›
›

Bài giảng Phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit - Trần Xuân Bang

pdf 15 trang huongle 3000
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit - Trần Xuân Bang", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_phuong_trinh_he_phuong_trinh_mu_va_logarit_tran_xu.pdf

Nội dung text: Bài giảng Phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit - Trần Xuân Bang

  1. Tr n Xuân Bang - Tr ưng THPT Chuyên Qu ng Bình PH ƯƠ NG TRÌNH, H PH ƯƠ NG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT I. PH ƯƠ NG TRÌNH M Ũ 1. Ph ươ ng trình m ũ c ơ b n. a =1  x∈ D ∩ D fx() gx ()  f g Dng 1. a= a ⇔  a>0, a ≠ 1   fx()= gx () a =1   f( x ) = b D ng 2. af( x ) = b ⇔ a>0, a ≠ 1, b > 0   f( x )= log a b afx()= b gx () D ng 3.  ⇔fx( ) = gx ( )log a b a>0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 2. Ph ươ ng trình m ũ bi n ñi v d ng tích. VD1. Ph ươ ng trình: 12.3xxx+ 3.15 −=⇔+ 5+1 20 (4 5 xx )(3 + 1 −= 5) 0 ( ðHu - D2001) VD2. Ph ươ ng trình: 2xxxx−−−−3232 .3− 2.2 − 3.3 +=⇔ 6 0 (2 x − 3 − 3)(3 x − 2 −= 2) 0 3. Bi n ñi t ươ ng ñươ ng. 2 VD. Gi i ph ươ ng trình 4lg10x− 6 lg x = 2.3 lg100 x (1) 22lgx  2 lg x (1) ⇔ 41+ lgxx−= 6 lg 2.3 2 + 2lg x ⇔ 4.2 2lg xx −= 6 lg 18.3 2lg x ⇔ 4 −  −= 18 0 3  3 2  lg x 9   = 3  4 1 ⇔ ⇔lgx =−⇔= 2 x  lg x 2  100   = − 2 3  4. Các ph ươ ng trình m ũ không m u m c. VD1. Gi i ph ươ ng trình 4x+1+ 2 x + 4 = 2 x + 2 + 16 HD. 4xxx+1+=+⇔+ 2 + 4 2 + 2 16 4.4 xxx 16.2 =+⇔ 4.2 16 4.22 xx + 12.2 −= 16 0 ðt 2x =t > 0 2 2 2 VD2. Gii ph ươ ng trình 4xx−+32+ 4 xx ++ 65 = 4 237 xx ++ + 1 2 2 2 HD. ðt u=4,4xx−+32 v = xx ++ 65⇒ uv = 4 237 xx ++ Pt ñã cho t ươ ng ñươ ng u + v = uv + 1 ⇔ (u - 1)(1 - v) =0 x VD3. Gi i ph ươ ng trình 4.3x− 9.2 x = 5.6 2 Ph ương trình và h ph ươ ng trình m ũ-lôgarit. 6/2009 1
  2. Tr n Xuân Bang - Tr ưng THPT Chuyên Qu ng Bình x x x     x x 2 x x x 3 2 HD. 4.3− 9.2 = 5.6 ⇔ 4.3−= 9.2 5.( 6) ⇔ 4.  − 9   −= 5 0 2   3  x x 3  2 1 ðt t = > 0 ⇒  = 2  3 t VD4. Gi i ph ươ ng trình 4x+ 5 x = 9 x HD. i) x = 1 là nghi m 4x  5 x ii) 459x+=⇔ x x  +  = 1 9  9 4x  4554 x  xx 5 x , > ⇒  +> 1 9  9999  9 4x 4554 x  xx 5 x > 1: <, < ⇒  +< 1 9 9999  9 VD5. Vi giá tr nào c a m thì ph ươ ng trình sau có nghi m, có nghi m duy 1 nh t: =3m − 2 3 x−1  1  1  x nu ≥ nu  x−1 , x 1 3  , x≥ 1 1 3  3  HD. Ta có y = =  =  31−x 1  , n u x≤ 1 1 x nu  1−x .3 , x≤ 1 3 3 V ñ th và d avào ñ th , ta có k t qu : 2 i) Ph ươ ng trình có nghi m khi và ch khi 0 < 3m - 2 ≤ 1 ⇔ <m ≤ 1. 