại của tham số µ Lời giải 1 Xác định hàm hợp lý của tham số µ là 1 Pn 2 1 n − (xj −µ) L(X1, X2, , Xn, µ) = ( √ ) e 2σ2 j=1 σ 2π 2 Giải phương trình d ln L(X , X , , Xn, µ) = 0 dµ 1 2 1 Pn cho nghiệm µˆ = X = n j=1 Xj PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 30 / 60
4 Kết luận, trung bình mẫu X là ước lượng hợp lý cực đại của tham số µ Lời giải 1 Xác định hàm hợp lý của tham số µ là 1 Pn 2 1 n − (xj −µ) L(X1, X2, , Xn, µ) = ( √ ) e 2σ2 j=1 σ 2π 2 Giải phương trình d ln L(X , X , , Xn, µ) = 0 dµ 1 2 1 Pn cho nghiệm µˆ = X = n j=1 Xj 3 Kiểm tra điều kiện d2 n ln L(X , X , , Xn, µˆ) = − < 0 dµ2 1 2 σ2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 30 / 60
Lời giải 1 Xác định hàm hợp lý của tham số µ là 1 Pn 2 1 n − (xj −µ) L(X1, X2, , Xn, µ) = ( √ ) e 2σ2 j=1 σ 2π 2 Giải phương trình d ln L(X , X , , Xn, µ) = 0 dµ 1 2 1 Pn cho nghiệm µˆ = X = n j=1 Xj 3 Kiểm tra điều kiện d2 n ln L(X , X , , Xn, µˆ) = − < 0 dµ2 1 2 σ2 4 Kết luận, trung bình mẫu X là ước lượng hợp lý cực đại của tham số µ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 30 / 60
Ước lượng hợp lý cực đại Ví dụ 2 2 2 Giả sử X ∼ N(µ, σ ). Khi đó, phương sai mẫu Sn là một ước lượng hợp lý cực đại của tham số σ2 Xin mời các bạn giải ví dụ 2! PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 31 / 60
1 là ước lượng không chệch của tham số µ 2 là ước lượng vững của tham số µ 3 là ước lượng hợp lý cực đại của tham số µ 4 là ước lượng hiệu quả của tham số µ Vì vậy, trong nhiều bài toán thống kê mà biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với tham số µ và σ2, trung bình mẫu X có thể thay thế cho trung bình tổng thể µ Chú ý Trung bình mẫu X là các ước lượng tốt cho tham số µ của tổng thể sinh bởi biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn N(µ, σ2) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 32 / 60
2 là ước lượng vững của tham số µ 3 là ước lượng hợp lý cực đại của tham số µ 4 là ước lượng hiệu quả của tham số µ Vì vậy, trong nhiều bài toán thống kê mà biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với tham số µ và σ2, trung bình mẫu X có thể thay thế cho trung bình tổng thể µ Chú ý Trung bình mẫu X là các ước lượng tốt cho tham số µ của tổng thể sinh bởi biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn N(µ, σ2) 1 là ước lượng không chệch của tham số µ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 32 / 60
3 là ước lượng hợp lý cực đại của tham số µ 4 là ước lượng hiệu quả của tham số µ Vì vậy, trong nhiều bài toán thống kê mà biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với tham số µ và σ2, trung bình mẫu X có thể thay thế cho trung bình tổng thể µ Chú ý Trung bình mẫu X là các ước lượng tốt cho tham số µ của tổng thể sinh bởi biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn N(µ, σ2) 1 là ước lượng không chệch của tham số µ 2 là ước lượng vững của tham số µ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 32 / 60
