›
›

Bài giảng Ma trận và hệ phương trình tuyến tính

pdf 465 trang huongle 4370
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Ma trận và hệ phương trình tuyến tính", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_ma_tran_va_he_phuong_trinh_tuyen_tinh.pdf

Nội dung text: Bài giảng Ma trận và hệ phương trình tuyến tính

  1. Nội dung chương 1 Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Chương 1 MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Lê Văn Luyện lvluyen@yahoo.com Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 1 / 84
  2. Nội dung chương 1 Nội dung Chương 1. MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 2 / 84
  3. 1. Ma trận 1. Ma trận 1.1 Định nghĩa và ký hiệu 1.2 Ma trận vuông 1.3 Các phép toán trên ma trận Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 3 / 84
  4.   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =   .   am1 am2 . . . amn Viết tắt: A = (aij)m×n hay A = (aij), trong đó aij ∈ R. aij hay Aij là phần tử ở vị trí dòng i cột j của A Ký hiệu Mm×n(R) là tập hợp tất cả những ma trận cấp m × n trên R. 1. Ma trận 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Định nghĩa. Một ma trận cấp m × n trên R là một bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số trong R có dạng Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 4 / 84
  5. Viết tắt: A = (aij)m×n hay A = (aij), trong đó aij ∈ R. aij hay Aij là phần tử ở vị trí dòng i cột j của A Ký hiệu Mm×n(R) là tập hợp tất cả những ma trận cấp m × n trên R. 1. Ma trận 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Định nghĩa. Một ma trận cấp m × n trên R là một bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số trong R có dạng   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =   .   am1 am2 . . . amn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 4 / 84
  6. aij hay Aij là phần tử ở vị trí dòng i cột j của A Ký hiệu Mm×n(R) là tập hợp tất cả những ma trận cấp m × n trên R. 1. Ma trận 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Định nghĩa. Một ma trận cấp m × n trên R là một bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số trong R có dạng   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =   .   am1 am2 . . . amn Viết tắt: A = (aij)m×n hay A = (aij), trong đó aij ∈ R. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 4 / 84
  7. Ký hiệu Mm×n(R) là tập hợp tất cả những ma trận cấp m × n trên R. 1. Ma trận 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Định nghĩa. Một ma trận cấp m × n trên R là một bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số trong R có dạng   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =   .   am1 am2 . . . amn Viết tắt: A = (aij)m×n hay A = (aij), trong đó aij ∈ R. aij hay Aij là phần tử ở vị trí dòng i cột j của A Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 4 / 84
  8. 1. Ma trận 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Định nghĩa. Một ma trận cấp m × n trên R là một bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số trong R có dạng   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =   .   am1 am2 . . . amn Viết tắt: A = (aij)m×n hay A = (aij), trong đó aij ∈ R. aij hay Aij là phần tử ở vị trí dòng i cột j của A Ký hiệu Mm×n(R) là tập hợp tất cả những ma trận cấp m × n trên R. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 4 / 84
  9.  1 2  ∈ M2×3(R); B =  0 1  ∈ M3×2(R). 2 3 . Ma trận có các phần tử bằng 0 được gọi là ma trận không, ký hiệu 0m×n (hay 0). Ví dụ.  0 0 0 0  03×4 =  0 0 0 0  0 0 0 0 1. Ma trận 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Ví dụ.  1 2 3  A = 0 1 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 5 / 84
  10.  1 2  B =  0 1  ∈ M3×2(R). 2 3 . Ma trận có các phần tử bằng 0 được gọi là ma trận không, ký hiệu 0m×n (hay 0). Ví dụ.  0 0 0 0  03×4 =  0 0 0 0  0 0 0 0 1. Ma trận 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Ví dụ.  1 2 3  A = ∈ M ( ); 0 1 2 2×3 R Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 5 / 84
  11. ∈ M3×2(R). . Ma trận có các phần tử bằng 0 được gọi là ma trận không, ký hiệu 0m×n (hay 0). Ví dụ.  0 0 0 0  03×4 =  0 0 0 0  0 0 0 0 1. Ma trận 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Ví dụ.  1 2   1 2 3  A = ∈ M ( ); B = 0 1 0 1 2 2×3 R   2 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 5 / 84
  12. . Ma trận có các phần tử bằng 0 được gọi là ma trận không, ký hiệu 0m×n (hay 0). Ví dụ.  0 0 0 0  03×4 =  0 0 0 0  0 0 0 0 1. Ma trận 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Ví dụ.  1 2   1 2 3  A = ∈ M ( ); B = 0 1 ∈ M ( ). 0 1 2 2×3 R   3×2 R 2 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 5 / 84
  13. Ví dụ.  0 0 0 0  03×4 =  0 0 0 0  0 0 0 0 1. Ma trận 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Ví dụ.  1 2   1 2 3  A = ∈ M ( ); B = 0 1 ∈ M ( ). 0 1 2 2×3 R   3×2 R 2 3 . Ma trận có các phần tử bằng 0 được gọi là ma trận không, ký hiệu 0m×n (hay 0). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 5 / 84
  14. 1. Ma trận 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Ví dụ.  1 2   1 2 3  A = ∈ M ( ); B = 0 1 ∈ M ( ). 0 1 2 2×3 R   3×2 R 2 3 . Ma trận có các phần tử bằng 0 được gọi là ma trận không, ký hiệu 0m×n (hay 0). Ví dụ.  0 0 0 0  03×4 =  0 0 0 0  0 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 5 / 84
  15.   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =   .   an1 an2 . . . ann Ký hiệu Mn(R) là tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên R. Ví dụ.  −1 3 2   0 0 0  A =  2 −1 1  ∈ M3(R); 03 =  0 0 0  . 5 2 3 0 0 0 1. Ma trận 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A ∈ Mn×n(R) (số dòng bằng số cột) thì A được gọi là ma trận vuông. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 6 / 84
  16. Ký hiệu Mn(R) là tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên R. Ví dụ.  −1 3 2   0 0 0  A =  2 −1 1  ∈ M3(R); 03 =  0 0 0  . 5 2 3 0 0 0 1. Ma trận 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A ∈ Mn×n(R) (số dòng bằng số cột) thì A được gọi là ma trận vuông.   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =   .   an1 an2 . . . ann Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 6 / 84
  17. Ví dụ.  −1 3 2   0 0 0  A =  2 −1 1  ∈ M3(R); 03 =  0 0 0  . 5 2 3 0 0 0 1. Ma trận 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A ∈ Mn×n(R) (số dòng bằng số cột) thì A được gọi là ma trận vuông.   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =   .   an1 an2 . . . ann Ký hiệu Mn(R) là tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên R. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 6 / 84
  18.  0 0 0  ∈ M3(R); 03 =  0 0 0  . 0 0 0 1. Ma trận 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A ∈ Mn×n(R) (số dòng bằng số cột) thì A được gọi là ma trận vuông.   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =   .   an1 an2 . . . ann Ký hiệu Mn(R) là tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên R. Ví dụ.  −1 3 2  A =  2 −1 1  5 2 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 6 / 84
  19.  0 0 0  03 =  0 0 0  . 0 0 0 1. Ma trận 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A ∈ Mn×n(R) (số dòng bằng số cột) thì A được gọi là ma trận vuông.   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =   .   an1 an2 . . . ann Ký hiệu Mn(R) là tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên R. Ví dụ.  −1 3 2  A =  2 −1 1  ∈ M3(R); 5 2 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 6 / 84
  20. 1. Ma trận 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A ∈ Mn×n(R) (số dòng bằng số cột) thì A được gọi là ma trận vuông.   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =   .   an1 an2 . . . ann Ký hiệu Mn(R) là tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên R. Ví dụ.  −1 3 2   0 0 0  A =  2 −1 1  ∈ M3(R); 03 =  0 0 0  . 5 2 3 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 6 / 84
  21.   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =   .   an1 an2 a nn Ví dụ.  1 35  A =  −2 −33  . 2 −21 1. Ma trận 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A = (aij) ∈ Mn×n(R) thì đường chứa các phần tử a11, a22, . . . , ann được gọi là đường chéo chính hay đường chéo của ma trận A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 7 / 84
  22. Ví dụ.  1 35  A =  −2 −33  . 2 −21 1. Ma trận 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A = (aij) ∈ Mn×n(R) thì đường chứa các phần tử a11, a22, . . . , ann được gọi là đường chéo chính hay đường chéo của ma trận A.   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =   .   an1 an2 a nn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 7 / 84
  23. 1. Ma trận 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A = (aij) ∈ Mn×n(R) thì đường chứa các phần tử a11, a22, . . . , ann được gọi là đường chéo chính hay đường chéo của ma trận A.   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =   .   an1 an2 a nn Ví dụ.  1 35  A =  −2 −33  . 2 −21 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 7 / 84
  24. • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 8 / 84
  25. • Nếu mọi phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 thì A (nghĩa là aij = 0, ∀i 6= j) được gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu diag(a1, a2, . . . , an).  135   10 0  Ví dụ. A =  0 −33  , B =  −200  . 0 01 −12 −4  −100  C = diag(−1, 0, 5) =  000  . 0 05 1. Ma trận • Nếu các phần tử nằm dưới đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên. • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A được gọi là ma trận tam giác dưới. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 8 / 84
  26.  135   10 0  Ví dụ. A =  0 −33  , B =  −200  . 0 01 −12 −4  −100  C = diag(−1, 0, 5) =  000  . 0 05 1. Ma trận • Nếu các phần tử nằm dưới đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên. • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A được gọi là ma trận tam giác dưới. • Nếu mọi phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 thì A (nghĩa là aij = 0, ∀i 6= j) được gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu diag(a1, a2, . . . , an). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 8 / 84
  27.  10 0  B =  −200  . −12 −4  −100  C = diag(−1, 0, 5) =  000  . 0 05 1. Ma trận • Nếu các phần tử nằm dưới đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên. • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A được gọi là ma trận tam giác dưới. • Nếu mọi phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 thì A (nghĩa là aij = 0, ∀i 6= j) được gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu diag(a1, a2, . . . , an).  135  Ví dụ. A =  0 −33  , 0 01 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 8 / 84
  28.  −100  C = diag(−1, 0, 5) =  000  . 0 05 1. Ma trận • Nếu các phần tử nằm dưới đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên. • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A được gọi là ma trận tam giác dưới. • Nếu mọi phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 thì A (nghĩa là aij = 0, ∀i 6= j) được gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu diag(a1, a2, . . . , an).  135   10 0  Ví dụ. A =  0 −33  , B =  −200  . 0 01 −12 −4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 8 / 84
