›
›

Bài giảng Ma trận Định thức - Huỳnh Văn Kha

pdf 32 trang huongle 8610
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Ma trận Định thức - Huỳnh Văn Kha", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_ma_tran_dinh_thuc_huynh_van_kha.pdf

Nội dung text: Bài giảng Ma trận Định thức - Huỳnh Văn Kha

  1. Chương 1 MA TRẬN - ĐỊNH THỨC Huỳnh Văn Kha Đại Học Tôn Đức Thắng Toán A2 - MS: C01002 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 1 / 31
  2. Nội dung 1 Định nghĩa, phân loại ma trận 2 Các phép toán trên ma trận 3 Chuyển vị ma trận, ma trận đối xứng 4 Phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột), đưa ma trận về dạng bậc thang 5 Định thức của ma trận vuông 6 Ma trận nghịch đảo 7 Giải phương trình ma trận 8 Hạng của ma trận Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 1 / 31
  3. Định nghĩa ma trận Định nghĩa Một ma trận cấp m × n là một bảng hình chữ nhật gồm m hàng và n cột:   a11 a12 ··· a1n  a21 a22 ··· a2n  A =    ············  am1 am2 ··· amn Ký hiệu: A = (aij ). Phần tử dòng i, cột j của ma trận A được viết là: [A]ij Tập các ma trận cấp m × n được ký hiệu: Mm×n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 2 / 31
  4. Ví dụ  1 3 −2 4  A =  0 −3 10 8  4 5 1 0 Thì: [A]23 = 10, và A ∈ M3×4 Ma trận bằng nhau Hai ma trận gọi là bằng nhau nếu nó cùng kích thước và các phần tử tương ứng bằng nhau. Ví dụ: Tìm a, b, c để A = B, biết:  1 a   1 3  A =  0 −3  và B =  b −3  4 5 4 c Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 3 / 31
  5. Phân loại ma trận Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0. Ký hiệu: 0m×n, hoặc: 0. Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột đều bằng n. Tập các ma trận vuông cấp n được ký hiệu là: Mn Các phần tử [A]11, [A]22, ··· , [A]nn gọi là nằm trên đường chéo chính của ma trận vuông A.  1 −2 3   0 0 0  Ví dụ: 0 = , A = 0 6 5 2×3 0 0 0   2 3 −5 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 4 / 31
  6. Ma trận đường chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử bên ngoài đường chéo chính đều bằng 0. Ma trận đơn vị cấp n là ma trận đường chéo cấp n mà mọi phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1. Ký hiệu: In.  3 0 0  Ví dụ: A =  0 −2 0  0 0 0  1 0 0   1 0  I = , I = 0 1 0 2 0 1 3   0 0 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 5 / 31
  7. Ma trận tam giác trên (dưới) là ma trận vuông mà các phần tử ở dưới (trên) đường chéo chính đều bằng 0.     b11 b12 b1n c11 0 0  0 b22 b2n   c21 c22 0    ,       0 0 bnn cn1 cn2 cnn Ma trận chỉ có một dòng gọi là ma trận dòng, ma trận chỉ có một cột gọi là ma trận cột. Các ma trận dòng (cột) cũng được gọi là các vector dòng (cột) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 6 / 31
  8. Cộng ma trận, nhân số với ma trận Cho A, B ∈ Mm×n và h ∈ R Tổng của hai ma trận A và B là ma trận cấp m × n có ký hiệu là A + B, được xác định bởi: [A + B]ij = [A]ij + [B]ij Tích của ma trận A với hằng số h là ma trận cấp m × n có ký hiệu là hA, được xác định bởi [hA]ij = h[A]ij Ngoài ra, ta định nghĩa: A − B = A + (−1)B  1 2 3   1 2 1  Ví dụ: cho A = , B = . 4 5 6 −1 1 3 Tính: A + B, 2B, A − B, 2A − 3B Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 7 / 31