4 là ước lượng hiệu quả của tham số µ Vì vậy, trong nhiều bài toán thống kê mà biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với tham số µ và σ2, trung bình mẫu X có thể thay thế cho trung bình tổng thể µ Chú ý Trung bình mẫu X là các ước lượng tốt cho tham số µ của tổng thể sinh bởi biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn N(µ, σ2) 1 là ước lượng không chệch của tham số µ 2 là ước lượng vững của tham số µ 3 là ước lượng hợp lý cực đại của tham số µ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 32 / 60
Vì vậy, trong nhiều bài toán thống kê mà biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với tham số µ và σ2, trung bình mẫu X có thể thay thế cho trung bình tổng thể µ Chú ý Trung bình mẫu X là các ước lượng tốt cho tham số µ của tổng thể sinh bởi biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn N(µ, σ2) 1 là ước lượng không chệch của tham số µ 2 là ước lượng vững của tham số µ 3 là ước lượng hợp lý cực đại của tham số µ 4 là ước lượng hiệu quả của tham số µ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 32 / 60
Chú ý Trung bình mẫu X là các ước lượng tốt cho tham số µ của tổng thể sinh bởi biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn N(µ, σ2) 1 là ước lượng không chệch của tham số µ 2 là ước lượng vững của tham số µ 3 là ước lượng hợp lý cực đại của tham số µ 4 là ước lượng hiệu quả của tham số µ Vì vậy, trong nhiều bài toán thống kê mà biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với tham số µ và σ2, trung bình mẫu X có thể thay thế cho trung bình tổng thể µ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 32 / 60
j Pn j và µj = E(X ) = i=1 xi pi là mô men tổng thể cấp j, j = 1, 2, Ước lượng mô men Định nghĩa Thống kê θˆ được gọi là ước lượng mo men của tham số θ, nếu nó là nghiệm của hệ phương trình µˆj = µj j 1 Pn j ở đây, µˆj = En(X ) = n i=1 Xi là mô men mẫu cấp j, j = 1, 2, PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 33 / 60
Ước lượng mô men Định nghĩa Thống kê θˆ được gọi là ước lượng mo men của tham số θ, nếu nó là nghiệm của hệ phương trình µˆj = µj j 1 Pn j ở đây, µˆj = En(X ) = n i=1 Xi là mô men mẫu cấp j, j = 1, 2, j Pn j và µj = E(X ) = i=1 xi pi là mô men tổng thể cấp j, j = 1, 2, PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 33 / 60
Ước lượng mô men Ví dụ 1 1 Trung bình mẫu là ước lượng mô men của trung bình tổng thể µ 2 Phương sai mẫu là ước lượng mô men của phương sai tổng thể σ2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 34 / 60
1 Trung bình mẫu X là ước lượng mô men của trung bình tổng thể µ. 2 2 2 Phương sai mẫu Sn là ước lượng mô men của phương sai tổng thể σ . Với j=2, ta có phương trình 2 2 2 2 2 µˆ2 = µ2 ⇐⇒ Sn + (X ) = E(X ) = σ + (E(X )) Suy ra, Lời giải Với j=1, ta có phương trình µˆ1 = µ1 ⇐⇒ X = µ = E(X ) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 35 / 60
1 Trung bình mẫu X là ước lượng mô men của trung bình tổng thể µ. 2 2 2 Phương sai mẫu Sn là ước lượng mô men của phương sai tổng thể σ . Suy ra, Lời giải Với j=1, ta có phương trình µˆ1 = µ1 ⇐⇒ X = µ = E(X ) Với j=2, ta có phương trình 2 2 2 2 2 µˆ2 = µ2 ⇐⇒ Sn + (X ) = E(X ) = σ + (E(X )) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 35 / 60
1 Trung bình mẫu X là ước lượng mô men của trung bình tổng thể µ. 2 2 2 Phương sai mẫu Sn là ước lượng mô men của phương sai tổng thể σ . Lời giải Với j=1, ta có phương trình µˆ1 = µ1 ⇐⇒ X = µ = E(X ) Với j=2, ta có phương trình 2 2 2 2 2 µˆ2 = µ2 ⇐⇒ Sn + (X ) = E(X ) = σ + (E(X )) Suy ra, PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 35 / 60