  29.  −100  =  000  . 0 05 1. Ma trận • Nếu các phần tử nằm dưới đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên. • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A được gọi là ma trận tam giác dưới. • Nếu mọi phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 thì A (nghĩa là aij = 0, ∀i 6= j) được gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu diag(a1, a2, . . . , an).  135   10 0  Ví dụ. A =  0 −33  , B =  −200  . 0 01 −12 −4 C = diag(−1, 0, 5) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 8 / 84
  30. 1. Ma trận • Nếu các phần tử nằm dưới đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên. • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A được gọi là ma trận tam giác dưới. • Nếu mọi phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 thì A (nghĩa là aij = 0, ∀i 6= j) được gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu diag(a1, a2, . . . , an).  135   10 0  Ví dụ. A =  0 −33  , B =  −200  . 0 01 −12 −4  −100  C = diag(−1, 0, 5) =  000  . 0 05 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 8 / 84
  31. Ví dụ.  1 0 0   1 0  I = ; I = 0 1 0 . 2 0 1 3   0 0 1 Nhận xét. Ma trận A là ma trận đường chéo khi và chỉ khi vừa là ma trận tam giác vừa là ma trận tam giác dưới. 1. Ma trận Ma trận đơn vị Ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo bằng 1, các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In (hoặc I). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 9 / 84
  32.  1 0 0  I3 =  0 1 0  . 0 0 1 Nhận xét. Ma trận A là ma trận đường chéo khi và chỉ khi vừa là ma trận tam giác vừa là ma trận tam giác dưới. 1. Ma trận Ma trận đơn vị Ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo bằng 1, các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In (hoặc I). Ví dụ.  1 0  I = ; 2 0 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 9 / 84
  33. Nhận xét. Ma trận A là ma trận đường chéo khi và chỉ khi vừa là ma trận tam giác vừa là ma trận tam giác dưới. 1. Ma trận Ma trận đơn vị Ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo bằng 1, các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In (hoặc I). Ví dụ.  1 0 0   1 0  I = ; I = 0 1 0 . 2 0 1 3   0 0 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 9 / 84
  34. 1. Ma trận Ma trận đơn vị Ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo bằng 1, các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In (hoặc I). Ví dụ.  1 0 0   1 0  I = ; I = 0 1 0 . 2 0 1 3   0 0 1 Nhận xét. Ma trận A là ma trận đường chéo khi và chỉ khi vừa là ma trận tam giác vừa là ma trận tam giác dưới. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 9 / 84
  35. a) So sánh hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n. Khi đó, nếu aij = bij, ∀i, j thì A và B được gọi là hai ma trận bằng nhau, ký hiệu A = B.  x + 1 1   3y − 4 1  Ví dụ. Tìm x, y, z để = . 2x − 1 z y − 1 2z + 2 Giải. Ta có    x + 1 = 3y − 4;  x = 1; 2x − 1 = y − 1; ⇔ y = 2;  z = 2z + 2.  z = −2. 1. Ma trận 1.3. Các phép toán trên ma trận Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 10 / 84
  36.  x + 1 1   3y − 4 1  Ví dụ. Tìm x, y, z để = . 2x − 1 z y − 1 2z + 2 Giải. Ta có    x + 1 = 3y − 4;  x = 1; 2x − 1 = y − 1; ⇔ y = 2;  z = 2z + 2.  z = −2. 1. Ma trận 1.3. Các phép toán trên ma trận a) So sánh hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n. Khi đó, nếu aij = bij, ∀i, j thì A và B được gọi là hai ma trận bằng nhau, ký hiệu A = B. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 10 / 84
  37. Giải. Ta có    x + 1 = 3y − 4;  x = 1; 2x − 1 = y − 1; ⇔ y = 2;  z = 2z + 2.  z = −2. 1. Ma trận 1.3. Các phép toán trên ma trận a) So sánh hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n. Khi đó, nếu aij = bij, ∀i, j thì A và B được gọi là hai ma trận bằng nhau, ký hiệu A = B.  x + 1 1   3y − 4 1  Ví dụ. Tìm x, y, z để = . 2x − 1 z y − 1 2z + 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 10 / 84
  38.   x = 1; ⇔ y = 2;  z = −2. 1. Ma trận 1.3. Các phép toán trên ma trận a) So sánh hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n. Khi đó, nếu aij = bij, ∀i, j thì A và B được gọi là hai ma trận bằng nhau, ký hiệu A = B.  x + 1 1   3y − 4 1  Ví dụ. Tìm x, y, z để = . 2x − 1 z y − 1 2z + 2 Giải. Ta có   x + 1 = 3y − 4; 2x − 1 = y − 1;  z = 2z + 2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 10 / 84
  39. 1. Ma trận 1.3. Các phép toán trên ma trận a) So sánh hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n. Khi đó, nếu aij = bij, ∀i, j thì A và B được gọi là hai ma trận bằng nhau, ký hiệu A = B.  x + 1 1   3y − 4 1  Ví dụ. Tìm x, y, z để = . 2x − 1 z y − 1 2z + 2 Giải. Ta có    x + 1 = 3y − 4;  x = 1; 2x − 1 = y − 1; ⇔ y = 2;  z = 2z + 2.  z = −2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 10 / 84
  40.     a11 a12 a 1n a11 a21 . . . am1  a21 a22 . . . a2n   a12 a22 . . . am2  A =   thì A> =   .     am1 am2 . . . amn a1n a2n . . . amn Ví dụ.  160   1 −1 4 5  −1 −84 A = 6 −801 =⇒ A> =   .    40 −3  0 4 −3 6   516 1. Ma trận 1.3. Các phép toán trên ma trận b) Chuyển vị ma trận Cho A ∈ Mm×n(R). Ta gọi ma trận chuyển vị của A, ký hiệu A>, là ma trận cấp n × m, có được từ A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng, nghĩa là Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 11 / 84
  41.   a11 a21 . . . am1  a12 a22 . . . am2  thì A> =   .   a1n a2n . . . amn Ví dụ.  160   1 −1 4 5  −1 −84 A = 6 −801 =⇒ A> =   .    40 −3  0 4 −3 6   516 1. Ma trận 1.3. Các phép toán trên ma trận b) Chuyển vị ma trận Cho A ∈ Mm×n(R). Ta gọi ma trận chuyển vị của A, ký hiệu A>, là ma trận cấp n × m, có được từ A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng, nghĩa là   a11 a12 a 1n  a21 a22 . . . a2n  A =     am1 am2 . . . amn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 11 / 84
  42. Ví dụ.  160   1 −1 4 5  −1 −84 A = 6 −801 =⇒ A> =   .    40 −3  0 4 −3 6   516 1. Ma trận 1.3. Các phép toán trên ma trận b) Chuyển vị ma trận Cho A ∈ Mm×n(R). Ta gọi ma trận chuyển vị của A, ký hiệu A>, là ma trận cấp n × m, có được từ A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng, nghĩa là     a11 a12 a 1n a11 a21 . . . am1  a21 a22 . . . a2n   a12 a22 . . . am2  A =   thì A> =   .     am1 am2 . . . amn a1n a2n . . . amn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 11 / 84
  43.  160  >  −1 −84  =⇒ A =   .  40 −3  516 1. Ma trận 1.3. Các phép toán trên ma trận b) Chuyển vị ma trận Cho A ∈ Mm×n(R). Ta gọi ma trận chuyển vị của A, ký hiệu A>, là ma trận cấp n × m, có được từ A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng, nghĩa là     a11 a12 a 1n a11 a21 . . . am1  a21 a22 . . . a2n   a12 a22 . . . am2  A =   thì A> =   .     am1 am2 . . . amn a1n a2n . . . amn Ví dụ.  1 −1 4 5  A =  6 −801  0 4 −3 6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 11 / 84
  44. 1. Ma trận 1.3. Các phép toán trên ma trận b) Chuyển vị ma trận Cho A ∈ Mm×n(R). Ta gọi ma trận chuyển vị của A, ký hiệu A>, là ma trận cấp n × m, có được từ A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng, nghĩa là     a11 a12 a 1n a11 a21 . . . am1  a21 a22 . . . a2n   a12 a22 . . . am2  A =   thì A> =   .     am1 am2 . . . amn a1n a2n . . . amn Ví dụ.  160   1 −1 4 5  −1 −84 A = 6 −801 =⇒ A> =   .    40 −3  0 4 −3 6   516 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 11 / 84
  45. • Nếu A> = −A thì nói A là ma trận phản xứng. Ví dụ.  1 2 −2  A =  2 4 5  là ma trận đối xứng. −2 5 6  0 −2 1  B =  2 0 −3  là ma trận phản xứng. −1 3 0 Tính chất. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó: i) (A>)> = A; ii) A> = B> ⇔ A = B. 1. Ma trận • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 12 / 84
  46. Ví dụ.  1 2 −2  A =  2 4 5  là ma trận đối xứng. −2 5 6  0 −2 1  B =  2 0 −3  là ma trận phản xứng. −1 3 0 Tính chất. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó: i) (A>)> = A; ii) A> = B> ⇔ A = B. 1. Ma trận • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng. • Nếu A> = −A thì nói A là ma trận phản xứng. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 12 / 84
  47.  0 −2 1  B =  2 0 −3  là ma trận phản xứng. −1 3 0 Tính chất. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó: i) (A>)> = A; ii) A> = B> ⇔ A = B. 1. Ma trận • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng. • Nếu A> = −A thì nói A là ma trận phản xứng. Ví dụ.  1 2 −2  A =  2 4 5  là ma trận đối xứng. −2 5 6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 12 / 84
  48. Tính chất. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó: i) (A>)> = A; ii) A> = B> ⇔ A = B. 1. Ma trận • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng. • Nếu A> = −A thì nói A là ma trận phản xứng. Ví dụ.  1 2 −2  A =  2 4 5  là ma trận đối xứng. −2 5 6  0 −2 1  B =  2 0 −3  là ma trận phản xứng. −1 3 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 12 / 84
  49. i) (A>)> = A; ii) A> = B> ⇔ A = B. 1. Ma trận • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng. • Nếu A> = −A thì nói A là ma trận phản xứng. Ví dụ.  1 2 −2  A =  2 4 5  là ma trận đối xứng. −2 5 6  0 −2 1  B =  2 0 −3  là ma trận phản xứng. −1 3 0 Tính chất. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 12 / 84
  50. ii) A> = B> ⇔ A = B. 1. Ma trận • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng. • Nếu A> = −A thì nói A là ma trận phản xứng. Ví dụ.  1 2 −2  A =  2 4 5  là ma trận đối xứng. −2 5 6  0 −2 1  B =  2 0 −3  là ma trận phản xứng. −1 3 0 Tính chất. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó: i) (A>)> = A; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 12 / 84
  51. 1. Ma trận • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng. • Nếu A> = −A thì nói A là ma trận phản xứng. Ví dụ.  1 2 −2  A =  2 4 5  là ma trận đối xứng. −2 5 6  0 −2 1  B =  2 0 −3  là ma trận phản xứng. −1 3 0 Tính chất. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó: i) (A>)> = A; ii) A> = B> ⇔ A = B. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 12 / 84
  52. (αA)ij = αAij, ∀i, j. Ma trận (−1)A được ký kiệu là −A được gọi là ma trận đối của A.  3 4 1  Ví dụ. Nếu A = thì 0 1 −3  6 8 2  2A = ;. 0 2 −6  −3 −4 −1  −A = . 0 −1 3 1. Ma trận c) Nhân một số với ma trận Cho ma trận A ∈ Mm×n(R), α ∈ R. Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với α, nghĩa là Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 13 / 84
  53. Ma trận (−1)A được ký kiệu là −A được gọi là ma trận đối của A.  3 4 1  Ví dụ. Nếu A = thì 0 1 −3  6 8 2  2A = ;. 0 2 −6  −3 −4 −1  −A = . 0 −1 3 1. Ma trận c) Nhân một số với ma trận Cho ma trận A ∈ Mm×n(R), α ∈ R. Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với α, nghĩa là (αA)ij = αAij, ∀i, j. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 13 / 84
  54.  3 4 1  Ví dụ. Nếu A = thì 0 1 −3  6 8 2  2A = ;. 0 2 −6  −3 −4 −1  −A = . 0 −1 3 1. Ma trận c) Nhân một số với ma trận Cho ma trận A ∈ Mm×n(R), α ∈ R. Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với α, nghĩa là (αA)ij = αAij, ∀i, j. Ma trận (−1)A được ký kiệu là −A được gọi là ma trận đối của A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 13 / 84
  55.  6 8 2  2A = ;. 0 2 −6  −3 −4 −1  −A = . 0 −1 3 1. Ma trận c) Nhân một số với ma trận Cho ma trận A ∈ Mm×n(R), α ∈ R. Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với α, nghĩa là (αA)ij = αAij, ∀i, j. Ma trận (−1)A được ký kiệu là −A được gọi là ma trận đối của A.  3 4 1  Ví dụ. Nếu A = thì 0 1 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 13 / 84