3 ii) Ph ươ ng trình có nghi m duy nh t khi và ch khi 3m - 2 = 1 ⇔ m = 1. * Bài t p luy n t p: 1. Gi i ph ươ ng trình: 22 224466 2xx+4++ 2 + 5 1956 xxxxxx + 1958 + 1979 ++ 1981 1976 + 1982 = 54 2. Gi i ph ươ ng trình: 2 2 2x−1+ 2 x + 1 = 5 3. Gi i ph ươ ng trình: 4.( 5− 1)43x− − 3( 5 + 1) 43 x − = 2 43 x − 4. Gi i ph ươ ng trình: (2+ 2)log2x +−x (2 2) log 2 x =+ 1 x 2 5. Gi i ph ươ ng trình: (2+ 3)3x ++ 2(2 3) 2 x −− 2(2 3) x = 1 6. Gi i ph ươ ng trình: Ph ương trình và h ph ươ ng trình m ũ-lôgarit. 6/2009 2
  3. Tr n Xuân Bang - Tr ưng THPT Chuyên Qu ng Bình (26+ 15 3)x ++ 2(7 4 3) x −− 2(2 3) x = 1 7. Gi i ph ươ ng trình: 64.9x− 84.12 x + 27.16 x = 0 8. Gi i ph ươ ng trình: (c os720 )x+ ( c os36 0 ) x = 3.2 − x 9. Gi i ph ươ ng trình: 2 2 4xx−−5− 12.2 xx −−− 1 5 + 80 = 10. Gi i ph ươ ng trình: 2 2 2 4xx++ 21 − x = 2 ( x + 1) + 1 11. Gi i ph ươ ng trình: 3.25x−2+ (3x − 10)5 x − 2 +−= 3 x 0 x x 735+  735 −  12. Choph−¬ngtr×nh: +a  = 8 2  2  1. Gi¶iph−¬ngtr×nhvíia=7. 2. BiÖnluËntheoasènghiÖmcñaph−¬ngtr×nh. 13. Gi i ph ươ ng trình: 1956x+ 1958 x + 1979 x + 1981 x + 2001 x = 5 . 14. Gi i ph ươ ng trình: 2 2 4sin x+ 2. cos x = 2 + 2 2 15. Gi i ph ươ ng trình: xx = x II. PH ƯƠ NG TRÌNH LÔGARIT 1. Các bi n ñi logarit (trong R ). y • ðnh ngh ĩa: loga x= y ⇔ x = a ;∀>x0,( a > 0, a ≠ 1) • S 0 và s âm không có logarit. • loga 1= 0 ,(a> 0, a ≠ 1) • ðnh ngh ĩa: logaa = 1 ,(a> 0, a ≠ 1) x • Lôgarit hoá: x= loga a , ∀x, ( a > 0, a ≠ 1) log x • M ũ hoá: xa=a ; ∀> x 0,( a > 0, a ≠ 1) • loga xy= loga x +log a y ,xy ≠ 0 , (a> 0, a ≠ 1) x • loga = loga x − log a y ,xy ≠ 0 , (a> 0, a ≠ 1) y α • logax=α log a xxaa , ∀≠ 0,( >≠ 0, 1) Ph ương trình và h ph ươ ng trình m ũ-lôgarit. 6/2009 3
  4. Tr n Xuân Bang - Tr ưng THPT Chuyên Qu ng Bình 1 loga=− log a xx , ∀≠ 0,( a > 0, a ≠ 1) x 1 n logax= log a xx , ∀≠ 0,( aa >≠ 0, 1) n 1 logα x= log xx , ∀≠≠ 0,α 0,( aa >≠ 0, 1) • a α a log1 x=− loga xx , ∀≠ 0,( aa > 0, ≠ 1) a log1 x=− loga xx , ∀≠ 0,( aa > 0, ≠ 1) a 1 loga=− log a xx , ∀≠ 0,( a > 0, a ≠ 1) x xn= xx ∀≠ a >≠ a logn a loga , 0,( 0, 1) α log xα = logxx , ∀≠≠ 0, β 0,( aa >≠ 0, 1) • aβ β a logy log x • xa = ya ,∀>x 0, y > 0, xy ≠ 1, ≠ 1,( aa > 0, ≠ 1) • ði c ơ s : logax = log a b.log b xxaabb ,∀≠ 0,( > 0, ≠ 1, > 0, ≠ 1) loga b.log b a= 1,( a > 0, ab ≠> 1, 0, b ≠ 1) log a .loga log a .log a .