2 2 2 Phương sai mẫu Sn là ước lượng mô men của phương sai tổng thể σ . Lời giải Với j=1, ta có phương trình µˆ1 = µ1 ⇐⇒ X = µ = E(X ) Với j=2, ta có phương trình 2 2 2 2 2 µˆ2 = µ2 ⇐⇒ Sn + (X ) = E(X ) = σ + (E(X )) Suy ra, 1 Trung bình mẫu X là ước lượng mô men của trung bình tổng thể µ. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 35 / 60
Lời giải Với j=1, ta có phương trình µˆ1 = µ1 ⇐⇒ X = µ = E(X ) Với j=2, ta có phương trình 2 2 2 2 2 µˆ2 = µ2 ⇐⇒ Sn + (X ) = E(X ) = σ + (E(X )) Suy ra, 1 Trung bình mẫu X là ước lượng mô men của trung bình tổng thể µ. 2 2 2 Phương sai mẫu Sn là ước lượng mô men của phương sai tổng thể σ . PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 35 / 60
6.2 Ước lượng khoảng 1 Đặt vấn đề 2 Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể 3 Khoảng ước lượng cho phương sai tổng thể 4 Khoảng ước lượng cho tần suất tổng thể 5 Khoảng ước lượng và cỡ mẫu PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 36 / 60
Xác suất γ ∈ (0, 1) được gọi là độ tin cậy cho khoảng ước lượng θˆ1; θˆ2 Đặt vấn đề Bài toán Giả sử X ∼ F (x, θ), θ là tham số chưa biết, cần ước lượng. Từ mẫu ωn = {X1, X2, , Xn}, xác định hai thống kê θˆ1 và θˆ2,sao cho P θˆ1 < θ < θˆ2 = γ Khoảng θˆ1; θˆ2 được gọi là khoảng ước lượng tham số θ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 37 / 60
Đặt vấn đề Bài toán Giả sử X ∼ F (x, θ), θ là tham số chưa biết, cần ước lượng. Từ mẫu ωn = {X1, X2, , Xn}, xác định hai thống kê θˆ1 và θˆ2,sao cho P θˆ1 < θ < θˆ2 = γ Khoảng θˆ1; θˆ2 được gọi là khoảng ước lượng tham số θ Xác suất γ ∈ (0, 1) được gọi là độ tin cậy cho khoảng ước lượng θˆ1; θˆ2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 37 / 60
Xác suất γ ∈ (0, 1) thường được chọn gần 1 như 0.99, 0.999, 0.95, 0.90 Một số tài liệu gọi θˆ1; θˆ2 với độ tin cậy γ là γ%− khoảng tin cậy Các thống kê θˆ1 và θˆ2 thường được chọn nếu chúng là ước lượng tốt cho tham số cần ước lượng θ Chú ý Khoảng θˆ1; θˆ2 còn được gọi là khoảng ước lượng đối xứng PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 38 / 60
Một số tài liệu gọi θˆ1; θˆ2 với độ tin cậy γ là γ%− khoảng tin cậy Các thống kê θˆ1 và θˆ2 thường được chọn nếu chúng là ước lượng tốt cho tham số cần ước lượng θ Chú ý Khoảng θˆ1; θˆ2 còn được gọi là khoảng ước lượng đối xứng Xác suất γ ∈ (0, 1) thường được chọn gần 1 như 0.99, 0.999, 0.95, 0.90 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 38 / 60
Các thống kê θˆ1 và θˆ2 thường được chọn nếu chúng là ước lượng tốt cho tham số cần ước lượng θ Chú ý Khoảng θˆ1; θˆ2 còn được gọi là khoảng ước lượng đối xứng Xác suất γ ∈ (0, 1) thường được chọn gần 1 như 0.99, 0.999, 0.95, 0.90 Một số tài liệu gọi θˆ1; θˆ2 với độ tin cậy γ là γ%− khoảng tin cậy PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 38 / 60
Chú ý Khoảng θˆ1; θˆ2 còn được gọi là khoảng ước lượng đối xứng Xác suất γ ∈ (0, 1) thường được chọn gần 1 như 0.99, 0.999, 0.95, 0.90 Một số tài liệu gọi θˆ1; θˆ2 với độ tin cậy γ là γ%− khoảng tin cậy Các thống kê θˆ1 và θˆ2 thường được chọn nếu chúng là ước lượng tốt cho tham số cần ước lượng θ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 38 / 60