  9. Tính chất Với mọi ma trận A, B, C ∈ Mm×n và h, k ∈ R, ta có: (i) A + B = B + A (tính giao hoán) (ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp) (iii) A + 0 = A (0: ma trận không cấp m × n) (iv) A + (−A) = 0 (v) h(kA) = (hk)A (vi) h(A + B) = hA + hB (vii) (h + k)A = hA + kA (viii)1 .A = A Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 8 / 31
  10. Nhân hai ma trận Cho A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p. Ta có định nghĩa sau. Tích ma trận của A với B là ma trận cấp m × p, ký hiệu là AB, xác định bởi: n X [AB]ik = [A]ij [B]jk = [A]i1[B]1k + ··· + [A]in[B]nk j=1 với mọi i = 1, m, k = 1, p Ví dụ: Tính AB, AC, CA, biết:  −2 1 1   1 2   0 2 −3  A= 1 1 3 , B = 0 1 , C = 1 2 0  −1 0 0 1 −1 3 0 −4 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 9 / 31
  11. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 10 / 31
  12. Tính chất (i) (Tính kết hợp ) Với A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p và C ∈ Mp×q, ta có: (AB)C = A(BC) (ii) (Tính phân bố) Với A, B ∈ Mm×n và C ∈ Mn×p, ta có: (A + B)C = AC + BC Với C ∈ Mm×n và A, B ∈ Mn×p, ta có: C(A + B) = CA + CB (iii) Với mọi A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p và h ∈ R, ta có: h(AB) = (hA)B = A(hB) (iv) AIn = InA = A, với mọi A ∈ Mn Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 11 / 31
  13. Ma trận chuyển vị, đối xứng > Cho A ∈ Mm×n, chuyển vị của A, ký hiệu A , là ma  > trận cấp n × m xác định bởi A ij = [A]ji  1 2 3  Ví dụ: Tìm chuyển vị của A = ∈ M . 4 5 6 2×3 Tính chất: A>> = A (A + B)> = A> + B> (AB)> = B>A> Ma trận vuông A gọi là đối xứng nếu A> = A Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 12 / 31
  14. Ví dụ: 1. Ma trận sau có đối xứng không? x 1 3 A = 1 y 5 3 5 z 2. Cho ma trận 2 1 −1 A = 0 1 −4 Tính A>A và AA>. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 13 / 31
  15. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 1. Phép biến đổi 1: Hoán vị hai dòng i và j, ký hiệu: di ↔ dj 2. Phép biến đổi 2: Nhân α 6= 0 vào dòng thứ i, ký hiệu: di := αdi 3. Phép biến đổi 3: Dòng i được thay bằng tổng của dòng i với α lần dòng j, ký hiệu: di := di + αdj  0 2 −3 3  Ví dụ: Cho A =  1 2 0 −5 . 3 0 −4 2 Hãy biến đổi A lần lượt bằng các phép sau: d1 ↔ d2; 1 d3 := d3 − 3d1; d3 := d3 + 3d2; d3 := −13d3. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 14 / 31
  16. Ma trận bậc thang Ma trận bậc thang (theo dòng) là ma trận mà với hai dòng bất kỳ, phần từ khác 0 đầu tiên của dòng dưới nằm bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên.  0 2 3 5 7 2   3 0 5 4 2 0   0 0 0 5 −4 6   0 − 2 1 6 0 3       0 0 0 0 − 7 3  ,  0 0 0 1 0 0       0 0 0 0 0 − 1   0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa 1 ma trận bất kỳ về dạng ma trận bậc thang. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 15 / 31