= 1,( aain > 0, ≠= 1, 1, ) a21 a3 2 a n - 1n a1 n i i • Xuân Bang: loga x log b y= log b x log a y , ∀≠>≠>≠xy 0,( a 0, a 1, b 0, b 1) • Chú ý các bi n hoá m ũ và logarit: VD: n m n m log m x log a x m ()n aa = an = alog a x = xxaamn, ≠>≠∈ 0,( 0, 1; ,N∗ \{1}) 2. Ph ươ ng trình logarit (trong R ). 2.1. D ng c ơ b n. a>0, a ≠ 1  D ng 1. logafx ( )= log a gx ( ) ⇔ fxgx ( ) = ( )   f() x> 0 ( hay g() x > 0) Ph ương trình và h ph ươ ng trình m ũ-lôgarit. 6/2009 4
  5. Tr n Xuân Bang - Tr ưng THPT Chuyên Qu ng Bình VD. Gi i ph ươ ng trình log4x+ log 1 ( x − 2) = 0 2 1 HD. log4x+ log 1 ( x − 2) = 0 ⇔ log22xx− log ( −=⇔ 2) 0 log 22 xx = log ( − 2) 2 2 xx=−2  xx −+= 20  x =−∨= 12 x ⇔ ⇔  ⇔  ⇔=x 4 x−>20  x > 2  x −> 20 a>0, a ≠ 1 D ng 2. loga f ( x ) = b ⇔   f( x ) = a b x+ x + = VD. Gi i ph ươ ng trình log3 log3 ( 2) 2 x+ x + = HD. log3 log3 ( 2) 2 2 2 ⇔log33xx + 2log( +=⇔ 2) 2 log 33 xx + log( +=⇔ 2) 2 log 3 xx ( += 2) 2 2 ⇔ x(x + 2) = 9 ab,> 0; ab , ≠ 1; ab ≠ Dng 3. logafxfx ( )=⇔ log b ( ) ⇔= fx ( ) 1 logafx ( )= log b a log a fx ( ) VD. Gi i ph ươ ng trình log2 (sinx )= log 3 ( sinx ) HD. log2 (sinx )= log 3 ( sinx ) ⇔log2 (sinx ) = log 32 2log ( sinx ) ⇔ log 23 ( sinx ).(log 2 −=⇔ 1) 0 log 2 ( sinx ) =⇔= 0 sin x 1 Dng 4. logafx ( )= log b gx ( ) ab,> 0; ab , ≠ 1; ab ≠  f( x ) ðt logafx ( )= log b gx ( ) = t ⇔a = t : Kh x trong h , gi i  ag( x ) = t ph ươ ng trình n t. VD1. Gi i ph ươ ng trình log2 (sinx )= log 3 (cos x ) HD. log2 (sinx )= log 3 (cos x ) = t . Ta có h : sinx = 2 t sin2 x = 4 t  ⇔  ⇔4t + 9 t = 1 : Vô nghi m cosx = 3 t cos2 x = 9 t VD2. Gi i ph ươ ng trình 2log3 (cotx )= log 2 (cos x ) HD. §Æt 2log3 cotx= log 2 cosx =ttacã: cos2x= 4t  cos 2 x = 4 t  cos 2 x = 4 t cosx = 2 t     2 t t 2 tcosx t 2 4  4 t cot3x = ⇔ 2 = 3 ⇔=  sinx t ⇔+=  t 41  sinx  3  3 cosx> 0,cot x > 0    cosxx>> 0,sin 0  cos xx >> 0,sin 0  cos xx >> 0,sin 0 Ph ương trình và h ph ươ ng trình m ũ-lôgarit. 6/2009 5