Mẫu được chọn với cỡ n đủ lớn, trong thực tế mẫu có n ≥ 30 được coi là mẫu lớn Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể Bài toán 1 Giả sử X ∼ N(µ, σ2), µ là tham số chưa biết, cần ước lượng. Từ mẫu ωn = {X1, X2, , Xn}, xác định hai thống kê θˆ1 và θˆ2,sao cho P θˆ1 < µ < θˆ2 = γ Giả sử tham số thứ hai σ2 đã biết PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 39 / 60
Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể Bài toán 1 Giả sử X ∼ N(µ, σ2), µ là tham số chưa biết, cần ước lượng. Từ mẫu ωn = {X1, X2, , Xn}, xác định hai thống kê θˆ1 và θˆ2,sao cho P θˆ1 < µ < θˆ2 = γ Giả sử tham số thứ hai σ2 đã biết Mẫu được chọn với cỡ n đủ lớn, trong thực tế mẫu có n ≥ 30 được coi là mẫu lớn PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 39 / 60
Cơ sở lý thuyết Định lý 1 Giả sử (X1, X2, , Xn) là mẫu sinh ra từ n quan sát độc lập của một biến 2 X −µ √ ngẫu nhiên X ∼ N(µ, σ ). Khi đó, biến ngẫu nhiên Z = σ n có phân phối tiệm cận chuẩn khi n → ∞, tức là Z x X − µ√ 1 − 1 y 2 lim P n < x = Φ(x) = √ e 2 dy n→∞ σ 2π −∞ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 40 / 60
1 Pn Trung bình mẫu X = n j=1 Xj được tính từ mẫu ωn = {X1, X2, , Xn} Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể Bài toán 1 Khoảng ước lượng cho tham số µ với độ tin cậy γ xác định bởi σ σ X − z γ √ < µ < X + z γ √ 2 n 2 n Giả sử tham số thứ hai σ2 đã biết PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 41 / 60
Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể Bài toán 1 Khoảng ước lượng cho tham số µ với độ tin cậy γ xác định bởi σ σ X − z γ √ < µ < X + z γ √ 2 n 2 n Giả sử tham số thứ hai σ2 đã biết 1 Pn Trung bình mẫu X = n j=1 Xj được tính từ mẫu ωn = {X1, X2, , Xn} PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 41 / 60
Hàm Laplace Z x 1 1 − 1 y 2 Φ0(x) = Φ(x) − = √ e 2 dy 2 2π 0 Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể Phân vị chuẩn mức γ là z γ được xác định sao cho 2 γ Φ0(z γ ) = 2 2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 42 / 60
Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể Phân vị chuẩn mức γ là z γ được xác định sao cho 2 γ Φ0(z γ ) = 2 2 Hàm Laplace Z x 1 1 − 1 y 2 Φ0(x) = Φ(x) − = √ e 2 dy 2 2π 0 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 42 / 60
2 nếu γ=0.95 thì z γ =1.96 2 3 nếu γ=0.90 thì z γ =1.65 2 γ Phân vị chuẩn mức 2 1 nếu γ=0.99 thì z γ =2.58 2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 43 / 60
3 nếu γ=0.90 thì z γ =1.65 2 γ Phân vị chuẩn mức 2 1 nếu γ=0.99 thì z γ =2.58 2 2 nếu γ=0.95 thì z γ =1.96 2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 43 / 60
γ Phân vị chuẩn mức 2 1 nếu γ=0.99 thì z γ =2.58 2 2 nếu γ=0.95 thì z γ =1.96 2 3 nếu γ=0.90 thì z γ =1.65 2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 43 / 60
Để sai số ước lượng không vượt quá = 0.01 với độ tin cậy 0.99 thì cần quan sát một mẫu có cỡ bao nhiêu? Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể Ví dụ 1 Thống kê số phút đi làm muộn của một cơ quan, có kết quả sau X số phút muộn: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 nj −tần số: 183, 15, 16, 14, 13, 2, 1, 1, 1, 1 Cho biết X ∼ N(µ, σ = 0.1). Với độ tin cậy 0.95 hãy xác định khoảng ước lượng đối xứng cho số phút đi làm muộn trung bình. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 44 / 60
Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể Ví dụ 1 Thống kê số phút đi làm muộn của một cơ quan, có kết quả sau X số phút muộn: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 nj −tần số: 183, 15, 16, 14, 13, 2, 1, 1, 1, 1 Cho biết X ∼ N(µ, σ = 0.1). Với độ tin cậy 0.95 hãy xác định khoảng ước lượng đối xứng cho số phút đi làm muộn trung bình. Để sai số ước lượng không vượt quá = 0.01 với độ tin cậy 0.99 thì cần quan sát một mẫu có cỡ bao nhiêu? PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 44 / 60
Mẫu được chọn với cỡ n đủ lớn, trong thực tế mẫu có n ≥ 30 được coi là mẫu lớn Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể Bài toán 2 Giả sử X ∼ N(µ, σ2), µ và σ2 là hai tham số chưa biết, cần ước lượng tham số µ. Từ mẫu ωn = {X1, X2, , Xn}, xác định hai thống kê θˆ1 và θˆ ,sao cho 2 P θˆ3 < µ < θˆ4 = γ Giả sử tham số thứ hai σ2 chưa biết PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 45 / 60
Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể Bài toán 2 Giả sử X ∼ N(µ, σ2), µ và σ2 là hai tham số chưa biết, cần ước lượng tham số µ. Từ mẫu ωn = {X1, X2, , Xn}, xác định hai thống kê θˆ1 và θˆ ,sao cho 2 P θˆ3 < µ < θˆ4 = γ Giả sử tham số thứ hai σ2 chưa biết Mẫu được chọn với cỡ n đủ lớn, trong thực tế mẫu có n ≥ 30 được coi là mẫu lớn PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 45 / 60
ˆ2 2 Chọn thống kê là phương sai mẫu điều chỉnh Sn vì nó là ước lượng không chệch của tham số σ2 3 Như vậy, xét thống kê X − µ√ T = n ∼ Tn−1 ˆ2 Sn có phân phối Student với n-1 bậc tự do Giải thích 1 Do tham số thứ hai là σ2 cũng chưa biết, nên phải sử dụng một thống kê là ước lượng tốt cho σ2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 46 / 60
3 Như vậy, xét thống kê X − µ√ T = n ∼ Tn−1 ˆ2 Sn có phân phối Student với n-1 bậc tự do Giải thích 1 Do tham số thứ hai là σ2 cũng chưa biết, nên phải sử dụng một thống kê là ước lượng tốt cho σ2 ˆ2 2 Chọn thống kê là phương sai mẫu điều chỉnh Sn vì nó là ước lượng không chệch của tham số σ2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 46 / 60
Giải thích 1 Do tham số thứ hai là σ2 cũng chưa biết, nên phải sử dụng một thống kê là ước lượng tốt cho σ2 ˆ2 2 Chọn thống kê là phương sai mẫu điều chỉnh Sn vì nó là ước lượng không chệch của tham số σ2 3 Như vậy, xét thống kê X − µ√ T = n ∼ Tn−1 ˆ2 Sn có phân phối Student với n-1 bậc tự do PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 46 / 60
Cơ sở lý thuyết Định lý 2 2 X −µ √ Nếu X ∈ N(µ, σ ), thì biến ngẫu nhiên T = ˆ2 n có phân phối Sn Student với (n-1) bậc tự do PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 47 / 60
1 Pn Trung bình mẫu X = n j=1 Xj được tính từ mẫu ωn = {X1, X2, , Xn} Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể Bài toán 2 Khoảng ước lượng cho tham số µ với độ tin cậy γ xác định bởi Sˆn Sˆn X − t γ (n − 1)√ < µ < X + t γ (n − 1)√ 2 n 2 n Giả sử tham số thứ hai σ2 chưa biết, được thay bởi phương sai mẫu 2 điều chỉnh Sn PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 48 / 60
Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể Bài toán 2 Khoảng ước lượng cho tham số µ với độ tin cậy γ xác định bởi Sˆn Sˆn X − t γ (n − 1)√ < µ < X + t γ (n − 1)√ 2 n 2 n Giả sử tham số thứ hai σ2 chưa biết, được thay bởi phương sai mẫu 2 điều chỉnh Sn 1 Pn Trung bình mẫu X = n j=1 Xj được tính từ mẫu ωn = {X1, X2, , Xn} PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 48 / 60
Trường hợp mẫu nhỏ, n < 30 cũng thường sử dụng phân phối Student để ước lượng Chú ý khi n lớn thì các phân vị chuẩn và student trùng nhau (theo định lý tiệm cận chuẩn của phân phối Student), hay t γ (+∞) = z γ 2 2 Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể khi chưa biết σ2 Phân vị Student mức γ là t γ (n − 1) được tra từ bảng thống kê 2 γ Student ứng với độ tin cậy 2 và độ tự do (n-1) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 49 / 60
Chú ý khi n lớn thì các phân vị chuẩn và student trùng nhau (theo định lý tiệm cận chuẩn của phân phối Student), hay t γ (+∞) = z γ 2 2 Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể khi chưa biết σ2 Phân vị Student mức γ là t γ (n − 1) được tra từ bảng thống kê 2 γ Student ứng với độ tin cậy 2 và độ tự do (n-1) Trường hợp mẫu nhỏ, n < 30 cũng thường sử dụng phân phối Student để ước lượng PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 49 / 60
Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể khi chưa biết σ2 Phân vị Student mức γ là t γ (n − 1) được tra từ bảng thống kê 2 γ Student ứng với độ tin cậy 2 và độ tự do (n-1) Trường hợp mẫu nhỏ, n < 30 cũng thường sử dụng phân phối Student để ước lượng Chú ý khi n lớn thì các phân vị chuẩn và student trùng nhau (theo định lý tiệm cận chuẩn của phân phối Student), hay t γ (+∞) = z γ 2 2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 49 / 60
Xét trường hợp tần suất nj có giá trị 1 cho tất cả giá trị của X Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể Ví dụ 2 Thống kê số phút (X) đi vào lớp muộn của sinh viên một trường đại học, có kết quả thống kê sau Xj : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 nj : 103, 25, 36, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 1 Cho biết X ∼ N(µ, σ2). Với độ tin cậy 0.95 hãy xác định khoảng ước lượng đối xứng cho số phút vào lớp muộn trung bình của sinh viên. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 50 / 60
Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể Ví dụ 2 Thống kê số phút (X) đi vào lớp muộn của sinh viên một trường đại học, có kết quả thống kê sau Xj : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 nj : 103, 25, 36, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 1 Cho biết X ∼ N(µ, σ2). Với độ tin cậy 0.95 hãy xác định khoảng ước lượng đối xứng cho số phút vào lớp muộn trung bình của sinh viên. Xét trường hợp tần suất nj có giá trị 1 cho tất cả giá trị của X PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 50 / 60
Sử dụng định lý tiệm cận chuẩn (chương 5) Khoảng ước lượng cho xác suât tổng thể p Bài toán 3 Giả sử X ∼ Bn(p), p ∈ (0, ). Từ mẫu ωn = {X1, X2, , Xn}, xác định hai thống kê θˆ5 và θˆ6,sao cho P θˆ5 < p < θˆ6 = γ Mẫu sinh ra từ phép thử Bernoulli, với xác suất thành công p ∈ (0, 1) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 51 / 60
