Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Giải phương trình vi phân thường - Nguyễn Quốc Lân

Nội dung text: Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Giải phương trình vi phân thường - Nguyễn Quốc Lân

1. BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK PHƯƠNG PHÁP TÍNH – SV CHƯƠNG 5 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (5/2006)
2. NỘI DUNG A- BÀI TOÁN CÔSI (GIÁ TRỊ ĐẦU) 1 – PHƯƠNG PHÁP EULER 2 – EULER CẢI TIẾN + RUNGE – KUTTA 3 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO B- BÀI TOÁN BIÊN 1- PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
3. BÀI TOÁN CÔSI Tìm hàm y = y(t) thoả phương trình vi phân thường & điều kiện đầu Giải xấp xỉ: Chia [a, b] thành n đoạn bằng nhau, độ dài h = (b – a)/n, (n + 1) điểm chia t0 = a < t1 = a + h < < tn = b y1 = ? y0 = a = t0 t1 t2 b = tn Cần tính gần đúng giá trị wk yk = y(tk), k = 1 n
4. MINH HOẠ Ý TƯỞNG Bài toán Côsi: Với bước chia h = 0.5 & công thức xấp xỉ đạo hàm 2 điểm: hãy tính xấp xỉ nghiệm y tại t = 0.5, t = 1. Từ đó xây dựng đa thức nội suy Lagrange (spline) ygđ và vẽ đồ thị so sánh với nghiệm chính xác g(t) = Điểm chia: Kết quả tìm được:
5. CÁC SƠ ĐỒ GIẢI XẤP XỈ PTRÌNH VPHÂN THƯỜNG Btoán Côsi: Tìm y(t) Sơ đồ Euler (i = 0 n – 1) Chia [a, b] n đoạn S/đ Euler cải tiến (i = 0 n – 1) Tính wi, i = 0 n Sơ đồ Runge – Kutta: w0 = . Giả sử biết wi
6. VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP EULER Bằng p/pháp Euler, giải bài toán Côsi với n = 3 đoạn chia: So sánh nghiệm xấp xỉ với nghiệm g(t) = (t+1)2 – 0.5et. Từ đó tính xấp xỉ tích phân bằng c/t hình thang: Giải: f(t,y) = y – t2 + 1 h = (b–a)/n = 1/3 Sơ đồ Euler:
7. KẾT QUẢ PHƯƠNG PHÁP EULER Bảng kết quả: i ti wi gi = g(ti ) | gi - wi | 0 0 0.5 0.5 0 1 1/3 2 2/3 3 1. Tính gần đúng tích phân với công thức hình thang
8. VÍ DỤ EULER CẢI TIẾN Tính y(1.) của bt Côsi sau bằng SĐ Euler cải tiến với h = 0.5: i ti wi k1 k2 0 0.0 0.5 0.75 1.0 1 0.5 1.375 1.0625 1.21875 2 1.0 2.515625
9. VÍ DỤ RUNGE – KUTTA Tính y(1.) bằng Runge – Kutta với h = 0.5 Runge – Kutta 4: wi wi+1 i ti wi k1 k2 k3 k4 0 0.0 0.5 1 0.5 2 1.0
10. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Bài toán Côsi : Tìm hai hàm u1 = u1(t), u2 = u2(t) thoả Chia [a, b] thành đoạn bằng nhau: Phân hoạch & rời rạc hoá Ký hiệu:
11. MINH HOẠ Ý TƯỞNG Xét bài toán Côsi với hệ phương trình vi phân thường: Với bước chia h = 0.5, tính xấp xỉ nghiệm u1, u2 tại t = 0.5; 1 So sánh giá trị tính được với giá trị nghiệm chính xác: Điểm chia: t u1 u2 0 1 1 0.5 1.0
12. SƠ ĐỒ EULER Bài toán Côsi : Tìm hai hàm u1 = u1(t), u2 = u2(t) thoả S/đồ Euler: VD:
13. ÁP DỤNG : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 Bài toán Côsi cấp 2 (Ph/trình vi phân cấp 2 và đkiện đầu): Đưa về bài toán Côsi cấp 1: Đổi biến u1(t)= y(t), u2(t)=y’(t) Điều kiện đầu: Sơ đồ Euler:
14. VÍ DỤ Với h = 0.1, tính xấp xỉ giá trị y(0.2), y’(0.2) của nghiệm bài toán sau bằng phương pháp Euler: Đổi biến đưa về bài toán Côsi cấp 1: u1 = y(t), u2 = y’(t)
15. BÀI TOÁN BIÊN Bài toán biên cấp 2: Tìm hàm y = y(x) thoả phương trình Hay gặp: Bài toán biên tuyến tính cấp 2
16. MINH HOẠ Tính giá trị nghiệm y của bài toán biên tuyến tính cấp 2 tại các điểm chia cách đều của [0, 1] với bước chia h = 1/3 và xấp xỉ đạo hàm y’, y’’ bằng công thức hướng tâm Điểm chia:
17. PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN BT biên tuyến tính Chia [a, b] thành các đoạn nhỏ bằng nhau. Thay x = xk vào (*). Xấp xỉ y’(xk) , y’’(xk): công thức đạo hàm hướng tâm h a= x0 x1 x2 x3 b= xn+1
18. CÔNG THỨC LẮP GHÉP n mốc xk (a, b) – ứng n giá trị yk chưa biết Ma trận cấp n T Ký hiệu pk = p(xk) yk = y(xk), 1 k n y= [y1, yn] : Ay = b
19. LẬP BẢNG LẮP GHÉP BT biên tuyến tính v Chia [a, b] thành các đoạn nhỏ độ dài h. n điểm chia xk (không kể 2 đầu) – ứng với yk chưa biết n ẩn số yk v Lập bảng cột xk pk = p(xk), qk = q(xk), rk = r(xk) akk (đ/chéo chính), ak,k+1 (chéo trên), ak-1,k (dưới), bk Nghiệm yk v Đ/chéo akk: k = 1 n; ak,k+1: k = 1 (n – 1), ak-1,k: k = 2 n i xk pk qk rk akk ak,k+1 ak-1,k bk yk 1 2 3
20. VÍ DỤ Giải bài toán biên cấp 2 sau bằng phương pháp sai phân hữu hạn với bước chia h = 0.2 h = 0.2 n = 5 6 điểm chia Hệ phương trình 4 ẩn Ma trận cấp 4: Chéo chính akk – 4 phần tử; Chéo trên ak, k+1: 3 i xi pi qi ri aii ai,i+1 ai-1,i bi 1 2 3 4
21. KẾT QUẢ Giải hệ bằng phép khử Gauss (làm tròn 3 chữ số lẻ):