  6. Tr n Xuân Bang - Tr ưng THPT Chuyên Qu ng Bình 2 t cosx = 4  1  cos x = π ⇔=−t1 ⇔  2 ⇔=+ x k 2 π   3 cosx> 0,sin x > 0 sinx > 0 2.2. Bi n ñi t ươ ng ñươ ng. VD1. Gi i ph ươ ng trình log5 x + log 3 x = log 59 3log 225 HD. log5 x + log 3 x = log 59 3log 225 ⇔+=lgoxoxo535 lg lg15 ⇔ lg3.lg o 533 oxox +=+⇔+ lg 1lg3 o 5 (1lg3)lg o 53 ox =+ 1lg3 o 5 ⇔log3 x =⇔= 1 x 3 VD2. Gi i ph ươ ng trình lg2lg4o2+ o 2 x = 3 x HD. x>≠0, x 2  x >≠ 0, x 2   lg2lg4o+ o x = 3 ⇔1 ⇔  1 2 2 ++=2lg3ox += lg1 ox x 2  2 1lg−ox2  1lg − ox2 x >0, x ≠ 2 x >0, x ≠ 2 ⇔ ⇔ ⇔==x x 2  1, 4 lo g2 x− 2l o g 2 x = 0 lgox2= 0lg ∨ ox 2 = 2 2.3. Bi n ñi v tích. VD1. Gi i ph ươ ng trình x2(lg( x−− 1) xx lg − lg xx 2 ++= 2 0 HD. ðK x > 0 Ptrình ⇔ x2 (lgx−− 1) xxxx lg − 2lg ++=⇔ 2 0 x2 (lgx −− 1) xx (lg −− 1) 2(lg x −= 1) 0 ⇔(x2 - x - 2)(lgx − 1) = 0 2 2 VD2. Gi i ph ươ ng trình log37x+ (9+++ 12xx 4 ) log 23 x + (21 ++= 23 xx 6 ) 4 HD. 2 Ptrình ⇔ log37x+ (2x++ 3) log 23 x + (2 x + 3)(3 x += 7) 4 2x+> 3 0,2 x +≠ 3 1 ðK:  3x+> 7 0,3 x +≠ 7 1 Ph ươ ng trình ñã cho t ươ ng ñươ ng v i: 2log37x+ (2x+++ 3) 1 log 23 x + (3 x +=⇔ 7) 4 2log 37 xx ++ (2 xx ++ 3) log 23 (3 += 7) 3  1  1 2t + = 3 2t2 − 3 t + 10 =  t=1, t = ⇔t ⇔  ⇔  2  t=log3x+ 7 (2 x + 3)  t=log3x+ 7 (2 x + 3) t=log3x+ 7 (2 x + 3) log3x+ 7 (2x + 3) = 1  2x+ 33 = x + 7 x=−4  x =− 4 ⇔1 ⇔ ⇔ ⇔  log (2x+ 3) = 2x+ 3 = 3 x + 7 4 xxxxx2 + 12937 +=+  42 ++= 9 20  3x+ 7 2 Ph ương trình và h ph ươ ng trình m ũ-lôgarit. 6/2009 6
  7. Tr n Xuân Bang - Tr ưng THPT Chuyên Qu ng Bình x = − 4  1 ⇔ 1 ⇒ x = − x=−2, x =− 4  4 2.4. Gi i ph ươ ng trình trên t ng t p con c a t p xác ñnh. 1 VD. Gi i ph ươ ng trình log 3− 1 − 2 x + x 2 = x+3 ( ) 2 1 1 3−− 1x = x + 3 − −x + x 2 = ⇔ − − = ⇔ HD. logx+3 ( 3 1 2 ) logx+3 () 3 1 x  2 2 x+>3 0, x +≠ 3 1 i) - 3 0. 1  log (xx2 ++− 1) log xxx = 2 − 2 ⇔ log 1++x  =−− (1 x )2 + 1 3 3 3 x  1 1 1  x+ ≥ 2⇒ 1+ x + ≥ 3⇒ log 1+ x +  ≥ 1 x x3  x  Mt khác −−(1x )2 +≤ 1 1  1  log 1+x +  = 1 Ph ươ ng trình t ươ ng ñươ ng  3 x  ⇔x = 1  −−(1x )2 += 1 1 VD2. Gi i ph ươ ng trình lg(xx2 −−+= 6) x lg( x ++ 2) 4 . x2 − x −6 > 0 (x+ 2)( x − 3) > 0 HD. ðK ⇔  ⇔−>⇔>x3 0 x 3 x +2 > 0 x +2 > 0 Ph ươ ng trình t ươ ng ñươ ng v i: lg(x− 3) = 4 − x Ph ương trình và h ph ươ ng trình m ũ-lôgarit. 6/2009 7