Khoảng ước lượng cho xác suât tổng thể p Bài toán 3 Giả sử X ∼ Bn(p), p ∈ (0, ). Từ mẫu ωn = {X1, X2, , Xn}, xác định hai thống kê θˆ5 và θˆ6,sao cho P θˆ5 < p < θˆ6 = γ Mẫu sinh ra từ phép thử Bernoulli, với xác suất thành công p ∈ (0, 1) Sử dụng định lý tiệm cận chuẩn (chương 5) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 51 / 60
Cơ sở lý thuyết Định lý 3 Giả sử tiến hành n quan sát độc lập, với xác suất thành công của mỗi quan sát là p, p ∈ (0, 1). Gọi k là số quan sát thành công trong n quan k −p √ sát, 0 ≤ k ≤ n. Khi đó, biến ngẫu nhiên Z = √ n n có phân phối p(1−p) tiệm cận chuẩn khi n → ∞, tức là k Z x n − p √ 1 − 1 y 2 lim P p n < x = Φ(x) = √ e 2 dy n→∞ p(1 − p) 2π −∞ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 52 / 60
Phân vị chuẩn z γ xác định như trong bài toán 1. 2 Khoảng ước lượng cho xác suât tổng thể p Bài toán 3 Giả sử X ∼ Bn(p), p ∈ (0, ). Khi đó, khoảng ước lượng đối xứng cho xác suất tổng thể p với độ tin cậy γ xác định bởi r r fn(1 − fn) fn(1 − fn) fn − z γ < p < fn + z γ 2 n 2 n k Tần suât mẫu fn = n là ước lượng tốt cho xác suất tổng thể p PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 53 / 60
Khoảng ước lượng cho xác suât tổng thể p Bài toán 3 Giả sử X ∼ Bn(p), p ∈ (0, ). Khi đó, khoảng ước lượng đối xứng cho xác suất tổng thể p với độ tin cậy γ xác định bởi r r fn(1 − fn) fn(1 − fn) fn − z γ < p < fn + z γ 2 n 2 n k Tần suât mẫu fn = n là ước lượng tốt cho xác suất tổng thể p Phân vị chuẩn z γ xác định như trong bài toán 1. 2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 53 / 60
Khoảng ước lượng cho p với độ tin cậy 0.9 là r r 0.02(1 − 0.02) 0.02(1 − 0.02) 0.02 − 1.65 ; 0.02 + 1.65 1500 1500 Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể Ví dụ 3 Thăm dò 1500 sinh viên học năm thứ nhất hệ tín chỉ, có 30 sinh viên gặp khó khăn trong phương pháp học. Với độ tin cây 0.90 hãy ước lượng tỷ lệ sinh viên gặp khóa khăn trong phương pháp học trong toàn trường. gọi p là tỷ lệ sinh viên gặp khó khăn trong phương pháp học của toàn 30 trường, p ∈ (0, 1). Tần suất mẫu f1500 = 1500 = 0.02 Với γ = 0.9 có z0.45 = 1.65 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 54 / 60
Khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể Ví dụ 3 Thăm dò 1500 sinh viên học năm thứ nhất hệ tín chỉ, có 30 sinh viên gặp khó khăn trong phương pháp học. Với độ tin cây 0.90 hãy ước lượng tỷ lệ sinh viên gặp khóa khăn trong phương pháp học trong toàn trường. gọi p là tỷ lệ sinh viên gặp khó khăn trong phương pháp học của toàn 30 trường, p ∈ (0, 1). Tần suất mẫu f1500 = 1500 = 0.02 Với γ = 0.9 có z0.45 = 1.65 Khoảng ước lượng cho p với độ tin cậy 0.9 là r r 0.02(1 − 0.02) 0.02(1 − 0.02) 0.02 − 1.65 ; 0.02 + 1.65 1500 1500 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 54 / 60
Dựa vào định lý chương 3 Khoảng ước lượng cho phương sai tổng thể σ2 Bài toán 4 Giả sử X ∼ N(µ, σ2), với tham số cần ước lượng là σ2. Khi đó, khoảng ước lượng đối xứng cho phương sai tổng thể σ2 với độ tin cậy γ xác định bởi ˆ2 ˆ2 (n − 1)Sn 2 (n − 1)Sn 2 χ γ (n − 1) = 2 2 2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 55 / 60
