›
›

Bài giảng Phương trình vi phân - Huỳnh Văn Kha

pdf 33 trang huongle 4370
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Phương trình vi phân - Huỳnh Văn Kha", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_phuong_trinh_vi_phan_huynh_van_kha.pdf

Nội dung text: Bài giảng Phương trình vi phân - Huỳnh Văn Kha

  1. Chương 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Huỳnh Văn Kha Khoa Toán – Thống Kê Toán C1 - MS: C01009 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 1 / 32
  2. Nội dung 1 Định nghĩa phương trình vi phân 2 Một số loại phương trình vi phân cấp 1 thường gặp PTVP cấp 1 dạng tách biến, tuyến tính, đẳng cấp Một số bài tập 3 PTVP cấp 2 Khái niệm – Các PTVP cấp 2 giảm cấp được 4 PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất Một số khái niệm – Cấu trúc nghiệm PTVP tuyến tính thuần nhất cấp 2 hệ số hằng Bài toán giá trị đầu và bài toán giá trị biên 5 PTVP tuyến tính cấp 2 không thuần nhất Cấu trúc nghiệm – Tìm nghiệm riêng Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 1 / 32
  3. Định nghĩa PTVP Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập x với hàm cần tìm y và các đạo hàm của nó y 0, y 00, y (n). Như vậy ptvp là phương trình có dạng F (x, y, y 0, y 00, , y (n)) = 0. Cấp của ptvp là cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình. Nếu thay y bằng hàm số y(x) vào ptvp, ta được đồng nhất thức, thì ta nói y = y(x) là nghiệm của ptvp đó. Giải ptvp là tìm tất cả các nghiệm của nó. Đồ thị của một nghiệm y = y(x) gọi là đường cong tích phân. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 2 / 32
  4. PTVP cấp 1 PTVP cấp 1 là phương trình có dạng: F (x, y, y 0) = 0. Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm y = y(x) của ptvp thỏa điều kiện đầu y(x0) = y0. Ví dụ 1. Giải ptvp y 0 = sin x và tìm nghiệm của bài toán Cauchy y 0 = sin x, y(0) = 1. Hàm số y = ϕ(x, C) gọi là nghiệm tổng quát của 2 ptvp trên miền D ⊂ R nếu với mọi (x0, y0) ∈ D tồn tại duy nhất C0 sao cho y = ϕ(x, C0) là nghiệm của bài toán Cauchy với điều kiện đầu y(x0) = y0. Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho C một giá trị cụ thể gọi là nghiệm riêng. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 3 / 32
  5. Xét bài ptvp đã giải đối với đạo hàm y 0 = f (x, y). Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Nếu f (x, y) liên tục trên D ⊂ R2, thì với mọi 0 (x0, y0) ∈ D, bài toán y = f (x, y), y(x0) = y0 luôn có nghiệmy = y(x) xác định trong một lân cận của x0. ∂f Ngoài ra nếu hàm số liên tục trên D thì nghiệm đó là ∂y duy nhất. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 4 / 32
  6. PTVP dạng tách biến PTVP tách biến là ptvp có dạng: y 0 = f (x)g(y). Cách giải. Với điều kiện g(y) 6= 0, chia hai vế cho g(y), dy ta được = f (x)dx. Lấy tích phân 2 vế. g(y) Ví dụ 2. dy x 2 1. Giải ptvp = , y(0) = 2. dx y 2 6x 2 2. Giải ptvp y 0 = . 2y + cos y xdy  1 3. Giải ptvp = y + dx. 1 + x 2 y Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 5 / 32
  7. 6x 2 Nghiệm của y 0 = 2y + cos y Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 6 / 32
  8. dy x 2 Nghiệm của = , y(0) = 2 dx y 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 7 / 32
  9. PTVP tuyến tính cấp 1 PTVP tuyến tính cấp 1 là ptvp: y 0 + p(x)y = q(x). R Cách giải. Nhân 2 vế cho e p(x)dx , pt trở thành:  R 0 R ye p(x)dx = q(x)e p(x)dx . Lấy nguyên hàm. Ví dụ 3. Giải ptvp dy 1. + 3x 2y = 6x 2 dx 2. x 2y 0 + xy = 1, x > 0, y(1) = 2 3 3. y 0 − 3x 2y = ex sin x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 8 / 32