  56.  −3 −4 −1  −A = . 0 −1 3 1. Ma trận c) Nhân một số với ma trận Cho ma trận A ∈ Mm×n(R), α ∈ R. Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với α, nghĩa là (αA)ij = αAij, ∀i, j. Ma trận (−1)A được ký kiệu là −A được gọi là ma trận đối của A.  3 4 1  Ví dụ. Nếu A = thì 0 1 −3  6 8 2  2A = ;. 0 2 −6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 13 / 84
  57. 1. Ma trận c) Nhân một số với ma trận Cho ma trận A ∈ Mm×n(R), α ∈ R. Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với α, nghĩa là (αA)ij = αAij, ∀i, j. Ma trận (−1)A được ký kiệu là −A được gọi là ma trận đối của A.  3 4 1  Ví dụ. Nếu A = thì 0 1 −3  6 8 2  2A = ;. 0 2 −6  −3 −4 −1  −A = . 0 −1 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 13 / 84
  58. i) (αβ)A = α(βA); ii) (αA)> = αA>; iii) 0.A = 0 và 1.A = A. 1. Ma trận Tính chất. Cho A là ma trận và α, β ∈ R, ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 14 / 84
  59. ii) (αA)> = αA>; iii) 0.A = 0 và 1.A = A. 1. Ma trận Tính chất. Cho A là ma trận và α, β ∈ R, ta có i) (αβ)A = α(βA); Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 14 / 84
  60. iii) 0.A = 0 và 1.A = A. 1. Ma trận Tính chất. Cho A là ma trận và α, β ∈ R, ta có i) (αβ)A = α(βA); ii) (αA)> = αA>; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 14 / 84
  61. 1. Ma trận Tính chất. Cho A là ma trận và α, β ∈ R, ta có i) (αβ)A = α(βA); ii) (αA)> = αA>; iii) 0.A = 0 và 1.A = A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 14 / 84
  62. Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp; • Các vị trị tương ứng cộng lại. Ký hiệu A − B := A + (−B) và gọi là hiệu của A và B. Ví dụ.  2 3 0   1 0 −4   3 3 −4  + = . 1 2 −3 7 8 −3 8 10 −6  2 3 0   1 0 −4   1 3 4  − = . 1 2 −3 7 8 −3 −6 −6 0 1. Ma trận d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B là ma trận được xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 15 / 84
  63. • A và B cùng cấp; • Các vị trị tương ứng cộng lại. Ký hiệu A − B := A + (−B) và gọi là hiệu của A và B. Ví dụ.  2 3 0   1 0 −4   3 3 −4  + = . 1 2 −3 7 8 −3 8 10 −6  2 3 0   1 0 −4   1 3 4  − = . 1 2 −3 7 8 −3 −6 −6 0 1. Ma trận d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B là ma trận được xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij. Như vậy, để tính A + B thì: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 15 / 84
  64. • Các vị trị tương ứng cộng lại. Ký hiệu A − B := A + (−B) và gọi là hiệu của A và B. Ví dụ.  2 3 0   1 0 −4   3 3 −4  + = . 1 2 −3 7 8 −3 8 10 −6  2 3 0   1 0 −4   1 3 4  − = . 1 2 −3 7 8 −3 −6 −6 0 1. Ma trận d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B là ma trận được xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij. Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 15 / 84
  65. Ký hiệu A − B := A + (−B) và gọi là hiệu của A và B. Ví dụ.  2 3 0   1 0 −4   3 3 −4  + = . 1 2 −3 7 8 −3 8 10 −6  2 3 0   1 0 −4   1 3 4  − = . 1 2 −3 7 8 −3 −6 −6 0 1. Ma trận d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B là ma trận được xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij. Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp; • Các vị trị tương ứng cộng lại. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 15 / 84
  66. Ví dụ.  2 3 0   1 0 −4   3 3 −4  + = . 1 2 −3 7 8 −3 8 10 −6  2 3 0   1 0 −4   1 3 4  − = . 1 2 −3 7 8 −3 −6 −6 0 1. Ma trận d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B là ma trận được xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij. Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp; • Các vị trị tương ứng cộng lại. Ký hiệu A − B := A + (−B) và gọi là hiệu của A và B. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 15 / 84
  67.  3 3 −4  = . 8 10 −6  2 3 0   1 0 −4   1 3 4  − = . 1 2 −3 7 8 −3 −6 −6 0 1. Ma trận d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B là ma trận được xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij. Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp; • Các vị trị tương ứng cộng lại. Ký hiệu A − B := A + (−B) và gọi là hiệu của A và B. Ví dụ.  2 3 0   1 0 −4  + 1 2 −3 7 8 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 15 / 84
  68.  1 3 4  = . −6 −6 0 1. Ma trận d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B là ma trận được xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij. Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp; • Các vị trị tương ứng cộng lại. Ký hiệu A − B := A + (−B) và gọi là hiệu của A và B. Ví dụ.  2 3 0   1 0 −4   3 3 −4  + = . 1 2 −3 7 8 −3 8 10 −6  2 3 0   1 0 −4  − 1 2 −3 7 8 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 15 / 84
  69. 1. Ma trận d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B là ma trận được xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij. Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp; • Các vị trị tương ứng cộng lại. Ký hiệu A − B := A + (−B) và gọi là hiệu của A và B. Ví dụ.  2 3 0   1 0 −4   3 3 −4  + = . 1 2 −3 7 8 −3 8 10 −6  2 3 0   1 0 −4   1 3 4  − = . 1 2 −3 7 8 −3 −6 −6 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 15 / 84
  70. i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n; v) (A + B)> = A> + B>; vi) α(A + B) = αA + αB; vii) (α + β)A = αA + βA; viii) (−α)A = α(−A) = −(αA). 1. Ma trận Tính chất. Với A, B, C ∈ Mm×n(R) và α, β ∈ R, ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 16 / 84
  71. ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n; v) (A + B)> = A> + B>; vi) α(A + B) = αA + αB; vii) (α + β)A = αA + βA; viii) (−α)A = α(−A) = −(αA). 1. Ma trận Tính chất. Với A, B, C ∈ Mm×n(R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 16 / 84
  72. iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n; v) (A + B)> = A> + B>; vi) α(A + B) = αA + αB; vii) (α + β)A = αA + βA; viii) (−α)A = α(−A) = −(αA). 1. Ma trận Tính chất. Với A, B, C ∈ Mm×n(R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 16 / 84
  73. iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n; v) (A + B)> = A> + B>; vi) α(A + B) = αA + αB; vii) (α + β)A = αA + βA; viii) (−α)A = α(−A) = −(αA). 1. Ma trận Tính chất. Với A, B, C ∈ Mm×n(R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 16 / 84
  74. v) (A + B)> = A> + B>; vi) α(A + B) = αA + αB; vii) (α + β)A = αA + βA; viii) (−α)A = α(−A) = −(αA). 1. Ma trận Tính chất. Với A, B, C ∈ Mm×n(R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 16 / 84
  75. vi) α(A + B) = αA + αB; vii) (α + β)A = αA + βA; viii) (−α)A = α(−A) = −(αA). 1. Ma trận Tính chất. Với A, B, C ∈ Mm×n(R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n; v) (A + B)> = A> + B>; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 16 / 84
  76. vii) (α + β)A = αA + βA; viii) (−α)A = α(−A) = −(αA). 1. Ma trận Tính chất. Với A, B, C ∈ Mm×n(R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n; v) (A + B)> = A> + B>; vi) α(A + B) = αA + αB; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 16 / 84
  77. viii) (−α)A = α(−A) = −(αA). 1. Ma trận Tính chất. Với A, B, C ∈ Mm×n(R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n; v) (A + B)> = A> + B>; vi) α(A + B) = αA + αB; vii) (α + β)A = αA + βA; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 16 / 84
  78. 1. Ma trận Tính chất. Với A, B, C ∈ Mm×n(R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n; v) (A + B)> = A> + B>; vi) α(A + B) = αA + αB; vii) (α + β)A = αA + βA; viii) (−α)A = α(−A) = −(αA). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 16 / 84
  79.   b11 b 1j . . . b1n    a11 a12 . . . a1n        b21 b 2j . . . b2n        ai1 ai2 a in                an1 an2 . . . ann   b b . . . b n1 nj nn Như vậy, để tính AB thì:  • Số cột của A bằng số dòng của B; • Phần tử thứ i, j của AB bằng dòng i của A nhân cột j của B. 1. Ma trận e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n(R),B ∈ Mn×p(R). Khi đó, tích của A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p(R) được xác định bởi: (AB)ij = Ai1B1j + Ai2B2j + + AinBnj Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 17 / 84
  80. Như vậy, để tính AB thì: • Số cột của A bằng số dòng của B; • Phần tử thứ i, j của AB bằng dòng i của A nhân cột j của B. 1. Ma trận e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n(R),B ∈ Mn×p(R). Khi đó, tích của A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p(R) được xác định bởi: (AB)ij = Ai1B1j + Ai2B2j + + AinBnj   b11 b 1j . . . b1n    a11 a12 . . . a1n        b21 b 2j . . . b2n        ai1 ai2 a in                an1 an2 . . . ann   b b . . . b n1 nj nn  Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 17 / 84
  81. Như vậy, để tính AB thì: • Số cột của A bằng số dòng của B; • Phần tử thứ i, j của AB bằng dòng i của A nhân cột j của B. 1. Ma trận e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n(R),B ∈ Mn×p(R). Khi đó, tích của A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p(R) được xác định bởi: (AB)ij = Ai1B1j + Ai2B2j + + AinBnj   b11 b 1j . . . b1n    a11 a12 . . . a1n        b21 b 2j . . . b2n        ai1 ai2 a in                an1 an2 . . . ann   b b . . . b n1 nj nn  Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 17 / 84
  82. Như vậy, để tính AB thì: • Số cột của A bằng số dòng của B; • Phần tử thứ i, j của AB bằng dòng i của A nhân cột j của B. 1. Ma trận e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n(R),B ∈ Mn×p(R). Khi đó, tích của A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p(R) được xác định bởi: (AB)ij = Ai1B1j + Ai2B2j + + AinBnj   b11 b 1j . . . b1n    a11 a12 . . . a1n        b21 b 2j . . . b2n        ai1 ai2 a in                an1 an2 . . . ann   b b . . . b n1 nj nn  Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 17 / 84
  83. Như vậy, để tính AB thì: • Số cột của A bằng số dòng của B; • Phần tử thứ i, j của AB bằng dòng i của A nhân cột j của B. 1. Ma trận e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n(R),B ∈ Mn×p(R). Khi đó, tích của A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p(R) được xác định bởi: (AB)ij = Ai1B1j + Ai2B2j + + AinBnj   b11 b 1j . . . b1n    a11 a12 . . . a1n        b21 b 2j . . . b2n        ai1 ai2 a in                an1 an2 . . . ann   b b . . . b n1 nj nn  Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 17 / 84
  84. • Phần tử thứ i, j của AB bằng dòng i của A nhân cột j của B. 1. Ma trận e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n(R),B ∈ Mn×p(R). Khi đó, tích của A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p(R) được xác định bởi: (AB)ij = Ai1B1j + Ai2B2j + + AinBnj   b11 b 1j . . . b1n    a11 a12 . . . a1n        b21 b 2j . . . b2n        ai1 ai2 a in                an1 an2 . . . ann   b b . . . b n1 nj nn Như vậy, để tính AB thì:  • Số cột của A bằng số dòng của B; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 17 / 84
  85. 1. Ma trận e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n(R),B ∈ Mn×p(R). Khi đó, tích của A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p(R) được xác định bởi: (AB)ij = Ai1B1j + Ai2B2j + + AinBnj   b11 b 1j . . . b1n    a11 a12 . . . a1n        b21 b 2j . . . b2n        ai1 ai2 a in                an1 an2 . . . ann   b b . . . b n1 nj nn Như vậy, để tính AB thì:  • Số cột của A bằng số dòng của B; • Phần tử thứ i, j của AB bằng dòng i của A nhân cột j của B. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 17 / 84