Khoảng ước lượng cho phương sai tổng thể σ2 Bài toán 4 Giả sử X ∼ N(µ, σ2), với tham số cần ước lượng là σ2. Khi đó, khoảng ước lượng đối xứng cho phương sai tổng thể σ2 với độ tin cậy γ xác định bởi ˆ2 ˆ2 (n − 1)Sn 2 (n − 1)Sn 2 χ γ (n − 1) = 2 2 2 Dựa vào định lý chương 3 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 55 / 60
Cơ sở lý thuyết Định lý 4 Nếu (X1, X2, , Xn) là một mẫu sinh từ biến ngẫu nhiên có phân phối 2 n−1 ˆ2 2 chuẩn N(µ, σ ), thì σ2 Sn có phân phối χn−1 với (n-1) bậc tự do PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 56 / 60
Với độ tin cậy 0.95 hãy ước lượng phương sai tổng thể σ2. Khoảng ước lượng cho phương sai tổng thể Ví dụ 4 Đo chỉ số trên huyết áp của một số người cao tuổi, có thống kê sau 129, 132, 140, 138, 143, 133, 137, 140, 143, 138, 140 2 Tính trung bình mẫu X và phương sai mẫu Sn PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 57 / 60
Khoảng ước lượng cho phương sai tổng thể Ví dụ 4 Đo chỉ số trên huyết áp của một số người cao tuổi, có thống kê sau 129, 132, 140, 138, 143, 133, 137, 140, 143, 138, 140 2 Tính trung bình mẫu X và phương sai mẫu Sn Với độ tin cậy 0.95 hãy ước lượng phương sai tổng thể σ2. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 57 / 60
Xác định khoảng ước lượng cho tuổi thọ trung bình của các bóng đèn với độ tin cậy 0.9 Để sai số ước lượng không quá 30 giờ với độ tin cậy 0.95 thì cần quan sát bao nhiêu bóng đèn. Bài tập chương 6 Bài tập 1 Quan sát tuổi thọ X giờ của một số bóng đèn ta có thống kê sau Xj : 1000 1200 1400 1600 2000 nj : 20 17 18 21 22 2 Tính trung bình mẫu X và phương sai mâu Sn PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 58 / 60
Để sai số ước lượng không quá 30 giờ với độ tin cậy 0.95 thì cần quan sát bao nhiêu bóng đèn. Bài tập chương 6 Bài tập 1 Quan sát tuổi thọ X giờ của một số bóng đèn ta có thống kê sau Xj : 1000 1200 1400 1600 2000 nj : 20 17 18 21 22 2 Tính trung bình mẫu X và phương sai mâu Sn Xác định khoảng ước lượng cho tuổi thọ trung bình của các bóng đèn với độ tin cậy 0.9 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 58 / 60
Bài tập chương 6 Bài tập 1 Quan sát tuổi thọ X giờ của một số bóng đèn ta có thống kê sau Xj : 1000 1200 1400 1600 2000 nj : 20 17 18 21 22 2 Tính trung bình mẫu X và phương sai mâu Sn Xác định khoảng ước lượng cho tuổi thọ trung bình của các bóng đèn với độ tin cậy 0.9 Để sai số ước lượng không quá 30 giờ với độ tin cậy 0.95 thì cần quan sát bao nhiêu bóng đèn. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 58 / 60
Bài tập chương 6 Bài tập 2 Để ước lượng số cá có trong một hồ nuôi, người ta bắt lên 200 con cá, đánh dấu và thả vào lại trong hồ. Một thời gian sau bắt lên 20 con thì thấy có 5 con bị đánh dấu. Với độ tin cậy 0.99 hãy ước lượng số cá có trong hồ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 59 / 60
Bài tập chương 6 Bài tập 3 Thăm dò 1200 người thì có 768 người ủng hộ ứng cử viên A. Với độ tin cậy 0.90 hãy ước lượng số cử tri ủng hộ ứng cử viên A nếu biết rằng trong khu vực đó có 5000 người PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, 10/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 12 tháng 10 năm 2013 60 / 60