  17. Đưa ma trận về dạng bậc thang Cột xoay thứ i phải thỏa: phần tử thứ i (gọi là phần tử xoay) khác 0, các phần tử dưới nó đều bằng 0. Chọn cột khác 0 đầu tiên, dùng các phép biến đổi trên dòng phù hợp để biến nó thành cột xoay thứ nhất. Xét cột kế bên phải cột xoay thứ nhất, nếu từ phần tử thứ 2 của nó trở đi, có ít nhất 1 phần tử khác 0 thì ta sẽ biến nó thành cột xoay thứ 2. Ngược lại thì ta xét cột kế tiếp bên phải, . . . . Cho đến khi tìm được cột xoay thứ 2. Sau khi có cột xoay thứ 2, làm tương tự trên để tìm cột xoay thứ 3. Cứ như vậy cho đến hết. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 16 / 31
  18. Ví dụ: Dùng phép biến đổi trên dòng để đưa ma trận sau về dạng bậc thang  1 2 5 −9  a) A =  1 −1 3 2  3 −6 −1 25  2 6 1 5 3   1 3 1 4 1    b) B =  0 0 1 4 −1     −2 −6 −2 −9 −2  3 9 2 10 4 Chú ý: Nếu ta biến đổi thêm để các phần tử xoay bằng 1 và các phần tử bên trên mỗi phần tử xoay bằng 0, thì ma trận thu được gọi là dạng bậc thang rút gọn. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 17 / 31
  19. Định thức Xét A = (aij ) là ma trận vuông cấp n, ma trận vuông cấp n − 1 có được bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j của A được ký hiệu là: Aij  1 2 3  Ví dụ: A =  4 5 6  ∈ M3 . Tìm A11, A23, A32 7 8 9 Định thức của A, ký hiệu là det(A) hoặc |A|, là con số được xác định như sau: Nếu n = 1 thì: det(A) = a11. n P 1+j Nếu n ≥ 2 thì: det(A) = (−1) a1j det A1j j=1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 18 / 31
  20. a b Với ma trận cấp 2: = ad − bc c d Với ma trận cấp 3: 1 2 3 5 4 Ví dụ: Tính , 3 4 0 −2 −3 −1 −2 5 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 19 / 31
  21. Định lý Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n, ta có: n X i0 + j det A = (−1) ai0j det Ai0j j=1 n X i+j0 det A = (−1) aij0 det Ai j0 i=1  0 3 0 5   2 3 1 1  Ví dụ: Tính định thức của A =    −1 −2 2 −1  0 4 0 5 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 20 / 31
  22. Ký hiệu: Ai1,i2, ,ik ;j1,j2, ,jk là ma trận chỉ lấy các dòng i1, i2, , ik và các cột j1, j2, , jk của A. Ký hiệu: Ai1,i2, ,ik ;j1,j2, ,jk là ma trận có được bằng cách bỏ đi dòng i1, i2, , ik và cột j1, j2, , jk của A. Định lý (Laplace) Cho A là ma trận vuông cấp n. Chọn các dòng i1 < i2 < ··· < ik , ta có: det A = P (−1)(i1+i2+ +ik )+(j1+j2+ +jk )× j1<j2< <jk i1i2 ik ;j1j2 jk × det A × det Ai1i2 ik ;j1j2 jk Tính định thức của A trong ví dụ trên. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 21 / 31
  23. Một số tính chất của định thức Cho A = (aij )n×n, ta có các tính chất: Nếu dòng i của A có dạng aij = bj + cj thì: det(A) = det(B) + det(C). Với B, C có được bằng cách thay dòng i của A bằng các giá trị bj và cj tương ứng. (i)↔(j) Nếu A −−−−→ B, thì: det(B) = − det(A) (i):=α(i) Nếu A −−−−−→ B, thì: det(B) = α det(A) (i):=(i)+α(j) Nếu A −−−−−−−→ B, thì: det(B) = det(A) Đặc biệt: det(αA) = αn det(A) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 22 / 31