  10. dy Nghiệm của + 3x 2y = 6x 2 dx Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 9 / 32
  11. Nghiệm của x 2y 0 + xy = 1, x > 0, y(1) = 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 10 / 32
  12. PTVP đẳng cấp y  Phương trình vi phân đẳng cấp là ptvp dạng y 0 = h . x Cách giải: Đặt u = y/x và đưa về dạng tách biến. Ví dụ 4. Giải các phương trình vi phân. 2 0 y + 2xy 1. y = 2 . x √  xy 0 = y + 3 xy 2. . y(1) = 9 x + y 3. xy 0 = (x + y) ln + y. x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 11 / 32
  13. Bài tập. Giải các phương trình vi phân cấp 1 sau đây.  x 2 + 3y  y 0 = 1. x  y(2) = 8 y 2. y 0 − = x 2(x 2 − 1) x − 1  ydy  sin(2x)dx + = 0 3. x(y + 1)  π  y 2 = 0 y 2 4. xy 0 = , y(1) = e y − x 5. (x 2 + 1)y 0 + y(y − 1) = 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 12 / 32
  14. PTVP cấp 2 Phương trình vi phân cấp 2 là PTVP có dạng F (x, y, y 0, y 00) = 0 hoặc y 00 = f (x, y, y 0). Ví dụ 1. Các phương trình sau đây là các PTVP cấp 2 x 3y 00 + 2xy + ex y + 3x = 0 y 00 = 8ex y 0 + y Xét phương trình y 00 = f (x, y, y 0). Nếu f liên tục trên miền mở chứa điểm (x0, y0, y1) thì phương trình đã cho 0 tồn tại nghiệmy = y(x) thỏa y(x0) = y0, y (x0) = y1. ∂f ∂f Hơn nữa, nếu và đều liên tục thì nghiệm nói trên ∂y ∂y 0 là duy nhất. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 13 / 32
  15. Các PTVP cấp 2 giảm cấp được PTVP cấp 2 y 00 = f (x, y, y 0) nếu có các dạng sau thì có thể giảm cấp. Trường hợp 1. Nếu vế phải không chứa y, y 0, lấy tích phân hai lần, ta được nghiệm. Ví dụ 2. Giải PTVP y 00 = sin x, y(0) = 0, y 0(0) = 1. Trường hợp 2. Nếu vế phải không chứa y, đặt u = y 0 ta được PTVP cấp 1. y 0 Ví dụ 3. Giải PTVP y 00 = x − . x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 14 / 32
  16. Trường hợp 3. Nếu vế phải không chứa x, coi y 0 là hàm theo y, nghĩa là đặt y 0 = p(y) thì y 00 = pp0. Giải p theo y. Ví dụ 4. Giải PTVP 2yy 00 + y 02 = 0. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 15 / 32
  17. PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất PTVP tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng d2y dy P(x) + Q(x) + R(x)y = G(x)(1) dx 2 dx với P(x) 6≡ 0. Nếu G(x) ≡ 0 thì (1) được nói là thuần nhất. Như vậy PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất là phương trình có dạng: d2y dy P(x) + Q(x) + R(x)y = 0 (2) dx 2 dx Nếu G(x) 6≡ 0 thì (1) được nói là không thuần nhất. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 16 / 32
  18. Cấu trúc nghiệm PTVPTTC2TN Nếuy 1(x) và y2(x) là 2 nghiệm của (2) thì với mọi hằng số c1, c2, ta cóy (x) = c1y1(x) + c2y2(x) cũng là nghiệm của (2). Hai hàm số y1(x) và y2(x) được gọi là độc lập tuyến tính nếu c1y1(x) + c2y2(x) ≡ 0 kéo theo c1 = c2 = 0. Nếu y1(x) và y2(x) là các nghiệm độc lập tuyến tính của (2) thì nghiệm tổng quát của (2) được cho bởi y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) trong đó, c1, c2 là các hằng số tùy ý. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 17 / 32
  19. PTVPTTC2TN hệ số hằng Nếu P, Q, R là các hằng số thì (2) gọi là PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng. Như vậy PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng là PTVP có dạng ay 00 + by 0 + cy = 0 (3) với a 6= 0. Ta sẽ tìm 2 nghiệm ĐLTT của (3) dưới dạng y(x) = erx . Ta có y 0(x) = rerx , y 00(x) = r 2erx . Thay vào (3) ar 2 + br + c erx = 0 Nhưng erx 6= 0, ∀x nên ar 2 + br + c = 0. Phương trình ar 2 + br + c = 0 (4) gọi là phương trình đặc trưng của (3). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 18 / 32