  86.  1 3   1 2 −1   2 6  AB = 2 1 = ; 3 1 2   11 8 3 −1  1 3   10 5 5   1 2 −1  BA = 2 1 = 5 5 0 ;   3 1 2   3 −1 0 5 −5  1 3   5 −1   2 −1  BC = 2 1 = 5 −2 ;   1 0   3 −1 5 −3 nhưng AC và CB không xác định. 1. Ma trận  1 3   1 2 −1   2 −1  Ví dụ. Với A = , B = 2 1 , C = , 3 1 2   1 0 3 −1 ta có: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 18 / 84
  87.  1 3   1 2 −1   2 6  = 2 1 = ; 3 1 2   11 8 3 −1  1 3   10 5 5   1 2 −1  BA = 2 1 = 5 5 0 ;   3 1 2   3 −1 0 5 −5  1 3   5 −1   2 −1  BC = 2 1 = 5 −2 ;   1 0   3 −1 5 −3 nhưng AC và CB không xác định. 1. Ma trận  1 3   1 2 −1   2 −1  Ví dụ. Với A = , B = 2 1 , C = , 3 1 2   1 0 3 −1 ta có: AB Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 18 / 84
  88.  2 6  = ; 11 8  1 3   10 5 5   1 2 −1  BA = 2 1 = 5 5 0 ;   3 1 2   3 −1 0 5 −5  1 3   5 −1   2 −1  BC = 2 1 = 5 −2 ;   1 0   3 −1 5 −3 nhưng AC và CB không xác định. 1. Ma trận  1 3   1 2 −1   2 −1  Ví dụ. Với A = , B = 2 1 , C = , 3 1 2   1 0 3 −1 ta có:  1 3   1 2 −1  AB = 2 1 3 1 2   3 −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 18 / 84
  89.  1 3   10 5 5   1 2 −1  BA = 2 1 = 5 5 0 ;   3 1 2   3 −1 0 5 −5  1 3   5 −1   2 −1  BC = 2 1 = 5 −2 ;   1 0   3 −1 5 −3 nhưng AC và CB không xác định. 1. Ma trận  1 3   1 2 −1   2 −1  Ví dụ. Với A = , B = 2 1 , C = , 3 1 2   1 0 3 −1 ta có:  1 3   1 2 −1   2 6  AB = 2 1 = ; 3 1 2   11 8 3 −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 18 / 84
  90.  1 3   10 5 5   1 2 −1  = 2 1 = 5 5 0 ;   3 1 2   3 −1 0 5 −5  1 3   5 −1   2 −1  BC = 2 1 = 5 −2 ;   1 0   3 −1 5 −3 nhưng AC và CB không xác định. 1. Ma trận  1 3   1 2 −1   2 −1  Ví dụ. Với A = , B = 2 1 , C = , 3 1 2   1 0 3 −1 ta có:  1 3   1 2 −1   2 6  AB = 2 1 = ; 3 1 2   11 8 3 −1 BA Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 18 / 84
  91.  10 5 5  =  5 5 0  ; 0 5 −5  1 3   5 −1   2 −1  BC = 2 1 = 5 −2 ;   1 0   3 −1 5 −3 nhưng AC và CB không xác định. 1. Ma trận  1 3   1 2 −1   2 −1  Ví dụ. Với A = , B = 2 1 , C = , 3 1 2   1 0 3 −1 ta có:  1 3   1 2 −1   2 6  AB = 2 1 = ; 3 1 2   11 8 3 −1  1 3   1 2 −1  BA = 2 1   3 1 2 3 −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 18 / 84
  92.  1 3   5 −1   2 −1  BC = 2 1 = 5 −2 ;   1 0   3 −1 5 −3 nhưng AC và CB không xác định. 1. Ma trận  1 3   1 2 −1   2 −1  Ví dụ. Với A = , B = 2 1 , C = , 3 1 2   1 0 3 −1 ta có:  1 3   1 2 −1   2 6  AB = 2 1 = ; 3 1 2   11 8 3 −1  1 3   10 5 5   1 2 −1  BA = 2 1 = 5 5 0 ;   3 1 2   3 −1 0 5 −5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 18 / 84
  93.  1 3   5 −1   2 −1  = 2 1 = 5 −2 ;   1 0   3 −1 5 −3 nhưng AC và CB không xác định. 1. Ma trận  1 3   1 2 −1   2 −1  Ví dụ. Với A = , B = 2 1 , C = , 3 1 2   1 0 3 −1 ta có:  1 3   1 2 −1   2 6  AB = 2 1 = ; 3 1 2   11 8 3 −1  1 3   10 5 5   1 2 −1  BA = 2 1 = 5 5 0 ;   3 1 2   3 −1 0 5 −5 BC Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 18 / 84
  94.  5 −1  =  5 −2  ; 5 −3 nhưng AC và CB không xác định. 1. Ma trận  1 3   1 2 −1   2 −1  Ví dụ. Với A = , B = 2 1 , C = , 3 1 2   1 0 3 −1 ta có:  1 3   1 2 −1   2 6  AB = 2 1 = ; 3 1 2   11 8 3 −1  1 3   10 5 5   1 2 −1  BA = 2 1 = 5 5 0 ;   3 1 2   3 −1 0 5 −5  1 3   2 −1  BC = 2 1   1 0 3 −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 18 / 84
  95. nhưng AC và CB không xác định. 1. Ma trận  1 3   1 2 −1   2 −1  Ví dụ. Với A = , B = 2 1 , C = , 3 1 2   1 0 3 −1 ta có:  1 3   1 2 −1   2 6  AB = 2 1 = ; 3 1 2   11 8 3 −1  1 3   10 5 5   1 2 −1  BA = 2 1 = 5 5 0 ;   3 1 2   3 −1 0 5 −5  1 3   5 −1   2 −1  BC = 2 1 = 5 −2 ;   1 0   3 −1 5 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 18 / 84
  96. 1. Ma trận  1 3   1 2 −1   2 −1  Ví dụ. Với A = , B = 2 1 , C = , 3 1 2   1 0 3 −1 ta có:  1 3   1 2 −1   2 6  AB = 2 1 = ; 3 1 2   11 8 3 −1  1 3   10 5 5   1 2 −1  BA = 2 1 = 5 5 0 ;   3 1 2   3 −1 0 5 −5  1 3   5 −1   2 −1  BC = 2 1 = 5 −2 ;   1 0   3 −1 5 −3 nhưng AC và CB không xác định. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 18 / 84
  97. i) ImA = A và AIn = A. Đặc biệt, với A ∈ Mn(R), ta có InA = AIn = A. ii) 0p×mA = 0p×n và A0n×q = 0m×q. Đặc biệt, với A ∈ Mn(R), ta có 0n×nA = A0n×n = 0n×n. iii) (AB)> = B>A>. iv) (AB)C = A(BC). v) A(B1 + B2) = AB1 + AB2 (D1 + D2)A = D1A + D2A. 1. Ma trận Tính chất. Với A ∈ Mm×n(R), B, B1,B2 ∈ Mn×p(R),C ∈ Mp×q(R), D1,D2 ∈ Mq×n(R), ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 19 / 84
  98. Đặc biệt, với A ∈ Mn(R), ta có InA = AIn = A. ii) 0p×mA = 0p×n và A0n×q = 0m×q. Đặc biệt, với A ∈ Mn(R), ta có 0n×nA = A0n×n = 0n×n. iii) (AB)> = B>A>. iv) (AB)C = A(BC). v) A(B1 + B2) = AB1 + AB2 (D1 + D2)A = D1A + D2A. 1. Ma trận Tính chất. Với A ∈ Mm×n(R), B, B1,B2 ∈ Mn×p(R),C ∈ Mp×q(R), D1,D2 ∈ Mq×n(R), ta có i) ImA = A và AIn = A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 19 / 84
  99. ii) 0p×mA = 0p×n và A0n×q = 0m×q. Đặc biệt, với A ∈ Mn(R), ta có 0n×nA = A0n×n = 0n×n. iii) (AB)> = B>A>. iv) (AB)C = A(BC). v) A(B1 + B2) = AB1 + AB2 (D1 + D2)A = D1A + D2A. 1. Ma trận Tính chất. Với A ∈ Mm×n(R), B, B1,B2 ∈ Mn×p(R),C ∈ Mp×q(R), D1,D2 ∈ Mq×n(R), ta có i) ImA = A và AIn = A. Đặc biệt, với A ∈ Mn(R), ta có InA = AIn = A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 19 / 84
  100. Đặc biệt, với A ∈ Mn(R), ta có 0n×nA = A0n×n = 0n×n. iii) (AB)> = B>A>. iv) (AB)C = A(BC). v) A(B1 + B2) = AB1 + AB2 (D1 + D2)A = D1A + D2A. 1. Ma trận Tính chất. Với A ∈ Mm×n(R), B, B1,B2 ∈ Mn×p(R),C ∈ Mp×q(R), D1,D2 ∈ Mq×n(R), ta có i) ImA = A và AIn = A. Đặc biệt, với A ∈ Mn(R), ta có InA = AIn = A. ii) 0p×mA = 0p×n và A0n×q = 0m×q. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 19 / 84
  101. iii) (AB)> = B>A>. iv) (AB)C = A(BC). v) A(B1 + B2) = AB1 + AB2 (D1 + D2)A = D1A + D2A. 1. Ma trận Tính chất. Với A ∈ Mm×n(R), B, B1,B2 ∈ Mn×p(R),C ∈ Mp×q(R), D1,D2 ∈ Mq×n(R), ta có i) ImA = A và AIn = A. Đặc biệt, với A ∈ Mn(R), ta có InA = AIn = A. ii) 0p×mA = 0p×n và A0n×q = 0m×q. Đặc biệt, với A ∈ Mn(R), ta có 0n×nA = A0n×n = 0n×n. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 19 / 84
  102. iv) (AB)C = A(BC). v) A(B1 + B2) = AB1 + AB2 (D1 + D2)A = D1A + D2A. 1. Ma trận Tính chất. Với A ∈ Mm×n(R), B, B1,B2 ∈ Mn×p(R),C ∈ Mp×q(R), D1,D2 ∈ Mq×n(R), ta có i) ImA = A và AIn = A. Đặc biệt, với A ∈ Mn(R), ta có InA = AIn = A. ii) 0p×mA = 0p×n và A0n×q = 0m×q. Đặc biệt, với A ∈ Mn(R), ta có 0n×nA = A0n×n = 0n×n. iii) (AB)> = B>A>. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 19 / 84
  103. v) A(B1 + B2) = AB1 + AB2 (D1 + D2)A = D1A + D2A. 1. Ma trận Tính chất. Với A ∈ Mm×n(R), B, B1,B2 ∈ Mn×p(R),C ∈ Mp×q(R), D1,D2 ∈ Mq×n(R), ta có i) ImA = A và AIn = A. Đặc biệt, với A ∈ Mn(R), ta có InA = AIn = A. ii) 0p×mA = 0p×n và A0n×q = 0m×q. Đặc biệt, với A ∈ Mn(R), ta có 0n×nA = A0n×n = 0n×n. iii) (AB)> = B>A>. iv) (AB)C = A(BC). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 19 / 84
  104. 1. Ma trận Tính chất. Với A ∈ Mm×n(R), B, B1,B2 ∈ Mn×p(R),C ∈ Mp×q(R), D1,D2 ∈ Mq×n(R), ta có i) ImA = A và AIn = A. Đặc biệt, với A ∈ Mn(R), ta có InA = AIn = A. ii) 0p×mA = 0p×n và A0n×q = 0m×q. Đặc biệt, với A ∈ Mn(R), ta có 0n×nA = A0n×n = 0n×n. iii) (AB)> = B>A>. iv) (AB)C = A(BC). v) A(B1 + B2) = AB1 + AB2 (D1 + D2)A = D1A + D2A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 19 / 84
  105. 0 1 2 k k−1 A = In; A = A; A = AA; ; A = A A. Như vậy Ak = A A . | {z } k lần  1 3  Ví dụ. Cho A = . Tính A2,A3, từ đó suy ra A200. 0 1 Giải.  1 3   1 3   16  A2 = AA = = . 0 1 0 1 0 1  1 6   1 3   19  A3 = A2A = = . 0 1 0 1 0 1 1. Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn(R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận k thuộc Mn(R), ký hiệu A , được xác định như sau: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 20 / 84
  106. A1 = A; A2 = AA; ; Ak = Ak−1A. Như vậy Ak = A A . | {z } k lần  1 3  Ví dụ. Cho A = . Tính A2,A3, từ đó suy ra A200. 0 1 Giải.  1 3   1 3   16  A2 = AA = = . 0 1 0 1 0 1  1 6   1 3   19  A3 = A2A = = . 0 1 0 1 0 1 1. Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn(R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận k thuộc Mn(R), ký hiệu A , được xác định như sau: 0 A = In; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 20 / 84
  107. A2 = AA; ; Ak = Ak−1A. Như vậy Ak = A A . | {z } k lần  1 3  Ví dụ. Cho A = . Tính A2,A3, từ đó suy ra A200. 0 1 Giải.  1 3   1 3   16  A2 = AA = = . 0 1 0 1 0 1  1 6   1 3   19  A3 = A2A = = . 0 1 0 1 0 1 1. Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn(R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận k thuộc Mn(R), ký hiệu A , được xác định như sau: 0 1 A = In; A = A; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 20 / 84
  108. ; Ak = Ak−1A. Như vậy Ak = A A . | {z } k lần  1 3  Ví dụ. Cho A = . Tính A2,A3, từ đó suy ra A200. 0 1 Giải.  1 3   1 3   16  A2 = AA = = . 0 1 0 1 0 1  1 6   1 3   19  A3 = A2A = = . 0 1 0 1 0 1 1. Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn(R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận k thuộc Mn(R), ký hiệu A , được xác định như sau: 0 1 2 A = In; A = A; A = AA; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 20 / 84
  109. Như vậy Ak = A A . | {z } k lần  1 3  Ví dụ. Cho A = . Tính A2,A3, từ đó suy ra A200. 0 1 Giải.  1 3   1 3   16  A2 = AA = = . 0 1 0 1 0 1  1 6   1 3   19  A3 = A2A = = . 0 1 0 1 0 1 1. Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn(R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận k thuộc Mn(R), ký hiệu A , được xác định như sau: 0 1 2 k k−1 A = In; A = A; A = AA; ; A = A A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 20 / 84
  110.  1 3  Ví dụ. Cho A = . Tính A2,A3, từ đó suy ra A200. 0 1 Giải.  1 3   1 3   16  A2 = AA = = . 0 1 0 1 0 1  1 6   1 3   19  A3 = A2A = = . 0 1 0 1 0 1 1. Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn(R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận k thuộc Mn(R), ký hiệu A , được xác định như sau: 0 1 2 k k−1 A = In; A = A; A = AA; ; A = A A. Như vậy Ak = A A . | {z } k lần Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 20 / 84
  111. Giải.  1 3   1 3   16  A2 = AA = = . 0 1 0 1 0 1  1 6   1 3   19  A3 = A2A = = . 0 1 0 1 0 1 1. Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn(R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận k thuộc Mn(R), ký hiệu A , được xác định như sau: 0 1 2 k k−1 A = In; A = A; A = AA; ; A = A A. Như vậy Ak = A A . | {z } k lần  1 3  Ví dụ. Cho A = . Tính A2,A3, từ đó suy ra A200. 0 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 20 / 84
  112.  16  = . 0 1  1 6   1 3   19  A3 = A2A = = . 0 1 0 1 0 1 1. Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn(R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận k thuộc Mn(R), ký hiệu A , được xác định như sau: 0 1 2 k k−1 A = In; A = A; A = AA; ; A = A A. Như vậy Ak = A A . | {z } k lần  1 3  Ví dụ. Cho A = . Tính A2,A3, từ đó suy ra A200. 0 1 Giải.  1 3   1 3  A2 = AA = 0 1 0 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 20 / 84
  113.  1 6   1 3   19  A3 = A2A = = . 0 1 0 1 0 1 1. Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn(R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận k thuộc Mn(R), ký hiệu A , được xác định như sau: 0 1 2 k k−1 A = In; A = A; A = AA; ; A = A A. Như vậy Ak = A A . | {z } k lần  1 3  Ví dụ. Cho A = . Tính A2,A3, từ đó suy ra A200. 0 1 Giải.  1 3   1 3   16  A2 = AA = = . 0 1 0 1 0 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 20 / 84