  24. Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. det(A>) = det(A) det(AB) = det(A). det(B) Ví dụ: Tính định thức của ma trận  1 7 −1 10   2 −4 −1 −1   1 4 −7 6   2 −1 −4 −5  A =   , B =    2 11 −10 21   5 −4 −9 −11  2 5 −18 6 −2 2 3 4 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 23 / 31
  25. Ma trận nghịch đảo Định nghĩa Cho A ∈ Mn, ma trận B ∈ Mn được gọi là ma trận −1 nghịch đảo của A nếu: AB = BA = In. Ký hiệu: A Ma trận nghịch đảo là duy nhất. Tính chất: A−1−1 = A (AB)−1 = B−1A−1 A>−1 = A−1> A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) 6= 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 24 / 31
  26. Tìm ma trận nghịch đảo Phương pháp 1: dùng định thức. Giả sử det(A) 6= 0. Tính ma trận các phần bù đại sốC = (cij ) với i+j cij = (−1) det(Aij ), 1 ≤ i, j ≤ n. Chuyển vị của ma trận các phần bù đại số này được gọi là ma trận phó (hoặc ma trận phụ hợp) của A và được ký hiệu là adj(A) ≡ C >. Khi đó   c11 c21 ··· cn1 −1 1 1  c12 c22 ··· c2n  A = adj(A) =   det(A) det(A)  ············  c1n c2n ··· cnn Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 25 / 31
  27.  2 −6 4  Ví dụ: Tìm nghịch đảo của A =  −1 2 −3  −3 6 −6 Phương pháp 2: dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng Những phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào biến A thành −1 In thì cũng chính chúng biến In thành A Lập ma trận (A|In) Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa về −1 dạng (In |B ). Khi đó A = B Nếu không đưa được về dạng (In |B ) thì A không khả nghịch Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 26 / 31
  28. Ví dụ: Tìm nghịch đảo của  1 −1 1  A =  −1 2 1  −2 3 1  1 3 −4  B =  1 5 −1  3 13 −6  1 2 0 −1   1 3 1 −2  C =    1 2 1 −1  0 −1 −1 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 27 / 31
  29. Giải phương trình ma trận Nếu A ∈ Mn khả nghịch thì: −1 1. ∀B ∈ Mn×p: A · X = B ⇔ X = A · B −1 2. ∀B ∈ Mp×n: X · A = B ⇔ X = B · A Ví dụ: Cho  1 2 0  −1 2  −5 −6 4  A=−2 −2 2 , B = 0 −2 , C =−5 −8 2  0 2 3 −2 2 1 0 −3 1. Tìm ma trận X biết: A · X = B. 2. Tìm ma trận Y biết: Y · A = C. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 28 / 31
  30. Hạng của ma trận Xét A ∈ Mm×n. Nếu ta bỏ đi m − k dòng và n − k cột trong A thì định thức của ma trận thu được gọi là một định thức con cấp k của A Định nghĩa Hạng của ma trận A là số nguyên không âm r thỏa: Mọi định thức con cấp lớn hơn r của A đều bằng 0 Có (ít nhất) một định thức con cấp r của A khác 0 Ký hiệu hạng của A là: rank(A) hoặcr (A) Dễ thấy: 0 ≤ r(A) ≤ min{m, n} Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 29 / 31
  31. Hạng ma trận không thay đổi qua phép biển đổi sơ cấp trên dòng. Hạng của ma trận bậc thang theo dòng là số dòng khác 0 của nó. Ví dụ: Tìm hạng của ma trận  1 2 −1 0  A =  −1 2 4 2  3 6 −3 0 rank(A>) = rank(A) Nếu A ∈ Mn thì: r(A) = n ⇔ det(A) 6= 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 30 / 31
  32. Bài tập −2 1  2 −1 3 1. Cho A = và B = 0 2 . 0 1 2   1 −1 Tính AB, (AB)3. 1 −2 6  2. Cho A = 4 3 −8. 2 −2 5 Tìm ma trận X sao cho 3A + 2X = I3. 1 1 −3 3. Biện luận theo m hạng của ma trận 2 1 m . 1 m 3 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 31 / 31