  8. Tr n Xuân Bang - Tr ưng THPT Chuyên Qu ng Bình * x = 4 là nghi m * x > 4: lg(x− 3) > 0,4 − x 0 ) Có th nói, trên (3; + ∞ ): y = lg(x − 3) - 1 Do x > - 1 nên x + 2 ≠ 0. 2 ðt log3 ( x+ 1) = t , ph ươ ng trình tr thành: (x+ 2) t + 4( xt +−= 1) 16 0 ∆ = 4(x + 1) 2 + 16(x + 2) = (2x + 6) 2 t = − 4log3 (x + 1) = − 4  80 −2(x +± 1) (2 x + 6)   x = − t = ⇒4 ⇒4 ⇒ 81 x + 2 t = log (x + 1) =   x + 2  3 x + 2 x = 2 (Xem ph ươ ng trình không log 6 x mu m c) VD4. Gi i ph ươ ng trình lg(ox2+ 3 )lg = ox 6 t HD. ðt lo g6 xt= ⇔ x = 6 3  t Ph ươ ng trình ñã cho t ươ ng ñươ ng lg(63)ott+ =⇔+=⇔+ t 632 ttt 3 t   = 1 2 2  t = - 1 là nghi m(xem ph ươ ng trình không m u m c) 2 ()x−2 VD5. Gi i ph ươ ng trình 2.2= log2 (2x ) HD. ðK: x ≥ 2 2 x−1  x − 1 ()x−2 2= log2 (2x ) 2 − log 2 (2 x ) = 0 (*) 2.2= log2 (2x ) ⇔ ⇔  x≥2  x ≥ 2 x−1 ðt f(x) = 2− log2 (2x ), x ≥ 2 1 Suy ra f '(x) = 2x−1 ln 2− ,x ≥ 2 x ln 2 1 f "(x) = 2x−1 ln 2 2+ >∀≥ 0,x 2 . x2 ln 2 ⇒ Trên (0; + ∞ ) ñ th f(x) lõm và f(1) = 0, f(2) = 0 ⇒ (0; + ∞ ) ph ươ ng trình f(x) = 0 có ñúng hai nghi m. V y ph ươ ng trình (*) có ñúng m t nghi m x = 2 tho ñk x ≥ 2 . Luy n t p: log10x logx log100 x2 1. Gi i ph ươ ng trình 4 -6= 2.3 2. Gi i ph ươ ng trình ln(sin2x )− 1 + sin 3 x = 0 3. Tìm m ñ ph ươ ng trình sau có nghi m duy nh t: x−++ m mx − x 2 log227+ ( 1) log 227 − ( ) Ph ương trình và h ph ươ ng trình m ũ-lôgarit. 6/2009 8
  9. Tr n Xuân Bang - Tr ưng THPT Chuyên Qu ng Bình 4. Tìm t t c các giá tr m ñ t ng bình ph ươ ng các nghi m c a ph ươ ng trình sau l n hơn 1: 2 22 2 2log(24 xxmm−+− 2 4 )log( +1 xmxm +− 2 )0 = 2 5. Gi i và bi n lu n ph ươ ng trình sau theo tham s a: 2logx− log( x − 1) = log a 6. Gi i ph ươ ng trình log7x= log 3 ( x + 2) log2x log 2 x 7. Gi i ph ươ ng trình: (22+) +−x( 22) =+ 1 x 2 8. Tìm t t c các giá tr k ñ ph ươ ng trình sau có 4 nghi m phân bi t, có 3 2 −x − k xx2−++−x + 2 x xk −+= nghi m phân bi t: 4 log2 ( 2 3) 2 log1 (2 2) 0 2 2 2 9. Gi i ph ươ ng trình: 2logx− 3 log x+ 1 + 3 log x = 0 10. x+1 x Gi i ph ươ ng trình: (x1)log 53+log 5(3 +3)=log 5(11.3 9) 2 13. Gi i ph ươ ng trình: 4log 2 2x − xlog 2 6 = 3.2 log 2 4x 14. Gi i ph ươ ng trình: 4log9 x− 6.2 log 9 x + 2 log 3 27 = 0 2− 2 − + 15. Gi i ph ươ ng trình: 22log3 ( x 16)+ 2 log 3 ( x 16)1 = 24 ði h c, cao ñng 2002 - 2008: 16. 16logx− 3log x 2 = 0 Gi i ph ươ ng trình: 27 x3 3x 1 1 17. Gi i ph ươ ng trình: log (x++ 3) log ( x −= 1)8 log (4 x ) 22 4 4 2 18. x Gi i ph ươ ng trình: log5 ( 5− 4) = 1 − x 19. 