  114.  19  = . 0 1 1. Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn(R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận k thuộc Mn(R), ký hiệu A , được xác định như sau: 0 1 2 k k−1 A = In; A = A; A = AA; ; A = A A. Như vậy Ak = A A . | {z } k lần  1 3  Ví dụ. Cho A = . Tính A2,A3, từ đó suy ra A200. 0 1 Giải.  1 3   1 3   16  A2 = AA = = . 0 1 0 1 0 1  1 6   1 3  A3 = A2A = 0 1 0 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 20 / 84
  115. 1. Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn(R). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận k thuộc Mn(R), ký hiệu A , được xác định như sau: 0 1 2 k k−1 A = In; A = A; A = AA; ; A = A A. Như vậy Ak = A A . | {z } k lần  1 3  Ví dụ. Cho A = . Tính A2,A3, từ đó suy ra A200. 0 1 Giải.  1 3   1 3   16  A2 = AA = = . 0 1 0 1 0 1  1 6   1 3   19  A3 = A2A = = . 0 1 0 1 0 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 20 / 84
  116.  1 1  Ví dụ. Cho A = . Tính A100. 0 1  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  0 1 1 . Tính An với n > 1. 0 0 1 Tính chất. Cho A ∈ Mn(R) và k, l ∈ N. Khi đó: i) Ik = I; ii) Ak+l = AkAl; iii) Akl = (Ak)l 1. Ma trận  1 200 × 3  Suy ra A200 = . 0 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 21 / 84
  117.  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  0 1 1 . Tính An với n > 1. 0 0 1 Tính chất. Cho A ∈ Mn(R) và k, l ∈ N. Khi đó: i) Ik = I; ii) Ak+l = AkAl; iii) Akl = (Ak)l 1. Ma trận  1 200 × 3  Suy ra A200 = . 0 1  1 1  Ví dụ. Cho A = . Tính A100. 0 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 21 / 84
  118. Tính chất. Cho A ∈ Mn(R) và k, l ∈ N. Khi đó: i) Ik = I; ii) Ak+l = AkAl; iii) Akl = (Ak)l 1. Ma trận  1 200 × 3  Suy ra A200 = . 0 1  1 1  Ví dụ. Cho A = . Tính A100. 0 1  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  0 1 1 . Tính An với n > 1. 0 0 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 21 / 84
  119. ii) Ak+l = AkAl; iii) Akl = (Ak)l 1. Ma trận  1 200 × 3  Suy ra A200 = . 0 1  1 1  Ví dụ. Cho A = . Tính A100. 0 1  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  0 1 1 . Tính An với n > 1. 0 0 1 Tính chất. Cho A ∈ Mn(R) và k, l ∈ N. Khi đó: i) Ik = I; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 21 / 84
  120. iii) Akl = (Ak)l 1. Ma trận  1 200 × 3  Suy ra A200 = . 0 1  1 1  Ví dụ. Cho A = . Tính A100. 0 1  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  0 1 1 . Tính An với n > 1. 0 0 1 Tính chất. Cho A ∈ Mn(R) và k, l ∈ N. Khi đó: i) Ik = I; ii) Ak+l = AkAl; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 21 / 84
  121. 1. Ma trận  1 200 × 3  Suy ra A200 = . 0 1  1 1  Ví dụ. Cho A = . Tính A100. 0 1  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  0 1 1 . Tính An với n > 1. 0 0 1 Tính chất. Cho A ∈ Mn(R) và k, l ∈ N. Khi đó: i) Ik = I; ii) Ak+l = AkAl; iii) Akl = (Ak)l Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 21 / 84
  122. Khi đó ta định nghĩa m m−1 f(A) = αmA + αm−1A + + α1A + α0In và ta gọi f(A) là đa thức theo ma trận A.  −2 3  Ví dụ. Cho A = và f(x) = 3x2 − 2x + 2. Tính f(A). 1 −1  7 −9  Giải. Ta có A2 = , f(A) = 3A2 − 2A + 2I . −3 4 2  7 −9   −2 3   1 0  Suy ra f(A) = 3 − 2 + 2 −3 4 1 −1 0 1  27 −33  = −11 16 1. Ma trận g) Đa thức ma trận Cho A ∈ Mn(R) và m m−1 f(x) = αmx + αm−1x + + α1x + α0 là một đa thức bậc m trên R (αi ∈ R). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 22 / 84
  123.  −2 3  Ví dụ. Cho A = và f(x) = 3x2 − 2x + 2. Tính f(A). 1 −1  7 −9  Giải. Ta có A2 = , f(A) = 3A2 − 2A + 2I . −3 4 2  7 −9   −2 3   1 0  Suy ra f(A) = 3 − 2 + 2 −3 4 1 −1 0 1  27 −33  = −11 16 1. Ma trận g) Đa thức ma trận Cho A ∈ Mn(R) và m m−1 f(x) = αmx + αm−1x + + α1x + α0 là một đa thức bậc m trên R (αi ∈ R). Khi đó ta định nghĩa m m−1 f(A) = αmA + αm−1A + + α1A + α0In và ta gọi f(A) là đa thức theo ma trận A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 22 / 84
  124.  7 −9  Giải. Ta có A2 = , f(A) = 3A2 − 2A + 2I . −3 4 2  7 −9   −2 3   1 0  Suy ra f(A) = 3 − 2 + 2 −3 4 1 −1 0 1  27 −33  = −11 16 1. Ma trận g) Đa thức ma trận Cho A ∈ Mn(R) và m m−1 f(x) = αmx + αm−1x + + α1x + α0 là một đa thức bậc m trên R (αi ∈ R). Khi đó ta định nghĩa m m−1 f(A) = αmA + αm−1A + + α1A + α0In và ta gọi f(A) là đa thức theo ma trận A.  −2 3  Ví dụ. Cho A = và f(x) = 3x2 − 2x + 2. Tính f(A). 1 −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 22 / 84
  125. 2 f(A) = 3A − 2A + 2I2.  7 −9   −2 3   1 0  Suy ra f(A) = 3 − 2 + 2 −3 4 1 −1 0 1  27 −33  = −11 16 1. Ma trận g) Đa thức ma trận Cho A ∈ Mn(R) và m m−1 f(x) = αmx + αm−1x + + α1x + α0 là một đa thức bậc m trên R (αi ∈ R). Khi đó ta định nghĩa m m−1 f(A) = αmA + αm−1A + + α1A + α0In và ta gọi f(A) là đa thức theo ma trận A.  −2 3  Ví dụ. Cho A = và f(x) = 3x2 − 2x + 2. Tính f(A). 1 −1  7 −9  Giải. Ta có A2 = , −3 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 22 / 84
  126.  27 −33  = −11 16 1. Ma trận g) Đa thức ma trận Cho A ∈ Mn(R) và m m−1 f(x) = αmx + αm−1x + + α1x + α0 là một đa thức bậc m trên R (αi ∈ R). Khi đó ta định nghĩa m m−1 f(A) = αmA + αm−1A + + α1A + α0In và ta gọi f(A) là đa thức theo ma trận A.  −2 3  Ví dụ. Cho A = và f(x) = 3x2 − 2x + 2. Tính f(A). 1 −1  7 −9  Giải. Ta có A2 = , f(A) = 3A2 − 2A + 2I . −3 4 2  7 −9   −2 3   1 0  Suy ra f(A) = 3 − 2 + 2 −3 4 1 −1 0 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 22 / 84
  127. 1. Ma trận g) Đa thức ma trận Cho A ∈ Mn(R) và m m−1 f(x) = αmx + αm−1x + + α1x + α0 là một đa thức bậc m trên R (αi ∈ R). Khi đó ta định nghĩa m m−1 f(A) = αmA + αm−1A + + α1A + α0In và ta gọi f(A) là đa thức theo ma trận A.  −2 3  Ví dụ. Cho A = và f(x) = 3x2 − 2x + 2. Tính f(A). 1 −1  7 −9  Giải. Ta có A2 = , f(A) = 3A2 − 2A + 2I . −3 4 2  7 −9   −2 3   1 0  Suy ra f(A) = 3 − 2 + 2 −3 4 1 −1 0 1  27 −33  = −11 16 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 22 / 84
  128. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.2 Ma trận bậc thang 2.3 Hạng của ma trận Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 23 / 84 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
  129. Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj Loại 2. Nhân dòng i cho một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi Loại 3. Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i). Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) chỉ ma trận có từ A qua ϕ.       1 −2 d ↔d 2 3 d :=2d 2 3 Ví dụ. −−−−→1 2 −−−−−→2 2 . 2 3 1 −2 2 −4 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n(R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng, viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 24 / 84
  130. Loại 2. Nhân dòng i cho một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi Loại 3. Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i). Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) chỉ ma trận có từ A qua ϕ.       1 −2 d ↔d 2 3 d :=2d 2 3 Ví dụ. −−−−→1 2 −−−−−→2 2 . 2 3 1 −2 2 −4 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n(R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng, viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 24 / 84
  131. Loại 3. Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i). Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) chỉ ma trận có từ A qua ϕ.       1 −2 d ↔d 2 3 d :=2d 2 3 Ví dụ. −−−−→1 2 −−−−−→2 2 . 2 3 1 −2 2 −4 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n(R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng, viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj Loại 2. Nhân dòng i cho một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 24 / 84
  132. Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) chỉ ma trận có từ A qua ϕ.       1 −2 d ↔d 2 3 d :=2d 2 3 Ví dụ. −−−−→1 2 −−−−−→2 2 . 2 3 1 −2 2 −4 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n(R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng, viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj Loại 2. Nhân dòng i cho một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi Loại 3. Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i). Ký hiệu: di := di + βdj Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 24 / 84
  133.       1 −2 d ↔d 2 3 d :=2d 2 3 Ví dụ. −−−−→1 2 −−−−−→2 2 . 2 3 1 −2 2 −4 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n(R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng, viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj Loại 2. Nhân dòng i cho một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi Loại 3. Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i). Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) chỉ ma trận có từ A qua ϕ. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 24 / 84
  134.     d ↔d 2 3 d :=2d 2 3 −−−−→1 2 −−−−−→2 2 . 1 −2 2 −4 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n(R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng, viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj Loại 2. Nhân dòng i cho một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi Loại 3. Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i). Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) chỉ ma trận có từ A qua ϕ.  1 −2  Ví dụ. 2 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 24 / 84
  135.     2 3 d :=2d 2 3 −−−−−→2 2 . 1 −2 2 −4 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n(R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng, viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj Loại 2. Nhân dòng i cho một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi Loại 3. Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i). Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) chỉ ma trận có từ A qua ϕ.   1 −2 d ↔d Ví dụ. −−−−→1 2 2 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 24 / 84
  136.   d :=2d 2 3 −−−−−→2 2 . 2 −4 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n(R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng, viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj Loại 2. Nhân dòng i cho một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi Loại 3. Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i). Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) chỉ ma trận có từ A qua ϕ.     1 −2 d ↔d 2 3 Ví dụ. −−−−→1 2 2 3 1 −2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 24 / 84
  137.  2 3  . 2 −4 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n(R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng, viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj Loại 2. Nhân dòng i cho một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi Loại 3. Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i). Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) chỉ ma trận có từ A qua ϕ.     1 −2 d ↔d 2 3 d :=2d Ví dụ. −−−−→1 2 −−−−−→2 2 2 3 1 −2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 24 / 84
  138. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n(R). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng, viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj Loại 2. Nhân dòng i cho một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi Loại 3. Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i). Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) chỉ ma trận có từ A qua ϕ.       1 −2 d ↔d 2 3 d :=2d 2 3 Ví dụ. −−−−→1 2 −−−−−→2 2 . 2 3 1 −2 2 −4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 24 / 84