  20. Nếu pt đặc trưng (4) có 2 nghiệm thực phân biệt r1, r2 thì nghiệm tổng quát của (3) là r1x r2x y(x) = c1e + c2e Nếu pt đặc trưng (4) có nghiệm thực duy nhất r0 thì nghiệm tổng quát của (3) là r0x r0x y(x) = c1e + c2xe Nếu pt đặc trưng (4) có nghiệm ảo r = α ± iβ thì nghiệm tổng quát của (3) là αx y(x) = e (c1 cos βx + c2 sin βx) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 19 / 32
  21. Ví dụ 5. Giải các PTVP sau 1. y 00 + y 0 − 6y = 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 20 / 32
  22. 2.3 y 00 + y 0 − y = 0 3.4 y 00 + 12y 0 + 9y = 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 21 / 32
  23. 4. y 00 − 6y 0 + 13y = 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 22 / 32
  24. Bài toán giá trị đầu Bài toán giá trị đầu cho pt (1) hoặc (2) là bài toán tìm 0 nghiệm y = y(x) thỏa y(x0) = y0, y (x0) = y1. Ví dụ 6. Giải PTVP 1. y 00 + y 0 − 6y = 0, y(0) = 1, y 0(0) = 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 23 / 32
  25. 2. y 00 + y = 0, y(0) = 2, y 0(0) = 3 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 24 / 32
  26. Bài toán giá trị biên Bài toán giá trị biên cho pt (1) hoặc (2) là bài toán tìm nghiệm y = y(x) thỏa y(x0) = y0, y(x1) = y1. Ví dụ 7. Giải PTVP y 00 + 2y 0 + y = 0, y(0) = 1, y(1) = 3 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 25 / 32
  27. PTVP TTC2 KTN hệ số hằng PTVP tuyến tính cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng là PTVP có dạng ay 00 + by 0 + cy = G(x)( 5) với G(x) 6≡ 0. Gọiy = y0(x) là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng ay 00 + by 0 + cy = 0, thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng: y(x) = y0(x) + yr (x) trong đóy r (x) là một nghiệm riêng của (5). Như vậy nếu tìm được nghiệm riêng thì sẽ tìm được nghiệm tổng quát của (5). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 26 / 32
  28. Tìm nghiệm riêng αx 1. Nếu G(x) = e Pn(x), trong đó Pn(x) là đa thức bậc n thì một nghiệm riêng của (5) có dạng s αx yr (x) = x e Qn(x) Trong đó, Qn(x) là đa thức bậc n, có n + 1 hệ số cần xác định, và  0 nếu α không là nghiệm của pt đặc trưng  s = 1 nếu α là nghiệm đơn của pt đặc trưng  2 nếu α là nghiệm kép của pt đặc trưng Ví dụ 8. Giải PTVP 1. y 00 + 4y = e3x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 27 / 32
  29. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 28 / 32
  30. 2. y 00 − 3y 0 + 2y = 2ex − 2xex 3. y 00 + y 0 − 2y = x 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 29 / 32
  31. αx 2. Nếu G(x) = e [Pn(x) cos βx + Qm(x) sin βx], trong đó Pn(x) là đa thức bậc n, Qm(x) là đa thức bậc m thì một nghiệm riêng của (5) có dạng s αx yr (x) = x e [Rk (x) cos βx + Tk (x) sin βx] Trong đó k = max{n, m}, Rk (x), Tk (x) là các đa thức bậc k cần xác định và  0 nếu α + iβ không là nghiệm của pt đặc trưng s = 1 nếu α + iβ là nghiệm của pt đặc trưng Ví dụ 9. Giải PTVP 1. y 00 + y = 3 sin x, y(0) = y 0(π) = 1 2. y 00 − 5y 0 + 6y = 3 sin 2x − 2 cos 2x 3. y 00 + y 0 − 2y = e2x (5 cos x + 3 sin x) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 30 / 32
  32. 3. Nếu G(x) = G1(x) + G2(x) với G1(x), G2(x) có 1 trong 2 dạng trên, thì một nghiệm riêng của (5) dạng yr (x) = yr1(x) + yr2(x) với yr1, yr2 là các nghiệm riêng của các phương trình 00 0 00 0 ay + by + cy = G1(x), ay + by + cy = G2(x) Ví dụ 10. Giải PTVP y 00 − 4y = xex + cos 2x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 31 / 32
  33. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 4: Phương trình vi phân Toán C1 - MS: C01009 32 / 32