Bài giảng Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

Nội dung text: Bài giảng Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

1. Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Định nghĩa: PT vp tuyến tính cấp n hệ số hằng là ptvp có dạng (nn ) (− 1) ann y+ a−1 y + + a 1 y + a 0 y = 0 (1) (nn ) (− 1) ann y+ a−1 y + + a 1 y + a 0 y = f( x) (2) Trong đó a1,a2 , , an là các hằng số thực PT (1) gọi là pt thuần nhất PT (2) gọi là pt không thuần nhất
2. Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Hệ hàm độc lập tuyến tính trên (a,b) Hệ {y1(x), y2(x), , yn(x)} được gọi là độc lập tuyến tính trong (a,b) nếu từ đẳng thức λ1y1(x)+λ2y2(x)+ +λnyn(x)=0 Ta suy ra λ1= λ2 = = λn=0 Định thức Wronski của các hàm y1(x), y2(x), , yn(x) có đạo hàm đến cấp (n-1) trong (a,b) là y12 y yn y y y W( y , y , , y ) = 12 n 12 n :::: (n− 1) ( n − 1) ( n − 1) y12 y yn
3. Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Định lý: Cho các hàm y1(x), y2(x), , yn(x) có đạo hàm đến cấp (n-1) trong (a,b). Nếu W( y12 , y , , yn ) 0 thì hệ trên đltt trong (a,b) x x Ví dụ: 2 hàm y1(x) = e , y2(x) = xe đltt với mọi x Ta đi tính định thức Wronski của 2 hàm đã cho exx xe W(,) y y = =e22xx(1 + x ) − xe 12 exx e(1+ x ) = e2x x
4. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng thuần nhất y + a10 y + a y = 0 (1.1) Cấu trúc nghiệm: Nếu y1(x), y2(x) là 2 nghiệm riêng đltt của thì NTQ của pt (1.1) là ytn=C1y1(x)+C2y2(x) Ta đi tìm nghiệm của (1) ở dạng ye= kx 2 kx kx kx Thay vào (1) : k e+ a12 ke + a e = 0 2 k+= a12 k+ a 0 (3) Vậy hàm ye= kx là nghiệm của pt (1) khi và chỉ khi k là nghiệm của pt (3) Ta gọi pt (3) là pt đặc trưng của pt (1)
5. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng thuần nhất Pt thuần nhất : y + a12 y + a y = 0 2 (3) Pt đặc trưng : k+ a12 k + a = 0 TH 1: (3) có 2 nghiệm thực k12 x k x k1 k2 : y1 == e, y2 e đltt TH 2: (3) có 1 nghiệm thực kx kx k ==k1 k2: ye12==,y xe đltt TH 3: (3) có cặp nghiệm phức liên hợp xx ki=  : y11= ecos x , y= e s in xđltt NTQ của pt thuần nhất là y=+ C1 y 1 C 2 y 2
6. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng thuần nhất Ví dụ: Tìm NTQ của các pt 1.y − 5 y + 6 y = 0 2.y + 4 y + 4 y = 0 3.yy += 0 2 k1 = 2 23xx 1.kk− 5 + 6 = 0 y=+ C12 e C e k2 = 3 2 2.kk+ 4 + 4 = 0 kk12 = = −2 −−22xx y=+ C12 e C xe 2 3.k += 1 0 ki1,2 =0 y= C12cos x+ C sin x
7. Phương trình tt cấp cao hệ số hằng thuần nhất Tương tự cho các pt tuyến tính cấp cao hệ số hằng thuần nhất. Ta sẽ làm với ví dụ sau Ví dụ: Tìm NTQ của các pt 1.y + 5 y + 4 y = 0 04x−− x x y=+ C1 e C 2 e+ C 3 e 2.y + 3 y + 3 y + y = 0 −x − x2 − x ()y= C1 e + C 2 xe + C 3 x e 3.yy −= 8 0 2x−− x x (y= C1 e + C 2 ecos 3 x + C 3 e sin 3 x) 4.yy(4) += 0 22− xx 222 2 2 2 ()yeC= 1cos xC + 2 sin xeC + 3 cos xC + 4 sin x 2 2 2 2
8. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất y + a10 y + a y = f( x ) (2.1 ) Cấu trúc nghiệm của pt không thuần nhất Ta gọi ytn là nghiệm tổng quát của pt thuần nhất (1.1) và yr là 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất (1.2) Thì NTQ của pt không thuần nhất (2.1) là ytq=ytn+yr NTQ của pt thuần nhất (1.1) là ytn ta đã tìm ở trên Ta chỉ cần tìm 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất là yr
9. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Trường hợp đặc biệt : f(x) có thể viết dưới dạng x f( x )=+ e( Pnm ( x )cos x Q ( x )sin x) Ta sẽ viết yr dưới dạng sau h x yr =+ x e( Ts ( x )cos x Rs ( x )sin x) Trong đó : s= max{ m,} n ,  i là nghiệm bội h của pt đặc trưng Sau đó, ta sẽ tính các đh cấp 1, cấp 2 của hàm yr rồi thay vào pt ban đầu để tìm các đa thức Ts(x) và Rs(x)
10. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Ví dụ: Gpt y −56 y + y = xe2x PT đặc trưng: kk2 −5 + 6 = 0 k = 2,3 2xx3 NTQ của pt thuần nhất: ytn =+ C1 e C2 e Hàm vế phải có dạng đặc biệt : f()(. x= xe2x = e2x x 1cos0 x + x 0 .sin 0 x) So với dạng chính tắc: x f( x )=+ e( Pnm ( x )cos x Q ( x )sin x) Ta được: =2, = 0,nm = 1, = 0  =i 2 Là nghiệm đơn (bội 1) của ptđt, h=1 s==max( m , n ) 1
11. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất 2x 2xx3 1.y −56 y + y = xe ytn =+ C1 e C2 e h x yr =+ x e( Tss( x )cos x R ( x )sin x) =x1 e 2x (( ax 1 + b )cos0 x +( cx 1 + d )sin0 x) =+e2x () ax 2 bx 1 Ta tính đh cấp 1, cấp 2 của yr và thay vào pt đã cho 2x 2 1 yr = ea(2x+ 2 bx + 2 ax + b ) 22x yr = e(4 ax+ (4 b + 4 a ) x + 4 ax + 2 a + 2 b ) Ta được: (()()(.)−2ab+ 4x+2ab− 30) e22xx = 1 x + e Đồng nhất hệ số 2 vế: a=3/2, b=1 3 Vậy NTQ: y =+yy=C e2x + C e 3 x + e 2 x () x 2 + x tq tnr12 2
12. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Ví dụ: Tìm dạng nghiệm riêng của các pt 1.y − 5 y + 6 y = xe2x 2.y − 2 y + y = 2 ex 3.y − 5 y + 4 y = sin x − cos x PT k1,k2  i h n, m S Yr 1 2x 1 2, 3 2 1 1, 0 1 yr = x e ((axb+ )cos0x) 2 1x 2 1, 1 1 2 0, 0 0 yr = x e(()a cos0 x) 0 0x 3 1, 4 i 0 0, 0 0 yr =+ x e((a )cos11 x (b )sin x)
13. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Nếu f(x) có thể tách được thành tổng 2 hàm f1(x) và f2(x) có dạng đặc biệt Ta sử dụng nguyên lý chồng nghiệm như sau: Nếu y1, y2 là nghiệm riêng của pt sau y + a11 y + a2 y= f( x), y + a1 y += a 2 f 2() x Thì y1+y2 là nghiệm riêng của pt y + a1 y + a 2 y = f 1()() x + f 2 x
14. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Ví dụ: Gpt y −3 y + 2 y = 3 x + 5sin 2 x xx2 ytn =+ C12 e C e f (x) =3xf +5sin2x =1 (x ) + f2 (x ) yr1 =+a x b, yr2 =+ ccos2 x d sin2x yrr 11== a,0 y yrr 22= −2 c sin2 x + 2 d cos2 x , y = − 4 c cos2 x − 4 d sin2 x Thay yr1, yr2 vào 2 pt tương ứng, ta được: ab= 3 , = 0,cd= 3 , = −1 2 4 4 xx2 3 3 1 Vậy NTQ là y= C e + C e + x +cos2 x − sin 2 x tq 122 4 4
15. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Trường hợp hàm f(x) không thể viết như trên Ta sẽ dùng phương pháp biến thiên hằng số bằng cách khi NTQ của pt thuần nhất (1.1) là ytn =+C12 y12()() x C yx tìm NTQ của pt không thuần nhất (2) ở dạng ytq =+Cx1() y1()( x Cx2()yx2 ) (*) Từ (*) : ytq = C12()()() xy1()()() x+ C12 x) y 1 x + C( xyx 2 + C x yx2 ( ) Để việc tính toán đơn giản hơn, ta thêm điều kiện C12()) xy1() x+ C (x y2() x = 0 (a)
16. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Khi đó: ytq = CC1()(xxyx1 (()) + 2 )y2 x Ta tính tiếp đh cấp 2, rồi thay y’, y’’ vào pt không t.nhất ytq = C11()()()() xyx11 ()(++ C xy x)()() C2 x y2 xx+ Cx2 y2 Lưu ý rằng y1, y2 là nghiệm của pt t.nhất, tức là y1 + a 1 y 1 + a 2 y 1 =0, y 2 + a 1 y 2 + a 2 y 2 = 0 Ta được C12() xy12 ( x)(+ C( x) y x) = fx( ) (b) Suy ra, C1’(x), C2’(x) là nghiệm của hpt (a), (b) C12()() xy12()() x+ C x y x = 0 C12() xy12 (xx) + C() x y ()= f (x)
17. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Phương pháp biến thiên hằng số để giải pt y + a12 y + a y = f( x ) (2) 2 1. Giải pt đặc trưng k+ a12 k + a = 0 2. Viết 2 nghiệm riêng y1(x), y2(x) của pt thuần nhất 3. Tìm NTQ ở dạng ytq = Cx1() y1()( x + Cx2()yx2 ) Rồi đi tìm C1’(x), C2’(x) bằng cách giải hpt C12()() xy12()() x+ C x y x = 0 C12() xy12 (xx) + C() x y ()= f (x) 4. Lấy tích phân C1’(x), C2’(x) rồi thay vào ytq
18. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Ví dụ: Gpt y +4 y + 4 y = e−2x ln x 2 −−22xx Từ pt đ.tr kk+4 + 4 = 0 y12(),() x== e y x xe −−22xx Ta giải hpt C12()() xe+ C x xe = 0 −−22xx −2x C1 ()() x(− 2)ee+ C2 x (1− 2x) = exln xx22 C( x )= − ln x + + C C1 ( x )=− x ln x 11 24 C2 ( x )= ln x C22( x )= x ln x − x + C Vậy nghiệm của pt đã cho là ytq = Cx1() y1()( x + Cx2()yx2 ) xx223 y= C e−2x+ C xe − 2 x+ e − 2 x ln x − tq 12 24
19. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng – pt Euler-Cauchy PT Euler – Cauchy là pt có dạng n( n ) n−− 1 ( n 1) ann x y+ a−10 x y + + a y = f ( x ) Ta đưa về pt tt hệ số không đổi bằng cách đặt x = et (x>0) hoặc x = -et (x<0) Sau đây, giả sử x=et dy dy dx dy t dy = =e () = x xy xt= y dt dx dt dx dx d2 y ddy dx dy d dy dy d2 y dx =()x = + x =+xx dt2 dtdx dt dx dt dx dxdx2 dt 2 dy2 d y =+x x2 y =− y y dt dx2 x t t
20. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng – pt Euler-Cauchy 2 Thay x y x= y t − y t , xy x = y t vào pt ban đầu cấp 2: 2 a2 x y + a 1 xy + a 2 y = f() x Ta được pt tuyến tính cấp 2 hệ số hằng t a2( yt − y t ) + a 1 y t + a 2 y = f () e t a2ytt +()() a 1− a 2 y + a 2 y = f e Giải pt trên rồi thay x=et, ta được nghiệm của pt Euler – Cauchy cấp 2
21. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng – pt Euler-Cauchy Ví dụ: Gpt y −2 y + y = ln x (x>0) Vì x>0 nên ta có thể đặt x=et 2 Thay x y x= y t − y t , xy x = y t vào pt đã cho, ta được y −2 y + y = t tt ytn =+ C12 e C te yr =+ at b yrr == a,0 y Thay vào pt trên ytr =+2 Vậy nghiệm của pt đã cho là ytn = C12 x + C xln x + ln x + 2
22. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng – pt Euler-Cauchy Ví dụ: Tìm nghiệm riêng của pt x22 y −2 xy + 2 y = x , y (1) = y (1) = − 1 2 Đặt x=et, ta được pt y −32 y + y = e2t tt2 ytn =+ C12 e C e , 2t 22tt yr = ate yrr = ae(1 + 2 t ), y = ae (4 + 4 t ) Thay vào pt trên, ta được : a=1 22 Suy ra, NTQ của pt đã cho ytq = C12 x + C x + xln x Tính thêm y’tq, thay điều kiện đầu vào, tìm được C1, C2 1 Vậy nghiệm riêng là: y= x − x22 + xln x 2
23. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng – Bài tập Tìm NTQ hoặc nghiệm riêng của các pt 1.y − 5 y + 6 y = x cos x 2.y − 5 y + 4 y = ( x2 + 1)sin x 3.y − 5 y + 6 y = xe2x 4.y − 4 y + 4 y = 2 e2x 5.y + 4 y = cos2 x + x sin 2 x 6.y − 6 y + 9 y = xe3x + cos2 x , 7.y += y tgx
24. Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng – Bài tập 8.y += 9 y 2sin x sin 2 x 1 9.y + 5 y + 6 y = 1+ e2x 10.x2 y + xy + y = sin(2ln x ) 11.x2 y + 3 xy + y = 1 x x3 12.x2 y − 3 xy + 4 y = 2 13.(4x− 1)2 y − 2(4 x − 1) y + 8 y = 0 14.x2 y − xy + y = cosln x