  139.  2 1 3 4  d1↔d3 −−−−→  3 6 −1 −3  1 −2 3 2  2 1 3 4  d2:=2d2 −−−−−→  6 12 −2 −6  1 −2 3 2  4 −3 9 8  d1:=d1+2d3 −−−−−−−−→  6 12 −2 −6  . 1 −2 3 2 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ.  1 −2 3 2  A =  3 6 −1 −3  2 1 3 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 25 / 84
  140.  2 1 3 4   3 6 −1 −3  1 −2 3 2  2 1 3 4  d2:=2d2 −−−−−→  6 12 −2 −6  1 −2 3 2  4 −3 9 8  d1:=d1+2d3 −−−−−−−−→  6 12 −2 −6  . 1 −2 3 2 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ.  1 −2 3 2  A =  3 6 −1 −3  2 1 3 4 −−−−→d1↔d3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 25 / 84
  141.  2 1 3 4  d2:=2d2 −−−−−→  6 12 −2 −6  1 −2 3 2  4 −3 9 8  d1:=d1+2d3 −−−−−−−−→  6 12 −2 −6  . 1 −2 3 2 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ.  1 −2 3 2  A =  3 6 −1 −3  2 1 3 4  2 1 3 4  d1↔d3 −−−−→  3 6 −1 −3  1 −2 3 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 25 / 84
  142.  2 1 3 4   6 12 −2 −6  1 −2 3 2  4 −3 9 8  d1:=d1+2d3 −−−−−−−−→  6 12 −2 −6  . 1 −2 3 2 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ.  1 −2 3 2  A =  3 6 −1 −3  2 1 3 4  2 1 3 4  d1↔d3 −−−−→  3 6 −1 −3  1 −2 3 2 −−−−−→d2:=2d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 25 / 84
  143.  4 −3 9 8  d1:=d1+2d3 −−−−−−−−→  6 12 −2 −6  . 1 −2 3 2 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ.  1 −2 3 2  A =  3 6 −1 −3  2 1 3 4  2 1 3 4  d1↔d3 −−−−→  3 6 −1 −3  1 −2 3 2  2 1 3 4  d2:=2d2 −−−−−→  6 12 −2 −6  1 −2 3 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 25 / 84
  144.  4 −3 9 8   6 12 −2 −6  . 1 −2 3 2 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ.  1 −2 3 2  A =  3 6 −1 −3  2 1 3 4  2 1 3 4  d1↔d3 −−−−→  3 6 −1 −3  1 −2 3 2  2 1 3 4  d2:=2d2 −−−−−→  6 12 −2 −6  1 −2 3 2 −−−−−−−−→d1:=d1+2d3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 25 / 84
  145. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ.  1 −2 3 2  A =  3 6 −1 −3  2 1 3 4  2 1 3 4  d1↔d3 −−−−→  3 6 −1 −3  1 −2 3 2  2 1 3 4  d2:=2d2 −−−−−→  6 12 −2 −6  1 −2 3 2  4 −3 9 8  d1:=d1+2d3 −−−−−−−−→  6 12 −2 −6  . 1 −2 3 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 25 / 84
  146. d ↔d ⇒ A0 −−−−→i j A; 1 d :=αd di:= di 2) A −−−−−→i i A0 ⇒ A0 −−−−−→α A; d :=d +βd d :=d −βd 3) A −−−−−−−−→i i j A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→i i j A. Định nghĩa. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A ∼ B, nếu B có được từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó. Vậy, A ∼ B ⇔ Tồn tại các phép BĐSCTD ϕ1, . . . , ϕk sao cho ϕ1 ϕ2 ϕk A −→ A1 −→ · · · −→ Ak = B. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét. d ↔d 1) A −−−−→i j A0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 26 / 84
  147. 1 d :=αd di:= di 2) A −−−−−→i i A0 ⇒ A0 −−−−−→α A; d :=d +βd d :=d −βd 3) A −−−−−−−−→i i j A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→i i j A. Định nghĩa. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A ∼ B, nếu B có được từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó. Vậy, A ∼ B ⇔ Tồn tại các phép BĐSCTD ϕ1, . . . , ϕk sao cho ϕ1 ϕ2 ϕk A −→ A1 −→ · · · −→ Ak = B. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét. d ↔d d ↔d 1) A −−−−→i j A0 ⇒ A0 −−−−→i j A; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 26 / 84
  148. 1 di:= di ⇒ A0 −−−−−→α A; d :=d +βd d :=d −βd 3) A −−−−−−−−→i i j A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→i i j A. Định nghĩa. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A ∼ B, nếu B có được từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó. Vậy, A ∼ B ⇔ Tồn tại các phép BĐSCTD ϕ1, . . . , ϕk sao cho ϕ1 ϕ2 ϕk A −→ A1 −→ · · · −→ Ak = B. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét. d ↔d d ↔d 1) A −−−−→i j A0 ⇒ A0 −−−−→i j A; d :=αd 2) A −−−−−→i i A0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 26 / 84
  149. d :=d +βd d :=d −βd 3) A −−−−−−−−→i i j A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→i i j A. Định nghĩa. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A ∼ B, nếu B có được từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó. Vậy, A ∼ B ⇔ Tồn tại các phép BĐSCTD ϕ1, . . . , ϕk sao cho ϕ1 ϕ2 ϕk A −→ A1 −→ · · · −→ Ak = B. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét. d ↔d d ↔d 1) A −−−−→i j A0 ⇒ A0 −−−−→i j A; 1 d :=αd di:= di 2) A −−−−−→i i A0 ⇒ A0 −−−−−→α A; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 26 / 84
  150. d :=d −βd ⇒ A0 −−−−−−−−→i i j A. Định nghĩa. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A ∼ B, nếu B có được từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó. Vậy, A ∼ B ⇔ Tồn tại các phép BĐSCTD ϕ1, . . . , ϕk sao cho ϕ1 ϕ2 ϕk A −→ A1 −→ · · · −→ Ak = B. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét. d ↔d d ↔d 1) A −−−−→i j A0 ⇒ A0 −−−−→i j A; 1 d :=αd di:= di 2) A −−−−−→i i A0 ⇒ A0 −−−−−→α A; d :=d +βd 3) A −−−−−−−−→i i j A0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 26 / 84
  151. Định nghĩa. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A ∼ B, nếu B có được từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó. Vậy, A ∼ B ⇔ Tồn tại các phép BĐSCTD ϕ1, . . . , ϕk sao cho ϕ1 ϕ2 ϕk A −→ A1 −→ · · · −→ Ak = B. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét. d ↔d d ↔d 1) A −−−−→i j A0 ⇒ A0 −−−−→i j A; 1 d :=αd di:= di 2) A −−−−−→i i A0 ⇒ A0 −−−−−→α A; d :=d +βd d :=d −βd 3) A −−−−−−−−→i i j A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→i i j A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 26 / 84
  152. Vậy, A ∼ B ⇔ Tồn tại các phép BĐSCTD ϕ1, . . . , ϕk sao cho ϕ1 ϕ2 ϕk A −→ A1 −→ · · · −→ Ak = B. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét. d ↔d d ↔d 1) A −−−−→i j A0 ⇒ A0 −−−−→i j A; 1 d :=αd di:= di 2) A −−−−−→i i A0 ⇒ A0 −−−−−→α A; d :=d +βd d :=d −βd 3) A −−−−−−−−→i i j A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→i i j A. Định nghĩa. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A ∼ B, nếu B có được từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 26 / 84
  153. ϕ2 ϕk −→ · · · −→ Ak = B. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét. d ↔d d ↔d 1) A −−−−→i j A0 ⇒ A0 −−−−→i j A; 1 d :=αd di:= di 2) A −−−−−→i i A0 ⇒ A0 −−−−−→α A; d :=d +βd d :=d −βd 3) A −−−−−−−−→i i j A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→i i j A. Định nghĩa. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A ∼ B, nếu B có được từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó. Vậy, A ∼ B ⇔ Tồn tại các phép BĐSCTD ϕ1, . . . , ϕk sao cho ϕ1 A −→ A1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 26 / 84
  154. ϕk −→ Ak = B. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét. d ↔d d ↔d 1) A −−−−→i j A0 ⇒ A0 −−−−→i j A; 1 d :=αd di:= di 2) A −−−−−→i i A0 ⇒ A0 −−−−−→α A; d :=d +βd d :=d −βd 3) A −−−−−−−−→i i j A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→i i j A. Định nghĩa. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A ∼ B, nếu B có được từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó. Vậy, A ∼ B ⇔ Tồn tại các phép BĐSCTD ϕ1, . . . , ϕk sao cho ϕ1 ϕ2 A −→ A1 −→ · · · Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 26 / 84
  155. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét. d ↔d d ↔d 1) A −−−−→i j A0 ⇒ A0 −−−−→i j A; 1 d :=αd di:= di 2) A −−−−−→i i A0 ⇒ A0 −−−−−→α A; d :=d +βd d :=d −βd 3) A −−−−−−−−→i i j A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→i i j A. Định nghĩa. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A ∼ B, nếu B có được từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó. Vậy, A ∼ B ⇔ Tồn tại các phép BĐSCTD ϕ1, . . . , ϕk sao cho ϕ1 ϕ2 ϕk A −→ A1 −→ · · · −→ Ak = B. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 26 / 84
  156. i) A ∼ A (tính phản xạ). ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A (tính đối xứng). iii) A ∼ B và B ∼ C ⇒ A ∼ C (tính bắc cầu).  1 2 −2 3   2 3 −2 1  Ví dụ. A =  1 2 5 1  ∼  5 8 1 3  = B. 2 3 −2 1 3 6 −6 9 Vì B có được từ A qua lần lượt các phép BĐSCTD sau: d1 ↔ d3, d2 := d2 + 2d1, d3 := 3d3. Hỏi. Làm cách nào kiểm tra hai ma trận tương đương dòng với nhau? 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Nhận xét. Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương trên Mm×n(R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n(R), ta có: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 27 / 84
  157. ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A (tính đối xứng). iii) A ∼ B và B ∼ C ⇒ A ∼ C (tính bắc cầu).  1 2 −2 3   2 3 −2 1  Ví dụ. A =  1 2 5 1  ∼  5 8 1 3  = B. 2 3 −2 1 3 6 −6 9 Vì B có được từ A qua lần lượt các phép BĐSCTD sau: d1 ↔ d3, d2 := d2 + 2d1, d3 := 3d3. Hỏi. Làm cách nào kiểm tra hai ma trận tương đương dòng với nhau? 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Nhận xét. Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương trên Mm×n(R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n(R), ta có: i) A ∼ A (tính phản xạ). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 27 / 84
  158. iii) A ∼ B và B ∼ C ⇒ A ∼ C (tính bắc cầu).  1 2 −2 3   2 3 −2 1  Ví dụ. A =  1 2 5 1  ∼  5 8 1 3  = B. 2 3 −2 1 3 6 −6 9 Vì B có được từ A qua lần lượt các phép BĐSCTD sau: d1 ↔ d3, d2 := d2 + 2d1, d3 := 3d3. Hỏi. Làm cách nào kiểm tra hai ma trận tương đương dòng với nhau? 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Nhận xét. Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương trên Mm×n(R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n(R), ta có: i) A ∼ A (tính phản xạ). ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A (tính đối xứng). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 27 / 84
  159.  1 2 −2 3   2 3 −2 1  Ví dụ. A =  1 2 5 1  ∼  5 8 1 3  = B. 2 3 −2 1 3 6 −6 9 Vì B có được từ A qua lần lượt các phép BĐSCTD sau: d1 ↔ d3, d2 := d2 + 2d1, d3 := 3d3. Hỏi. Làm cách nào kiểm tra hai ma trận tương đương dòng với nhau? 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Nhận xét. Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương trên Mm×n(R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n(R), ta có: i) A ∼ A (tính phản xạ). ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A (tính đối xứng). iii) A ∼ B và B ∼ C ⇒ A ∼ C (tính bắc cầu). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 27 / 84
  160. Vì B có được từ A qua lần lượt các phép BĐSCTD sau: d1 ↔ d3, d2 := d2 + 2d1, d3 := 3d3. Hỏi. Làm cách nào kiểm tra hai ma trận tương đương dòng với nhau? 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Nhận xét. Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương trên Mm×n(R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n(R), ta có: i) A ∼ A (tính phản xạ). ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A (tính đối xứng). iii) A ∼ B và B ∼ C ⇒ A ∼ C (tính bắc cầu).  1 2 −2 3   2 3 −2 1  Ví dụ. A =  1 2 5 1  ∼  5 8 1 3  = B. 2 3 −2 1 3 6 −6 9 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 27 / 84