2 Tìm m ñ ph ươ ng trình 4( log2x) − log 1 x + m = 0 có nghi m thu c 2 kho ng (0; 1) 3x3 1 20. Gi i ph ươ ng trình: log− log = + log x 3x 33 2 2 21. Cho ph ươ ng trình: log2x+ log 2 x +− 1 2 m −= 1 0 . 3 3 1) Gi i ph ươ ng trình khi m = 2 3  2) Tìm m ñ ph ươ ng trình có ít nh t m t nghi m thu c 1;3  1 1 22. Gi i ph ươ ng trình: log4 (x−+ 1) =+ log 2 x + 2 log2x+ 1 4 2 23. − 2 + − = Gi i ph ươ ng trình: log3 (x 1) log 3 (2x 1) 2 24. 4 Gi i ph ươ ng trình: ()2 − log3 x log9x 3 − = 1 1− log3 x Ph ương trình và h ph ươ ng trình m ũ-lôgarit. 6/2009 9
  10. Tr n Xuân Bang - Tr ưng THPT Chuyên Qu ng Bình 25. 4 Gi i ph ươ ng trình: ()2 − log3 x log9x 3 − = 1 1− log3 x 26. + = Gi i ph ươ ng trình: logx 2 2log2 x 4 log2x 8 27. x+− −− x x −=3 Gi i ph ươ ng trình: log2 1 log1()() 3 log 8 1 0 2 28. x x +1 Gi i ph ươ ng trình: log3( 3− 1log) 3 ( 3 − 3) = 6 1 29. Gi i ph ươ ng trình: 2() logx+ 1 log x + log = 0 2 4 2 4 30. 2 Gi i ph ươ ng trình: log2 (x++ 1) 6log 2 x ++= 1 2 0 1 31. Gi i ph ươ ng trình: log (4x+++ 15.2 x 27) 2log = 0 2 2 4.2x − 3 32. Gi i ph ươ ng trình: x++ x xx2 −+=x ++ x xx2 −+ log2 (4 15.2 28)log 3 ( 3 3) log 1 (4 15.2 28)log2 ( 3 3) 3 III. H PH ƯƠ NG TRÌNH M Ũ VÀ LOGARIT Ph ươ ng pháp gi i 1. Bi n ñi v tích. 2. Gi i h trên t ng t p con c a t p xác ñnh. 3. Bi n ñi t ươ ng ñươ ng. 4. S d ng các ph ươ ng pháp gi i ph ươ ng trình không m u m c. • ðt n ph . • ði l p. • PP hàm s d ñoán và ch ng minh không còn nghi m. • Kh o sát hàm s . • Dùng d u hi u c n và ñ. • Dùng min max. • PP to ñ và PP hình h c ex−= e y (log y − log x) ( xy + 1) VD1. Gi i h ph ươ ng trình  2 2 x2+ y 2 = 1 HD. ðK: x > 0, y > 0. Ta có t ñiu ki n : xy + 1 > 0 xy⇒ xy Nu x > y > 0 thì ee>,log22 x > log yee−> 0,log 22 y − log x e0,( log2 y − log 2 x) ( xy + 1) 0 . 1 Suy ra x = y = ± . 2 Ph ương trình và h ph ươ ng trình m ũ-lôgarit. 6/2009 10
  11. Tr n Xuân Bang - Tr ưng THPT Chuyên Qu ng Bình log (xy2+− 2 ) log 2 x += 1 log ( xy + 3 )  4 4 4 VD2. Gi i h ph ươ ng trình  2 x log4 (xy+− 1) log 4 (4 y +−+= 2 y 2 x 4) log4 − 1  y HD. ðKi n: x >, y > 0, 4y 2 + 2y - 2x + 4 > 0. H ph ươ ng trình ñã cho t ươ ng ñươ ng: log 4(xy2+ 2 ) = log 2 xxy ( + 3 )  4 4  x 2 log4 4(xy+= 1) log 4 (4 y +−+ 2 y 2 x 4)  y 4(x2+ y 2 )2( = xx + 3) y  x2−3 xy + 2 y 2 = 0 (x− yx )( − 2 y ) = 0 ⇔x 2 ⇔  ⇔  4(xy+= 1) (4 y +−+ 2 y 2 x 4) xy− x2 +2 