  161. Hỏi. Làm cách nào kiểm tra hai ma trận tương đương dòng với nhau? 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Nhận xét. Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương trên Mm×n(R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n(R), ta có: i) A ∼ A (tính phản xạ). ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A (tính đối xứng). iii) A ∼ B và B ∼ C ⇒ A ∼ C (tính bắc cầu).  1 2 −2 3   2 3 −2 1  Ví dụ. A =  1 2 5 1  ∼  5 8 1 3  = B. 2 3 −2 1 3 6 −6 9 Vì B có được từ A qua lần lượt các phép BĐSCTD sau: d1 ↔ d3, d2 := d2 + 2d1, d3 := 3d3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 27 / 84
  162. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Nhận xét. Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương trên Mm×n(R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n(R), ta có: i) A ∼ A (tính phản xạ). ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A (tính đối xứng). iii) A ∼ B và B ∼ C ⇒ A ∼ C (tính bắc cầu).  1 2 −2 3   2 3 −2 1  Ví dụ. A =  1 2 5 1  ∼  5 8 1 3  = B. 2 3 −2 1 3 6 −6 9 Vì B có được từ A qua lần lượt các phép BĐSCTD sau: d1 ↔ d3, d2 := d2 + 2d1, d3 := 3d3. Hỏi. Làm cách nào kiểm tra hai ma trận tương đương dòng với nhau? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 27 / 84
  163. Dòng 1 có phần tử cơ sở là −1, dòng 2 có phần tử cơ sở là 3, dòng 3 không có phần tử cơ sở. Định nghĩa. Một ma trận được gọi là ma trận bậc thang nếu nó thỏa 2 tính chất sau: • Dòng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng; • Phần tử cơ sở của dòng dưới nằm bên phải so với phần tử cơ sở của dòng trên. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.2 Ma trận bậc thang Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n(R). Phần tử khác không đầu tiên của một dòng kể từ bên trái được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó.  0 −1 21  Ví dụ. Cho ma trận  31 −2 3 . Khi đó: 0 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 28 / 84
  164. Định nghĩa. Một ma trận được gọi là ma trận bậc thang nếu nó thỏa 2 tính chất sau: • Dòng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng; • Phần tử cơ sở của dòng dưới nằm bên phải so với phần tử cơ sở của dòng trên. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.2 Ma trận bậc thang Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n(R). Phần tử khác không đầu tiên của một dòng kể từ bên trái được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó.  0 −1 21  Ví dụ. Cho ma trận  31 −2 3 . Khi đó: 0 0 0 0 Dòng 1 có phần tử cơ sở là −1, dòng 2 có phần tử cơ sở là 3, dòng 3 không có phần tử cơ sở. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 28 / 84
  165. • Dòng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng; • Phần tử cơ sở của dòng dưới nằm bên phải so với phần tử cơ sở của dòng trên. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.2 Ma trận bậc thang Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n(R). Phần tử khác không đầu tiên của một dòng kể từ bên trái được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó.  0 −1 21  Ví dụ. Cho ma trận  31 −2 3 . Khi đó: 0 0 0 0 Dòng 1 có phần tử cơ sở là −1, dòng 2 có phần tử cơ sở là 3, dòng 3 không có phần tử cơ sở. Định nghĩa. Một ma trận được gọi là ma trận bậc thang nếu nó thỏa 2 tính chất sau: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 28 / 84
  166. • Phần tử cơ sở của dòng dưới nằm bên phải so với phần tử cơ sở của dòng trên. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.2 Ma trận bậc thang Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n(R). Phần tử khác không đầu tiên của một dòng kể từ bên trái được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó.  0 −1 21  Ví dụ. Cho ma trận  31 −2 3 . Khi đó: 0 0 0 0 Dòng 1 có phần tử cơ sở là −1, dòng 2 có phần tử cơ sở là 3, dòng 3 không có phần tử cơ sở. Định nghĩa. Một ma trận được gọi là ma trận bậc thang nếu nó thỏa 2 tính chất sau: • Dòng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 28 / 84
  167. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.2 Ma trận bậc thang Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n(R). Phần tử khác không đầu tiên của một dòng kể từ bên trái được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó.  0 −1 21  Ví dụ. Cho ma trận  31 −2 3 . Khi đó: 0 0 0 0 Dòng 1 có phần tử cơ sở là −1, dòng 2 có phần tử cơ sở là 3, dòng 3 không có phần tử cơ sở. Định nghĩa. Một ma trận được gọi là ma trận bậc thang nếu nó thỏa 2 tính chất sau: • Dòng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng; • Phần tử cơ sở của dòng dưới nằm bên phải so với phần tử cơ sở của dòng trên. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 28 / 84
  168.  12542   2321   0 0317   0 042  Ví dụ. A =   ; B =   .  0 0 014   0103  0 0 0 0 0 0 0 0 0 A là trận bậc thang, B không là ma trận bậc thang. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Như vậy ma trận bậc thang sẽ có dạng   0 0 a1k1 . . . . . . a1k2 . . . . . . a1kr . . . a1n  0 0 0 0 a2k . . . . . . a2k . . . a2n   2 r   . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . .     0 0 0 0 0 0 ark . . . arn   r   0 0 0 0 0 0 0 0     . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . .  0 0 0 0 0 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 29 / 84
  169.  12542   2321   0 0317   0 042  Ví dụ. A =   ; B =   .  0 0 014   0103  0 0 0 0 0 0 0 0 0 A là trận bậc thang, B không là ma trận bậc thang. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Như vậy ma trận bậc thang sẽ có dạng   0 0 a1k1 . . . . . . a1k2 . . . . . . a1kr . . . a1n  0 0 0 0 a2k . . . . . . a2k . . . a2n   2 r   . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . .     0 0 0 0 0 0 ark . . . arn   r   0 0 0 0 0 0 0 0     . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . .  0 0 0 0 0 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 29 / 84
  170.  12542   2321   0 0317   0 042  Ví dụ. A =   ; B =   .  0 0 014   0103  0 0 0 0 0 0 0 0 0 A là trận bậc thang, B không là ma trận bậc thang. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Như vậy ma trận bậc thang sẽ có dạng   0 0 a1k1 . . . . . . a1k2 . . . . . . a1kr . . . a1n  0 0 0 0 a2k . . . . . . a2k . . . a2n   2 r   . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . .     0 0 0 0 0 0 ark . . . arn   r   0 0 0 0 0 0 0 0     . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . .  0 0 0 0 0 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 29 / 84
  171.  12542   2321   0 0317   0 042  Ví dụ. A =   ; B =   .  0 0 014   0103  0 0 0 0 0 0 0 0 0 A là trận bậc thang, B không là ma trận bậc thang. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Như vậy ma trận bậc thang sẽ có dạng   0 0 a1k1 . . . . . . a1k2 . . . . . . a1kr . . . a1n  0 0 0 0 a2k . . . . . . a2k . . . a2n   2 r   . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . .     0 0 0 0 0 0 ark . . . arn   r   0 0 0 0 0 0 0 0     . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . .  0 0 0 0 0 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 29 / 84
  172.  12542   2321   0 0317   0 042  Ví dụ. A =   ; B =   .  0 0 014   0103  0 0 0 0 0 0 0 0 0 A là trận bậc thang, B không là ma trận bậc thang. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Như vậy ma trận bậc thang sẽ có dạng   0 0 a1k1 . . . . . . a1k2 . . . . . . a1kr . . . a1n  0 0 0 0 a2k . . . . . . a2k . . . a2n   2 r   . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . .     0 0 0 0 0 0 ark . . . arn   r   0 0 0 0 0 0 0 0     . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . .  0 0 0 0 0 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 29 / 84
  173. A là trận bậc thang, B không là ma trận bậc thang. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Như vậy ma trận bậc thang sẽ có dạng   0 0 a1k1 . . . . . . a1k2 . . . . . . a1kr . . . a1n  0 0 0 0 a2k . . . . . . a2k . . . a2n   2 r   . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . .     0 0 0 0 0 0 ark . . . arn   r   0 0 0 0 0 0 0 0     . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . .  0 0 0 0 0 0 0 0  12542   2321   0 0317   0 042  Ví dụ. A =   ; B =   .  0 0 014   0103  0 0 0 0 0 0 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 29 / 84
  174. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Như vậy ma trận bậc thang sẽ có dạng   0 0 a1k1 . . . . . . a1k2 . . . . . . a1kr . . . a1n  0 0 0 0 a2k . . . . . . a2k . . . a2n   2 r   . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . .     0 0 0 0 0 0 ark . . . arn   r   0 0 0 0 0 0 0 0     . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . .  0 0 0 0 0 0 0 0  12542   2321   0 0317   0 042  Ví dụ. A =   ; B =   .  0 0 014   0103  0 0 0 0 0 0 0 0 0 A là trận bậc thang, B không là ma trận bậc thang. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 29 / 84
  175. • A là ma trận bậc thang. • Các phần tử cơ sở đều bằng 1. • Trên cột có chứa phần tử cơ sở, các hệ số ngoài phần tử cơ sở đều bằng 0.  1000 4   13027   0100 −7   01000  Ví dụ. C =   ; D =   .  0 011 2   0 0100  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C là ma trận bậc thang rút gọn. D không là ma trận bậc thang rút gọn. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ma trận bậc thang rút ngọn Định nghĩa. Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang rút ngọn nếu thỏa các điều kiện sau: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 30 / 84
  176. • Các phần tử cơ sở đều bằng 1. • Trên cột có chứa phần tử cơ sở, các hệ số ngoài phần tử cơ sở đều bằng 0.  1000 4   13027   0100 −7   01000  Ví dụ. C =   ; D =   .  0 011 2   0 0100  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C là ma trận bậc thang rút gọn. D không là ma trận bậc thang rút gọn. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ma trận bậc thang rút ngọn Định nghĩa. Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang rút ngọn nếu thỏa các điều kiện sau: • A là ma trận bậc thang. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 30 / 84
  177. • Trên cột có chứa phần tử cơ sở, các hệ số ngoài phần tử cơ sở đều bằng 0.  1000 4   13027   0100 −7   01000  Ví dụ. C =   ; D =   .  0 011 2   0 0100  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C là ma trận bậc thang rút gọn. D không là ma trận bậc thang rút gọn. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ma trận bậc thang rút ngọn Định nghĩa. Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang rút ngọn nếu thỏa các điều kiện sau: • A là ma trận bậc thang. • Các phần tử cơ sở đều bằng 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 30 / 84
  178.  1000 4   13027   0100 −7   01000  Ví dụ. C =   ; D =   .  0 011 2   0 0100  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C là ma trận bậc thang rút gọn. D không là ma trận bậc thang rút gọn. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ma trận bậc thang rút ngọn Định nghĩa. Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang rút ngọn nếu thỏa các điều kiện sau: • A là ma trận bậc thang. • Các phần tử cơ sở đều bằng 1. • Trên cột có chứa phần tử cơ sở, các hệ số ngoài phần tử cơ sở đều bằng 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 30 / 84
  179. C là ma trận bậc thang rút gọn. D không là ma trận bậc thang rút gọn. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ma trận bậc thang rút ngọn Định nghĩa. Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang rút ngọn nếu thỏa các điều kiện sau: • A là ma trận bậc thang. • Các phần tử cơ sở đều bằng 1. • Trên cột có chứa phần tử cơ sở, các hệ số ngoài phần tử cơ sở đều bằng 0.  1000 4   13027   0100 −7   01000  Ví dụ. C =   ; D =   .  0 011 2   0 0100  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 30 / 84
  180. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ma trận bậc thang rút ngọn Định nghĩa. Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang rút ngọn nếu thỏa các điều kiện sau: • A là ma trận bậc thang. • Các phần tử cơ sở đều bằng 1. • Trên cột có chứa phần tử cơ sở, các hệ số ngoài phần tử cơ sở đều bằng 0.  1000 4   13027   0100 −7   01000  Ví dụ. C =   ; D =   .  0 011 2   0 0100  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C là ma trận bậc thang rút gọn. D không là ma trận bậc thang rút gọn. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 30 / 84
  181. Ví dụ. Cho  1 2 3 −2   1 2 3 −2  A =  −2 −5 1 −4  ,B =  0 −1 7 −8  . 3 6 9 −6 0 0 0 0 Khi đó B là một dạng bậc thang của A vì B có được từ A thông qua các phép biến đổi: d2 := d2 + 2d1, d3 = d3 − 3d1. Hỏi. Dạng bậc thang của một ma trận có duy nhất không? 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.3 Hạng của ma trận Dạng bậc thang Định nghĩa. Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang B thì B được gọi là một dạng bậc thang của A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 31 / 84
  182. Khi đó B là một dạng bậc thang của A vì B có được từ A thông qua các phép biến đổi: d2 := d2 + 2d1, d3 = d3 − 3d1. Hỏi. Dạng bậc thang của một ma trận có duy nhất không? 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.3 Hạng của ma trận Dạng bậc thang Định nghĩa. Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang B thì B được gọi là một dạng bậc thang của A. Ví dụ. Cho  1 2 3 −2   1 2 3 −2  A =  −2 −5 1 −4  ,B =  0 −1 7 −8  . 3 6 9 −6 0 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 31 / 84
  183. Hỏi. Dạng bậc thang của một ma trận có duy nhất không? 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.3 Hạng của ma trận Dạng bậc thang Định nghĩa. Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang B thì B được gọi là một dạng bậc thang của A. Ví dụ. Cho  1 2 3 −2   1 2 3 −2  A =  −2 −5 1 −4  ,B =  0 −1 7 −8  . 3 6 9 −6 0 0 0 0 Khi đó B là một dạng bậc thang của A vì B có được từ A thông qua các phép biến đổi: d2 := d2 + 2d1, d3 = d3 − 3d1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 31 / 84
  184. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.3 Hạng của ma trận Dạng bậc thang Định nghĩa. Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang B thì B được gọi là một dạng bậc thang của A. Ví dụ. Cho  1 2 3 −2   1 2 3 −2  A =  −2 −5 1 −4  ,B =  0 −1 7 −8  . 3 6 9 −6 0 0 0 0 Khi đó B là một dạng bậc thang của A vì B có được từ A thông qua các phép biến đổi: d2 := d2 + 2d1, d3 = d3 − 3d1. Hỏi. Dạng bậc thang của một ma trận có duy nhất không? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 31 / 84
  185. Mệnh đề. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó: i) 0 ≤ r(A) ≤ m, n; ii) r(A) = 0 ⇔ A = 0; iii) r(A>) = r(A); iv) Nếu A ∼ B thì r(A) = r(B). 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Hạng của ma trận Nhận xét. Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên các dạng bậc thang của A đều có chung số dòng khác 0. Ta gọi số dòng khác 0 của một dạng bậc thang của A là hạng của A, ký hiệu r(A). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 32 / 84
  186. i) 0 ≤ r(A) ≤ m, n; ii) r(A) = 0 ⇔ A = 0; iii) r(A>) = r(A); iv) Nếu A ∼ B thì r(A) = r(B). 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Hạng của ma trận Nhận xét. Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên các dạng bậc thang của A đều có chung số dòng khác 0. Ta gọi số dòng khác 0 của một dạng bậc thang của A là hạng của A, ký hiệu r(A). Mệnh đề. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 32 / 84
  187. ii) r(A) = 0 ⇔ A = 0; iii) r(A>) = r(A); iv) Nếu A ∼ B thì r(A) = r(B). 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Hạng của ma trận Nhận xét. Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên các dạng bậc thang của A đều có chung số dòng khác 0. Ta gọi số dòng khác 0 của một dạng bậc thang của A là hạng của A, ký hiệu r(A). Mệnh đề. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó: i) 0 ≤ r(A) ≤ m, n; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 32 / 84
  188. iii) r(A>) = r(A); iv) Nếu A ∼ B thì r(A) = r(B). 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Hạng của ma trận Nhận xét. Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên các dạng bậc thang của A đều có chung số dòng khác 0. Ta gọi số dòng khác 0 của một dạng bậc thang của A là hạng của A, ký hiệu r(A). Mệnh đề. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó: i) 0 ≤ r(A) ≤ m, n; ii) r(A) = 0 ⇔ A = 0; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 32 / 84
  189. iv) Nếu A ∼ B thì r(A) = r(B). 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Hạng của ma trận Nhận xét. Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên các dạng bậc thang của A đều có chung số dòng khác 0. Ta gọi số dòng khác 0 của một dạng bậc thang của A là hạng của A, ký hiệu r(A). Mệnh đề. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó: i) 0 ≤ r(A) ≤ m, n; ii) r(A) = 0 ⇔ A = 0; iii) r(A>) = r(A); Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 32 / 84
  190. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Hạng của ma trận Nhận xét. Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên các dạng bậc thang của A đều có chung số dòng khác 0. Ta gọi số dòng khác 0 của một dạng bậc thang của A là hạng của A, ký hiệu r(A). Mệnh đề. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó: i) 0 ≤ r(A) ≤ m, n; ii) r(A) = 0 ⇔ A = 0; iii) r(A>) = r(A); iv) Nếu A ∼ B thì r(A) = r(B). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 32 / 84
  191. Nhận xét. Dạng bậc thang rút gọn của một ma trận A là duy nhất và được ký hiệu RA.  1 2 3 −2  Ví dụ. Cho A =  −2 −5 1 −4 . Khi đó 3 6 9 −6  1 0 17 −18  RA =  0 1 −7 8  . 0 0 0 0 RA có được từ A thông qua các phép biến đổi: d2 := d2 + 2d1, d3 = d3 − 3d1, d2 := −1d2, d1 := d1 − 2d2. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang rút gọn B thì B được gọi là dạng bậc thang rút gọn của A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 33 / 84
  192.  1 2 3 −2  Ví dụ. Cho A =  −2 −5 1 −4 . Khi đó 3 6 9 −6  1 0 17 −18  RA =  0 1 −7 8  . 0 0 0 0 RA có được từ A thông qua các phép biến đổi: d2 := d2 + 2d1, d3 = d3 − 3d1, d2 := −1d2, d1 := d1 − 2d2. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang rút gọn B thì B được gọi là dạng bậc thang rút gọn của A. Nhận xét. Dạng bậc thang rút gọn của một ma trận A là duy nhất và được ký hiệu RA. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 33 / 84
  193. Khi đó  1 0 17 −18  RA =  0 1 −7 8  . 0 0 0 0 RA có được từ A thông qua các phép biến đổi: d2 := d2 + 2d1, d3 = d3 − 3d1, d2 := −1d2, d1 := d1 − 2d2. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang rút gọn B thì B được gọi là dạng bậc thang rút gọn của A. Nhận xét. Dạng bậc thang rút gọn của một ma trận A là duy nhất và được ký hiệu RA.  1 2 3 −2  Ví dụ. Cho A =  −2 −5 1 −4 . 3 6 9 −6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 33 / 84
  194. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang rút gọn B thì B được gọi là dạng bậc thang rút gọn của A. Nhận xét. Dạng bậc thang rút gọn của một ma trận A là duy nhất và được ký hiệu RA.  1 2 3 −2  Ví dụ. Cho A =  −2 −5 1 −4 . Khi đó 3 6 9 −6  1 0 17 −18  RA =  0 1 −7 8  . 0 0 0 0 RA có được từ A thông qua các phép biến đổi: d2 := d2 + 2d1, d3 = d3 − 3d1, d2 := −1d2, d1 := d1 − 2d2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 33 / 84
  195. Bước 1: i := 1, j := 1. Bước 2: Nếu i > m hoặc j > n thì kết thúc. Bước 3: Nếu aij = 0 thì sang Bước 4. Nếu aij 6= 0 thì thực hiện các phép BĐSCTD sau: akj dk := dk − di với k > i. aij Sau đó i := i + 1, j := j + 1 và quay về Bước 2. Bước 4: Nếu akj = 0 với mọi k > i thì j := j + 1 và quay về Bước 2. Nếu akj 6= 0 với một k > i nào đó thì chọn một k như vậy và thực hiện phép BĐSCTD: di ↔ dk và quay về Bước 3. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Thuật toán Gauss Tìm một dạng bậc thang của A = (a)ij ∈ Mm×n(R) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 34 / 84
  196. 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Thuật toán Gauss Tìm một dạng bậc thang của A = (a)ij ∈ Mm×n(R) Bước 1: i := 1, j := 1. Bước 2: Nếu i > m hoặc j > n thì kết thúc. Bước 3: Nếu aij = 0 thì sang Bước 4. Nếu aij 6= 0 thì thực hiện các phép BĐSCTD sau: akj dk := dk − di với k > i. aij Sau đó i := i + 1, j := j + 1 và quay về Bước 2. Bước 4: Nếu akj = 0 với mọi k > i thì j := j + 1 và quay về Bước 2. Nếu akj 6= 0 với một k > i nào đó thì chọn một k như vậy và thực hiện phép BĐSCTD: di ↔ dk và quay về Bước 3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 34 / 84
  197. 1 7 1 3 0 d2:=d2−d1 d3:=d3−2d1 0 0 −2 −5 −2 d4:=d4−6d1 0 0 0 1 0 0 0 −3 −5 −3  1 7130  d :=d − 3 d 4 4 2 2  0 0 −2 −5 −2  −−−−−−−−→    0 0010  5 0 00 2 0 Giải.     A −−−−−−−−→     2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ. Tìm một ma trận dạng bậc thang R của ma trận  1 7 1 3 0   1 7 −1 −2 −2  A =   .  2 14 2 7 0  6 42 3 13 −3 Từ đó xác định hạng của A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 35 / 84
  198. d2:=d2−d1 d3:=d3−2d1 0 0 −2 −5 −2 d4:=d4−6d1 0 0 0 1 0 0 0 −3 −5 −3  1 7130  d :=d − 3 d 4 4 2 2  0 0 −2 −5 −2  −−−−−−−−→    0 0010  5 0 00 2 0 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ. Tìm một ma trận dạng bậc thang R của ma trận  1 7 1 3 0   1 7 −1 −2 −2  A =   .  2 14 2 7 0  6 42 3 13 −3 Từ đó xác định hạng của A. Giải.  1 7 1 3 0    A −−−−−−−−→     Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 35 / 84
  199. d3:=d3−2d1 0 0 −2 −5 −2 d4:=d4−6d1 0 0 0 1 0 0 0 −3 −5 −3  1 7130  d :=d − 3 d 4 4 2 2  0 0 −2 −5 −2  −−−−−−−−→    0 0010  5 0 00 2 0 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ. Tìm một ma trận dạng bậc thang R của ma trận  1 7 1 3 0   1 7 −1 −2 −2  A =   .  2 14 2 7 0  6 42 3 13 −3 Từ đó xác định hạng của A. Giải.  1 7 1 3 0  d2:=d2−d1   A −−−−−−−−→     Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 35 / 84
  200. d3:=d3−2d1 d4:=d4−6d1 0 0 0 1 0 0 0 −3 −5 −3  1 7130  d :=d − 3 d 4 4 2 2  0 0 −2 −5 −2  −−−−−−−−→    0 0010  5 0 00 2 0 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ. Tìm một ma trận dạng bậc thang R của ma trận  1 7 1 3 0   1 7 −1 −2 −2  A =   .  2 14 2 7 0  6 42 3 13 −3 Từ đó xác định hạng của A. Giải.  1 7 1 3 0  d2:=d2−d1  0 0 −2 −5 −2  A −−−−−−−−→     Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 35 / 84
  201. d4:=d4−6d1 0 0 0 1 0 0 0 −3 −5 −3  1 7130  d :=d − 3 d 4 4 2 2  0 0 −2 −5 −2  −−−−−−−−→    0 0010  5 0 00 2 0 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ. Tìm một ma trận dạng bậc thang R của ma trận  1 7 1 3 0   1 7 −1 −2 −2  A =   .  2 14 2 7 0  6 42 3 13 −3 Từ đó xác định hạng của A. Giải.  1 7 1 3 0  d2:=d2−d1 d3:=d3−2d1  0 0 −2 −5 −2  A −−−−−−−−→     Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 35 / 84
  202. d4:=d4−6d1 0 0 −3 −5 −3  1 7130  d :=d − 3 d 4 4 2 2  0 0 −2 −5 −2  −−−−−−−−→    0 0010  5 0 00 2 0 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ. Tìm một ma trận dạng bậc thang R của ma trận  1 7 1 3 0   1 7 −1 −2 −2  A =   .  2 14 2 7 0  6 42 3 13 −3 Từ đó xác định hạng của A. Giải.  1 7 1 3 0  d2:=d2−d1 d3:=d3−2d1  0 0 −2 −5 −2  A −−−−−−−−→    0 0 0 1 0  Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 35 / 84