x − 2 y = 0 xy− x2 +2 x − 2 y = 0  y x− y = 0  x− y = 0 x− y = 0 x= y   (x− yx )( − 2 y ) = 0 2−x = 0 xy= =2  xy = ⇔  ⇔ ⇔ ⇔    (x− y )(2 − x ) = 0 x−2 y = 0 xy==0 xy == 2, 1   x− y = 0 x=2, y = 1  x−2 y = 0  2−x = 0  x y e = 2007 −  y2 −1 VD3 . B2007-TK2. Ch ng minh r ng h  có ñúng 2  y x e = 2007 −  2  x −1 nghi m th a mãn ñiu ki n x > 0, y > 0. t− 1 HD. ðt: f(t) = e t, gt() = ;g(t)/ = 0,t1 2 3 − 2 t 1 (t− 1) 2 Ta có f t ăng trên và g gi m trên t ng kho ng Xác ñnh. f(x)+ g(y) = 2007 H ph ươ ng trình (1) ⇔  f()()y + g x = 2007 ⇒ f(x) + g(y) = f(y) + g(x) ( ∗) Nu x > y ⇒ f(x) > f(y) ⇒ g(y) x ( do g gi m ) ⇒ vô lý. Tươ ng t khi y > x c ũng d n ñn vô lý. Ph ương trình và h ph ươ ng trình m ũ-lôgarit. 6/2009 11
  12. Tr n Xuân Bang - Tr ưng THPT Chuyên Qu ng Bình  x ex + − 2007 = 0 Do ñó, (1) ⇔ (2)  x2 − 1 x= y x Xét: h()x = ex + − 2007 ( |x| > 1 ) x2 −1 Nu x 1 'h ()x = e − 3 = e − ()x −1 ()x2 −1 2 5 3− 3x h''xe() =+x() x1.2xe 2 −2 =+ x > 0 2 5 ()x2 − 1 2 và lim h(x) = +∞ , lim h( x ) = +∞ x→1+ x→+∞ Vy h(x) liên t c và có ñ th là ñưng cong lõm trên (1, + ∞) Do ñó ñ ch ng minh (2) có 2 nghi m d ươ ng ta ch c n ch ng minh t n ti x 0 > 1 mà h(x 0) 1, x 2 > 1 VD4. D2006. Ch ng minh r ng v i a > 0, h ph ươ ng trình sau có nghi m duy nh t. ex - ey = ln(1 + x) - ln(1 + y)   y - x = a y = x + a HD. H ñã cho ⇔   ex + a - ex + ln(1 + x) - ln(1 + a + x) = 0 ðt f(x) = ex + a - ex + ln(1 + x) - ln(1 + a + x ) , x > - 1. limfx ()=−∞ ,lim fx () =+∞ , f '(x) > 0, ∀x > − 1. Suy ra h có nghi m duy x→− 1+ x→+∞ nh t. VD5 . D2006-TK2. Gi¶ihÖph−¬ngtr×nh: ln(1 + x) - ln(1 + y) = x - y  (x, y ∈ R ) x2 - 12xy + 20y 2 = 0 ln(1+x) - x= ln(1+y) − y  HD. H ñã cho t ươ ng ñươ ng x>− 1, y >− 1  x=10 yx ∨ = 2 y Ph ương trình và h ph ươ ng trình m ũ-lôgarit. 6/2009 12
  13. Tr n Xuân Bang - Tr ưng THPT Chuyên Qu ng Bình VD6 . B2005. Gi¶ihÖph−¬ngtr×nh:  x - 1 + 2 - y = 1  (x, y ∈ R ) 2 3 3log9 (9x ) - log 3 y = 3 x - 1 + 2 - y = 1  x - 1 + 2 - y = 1   HD. H ñã cho t ươ ng ñươ ng 3log3 (3x) - 3log 3 y = 3 ⇔  x = y   x > 0, y > 0  x > 0, y > 0 VD7. TKA2007. Gi i h ph ươ ng trình  x+ x2 −+= 2x23 y− 1 + 1  (I) 2 x− 1 y+ y −+= 2y23 + 1 HD. ðt u = x − 1, v = y − 1  u+ u2 + 13 = v (I) thành (II)  v+ v2 + 13 = u Xét hàm f(x) =x + x2 + 1 x x1x2 + + x+ x f ´(x) =+1 = > ≥ 0 x12+ x1 2 + x1 2 + Vy f ñ ng bi n trên R. N u u > v ⇒ f(u) > f(v) ⇒ 3v> 3 u ⇒ v > u ( vô lý ) T ươ ng t n u v > u c ũng d n ñ n vô lý   u++= u2 13 u  13(u = u2 +− 1u)(1) Do ñó h (II) ⇔ ⇔  uv=  uv = ðt: g(u) =3(uu 2 + 1 − u) u  ⇒ u 2 u   g'(u)= 3ln3(u +−+ 1 u)3 − 1  u2 + 1    u 2  1  'g ()u = 3 ( u +1 − u)ln3 −  > ,0 ∀u∈ R  u2 + 1  Vy g(u) ñ ng bi n trên R. Ta có g(0) = 1. V y u = 0 là nghi m duy nh t c a (1) Nên (II) ⇔ u = 0 = v Vy (I) ⇔ x = y = 1. * Bài t p luy n t p. Ph ương trình và h ph ươ ng trình m ũ-lôgarit. 6/2009 13
  14. Tr n Xuân Bang - Tr ưng THPT Chuyên Qu ng Bình 3lgx= 4 lg y 1. Gi i h ph ươ ng trình:  ( ðHNN HN -A98) (4x )lg4= (3 y ) lg3 + − + 231x+ 2 y 2 = 3.2 yx 3 2. Gi i h ph ươ ng trình:  ( ðHSP2HN-A98)  3x2 ++ 1 xy = x + 1 x  5(y− )  y+4 x 3 3. Gi i h ph ươ ng trình: x= y (ðHKTQD-A99) x3= y − 1 ex−= e y (log y − log x) (2 + xy ) 4. Gi i h ph ươ ng trình:  2 2 ( ðHNTD99) x3+ y 3 = 16 9x2− y 2 = 3 5. Gi i h ph ươ ng trình :  log3 (3xy+− ) log 3 (3 xy −= ) 1 log (3x+ ky ) = 2 6. Gi i và bi n lu n theo k h ph ươ ng trình:  x logy (3y+ kx ) = 2 logx (xc osαα+ y sin ) + log y ( yc os αα + xsin ) = 4 7. Cho h ph ươ ng trình:  logx (xc osαα+ y sin ).log y ( yc os α + xsin α ) = 4 π a) Gi i h v i α = . 4 π b) Cho 0 0, b > 0. 1 2  log3x− log 3 y = 0 9. Cho h ph ươ ng trình: 2  3 2  x+ y − ay = 0 a) Gi i h v i a = 2. b) Tìm t t c các giá tr a ñ h có nghi m xlog8y+ y log 8 x = 4 10. Gi i h ph ươ ng trình:  ( ðHTCKT-A2000) log4x− log 4 y = 1 x+ y + a = 1 11. Gi i h ph ươ ng trình:  2 (ðHM-ðC-A2000) 2a .4 x+ y − xy = 2 Ph ương trình và h ph ươ ng trình m ũ-lôgarit. 6/2009 14
  15. Tr n Xuân Bang - Tr ưng THPT Chuyên Qu ng Bình  3x xlog2 3+ log 2 y = y + log 2  2 12. Gi i h ph ươ ng trình:  ( ðHTL-A2000) 2y xlog 12+ log x = y + log  3 3 3 3 13. X¸c®Þnhgi¸trÞcñathamsèa®ÓPTsau cónghiÖm(x.y) vi m igi¸trÞ (a − )1 x5 + y5 = 1 cñathamsèb:  (ðHD ưc-A2001) ebx + (a + )1 by 4 = a2 log x 14. 1) Gi i ph ươ ng trình : x6 (3 ) −365 x 7 = 0 4 (x4 + y). 3y − x =1 2)Gi¶ihÖph ươ ng trình :  4 (ðH M -ðC-A2001)  (8 x4 + y) − 6x − y = 0 32x−2 y + 3.2 x− y − 3 = 0 15. Gi¶ihÖ:  3x + 31− y = 4  1 ax+ a y = , a > 0. 16. Cho h ph ươ ng trình  2  2 x+ y = b −+ b 1. a) Gi i h khi b = 1. b) Tìm a ñ h có nghi m v i m i b ∈[0; 1] Ph ương trình và h ph ươ ng trình m ũ-lôgarit. 6/2009 15